AOL 1 ao 5- Cálculo Vetorial

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Módulo B - 60857 . 7 - Cálculo Vetorial - T.20212.B
Avaliação On-Line 1 (AOL 1) - Questionário
9/10
Conteúdo do exercício
Conteúdo do exercício
1. Pergunta 1
/1
Quando se tem funções de mais de uma variável, naturalmente surge a indagação de “derivada em relação a qual variável?”. Este conceito trata-se da derivada parcial. Seguindo a mesma lógica de derivada de uma variável, o que não é a variável de derivação é constante. Portanto, se derivarmos  em relação a  , consideramos  como constante. 
Considerando essas informações e o conteúdo estudado sobre derivadas, analise as afirmativas a seguir e assinale V para a(s) verdadeira(s) e F para(s) falsa(s).
I. ( ) A derivada de  em relação a  é .
II. ( ) A derivada de  em relação a  é .
III. ( ) A derivada de  em relação a  é .
IV. ( ) A derivada de   em relação a  é .
Agora, assinale a alternativa que apresenta a sequência correta:
Ocultar opções de resposta 
1. 
V, V, F, F.
2. 
V, F, F, V.
Resposta correta
3. 
F, V, F, V.
4. 
V, F, V, F.
5. 
V, V, V, F.
1. Pergunta 2
/1
Em limite de funções de uma variável, há apenas duas formas de se aproximar do ponto do qual se quer calcular o limite. Pode-se aproximar pela esquerda  ou pela direita  Neste contexto, diz-se que o limite de f(x) existe quando L1=L2, isto é, se os limites laterais convergem para o mesmo número. Em duas variáveis, não há apenas dois sentidos para se aproximar do ponto (a,b), há infinitas direções e caminhos.
Considerando essas informações e seus conhecimentos de limites, quando o limite em funções de duas variáveis  existe é porque:
Ocultar opções de resposta 
1. 
os limites laterais por   e por  convergem para a mesma constante, isto é, .
2. 
o limite por todos os caminhos que se aproximam de  convergem para a mesma constante  .
Resposta correta
3. 
existe pelo menos um caminho que se aproxima de  e converge para um número real  .
4. 
 é igual a .
5. 
 está definido em .
2. Pergunta 3
/1
Derivar em três variáveis é o mesmo procedimento que derivar para duas. Considere as outras variáveis como constantes e use as técnicas de derivação convencionais. Por exemplo, para  , a derivada em y é .
Considerando essas informações e o conteúdo estudado sobre derivadas parciais, analise as afirmativas a seguir.
I. A derivada em relação a z da função  é .
II. A derivada em relação a x da função  é .
III. A derivada em relação a y da função  é .
IV. As primeiras derivadas de  são iguais.
Está correto apenas o que se afirma em:
Ocultar opções de resposta 
1. 
I e II.
2. 
II e IV.
3. 
I, III e IV.
Resposta correta
4. 
II, III e IV.
5. 
I, II e IV.
3. Pergunta 4
/1
Curvas de níveis são as regiões em uma função em que ela possui sempre o mesmo valor. Para a construção de curvas de níveis, basta fazer  , no qual   corresponde a uma constante. Isso equivale a fazer um mapa das linhas da função onde a função tem o mesmo valor .
Considerando essas informações e o conteúdo estudado sobre curvas, analise as funções disponíveis a seguir e associe-as com suas respectivas características.
1) .
Cálculo Vetorial_BQ01 - Questão 11_1_v1(1).png
2) .
Cálculo Vetorial_BQ01 - Questão 11_2_v1(1).png
3).
Cálculo Vetorial_BQ01 - Questão 11_3_v1(1).png
4) .
Cálculo Vetorial_BQ01 - Questão 11_4_v1(1).png
Curvas de níveis:
()
Cálculo Vetorial_BQ01 - Questão 11_5_v1(1).png
()
Cálculo Vetorial_BQ01 - Questão 11_6_v1(1).png
()
Cálculo Vetorial_BQ01 - Questão 11_7_v1(1).png
()
Cálculo Vetorial_BQ01 - Questão 11_8_v1(1).png
Agora assinale a alternativa que apresenta a sequência correta:
Ocultar opções de resposta 
1. 
4, 3, 1, 2.
2. 
3, 2, 4, 1.
3. 
2, 3, 4, 1.
4. 
3, 1, 4, 2.
Resposta correta
5. 
1, 2, 3, 4.
4. Pergunta 5
/1
As funções definidas por partes trazem consigo naturalmente um complicador, pois, para cada região do domínio da função, há uma expressão analítica associada. Portanto, a continuidade e existência do limite estão condicionados às características dessa fronteira. Por exemplo, a função  se   e  se  é contínua e diferenciável. Mas a função  se  e   se , não.
Considerando essas informações e o conteúdo estudado sobre diferenciabilidade, pode-se afirmar que:
Ocultar opções de resposta 
1. 
o domínio da função é o conjunto dos reais.
2. 
o contradomínio da função é igual ao domínio.
3. 
a função é diferenciável na fronteira.
4. 
o limite existe em um caminho ao longo da fronteira para funções por partes.
5. 
na fronteira entre as regiões, o limite não existe ou, quando existe, não converge para o valor da função.
Resposta correta
5. Pergunta 6
/1
As derivadas de uma função de uma variável possuem tanto aspectos geométricos quanto físicos. No primeiro, mensura-se o coeficiente angular da reta tangente a curva, e no segundo a taxa de variação. As derivadas parciais, que são referentes a funções de duas ou mais variáveis, também possuem ambos aspectos, porém diferem-se em alguns detalhes.
Considerando essas informações e o conteúdo estudado sobre particularidades das derivadas parciais de duas ou mais variáveis, analise as afirmativas a seguir.
I. O significado geométrico das derivadas de uma função de duas ou mais variáveis também é referente ao coeficiente angular de uma reta tangente.
II. Duas derivadas parciais diferentes da mesma função referem-se a taxas de variações com base em referências diferentes.
III. Em uma função de n variáveis, existem n derivadas parciais.
IV. O aspecto notacional da derivada parcial é o mesmo que o da derivada convencional.
Está correto apenas o que se afirma em:
Ocultar opções de resposta 
1. Incorreta: 
I, III e IV.
2. 
I e II.
3. 
I, II e IV.
4. 
II e IV.
5. 
I, II e III.
Resposta correta
6. Pergunta 7
/1
O contradomínio é o conjunto que representa os valores que uma função pode assumir, isto é, para todo elemento do domínio necessariamente existe um elemento no contradomínio. Em outras palavras, o contradomínio são os valores de ‘saída’ de uma função, enquanto os valores do domínio são referentes aos valores de ‘entrada’.
Considerando essas informações e o conteúdo estudado sobre contradomínio de funções de três variáveis, analise as afirmativas a seguir.
I. O contradomínio da função  é  .
II. O contradomínio da função  é   (o conjunto dos reais).
III. O contradomínio da função  é  ,
IV. O contradomínio da função  é  .
Está correto apenas o que se afirma em:
Ocultar opções de resposta 
1. 
I, II e IV.
2. 
II e IV.
3. 
I e II.
Resposta correta
4. 
I e III.
5. 
II, III e IV.
7. Pergunta 8
/1
Funções de três variáveis é uma regra que associa pontos com três coordenadas a um número. Por ter três números de entrada, podem ser interpretadas como funções que representam propriedades ao longo de um certo volume. Assim, dada uma função, é necessário saber reconhecer qual o volume em questão.
Considerando essas informações e o conteúdo estudado sobre funções de três variáveis e conjuntos, analise as afirmativas a seguir.
I. O domínio da função  é  .
II. Funções de três variáveis podem ser representados em um espaço de três dimensões.
III. As curvas de nível de uma função de três variáveis podem ser representadas em um espaço de três dimensões.
IV. O domínio da função  é  .
Está correto apenas o que se afirma em:
Ocultar opções de resposta 
1. 
 II e IV.
2. 
I, III e IV.
Resposta correta
3. 
I, II e IV.
4. 
I e II.
5. 
I, II e III.
8. Pergunta 9
/1
No estudo de funções de várias variáveis, definem-se diferentes representações do domínio e imagem. Ora os objetos são retas e planos, ora são superfícies, tudo isso influenciado pelo número de variáveis a que a função se refere.
Considerando essas informações e o conteúdo estudado sobre as relações funcionais de duas ou mais variáveis, analise as afirmativas a seguir.
I. Um gráfico de três variáveis é subconjunto de R³.
II. O domínio de uma função de duas variáveis é subconjunto de R².
III. O gráfico de uma função de uma variável é subconjunto de R².
IV. O gráfico de uma função de 7 variáveis é subconjunto de  . 
Está correto apenas o que se afirma em:
Ocultar opções de resposta 
1. 
I, III e IV.
2. 
II e IV.
3. 
I, II e IV.
4.I, II e III.
Resposta correta
5. 
I e II.
9. Pergunta 10
/1
Para verificar se o limite de uma função  não existe, basta mostrar que existe pelo menos dois caminhos com limites diferentes. Esses caminhos significam, em outras palavras, realizar aproximações com curvas distintas.
Considerando essas informações e o conteúdo estudado sobre limites, analise as afirmativas a seguir colocando V para a(s) verdadeiras e F para a(s) falsa(s).
I. ( ) Dada a função  , o limite .
II. ( ) Dada a função , o limite  existe.
III. ( ) Dada a função , o limite .
IV. ( ) Dada a função  , o limite  existe.
Agora, assinale a alternativa que apresenta a sequência correta:
Ocultar opções de resposta 
1. 
V, F, V, F.
2. 
F, V, F, V.
3. 
F, F, V, V.
Resposta correta
4. 
V, V, V, F.
5. 
V, V, F, F.
Módulo B - 60857 . 7 - Cálculo Vetorial - T.20212.B
Avaliação On-Line 2 (AOL 2) - Questionário
9/10
Conteúdo do exercício
Conteúdo do exercício
1. Pergunta 1
/1
Uma função de duas variáveis associa um ponto (x, y) a um valor numérico, também chamado de escalar, z. Em um campo vetorial de duas variáveis, no entanto, cada ponto do espaço tem um outro conjunto de pontos associado, que é o que chamamos de vetor.
Com base nos seus conhecimentos acerca da representação gráfica de campos vetoriais, associe os itens a seguir com os seus campos vetoriais:
1) 
Cálculo Vetorial_BQ02 - Questão18_01_v1(1).png
2)
Cálculo Vetorial_BQ02 - Questão18_02_v1(1).png
3)
Cálculo Vetorial_BQ02 - Questão18_03_v1(1).png
4)
Cálculo Vetorial_BQ02 - Questão18_04_v1(1).png
( ) .
( ) .
( ) .
( ) .
Agora, assinale a alternativa que apresenta a sequência correta:
1. Ocultar opções de resposta 
1. 
2, 4, 3, 1.
Resposta correta
2. 
1, 4, 3, 2.
3. 
2, 3, 1, 4.
4. 
4, 2, 3, 1.
5. 
3, 4, 1, 2.
2. Pergunta 2
/1
As integrais variam sua utilidade conforme os objetos matemáticos que elas integram. Integrais de uma variável costumam mensurar áreas sob curvas, integrais duplas com funções de duas variáveis podem calcular volumes e integrais triplas também podem mensurar volumes.
De acordo essas informações e com seus conhecimentos acerca de integrais para funções de várias variáveis e integrais múltiplas, analise as afirmativas a seguir:
I.  é uma integral que mensura volume.
II.  , sendo uma integral em uma região retangular, tem a função de mensurar volume.
III. Um volume infinitesimal em três dimensões pode ser escrito da seguinte forma: .
IV. As coordenadas cartesianas são melhores para a resolução de integrais do que outras coordenadas.
Está correto apenas o que se afirma em:
Ocultar opções de resposta 
1. 
I e II.
2. 
II e IV.
3. 
I, II e III.
Resposta correta
4. 
I, II e IV.
5. 
I, III e IV.
3. Pergunta 3
/1
Para se calcular integrais duplas de funções de duas variáveis é necessário conhecer as regiões de integração. Além das regiões retangulares, existem dois tipos de regiões específica, as do Tipo I, limitadas funcionalmente no eixo y, e as do Tipo II, limitadas funcionalmente no eixo x. 
Com seus conhecimentos acerca dessas regiões de integração, associe os gráficos a seguir com suas respectivas afirmativas:
1) 
Cálculo Vetorial_BQ02 - Questão03_01_v1(1).png
2)
Cálculo Vetorial_BQ02 - Questão03_02_v1(1).png
3)
Cálculo Vetorial_BQ02 - Questão03_03_v1(1).png
4)
Cálculo Vetorial_BQ02 - Questão03_04_v1(1).png
( ) Região retangular [0,6]x[0,10]
( ) Região do tipo I limitada em y por pelas funções g(x) = x e h(x)=x+2.
( ) Região retangular [3,6]x[5,10].
( ) Região do tipo I, limitada em y pelas funções m(x) = x² e n(x) = x.
Agora assinale a alternativa que apresenta a sequência correta:
Ocultar opções de resposta 
1. 
3, 2, 4, 1.
Resposta correta
2. 
2, 3, 4, 1.
3. 
4, 3, 1, 2.
4. 
1, 4, 3, 2.
5. 
3, 1, 4, 2.
4. Pergunta 4
/1
Vetor e campo vetorial são conceitos importantes para o estudo de Cálculo Vetorial. Ambos auxiliam, por exemplo, no entendimento do objeto matemático chamado integral de linha
De acordo essas informações e com seus conhecimentos acerca de campos vetoriais, vetores e integral de linha, analise as afirmativas a seguir:
I. A função  descreve um campo vetorial.
II. A integral de linha mensura o efeito geral de um campo ao longo de uma curva específica.
III.  é uma representação de uma integral de linha.
IV. Um vetor possuí dois parâmetros básicos: sentido e módulo.
Está correto apenas o que se afirma em:
Ocultar opções de resposta 
1. 
I e II.
2. 
I, III e IV.
3. 
II e IV.
4. 
I, II e III.
Resposta correta
5. 
II, III e IV.
5. Pergunta 5
/1
As integrais triplas são utilizadas para efetuar cálculos de volumes de sólidos. Porém, existem inúmeros jeitos de se mensurar numericamente esses volumes. Um exemplo disso é a mudança de coordenadas, podendo ser cilíndrica, esférica ou cartesiana. Tenha como base a seguinte integral tripla:
.
Tendo em vista seus conhecimentos acerca de integrais triplas em diversas coordenadas, analise as afirmativas a seguir e assinale V para a(s) verdadeira(s) e F para a(s) falsa(s).
I. ( )  refere-se ao diferencial de volume dV.
II. ( ) A integral será efetuada primeiro com relação a z, depois com relação a r e por último com relação a 0.
III. ( ) A integral está escrita em coordenadas esféricas.
IV. ( ) Essa integral mensura a área de uma região no plano xy.
Agora, assinale a alternativa que representa a sequência correta:
Ocultar opções de resposta 
1. 
V, V, F, F.
Resposta correta
2. 
V, F, V, F.
3. 
V, F, F, V.
4. 
F, V, F, V.
5. 
F, V, V, F.
6. Pergunta 6
/1
As integrais podem representar diversos tipos de mensuração. Pode-se mensurar áreas, comprimentos e volumes com elas de maneira extremamente distinta. A seguinte integral dupla de uma função de duas variáveis efetua a mensuração de uma dessas medidas:
Considerando essas informações e seus conhecimentos acerca de integrais, afirma-se que a integral supracitada mensura o volume de uma superfície, porque:
Ocultar opções de resposta 
1. 
a região integrativa é uma região R retangular.
Resposta correta
2. 
a função que compõe o integrando é uma função par.
3. 
o diferencial de volume dv = dxdy.
4. 
o integrando dessa integral é uma função de duas variáveis.
5. 
o contradomínio dessa função faz parte dos reais R.
7. Pergunta 7
/1
Quando se mensuram volumes por integrais triplas existem inúmeras manipulações algébricas que deixam os cálculos mais palatáveis. A mudança de coordenadas é uma manipulação algébrica que consegue, muitas vezes, transformar limites integrativos complexos em limites mais simples. As principais mudanças de coordenadas são para as polares, cilíndricas e esféricas.
Cálculo Vetorial_BQ02 - Questão09_v1(1).png
Figura – Representação de um sólido.
Considerando essas informações, o esboço do sólido na figura supracitada e seus conhecimentos acerca de integrais triplas e mudança de coordenadas, pode se afirmar que o volume do sólido em questão pode ser mensurado por coordenadas cilíndricas, porque:
Ocultar opções de resposta 
1. 
há simetria do sólido com relação ao eixo z.
Resposta correta
2. 
há simetria do sólido com relação ao eixo x.
3. 
há simetria do sólido com relação ao eixo y.
4. 
os parâmetros utilizados são  e ᵠ.
5. 
o sólido é limitado por funções circulares.
8. Pergunta 8
/1
Quando se faz a integral em uma função de uma variável, é suficiente dois pontos para definir uma região de integração. Ao ir para duas variáveis por exemplo, para definir as regiões no plano xy utiliza-se curvas. Porém, há uma possibilidade que não existe no caso de uma variável, que é a integração de   ao longo de uma curva no plano xy. Isso se chama integral de linha.
 Acerca dos seus conhecimentos de integral de caminho, é correto afirmar que a parametrização é necessária porque:
Ocultar opções de resposta 
1. 
não é possível derivar a função sem parametrizar.
2. 
sem parametrizar a curva o resultado da integral seria diferente.
3. 
representa o elemento de comprimento é .
4. 
uma curva, mesmo que no plano xy, possui apenas um parâmetro livre e para se integrar é necessário escrever x e y em função desse parâmetro integrável.
Resposta correta
5. 
a parametrizaçãorepresenta a variável dependente  ao longo da linha.
9. Pergunta 9
/1
Integrais em uma ou mais variáveis são essencialmente somas que se faz em uma função de interesse. A soma possui certas propriedades, como, por exemplo, .
De acordo essas informações e com seus conhecimentos acerca das propriedades das integrais de várias variáveis, analise as afirmativas a seguir:
I. Dada as funções  e  , temos que.
II. Sendo c uma constante, .
III. Se  , então .
IV. Dada as funções  e  , temos que  .
Está correto apenas o que se afirma em:
Ocultar opções de resposta 
1. Incorreta: 
I, III e IV.
2. 
I, II e IV.
3. 
I e II.
Resposta correta
4. 
II e III.
5. 
II e IV.
10. Pergunta 10
/1
O resultado de uma derivada ou integral deve independer da escolha de coordenadas para representar o espaço. Isso faz sentido pois, dado um problema, resolvê-lo por um método ou outro não o altera.
Acerca dos seus conhecimentos de coordenadas espaciais, pode-se afirmar que é conveniente utilizar coordenadas cilíndricas ou esféricas em alguns problemas porque:
Ocultar opções de resposta 
1. 
permite integrar em qualquer ordem as coordenadas.
2. 
só é possível resolver algumas integrais em uma coordenada específica.
3. 
a simetria do problema, sendo cilíndrica ou esférica, torna a resolução da integral mais simples nessas coordenadas.
Resposta correta
4. 
reduz uma integral tripla em um produto de três integrais.
5. 
reduz o número de coordenadas e integrais.
Módulo B - 60857 . 7 - Cálculo Vetorial - T.20212.B
Avaliação On-Line 3 (AOL 3) - Questionário
10
Conteúdo do exercício
Conteúdo do exercício
1. Pergunta 1
/1
O rotacional é uma operação análoga a um produto vetorial, no qual relaciona-se a diferença das derivadas parciais em duas direções e as relaciona com a terceira direção. A manipulação algébrica que envolve o rotacional, em R³, pode ser descrita por uma matriz.
Considerando essas informações e o conteúdo estudado acerca de gradiente e campos vetoriais, analise as afirmativas a seguir.
I. O rotacional de  é .
II. O rotacional do gradiente de  é .
III. O rotacional de  é .
IV. O rotacional de  é .
Está correto apenas o que se afirma em:
Ocultar opções de resposta 
1. 
I, III e IV.
2. 
II e III.
3. 
I e II.
Resposta correta
4. 
II e IV.
1. Pergunta 2
/1
Para calcular o gradiente de uma função escalar, basta fazer as derivadas parciais da mesma. Esse campo escalar é definido a partir de um operador diferencial conhecido como operador nabla, que é escrito da seguinte forma:
 .
Considerando essas informações e o conteúdo estudado sobre gradiente, analise as afirmativas a seguir e assinale V para a(s) verdadeira(s) e F para a(s) falsa(s).
I. ( ) O gradiente de  é .
II. ( ) O gradiente de  é .
III. ( ) O gradiente de  é .
IV. ( ) O gradiente de  é .
Agora, assinale a alternativa que apresenta a sequência correta: 
Ocultar opções de resposta 
1. 
V, V, F, V.
2. 
F, F, V, V.
3. 
V, V, F, F.
Resposta correta
4. 
F, F, V, F.
5. 
V, F, F, V.
2. Pergunta 3
/1
O campo divergente em R³ é definido na forma  , ou seja, é calculado a partir de um campo vetorial  . Desse modo, é necessário apenas conhecer os parâmetros desse campo vetorial  para que se efetue o cálculo do campo divergente  . Considere, portanto, o campo Vetorial .
Considerando essas informações e o conteúdo estudado sobre campo divergente no R³, afirma-se que o campo divergente do vetor em questão é 3, porque:
Ocultar opções de resposta 
1. 
o campo vetorial é ortonormal.
2. 
cada uma de suas derivadas parciais vale 2.
3. 
o campo vetorial tem seu contradomínio em R³.
4. 
o campo é definido em R³.
5. 
cada uma de suas derivadas parciais vale 1.
Resposta correta
3. Pergunta 4
/1
O gradiente é um operador que relaciona o campo escalar de várias variáveis com um campo vetorial. Dada a função  , o gradiente é definido como  , segundo sua definição algébrica.
Considerando essas informações e o conteúdo estudado acerca de gradiente e campos vetoriais, analise as afirmativas a seguir.
I. Cada componente do campo vetorial gradiente corresponde à derivada parcial de   na respectiva direção.
II. O vetor gradiente em um ponto específico  represente a direção de menor variação da função  no ponto.
III. Um campo vetorial  é dito conservativo quando existe uma função  tal que .
IV. Mesmo que uma função não seja diferenciável, é possível existir o campo gradiente.
Está correto apenas o que se afirma em:
Ocultar opções de resposta 
1. 
I e II.
2. 
II e IV.
3. 
I, III e IV.
4. 
II e III.
5. 
I e III.
Resposta correta
4. Pergunta 5
/1
Identificar a natureza dos campos gradientes, divergentes e rotacionais é fundamental para que se estabeleçam relações entre eles. As naturezas desses campos podem ser escalares ou vetoriais, ou seja, depender de um valor numérico ou de um vetor para cada ponto de seu domínio.
Considerando essas informações e o conteúdo estudado acerca de campos gradientes, divergentes e rotacionais, analise as afirmativas a seguir.
I. É possível o cálculo de um divergente de um campo rotacional.
II. É possível o cálculo de um rotacional de um campo divergente.
III. É possível calcular um divergente de um campo gradiente.
IV. É possível calcular um gradiente de um campo rotacional.
Está correto apenas o que se afirma em:
Ocultar opções de resposta 
1. 
II, III e IV.
2. 
I e II.
3. 
II e IV.
4. 
I, III e IV.
5. 
I e III.
Resposta correta
5. Pergunta 6
/1
O operador divergente é definido como   onde . Essa definição é feita com base no operador diferencial nabla, que leva em conta as derivadas parciais de uma determinada função.
Considerando essas informações e o conteúdo estudado, pode-se dizer que o gradiente e o divergente são operadores diferentes porque:
Ocultar opções de resposta 
1. 
o gradiente atua em um campo escalar, resultando em um campo vetorial, enquanto o divergente faz o contrário.
Resposta correta
2. 
as derivadas parciais não estão definidas para vetores.
3. 
as derivadas são em primeira ordem no gradiente, enquanto no divergente são em segunda.
4. 
os módulos dos campos vetoriais do gradiente e do divergente são diferentes.
5. 
as derivadas são feitas em sistemas de coordenadas diferentes.
6. Pergunta 7
/1
Um campo divergente de uma função vetorial é definido em termos das derivadas parciais dessa função, respeitando suas componentes x, y e z. Existe uma maneira algébrica de efetuar o cálculo desse divergente, porém, é possível compreender os resultados algébricos por meio de representações imagéticas, tal como a figura a seguir: 
Cálculo Vetorial_BQ03- Questão03_v1(1).png
Figura – Representação de um campo divergente
Considerando essas informações e a forma imagética de se compreender um divergente, afirma-se que a figura apresentada tem um campo divergente positivo porque:
Ocultar opções de resposta 
1. 
a quantidade de flechas que entram e saem do elemento de volume são iguais.
2. 
existem mais flechas entrando do que entrando no elemento de volume representado pela caixa.
3. 
há uma distância visível entre algumas flechas que estão dentro do elemento de volume representado pela caixa.
4. 
a quantidade de flechas que entram e saem do elemento de volume é irrelevante.
5. 
existem mais flechas saindo do que entrando no elemento de volume representado pela caixa.
Resposta correta
7. Pergunta 8
/1
Os campos divergentes, gradientes e rotacionais são definidos com base nos campos escalares e vetoriais em que são calculados. Além disso, a forma algébrica de cada campo é diferente, mas sempre levando em conta o operador diferencial nabla (  . Somado a isso, os campos supracitados têm sentidos físico e geométrico, que não são evidentes apenas quando se observa algebricamente essas estruturas matemáticas.
Considerando essas informações e o conteúdo estudado acerca de campos gradientes, divergentes e rotacionais, analise as afirmativas a seguir.
I. O sentido geométrico de um gradiente está relacionado à direção e sentido de maior variação da função.
II. O sentido físico de um divergente está relacionado à ‘entrada’ e ‘saída’ de flechas em um determinado volume infinitesimal.III. O sentido físico de um rotacional está na possibilidade de rotação de um objeto infinitesimal acerca de si mesmo.
IV. O operador diferencial nabla tem um sentido físico de translação.
Está correto apenas o que se afirma em:
Ocultar opções de resposta 
1. 
I e II.
2. 
I, II e III.
Resposta correta
3. 
I, III e IV.
4. 
II, III e IV.
5. 
II e IV.
8. Pergunta 9
/1
As operações com o operador nabla são todas análogas às operações feitas em vetores. Isto é, os produtos escalar e vetorial (entre vetores) e o produto entre um escalar e um vetor. O nabla é definido como  , ou seja, como as derivadas parciais de uma dada função.
Considerando essas informações e os estudos sobre campos vetoriais, é correto afirmar que o operador nabla sozinho não tem significado porque:
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1. 
é possível somar as derivadas parciais.
2. 
ele é um vetor.
3. 
o número de componentes é diferente das funções em que opera.
4. 
a derivada de vetor tem significado diferente do de uma função.
5. 
ele é apenas um operador, assim, só tem significado atuando em algum campo.
Resposta correta
9. Pergunta 10
/1
Um campo gradiente de uma função escalar é definido em termos das derivadas parciais dela. Portanto, para uma função  , o campo gradiente é definido da seguinte forma: 
.
Considerando essa definição e o conteúdo estudado sobre campos vetoriais, afirma-se que o campo   não é um campo gradiente porque: 
Ocultar opções de resposta 
1. 
o domínio da função faz parte do conjunto numérico dos reais.
2. 
o campo em questão tem inúmeras derivadas.
3. 
o gradiente é definido em termos de mais derivadas.
4. 
há uma impossibilidade de determinação da função .
Resposta correta
5. 
o campo em questão é um campo escalar.
Módulo B - 60857 . 7 - Cálculo Vetorial - T.20212.B
Avaliação On-Line 4 (AOL 4) - Questionário
9/10
Conteúdo do exercício
Conteúdo do exercício
1. Pergunta 1
/1
Ao aplicar o teorema da divergência, é necessário resolver uma integral tripla. Para resolver uma integral tripla, trata-se de fazer três integrais por vez, cujas variáveis são dependentes uma das outras. Para tal, é necessário entender bem a região de integração para escrever os limites de integração. Fora isso, as variáveis que não estão sendo integradas são consideradas constantes.
Considerando essas informações e os estudos sobre divergente, analise as afirmativas a seguir e assinale V para a(s) verdadeira(s) e F para a(s) falsa(s).
I. ( ) Dado o campo vetorial  , a integral  onde S é definido pela superfície do cilindro   e . 
II. ( ) Dado o campo vetorial  , a integral  onde S é a esfera unitária .
III. ( ) Dado o campo vetorial  , a integral  onde S é o cubo definido pelos planos  , , ,, ,. 
IV. ( ) Dado o campo vetorial  , a integral   onde S é .
Agora, assinale a alternativa que apresenta a sequência correta:
Ocultar opções de resposta 
1. 
V, V, F, F.
2. 
V, F, V, V.
Resposta correta
3. 
F, F, V, V.
4. 
F, F, V, F.
5. 
V, F, F, V.
1. Pergunta 2
/1
Os Teoremas de Green, Gauss e Stokes são teoremas que facilitam o trabalho algébrico com as integrais de linha e superfície. Eles definem equivalências com outras integrais, de modo que não se calcule as integrais de linha e superfície por definição.É interessante, também, lançar um outro olhar sobre esses teoremas. Observar as diferenças e similaridades acerca de seus aspectos vetoriais também é fundamental. 
Considerando essas informações e os estudos sobre os teoremas de Green, Gauss e Stokes, analise as afirmativas a seguir e assinale V para a(s) verdadeira(s) e F para a(s) falsa(s).
I. ( ) O Teorema de Green é pautado em regiões simplesmente conexas.
II. ( ) Uma região R, que é delimitada por uma curva C que corta a si mesma, pode ser utilizada pelo Teorema de Green.
III. ( ) O Teorema de Gauss é pautado em um sólido delimitado por superfícies.
IV. ( ) O Teorema de Stokes é pautado em uma superfície orientada.
Agora, assinale a alternativa que apresenta a sequência correta:
Ocultar opções de resposta 
1. 
F, F, V, F.
2. 
F, F, V, V.
3. 
V, V, F, F.
4. 
V, F, F, V.
5. 
V, F, V, V.
Resposta correta
2. Pergunta 3
/1
O Teorema de Green relaciona uma integral de linha com uma integral dupla sobre uma região R. Para que seja válido o teorema, a curva C deve ser simples, ou seja   para todos os valores contidos no intervalo aberto da variação do parâmetro t. Somado a isso, a região R deve ser simplesmente conexa, ou seja, a curva C que delimita a região deve ser simples, e delimitar apenas pontos que pertencem a R.
Figura 6 – Regiões R2 e R3
Cálculo Vetorial_BQ04- Questão20_v1(1).png
Fonte: (LARSON; EDWARDS, 2009)
Considerando essas informações e os conteúdos estudados sobre Cálculo Vetorial, afirma-se que as regiões R2 e R3 são regiões não contempladas pelo teorema porque:
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1. 
são regiões que se adéquam à definição de simplesmente conexas: R2 por conter furos e R3 por sua fronteira cruzar ela mesma.
2. 
são regiões que não se adéquam à definição de simplesmente conexas: R2 por conter furos e R3 por sua fronteira cruzar ela mesma.
Resposta correta
3. 
são regiões delimitadas por uma curva C no sentido horário.
4. 
são regiões que não se adéquam à definição de simplesmente conexas: R3 por conter furos e R2 por sua fronteira cruzar ela mesma.
5. 
são regiões delimitadas por uma curva C no sentido horário e anti-horário.
3. Pergunta 4
/1
Uma das integrais de linhas mais importantes no Cálculo Vetorial é a integral de linha do trabalho (W) de uma partícula que se desloca ao longo de um campo vetorial (F). Essa integral é definida da seguinte forma:
.
Existem, porém, inúmeras outras formas de se escrever essa integral, que podem variar conforma o contexto algébrico em que forem calculadas as integrais. 
Considerando essas informações e o conteúdo estudado sobre a integral de linha do trabalho, analise as afirmativas a seguir.
I.  é uma possível forma de se escrever essa igualdade.
II.  é uma possível forma de se escrever essa igualdade.
III.  é uma possível forma de se escrever essa igualdade.
IV.  é uma possível forma de se escrever essa igualdade.
Está correto apenas o que se afirma em:
Ocultar opções de resposta 
1. 
I, II e IV.
2. 
II e IV.
3. 
I e III.
4. 
I e II.
5. 
I e IV.
Resposta correta
4. Pergunta 5
/1
O teorema da divergência é bastante útil, pois consegue relacionar a integral de um campo vetorial sobre uma superfície com a integral de volume do divergente do campo vetorial. A princípio, pode não ser clara sua utilidade, porém, há diversos casos em que o problema é simplificado. Mas para utilizá-lo, há certos requisitos a serem atendidos. A definição é: 
Considerando essas informações e o conteúdo estudado sobre teorema da divergência, analise as afirmativas a seguir.
I. A superfície S deve ser fechada.
II. A superfície S deve ser orientada para dentro.
III. O campo vetorial F deve possuir derivadas parciais contínuas.
IV. O volume V deve ser maior que o definido pela superfície S.
Está correto apenas o que se afirma em:
Ocultar opções de resposta 
1. 
I e III.
Resposta correta
2. 
I e II.
3. 
I e IV.
4. 
I, II e IV.
5. 
II e IV.
5. Pergunta 6
/1
O teorema de Green, em sua forma vetorial, é utilizado para simplificar a resolução de integrais de linha em caminhos fechado. O teorema relaciona a borda do caminho com a área formado pelo caminho fechado, que deve ter orientação anti-horária. O teorema de Green possui mais de uma forma de ser escrito. 
Considerando essas informações e o conteúdo estudado sobre teorema de Green, analise as afirmativas a seguir.
I.  é uma forma do teorema de Green.
II.  é uma forma do teorema de Green, sendo .
III.  é uma forma do teorema de Green. 
IV.  é uma forma do teorema de Green.
Está correto apenas o que se afirma em:
Ocultar opções de resposta 
1. 
I, II e IV.
Resposta correta
2. 
I e II.
3. 
II e IV.
4. 
I, II e III.
5. 
I e IV.
6. Pergunta 7
/1
O teorema de Green também é utilizado para simplificar a resolução de algumas integrais de caminho. Para tanto, é necessário verificar se a integral e a região satisfazemos requisitos do teorema. Fora isso, basta fazer as derivadas parciais e integrar sobre a região.
Considerando essas informações e os estudos sobre teorema de Green, analise as afirmativas a seguir e assinale V para a(s) verdadeira(s) e F para a(s) falsa(s).
I. ( ) Dado o campo vetorial , a integral na circunferência unitária  é .
II. ( ) Dado o campo vetorial  a integral na circunferência unitária  é .
III. ( ) Dado o campo vetorial , a integral na circunferência unitária  é .
IV. ( ) Dado campo vetorial , a integral no quadrado definido por  e  é . 
Agora, assinale a alternativa que apresenta a sequência correta:
Ocultar opções de resposta 
1. 
V, F, V, V.
Resposta correta
2. 
F, F, V, V.
3. 
V, F, F, V.
4. 
V, V, F, F.
5. 
F, F, V, F.
7. Pergunta 8
/1
O conjunto de teoremas da divergência, de Green e de Stokes é um conjunto de ferramentas para nos auxiliam a resolver integrais em campos vetoriais que são difíceis ou impossível de resolver. Todos os teoremas fazem uma mudança de integral de um tipo para outro.
Considerando essas informações e o conteúdo estudado sobre teorema da divergência, de Green e Stokes, analise as afirmativas a seguir.
I. O teorema da divergência transforma uma integral sobre uma área para uma integral sobre um volume.
II. O teorema de Green transforma uma integral sobre um caminho para uma integral sobre uma área.
III. O teorema de Stokes transforma uma integral sobre um caminho para uma integral sobre um volume.
IV. Os teoremas podem fazer a transformação em um sentido ou outro.
Está correto apenas o que se afirma em:
Ocultar opções de resposta 
1. 
I e IV.
2. Incorreta: 
I e II.
3. 
II e IV.
4. 
I e III.
5. 
I, II e IV.
Resposta correta
8. Pergunta 9
/1
As integrais de linha retomam conceitos do Teorema Fundamental do Cálculo, possibilitando o cálculo de integrais em um contexto vetorial. Para isso, porém, deve-se encontrar maneiras algébricas para se trabalhar com os objetos matemáticos, de modo a tornar viável o cálculo de integrais e derivadas.
Uma das maneiras algébricas de se trabalhar com alguns objetos é efetuando a parametrização. Considerando essas informações e os conteúdos estudados, pode-se dizer que a parametrização é de extrema importância para o Cálculo Vetorial porque:
Ocultar opções de resposta 
1. 
a parametrização é uma maneira de se definir limites integrativos.
2. 
a parametrização é uma estrutura algébrica nula.
3. 
a parametrização faz com que a integral de linha independa de limites integrativos.
4. 
a parametrização é uma representação de uma função, ou seja, torna o objeto matemático integrável.
Resposta correta
5. 
a parametrização torna dispensável o trabalho com vetores.
9. Pergunta 10
/1
O teorema de Stokes pode ser dito que é uma versão de uma dimensão maior que o de Green. Lembrando que ambos relacionam uma integral de caminho com uma integral sobre uma superfície. Porém, eles não o fazem da mesma maneira.
Considerando essas informações e o conteúdo estudado sobre teorema de Stokes, pode-se dizer que o teorema de Green e de Stokes são diferentes porque:
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1. 
o teorema de Green usa o operador rotacional e de Stokes o operador divergente.
2. 
o teorema de Stokes é usado para campos escalares e o de Green campos vetoriais.
3. 
as superfícies de integração possuem orientações diferentes.
4. 
o integrando da integral sobre a mesma superfície é diferente em cada um dos teoremas.
5. 
a superfície do teorema de Stokes é uma superfície cuja projeção no plano do caminho é a superfície do teorema de Green.
Resposta correta