AOL 4 Cálculo Vetorial - 20212 B

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Cálculo Vetorial - 20212.B 
Avaliação On-Line 4 (AOL 4) - 
Questionário 
Nota final 
8/10 
1. Pergunta 1 
/1 
O campo conservativo é extremamente relevante para a integral de linha do trabalho 
(W). Caso o campo seja conservativo, qualquer curva que une dois pontos pré-fixados 
no campo vetorial tem o mesmo valor numérico do trabalho. Esse campo é definido em 
termos de um gradiente de uma função escalar: 
. 
Em algumas situações não se sabe sobre a função f, mas, mesmo assim, é possível 
descobrir se um campo é ou não conservativo caso ele respeite as igualdades a seguir: 
. 
Considerando essas informações e os conteúdos estudados sobre Cálculo Vetorial, 
pode-se dizer que é um campo conservativo porque: 
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1. 
as igualdades supracitadas possuem diferenças entre seus termos. 
2. 
o gradiente dessa função é nulo. 
3. 
as igualdades serem válidas é uma condição necessária, mas não suficiente. 
4. 
se verificou todas as igualdades supracitadas e todas verdadeiras. 
Resposta correta 
5. 
o divergente dessa função é nulo. 
2. Pergunta 2 
/1 
O teorema da divergência é bastante útil, pois consegue relacionar a integral de um 
campo vetorial sobre uma superfície com a integral de volume do divergente do campo 
vetorial. A princípio, pode não ser clara sua utilidade, porém, há diversos casos em que 
o problema é simplificado. Mas para utilizá-lo, há certos requisitos a serem atendidos. A 
definição é: 
Considerando essas informações e o conteúdo estudado sobre teorema da divergência, 
analise as afirmativas a seguir. 
I. A superfície S deve ser fechada. 
II. A superfície S deve ser orientada para dentro. 
III. O campo vetorial F deve possuir derivadas parciais contínuas. 
IV. O volume V deve ser maior que o definido pela superfície S. 
Está correto apenas o que se afirma em: 
Ocultar opções de resposta 
1. 
I e IV. 
2. 
I e III. 
Resposta correta 
3. 
I e II. 
4. 
I, II e IV. 
5. 
II e IV. 
3. Pergunta 3 
/1 
O teorema de Green, em sua forma vetorial, é utilizado para simplificar a resolução de 
integrais de linha em caminhos fechado. O teorema relaciona a borda do caminho com a 
área formado pelo caminho fechado, que deve ter orientação anti-horária. O teorema de 
Green possui mais de uma forma de ser escrito. 
Considerando essas informações e o conteúdo estudado sobre teorema de Green, analise 
as afirmativas a seguir. 
I. é uma forma do teorema de Green. 
II. é uma forma do teorema de Green, sendo . 
III. é uma forma do teorema de Green. 
IV. é uma forma do teorema de Green. 
Está correto apenas o que se afirma em: 
Ocultar opções de resposta 
1. 
I, II e III. 
2. 
I e II. 
3. 
I, II e IV. 
Resposta correta 
4. 
II e IV. 
5. 
I e IV. 
4. Pergunta 4 
/1 
Um dos requisitos do teorema de Green é que o caminho de integração seja fechado. 
Isto é, o ponto do começo da integração e do fim são o mesmo. Lembrando que o que 
está sendo somado são os vetores do campo, portanto o fato de ser fechado não torna a 
integral nula. 
Considerando essas informações e o conteúdo estudado sobre teorema de Green, pode-
se dizer que o caminho deve ser fechado porque: 
Ocultar opções de resposta 
1. 
o caminho fechado faz a orientação ser anti-horário. 
2. 
o caminho fechada permite definir um volume. 
3. 
só é possível definir uma área de integração com uma superfície fechada. 
Resposta correta 
4. 
a integral de caminho em um campo vetorial é definida em caminho fechado. 
5. 
o caminho aberto poder ter singularidades. 
5. Pergunta 5 
/1 
O teorema de Green também é utilizado para simplificar a resolução de algumas 
integrais de caminho. Para tanto, é necessário verificar se a integral e a região 
satisfazem os requisitos do teorema. Fora isso, basta fazer as derivadas parciais e 
integrar sobre a região. 
Considerando essas informações e os estudos sobre teorema de Green, analise as 
afirmativas a seguir e assinale V para a(s) verdadeira(s) e F para a(s) falsa(s). 
I. ( ) Dado o campo vetorial , a integral na circunferência unitária é . 
II. ( ) Dado o campo vetorial a integral na circunferência unitária é . 
III. ( ) Dado o campo vetorial , a integral na circunferência unitária é . 
IV. ( ) Dado campo vetorial , a integral no quadrado definido por e 
é . 
Agora, assinale a alternativa que apresenta a sequência correta: 
Ocultar opções de resposta 
1. 
F, F, V, F. 
2. 
V, V, F, F. 
3. 
V, F, F, V. 
4. 
V, F, V, V. 
Resposta correta 
5. 
F, F, V, V. 
6. Pergunta 6 
/1 
Em um contexto com variáveis reais definidas em domínios e imagens de pontos, o 
cálculo integrativo se dá com objetos matemáticos conhecidos como integrais. Já em um 
contexto vetorial, o cálculo integrativo se dá com objetos matemáticos conhecidos como 
integrais de linha. 
Considerando essas informações e os conteúdos estudados sobre Cálculo Vetorial, 
pode-se afirmar que as integrais referentes ao teorema fundamental do cálculo e as 
integrais de linhas, apesar de distintas, se relacionam porque: 
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1. 
as integrais de linha possuem integrandos que não são vetores. 
2. Incorreta: 
ambas são definidas no mesmo contexto, em um cenário onde domínio e 
contradomínio representam conjuntos de pontos. 
3. 
ambas conseguem tratar do mesmo objeto matemático sem que haja perda de 
informações. 
4. 
as integrais triplas conseguem definir qualquer tipo de objeto matemático. 
5. 
as integrais do contexto vetorial podem ser escritas como integrais duplas e triplas, 
referentes ao outro contexto integrativo. 
Resposta correta 
7. Pergunta 7 
/1 
O teorema de Stokes é bastante utilizado para simplificar o problema da integral 
de um campo vetorial sobre uma superfície para uma integral de linha. Ou seja, é 
utilizado no sentido contrário (da direita para a esquerda) de como temos escrito ele. 
Para tanto, é necessário que o campo vetorial em questão possa ser escrito como o 
rotacional de um outro campo. 
Considerando essas informações e o conteúdo estudado sobre teorema de Stokes, 
ordene as etapas a seguir de acordo com a sequência em que devem ser efetuados os 
passos para a utilização do teorema no sentido . 
( ) Verificar se campo vetorial pode ser escrito como um rotacional e se ele e a 
superfície satisfazem os requisitos do teorema. 
( ) Executar a integral de linha. 
( ) Parametrizar o caminho. 
( ) Fazer a mudança de sistema de coordenadas convenientes. 
( ) Projetar a superfície no plano XY para definir o caminho de integração. 
Agora, assinale a alternativa que apresenta a sequência correta: 
Ocultar opções de resposta 
1. 
1, 5, 3, 4, 2. 
Resposta correta 
2. 
5, 4, 1, 3, 2. 
3. 
2, 1, 3, 4, 5. 
4. 
4, 3, 5, 2, 1. 
5. 
3, 4, 1, 2, 5. 
8. Pergunta 8 
/1 
Ao aplicar o teorema da divergência, é necessário resolver uma integral tripla. Para 
resolver uma integral tripla, trata-se de fazer três integrais por vez, cujas variáveis são 
dependentes uma das outras. Para tal, é necessário entender bem a região de integração 
para escrever os limites de integração. Fora isso, as variáveis que não estão sendo 
integradas são consideradas constantes. 
Considerando essas informações e os estudos sobre divergente, analise as afirmativas a 
seguir e assinale V para a(s) verdadeira(s) e F para a(s) falsa(s). 
I. ( ) Dado o campo vetorial , a integral onde S é definido pela superfície do 
cilindro e . 
II. ( ) Dado o campo vetorial , a integral onde S é a esfera unitária . 
III. ( ) Dado o campo vetorial , a integral onde S é o cubo definido pelos 
planos , , , , , . 
IV. ( ) Dado o campo vetorial , a integral onde S é . 
Agora, assinale a alternativa que apresenta a sequência correta: 
Ocultar opções de resposta 
1. 
F, F, V, F. 
2. 
F, F, V, V. 
3. 
V, F, F, V. 
4. 
V, V, F, F. 
5. 
V, F, V, V. 
Resposta correta 
9. Pergunta 9/1 
As funções parametrizadas são extremamente importantes para o cálculo integral, até 
dentro do contexto vetorial. Elas conseguem representar expressões algébricas que 
muitas vezes não são funções comuns, tornando possível o trabalho com integrais e 
derivadas. Segue um exemplo de função parametrizada: 
 
A derivada de uma função paramétrica, por exemplo, pode auxiliar a definir o trabalho 
de uma partícula ao longo de um campo vetorial, pois se trata de um vetor tangente. 
Considerando essas informações e o conteúdo estudado sobre cálculo vetorial, dado o 
exemplo supracitado, pode-se dizer que o vetor tangente dessa função é , porque: 
Ocultar opções de resposta 
1. 
o vetor tangente, ou derivada da função paramétrica, é definido da seguinte 
forma: 
2. 
o vetor tangente, ou derivada da função paramétrica, é definido da seguinte 
forma: 
3. 
o vetor tangente, ou derivada da função paramétrica, é definido da seguinte 
forma: 
Resposta correta 
4. Incorreta: 
o vetor tangente, ou derivada da função paramétrica, é definido da seguinte 
forma: 
5. 
o vetor tangente, ou derivada da função paramétrica, é definido da seguinte 
forma: 
10. Pergunta 10 
/1 
Considere o exemplo a seguir da aplicação do teorema da divergência. Dado , 
integre sobre a esfera unitária . O divergente de F é , integrando 
sobre que é o próprio volume da esfera, resultando em . 
Considerando essas informações e o conteúdo estudado sobre teorema da divergência, 
pode-se dizer que o cálculo da integral foi facilitado porque: 
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1. 
o lado direito é uma integral tripla de um campo vetorial. 
2. 
o integrando é mais simples de integrar. 
Resposta correta 
3. 
a superfície S é fechada. 
4. 
só é possível resolver o lado direito do teorema da divergência. 
5. 
a superfície S é orientada para fora.