Transformada Z - RS

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Semelhante ao apresentado anteriormente, entre a rela-
ção das transformadas de Fourier e de Laplace, será vis-
to que a generalização da representação senoidal comple-
xa de um sinal de tempo discreto pela DTFT, será reali-
zada em termos de sinais exponenciais complexos pela
transformada Z.
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A transformada Z será apresentada, definindo ,
ou seja um número complexo de módulo e fase . 
Admite-se então o sinal como sendo um sinal
exponencial complexo que pode ser expresso na forma
sendo o fator de amortecimento e a frequência do si-
nal senoidal.
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Considera-se então o sinal aplicado a um sistema
de tempo discreto com resposta ao impulso , ou
seja: 
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Substituindo obtém-se
Define-se então 
como sendo a função de transferência do sistema, de 
forma que . 
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Observa-se então que é uma autofunção associada ao
autovalor . A função de transferência do sistema,
também pode ser representada na forma polar, ou seja,
, sendo possível escrever o sinal de
saída do sistema como
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Substituindo , obtém-se:
Observa-se, pela comparação entre o sinal aplicado a 
entrada do sistema, , e o sinal de saída , que o 
sistema altera a amplitude do sinal de entrada pelo fator
e desloca a fase em . 
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Uma vez que
pode-se reescrever , considerando na forma 
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Conclui-se então que corresponde a DTFT de 
, logo, a DTFT inversa de pode ser escri-
ta na forma
ou ainda 
.
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Uma vez que pode-se realizar a troca de variá-
veis, sendo , logo 
sendo denota que a integração é realizada ao longo de
um círculo de raio . 
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Para um sinal arbitrário tem-se então
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e
Transforma Z Inversa
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Ou ainda, a relação entre e é expressa na 
forma
.
Uma vez que , deve-se ter 
De forma a garantir a somabilidade de . 
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A faixa de valores de que satisfaz esta condição é
denominada de Região de Convergência. Conclui-se
então, que a transformada Z existirá para sinais que 
não tem DTFT.
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Pode-se representar o número complexo por sua loca-
lização no plano complexo, denominado de Plano Z,
na forma 
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Observa-se que se for absolutamente somável, a
DTFT é obtida da transformada Z, fazendo-se ,
sendo na equação
.
A relação descreve um círculo de raio unitário
com centro na origem do Plano Z. 
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A frequência da DTFT corresponde ao ponto do círcu-
lo de raio unitário com ângulo em relação ao eixo real
positivo.
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Exemplo 7.1: Determinar a transformada Z do sinal
.
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É comum encontrar-se a transformada Z de um sinal ou
da função de transferência discreta de um sistema na for-
ma de uma função racional em , ou seja: 
ou ainda
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Sendo as raízes do polinômio do numerador, ou os 
zeros de , e as raízes do denominador, ou os
pólos de .
Exemplo 7.2: Determinar a transformada Z do sinal
juntamente com a RDC e as localizações dos pólos e 
zeros de no Plano Z. 
PPóólos, Zeros e RDClos, Zeros e RDC
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Exemplo 7.3: Determinar a transformada Z do sinal
juntamente com a RDC e as localizações dos pólos e 
zeros no Plano Z.
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PPóólos, Zeros e RDClos, Zeros e RDC
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Exemplo 7.4: Determinar a transformada Z do sinal
juntamente com a RDC e as localizações dos pólos e 
zeros no Plano Z.
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Exercício 7.1: Determinar a transformada Z, a RDC e 
a localização dos pólos e zeros de para 
.
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Exercício 7.2: Determinar a transformada Z, a RDC e 
a localização dos pólos e zeros de para 
.
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A maioria das propriedadesda transformada Z é análoga
as da DTFT. Nas propriedades apresentadas a seguir 
supõe-se que
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Linearidade: A transformada Z de uma soma de sinais é
igual a soma das transformadas Z individuais, ou seja,
.
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Exemplo 7.6: Suponha que
avaliar as transformadas Z de . 
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Inversão no Tempo: 
Ou reflexão, corresponde a substituir por . 
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Deslocamento no Tempo:
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Multiplicação por Sequência Exponencial:
Admitindo que seja um número complexo
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Convolução:
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Diferenciação no Domínio Z:
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Exemplo 7.7: Determinar a transformada Z do sinal
Exemplo 7.8: Determinar a transformada Z do sinal
Exercício 7.4: Determinar a transformada Z de