106907603-Apostila-de-Resistencia-dos-Materiais

Prévia do material em texto

RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS 
Prof. Renato J. P. C. Miranda 
e Colaboradores 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
À Délia, Eduardo, Paula e Daniela, pelas 
horas roubadas e reais desviados. 
 
 APOSTILA DE RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS -APRESENTAÇÃO 2-MAIO DE 2012 
PROF. RENATO J. P. C. MIRANDA E COLABORADORES. 
Esta segunda apresentação de maio de 2012, é continuação da primeira de fevereiro de 2000, 
que está na página seguinte. 
Nos anos 60 e 70, eu e alguns colegas escrevemos à máquina e desenhos à nanquim, alguns 
capítulos desta apostila. No final dos anos 90, preparamos outros capítulos, alguns 
parcialmente, 16 anexos e entregamos o nosso trabalho à comunidade acadêmica e profissional. 
São 512 páginas, sendo 20 coloridas. Parte dos capítulos antigos foi apenas “scaneada”, e 
portanto, estão com a nomenclatura da época (S para área, J para momento de inércia, Q para 
força cortante, etc.) e com exercícios feitos no sistema de unidades técnico ( Kgf, tf,cm, etc.). 
Com relação ao modo de indicar o diagrama de momento fletor M, optou-se nesta edição , em 
adotar o modo usado por algumas Escolas de Engenharia do Brasil, ou seja desenhá-lo sobre o 
lado tracionado. Como sabemos o momento fletor é positivo quando traciona as fibras 
inferiores e negativo quando traciona as fibras superiores. Portanto, neste trabalho, será 
desenhado positivo para baixo e negativo para cima. Esta convenção facilita o projeto de vigas 
de concreto armado, pois as armaduras são colocadas predominantemente no lado tracionado, 
ou seja, onde está desenhado o diagrama de momentos fletores. 
Recentemente, a FEI e outras Escolas de Engenharia estão usando o sistema universal 
empregado na maioria das Escolas no mundo, ou seja, o sistema lógico de desenhar valores 
positivos para cima e negativos para baixo. Portanto, se na sua Escola, é usado este sistema 
universal, os diagramas de momentos fletores devem ser invertidos. 
Na próxima edição , pretendemos uniformizar a maneira de desenhar o diagrama de momento 
fletor, em positivo para cima e negativo para baixo; padronizar o sistema de unidades só no SI; 
alterar a nomenclatura antiga; atualizar anexos e exercícios e sobretudo completar a parte 
conceitual do capítulo II-Complementos de Reações de Apoio –RDA e Diagramas de Esforços 
Internos Solicitantes-DEIS, e do capítulo V-Tensões Normais na Flexão. 
Apesar destes problemas, podemos dizer que felizmente atingimos os nossos objetivos, pois 
durante décadas, milhares de alunos ,centenas de profissionais e dezenas de professores usaram 
e usam a nossa apostila, agora disponível livremente na rede, para auxiliar o processo de ensino 
e aprendizado de Resistência dos Materiais. Evidentemente, que deve ser usada como 
bibliografia complementar à excelente bibliografia existente nacional e internacional. 
Agradeço mais uma vez a todos os colaboradores, divulgadores e leitores deste trabalho e 
espero ter ajudado muitas pessoas a entrarem no fascinante mundo do projeto das peças sujeitas 
a esforços. 
Correções, sugestões, criticas, e comentários são sempre bem recebidas. Os convites anteriores 
continuam abertos para os interessados na co-autoria, atualização, complementação e quiçá 
,transformá-la num livro. 
Prof. Renato J. P. C. Miranda – email: renatocmiranda@yahoo.com.br 
APRESENTAÇÃO 
 
No início da década de 70, alguns jovens Professores de várias Escolas de Engenharia de São 
Paulo reuniram-se diversas vezes, visando preparar uma apostila sobre Resistência dos Materiais para 
ajudar os alunos e Professores no delicado processo de ensino e aprendizagem desta importante matéria, 
que na época tinha um baixíssimo índice de aprovação. 
 Em algumas Faculdades o índice de aprovação não chegava a 10%! 
Cada Professor ficou encarregado de preparar alguns capítulos que depois seriam agrupados para 
compor uma apostila. 
Quase 30 anos se passaram, estamos entrando no novo milênio e apenas nós (Professor Renato J. 
P. C. Miranda) preparamos 4 capítulos, a saber: III – Complementos de Figuras Planas, IV – Tração 
Compressão e Cisalhamento; VII – Torção e VIII – Flambagem, que durante muitos anos ajudaram, 
alunos e Professores de Resistência dos Materiais , em muitas Escolas de Engenharia, Arquitetura, 
Técnicas e de Projeto, além de propiciar aos profissionais já formados, uma alternativa de revisão dos 
conceitos básicos da análise de peças sujeitas a esforços. 
Em meados de 1999, um grupo de Professores, alunos, ex-alunos e Engenheiros, com a nossa 
coordenação, reuniram-se com os mesmos objetivos citados, desta vez com auxílio dos recursos da 
Informática (Word, AutoCAD, Excel, Internet, CorelDraw, Paint, etc.). 
Após meses de muito trabalho, entregamos esta edição provisória à comunidade acadêmica e 
profissional, pois não foi possível fazer os resumos teóricos completos dos capítulos: I – Conceitos 
Gerais, II – Complementos de Reações de Apoio e Diagramas de Esforços Internos Solicitantes e V – 
Tensões Normais na Flexão. 
Como é citado no capítulo I – Introdução ao Curso e anexo XVI – Referências Bibliográficas, 
existem centenas de obras sobre Resistência dos Materiais no Brasil e no Exterior, nas bibliotecas e na 
Internet. Cada uma tem as suas características, adequadas aos meios acadêmicos e profissionais, onde 
foram produzidas. 
No nosso caso, o contato com os Professores e alunos no dia a dia da sala de aula, encorajou-nos 
a preparar mais este trabalho despretensioso, sem querer chegar perto dos meus extraordinários mestres 
como Professor Gaspar Ricardo, Professor Telemaco, Professor Soares, Professor Mautoni, Professor 
Souza Lima, Professor Zagottis, Professor Tupiassu, Professor Freire, Professor Lavaste, Professor 
Manoel Rocha, entre outros. 
Dentre os diversos livros existentes, recomendamos como reforço ao curso, o empréstimo 
através da Biblioteca do livro “Resistência dos Materiais” de BEER, F. P. e JOHNSTON, E. R. – 3
a
 
edição, Editora Makron Books, São Paulo, 1996, que pode ser usado em conjunto com o livro “Mecânica 
Vetorial para Engenheiros – Estática”, 5
a
 edição dos mesmos autores e da mesma editora. 
Estes livros, além de se aproximarem da maneira como damos o curso, traz nas edições inglesas, 
interessantes TUTORIAIS descritos nos anexos VIII, IX e X, além de apresentarem no final de cada 
capítulo, alguns exercícios para serem resolvidos por computador, como se indica no anexo XI. 
Esclarecemos que esta apostila pode ser usada com quaisquer outros livros que abordem 
Resistência dos Materiais e Estática. 
Como se vê no índice, este trabalho foi dividido em 8 capítulos e pode ser usado num curso 
básico semestral de 4 ou 6 aulas semanais, ou anual de 2 ou 4 aulas semanais, com ou sem atividades de 
Laboratório. 
Abusamos do direito de preparar Anexos. Com auxílio de algumas pessoas, preparamos 16 
Anexos, que pretendem dar um caráter atual à apostila. Além dos Anexos dos Tutoriais, destacamos os 
Anexos da Internet, dos programas existentes nas calculadoras do tipo HP48 GX, das tabelas de materiais, 
figuras planas e perfis, do formulário completo, da extensa relação de referências e livros, e, sobretudo, da 
interessante coleção de alguns Exemplos Motivadores das diversas Áreas da Engenharia. 
Na próxima edição, que esperamos não demorar 30 anos, devemos completar os Capítulos 
citados e o anexo dos Exemplos Motivadores, bem como, com o auxílio do leitor, corrigir os eventuais 
erros e atualizar todos os dados e informações. Desde já agradecemos essa valiosa colaboração no sentido 
de tentar “zerar” o número de erros, pois sabemos bem o que é “perder” tempo, fazendo de vários modos 
um determinado exercício e estar com a resposta errada! 
Esperamos também num futuro próximo, preparar a continuação deste curso básico, envolvendo 
os capítulos complementares de Resistência dos Materiais, tais como Cisalhamento na Flexão, Perfis de 
Parede Fina, Complementos de Torção,Estados Múltiplos de Tensões e Deformações, Lei de Hooke 
Generalizada, Critérios de Resistência, Solicitações Compostas e muitos outros. 
Pretende-se ainda, usar a nossa experiência nas áreas de Análise Experimental de Tensões, 
Laboratórios Didáticos de Resistência dos Materiais e Método dos Elementos Finitos, para preparar 
trabalhos específicos nestes importantes setores. 
 
Prof. Renato J. P. C. Miranda 
 
Agradecimentos 
 
Muitas pessoas colaboraram para a produção desta apostila. Algumas, de uma forma mais 
rápida, por exemplo, ajudando na importante revisão final de um capítulo ou anexo, outras, ao longo de 
vários meses, organizando, digitando e desenvolvendo capítulos inteiros. Independentemente do tempo 
dedicado, cada qual foi essencial para a concretização deste trabalho. Nossos agradecimentos a: 
 
 
PROFESSORES: Airton Nabarrete, Anselmo Martinez, Antonio M. Makiyama, 
Armando L. P. C. Miranda, Cesar A. Guidetti, Franco Brunetti, 
Renato I. Teramoto e Werner Mangold; 
 
ALUNOS E MONITORES: Cesar P. Souza, Daniel Cortazzo, Danilo Buchdid, Igor Zucato, 
Renato Callejon, Rodrigo Ferrante, Sandro Arthur de Oliveira e 
Vanessa Dias da Silva; 
 
Ex-ALUNOS: Luiz Alberto P. Alvim e Marcelo M. Vieira; 
ENGENHEIROS: Eduardo Monteiro, Júlio Ruiz Delgado, Milton Delgado Ruiz, 
Nelson de Aquino Filho, Roberto Camanho e Shiro Sakon. 
 
 
 
Quanto ao concurso da escolha da capa, venceram os alunos: Danilo Buchdid, Tiago Paes de 
Barros e Oliveira e Filipe Alvarenga. Além deles, participaram com brilhantismo, os alunos: Silvio José 
Macedo, Marcio O. Zappi e Andressa Rosolem Lopes e os funcionários: Luciano José Silva e Ricardo 
Corrales Rocha. 
 
Registra-se que o desenho da capa foi compilado do livro: “Quem Deu Asas ao Homem” de 
VILLARES, Henrique Dumont, Rio de Janeiro, Instituto Nacional do Livro, 1957, que aborda a história 
do nosso grande aviador: Alberto Santos Dumont. 
 
Agradecimentos especiais aos alunos: Eduardo Tadao Tanaka e Leonardo Moneci Zamboni, que 
durante vários meses, dedicaram-se intensamente à preparação, digitação e desenhos de praticamente toda 
a apostila, com muito esforço e paciência. 
 
 
 
Finalmente, agradecemos sua atenção e participação, esperando que este trabalho facilite e 
incentive seus estudos sobre Resistência dos Materiais e que Você entre no fascinante mundo do projeto 
de peças e estruturas sujeitas a esforços! 
 
 
 
 
 
Renato José Pereira da Costa Miranda 
 
 Engenheiro Industrial Mecânico; 
 Possui diversos cursos de pós-graduação e especialização nas áreas de Resistência dos 
Materiais, Análise Experimental de Tensões, Método dos Elementos Finitos e Projeto 
Mecânico em Geral; 
 Professor Titular na FEI – Faculdade de Engenharia Industrial de São Bernardo do Campo; 
 Professor Associado na Escola de Engenharia Mauá; 
 Professor Titular na Universidade Santa Cecília; 
 Engenheiro Consultor; 
 Ex-Professor da Universidade São Judas Tadeu, Universidade do Grande ABC, 
Universidade de Guarulhos, Universidade Mackenzie, Escola Técnica Industrial Lauro 
Gomes e Escola Profitec. 
NOMENCLATURA 
 
 
1- F, P .................................................................................................................... Força concentrada 
2- w, p , q, g ............................................................................................................. Carga distribuída 
3- M0, T0 ................................................................................................................. Momento, torque 
4- P, N, F ....................................................................................................................... Força normal 
5- V, Q .......................................................................................................................... Força cortante 
6- M ........................................................................................................................... Momento fletor 
7- T, MT ....................................................................................................... Momento torçor, torque 
8- A, S ...................................................................................................... Área da secção transversal 
9- Qx, Msx, Mx, Sx .................................................................................................. Momento estático 
10- Ix, Jx ................................................. Momento de inércia em relação a um eixo, momento axial 
11- Ixy, Pxy, Jxy ..................................................................... Produto de inércia, momento centrífugo 
12- J, Ip, Jp, J0 ............................................................................................ Momento polar de inércia 
13- r, i, k .....................................................................................................................Raio de giração 
14- Wx, Sx, Zx .................................................................................... Módulo de resistência à flexão 
15- WT ............................................................................................... Módulo de resistência à torção 
16- I1, I2, IMAX, IMIN .......................................................... Momentos principais (centrais) de inércia 
17- 1, 2, m .............................................................................................. Ângulos correspondentes 
18-  ....................................................................................... Tensão normal, tração ou compressão 
19-  ........................................................................................ Tensão tangencial ou de cisalhamento 
20-  ................................................................................................................................ Tensão total 
21- LIM, LIM ............................................................................................................. Tensões limites 
22- PLIM, PU ...................................................................................................... Carga limite (última) 
23- RT, RC, U ....................................... Tensão limite de resistência (última), tração, compressão 
24- ET, EC, Y ................................................... Tensão limite de escoamento, tração, compressão 
25- R, U ..................................................................... Tensão limite de resistência ao cisalhamento 
26- E, y .................................................................... Tensão limite de escoamento ao cisalhamento 
27- p ......................................................................................... Tensão limite de proporcionalidade 
28- ESM, e ................................................................................................ Tensão de esmagamento 
29- CIR, t ..................................................................................................... Tensão circunferencial 
30- LON .............................................................................................................. Tensão longitudinal 
31- RAD ........................................................................................................................ Tensão radial 
32- adm, adm,  ,  ,all, all ............................................................................... Tensão admissível 
33- p ....................................................................................................................................... Pressão 
34- d ........................................................................................................................ Diâmetro interno 
35- D ........................................................................................................................ Diâmetro externo 
36- r .................................................................................................................................Raio interno 
37- R ............................................................................................................................... Raio externo 
38- e, t .................................................................................................................................. Espessura 
39- L, l, a ..................................................................................................................... Comprimento 
40- HA, Rx ................................................................................................................ Força horizontal 
41- VA, Ry .....................................................................................................................Força vertical 
42- R ............................................................................................................................... Reação total 
43- MA .................................................................................................... Momento de engastamento 
44- , x ................................................................................................ Deformação específica linear 
45- T, y, z ................................................................................. Deformação específica transversal 
46-  ................................................................................. Deformação específica angular (distorção) 
47- E ........................................................................... Módulo de elasticidade longitudinal (Young) 
48- G ............................................................................................ Módulo de elasticidade transversal 
49-  ............................................................................................................... Coeficiente de Poisson 
50- , l .................................................................................................... Deslocamento longitudinal 
 
51- d .........................................................................................................Deslocamento transversal 
52- y, v, v ........................................................................................ Deslocamento vertical (flecha) 
53- ,  ............................................................................. Deslocamento angular na flexão (rotação) 
54- ,  .......................................................................................... Deslocamento angular na torção 
55- P, N ................................................................................................................................. Potência 
56-  .................................................................................................................... Velocidade angular 
57- f ................................................................................................................................... Freqüência 
58- n ..........................................................................................................Rotação por minuto – rpm 
59- cs, s ........................................................................................................Coeficiente de segurança 
60- csT, sT ...................................................................................... Coeficiente de segurança à tração 
61- csC, sC ............................................................................. Coeficiente de segurança à compressão 
62- , R ................................................................................................................... Raio de curvatura 
63- C .................................................................................................................................... Curvatura 
64- δ , l , f ,θ ,φ ................................................................................... Deslocamento admissível 
65- c, y’, y’’ ................................................................................ Distâncias das fibras mais afastadas 
66- Pfl, Pcr ............................................................................................... Carga crítica de flambagem 
67- fl, cr ............................................................................................ Tensão crítica de flambagem 
68- Le, lfl ............................................................. Comprimento equivalente (efetivo) de flambagem 
69- , Le/r .................................................................................................. Índice efetivo de esbeltez 
70- , k,  .................................................................................... Coeficiente, função de vinculação 
71- LIM, cc .................................................................................................... Índice de esbeltez limite 
72-  ............................................................................................... Coeficiente de dilatação térmica 
73- T ......................................................................................................... Variação de temperatura 
74- p,  ...................................................................................................................... Peso específico 
75- A ............................................................................................................ Alongamento de ruptura 
76- KIc ................................................................................................... Fator de tenacidade à fratura 
77- 1, 2, 3 ......................................................................................................... Tensões principais 
78- 1, 2, 3 ................................................................................................... Deformações principais 
79- S .................................................................................................. Deformação específica de área 
80- V ........................................................................................................... Deformação volumétrica 
81- K .......................................................................................... Módulo de elasticidade volumétrica 
82- U ............................................................................................................... Energia de deformação 
83- R .................................................................................................................................. Resiliência 
84- el, el ........................................................................................... Tensões limites de elasticidade 
85- ’, ’’ ................................................................................................. Tensões normais extremas 
 
 
 
 
 
 
PREFIXOS SI 
 
 Fator de multiplicação Nome Símbolo 
1000 000 000 000 000 000 = 10
18
 .......... exa................. E 
1000 000 000 000 000 = 10
15
.................. peta................. P 
1000 000 000 000 = 10
12
......................... tera................ T 
1000 000 000 = 10
9
.................................. giga................ G 
1000 000 = 10
6
......................................... mega............... M 
1000 = 10
3
................................................ quilo............... k 
100 = 10
2
.................................................. hecto.............. h 
10 = 10
1
.................................................... deca............... da 
0,1 = 10
-1
.................................................. deci................ d 
0,01 = 10
-2
................................................ centi............... c 
0,001 = 10
-3
.............................................. mili................. M 
0,000 001 = 10
-6
....................................... micro.............. 
0,000 000 001 = 10
-9
................................ nano...............n 
0,000 000 000 001 = 10
-12
....................... pico................. p 
0,000 000 000 000 001 = 10
-15
................ femto............. f 
0,000 000 000 000 000 001 = 10
-18
......... atto................. a 
 
 
ALFABETO GREGO 
 
Alfa....................   Ni.......................  
Beta ..................   Xi.......................  
Gama.................   Ômicron............  
Delta..................   Pi.......................  
Épsilon..............   Rô......................  
Zeta....................   Sigma................  
Eta.....................   Tau....................  
Teta....................   Ipsilon................  
Iota....................   Fi.......................  
Capa..................   Qui.....................  
Lambda..............   Psi......................  
Mi......................   Ômega...............  
 
 
 UNIDADES 
 
1- Forças................................................................. N, kN, kgf, tf, daN (kip = 10
3
 lbf) 
2- Momentos.......................................................... N.m, kN.m, kgf.m, tf.m (kip.ft , lbf.in) 
3- Carga distribuída................................................ N/m, kN/m, kgf/cm, tf/m 
4- Comprimento, deslocamentos lineares.............. m, mm, cm (ft, in) 
5- Área................................................................... m
2
, mm
2
, cm
2
 (in
2
) 
6- Momento estático, volume................................ m
3
, mm
3
, cm
3
 (in
3
) 
7- Momento de inércia........................................... m
4
, mm
4
, cm
4
 (in
4
) 
8- Potência............................................................. N.m/s = W, cv, hp 
9- Ângulo............................................................... rad, grau º 
10- Tensões, módulo de elasticidade, pressão....... N/m
2
 = Pa, MPa, GPa, N/mm
2
, kN/cm
2
, 
kgf/m
2
, kgf/cm
2
 (psi, kpsi = ksi) 
11- Velocidade angular.......................................... rad/s 
12- Freqüência ...................................................... Hz 
13- Coeficiente de dilatação................................... ºC 
-1 
14- Peso específico................................................ kN/m
3
, kgf/m
3
 
 
 
 
 1 kgf = 9,81 N  10 N , MPa = 10
6
 Pa , GPa = 10
9
 Pa , 1 kN = 10
3
 N , 1daN = 10 
 
 
SUMÁRIO 
CAPÍTULO I - INTRODUÇÃO AO CURSO - CONCEITOS GERAIS 
 Página 
1 - Introdução ao Curso. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1 
1. O que é Resistência dos Materiais?. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1 
2. Principais Esforços - Conceitos Intuitivos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2 
3. Principais Objetivos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2 
4. Principais Tópicos - Resumo do Programa. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 
. 
1.3 
5. Principais Pré-Requisitos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.4 
6. A Posição da Resistência dos Materiais no Curso. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 
. 
1.4 
7. A Posição da Resistência dos Materiais no Projeto Mecânico. . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.5 
8. Orientação Bibliográfica. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.5 
9. Histórico - Resumo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.7 
10. Tendências - Perspectivas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.7 
11. Desenvolvimento do Curso - Critério de Aprovação. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 
. 
1.7 
12. Trabalho Prático - Avaliação n.º 1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 
. 
1.8 
 
2 - Conceitos Gerais - Orientação Para Estudo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.9 
 
CAPÍTULO II - COMPLEMENTOS DE REAÇÕES DE APOIO E 
DIAGRAMAS DE ESFORÇOS INTERNOS SOLICITANTES 
 Página 
 PARTE 1- Resumo Teórico - Conceitos Gerais Estruturais. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1 
PARTE 2 - Exercícios resolvidos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3 
PARTE 3 - Série de 58 exercícios propostos com respostas de reações de apoio e diagramas 
 de esforços internos solicitantes - Vigas retas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.16 
 
CAPÍTULO III - COMPLEMENTOS DE FIGURAS PLANAS 
 Página 
1. Generalidades. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.1 
2. Momento estático. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2 
3. Centro de gravidade (Baricentro) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.4 
4. Momento de inércia em relação a um eixo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.5 
5. Momento de inércia polar. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.6 
6. Momento centrífugo de inércia ou produto de inércia. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.8 
7. Raio de giração. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.10 
8. Exemplos - Figuras elementares. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.11 
9. Translação de eixos - Teorema de Steiner. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.21 
10. Exemplos - Figuras elementares. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.24 
11. Formulário - Anexo II. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.30 
12. Exemplos - Figuras compostas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.30 
13. Perfis Industriais - Anexo III. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.45 
14. Exemplos - Perfis compostos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.47 
15. Rotação de eixos, momentos e eixos principais de inércia. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.53 
16. Exemplos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.67 
17. Módulos de resistência em relação a um eixo central. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.82 
18. Exemplos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.89 
19. Exemplos diversos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.99 
20. Exercícios propostos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.110 
21. Exercícios complementares. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.125CAPÍTULO IV - TRAÇÃO - COMPRESSÃO - CISALHAMENTO 
 Página 
1 - Tração e compressão. 
1.1- Generalidades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.1 
1.2- Hipóteses. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2 
1.3- Tensão normal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.4 
1.4- Deslocamento longitudinal. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.6 
1.5- Exemplos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.7 
1.6- Deformação transversal - Coeficiente de Poisson. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.19 
1.7- Deformação volumétrica na solicitação simples. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.20 
1.8- Solicitação dupla e tripla - Generalização da Lei de Hooke. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.21 
1.9- Tubos de parede fina. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.26 
1.10- Exemplos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.31 
1.11- Energia de deformação - Noções. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.38 
1.12- Exemplos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.40 
1.13- Exercícios propostos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.41 
 
2 - Cisalhamento Puro. 
2.1- Generalidades. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.46 
2.2- Hipóteses. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.47 
2.3- Tensão de cisalhamento. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.48 
2.4- Deslocamento angular e transversal. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.49 
2.5- Energia de deformação no cisalhamento puro - Noções. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.52 
2.6- Exemplos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.53 
2.7- Exercícios propostos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.58 
2.8- Exercícios complementares. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.68 
 
CAPÍTULO V - TENSÕES NORMAIS NA FLEXÃO 
 Página 
1. Tipos de Flexão. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.1 
2. Flexão Pura e Flexão Simples. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.1 
2.1. Principais Hipóteses. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.1 
2.2. Cálculo das Tensões. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.2 
2.3. Projeto de Peças Pela Condição de Resistência, ou seja, Limitação de Tensões. . . 5.2 
2.4. Etapas Clássicas dos Problemas de Flexão. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.2 
2.5. Exercícios Resolvidos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.3 
3. Flexão Composta Normal. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.9 
3.1. Resumo Teórico e Orientação Para Estudo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.9 
3.2. Exercícios Resolvidos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.9 
4. Flexão Simples Obliqua. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.12 
4.1. Resumo Teórico - Orientação para Estudo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.12 
4.2. Exercícios Resolvidos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.12 
5. Exercícios Propostos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.16 
 
CAPÍTULO VI – DESLOCAMENTOS NA FLEXÃO 
 Página 
PARTE I- RESUMO TEÓRICO. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.1 
1. Objetivos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.1 
2. Importância. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.1 
3. Nomenclatura. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.1 
4. Hipóteses Fundamentais. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.2 
5. Expressão da Curvatura. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.2 
6. Cálculos e Simplificações. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.3 
7. Equação Diferencial da Linha Elástica. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.4 
8. Convenções de Sinais. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.4 
9. Relações entre Esforços e Deslocamentos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.5 
10. Alguns Processos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.5 
11. Processo de Integração da Linha Elástica – Seqüência Geral. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.5 
 
PARTE II- EXERCÍCIOS RESOLVIDOS. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.6 
 
 
PARTE III- CASO GERAL - "N" TRECHOS PELO PROCESSO CLÁSSICO DA 
 INTEGRAÇÃO DA LINHA ELÁSTICA. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.40 
1. Resumo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.40 
2. Caso Geral – “n” Trechos pelo Processo Clássico da Integração da Linha Elástica 
 - Noções. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.41 
3. Exemplos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.42 
4. Conclusão. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.46 
5. Exercício Proposto. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.46 
 
CAPÍTULOVII - TORÇÃO 
 Página 
1- Generalidades. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.01 
2- Torção em peças de secção circular. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.03 
3- Expressão do momento torçor em função da potência e da rotação por minuto. . . . . 7.09 
4- Dimensionamento pelas condições de resistência e rigidez. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.10 
5- Exemplos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.11 
6- Energia de deformação - Noções. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.17 
7- Exercícios propostos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.19 
8- Exercícios complementares. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.22 
 
CAPÍTULO VIII - FLAMBAGEM 
 Página 
1- Generalidades. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.1 
2- Equilíbrio estável, instável e indiferente. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.1 
3- Conceito de flambagem. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.2 
4- Caso fundamental de Euler. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.3 
5- Diversos casos de vinculação. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.5 
6- Fórmula geral de Euler. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.5 
7- Algumas observações relativas à carga de flambagem. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.7 
8- Campo de validade da fórmula de Euler. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.10 
9- Flambagem no regime inelástico - Várias teorias. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.11 
10- Resumo - Orientação para cálculo - Principais etapas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.18 
11- Exemplos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.20 
12- Exercícios propostos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.36 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
ANEXOS 
 Página 
I - PROPRIEDADES MECÂNICAS DOS MATERIAIS E TENSÕES ADMISSÍVEIS. . A.I - 1 
 Tabela 1 - Propriedades Mecânicas de Alguns Materiais. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A.I - 1 
 Tabela 2 - Tensões Admissíveis Típicas Para Alguns Tipos de Aços. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A.I - 7 
 Tabela 3 - Tensões Admissíveis Típicas Para Alguns Tipos de Madeiras. . . . . . . . . . . . . . . . . . A.I - 7 
II - MOMENTOS DE INÉRCIA DAS PRINCIPAIS FIGURAS PLANAS. . . . . . . . . . . . . . A.II - 1 
III - PERFIS INDUSTRIAIS - VÁRIAS TABELAS. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A.III - 1 
IV - ANÁLISE DAS EXPRESSÕES DE MÁXIMOS E MÍNIMOS. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A.IV - 1 
V - FORMULÁRIO DE TORÇÃO. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A.V - 1 
VI - TABELA DE DESLOCAMENTOS NA FLEXÃO. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A. VI - 1 
VII - FORMULÁRIO BÁSICO DE RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS, NOTAÇÃO 
 BEER-JOHNSTON. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A.VII - 1 
VIII - TRABALHO N.º 1 - COM TRÊS PARTES: 
 a) Uso do Tutorial de Estática do livro de Beer - Johnston (5ª Edição) ou equivalente 
 b) Uso do Tutorial de Resistência dos Materiais do livro de Beer - Johnston ou equivalente 
 c) Desenvolvimento de um tema ligado à Resistência dos Materiais (Seminário). . . . . . . . . . . . . A.VIII - 1 
IX - COMO USAR O SOFTWARE INTERATIVO "TUTORIAL DE ESTÁTICA" - 
 - BEER-JOHNSTON. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A.IX - 1 
X - TUTORIAL DE ESTÁTICA - BEER-JOHNSTON - 6ª EDIÇÃO - INFORMAÇÕES. . A.X - 1 
XI - TRABALHO N.º 2 - EXERCÍCIOS PARA SEREM FEITOS USANDO 
 COMPUTADOR - RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS - BEER - JOHNSTON 
 - 3ª EDIÇÃO - INSTRUÇÕES. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A.XI - 1 
XII - A RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS E OS E. N. C. - EXAMES NACIONAIS DE 
 CURSOS - "PROVÕES" (MEC - MINISTÉRIO DA EDUCAÇÃO, CULTURA E 
 (DESPORTOS). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A.XII - 1 
XIII - A RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS E AS CALCULADORAS TIPO HP 48G/GX. A.XIII - 1 
XIV - A RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS E A INTERNET - UM MUNDO A 
 DESCOBRIR! . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A.XIV - 1 
XV - EXEMPLOS MOTIVADORES DAS VÁRIAS ÁREAS DA ENGENHARIA. . . . . . . . A.XV - 1 
XVI - REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A.XVI - 1 
 
 
 
 
 
 1.0 
 
 
 
 
 
 
 
 
1.0 
CAPÍTULO I 
 
INTRODUÇÃO AO 
CURSO – CONCEITOS 
GERAIS 
Prof. Renato J. P. C. Miranda 
Colaboração: 
Leonardo Moneci Zamboni 
Bem vindo à Resistência dos Materiais! 
Após ler esta introdução, Você saberá como ter um bom 
aproveitamento, e mais tarde analisar peças por Elementos Finitos! 
 1.1 
CAPÍTULO I 
 
INTRODUÇÃO AO CURSO – CONCEITOS GERAIS 
 
 
1
a. 
Parte – Introdução ao Curso: 
 
1. O que é a Resistência dos Materiais (R.M.)? 
2. Principais Esforços – Conceitos Intuitivos. 
3. Principais Objetivos. 
4. Principais Tópicos – Resumo do Programa. 
5. Principais Pré-requisitos. 
6. Posição da Resistência dos Materiais no Curso. 
7. Posição da Resistência dos Materiais no Projeto. 
8. Orientação Bibliográfica. 
9. Histórico – Resumo. 
10. Tendências – Perspectivas. 
11. Desenvolvimento do Curso – Critério de Aprovação. 
12. Trabalho Prático – Avaliação n.º 1. 
 
 
1 – O Que É Resistência dos Materiais? 
 
Na Natureza, todos os corpos (peças, estruturas, etc.) quando sujeitos a esforços (forças 
concentradas, distribuídas, momentos, etc.), apresentam deformações (lineares, angulares, etc.)? 
a)  Verdadeira. 
b)  Falsa. 
c)  Depende. 
d)  N. D. A. – Nenhuma Das Anteriores. 
 
É com esta pergunta, que em geral, propicia um bom debate com os alunos, que iniciamos a 
Introdução ao curso básico de Resistência dos Materiais. 
Evidentemente que a resposta certa é a primeira, pois em maior ou menor escala, todos os corpos 
são deformáveis. Para verificar experimentalmente esta afirmação, basta tomar uma peça de borracha ou 
giz e submetê-la a um esforço axial “P” como se indica na figura 1 e perceber que o corpo tem suas 
dimensões alteradas numa proporção que depende da intensidade do esforço, da geometria e das 
características do material. 
Na figura 1 enfatizamos o binômio esforço “P”  deslocamento “” que vai se repetir ao longo 
de todo o curso. 
Com a apresentação do corpo deformável, a hipótese do corpo rígido vista nas disciplinas de 
Física e Mecânica deve ser encarada com muitas restrições. Evidentemente que durante a análise de um 
problema, parte do estudo pode ser feita considerando a hipótese de corpo rígido, como por exemplo, a 
determinação da trajetória, velocidade e aceleração de um veículoespacial. Porém, no dimensionamento 
da estrutura desse veículo, devem ser limitadas as deformações e deslocamentos das diferentes peças. 
Portanto, do ponto de vista simplificado, a Resistência dos Materiais estuda o comportamento 
dos sólidos, ou seja, os esforços e deformações nos corpos sólidos, elásticos ou plásticos, visando o 
dimensionamento de uma estrutura. 
Será visto mais adiante, com detalhes, que o conceito de estrutura está ligado ao conjunto de 
elementos, cuja finalidade é receber e transmitir esforços aplicados, respeitando diversas normas de 
segurança, estabilidade, economia, resistência, rigidez, etc. Dentro dessa visão geral, podemos entender 
como estrutura ou elemento estrutural, desde um simples parafuso, eixo, viga, até a estrutura completa de 
um edifício, ponte, veículo, torre de transmissão, ponte rolante, fêmur, guindaste, gasoduto, prensa 
hidráulica, plataforma marítima, espacial, etc. 
P 
 
Figura 1 – Peça sujeita a esforço 
 1.2 
De um ponto de vista mais rigoroso, devemos incluir a Resistência dos Materiais dentro da 
Reologia, que é o capítulo de Física que estuda os corpos deformáveis em geral. Assim fazem parte da 
Reologia, a Teoria da Elasticidade, Teoria da Plasticidade, Mecânica dos Fluidos e a Mecânica dos 
Sólidos, que estuda como o próprio nome indica, os corpos elásticos, plásticos, fluidos e granulosos, 
respectivamente. 
Podemos então concluir que a Resistência dos Materiais baseia-se nas hipóteses gerais da Teoria 
da Elasticidade e da Teoria da Plasticidade, porém, introduz um grande número de hipóteses 
simplificadoras, compatíveis com a precisão usual dos problemas de engenharia, visando a solução mais 
rápida do problema clássico de dimensionar e verificar estruturas sujeitas a esforços. 
Fica claro entender que a Resistência dos Materiais é sinônimo de Mecânica dos Materiais, 
Mecânica dos Sólidos e Estática dos Corpos Deformáveis. 
 
2 – Principais Esforços – Conceitos Intuitivos 
 
Visando um primeiro contato intuitivo com os quatro esforços clássicos da Resistência dos 
Materiais, apresentamos na figura 2, o comportamento das peças sujeitas a: 
Esforço ou Força Normal “P” – de tração e compressão – Figura 2a e 2b. 
Esforço ou Força Cortante “V” – corte ou cisalhamento – Figura 2c. 
Momento Fletor “M” – Flexão – Figura 2d. 
Momento Torçor “T” – Torção – Figura 2e. 
 
 
3 – Principais Objetivos 
 
Resumindo o que já foi discutido, podemos citar os seguintes objetivos básicos: 
a) Dimensionamento de peças, sujeitas a esforços conhecidos e conhecendo o material. 
b) Determinar os esforços admissíveis nas peças, conhecendo a geometria e o material. 
c) Selecionar o material, conhecendo os esforços e a geometria. 
d) Verificação da segurança, conhecidas as dimensões, esforços e material. 
Evidentemente que além destes, podemos citar que como a Resistência dos Materiais faz parte 
do currículo mínimo do MEC – Ministério da Educação, Cultura e Desportos, uma boa aprovação em 
Resistência dos Materiais é fundamental para a obtenção do diploma de Engenheiro, Arquiteto, Técnico 
ou Projetista, registro no CREA – Conselho Regional de Engenharia e Arquitetura e uma boa nota no 
P P 
2a -Tração 
P P 
2b –Compressão 
T T 
2e -Torção 
2d -Flexão 
M 
M 
2c –Cisalhamento (corte) 
V V 
Figura 2 – Efeitos intuitivos dos vários esforços 
 1.3 
ENC – Exame Nacional de Cursos (Provão), cada vez mais solicitado pelas empresas nas seleções de 
candidatos. 
Lembramos, também, que para alguns cursos como Civil, Mecânica, Naval, Aeronáutica, 
Metalurgia, Mecatrônica, etc. a Resistência dos Materiais é a base para várias outras matérias 
profissionais como Projeto de Máquinas e Motores, Estruturas Metálicas, Estruturas de Concreto, 
Estruturas de Madeira, Fadiga, Mecânica da Fratura, Elementos Finitos, Análise Experimental, etc. 
 
4 – Principais Tópicos – Resumo do Programa 
 
Segundo o Conselho Nacional de Educação do MEC, a matéria Resistência dos Materiais faz 
parte do currículo mínimo de todo o curso de Engenharia em todas as áreas e habilitações e 
compreenderá: “Tensões e Deformações nos sólidos - Análise de peças sujeitas a esforços simples e 
combinados – Energia de Deformação”. 
Detalhando essa emenda podemos dizer que os principais tópicos de um curso básico de 
Resistência dos Materiais são: 
1. Introdução ao Curso – Conceitos Gerais. 
2. Complementos de Estática, incluindo Figuras Planas, Perfis, Cálculo de Reações de Apoio, 
Diagramas de Esforços Internos Solicitantes, Treliças, Mecanismos, Estruturas Isostáticas, etc. 
3. Esforços e Deformações nas Peças sujeitas à Tração-Compressão. 
4. Esforços e Deformações nas Peças Sujeitas ao Cisalhamento. 
5. Esforços e Deformações nas Peças Sujeitas à Flexão. 
6. Esforços e Deformações nas Peças Sujeitas à Torção. 
7. Flambagem. 
8. Estados Múltiplos de Tensões e Deformações – Noções. 
9. Critérios de Resistência – Noções. 
10. Esforços e Deformações nas Peças Sujeitas a Esforços Combinados. 
Nos cursos mais completos, de acordo com a modalidade e escola de engenharia, fazem parte das 
várias disciplinas ligadas a Resistência dos Materiais, entre outros os seguintes tópicos: 
1. Esforços e Deformações nas Peças Sujeitas ao Cisalhamento na Flexão. 
2. Instabilidade do Equilíbrio – Flambagem – Diversos Casos. 
3. Estruturas Hiperestáticas. 
4. Cargas Móveis – Linha de Influência. 
5. Energia de Deformação – Teoremas. 
6. Estado Duplo e Triplo de Tensões e Deformações. 
7. Critérios de Resistência. 
8. Processo de Cross. 
9. Perfis de Parede Fina. 
10. Vigas Curvas. 
11. Estruturas em Regime Elasto-Plástico. 
12. Tubos de Parede Grossa. 
13. Torção Não Uniforme. 
14. Cálculo de Estruturas pelo P.T.V. – Princípios dos Trabalhos Virtuais. 
15. Fadiga. 
16. Concentração de Tensões. 
17. Mecânica da Fratura. 
18. Flexão Composta de Barras Esbeltas. 
19. Introdução aos Estudos de Chapas e Placas. 
20. Introdução à Teoria da Elasticidade. 
21. Análise Experimental de Estruturas. 
22. Peças de Material Composto – Plásticos - Compósitos. 
23. Choque – Impacto. 
24. Análise Matricial de Estruturas Reticuladas. 
25. Método dos Elementos Finitos. 
26. Estruturas Metálicas – Noções. 
27. Estruturas de Madeira – Noções. 
28. Patologia das Estruturas. 
29. História da Resistência dos Materiais. 
Em algumas Faculdades, por motivos didáticos, a carga horária semanal de 6 aulas é dividida nas 
seguintes partes, com os seguintes tópicos: 
 1.4 
Parte A – Duas aulas por semana: 
1. Introdução ao Curso. 
2. Complementos de Figuras Planas. 
3. Tensões Normais na Flexão. 
Parte B – Duas aulas por semana: 
1. Conceitos Gerais Estruturais. 
2. Complementos de Reações de Apoio e Diagramas de Esforços Internos Solicitantes. 
3. Deslocamentos na Flexão. 
4. Flambagem. 
Parte C – Duas aulas por semana: 
1. Tensões – Conceitos Gerais. 
2. Tração – Compressão. 
3. Cisalhamento. 
4. Torção. 
Lembrando que a parte mais importante é a Parte D – Dedicação aos estudos, onde os 
pedagogos recomendam como razoável, o mesmo número de aulas por semana para estudar, ou seja, 
neste caso 6 horas por semana de dedicação. Sabemos que é difícil atender a esta recomendação e 
portanto deixamos a critério de cada aluno o número de horas de dedicação semanal a este curso de 
Resistência dos Materiais. 
 
5 – Principais Pré-Requisitos 
 
Como foi visto nos itens anteriores, o binômio esforços  deformações será estudado 
completamente e portanto recomenda-se que os alunos tenham além dos indispensáveis conceitos básicos 
de Matemática e Física, o maior conhecimento possível dos esforços, ou seja, da parte Estática da 
Mecânica que estuda as relações entre esforços, equilíbrio, cálculo de reações de vínculo, treliças, centros 
de gravidade e momentos de inércia de figuras planas, cargas distribuídas, etc. 
Convém lembrar que alguns desses tópicos são vistos não só no início da Faculdade como 
também nos cursos do 2
o
 grau. 
Por outro lado, em algumas escolasde engenharia, tais assuntos são ministrados em disciplinas 
denominadas Introdução à Resistência dos Materiais. 
Vale a pena enfatizar mais uma vez a importância dos sólidos conhecimentos de Estática no 
desenvolvimento de quase todo o curso de Engenharia Mecânica e Civil, pois tais áreas lidam 
basicamente com máquinas e estruturas sujeitas aos mais variados tipos de esforços. 
Recomenda-se também conhecimentos de Materiais de Construção e Ensaios Mecânicos, 
principalmente do importante Ensaio de Tração. 
Lamenta-se o fato que a maioria dos alunos traz uma série de deficiências e omissões do ensino 
do 2º grau, pois se os alunos tivessem por exemplo os conhecimentos básicos de Estática, visto nos bons 
cursos secundários e técnicos, a ampliação desses conhecimentos no 3º grau seria feita de um modo muito 
mais eficiente. 
 
6 – A Posição da Resistência dos Materiais no Curso 
 
Como já foi dito, a Resistência dos Materiais faz parte das Matérias de Formação Básica de todo 
o curso da Engenharia, em todas as áreas, ou seja: Civil, Mecânica, Elétrica, Química, Metalurgia e Minas 
e nas várias habilitações como por exemplo: Sanitária, Construção, Naval, Aeronáutica, Eletrônica, 
Comunicações, Alimentos, etc. 
Evidentemente que nas áreas de Civil e Mecânica, a matéria Resistência dos Materiais é 
desdobrada em várias disciplinas, distribuídas nas matérias de Formação Profissional Geral e Específica. 
Percebe-se, portanto, que a Resistência dos Materiais é uma das matérias que fazem a ligação 
entre aquelas eminentemente básicas como Matemática, Física, Mecânica e aquelas de caráter 
profissional como por exemplo Elementos de Máquinas, Projeto de Máquinas, Máquinas de Elevação e 
Transporte, Chassis e Carroceria, Máquinas Operatrizes, Máquinas Hidráulicas, Estruturas Metálicas, 
Máquinas Agrícolas, etc. 
Devido a estas e outras características já comentadas, e sendo uma das primeiras disciplinas onde 
os alunos procuram dimensionar, ou seja, materializar alguma peça, vários alunos encontram algumas 
dificuldades que serão superadas com dedicação aos estudos, auxílio dos professores e uma boa dose de 
visão espacial, imaginação, iniciativa e bom senso, tão necessários ao futuro engenheiro. 
 1.5 
 
7 – A Posição da Resistência dos Materiais no Projeto Mecânico 
 
Alguns alunos, talvez um pouco cansados da Matemática, Física, Mecânica, etc., do ciclo básico, 
quando chegam ao 2
o
 e 3
o
 ano, pretendem já com a primeira aula de Resistência dos Materiais elaborar 
projetos de veículos, máquinas, ferramentas, edifícios, pontes, etc. 
Embora seja possível desenvolver interessantes projetos sem muitas sofisticações teóricas, é 
evidente que para um projeto completo de engenharia, são necessárias várias etapas, desde a idealização 
estrutural até o detalhamento completo. 
Percebe-se, então, que a primeira etapa e talvez a mais importante, onde o aluno e futuramente o 
engenheiro sempre tem a desenvolver é a Idealização do Modelo de Cálculo. A Resistência dos Materiais 
participa da 2
a
 etapa que é a Análise do Modelo de Cálculo verificando basicamente se as tensões e 
deslocamentos estão dentro de limites seguros, restando ainda outras não menos importantes etapas 
ligadas ao Projeto Definitivo, Execução, Montagem, Testes, etc. 
Portanto, verifica-se que nesta importante área do Projeto Mecânico, a Resistência dos Materiais 
junto com outras disciplinas correlatas já citadas desempenha um papel muito especial. 
Usando as conhecidas siglas CAD – CAE – CAM, podemos dizer que a 1
a
 etapa da Modelagem 
está ligada aos diversos sistemas CAD – Computador Auxiliando o Desenho (AutoCAD, Microstation, 
Catia, Ideas, Meduza, Pro-Engineer, Mechanical Desktop, etc.). A 2
a
 etapa da Análise está associada aos 
sistemas CAE – Computador Auxiliando a Engenharia, destacando-se o MEF – Métodos dos Elementos 
Finitos e os programas NASTRAN, COSMOS, ANSYS, MECHANICA, SAP, ADINA, WORKING 
MODEL FEA, ABAQUS, FEISTRUT, PORTICO, etc. A 3
a
 etapa da Fabricação está direcionada aos 
sistemas CAM – Computador Auxiliando a Manufatura (Di-Log, SmartCAM, etc.). Finalmente, 
lembramos que temos uma 4
a
 etapa que serve para validar as anteriores que é parte relativa aos Teste, ou 
seja, os diversos métodos da Análise Experimental de Tensões que determinam experimentalmente os 
esforços, deformações, tensões e deslocamentos nas estruturas e que está associada aos sistemas CAT – 
Computador Auxiliando os Testes, representados pelos programas de aquisição de dados nos modernos 
Laboratórios de Resistência dos Materiais, do tipo M6000 da Empresa M. M. 
8 – Orientação Bibliográfica 
 
Existem dezenas de bons livros de Resistência dos Materiais, de autores nacionais e estrangeiros, 
que podem ser citados para ajudar o aprendizado dos alunos. Vamos relacionar dez dos livros mais 
conhecidos e fazer alguns comentários sobre alguns deles. 
[1]Beer, Ferdinand P., Johnston Jr., E Russel, “Resistência dos Materiais”, 3
a
 Ed., São Paulo, Editora 
Makron Books, 1995. 
[2]Ricardo, Otávio Gaspar de Souza, “Introdução à Resistência dos Materiais”, Campinas, UNICAMP, 
1997. 
[3]Langendonck, Telemaco Hipólito de Macedo van, “Tensões”, Rio de Janeiro, Científica, 1956. 
[4]Langendonck, Telemaco Hipólito de Macedo van, “Deformações”, Rio de Janeiro, Científica, 1960. 
[5]Timoshenko, S. P., “Resistência dos Materiais”, Rio de Janeiro, Ao Livro Técnico, 1969. 
[6]Silva Jr., Jayme Ferreira da, “Resistência dos Materiais”, Rio de Janeiro, Ao Livro Técnico, 1962. 
[7]Popov, Egor P., “Introdução à Mecânica dos Sólidos”, São Paulo, Ed. Edgard Blücher. 
BÁSICAS DE TRANSIÇÃO PROFISSIONAIS 
R. M. 
Figura 3 – Posição da Resistência dos Materiais nas disciplinas do curso 
MODELAGEM 
 CAD 
ANÁLISE 
 CAE 
FABRICAÇÃO 
 CAM 
R. M. 
Figura 4 – Posição da Resistência dos Materiais no Projeto Mecânico 
TESTES 
 CAT 
 1.6 
[8]Higdon, Archie, Ohlsen, E. H., Stiles, W. B., Weese, J. A. e Riley, W. F., “Mecânica dos Materiais”, 
3
a
 Ed., Rio de Janeiro, Ed. Guanabara Dois, 1981. 
[9]Feodossiev, V., “Resistência dos Materiais”, Porto, Lopes da Silva, 1977. 
[10]Miroliubov, I., “Problemas de Resistência dos Materiales”, 3
a
 Ed., Moscou, Mir, 1978. 
[11]Nash, William Arthur, “Resistência dos Materiais”, São Paulo, McGraw-Hill, 1982, Coleção 
Schaum. 
Em geral, os cursos de Resistência dos Materiais, ministrados nas várias Escolas de Engenharia, 
não seguem um único livro texto, sendo uma composição de várias obras com a experiência de cada 
Professor. 
A referência n.º 1 de BEER e JOHNSTON, corresponde em boa parte ao curso que será dado e, 
portanto, poderá ser utilizado como livro básico. Apresenta a teoria exposta de maneira clara e um grande 
conjunto de problemas bem ilustrados resolvidos e propostos com respostas. 
O livro n.º 2 do Professor GASPAR RICARDO se caracteriza pela orientação para Engenharia 
Mecânica, embora possa ser utilizado por estudantes de outras áreas. 
As referências n.º 3 do Professor TELEMACO e dos seus vários colaboradores na Escola 
Politécnica da USP na área de Engenharia Civil, constituíram uma fonte de aprendizado da maioria dos 
professores da Resistência dos Materiais. Além dos livros mencionados, existe um conjunto de apostilas 
tais como: Introdução à Resistência dos Materiais; Tensões; Deformações; Estruturas Isostáticas; 
Treliças; e outras. 
Os clássicos livros do Professor TIMOSHENKO de Resistência dos Materiais, junto com várias 
de suas obras como Teoria das Estruturas, Teoria da Elasticidade, Teoria das Placas e Cascas, Teoria da 
Instabilidade Elástica e outras, constituem uma notável contribuição ao estudo avançado da Resistência 
dos Materiais. 
O livro do Professor J. F. SILVA na linha das obras do Professor Telemaco é também um 
excelente reforço para os estudantes de Resistência dos Materiais. 
Embora não estejam mencionados na lista de livros, merecem destaque alguns trabalhosde 
vários Professores das Escolas de Engenharia tais como: Professor Crispino, Professor Campanari, 
Professor Guidetti, Professor Schiel, Professor Susumu, Professor Miranda, Professor Lindenberg e 
muitos outros. 
Enfim, poderíamos apresentar um resumo das principais características de vários livros, mas, o 
que realmente importa, é que o aluno através da Biblioteca da Faculdade e da Internet, tenha acesso e 
consulte vários livros e apostilas e que estude de uma maneira mais intensiva seguindo pelo menos um 
texto básico. 
Convém também destacar a conveniência de o aluno se habituar a manusear catálogos 
industriais. No nosso curso são utilizados os catálogos dos fabricantes de perfis industriais (C. S. N., 
Usiminas, Aço Minas, Alcan, etc.) e de materiais de construção em geral. 
Para a parte de Estática e Introdução à Resistência dos Materiais e Estruturas Isostáticas, podem 
ser citados entre muitos outros, os seguintes livros: 
[1]Beer, F. P., Johnston, E. R., “Mecânica Vetorial para Engenheiros – Estática”, 5
a
 Ed., McGraw-Hill, 
1998. 
[2]Merian, James L., “Estática”, 2
a
 Ed., Livros Técnicos e Científicos Editora, 1994. 
[3]Timoshenko, S. P., Young, D. H., “Mecânica Técnica – Estática”, Livros Técnicos e Científicos, São 
Paulo. 
[4]Timoshenko, S. P., Young, D. H., “Teoria de las Estruturas”, Urmo Ediciones. 
[5]Silva, J. F., “Resistência e Estática das Construções – Introdução”, Universidade de Minas Gerais. 
[6]Fonseca, Adhemar da Cunha, “Curso de Mecânica – Estática”, vol. 1 e 2, Ao Livro Técnico. 
[7]Fonseca, Adhemar da Cunha e Moreira, D. F., “Estática das Construções”, Ao Livro Técnico, Rio de 
Janeiro, 1966. 
[8]Oliveira, M. M. e Gorfim, B., “Estruturas Isostáticas”, Livros Técnicos e Científicos. 
[9]Süssekind, José Carlos, “Curso de Análise Estrutural”, 4
a
 Ed., Porto Alegre, Editora Globo, 1979, 
Vol. 1: Estruturas Isostáticas, Vol. 2: Deformações em Estruturas. Método das Forças, Vol. 3: 
Método das Deformações. Processo Cross. 
[10]Amaral, O. C., “Estruturas Isostáticas”, Universidade Federal de Minas Gerais. 
Com relação à parte de mecânica, merecem destaques os trabalhos dos vários professores nas 
Escolas de Engenharia tais como: Professor Fleury Silveira, Professor Albanese, Prof. Amadeu, Professor 
Giacaglia, Professor Nóbrega e muitos outros. 
 
 1.7 
9 – Histórico – Resumo 
 
Datam de Leonardo da Vinci (1452 – 1419) e de Galileu Galilei (1564 – 642), as primeiras 
contribuições da Estática e da Resistência dos Materiais. A Lei de Robert Hooke (1635 – 1702) sobre a 
proporcionalidade entre forças e deslocamentos deu um grande impulso no desenvolvimento da 
Resistência dos Materiais. 
O estudo da flexão iniciado em 1638 com a hipótese errada de Galileu da distribuição uniforme 
só foi corrigida em 1826 com a hipótese de Navier (1785 – 1836) da manutenção das seções planas e a 
conseqüente distribuição linear das tensões. 
A Teoria da Elasticidade teve um grande desenvolvimento na 2
a
 metade do século XIX e no 
começo do século XX. 
Apresentamos a seguir alguns outros nomes e datas que serão citados durante o curso, desde as 
Leis da Mecânica de Isaac Newton (1642 – 1727), os estudos da família Bernoulli (1645 – 1782) e da 
flambagem de L. Euler (1707 – 1783) passando pelo coeficiente de D. Poisson (1781 – 1840); Princípio 
de Saint Venant (1797 – 1886); Fórmula de Cisalhamento na Flexão de D. Jourawski (1821 – 1891); 
Círculo de O. Mohr (1835 – 1918) até o estudo de perfis de paredes finas de V. Z. Vlasov (1906 – 1958). 
Vários problemas foram resolvidos de modo experimental ou integrando as várias e trabalhosas 
equações diferenciais da Teoria da Elasticidade, porém, diversos problemas mais complexos ficaram sem 
solução devido às grandes dificuldades matemáticas. 
 
10 – Tendências – Perspectivas. 
 
Foi a partir da segunda metade do século XX, com o advento dos computadores digitais, que 
possibilitou através da técnica da discretização do problema em dezenas, centenas e milhares de 
elementos recair em sistemas de equações lineares e resolver qualquer problema estrutural da Análise 
Matricial de Estruturas e Método dos Elementos Finitos. 
Estas novas técnicas matriciais já são dadas em várias Escolas de Engenharia e constituem o 
presente e o futuro do engenheiro de projeto, que entretanto não substituem os conceitos básicos que 
serão vistos neste curso de Resistência dos Materiais, pelo contrário, será através do perfeito domínio dos 
conceitos elementares que o aluno e o engenheiro continuarão investigando, pesquisando, trabalhando, 
agora em companhia do computador. 
Com a popularização do Métodos dos Elementos Finitos, e da filosofia CAE – Computador 
Auxiliando a Engenharia, entendemos que os softwares vão se tornar cada vez mais amigáveis, 
facilitando a entrada e saída dos resultados, porém, sempre exigindo cada vez mais, os conceitos básicos 
de Resistência dos Materiais. 
 
11 – Desenvolvimento do Curso – Critério de Aprovação 
 
A carga horária semanal e o tipo de curso semestral ou anual, variam, em função das 
características da Faculdade e do Curso de Engenharia. Em geral, infelizmente, predominam as aulas 
expositivas, com os conceitos teóricos ilustrados com vários exercícios. 
Algumas Escolas oferecem Laboratório de Resistência dos Materiais ou Salas Ambiente de 
Resistência dos Materiais, o que, evidentemente, facilita, estimula e desenvolve melhor o interesse do 
aluno pelo aprendizado. As aulas práticas de Resistência dos Materiais podem numa primeira etapa serem 
desenvolvidas virtualmente através de softwares ou tutoriais adequados e numa segunda etapa serem 
vistas fisicamente no Laboratório de Resistência dos Materiais. 
Mesmo sem Laboratório ou sala ambiente, estimulamos os professores a levar para as salas de 
aulas, pequenos modelos ilustrativos os diversos pontos da Resistência dos Materiais. 
É importante que o aluno participe ativamente das aulas, na fixação da teoria, na execução dos 
exercícios desde a primeira semana, de modo a bem acompanhar e assimilar os ensinamentos vistos. 
Como já foi dito, em média, a disponibilidade para estudo fora das aulas é de 2 a 6 horas 
semanais e cabe ao aluno, fixar as suas cargas horárias de estudos por semanas. 
Com relação aos sistemas de unidades, recomendamos que o aluno intensifique o uso do Sistema 
Internacional (Newton, Pascal, etc.) e, como estamos numa fase de adaptação, convém utilizar também o 
usual sistema M. K. S. técnico (kgf, etc.), além do sistema inglês ( polegada, pé, psi, etc.) que, felizmente, 
num futuro próximo tenderá a desaparecer. 
O critério de avaliação baseia-se principalmente na média ponderada das provas oficiais, porém, 
convém lembrar que a entrega das séries de exercícios e trabalhos sugeridos (ver anexos: VIII – Trabalho 
n.º 1 com três parte, IX – Como usar o software interativo “Tutorial de Estática” – Beer-Johnston, X – 
Tutorial de Estática - Beer-Johnston – 6
a
 edição – Informações e XI - Trabalho n.º 2 – Exercícios para 
 1.8 
serem feitos usando computador – Resistência dos Materiais - Beer-Johnston – 3
a
 edição – Instruções) a 
assiduidade, pontualidade e efetiva participação nas aulas, o desempenho nas eventuais “provinhas” e 
argüições, o interesse e a imaginação na elaboração das “experiências” recomendadas, enfim, todos os 
estudos, atividades e comportamentos do aluno visando o bom acompanhamento da matéria, estão 
evidentemente numa relação direta com um alto rendimento escolar ou obtenção de boas notas. 
Como em quase todas as disciplinas básicas e conceituais, as provas principais são em geral sem 
consulta, e envolvem questões teóricas, conceituais e práticas. 
Durante os cursos e nas provas, é distribuído um completo formulário com um resumo de todas 
as expressões e tabelas necessárias. 
Além dos vários professores em tempo parcial, os alunos são atendidos pelos professores em 
tempo integral e pelos monitores. 
Aproveitando a oportunidade,talvez seja conveniente fazer algumas considerações a respeito das 
eventuais revisões de provas. Embora constitua um direito dos alunos, que deve ser respeitado, 
solicitamos que não seja confundida revisão propriamente dita, ou seja, uma análise e comentários dos 
erros e acertos nas provas, que conduz à manutenção ou não da nota atribuída, com uma lamentação, 
seguida de longas explanações sobre problemas pessoais, familiares, etc., que para o aluno são da maior 
importância, influindo, infelizmente, de um modo negativo no rendimento escolar, mas que não podem 
nas Escolas de maior seriedade, alterar substancialmente os resultados das várias e exaustivas avaliações 
feitas pelas equipes de professores. 
Observamos que nos casos de dúvidas, a prova é avaliada por dois ou mais professores, e que de 
modo geral, as notas são mantidas, salvo erro grosseiro de correção, soma das notas, ou passagens das 
notas. Neste caso, pedimos desculpas pelo erro e corrigimos a nota. 
 
12-Trabalho Prático – Avaliação n.º 1 
 
Visando dar um caráter prático a esta introdução, vamos retomar a peça da figura 1, desenhando 
agora em perspectiva na figura 5. Admitindo os seguintes dados: 
Evidentemente que esta peça será oportunamente calculada analiticamente pela Resistência dos 
Materiais Básica, ou de um modo mais sofisticado por um método numérico tipo Elementos Finitos, ou 
ainda analisada com as técnicas de Análise Experimental de Tensões (Extensometria Elétrica). 
Atualmente, desejamos testar apenas a sua intuição e saber qual a capacidade da peça, ou seja, 
qual o valor da máxima carga P1 de tração admissível na peça e qual o valor da máxima carga P2 
admissível que provoca flexão na barra. 
Mais tarde, depois de calculada ou analisada experimentalmente, compararemos a sua “intuição” 
com o valor exato da capacidade da peça a tração e flexão. 
Finalizando, só nos resta desejar e aplicar os nossos esforços, no sentido de que todos os alunos 
obtenham o melhor aproveitamento, desenvolvimento e utilização do curso de Resistência dos Materiais 
da maneira mais agradável possível. 
 
P2 
P1 
b 
h 
l 
l = 250 mm 
b = 25 mm 
h = 3 mm 
aço comum 
Figura 5 – Qual a capacidade da peça, quanto à Tração (só P1) e à Flexão (só P2)? 
 1.9 
2
a
 Parte – Conceitos Gerais - Orientação Para Estudo 
 
Nesta edição não serão desenvolvidos os vários Conceitos Gerais da Resistência dos Materiais 
previstos para este capítulo I. 
Recomenda-se que o aluno participe ativamente das aulas do seu curso e utilize como reforço o 
livro texto ou de referência adotado na sua Escola. 
De acordo com a nomenclatura já apresentada no início deste trabalho, neste capítulo deverão ser 
vistas as seguintes grandezas: 
P, N, F............................................................................................................................ Força normal 
V, Q .............................................................................................................................. Força cortante 
M ............................................................................................................................... Momento fletor 
T, MT ........................................................................................................... Momento torçor, torque 
 ............................................................................................. Tensão normal, tração ou compressão 
 .............................................................................................. Tensão tangencial ou de cisalhamento 
 ....................................................................................................................................... Tensão total 
A, S ........................................................................................................... Área da secção transversal 
LIM, LIM ................................................................................................................... Tensões limites 
RT, RC, U ............................................. Tensão limite de resistência (última), tração, compressão 
ET, EC, Y ......................................................... Tensão limite de escoamento, tração, compressão 
ESM, e ....................................................................................................... Tensão de esmagamento 
csT, sT ............................................................................................. Coeficiente de segurança à tração 
csC, sC ................................................................................... Coeficiente de segurança à compressão 
adm, adm,  ,  ,all, all ...................................................................................... Tensão admissível 
 
Nas aulas, recomenda-se a seguinte seqüência para a apresentação dos seguintes conceitos: 
Tensão – Conceito Elementar; Conceito Geral; Convenção de Sinais; Caso Geral; Equivalência Entre 
Tensões e Esforços Internos Solicitantes; Estados Limites; Cargas Limites; Tensões Limites; Tensões 
Admissíveis; Coeficiente de Segurança; Principais Fatores; Valores Orientativos; Projeto Pelas Condições 
de Rigidez e Resistência; Observações Gerais. 
Com relação ao estudo por livros, por exemplo, nas Escolas que utilizam a referência BEER, F. 
P. e JOHNSTON JR., E. R. – Resistência dos Materiais, Makron Books do Brasil Editora Ltda, São 
Paulo, 1996, recomenda-se estudar os seguintes conceitos gerais dos Capítulos 1 e 2, cujo sumário 
apresenta-se a seguir: 
 Página 
Capítulo 1 - Introdução Conceito de Tensão.................................................................................... 1 
1.1 Introdução .............................................................................................................. ........................ 1 
1.2 Forças e Tensões............................................................................................................................. 2 
1.3 Forças Axiais; Tensões Normais........................................................................................... ......... 6 
1.4 Tensões de Cisalhamento............................................................................................................... 10 
1.5 Tensões de Esmagamento................................................................................................... ............ 13 
1.6 Aplicações na Análise de Estruturas Simples................................................................................. 14 
 Problema Resolvido 1.1....................................................................................................... ........... 18 
 Problemas.................................................................................................................... ................... 20 
1.8 Tensões Para um Caso de Carregamento Qualquer; Componente de Tensões.............................. 31 
1.9 Tensões Admissíveis e Tensões Últimas; Coeficiente de Segurança............................................. 37 
 Problema Resolvido 1.2....................................................................................................... ........... 41 
 Problema Resolvido 1.3....................................................................................................... ........... 44 
 Problemas..................................................................................... .................................................. 46 
 Revisão e Sumário............................................................................................................ .............. 52 
 Problemas de Revisão..................................................................................................................... 57 
 
Capítulo 2 – Tensão e Deformação – Carregamento Axial............................................................ 64 
2.1 Introdução.......................................................................................................................................