CALCULO UNIDADE 03 INTERPRETAÇÃO GEOMETRICA DA DERIVADA

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Interpretação geométrica da derivada — 
Regras de derivação e suas aplicações
APRESENTAÇÃO
A relação entre duas ou mais variáveis por meio do conceito de função tem seu entendimento 
simplificado nos dias de hoje, mas por muitos anos foi um grande desafio. 
A partir do século XVII, com a introdução das coordenadas cartesianas, foi possível relacionar 
problemas geométricos com problemas algébricos. Ainda havia um problema, porém, conhecido 
como "problema da tangente", que consistia na dificuldade de estabelecer uma curva que 
encontrava outra em um único ponto. 
Assim, mediante muitos esforços, foi possível determinar uma reta tangente, a partir de uma reta 
secante, utilizando o conceito de derivada em determinado ponto da curva.
Nesta Unidade de Aprendizagem, você vai aprender o conceito geométrico da derivada, sua 
expressão analítica, bem como regras que facilitam o cálculo, e ainda suas aplicações.
Bons estudos.
Ao final desta Unidade de Aprendizagem, você deve apresentar os seguintes aprendizados:
Interpretar a derivada como coeficiente angular da reta tangente a uma curva em um dado 
ponto.
•
Introduzir técnicas de derivação.•
Utilizar as regras de derivação em problemas aplicados.•
DESAFIO
No estudo da fisiologia, o débito cardíaco (DC) representa a quantidade de sangue 
bombeado por unidade de tempo. O DC está em função da frequência cardíaca (FC) e também 
do volume de injeção. 
No exercício físico, a fim de manter os músculos oxigenados, a frequência cardíaca e o volume 
injetado têm seus valores alterados, o que consequentemente altera o valor do débito cardíaco. 
Veja a situação a seguir e responda ao Desafio.
A partir do gráfico, calcule a derivada dessa função no ponto P (300,13). Observe que a reta 
tangente à curva, que passa por esse ponto, também passa pelo ponto Q (900,25). Escreva a lei 
de formação dessa reta tangente. 
INFOGRÁFICO
A derivada de uma função pode ser obtida por meio de sua definição ou a partir das regras de 
derivação. Dentre todas as regras de derivação, as mais comumente utilizadas são as que 
envolvem as operações básicas de soma, subtração, produto e quociente entre funções. 
As regras de derivação são facilmente comprovadas mediante sua definição, mas são utilizadas 
com o intuito de facilitar as operações com derivadas.
No Infográfico a seguir, você vai ver uma introdução às regras de derivação e entender como 
aplicá-las.
CONTEÚDO DO LIVRO
Trabalhar com funções sempre requer ferramentas matemáticas que auxiliam no entendimento 
das relações entre as variáveis e ainda contribuem para as operações. 
A derivada tem uma expressão algébrica e uma interpretação geométrica particular. Sua 
interpretação geométrica foi por muitos anos um grande problema na área do cálculo, mas hoje é 
a solução para muitos problemas.
No capítulo Interpretação geométrica da derivada — regras de derivação e suas aplicações, do 
livro Cálculo (aplicado à saúde), você vai entender como se estabelece a derivada em sua forma 
geométrica e também como algumas regras de derivação auxiliam nas operações do cálculo.
CÁLCULO 
APLICADO 
À SAÚDE
Claudia Abreu Paes
Interpretação geométrica 
da derivada — Regras de 
derivação e suas aplicações
Objetivos de aprendizagem
Ao final deste texto, você deve apresentar os seguintes aprendizados:
 � Interpretar a derivada como coeficiente angular da reta tangente a 
uma curva em um dado ponto.
 � Introduzir técnicas de derivação.
 � Utilizar as regras de derivação em problemas aplicados.
Introdução
Ao estabelecer uma relação entre duas variáveis em forma de função, 
é possível avaliar a variação de uma variável, à medida que outra varia, 
por meio da derivada. Essa interpretação remete às taxas de variação.
A derivada pode ser interpretada de modo geométrico. Quando 
observamos a representação gráfica de uma função — uma curva qual-
quer —, a derivada tem um sentido particular em relação a uma curva 
e um ponto local.
Neste capítulo, você vai estudar a forma como uma derivada pode ser 
interpretada geometricamente, além das regras aplicadas em operações 
matemáticas que facilitam o seu cálculo.
Derivada como coeficiente angular da reta 
tangente a uma curva em um dado ponto 
Ao definir a derivada, podemos utilizar três conceitos igualmente importantes. 
A derivada pode ser entendida como a inclinação da reta tangente a uma 
curva, como uma taxa de variação e como o limite de uma razão incremental 
(ROGAWSKI; ADAMS, 2018). Neste capítulo, vamos identificar a derivada 
como a inclinação da reta tangente e conhecer algumas regras de derivação.
A derivada é definida como a inclinação de uma reta tangente à curva, ou 
seja, o coeficiente angular da reta tangente, e podemos iniciar o cálculo com 
base nessa definição. Dadas uma curva f(x) e uma reta r tangente a essa curva 
que passe pelo ponto P = (x1,y1) ou P = (x1, f(x1)), temos a seguinte ilustração 
(Figura 1).
Figura 1. Reta tangente a uma curva.
Fonte: Adaptada de Rogawski e Adams (2018, p. 113).
y y = f(x)
P = (x1,y1)
y1
x1
x
Reta r,
tangente a f(x)
Apenas com uma única informação da reta tangente, o ponto P, não con-
seguiremos definir o coeficiente angular dessa reta. Para chegarmos ao valor 
do coeficiente angular da reta tangente, precisamos de, ao menos, dois pontos. 
Então, vamos considerar um segundo ponto, o ponto Q, pertencente à curva 
y = f(x), onde Q = (x2,y2) ou Q = (x2,f(x2)). Ao traçar uma nova reta, a reta s, 
que passe pelo ponto P e pelo ponto Q, encontrando a inclinação dessa reta, 
conseguiremos, por meio do conceito de limite, chegar à inclinação da reta r. 
As etapas para o cálculo da inclinação da reta r são:
1. traçar uma reta secante, a reta s;
2. calcular a inclinação da reta s;
3. chegar à inclinação da reta r.
Interpretação geométrica da derivada — Regras de derivação e suas aplicações2
Acesse o link a seguir para aprender mais sobre a reta tangente e sobre a reta secante 
a uma curva.
https://goo.gl/QNgC4a
Ao escolher um ponto Q sobre a curva e traçar uma nova reta, temos a 
seguinte configuração (Figura 2).
Figura 2. Reta tangente e reta secante à curva.
Fonte: Adaptada de Rogawski e Adams (2018, p. 113).
y
xx1 x2
f(x2)
y = f(x)
f(x1)
Q = (x2,f(x2))
P = (x1,f(x1))
Reta s,
reta secante a f(x)
Reta r,
tangente a f(x)
Observe que a reta s, que passa pelos pontos P e Q, é uma reta secante à 
curva y = f(x). Para obter a inclinação da reta s, basta calcular o coeficiente 
angular dessa reta, dada por:
3Interpretação geométrica da derivada — Regras de derivação e suas aplicações
Podemos reescrever essa equação em função da variação de x da seguinte 
maneira:
Veja que o x2 é o x1 somado ao intervalo entre x1 e x2, que denotamos ∆x. 
Substituindo x2 na equação x2 = ∆x + x1, temos:
Assim, definimos o coeficiente angular da reta s, a reta secante à curva. 
Não podemos esquecer de que o nosso objetivo é chegar à inclinação da reta 
tangente.
Avalie o seguinte: entre o ponto P e o ponto Q, temos uma variação em x de 
∆x. Se movimentarmos o ponto Q aproximando-o do ponto P, o ∆x entre esses 
pontos será menor. Se movimentarmos o ponto Q para uma distância cada vez 
menor do ponto P, o ∆x tenderá a diminuir cada vez mais, fazendo com que 
a reta secante se aproxime progressivamente da reta tangente (ROGAWSKI; 
ADAMS, 2018). Observe a Figura 3.
Se calcularmos ∆x tendendo a zero e aplicarmos na fórmula da inclina-
ção da reta s, chegaremos ao valor da inclinação da reta r. Isso se define da 
seguinte maneira:
Podemos observar que, ao calcular a inclinação da reta tangente, estamos 
utilizando o conceito de derivada.
Interpretação geométrica da derivada — Regras de derivação e suas aplicações4
Figura 3. As retas secantes tendem para a reta tangente quando Q tende para P. 
Fonte: Rogawski e Adams (2018, p. 113).
Q
Q
Q
Q
P
P P
P
y
x1 x2
x
y
x1 x2
x
y
x1 x2
x
y
x1 x2
x
A derivada de uma função y = f(x), em um ponto x0, pode ser definida, se o limite 
existir,como:
Entendendo o ∆x como um incremento no x1, essa definição também é 
conhecida como limite da razão incremental. 
5Interpretação geométrica da derivada — Regras de derivação e suas aplicações
Para representar a derivada y = f(x), as seguintes notações são comumente 
utilizadas:
A seguir, veja um exemplo contextualizado.
O gráfico a seguir representa a função y = x². Observe que temos uma reta tangente 
em x = 1.
y
y = x2
–2 1 3 x
Note que, se quisermos descobrir a lei de formação da reta tangente, ou simplesmente 
calcular a sua inclinação, podemos utilizar o conceito da derivada no cálculo.
O coeficiente angular da reta tangente ao ponto x = 1 é a derivada no ponto x = 1. Veja:
Sendo x0 = 1, temos:
Interpretação geométrica da derivada — Regras de derivação e suas aplicações6
Veja que o coeficiente angular da reta tangente à curva no ponto x = 1 é a = 2.
Técnicas de derivação
Existem algumas técnicas de derivação que facilitam o cálculo da derivada. 
Essas técnicas são facilmente demonstradas a partir da definição de derivada 
utilizando o conceito de limites. Neste capítulo, abordaremos algumas téc-
nicas de derivação que permitem calcular derivadas de funções algébricas. 
Contudo, a partir da definição de derivada, também é possível deduzir regras 
de derivação para as funções trigonométricas, exponenciais e logarítmicas. 
Regra da constante
Dada uma função constante f(x) = constante, a derivada dessa função é zero. 
Avalie que a derivada representa a inclinação de uma reta. Se uma função é 
constante, ela é paralela ao eixo das abscissas, logo, não há inclinação. 
Teorema: dada uma função constante y = c, c representa um número real qualquer, 
e a derivada de y é 0. 
f ’(c) = 0
Exemplos:
7Interpretação geométrica da derivada — Regras de derivação e suas aplicações
Regra da potência
Dada uma função f(x) = xn, onde x é um expoente qualquer, a regra de derivação 
para esses casos é a seguinte.
Teorema: dada uma função f(x) = xn, a derivada dessa função será:
f(x) = xn
f ’(x) = nxn – 1
Exemplos:
f(x) = x3
f’(x) = 3x2
f(x) = x4
f’(x) = 4x3
Interpretação geométrica da derivada — Regras de derivação e suas aplicações8
Regra da linearidade: soma e diferença
Vamos supor que f e g sejam duas funções diferenciáveis. Há uma regra de 
soma e diferença que propõe o seguinte.
Regra da soma e diferença: f + g e f – g são deriváveis e:
(f + g)’ = f ’ + g’
(f – g)’ = f ’ – g’
Regra constante vezes uma função: sendo f uma função diferençável e c um número 
real qualquer, temos que:
(cf(x))’ = c ∙ f ’(x)
Exemplos:
Regra do produto e do quociente
Vamos supor que f e g sejam duas funções diferenciáveis. Há uma regra 
de produto e quociente que propõe o seguinte.
9Interpretação geométrica da derivada — Regras de derivação e suas aplicações
Regra do produto: sendo (f · g),
Regra do quociente: sendo ,
Exemplos:
Aplicando a regra, temos:
Regras de derivação em problemas aplicados 
O conceito de derivada pode ser aplicado em diversas situações. Sempre que 
conseguirmos estabelecer uma função e quisermos avaliar a variação de uma 
variável, à medida que outra varia, utilizamos o conceito de derivação.
Interpretação geométrica da derivada — Regras de derivação e suas aplicações10
Um corpo tem sua temperatura medida em Fahrenheit em função do tempo, em 
minutos. A função que descreve essa relação é a seguinte:
T(t) = 2t² – 15t + 250
A taxa de resfriamento, em um dado tempo t, é dada por meio da derivação da 
função T em relação ao tempo. Observe:
Calculando para t = 10 minutos, temos:
O corpo resfria em 25°F a cada minuto.
A Terra exerce uma força gravitacional de (em newtons) sobre 
um objeto com uma massa de 75 kg, onde r é a distância (em metros) do centro da 
Terra. Encontre a taxa de variação da força em relação à distância r na superfície da 
Terra, supondo que o raio da Terra seja de 6,77 × 106 m.
Ao falar em taxa de variação, estamos falando de derivada. Logo, a questão quer 
saber qual é a derivada da função F em relação a r, no ponto r = 6,77 × 106 m.
Vamos derivar a função:
11Interpretação geométrica da derivada — Regras de derivação e suas aplicações
Utilizando o teorema da derivada de um quociente,
Temos:
Em r = 6,77 × 106 m,
Assim, definimos a força F a uma distância de r = 6,77 × 106 m.
ROGAWSKI, J.; ADAMS, C. Cálculo. 3. ed. Porto Alegre: Bookman, 2018. v. 1.
Leituras recomendadas
ANTON, H.; BIVENS, I.; DAVIS, S. Cálculo. 10. ed. Porto Alegre: Bookman, 2014. v. 1.
PROFESSOR FERRETO. Relações métricas na circunferência. [2018]. Disponível em: <http://
www.professorferretto.com.br/relacoes-metricas-na-circunferencia/>. Acesso em: 2 
dez. 2018.
Referência
Interpretação geométrica da derivada — Regras de derivação e suas aplicações12
Conteúdo:
DICA DO PROFESSOR
O uso da derivada é constante em diversas áreas. A derivada possibilita obter informações e 
características de diversos comportamentos. 
Na física, por exemplo, é possível, a partir de uma função entre o espaço percorrido por um 
corpo em relação ao tempo, definir a velocidade e a aceleração alcançada.
Uma das áreas do cálculo é o estudo do movimento. Estabelecer função horária, velocidade e 
aceleração é fundamental para o estudo do movimento, e isso é possível devido à utilização da 
derivada.
Na Dica do Professor, você vai ver como a derivada estabelece novos conceitos a partir de uma 
função. No caso do estudo do movimento, a partir da derivada da função horária, é possível 
estabelecer a função da velocidade em relação ao tempo e ainda determinar a aceleração.
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EXERCÍCIOS
1) Seja uma função f(x). A reta tangente a essa curva no ponto P é y= 5x+3. Determine a 
derivada dessa função no ponto P.
A) A derivada da função é 8.
B) A derivada da função é 5.
C) A derivada da função é 3.
D) A derivada da função é 2.
E) A derivada da função é -2.
2) Determine a derivada da função f(x) = 5x9.
A) F’(x) = 5x8.
B) F’(x) = 40x9.
C) F’(x) = 9x5.
D) F’(x) = 14x8.
E) F’(x) = 45x8.
3) Determine a derivada da função f(x)= 4x•(2x2-3).
A) F’(x) = 4(2x-3).
B) F’(x) = 8x2-3.
C) F’(x) = 24x2-3.
D) F’(x) = 24x2-12.
E) F’(x) = 24x2.
4) Determine a derivada da função f(x) (3x2+1)/(2x).
A) f' (x)= (12x2-4x)/2.
B) f' (x)= (6x2-1)/2x2.
C) f' (x)= (3x2-1)/2x2.
D) f' (x)=(3x2-2x)/2x2
E) f' (x)=(6x2-2)/2x2.
5) Determine a derivada da função f(x) = x3- 4x2+3x+2.
A) f' (x)=3x2-8x+5.
B) f' (x)=3x2-8x+3.
C) f’ (x)=x2-8x+3.
D) f’ (x)=3x2-6x+3.
E) f’ (x)=3x2-8x-3.
NA PRÁTICA
A derivada e suas interpretações se aplicam na solução de diversos problemas. A partir da 
definição geométrica da derivada – a inclinação de uma reta tangente a uma curva –, pode-se 
entender a análise de variação entre duas variáveis.
No cálculo do coeficiente angular de uma reta, como função de x e y, se calcula a razão entre a 
variação de y e a variação de x. Estabelecendo uma reta como o gráfico de um dado 
comportamento, sempre será possível avaliar a taxa de variação entre uma variável e outra.
No anexo a seguir, você vai ver na prática de que modo a derivada pode ser interpretada como 
sendo o coeficiente angular de uma reta, representando a variação entre duas variáveis. 
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SAIBA MAIS
Para ampliar o seu conhecimento a respeito desse assunto, veja abaixo as sugestões do 
professor:
Fisiologia do exercício
Acesse o artigo a seguir e aprenda mais sobre importantes conceitos do sistema cardiovascular, 
como a frequência cardíaca, o volume sistólico e o débito cardíaco.
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Derivada
Amplie seus conhecimentos do uso da derivada e aprenda ainda mais sobre as regras de 
derivação.
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Calculadora de derivadas
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