MQE_3ps

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1
Seção 3
Álgebra Linear
Métodos Quantitativos em Economia
Prof. Gerson Lachtermacher 
Prof. Paulo Sérgio Coelho
1
Seção 3
Vetor Linha
Vetor Coluna
 Matrizes especiais que contêm apenas uma linha ou 
apenas uma coluna são chamados de vetores:
2
1
2
:
 1n
b
b
B
b n
 
 
 
 
 
  
  naaaA n 1 ...21 
2
Seção 3
Soma de Vetores
Subtração de Vetores
 A operação de soma de vetores requer que os vetores 
tenham a mesma dimensão.
 A operação é efetuados através da soma dos elementos 
correspondentes
 
 
 
m x 12211
m x 1 21
m x 1 21
;...;;
...
...
mm
m
m
bababa
bbb
aaa



BA
B
A
3
Seção 3
Multiplicação Por Escalar
 Podemos também multiplicar um vetor por um número 
real, multiplicando cada elementos do vetor por este 
número.
    2 x 12 x 1 4;222;1  AA
4
3
Seção 3
Produto Interno ou
Produto Escalar
 Quando um vetor linha (1 x n), multiplica um vetor 
coluna (n x 1), o resultado é um escalar denominado 
Produto Interno.
1 
:
2
1














nb
b
b
B
n
  n aaaA n  1 ...21
5
i
n
i
i baWBA  
1
Seção 3
Exemplo
 Se dispusermos as quantidades compradas de n 
produtos em um vetor linha
 E dispusermos os custos
destes produtos em um vetor coluna
 Então o total gasto é expresso através do produto 
interno destes vetores:
6
1 2 ... nQ q q q    1
2
...
n
c
c
C
c
 
 
 
 
 
 
1 1 2 2 ... n nQ P q p p q p q       
4
Seção 3
Multiplicação de Vetores
 Alternativamente, a multiplicação de dois vetores pode 
resultar em uma matriz quadrada:
 Quando um vetor coluna (n x 1), multiplica um vetor linha (1 
x n), o resultado é uma Matriz (n x n).
1 
:
2
1














nb
b
b
B
n
  n aaaA n  1 ...21
7
1 1 2 1 1
1 2 2 2 2
1 2
...
...
: : : :
...
n
n
n n n n
a b a b a b
a b a b a b
B A
a b a b a b
 
 
  
 
 
 
Seção 3
Exemplo
8
 Dados
 Calcular:
 u.v
 v.u
3
2
1
1
u
 
 
 
 
 
 
 0 2 3 1v  e
0 6 9 3
0 4 6 2
.
0 2 3 1
0 2 3 1
u v
 
 

 
 
 
  
. 2v u  
5
Seção 3
Vetores
Definições
 O vetor zero ou nulo é o vetor cujas componentes são 
iguais zero.
 Vetor negativo de um vetor é o vetor cujas 
componentes são simétricas as do vetor original.
    3 x 1 2 x 1 0;0;000;00  e
    2 x 1 2 x 1 1;21;2  AA e
9
Seção 3
Combinação Linear
 Dado um conjunto de vetores {v1;v2;...;vn} uma 
combinação linear entre eles é definida pela seguinte 
expressão:
Sendo ki escalares (números reais) e vi vetores de mesma 
dimensão
 O resultado de uma combinação linear é um vetor da 
mesma dimensão que os vi
1 2 2
1
...
n
n i i
i
k k k k

   1 nv v v v
10
6
Seção 3
Combinação Linear
exemplo
 Sejam e .
 Determinar as combinações lineares:
1.
2.
3.
11
 1 2;7v   2 1;8v 
1 2v v
1 2v v
1 23 2v v
 [2 1;7 8] 3;15   
 [2 1;7 8] 1; 1    
 [3 2 2 1;3 7 2 8] 4;5       
Seção 3
Dependência Linear
 Dizemos que um conjunto de n vetores não nulos {v1; v2;...; vn} é 
linearmente dependente, se somente se, existem n escalares 
(números reais) {k1; k2;...; kn}, sendo pelo menos um diferente de 
zero, de tal forma que
 Isto equivale a dizer que pelo menos um dos n vetores pode ser 
escrito como uma combinação linear dos outros
0vvvv n1  

n
i
iin kkkk
1
221 ...
12
7
Seção 3
Independência Linear
 Quando um conjunto de n vetores não nulos 
{v1; v2;...; vn} não é linearmente dependente ele é dito 
linearmente independente.
 Isto equivale a dizer que nenhum dos n vetores pode ser 
escrito como uma combinação linear dos outros
13
Seção 3
Dependência Linear
exemplo
14
 Sejam , e .
 Então, v1 e v2 v3 são linearmente dependentes:
o que era fácil verificar pois no exemplo anterior,
 1 2;7v   2 1;8v 
1 2 33 2 0v v v  
 3 4;5v 
3 1 23 2v v v 
8
Seção 3
Posto de uma Matriz
 O Posto de uma matriz é igual ao número máximo de 
linhas (ou colunas) linearmente independentes.
 Teorema
“O número máximo de linhas linearmente 
independentes de uma matriz será sempre igual ao 
número de colunas linearmente independentes”
 Seja uma matriz A de dimensão m x n então
 Se m > n então o posto não pode ser maior que n
 Se m < n então o posto não pode ser maior que m
15
Seção 3
Posto de uma Matriz
como determinar?
 Determina-se o posto de uma matriz se obtivermos a 
sua forma escalonada, o que pode ser feito através das 
operações elementares:
1. Troca entre quaisquer duas linhas da matriz;
2. Multiplicação de uma linha por qualquer escalar;
3. Adição de qualquer múltiplo de qualquer linha a uma outra 
linha.
 Estas operações alteram a matriz original, mas a matriz 
resultado mantêm o posto da matriz original.
16
9
Seção 3
Escalonar uma matriz
Exemplo
17
0 11 4
2 6 2
4 1 0
A
  
 
  
 
 
Uma matriz escalonada deve ter o 
elemento a11 = 1. Então o primeiro 
passo é trocar a linha 1 com a linha 3 
(operação elementar 1)
1
4 1 0
2 6 2
0 11 4
A
 
 
  
   
L1  L3
L3  L1
Seção 3
Escalonar uma matriz
Exemplo
18
Para obter a11 = 1, o segundo passo é 
dividir a (nova) linha 1 por 4 
(operação elementar 2)
2
11 0
4
2 6 2
0 11 4
A
 
 
 
 
  
 
L1  L1 / 4
1
4 1 0
2 6 2
0 11 4
A
 
 
  
   
10
Seção 3
Escalonar uma matriz
Exemplo
19
Uma matriz escalonada deve ter a12
= 0. Então o terceiro passo é 
substituir a linha 2 pelo resultado da 
linha 2 menos 2 vezes a linha 1 
(operação elementar 3)
3
11 0
4
220 2
4
0 11 4
A
 
 
 
 
   
 
L2  L2 – 2L1
2
11 0
4
2 6 2
0 11 4
A
 
 
 
 
  
 
Seção 3
Escalonar uma matriz
Exemplo
20
Uma matriz escalonada deve ter a22
= 1. Então o quarto passo é dividir a 
nova linha 2 por 22/4 (operação 
elementar 2)
4
11 0
4
40 1
11
0 11 4
A
 
 
 
 
   
 
L2  L2 / 22/4
3
11 0
4
220 2
4
0 11 4
A
 
 
 
 
   
 
11
Seção 3
Escalonar uma matriz
Exemplo
21
Uma matriz escalonada deve ter a32
= 0. Então o quinto passo é substituir 
a linha 3 pelo resultado da linha 3 
mais 11 vezes a linha 2 (operação 
elementar 3)
5
11 0
4
40 1
11
0 0 0
A
 
 
 
 
  
 
L3  L3 + 11L2
4
11 0
4
40 1
11
0 11 4
A
 
 
 
 
   
 
Esta é a forma escalonada da matriz 
A
Seção 3
Forma Escalonada de uma Matriz
 Uma matriz está na forma escalonada se:
 Linhas não nulas (linhas que têm, no mínimo, um elemento 
não nulo) aparecem acima das linhas nulas;
 Em toda linha não nula o primeiro elemento não nulo é a 
unidade;
 O primeiro elemento não nulo (unidade) em qualquer linha 
deve aparecer à esquerda do primeiro elemento não nulo das 
linhas seguintes.
 O posto de uma matriz é a quantidade de linhas não 
nulas na sua forma escalonada.
22
12
Seção 3
Exemplo
 Determine o posto da matriz
23
7 6 3 3
0 1 2 1
8 0 0 8
M
 
 
  
 
 
Seção 3
Exemplo
solução
24
L1  L1 / 7
1
7 6 3 3
0 1 2 1
8 0 0 8
M
 
 
  
 
 
2
1 6 / 7 3 / 7 3 / 7
0 1 2 1
8 0 0 8
M
 
 
  
 
 
13
Seção 3
Exemplo
solução
25
L3  L3 – 8L1
2
1 6 / 7 3 / 7 3 / 7
0 1 2 1
8 0 0 8
M
 
 
  
 
 
3
1 6 / 7 3 / 7 3 / 7
0 1 2 1
0 48 / 7 24 / 7 32 / 7
M
 
 
  
   
Seção 3
Exemplo
solução
26
L3  L3 + 48/7L2
3
1 6 / 7 3 / 7 3 / 7
0 1 2 1
0 48 / 7 24 / 7 32 / 7
M
 
 
  
   
4
1 6 / 7 3 / 7 3 / 7
0 1 2 1
0 0 72 / 7 80 / 7
M
 
 
  
 
 
14
Seção 3
Exemplo
solução
27
L3  L3 /72/7
4
1 6 / 7 3 / 7 3 / 7
0 1 2 1
0 0 72 / 7 80 / 7
M
 
 
  
 
 
5
1 6 / 7 3 / 7 3 / 7
0 1 2 1
0 0 1 10 / 9M
 
 
  
 
 
Logo, a matriz tem 
posto = 3
Seção 3
Determinante de uma Matriz
 O determinante é um escalar obtido dos elementos de 
uma matriz quadrada mediante operações matemáticas 
especificadas.
21122211
2212
2111
det aaaa
aa
aa
A 
28
15
Seção 3
Determinante de uma matriz
exemplos
1. Qual o valor de 
2. Qual o valor de x em 
29
2 1
3 1
 
2 0
2 1
x x
x
 

 2 1 1 3 5      
 1 2 2 0x x x        
2 3 2 0x x    1 ou 2x x  
Seção 3
113223331221132231312312133221332211
333231
232221
131211
det
det
aaaaaaaaaaaaaaaaaa
aaa
aaa
aaa
A
A


Determinante de uma Matriz 3x3
30
16
Seção 3
Determinante de uma Matriz 3x3
Método operacional
31
11 12 13
21 22 23
31 32 33
a a a
a a a
a a a
1 1 2 2 3 3 2 1 3 2 1 3 1 2 2 3 3 1 2 2 1 3 2 1 1 2 3 3 2 3 3 2 13 1 1d e t A a a a a a a a a a a a a a a a a a a     
11 12 13
21 22 23
a a a
a a a
11 22 33a a a
21 32 13a a a
31 12 23a a a
31 22 13a a a
21 12 33a a a
23 32 11a a a

Seção 3
Determinante de uma Matriz 3x3
exemplo
 Qual o determinante de A?
32
2 1 5
3 2 1
3 4 1
A
 
 
  
  
2 1 5
3 2 1
3 4 1
2 1 5
3 2 1



4
60
3
67
-30
8
-3
-25
| | 67 ( 25) 67 25 92A      
17
Seção 3
Determinante de uma Matriz 3x3
exemplo
 E o de B?
33
2 1 5
4 2 10
3 4 1
B
 
 
  
  
2 1 5
4 2 10
3 4 1
2 1 5
4 2 10





-4
80
30
106
30
80
-4
106
| | 106 106 0B   
Seção 3
Determinantes de ordem superior
 Para matrizes com ordens maior do que 3 não se deve 
utilizar o princípio anterior.
 A Expansão de Laplace funciona para qualquer 
tamanho de matriz;
 Também chamada de método dos cofatores
34
18
Seção 3
Cofator do Elemento de uma Matriz
 Seja a matriz (n-1) x (n-1) obtida eliminando-se a 
i-ésima linha e a j-ésima coluna de uma matriz 
 Por exemplo, para determinar M11
Mij
An n x 
35
A
a a a
a a a
a a a
n
n
n n nn













11 12 1
21 22 2
1 2
...
...
: : : :
...
22 2
11
2
...
: : :
...
n
n nn
a a
M
a a
 
 
  
  
Seção 3
Cofator do Elemento de uma Matriz
 O cofator do elemento de uma matriz será dado por
C Mij
i j
ij 
( )1
36
19
Seção 3
Cofator
exemplo
 Dado
 Qual é o cofator do elemento a11, C11?
 Qual é o cofator do elemento a12, C12?
 Qual é o cofator do elemento a13, C13?
37
2 1 5
3 2 1
3 4 1
A
 
 
  
  
C11 = -2
C12 = -6
C13 = 18
C Mij
i j
ij 
( )1
Seção 3
Determinantes
Expansão de Laplace
 O determinante de uma matriz é dado pelo somatório do 
produto dos elementos de qualquer uma linha (ou 
qualquer uma coluna) pelos seus respectivos cofatores.
 Se o elemento for zero, não é necessário calcular o cofator!
38
20
Seção 3
Determinante de uma Matriz e Cofatores
Expansão de Laplace 
Em termos da linha i
A a C a M
n x n ij
j
n
ij ij
j
n
i j
ij 
  
 
 
1 1
1( )
para uma linha i , sendo i =1,2,..,n
onde n é o número de linhas da matriz
39
Seção 3
Determinante de uma Matriz 3x3
Expansão de Laplace (1ª linha)
40
333231
232221
131211
det
aaa
aaa
aaa
A 
3231
2221
13
3331
2321
12
3332
2322
11det aa
aa
a
aa
aa
a
aa
aa
aA 
21
Seção 3
Determinante de uma Matriz e Cofatores
Expansão de Laplace
Em termos da coluna j
para uma coluna j , sendo j =1,2,..,n
onde n é o número de colunas da matriz
A a C a M
n x n ij
i
n
ij ij
i
n
i j
ij 
  
 
 
1 1
1( )
41
Seção 3
Exemplo
 Qual o determinante da matriz A?
42
2 1 5 1
3 2 1 0
3 4 1 0
0 1 0 2
A
 
 
 
 
 
 
190
Escolhendo a linha ou coluna com mais zeros...
Entre a Linha 4 ou a Coluna 4, escolhemos arbitrariamente a Coluna 4
14 14 24 24 34 34 44 44A a C a C a C a C       
  24 34
3 2 1 2 1 5
1 1 3 4 1 0 0 2 3 2 1
0 1 0 3 4 1
C C

         

 1 ( 1) 6 2 92       6 184 
22
Seção 3
Exemplo 
 Calcular o determinante de 
𝐴 =
1 0 −1 3 0
−1 3 3 1 1
2 −1 0 3 0
1 2 0 0 0
0 0 −1 0 0
43
Seção 3
Determinante de uma Matriz
Teorema
 O determinante de uma matriz triangular superior, de 
uma matriz triangular inferior ou de uma matriz 
diagonal é simplesmente o produto dos elementos da 
diagonal principal destas matrizes.
 Isto pode ser facilmente demonstrado a partir da 
Expansão de Laplace, já que todos elementos de uma 
determinada linha (1ª ou a última) são zeros com 
exceção do elemento da diagonal principal.
44
23
Seção 3
Exemplo
 Calcular o Determinante de 
1
1
23
−1
0 4 521
0 0 2
45
Seção 3
Exemplo
 Calcular o Determinante de
46
5 0 0 0 0
0,01 2 0 0 0
1
1.335 2 0 0
77
513 3 4 1 0
415
0 1 0 2
111
A
 
 
 
 
 
 
 
 
 
  
 
 
 
 
24
Seção 3
Propriedades dos Determinantes
 |A|=|At|, o determinante de uma matriz é igual ao da sua 
transposta.
 Se duas linhas ou colunas de A têm suas posições 
trocadas, então o determinante da nova matriz formada 
é igual a -|A|
 Se todo elemento de uma linha ou coluna de uma 
matriz é igual a zero então o determinante desta matriz 
é igual a zero.
 O determinante do produto de duas matrizes é igual ao 
produto dos determinantes das duas matrizes, isto é, 
|AB|=|A||B|.
47
Seção 3
Propriedades dos Determinantes
 Se duas linhas ou colunas de uma matriz A forem 
idênticas, então |A|=0
 Se uma linha ou coluna da matriz A for multiplicada 
por uma constante k, então o determinante da nova 
matriz formada é igual a k |A|.
 Se uma linha ou coluna de A é substituída por ela 
própria (ou um múltiplo dela) adicionada de um 
múltiplo de outra linha ou coluna de A, então o 
determinante da nova matriz é igual a |A|.
 Se as linhas ou colunas de uma matriz A forem 
linearmente dependentes, então |A|=0.
48
25
Seção 3
Exemplo
 O determinante da matriz A
é igual a 190
 Qual o determinante de 2 × 𝐴?
49
2 1 5 1
3 2 1 0
3 4 1 0
0 1 0 2
A
 
 
 
 
 
 
Será 24 × 190 = 3.040
Seção 3 50
26
Seção 3
Exercício 
 Calcular:
 Solução:
 Tomando a 4ª linha
51
2 1 5 1
3 2 1 0
3 4 1 2
1 1 0 2
d




 
41 42 43 441 1 0 2
1 24 1 20 0 2 92
24 20 184
140
d C C C C        
        
   

Seção 3
Exercício 
52
4 1
41
1 5 1
( 1) 2 1 0 1 ( 24) 24
4 1 2
C 

       
4 2
42
2 5 1
( 1) 3 1 0 1 ( 20) 20
3 1 2
C        

4 4
44
2 1 5
( 1) 3 2 1 1 92 92
3 4 1
C 

     

27
Seção 3
Cálculo do Determinante
Usando Excel
53
Seção 3
A matriz inversa
 A inversa de A pode não existir;
 Se existir:
 A multiplicação de uma matriz por sua inversa tem a 
propriedade de comutatividade.
54
1 1AA A A I  
28
Seção 3
Propriedades das Inversas
 A inversa da inversa é a matriz original, [A-1]-1 = A
 O determinante da inversa de uma matriz é igual ao 
recíproco do determinante da matriz original
|A-1|=1/|A|
 A inversa da transposta de uma matriz é igual à trans-
posta da inversa da matriz
[At ]-1= [A-1]t
 A inversa do produto de duas matrizes é igual ao pro-
duto de suas inversas, [AB]-1 = B-1 A-1
55
Seção 3
Posto, Determinante e a Inversa
 Seja uma matriz quadrada An x n
inversa comn de Posto singularnão é 
inversa semn de Posto singularé 


AAA
AAA
0
0
56
29
Seção 3
Matriz Inversa
procedimento de determinação
 Podemos determinar a inversa de uma matriz A de 
diversas maneiras diferentes:
1. Sistemas (ideal para matrizes de dimensão até 2)
2. Operações Elementares (mais simples)
3. Adjunta – método dos cofatores (mais eficiente)
57
Seção 3
Obtendo a inversa por sistema
exemplo
 Seja A a matriz abaixo. Encontre A-1.
 Solução
58
7 1
1 5
A
 
  
 
1 a bA
c d
    
 
1 7 1 1 0
1 5 0 1
a b
AA I
c d
           
    
7 1
5 0
a c
a c
 

 
7 0
5 1
b d
b d
 

 
1
5 1
34 341 7
34 34
A
 
 
  
 
 
 
5 1
,
34 34
a c  
1 7
,
34 34
b d    
30
Seção 3
Obtendo a inversa por operações 
elementares
 Se a sequencia de operações elementares que 
transforma uma matriz quadrada em uma matriz 
identidade for aplicada a uma matriz identidade, o 
resultado será a matriz inversa à matriz inicial.
 Exemplo: aplique o método de operações elementares 
para determinar a inversa de:
59
2 1 5
3 2 1
3 4 1
A
 
 
  
  
1
1 21 11
46 92 92
3 17 13
46 92 92
9 5 7
46 92 92
A
 
  
 
 
 
 
 
  
 
Seção 3 60
2 1 5 1 0 0
3 2 1 0 1 0
3 4 1 0 0 1
 
 
 
  
𝐿1 ←
𝐿1
21 5 1
1 0 0
2 2 2
3 2 1 0 1 0
3 4 1 0 0 1
 
 
 
 
 

 
 
 
31
Seção 3 61
1 5 1
1 0 0
2 2 2
3 2 1 0 1 0
3 4 1 0 0 1
 
 
 
 
 

 
 
 
𝐿2 ← 𝐿2 + 𝐿3
1 5 1
1 0 0
2 2 2
0 6 2 0 1 1
3 4 1 0 0 1
 
 
 
 
 

 
 
 
Seção 3 62
1 5 1
1 0 0
2 2 2
0 6 2 0 1 1
3 4 1 0 0 1
 
 
 
 
 

 
 
 
1 5 1
1 0 0
2 2 2
0 6 2 0 1 1
5 17 3
0 0 1
2 2 2
 
 
 
 
 
 
 
 
𝐿3 ← 𝐿3 + 3 × 𝐿1
32
Seção 3 63
1 5 1
1 0 0
2 2 2
0 6 2 0 1 1
5 17 3
0 0 1
2 2 2
 
 
 
 
 
 
 
 
𝐿2 ←
𝐿2
6
1 5 1
1 0 0
2 2 2
1 1 1
0 1 0
3 6 6
5 17 3
0 0 1
2 2 2
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Seção 3 64
1 5 1
1 0 0
2 2 2
1 1 1
0 1 0
3 6 6
5 17 3
0 0 1
2 2 2
 
 
 
 
 
 
 
 
 
𝐿1 ← 𝐿1 +
1
2
× 𝐿2
33
Seção 3
Solução
65
0 2 -1 5 1 0 0
3 2 1 0 1 0
-3 4 1 0 0 1
1 L1 <- L1/2
1 -0,5 2,5 0,5 0 0
3 2 1 0 1 0
-3 4 1 0 0 1
2 L2 <- L2 +L3
1 -0,5 2,5 0,5 0 0
0 6 2 0 1 1
-3 4 1 0 0 1
3 L3<- L3+3xL1
1 -0,5 2,5 0,5 0 0
0 6 2 0 1 1
0 2,5 8,5 1,5 0 1
4 L2<- L2/6
1 -0,5 2,5 0,5 0 0
0 1 1/3 0 1/6 1/6
0 2,5 8,5 1,5 0 1
5 L1<- L1 + 0,5xL2
1 0 16/6 0,5 1/12 1/12
0 1 1/3 0 1/6 1/6
0 2,5 8,5 1,5 0 1
6 L3<- L3 -2,5xL2
1 0 16/6 0,5 1/12 1/12
0 1 1/3 0 1/6 1/6
0 0 7,67 1,50 - 5/12 7/12
7 L3<- L3/(46/6)
1 0 2,666667 0,5 1/12 1/12
0 1 1/3 0 1/6 1/6
0 0 1 9/46 - 5/92 7/92
8 L1 <- L1 - (16/6)*L3
1 0 0 - 1/46 21/92 - 11/92
0 1 1/3 0 1/6 1/6
0 0 1 9/46 - 5/92 7/92
8 L2 <- L2 - (1/3)*L3
1 0 0 - 1/46 21/92 - 11/92
0 1 0 - 3/46 17/92 13/92
0 0 1 9/46 - 5/92 7/92
Seção 3
Matriz Adjunta
 A matriz adjunta de uma matriz A, adj(A), é a transposta da 
matriz de cofatores de A.
11 12 13
21 22 23
31 32 33
a a a
a a a
a a a
 
 
  
  
A
66
     
     
     
(1 1) (1 2) (1 3)22 23 21 23 21 22
11 12 13
32 33 31 33 31 32
(2 1) (2 2) (2 3)12 13 11 13 11 12
21 22 23
32 33 31 33 31 32
(3 1) (3 2) (3 3)12 13 11 13 11 1
31 32 33
22 23 21 23
1 1 1
1 1 1
1 1 1
a a a a a a
C C C
a a a a a a
a a a a a a
C C C
a a a a a a
a a a a a a
C C C
a a a a
  
  
  
     
     
     
2
21 22a a
11 12 13
21 22 23
31 32 33
C C C
C C C C
C C C
 
 
  
  
11 21 31
12 22 32
13 23 33
( ) t
C C C
adj C C C C
C C C
 
 
   
  
A
34
Seção 3
Matriz Adjunta
 Qual a matriz adjunta da matriz A?
67
2 1 5
3 2 1
3 4 1
A
 
 
  
  
2 21 11
( ) 6 17 13
18 5 7
adj A
  
 
  
  
Seção 3
Matriz Inversa
Teorema
 Se uma matriz A tem inversa, então:
 A matriz adjunta de uma matriz A, adj(A), é a transposta da 
matriz de cofatores de A.
 
1 1 ( )
det
adj A A
A
68
35
Seção 3
Matriz Inversa
 Qual a inversa da matriz A?
69
2 1 5
3 2 1
3 4 1
A
 
 
  
  
1
1 21 11
46 92 922 21 11
1 3 17 13
6 17 13
92 46 92 92
18 5 7
9 5 7
46 92 92
A
 
  
    
   
       
    
  
 
2 1 5
det( ) 3 2 1 92
3 4 1
A

 

 
1 1 ( )
det
adj A A
A
Seção 3
Matriz Inversa
 Verifique que A-1 x A = I
70
1
2 21 11 2 1 5 1 0 0
1
6 17 13 3 2 1 0 1 0
92
18 5 7 3 4 1 0 0 1
A A
       
     
          
           
36
Seção 3
Inversa de Matrizes
Usando Excel
71
1. Posicione na célula G1
2. Marcar as células de G1:J4
3. Inserir a fórmula =MATRIZ.INVERSO(A1:D4)
4. Pressione F2 e, em seguida, pressione CTRL+SHIFT+ENTER
Seção 3
Exercícios
 Calcular as inversas de:
72
1 2
1 3
A
 
  
 
1 1 2
0 1 1
1 0 0
B
 
 
  
  
1 1 2 2
0 1 1 1
0 0 0 1
1 0 1 0
C
 
 
 
 
 
  
1 0,6 0,4
0,2 0,2
A
 
  
 
1
0 0 1
1 2 1
1 1 1
B
 
 
  
 
 
1
1 1 1 1,5
1 1 2 0,5
1 1 1 0,5
0 0 1 0
C
   
 
  
 
 
 
37
Seção 3
Sistemas de Equações Lineares 
 = 12
 3 = 5
 3 = 7
5 4
3
2
1 2
1 2 3
1 2 3
x x
x x x
x x x

  
  
5 4 0
- 3 1 3
- 2 3 1
12
5
7































x
x
x
1
2
3
Forma Matricial
Forma Algébrica
73
Ax d
Seção 3
Solução – cálculo dos cofatores
74
 
1 1
11
1 3
1 1 8 8
3 1
C

     
 
1 2
12
3 3
1 1 3 3
2 1
C
 
      

 
1 3
13
3 1
1 1 7 7
2 3
C
 
     

 
2 1
21
4 0
1 1 4 4
3 1
C

      
 
2 2
22
5 0
1 1 5 5
2 1
C

    

 
2 3
23
5 4
1 1 23 23
2 3
C

      

 
3 1
31
4 0
1 1 12 12
1 3
C

    
 
3 2
32
5 0
1 1 15 15
3 3
C

      

 
3 3
33
5 4
1 1 17 17
3 1
C

    

38
Seção 3
1
2 1 3
13 13 138 4 12
1 1 3 5 15
( ) 3 5 15
det( ) 52 52 52 52
7 23 17
7 23 17
52 52 52
A Adj A
A

 
 
    
        
   
     
 
  
Solução – cálculo da Matriz Inversa
75
8 3 7
4 5 23
12 15 17
M
   
 
  
 
  
8 4 12
3 5 15
7 23 17
Adj
  
 
  
 
   
11 12
5 4 0
det( ) -3 1 3 5 4 5 8 4 3 52
-2 3 1
A C C          
Seção 3
Sistemas de Equações Lineares 
5 4 0
- 3 1 3
- 2 3 1
12
5
7































x
x
x
1
2
3
76
Ax d
1x A d
1
2
3
2 1 3 8
13 13 13 1312
3 5 15 29
5
52 52 52 13
7
7 23 17 20
52 52 52 13
x
x
x
   
   
      
               
        
   
      
39
Seção 3
Resolvendo sistemas
 Resolver o sistema:
77
1 2 3
1 2 3
1 2 3
2 5 15
3 2 10
3 4 8
x x x
x x x
x x x
  

  
   
1Ax d x A d   
1 1
2 2
3 3
2 1 5 15 2 21 11 15
1
3 2 1 10 6 17 13 10
92
3 4 1 8 18 5 7 8
x x
x x
x x
            
          
               
                     
Seção 3
Sistemas de Equações Lineares 
Solução
 As soluções por matrizes só podem ser aplicadas 
quando o sistema tem a mesma quantidade de equações 
e de variáveis.
 Regra elementar
 Regra de Cramer
 Nem sempre é a mais eficiente
78
1A x d x A d  
40
Seção 3
Solução de Sistemas de Equações Lineares 
Regra de Cramer
 O valor de cada variável xi é dado por
onde
79
i
i
A
x
A

11 1 1
21 2 2
1
... ...
... ...
... ... ... ... ...
... ...
n
n
i
m n nn
a d a
a d a
A
a d a
 
 
 
 
  
 
Seção 3
Exemplo
 Use o método de Cramer para obter a solução de:
80
1 2
1 2 3
1 2 3
 5 4 = 12
 3 3 = 5
2 3 = 7
x x
x x x
x x x


  
  
41
Seção 3
Regra de Cramer
Exemplo – Solução 
 Temos
81
5 4 0
-3 1 3
-2 3 1
A
 
 

 
  
1
12 4 0
5 1 3
7 3 1
A
 
 

 
  
2
5 12 0
-3 5 3
-2 7 1
A
 
 

 
  
3
5 4 12
-3 1 5
-2 3 7
A
 
 

 
  
52A  
1 32A  
2 116A  
3 80A  
1
1
32 8
52 13
A
x
A

  

2
2
116 29
52 13
A
x
A

  

3
3
80 20
52 13
A
x
A

  

Seção 3
Exercício
 Resolver o sistema
82
1 2 3
1 2 3
1 2 3
 = 6
 2
 3 4
x x x
x x x
x x x
 

     
1 1 1
A= 1 1 1
1 3 1
 
 
 
  
1
6 1 1
2 1 1
4 3 1
A
 
 
  
  
2
1 6 1
1 2 1
1 4 1
A
 
 
  
  
3
1 1 6
1 1 2
1 3 4
A
 
 
  
 
 
1
1
4
1
4
A
x
A
  
2
2
8
2
4
A
x
A
  
3
3
12
3
4
A
x
A
  
42
Seção 3
Solução de Sistemas de Equações Lineares 
Limitação da Solução Matricial
 Se a matriz de coeficientes tiver determinante igual a 
zero a Solução Matricial (tanto a Regra de Cramer 
quanto a Regra Elementar) não pode ser usada
 A matriz de Coeficientes é singular quando uma das 
linhas for combinação linear das outras
 Equações dependentes: a constante tem valor equivalente à 
combinação das linhas
 Equações inconsistentes: a constante tem valor diferente da 
combinação das linhas
83
Seção 3
Limitação da Solução Matricial
Equações Dependentes
 Seja o seguinte sistema, onde a primeira equação é igual 
a soma das outras duas:
84
1 2 3
1 2
2 3
3 =12
2 = 5
 = 7
x x x
x x
x x
 


1 3 1
1 2 0
0 1 1
A
 
 
  
  
0A 
43
Seção 3
Limitação da Solução Matricial
Equações Dependentes
 Resolvendo por substituição, percebemos que as 
soluções são múltiplas:
85
1 25 2x x  
3 2 7x x  
1 2 3
1 2
2 3
3 =12
2 = 5
 = 7
x x x
x x
x x
 


   2 2 25 2 3 7 12 12 12x x x       
Seção 3
Limitação da Solução Matricial
Equações Inconsistentes
 Seja o seguinte sistema, onde a primeira equação é igual 
a soma das outras duas, exceto o termo independente:
86
1 2 3
1 2
2 3
3 =10
2 = 5
 = 7
x x x
x x
x x
 


1 3 1
1 2 0
0 1 1
A
 
 
  
  
0A 
44
Seção 3
Limitação da Solução Matricial
Equações Inconsistentes
 Resolvendo por substituição, percebemos que não há 
solução possível:
87
1 25 2x x  
3 2 7x x  
1 2 3
1 2
2 3
3 =10
2 = 5
 = 7
x x x
x x
x x
 


   2 2 25 2 3 7 12 12 10x x x       
Seção 3
Sistemas de Equações Homogêneas
 Um sistema de equações 
representado por 
matrizes na forma ao 
lado é denominado de 
sistema de equações 
homogêneas.
 Se A é não singular 
então o sistema só 
admite a solução trivial 
como resposta ( x=[0] ).


















































0
:
0
0
0
:
..
:.::::
..
..
..
0
3
2
1
321
3333231
2232221
1131211
nnnnnn
n
n
n
x
x
x
x
aaaa
aaaa
aaaa
aaaa
ou
Ax
88
45
Seção 3
Sistemas de Equações Homogêneas
Exemplo
 Resolver o sistema:
 Como
então a matriz A é não singular e, logo, existe A-1
 Assim,
89
1 2
1 2 3
1 2 3
 5 4 = 0
3 3 = 0
2 3 = 0
x x
x x x
x x x

  
  
5 4 0
-3 1 3
-2 3 1
A
 
 

 
  
52A  
1 1x A d A 0 0   
Seção 3
Sistemas de Equações Homogêneas
Exemplo (cont.)
 Se fossemos resolver por Cramer, teríamos
pois como , então as matrizes terão uma coluna toda 
igual a zero.
Assim, 
90
1 2 3 0A A A  
d 0
1
1
2
2
3
3
0
0
52
0
0
52
0
0
52
A
x
A
A
x
A
A
x
A
  

  

  

46
Seção 3
Sistemas de Equações Homogêneas
(cont.)
 Se no sistema homogêneo A for singular, então o 
sistema admitirá múltiplas soluções, incluindo a solução 
trivial
 Exemplo:
temos:
91
0Ax 
1 2 3
1 2
2 3
3 =0
2 = 0
 = 0
x x x
x x
x x
 


1 22x x  
3 2x x 
   2 2 22 3 0 0 0x x x      
1 3 1
1 2 0
0 1 1
A
 
 
  
  
0A 
Seção 3
Sistemas de Equações Lineares
Tipos de soluções
Vetor d
Determinante |A|
d ≠ 0
(sistema não homogêneo)
d = 0
(sistema homogêneo)
|A| ≠ 0 (matriz invertível)
Existe uma única solução 
não trivial x* ≠ 0
Existe uma única solução 
trivial x* = 0
|A| = 0 (matriz singular) 
Equações dependentes
Existe um número infinito 
de soluções (não incluindo a 
trivial)
Existe um número infinito 
de soluções (incluindo a 
trivial)
|A| = 0 (matriz singular) 
Equações inconsistentes
Não existe solução Não ocorre nunca.
92
47
Seção 3
Modelo de Mercado 
com Duas Mercadorias
 Considere um modelo 
de equilíbrio em um 
mercado com dois 
produtos que se 
relacionam entre si, e 
que tenham funções de 
oferta e demanda 
lineares.
1 1 1 1
0 1 1 2 2
1 1 1 1
0 1 1 2 2
1 1
d
s
d s
Q a a P a P
Q b b P b P
Q Q
  
  

93
2 2 2 2
0 1 1 2 2
2 2 2 2
0 1 1 2 2
2 2
d
s
d s
Q a a P a P
Q b b P b P
Q Q
  
  

Seção 3
Modelo de Mercado 
com Duas Mercadorias
1 1 1 1 1 1 1 1
0 1 1 2 2 0 1 1 2 2d sQ Q a a P a P b b P b P      
94
1 1 1 1 1 1
0 0 1 1 1 2 2 2( ) ( ) ( ) 0a b a b P a b P      
ou 1 1 2 2 0c P c P c  
2 2 2 2 2 2 2 2
0 1 1 2 2 0 1 1 2 2d sQ Q a a P a P b b P b P      
2 2 2 2 2 2
0 0 1 1 1 2 2 2( ) ( ) ( ) 0a b a b P a b P      
ou 1 1 2 2 0P P    
48
Seção 3
Modelo de Mercado 
com Duas Mercadorias
Solução por substituição
 Resolver, por substituição:
 Passo 1: isolando P1 na primeira equação
95
1 1 2 2 0
1 1 2 2 0
c P c P c
P P  
  

  
0 2 2 0 2 2
1 1 2 2 0 1
1 1
c c P c c P
c P c P c P
c c
  
      
Seção 3
Modelo de Mercado 
com Duas Mercadorias
Solução por substituição (cont.)
 Passo 2: substituindo o valor de P1 na segunda equação
96
0 2 2
1 1 2 2 0 1 2 2 0
1
c c P
P P P
c
     
 
        
 
0 12 1
2 2 0
1 1
cc
P
c c

 
 
     
 
0 1 1 01 2 2 1
2
1 1
c cc c
P
c c
    
  
 
0 1 1 0
2
1 2 2 1
c c
P
c c
 
 

 

49
Seção 3
Modelo de Mercado 
com Duas Mercadorias
Solução por substituição (cont.)
 Passo 3: substituindo o valor de P2 na expressão de P1
97
0 2 2
1
1
c c P
P
c

 
   
 
0 1 2 2 1 2 0 1 1 0
1
1 1 2 2 1
c c c c c c
P
c c c
   
 
   
 
  
0 1 2 0 2 1 0 2 1 1 2 0
1 1 2 2 1
c c c c c c c c
c c c
   
 
   


 
 
1 2 0 0 2
1
1 1 2 2 1
c c c
P
c c c
 
 

 

2 0 0 2
1
1 2 2 1
c c
P
c c
 
 

 

0 1 1 0
0 2
1 2 2 1
1
1
c c
c c
c c
P
c
 
 
 
   
 

Seção 3
Modelo de Mercado 
com Duas Mercadorias
Solução por inversão
 Resolver, por inversão:
 Invertendo por operações elementares:
 Passo 1:
98
1 1 2 2 0
1 1 2 2 0
c P c P c
P P  
  

  
01 2 1
01 2 2
, , ,
cc c P
Ax d A x d
P  
    
        
     
1 2
1 2
1 0
0 1
c c
 
 
 
 
2
1 1
1 2
1
1 0
0 1
c
c c
 
 
 
 
 
 
1
1
1
L
L
c

1 1: 0R c 
50
Seção 3
Modelo de Mercado 
com Duas Mercadorias
Solução por inversão
 Passo 2
 Passo 3
99
2 2 1 1L L L 
2
1 1
1 2
1
1 0
0 1
c
c c
 
 
 
 
 
 
2
1 1
2 1
2 1
1 1
1
1 0
0 1
c
c c
c
c c

 
 
 
 
 
  
 
1
2 2
1 2 2 1
c
L L
c c 
 

2
1 1
1 2 2 1 1
1 1
1
1 0
0 1
c
c c
c c
c c
  
 
 
 
 
 
 
2
1 1
1 1
1 2 2 2 1 2 2 1
1
1 0
0 1
c
c c
c
c c c c

   
 
 
 
 
 
  
Seção 3
Modelo de Mercado 
com Duas Mercadorias
Solução por inversão
 Passo 4
100
2
1 1 2
1
c
L L L
c
 
2 1 1
1 1 1 2 2 2 1 2 2 1
1 1
1 2 2 2 1 2 2 1
1
1 0
0 1
c c
c c c c c c
c
c c c c

   

   
  
   
   
 
 
   
2
1 1
1 1
1 2 2 2 1 2 2 1
1
1 0
0 1
c
c c
c
c c c c

   
 
 
 
 
 
  
51
Seção 3
Modelo de Mercado 
com Duas Mercadorias
Solução por inversão
101
Sabemos que 
2 1 1
01 1 1 1 2 2 2 1 2 2 1
02 1 1
1 2 2 2 1 2 2 1
1 c c
cP c c c c c c
P c
c c c c

   

   
  
   
                 
   
Logo,
Seção 3
Modelo de Mercado 
com Duas Mercadorias
 Ou pela regra de cramer
01 2 1
01 2 2
0 2 1 0
0 2 1 02 0 0 2 0 1 1 0
1 2
1 2 2 1 1 2 2 11 2 1 2
1 2 1 2
cc c P
P
c c c c
c c c c
Pe P
c c c cc c c c
 
      
   
   
    
     
     
    
   
     
   
    
   
   
102
52
Seção 3
Equilíbrio na Análise da Renda 
Nacional
 O modelo Keynesiano da Renda Nacional é dado por
onde 
Y – Renda Nacional (endógena)
C – Consumo (endógena)
I0 – Investimentos (exógena)
G0- Gastos Governamentais (exógena)
bYaC
GICY

 00
103
Seção 3
Equilíbrio na Análise da Renda 
Nacional
 Encontrando o equilíbrio por substituição
 
0 0
0 0
Y C I G
C a bY C a b C I G
  
      
104
0 0
1
a bI bG
C
b
 


Substituindo a expressão de Y como está na primeira equação
na segunda...
0 0
0 0 0 0
1
a bI bG
Y C I G Y I G
b
 
      

Substituindo a expressão de C na primeira equação...
0 0
1
a I G
Y
b
 


53
Seção 3
Equilíbrio na Análise da Renda 
Nacional
 Resolvendo por Cramer
0 0 0 0 
 
Y C I G Y C I G
C a bY bY C a
      
 
     
105
0 01 1
1
Y I G
b C a
      
     
     
Reescrevendo o sistema de forma que as variáveis endógenas fiquem 
isoladas no primeiro membro...
Forma matricial...
0 0 1
1
1 1
1
I G
a
Y
b
 



0 01
1 1
1
I G
b a
C
b





Resolvendo...
0 0
1
I G a
b
 


 0 0
1
a b I G
b
 


Seção 3
Equilíbrio na Análise da Renda 
Nacional
 Resolvendo pela Matriz Inversa
1
0 0 0 01 1 1 1
1 1
Y I G Y I G
b C a C b a

              
             
            
106
Calculando a inversa por cofatores
 
1 1
11 1 1 1C

  
   
 1
1 1
( )
det det
t
adj C  A A
A A
( 1)i jij ijC M
 
 
1 2
12 1C b b

   
 
2 1
21 1 1 1C

   
 
2 2
22 1 1 1C

  
1
1 1
b
C
 
  
 
1
1 1
1 11 1 1
1 11
1 1
b b
A
b bb
b b

 
    
    
   
   
54
Seção 3
Equilíbrio na Análise da Renda 
Nacional
0 0
1 1
1 1
1
1 1
Y I Gb b
C b a
b b
 
      
     
    
   
107
 
0 0
0 0
1 1
1 1
I G a
b b
b I G a
b b
 
  
 
 
 
  
 
0 0
0 0
1
1
I G a
b
b I G a
b
  
 
 
  
 
 
Seção 3
Modelos de Insumo-produto de 
Leontief
 Que nível de produto cada uma das n indústrias de uma 
economia deve produzir, de modo que seja exatamente 
suficiente para satisfazer a demanda total por aquele 
produto?
 O produto de cada indústria é insumo nas demais (e até nela 
mesma!) e depende dos produtos das demais como insumo 
para si mesma.
108
55
Seção 3
Modelo de Insumo Produto
premissas
1. Cada indústria produz apenas somente uma 
mercadoria homogênea;
2. Cada indústria utiliza uma razão fixa de insumos para 
a produção de seu produto
3. A produção de cada uma das indústrias está sujeita 
retornos constantes de escala
109
Seção 3
Modelo de Insumo Produto
estrutura
 Para produzir cada unidade da j-ésima mercadoria, são 
requeridas:
 a1j unidades da mercadoria 1,
 a2j unidades da mercadoria 2,
 ...
 anj unidades da mercadoria n.
 Unidades monetárias: a32 = 0,35 quer dizer que são 
necessários 35 centavos de produtos 3 para produzir 1 
dólar de produtos 2.
110
56
Seção 3
O Modelo Aberto
 É importante considerar a demanda final (que não é de 
produção) e de insumos primários (não industriais, 
como mão de obra).
111
11 12 13 1
21 22 23 2
31 32 33 3
1 2 3
Produto
Insumo I II III ...
I ...
II ...
III ...
...
n
n
n
n n n nn
N
a a a a
a a a a
a a a a
N a a a a
 
 
 
 
 
 
 
 
Seção 3
Insumos Primários
 Se existem insumos que não estão na matriz A, então a 
soma dos elementos de sua coluna deve ser
e, como o valor do produto ($1) deve ser totalmente 
absorvido pelos fatores de produção, então os custos dos 
insumos primários totalizam:
112
1
1
n
ij
i
a


0
1
1
n
j ij
i
a a

 
57
Seção 3
Nível de produção
 Se a indústria I fabricar exatamente o suficiente para as 
n indústrias e para a demanda do setor aberto, então:
que pode ser reescrita como:
113
1 11 1 12 2 1 1... n nx a x a x a x d    
 11 1 12 2 1 11 ... n na x a x a x d    
Seção 3
A matriz de Leontief
 Aplicando para todos os produtos, em notação 
matricial, temos:
 E assim, 
114
 
 
 
11 12 1 1 1
21 22 2 2 2
1 2
1 ...
1 ...
... 1
n
n
n n nn n n
a a a x d
a a a x d
a a a x d
       
    
      
    
               
 
1
x I A d

 
 I A x d 
58
Seção 3
Exemplo
 Somente três indústrias na economia:
 Sistema de insumo produto:
115
0,2 0,3 0,2
0,4 0,1 0,2
0,1 0,3 0,2
A
 
 
  
 
 
insumos
primários
01 1
1
1 0,3
n
i
i
a a

  
02 2
1
1 0,3
n
i
i
a a

  
03 3
1
1 0,4
n
i
i
a a

  
1 1
2 2
3 3
0,8 0,3 0,2
0,4 0,9 0,2
0,1 0,3 0,8
x d
x d
x d
      
    
      
         
 I A x d 
Seção 3
Exemplo (cont.)
 Dada uma economia onde a matriz de Leontief é 
 Quanto deve ser produzido pelas indústrias 1, 2 e 3 de 
forma a atender uma demanda de 10, 5 e 6 de cada um 
de seus produtos, respectivamente?
 E se a demanda for de 11, 5 e 3,5?
116
0,2 0,3 0,2
0,4 0,1 0,2
0,1 0,3 0,2
A
 
 
  
 
 
59
Seção 3
Exemplo
(cont.)
 Invertendo a matriz (I – A) temos a solução
 Se a demanda final for de 10, 5 e 6 bilhões de dólares, 
respectivamente, como fica a solução? 
117
 
1
x I A d

 
1 1
2 2
3 3
0,66 0,30 0,24
1
0,34 0,62 0,24
0,384
0,21 0,27 0,60
x d
x d
x d
    
    
    
    
    
1
2
3
24,84
20,68
18,36
x
x
x
   
   
   
  
  
Seção 3
Exemplo
(cont.)
 Invertendo a matriz (I – A) temos a solução
 Se a demanda final for de 11, 5 e 3,5 bilhões de dólares, 
respectivamente, como fica a solução? 
118
 
1
x I A d

 
1 1
2 2
3 3
0,66 0,30 0,24
1
0,34 0,62 0,24
0,384
0,21 0,27 0,60
x d
x d
x d
    
    
    
    
    
𝑥1
𝑥2
𝑥3
=
25
20
15
60
Seção 3
Exemplo
(cont.)
 Qual o total de insumo primário necessário?
 Qual o nível de esforço para obter uma nova solução se 
houver uma alteração na demanda final?
119
0
1
n
j j
j
a x

      0,3 24,84 0,3 20,68 0,4 18,36 21   
Seção 3
A existência de soluções não negativas
 Condição de Hawkins e Simons:
 Dados:
a. Uma matriz nxn B, com bij ≤ 0 (i ≠ j) e
b. Um vetor nx1, d ≥ 0,
 Existe um vetor nx1 x* ≥ 0, tal que Bx* = d, se e somente se 
|Bm| > 0 (m = 1, 2, ..., n)
120
11 12 13
21 22 23
31 32 33
b b b
B b b b
b b b

11 12 13
3 21 22 23
31 32 33
b b b
B b b b
b b b

11 12
2
21 22
b b
B
b b
1 11B b
61
Seção 3
Significado Econômico para a
Condição de Hawkins-Simon
 Para o caso de duas indústrias
121
11 12
21 22
1
1
a a
B I A
a a
 
  
 
1 0B 
11 111 0 1a a   
2 0B 
  
 
11 22 12 21
11 12 21 11 22
1 1 0
1 1
a a a a
a a a a a
   
    
Como e111 0a  22 0a 
Então 11 12 21 1a a a 
Seção 3
Modelo fechado
 Se incluirmos os insumos primários e as demandas 
finais como sendo uma indústria nova (índice 0), o 
modelo se tornará um modelo fechado:
122
 
 
 
 
000 01 02 03
110 11 12 13
220 21 22 23
330 31 32 33
1 0
1 0
1 0
1 0
xa a a a
xa a a a
xa a a a
xa a a a
        
    
       
       
             
0
1
1
n
j ij
i
a a

 Como , temos |B| = 0, e o sistema admite 
infinitas soluções, sem incluir a trivial.