Relatório Pêndulo Simples

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Universidade Federal do Ceará – UFC 
Centro de Ciências 
Departamento de Física 
Disciplina de Física Experimental para Engenharia 
Semestre 2018.1 
 
 
 
 
 
 
 
PRÁTICA 03 
PÊNDULO SIMPLES 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Aluno (A): Robson Nonato Oliveira da Silva 
Curso: Bacharelado em Engenharia Elétrica 
Matrícula: 413141 
Turma: 09A 
Professor: Victor Nocrato Moura 
Data de realização da prática: 12/03/2018 
Horário de realização da prática: 16:00 -18:00 
 
26/04/2018 
Sumário 
 
1. Objetivos ............................................................................................................... 01 
2. Material.................................................................................................................. 01 
3. Introdução ............................................................................................................. 02 
4. Procedimento experimental .................................................................................. 05 
5. Questionário .......................................................................................................... 08 
6. Conclusão................................................................................................................11 
7. Bibliografia ......................................................................................................... . 12 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
1. Objetivos 
Verificar as leis do pêndulo. 
Determinar a aceleração da gravidade local. 
 
2. Material 
 
- Pedestal de suporte com transferidor; 
- Massas aferidas m1 e m2; 
- Cronômetro (alternativamente pode ser usado a função cronômetro de um celular); 
- Fita métrica; 
- Fio (linha zero). 
 
01 
3. Introdução 
O pêndulo simples foi arquitetado pelo físico, astrônomo, matemático e filósofo 
Galileu Galilei, que se ateve bastante no estudo referente ao movimento dos corpos, 
desenvolveu pesquisas que posteriormente serviram de base para Isaac Newton na 
descrição das três leis do movimento. As observações de Galileu sobre as oscilações de 
um pêndulo surgiu antes mesmo do desenvolvimento de relógios de alta precisão, dessa 
forma o físico utilizou da contagem de pulsações sanguíneas para comparar os períodos 
de oscilações com maior e menor amplitude, constatando assim que não havia diferença 
entre estes tempos. 
O estudo de Galileu sobre o movimento possibilitou que o médico e fisiologista 
Santorio Santorio desenvolvesse o primeiro contador de pulsos (pulsilogium) utilizado 
por médicos nos hospitais da época, pois como o período de oscilação dependia 
unicamente do tamanho do fio, foi padronizado um comprimento que tornava possível 
comparar o período de oscilação do pêndulo com uma determinada quantidade de 
pulsações do paciente. 
Com o estudo mais aguçado dos movimentos, tornou-se possível através do 
Movimento Harmônico Simples, compreender a física envolvida no pêndulo. 
 
 
Para analisar o movimento do pêndulo necessita-se conhecer o princípio da 
segunda Lei de Newton, descrita pela equação: F= m.a, onde “F” é força, “m” é massa e 
“a” é aceleração. Deve-se também compreender alguns termos que serão utilizados, são 
eles: 
Figura 2: Funcionamento do Pêndulo. Fonte: Ebah. 
02 
Período: intervalo gasto para realizar uma oscilação completa, ou seja, ida e volta; 
Elongação: ângulo formado entre o pêndulo e a posição inicial é um dado instante; 
Amplitude: é a elongação máxima alcançada por um pêndulo, ou seja, o maior ângulo 
formado. 
Analisando a figura 2 é possível observar todas as forças envolvidas no 
movimento de pêndulo simples. É importante salientar que o fio utilizado é 
inextensível, ou seja, não aumenta seu comprimento assim como a massa apresenta 
características puntiformes. Verifica-se que um corpo é deslocado da sua posição inicial 
(B) até uma posição final (C), formando um certo ângulo θ com a origem. Decompondo 
a força peso (P) obtemos uma componente Py e uma componente Px, observando a 
figura constata-se que a resultante entre a componente P.cosθ (mg.cosθ) e a força tração 
(T), é a aceleração centrípeta. 
Como o movimento descrito pelo pêndulo tem características de um movimento 
harmônico simples, ou seja, o corpo retorna ao ponto inicial após uma oscilação, 
conclui-se que para tal fato deve-se existir uma força restauradora proporcional ao 
deslocamento, em sentido oposto a este. Esta força é representada pela equação: 
F = -mg.senθ. (Eq.1) . 
 Para o estudo desse movimento é necessário que sejam feitas algumas 
aproximações quanto ao senθ, dessa forma, como podemos notar na figura 3, quando 
um determinado ângulo tende a 0, pode-se dizer que o seno deste ângulo é igual ao 
próprio ângulo. Está aproximação restringe-se aos ângulos menores que π/12 (15º). 
 
 
Na figura 2, é possível notar que senθ=CB/L, como visto anteriormente, é 
possível aproximar senθ ao próprio θ, dessa forma, substituindo na equação 1, tem-se: 
F = -mg(CB/L). (Eq.2). 
Por conta de se tratar de um MHS, tem-se que m, g e L são grandezas 
constantes, logo tem-se que: 
K= mg/L. (Eq.3). 
Figura 3: Limites. Fonte: SlideShare. 
03 
Dessa forma é possível reescrever a equação 2 da seguinte forma: 
F = -K CB. (Eq. 4). 
Tomando que o período (T) de um movimento harmônico simples é descrito por: 
T= 2π . (Eq. 5). 
 Substituindo o valor de K, representado na equação 3, na equação 5, obtêm-se: 
 . (Eq. 6). 
 A equação 6 representa o período de um pêndulo simples, que depende 
unicamente do comprimento do fio de da gravidade. 
 É possível obter a equação que determina a aceleração da gravidade 
manipulando a equação 6, dessa forma, elevando os dois membros da equação ao 
quadrado, obtêm-se a seguinte sentença: 
 
 
 
 . (Eq. 7). 
 Reorganizando a equação 7, é obtida a seguinte equação: 
 = 
 
 
 L. (Eq. 8). 
É possível obter a gravidade através do gráfico da equação 8, ou seja T
2
 versos 
L, pois como o e a gravidade são constantes, logo o T2 só irá variar em função do 
comprimento do fio L. 
Dessa forma manipulando a equação 8, tem-se: 
 
 
 = 
 
 
. (Eq. 9). 
 Isolando a gravidade na equação 9, obtêm-se uma equação que relaciona 
diretamente a gravidade com a variação do comprimento do fio e inversamente com a 
variação do período ao quadrado. 
 
 
 
 
 
 
 . (Eq. 10). 
 
 
 
 04 
4. Procedimento experimental 
1. Primeiramente foram anotadas as massas dos corpos que foram utilizados na 
prática, segue abaixo os resultados: 
m1(massa menor) = 50g 
m2(massa maior) = 100g 
 
2. Posteriormente foi ajustado o comprimento do fio da pêndulo para 20cm, 
mensurados do ponto de suspensão até o centro de gravidade do corpo; 
3. A primeira série de experimentos foi realizada com uma elongação de 15º, sendo 
cronometrado o tempo necessário para que o pêndulo oscilasse 10 vezes. Para cada 
comprimento do fio foram realizadas três repetições, a fim de calcular a média. 
Posteriormente foram realizados os mesmos testes para os comprimentos de 
40cm, 60cm, 80cm, 100cm, 120cm e 140cm. Segue abaixo a tabela 1 contendo os 
resultados obtidos: 
Tabela 1: Resultados experimentais para o pêndulo simples. 
L (cm) θ (graus) m(gramas) 10T(s) T(s) T2(s2) 
L1=20 θ1=15 m1=50 10T1=8,8 10T1=8,9 10T1=8,9 T1=0,89 T
2
1=0,79 
L2=40 θ1=15 m1=50 10T2=12,3 10T2=12,5 10T2=12,5 T2=1,24 T
2
2=1,54 
L3=60 θ1=15 m1=50 10T3=15,0 10T3=15,5 10T3=15,2 T3=1,52 T
23=2,31 
L4=80 θ1=15 m1=50 10T4=17,5 10T4=17,6 10T4=17,8 T4=1,76 T
2
4=3,10 
L5=100 θ1=15 m1=50 10T5=19,9 10T5=20,0 10T5=19,9 T5=1,99 T
2
5=3,96 
L6=120 θ1=15 m1=50 10T6=21,6 10T6=21,6 10T6=21,7 T6=2,16 T
2
6=4,66 
L7=140 θ1=15 m1=50 10T7=23,4 10T7=23,8 10T7=23,3 T7=2,35 T
2
7=5,52 
 
4. A quarta etapa da prática teve como objetivo buscar a relação entre a amplitude 
e o período, dessa forma, foram realizadas duas séries de repetições com a mesma 
massa de 50g e com comprimento do fio de 150cm, porém na primeira série a elongação 
máxima foi de 15º e na segunda série a elongação foi de 10º. 
05 
Segue abaixo a tabela 2, a qual contém todas as informações obtidas nos testes 
citados acima. 
Tabela 2: Resultados experimentais para o estudo da influência da amplitude 
sobre o período do pêndulo simples. 
L (cm) θ (graus) m(gramas) 10T(s) T(s) 
L=150 θ1=15 m1=50 10T8=24,4 10T8=24,3 10T8=24,4 T8=2,44 
L=150 θ2=10 m1=50 10T9=24,1 10T9=24,2 10T9=24,3 T9=2,42 
 
5. Por fim, foi verificada a influência da massa no período do pêndulo simples, 
para isso foram realizadas duas séries de testes, ambas com uma elongação de 10º e 
comprimento do fio igual a 150 cm, porém na primeira série os testes foram com a 
massa de 50g e na segunda com a massa de 100g. Segue abaixo a tabela que fornece os 
resultados obtidos: 
Tabela 3: Resultados experimentais para o estudo da influência da massa sobre o 
período do pêndulo simples. 
L (cm) θ (graus) m(gramas) 10T(s) T(s) 
L=150 θ1=10 m1=50 10T8=24,3 10T8=24,4 10T8=24,3 T8=2,44 
L=150 θ2=10 m2=100 10T9=24,6 10T9=24,6 10T9=24,2 T9=2,42 
 
6. Segue abaixo o gráfico de T em função de L, obtido pela tabela 1. 
 
06 
Gráfico 1: T x L. Fonte: Autor. 
7. Segue abaixo o gráfico de T
2
 em função de L, obtido pela tabela 1. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 07 
Gráfico 2: T
2
 x L. Fonte: Autor. 
5. Questionário 
1) Dos resultados experimentais é possível concluir-se que os períodos independem das 
massas ? Justifique. 
De acordo com os resultados obtidos na terceira parte do experimento, que está 
demonstrada na tabela 3, onde foi analisada a influência da massa do pêndulo no seu 
período, podemos afirmar que a massa não possui influência sobre o período, pois a 
média do período utilizando a massa de 50g foi de 2,44s, enquanto quando foi utilizada 
a massa de 100g, o período obtido foi de 2,42s. Dessa forma podemos concluir que a 
pequena variação que houve nos resultados foi em decorrência de erros sistemáticos, 
dentre estes estão o posicionamento incorreto da elongação e a cronometragem 
inadequada do tempo. 
2) Dos resultados experimentais o que se pode concluir sobre os períodos quando a 
amplitude passa de 10º para 15º? Justifique. 
Como foi constatado na tabela 2, os valores dos períodos obtidos com as 
elongações de 15 e 10 graus foram respectivamente 2,44s e 2,42s. Dessa forma 
podemos concluir que a utilização de elongações diferentes não influencia no período de 
um pêndulo simples. 
3) Qual a representação gráfica que se obtém quando se representa T x L? Explique. 
 A representação gráfica obtida é uma leve curvatura, o que pode ser explicado 
pela análise da equação que relaciona período e comprimento do fio. Como podemos 
observar na equação abaixo, 2 é uma constante, logo o período dependerá somente da 
raiz da razão entre L e g. A equação de uma função raiz do tipo y = x
1/n
 tem 
características de alto crescimento para os pontos próximos à origem e um crescimento 
menor para valores maiores, logo o gráfico obtido com a equação em questão também 
apresenta essa característica, sendo nesse caso n=2. 
 
4) Qual a representação gráfica que se obtém quando se representa T
2
x L? Explique. 
 A representação gráfica obtida foi uma reta, o que ocorre devido a relação direta 
entre o quadrado do período e o comprimento do fio. Como podemos observar na 
equação abaixo, o fator que multiplica L pode ser comparado ao coeficiente angular de 
uma equação do primeiro grau do modelo y = ax+b, onde o T
2 
é o y, e L é o x. 
 = 
 
 
 L 
08 
5) Determine o valor de “g” a partir do gráfico T2 x L? 
Utilizando a equação 10, podemos obter a gravidade através da variação do 
quadrado do período e a variação do comprimento do fio. Para essa cálculo, 
utilizaremos os seguintes valores: 
π = 3,1416; ∆T2= 4,73s2; ∆L= 1,20m 
 
 
 
 
 
 
Dessa forma temos que g = 10,0 m/s
2
. 
 
6) Qual o peso de uma pessoa de massa 70,00kg no local onde foi realizada a 
experiência? 
Como o peso é dado pela equação P = m.g, utilizaremos os seguintes valores 
para esse cálculo: 
g= 10,0m/s
2
; m= 70,00kg. 
Logo aplicando na equação teremos: P =70,00kg.10,0m/s
2
, resultando em 700N 
 
7) Qual o peso da pessoa em questão na lua? 
Utilizaremos os seguintes dados para o cálculo do peso de uma pessoa de 
70,00kg no lua: 
glua=1,62m/s
2
; m=70,00kg. 
Logo aplicando na equação P=m.g, teremos P =70,00Kg.1,62m/s
2
, logo teremos 
que o peso dessa pessoa na lua é de 113N. 
 
8) Compare o valor médio de T obtido experimentalmente para L=120cm com o seu 
valor calculado pela fórmula (use g=9,81m s2). Comente. 
Segundo a tabela 1, para o comprimento do fio igual a 120cm, o período médio 
encontrado foi de 2,16s. Agora calcularemos o período com os dados fornecidos na 
questão: 
π = 3,1416 
09 
 
Logo obtemos que T=2,20s. É possível concluir que a diferença de 0,04s entre 
os períodos é decorrente de erros sistemáticos, ou seja, imprecisão no acionamento do 
cronômetro tanto no momento inicial quanto no final. Além disso, podemos citar a 
presença de erros mínimos no que diz respeito ao posicionamento do fio em relação ao 
eixo, o que ocasiona interferências no número de oscilações do pêndulo. 
9) Discuta as transformações de energia que ocorrem durante o período do pêndulo. 
Analisando o movimento do pêndulo, temos que quando este encontra-se na 
posição mais alta, ou seja, na elongação máxima, sua energia é convertida em energia 
potencial gravitacional, já quando o pêndulo está na posição inicial, ou seja, quando não 
há elongação, sua energia está completamente convertida em energia cinética. Dessa 
forma podemos concluir que a energia total do pêndulo é mantida a mesma, porém 
assume formas diferentes no decorrer da trajetória. 
10) De acordo com o valor de g encontrado experimentalmente nesta prática, qual seria 
o comprimento para um período de 3s? 
Reorganizando a equação 7 a fim de isolar o L temos que: 
 
 
 π 
 
Podemos chegar ao resultado pretendido, para isso iremos demonstrar quais 
valores usaremos para o cálculo: 
π = 3,1416; g = 10,0m/s2. 
Aplicando na equação ficaremos com: 
 
 
 
 
Logo obtemos que o comprimento do fio é de 2,28m. 
 
 
 
 
 
10 
6. Conclusão 
Através da prática de pêndulo simples foi possível desenvolver nosso 
conhecimento acerca do princípio de funcionamento deste, bem como suas limitações 
de uso, ou seja, sua restrição a elongações máximas de até 15º. Por meio da análise da 
tabela 1, foi possível observar, que à medida que o comprimento do fio é acrescido, o 
período das oscilações também sofre acréscimo, o que é comprovado pela equação (6), 
pois essas duas grandezas são diretamente proporcionais. 
Por meio da tabela 2, verificar que a amplitude não exerce nenhuma influencia 
no período, pois as médias dos períodos para as elongações de 15º e 10º, foram 
respectivamente 2,44s e 2,42s, ou seja, quase não houve variaçãoentre os valores 
obtidos, pois essa divergência de 0,02s é advinda de erros sistemáticos que ocorrem 
durante as aferições, as quais sofrem influências diversas. 
Assim como ocorreu com a amplitude, a massa dos corpos utilizados não 
implicou em alterações no período, pois de acordo com a tabela 3 as médias dos testes 
com 50g e 100g foram respectivamente 2,44s e 2,42s. Esse fato está relacionado 
diretamente à independência do período quanto à massa, pois através da equação (6) 
percebemos a dependência do período somente quanto à gravidade que está inserido e 
ao comprimento do fio utilizado. 
Por fim, com o cálculo da gravidade local pela equação 10, foi possível chegar a 
um resultado de 10,0m/s
2
, o que distou-se do valor padrão 9,81m/s
2
 em 0,19m/s
2
. Existe 
a possibilidade desse desvio ter sido provocado por interferências nas aferições de 
período e medição do tamanho do fio, porém o valor encontrado encontra-se bastante 
próximo do esperado, tendo em vista que a gravidade varia de um lugar para outro, 
dependendo da altitude em relação ao nível do mar. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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7. Bibliografia 
 
DIAS, Nildo Loiola. Roteiros de aulas práticas de Física. Fortaleza. 2018.Páginas 23 
a 35. 
 
HALLIDAY, David / RESNICK, Robert / WALKER Jearl. Fundamentos de física, 
volume 2: gravitação, ondas e termodinâmica, Rio de Janeiro, 2012. Páginas: 88 a 
93. 
 
UNIVERSIDADE FEDERAL DO CEARÁ. Biblioteca Universitária. Guia de 
normalização de trabalhos acadêmicos da Universidade Federal do Ceará. 
Fortaleza, 2013. 
 
SO FÍSICA 
Disponível em:] 
<http://www.sofisica.com.br/conteudos/Ondulatoria/MHS/pendulo.php > 
Acesso em: 20 de abril de 2018 às 22:00hs. 
 
MUNDO EDUCAÇÃO 
Disponível em: 
<http://mundoeducacao.bol.uol.com.br/fisica/um-fisico-chamado-galileu-galilei.htm > 
Acesso em 19 de abril de 2018 às 23:34hs. 
 
CEPA 
Disponível em: 
<http://www.cepa.if.usp.br/e-fisica/mecanica/universitario/cap13/cap13_35.htm> 
Acesso em 21 de abril de 2018 às 20:04hs. 
 
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