Material de Apoio Res Mat - parte 01

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Resistência dos Materiais 
MATERIAL DE APOIO 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2018 
 
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IMPORTANTE 
Os textos a seguir são notas extraídas de materiais disponíveis na internet, não sendo, por tanto, fruto de minha 
autoria. Limitei-me apenas a compilação deste material. 
 
 
 
 
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Introdução a Resistência dos Materiais 
 
1.1 DESCRIÇÃO 
A resistência dos materiais é o ramo da mecânica que estuda as relações entre cargas externas aplicadas a um corpo 
deformável e a intensidade das forças internas que atuam dentro do corpo, abrangendo também o cálculo das 
deformações do corpo e o estudo da sua estabilidade, quando submetido a solicitações externas (HIBBELER, 2004). 
 
1.2 OBJETIVO DO ESTUDO 
O principal objetivo do estudo da resistência dos materiais consiste na determinação dos esforços, das tensões e das 
deformações a que estão sujeitos os corpos sólidos (barras) devido à ação dos carregamentos atuantes. 
Além disso, a Resistência dos Materiais também visa: 
 O equilíbrio de um corpo deformável; 
 A verificação da segurança; 
 E o dimensionamento das peças. 
 
1.3 EXEMPLOS GERAIS DE APLICAÇÃO 
1.3.1 Dimensionamento de estruturas - CABOS 
 
MUSEU DE ARTE DE MILWAUKEE 
Cabos de aço dão forma de pássaro a estrutura inusitada - Projeto de Santiago Calatrava. 
Local: Museu de Arte / Edifício Memorial da Guerra, condado de Milwaukee, na costa do Lago Michigan. 
 
 
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PONTE SAMUEL BECKETT – DUBLIN 
Projeto de Santiago Calatrava. 
 
 
1.3.2 Dimensionamento de estruturas - ARCOS 
 
AQUEDUTO ROMANO SHOPPING IGUATEMI – FORTALEZA 
 
 
 
PASSARELA PARA PEDESTRES - MUHARRAQ. 
Reino de Bahrein 
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1.3.3 Dimensionamento de estruturas - TRELIÇAS 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
1.3.4 Dimensionamento de estruturas - CASCAS 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
1.4 INTERAÇÃO COM OUTRAS DISCIPLINAS 
De forma direta: 
 Resistência dos Materiais – Estabilidade 
 Sistemas Estruturais – Conceito para Cálculo 
 Sistemas Estruturais – Concreto 
 Sistemas Estruturais – Madeira e Metal 
 Mecânica dos Solos e Fundações 
 
 
NOVA SEDE DA BRAZILGLASS - SÃO PAULO 
Projeto do Escritório Sidonio Porto 
 
COBERTUTA TRELIÇADA - Estação 
King’s Cross, em Londres 
 
RESTAURANTE DO OCEANÁRIO DE VALÊNCIA 
Espanha 
 
HEYDAR ALIYEV CENTER - ZAHA HADID. 
Azerbaijão 
De forma indireta: 
 Todas as disciplinas de Projeto 
Arquitetônico 
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Estruturas 
 
2.1 DESCRIÇÃO 
“No caso das edificações, a estrutura é também um conjunto de elementos – lajes, vigas e pilares – que se inter-
relacionam - laje apoiando em viga, viga apoiando em pilar – para desempenhar uma função: criar um espaço 
em que pessoas exercerão diversas atividades.” (Yopanan C. Rebello, em ‘A Concepção Estrutural e a 
Arquitetura’) 
 
2.2 O CONHECIMENTO É INERENTE? 
“O desinteresse do público pela arquitetura não pode, contudo, ser considerado fatal e inerente a natureza 
humana ou a natureza da produção de edifícios, de tal forma que tenhamos de nos limitar a constatá-lo. Existem 
sem dúvida dificuldades objetivas, e uma incapacidade por parte dos arquitetos dos historiadores da arquitetura 
e dos críticos de arte para se fazerem portadores da mensagem arquitetônica, para difundir o amor pela 
arquitetura, pelo menos entre a maioria das pessoas cultas”. (Bruno Zevi, em ‘Saber Ver a Arquitetura’) 
“A noção de estrutura é parte integrante do inconsciente coletivo. Todo ser humano nasce com a intuição de 
estrutura e ao longo das suas experiências vividas pode aperfeiçoar esse conhecimento. Nas atitudes mais 
corriqueiras das pessoas pode-se verificar essa afirmação: na maneira como manuseiam os objetos, como pegam 
uma folha de papel, como colocam um objeto sobre a mesa, procurando mantê-lo estável. 
O ser humano, desde a mais tenra idade, sem qualquer conhecimento sistemático de estrutura, coloca de pé o seu 
próprio corpo, uma das estruturas mais complexas. Todo ser humano dito normal tem no subconsciente a noção 
de equilíbrio. Assim, é natural que os fenômenos físicos que envolvem a estabilidade de uma estrutura sejam 
facilmente assimilados. Assim, é natural que os fenômenos físicos de uma estrutura sejam facilmente assimilados. 
A dificuldade está, no entanto, na tradução matemática desses fenômenos, quando essa tradução é colocada antes 
de sua conceituação física. Uma forma muito interessante, agradável e de fácil acesso para se aprimorar no 
entendimento do comportamento das estruturas é a observação da natureza. 
A natureza tende a resolver seus problemas de ordem biológica e física da maneira mais simples, econômica e 
bela. Um galho de árvore pode mostrar, de maneira muito visível, os princípios físicos que regem o 
comportamento de uma viga em balanço (viga fixada em apenas um apoio). Uma folha de papel pode ensinar 
como obter resistência usando dobraduras em folhas finas.” (Yopanan C. Rebello, em ‘A Concepção Estrutural 
e a Arquitetura’) 
 
2.3 A ESTRUTURA COMO CAMINHO DAS FORÇAS 
Viu-se que estrutura é um conjunto de elementos. No caso da estrutura das edificações, esse conjunto de 
elementos torna-se o cainho pelo qual as forças que atuam sobre elas devem transitar até chegar ao seu destino 
final, o solo. 
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O caminho natural que as forças gravitacionais, ou seja, os pesos dos objetos e das pessoas, tendem a tomar é o da 
vertical. Se for oferecido a estas forças um caminho mais longo, elas obrigatoriamente terão que percorre-lo, 
desviando-se, assim, de sua tendência natural e provocando esforços que solicitarão os elementos presentes neste 
caminho. 
É como percorrer um labirinto cheio de desvios: a tendência seria seguir em linha reta e, com isso, não se 
submeter a maiores esforços; casa curva realizada se é forçado a mudar de direção, solicitando um esforço 
adicional ao corpo. Ao final da corrida, a fadiga será maior do que se fosse percorrido um caminho reto. 
A analogia com uma estrutura viária deixa bem clara essa noção de distribuição de caminhos. Se a ligação entre 
dois bairros for feita por apenas uma rua, deve-se construir uma rua bem larga, para que não haja engarrafamento. 
Se, ao contrário, houver várias ruas ligando os dois bairros, não haverá necessidade de ruas muito largas. 
Estruturas como a treliça espacial de cobertura do Parque Anhembi, em São Paulo, é um exemplo de estrutura 
com muitos caminhos. As barras que constituem a treliça são bastante esbeltas, produzindo uma leveza tanto física 
como visual. 
 
COBERTURA DO PARQUE ANHEMBI 
São Paulo 
Já o mesmo não ocorre com a estrutura do MASP, também em São Paulo, na qual apenas quatro vigas e pilares 
transmitem a maior parte da carga ao solo. É fácil perceber, neste edifício, o peso físico e visual dessas vigas e 
pilares. 
 
MUSEU DE ARTES DE SÃO PAULO - MASP 
São Paulo 
 
 
 
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2.4 QUAL A MELHOR SOLUÇÃO ESTRUTURAL? 
Qual a melhor solução: uma estrutura com poucos ou muitos caminhos? Para responder 
a essa questão é interessante socorrer-se de outra analogia. Suponha-se que em uma 
praça qualquer se queira apoiar uma estátua sobre uma estrutura adequada. 
Uma primeira proposta pode ser a criação de um único pedestal sob a estátua (Figura 
A). Essa solução resolve o problema de maneira bastante simples e direta. 
Mas, supondo-se que, além de apoiar a estátua, a estrutura 
devesse permitir a passagem de pessoas sob ela, a solução 
do pedestal único torna-se inviável, exigindo uma solução 
como a proposta ao lado (Figura B). 
Se o espaço sob a estátua devesse ser o 
mais amplo possível, a solução mais 
adequada seria a apresentada na figura 
ao lado (Figura C). 
Ao analisar as 3 propostas sob o ponto 
de vista puramente estrutural, ou de menores esforços, é óbvio que a 
primeira solução seria a melhor, pois corresponde ao caminho de 
mais curto percurso para a carga até o solo. Se outros requisitosforem 
colocados, poderia não ser este o melhor caminho. 
No exemplo, a necessidade de um espaço sob a estátua exige que se 
procurem alternativas. 
A primeira tentativa seria propor uma estrutura que desviasse a força o mínimo possível de seu caminho natural, 
como mostrado na Figura B. 
No entanto, a exigência de espaço amplo fez com que a melhor estrutura se tornasse a que mais desvia a força do 
seu caminho natural: a estrutura apresentada na Figura C. 
Então, qual a melhor solução estrutural? 
Para responder à pergunta é necessária a formulação de outra: melhor em relação a quê? 
A mais fácil de construir? A mais bonita? A mais econômica? 
A melhor estrutura na verdade não existe. 
Existe sim, uma boa solução que resolve bem alguns pré-requisitos. 
Assim mesmo, não resolve todos os requisitos com o mesmo grau de eficiência. 
Uma solução poderá ser econômica no consumo de materiais, mas poderá ser feia e de execução demorada. Outra 
poderá ser bonita, mas cara e difícil de ser executada, e assim por diante. Para orientar a escolha é necessário 
estabelecer uma hierarquia de quesitos aos quais a solução deverá atender, de maneira que se estabeleçam 
categorias de importância, de forma que a solução encontrada atenda muito bem os mais importantes e bem os 
menos importantes. 
Pode acontecer que se exija que a solução estrutural seja, em primeiro lugar, econômica, em segundo, bonita, em 
terceiro, fácil de construir, e assim por diante. É função de quem concebe a estrutura fazer com que, apesar de 
hierarquizados, os requisitos sejam atendidos da forma mais eficiente possível. 
Figura A 
Figura B 
Figura A 
Figura C 
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Por exemplo, conceber uma estrutura muito econômica, bem bonita e fácil de executar; ou se a hierarquia for 
outra, uma estrutura muito bonita, bem fácil de executar e econômica. Nem sempre se pode afirmar 
categoricamente qual é a melhor solução, mas, sem dúvida, pode-se afirmar qual é a pior: a que apresentar o maior 
desencontro entre os objetivos do projeto de arquitetura e os do projeto de estrutura. 
Outra questão que preocupa quem concebe um novo projeto é o de ser o mais criativo e original possível. 
“Nenhuma solução é tão original que não tenha um precedente parecido” (Torroja). 
“Original é o que volta às origens” (Gaudí). 
Uma obra, para ser criativa, não precisa ser necessariamente inédita. A criação do novo passa, também, pela 
releitura do existente, vendo-o com novos olhos. Para isso, o conhecimento profundo de soluções utilizadas em 
projetos semelhantes àquele que se vai propor é de capital importância. 
 
2.5 QUEM CONCEBE A ESTRUTURA? 
É quase um dogma a ideia de que quem concebe a estrutura é o profissional engenheiro, que estudou 
profundamente fórmulas complexas, capazes de resolver os mais difíceis sistemas estruturais. Isto é um grande 
engano. 
Uma coisa é conceber a estrutura, outra é dimensioná-la para que seja capaz de suportar as condições de trabalho 
às quais estará submetida. Conceber é compreender, entender e ser capaz de explicar. Conceber algo não significa 
necessariamente materializá-lo. 
A concepção da estrutura é anterior ao seu dimensionamento, ou seja, à sua quantificação. É uma atitude ao 
mesmo tempo metódica e intuitiva. 
Conceber uma estrutura é ter consciência da possibilidade da sua existência; é perceber a sua relação com o 
espaço gerado; é perceber o sistema ou sistemas capazes de transmitir as cargas ao solo, da forma mais natural; é 
identificar os materiais que, de maneira mais adequada, se adaptam a esses sistemas. 
Não se pode imaginar uma forma que não necessite de uma estrutura, ou uma estrutura que não tenha uma forma. 
Toda forma tem uma estrutura e toda estrutura tem uma forma. Dessa maneira, não se pode conceber uma forma 
sem se conceber automaticamente uma estrutura e vice-versa. 
É muito comum ver-se a arquitetura como a criadora de forma que aparentemente possam existir independentes de 
sua estrutura, dos materiais de que são feitas e do processo de sua construção. Na verdade, a concepção de uma 
forma implica na concepção de uma estrutura e, em consequência, dos materiais e processos para materializá-la. A 
estrutura e a forma são um só objeto, e, assim sendo, conceber uma implica em conceber outra e vice-versa. 
A forma e a estrutura nascem juntas. 
Logo, quem cria a forma cria a estrutura. 
O ato de desenhar um pequeno compartimento de um edifício compromete o autor com a solução da estrutura que 
lhe dará sustentação. O que acontece é que nem sempre o criador da arquitetura tem consciência de que no seu ato 
criador dos espaços está intrínseco o ato criador da estrutura. Quando o criador da forma não se preocupa com o 
ato gêmeo da concepção estrutural, delegando a outro profissional esta função, corre o risco de ver seu projeto 
totalmente desfigurado. 
O profissional que vem de fora, por mais boa vontade que tenha, nunca conseguirá responder adequadamente aos 
anseios daquele que viveu o momento íntimo da criação da forma. 
 
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2.6 O PAPEL DO CÁLCULO ESTRUTURAL 
“Antes e acima de todo o cálculo está a ideia, modeladora do material em 
forma resistente, para cumprir sua missão” (Torroja). 
Não é o cálculo que concebe uma forma, mas sim o esforço idealizador da mente humana. O cálculo existe para 
comprovar e corrigir o que se intuiu. O cálculo é uma ferramenta com a qual se manipula um modelo físico. Para 
isso, é necessário que a ferramenta seja ajustável ao modelo. Não tem sentido aplicar-se um modelo matemático - 
o cálculo - a um modelo físico que não lhe corresponda, pois se chegará a um resultado errado ou, mesmo, a 
nenhum. 
Muitas vezes, a aplicação de um modelo matemático a um modelo físico, tentando descrever seu comportamento 
da maneira mais próxima do real, torna-se inviável, devido à complexidade dos cálculos envolvidos. Neste caso, 
simplificações e pressupostos nem sempre realistas são feitos, para tornar o cálculo processável até para poderosos 
computadores. 
Por isso, é importante ter-se em mente que, por mais precisos que sejam, os cálculos nem sempre conseguem 
descrever com precisão a realidade. É preciso colocar a importância dos números em seu devido lugar. 
 
2.7 A GEOMETRIA DOS ELEMENTOS ESTRUTURAIS 
Um fio de aço, por mais resistente que seja, não é capaz de suportar a si próprio 
quando colocado em pé sobre um apoio qualquer; nem será capaz de manter uma 
forma reta quando apoiado em seus extremos, recebendo uma força transversal ao seu 
eixo. No entanto, quando pendurado, será bastante eficiente para suportar carga 
aplicada na direção do seu eixo. 
Uma folha de papel não é capaz de suportar a si mesma quando se projeta fora da 
mão. Se for dada a essa folha uma pequena curvatura, ela passa a ter uma rigidez 
maior e a ser capaz de suportar forças perpendiculares ao seu plano. 
Pode-se concluir que não é só a resistência do material que garante a um elemento 
estrutural a capacidade de suportar cargas. Sua forma é muitas vezes mais 
determinante da sua resistência do que a própria resistência do material. 
Materiais em princípio frágeis podem ser bem aproveitados estruturalmente 
quando sua forma for adequadamente projetada para o vão proposto e para o 
carregamento ao qual estará submetido. 
Quando a forma de uma peça estrutural é bem elaborada, ela se traduz em 
ganho na sua capacidade resistente; entenda-se que isto significa ganho para 
a própria arquitetura; em muitas ocasiões, a forma do elemento estrutural é 
determinante da arquitetura. Os elementos estruturais podem ser usados 
isoladamente ou agrupados. 
O sistema estrutural denominado arco pode ter o bloco de pedra como 
elemento básico. Quando esses blocos de pedras são adequadamente 
agrupados, formam um sistema capaz de vencer vãos e suportar cargas 
grandes. No entanto, esses mesmos blocos, quando agrupados de outra 
forma, são incapazes de vencer vãos significativos ou de suportar qualquer 
carga.11 
 
Um tronco de árvore pode, sozinho, vencer um vão e suportar cargas, quando, 
por exemplo, utilizado como ponte para travessia de pessoas. 
A lona de circo, por outro lado, só pode cobrir 
um espaço, ou seja, vencer vão e suportar 
cargas, quando apoiada em mastros e 
convenientemente esticada com cabos. 
Nos exemplos anteriores, é fácil observar a 
diferença de geometria que existem entre um bloco de pedra, um tronco de 
árvore ou uma lona de circo. Cada um desses elementos apresenta relações 
geométricas bastante diferenciadas entre as suas três dimensões. 
São essas relações que atribuem a cada tipo de elemento estrutural características que lhe permitem ou não 
constituir determinados sistemas estruturais. Quanto às suas relações geométricas, os elementos estruturais podem 
ser classificados em três tipos básicos: o bloco, a barra e a lâmina. 
O BLOCO é um elemento estrutural em que as três dimensões apresentam a mesma ordem de grandeza. 
O bloco só serve como estrutura quando usado em associações nas quais resultem forças internas que tendam a 
aproximá-los. Colocados lado a lado , escorregam entre si e não conseguem 
manter-se na posição. 
Por outro lado, se for aplicada uma força externa que tenda a aproximar os 
blocos colocados lado a lado e que evite que eles escorreguem entre si, pode-se 
criar um sistema estrutural capaz de vencer um vão reto. Esse princípio é usado 
na construção de pontes: elementos pré-fabricados na forma de blocos (as 
aduelas) são gradualmente juntados entre si por meio de uma força externa 
aplicada por um cabo. 
 
Essa força tende a apertar as aduelas umas contra as outras e é denominada força de protensão. A medida que 
esses elementos pré-fabricados vão sendo unidos, a ponte vai-se projetando no vão. Isso é feito em duas frentes de 
trabalho que se encontram no meio do vão. Tal procedimento evita o uso de fôrmas de madeira para a execução da 
viga de concreto. Esse sistema de construção de pontes é denominado sistema construtivo em balaços sucessivos. 
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A BARRA é um elemento estrutural em que uma de suas dimensões, o comprimento, 
predomina em relação às outras duas, largura e altura da secção transversal. A barra, ao 
contrário do bloco, pode ser utilizada isoladamente; não exige associações especiais, 
como no caso dos blocos de pedra. 
A barra é um elemento estrutural de uso mais amplo. 
Pode ser utilizada para pendurar cargas, como um cabo, para 
apoiar cargas, como um pilar, ou vencer vãos, como uma viga. 
As barras podem, ainda, ser associadas, criando assim sistemas 
estruturais mais complexos capazes de vencer grandes vãos; essas barras podem ter 
pequenos comprimentos, como as que compõem a estrutura mostrada na figura abaixo (a 
seguir), denominada treliça. 
 
 
 
 
 
TRELIÇA 
A LÂMINA é um elemento estrutural em que duas de suas dimensões, comprimento e largura, prevalecem em 
relação a uma terceira, a espessura. As figuras mostram três tipos de estruturas em que o elemento estrutural 
básico pode ser classificado como lâmina. 
 
 LONA DE CIRCO LAJE ABÓBODA 
 
Apesar de geometricamente todos os elementos serem lâminas, cada um tem características estruturais diferentes 
dos demais. O resultado formal que cada elemento estrutural apresenta também difere dos outros dois. 
No caso da lona de circo (membrana), a forma só se realiza com a colocação de barras verticais ou inclinadas (o 
mastro) e pela ação de barras esticadas (o cabo ou tirante). Qualquer alteração na posição de um desses elementos 
resultará em uma nova forma. 
No caso da laje, a forma da lâmina se mantém permanente, independente de fatores externos. Além disso, a laje 
pode ser executada horizontalmente, o que é impossível com a lona. Essa característica da laje é obtida com um 
grande aumento na espessura da lâmina. 
A terceira possibilidade estrutural de uso da lâmina aparece na abóbada. Sua forma mantém-se constante, para 
qualquer situação externa, sem que para isso haja necessidade de grande aumento na espessura. A sua resistência é 
determinada pela curvatura que lhe é dada. 
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As lâminas que apresentam características semelhantes às da lona denominam-se membranas. Membranas são 
lâminas muito finas e que apresentam resistência apenas no seu plano. Cargas perpendiculares ao seu plano 
provocam alteração na sua forma. 
A membrana tende sempre a adquirir a forma do carregamento que a solicita. Uma bexiga cheia de água terá a 
forma de uma gota, suspensa ou apoiada sobre um plano. Pode-se diminuir o efeito de mudança de forma nas 
membranas, devido a cargas normais ao seu plano, aumentando-se o esforço aplicado no seu plano. Em outras 
palavras, uma lona bem esticada apresenta maior estabilidade de forma para cargas normais ao seu plano. 
O uso de estruturas com lonas infladas com ar é uma aplicação desse princípio. O ar estica a lona, aumentando sua 
estabilidade a cargas externas. 
As lâminas que apresentam características semelhantes à laje são denominadas placas. As placas são lâminas que, 
devido à sua maior rigidez, apresentam a capacidade de vencer vãos, suportando cargas transversais ao seu plano, 
sem a necessidade de aplicação de cargas adicionais no seu plano. 
Associando-se a propriedade peculiar da membrana - pequena espessura - com a da placa - resistência a cargas 
normais ao seu plano - obtemos um terceiro tipo de lâmina: a casca. A resistência transversal obtida pela casca só 
é possível devido a curvaturas ou dobraduras aplicadas em seu plano. 
Quanto mais predominar o efeito de membrana, ou seja, quanto mais os esforços se distribuírem no seu plano, 
mais esbelta será a casca. Isso é possível com uma adequada relação entre a forma da casca e o carregamento que 
a solicita. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
14 
 
 
Sistemas Estruturais 
 
3.1 INTRODUÇÃO 
Uma construção pode existir sem pintura e sem aquecimento, porém, não pode existir sem estrutura. Conhecer a 
origem estrutural da arquitetura é básico para a profissão do arquiteto. 
Todos os sistemas estruturais estão sujeitos a fenômenos que, se não existissem, tornariam supérfluos os sistemas 
estruturais arquitetônicos, ou pelo menos requereria sistemas estruturais essencialmente diferentes dos atualmente 
conhecidos. 
Esses fenômenos são: 
 O peso (carga vertical) (a ação contínua da gravidade da terra sobre todas as estruturas com massa); 
 Cargas horizontais (ventos, abalos sísmicos, etc); 
 Tensões em função de variações (térmicas, de falta de estabilidade ou recalques, etc) 
Através do projeto estrutural as cargas gravitacionais, as forças externas e as tensões internas são mantidas sob o 
controle e canalizadas ao longo dos trajetos previstos. A intenção é mantê-los num sistema de ação–reação 
independentes, que dê o equilíbrio a cada componente individual, assim como ao sistema estrutural como um 
todo. 
Segundo o arquiteto Henrich Engel, em seu livro “Sistemas de Estruturas” podemos classificar os sistemas 
estruturais de arquitetura em 5 grupos: 
1. Sistemas de estrutura de forma ativa; 
2. Sistemas estruturais de vetor ativo; 
3. Sistemas estruturais de massa ativa; 
4. Sistemas estruturais de superfície ativa; 
5. Sistemas estruturais verticais. 
 
3.2 SISTEMAS ESTRUTURAIS DE FORMA ATIVA 
Sistemas de estrutura de forma ativa ou sistemas estruturais em estado de compressão e tração simples são 
estruturas que atuam principalmente através de sua forma material. A característica dos sistemas estruturais de 
forma ativa é que eles transmitem cargas somente através de esforços normais simples, isto é, através de 
compressão e tração. 
A coluna vertical ou o arco e o cabo de suspensão vertical são os protótipos de sistemas estruturais de forma ativa: 
a coluna e o arco, por compressão; e o cabo de suspensão,por tração. 
Os sistemas de forma ativa possuem a característica de poderem cobrir grandes vãos. 
 
 
3 
15 
 
EXEMPLOS 
 
 
 
 
 
 
 
3.3 SISTEMAS ESTRUTURAIS DE VETOR ATIVO 
Sistemas estruturais de vetor ativo ou sistemas estruturais com tração e compressão concorrentes são estruturas 
que atuam principalmente por meio de composição de elementos em compressão e tração. A característica dos 
sistemas estruturais de vetor ativo é a montagem triangular das peças – triangulação. 
As peças compressíveis e tracionáveis, dispostas em formas trianguladas e colocadas em sistemas com juntas 
articuladas podem retransmitir as cargas a longas distâncias sem a necessidade de apoios intermediários. 
16 
 
As peças compressíveis e tracionáveis, dispostas em formas trianguladas e colocadas em sistemas com juntas 
articuladas podem retransmitir as cargas a longas distâncias sem a necessidade de apoios intermediários. 
EXEMPLOS 
 
 
 
 
 
 
 
17 
 
 
3.4 SISTEMAS ESTRUTURAIS DE MASSA ATIVA 
Sistemas estruturais de massa ativa ou sistemas estruturais em estado de flexão são estruturas que atuam 
principalmente por massa e continuidade material. Os elementos lineares retos que apresentam resistência podem 
realizar funções estruturais. Com resistência à compressão podem ser usados como barras de compressão. Com 
resistência à tração, podem ser usados como barras de tração. 
Se, além disso, dispuserem de rigidez a flexão, então teremos uma viga. 
As vigas são elementos estruturais retos, resistentes à flexão, que resistem às forças que atuam na direção de seu 
eixo, aos esforços secionais, às forças perpendiculares a seu eixo e ainda são capazes de retransmitir os esforços 
lateralmente ao longo de seu eixo até os apoios das extremidades. As vigas são os elementos básicos dos sistemas 
estruturais de massa ativa. 
EXEMPLOS 
 
 
 
 
 
3.5 SISTEMAS ESTRUTURAIS DE SUPERFÍCIE ATIVA 
Sistemas estruturais de superfície ativa ou sistemas estruturais em estado de tensão de membrana são estruturas 
que atuam principalmente por continuidade de superfície. Superfícies são geometrias que definem espaços. Uma 
superfície pode dividir ambientes, separar o meio externo do meio interno, etc. 
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Quando as superfícies podem exercer função estrutural, podemos considerá-las sistemas estruturais de superfície 
ativa. A continuidade estrutural dos elementos em dois eixos, isto é, superfície resistente à compressão, tração e 
cisalhamento, é o primeiro requisito e a primeira característica das superfícies-ativas. 
Os sistemas estruturais de superfície ativa são ao mesmo tempo o invólucro da edificação e a parte estrutural da 
mesma. Citam-se como exemplos as “cascas estruturais” e os sistemas pré-fabricados em placas estruturais de 
fechamento externo, dentre outros. 
EXEMPLOS 
 
 
 
 
 
3.6 SISTEMAS ESTRUTURAIS VERTICAIS 
São estruturas que atuam principalmente por transmissão vertical de cargas. São os sistemas estruturais cuja 
função principal é a de agrupar cargas de planos horizontais, colocados uns sobre os outros; e retransmiti-las 
verticalmente à base da estrutura. 
Estes sistemas requerem continuidade dos elementos que transportam as cargas à base, e portanto, necessitam de 
congruência dos pontos de agrupamento de carga para cada planta tipo. São os sistemas estruturais adotados nos 
edifícios de grandes alturas. 
 
 
 
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EXEMPLOS 
 
 
 
 
20 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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QUADRO RESUMO
1
 
 
 
 
1
 Henrich Engel, livro “Sistemas de Estruturas” 
22 
 
 
Cargas 
 
4.1 CONCEITO DE FORÇA 
De maneira intuitiva associamos o termo “força” a qualquer ato de puxar ou empurrar algo. Em geral tal termo 
representa a ação de um corpo sobre o outro (força de contato). No ambiente da construção civil temos a força de 
contato que uma viga faz na outra, a força de reação normal que o chão faz na viga além da força peso. Na física 
newtoniana força é uma grandeza vetorial de forma que ao expressa-la, devemos fazer não apenas com um valor 
numérico (módulo), mas também por meio de sua direção e sentido. A intensidade de uma força é expressa em 
Newton (N) no Sistema Internacional de Unidades (SI). 
A direção de uma força é definida por sua linha de ação, ou seja, é a reta ao longo da qual a força atua, sendo 
caracterizada pelo ângulo que a mesma forma com algum eixo de referência, como indicado na figura abaixo. Por 
conveniência costuma-se descrever a força por meio de suas componentes em algum sistema de coordenadas. As 
direções mais comuns são a vertical e horizontal. Na parte direita da figura temos um exemplo da decomposição 
do vetor A em termos de suas componentes, paralela e perpendicular ao segmento de reta aa’. 
 
Vetor Força 
O sentido da força indica a orientação do vetor ao longo de uma direção (esquerda, direita, cima, baixo). 
Na grande maioria das situações reais, um corpo está sujeito a mais de uma força. Denomina-se grupo de forças, 
o conjunto de forças aplicadas em um único ponto de um corpo. Sistema de forças é o conjunto de forças 
aplicadas simultaneamente em pontos diversos de um mesmo corpo. Em boa parte dos problemas estaremos 
interessados no vetor força que representa a superposição (soma) de todas as forças (ou parte delas) que atuam em 
um corpo. Esse vetor se chama vetor resultante que está representado na figura abaixo juntamente com um 
exemplo de Grupos de força e Sistema de forças. 
 
Grupo de forças Sistema de forças 
4 
23 
 
No nosso estudo precisaremos dos conceitos abaixo: 
ESPAÇO: o conceito de espaço é associado à noção de posição de um ponto material, o qual pode ser 
definido por três comprimentos, medidos a partir de um certo ponto de referência, ou de origem, 
segundo três direções dadas. Estes comprimentos são conhecidos como as coordenadas do ponto; 
FORÇA: a força representa a ação de um corpo sobre outro; é a causa que tende a produzir movimento 
ou a modificá-lo. A força é caracterizada pelo seu ponto de aplicação, sua intensidade, direção e 
sentido; uma força é representada por um vetor; 
Além destes conceitos precisamos conhecer também as unidades utilizadas. Aqui no Brasil adotamos o Sistema 
Internacional de Unidades (SI). O SI é subdividido em unidades básicas e unidades derivadas. 
As unidades básicas são: metro (m), quilograma (kg) e segundo (s). As unidades derivadas são, entre outras, força, 
trabalho, pressão, etc. 
As unidades do SI formam um sistema absoluto de unidades. Isto significa que as três unidades básicas escolhidas 
são independentes dos locais onde são feitas as medições. 
A força é medida em Newton (N) que é definido como a força que imprime a aceleração de 1 m/s
2
 à massa de 1 
kg. A partir da Equação F=m.a (segunda Lei de Newton), escreve-se: 1 N = 1 kg × 1 m/s
2
. 
O peso de um corpo também é uma força e é expresso em Newton (N). Da Equação P=m.g (terceira Lei de 
Newton ou Lei da Gravitação) segue-se que o peso de um corpo de massa 1 kg é = (1 kg)×(9,81 m/s
2
) = 9,81 N, 
onde g=9,81m/s
2
 é a aceleração da gravidade. 
A pressão é medida no SI em Pascal (Pa) que é definido como a pressão exercida por uma força de 1 Newton 
uniformemente distribuída sobre uma superfície plana de 1 metro quadrado de área, perpendicular à direção da 
força Pa = N/m
2
 . Pascal é também unidade de tensões normais (compressão ou tração) ou tensões tangenciais 
(cisalhamento). 
 
4.2 CONCEITOS DE MASSA, PESO, MASSA ESPECÍFICA 
Os conceitos de peso e massa são constantemente trocado no dia a dia. Uma pessoa ao se pesar, por exemplo, diz 
estar consultando o valor de seu peso e o trata em quilogramas, uma unidade de massa. O peso é uma força e por 
isso deve ser medido em unidades como Newton, entre outras. 
A massa(m), de acordo com a mecânica clássica é uma grandeza escalar de propriedade fundamental da matéria, 
que se mantêm constante independente da posição do corpo, e que revela a medida de inércia, ou seja, de 
resistência de um corpo. Basicamente, é a quantidade de matéria que se faz presente num determinado corpo. Sua 
unidade de medida padrão, de acordo com o SI, é o quilograma (kg). Peso (P), no entanto, é uma força que se tem 
devido à ação da aceleração da gravidade na Terra. Essa aceleração multiplica-se com a massa do corpo, 
resultando no peso. Hipoteticamente, ao abandonar um corpo com massa m acima da superfície da Terra, numa 
região onde há vácuo, a força resultante sobre esse corpo, será o peso. O peso de um corpo que se encontra 
próximo a um planeta ou estrela, será a força com que ele é atraído por este. 
Sendo assim, um astronauta que tenha um peso x aqui na terra, ao ir para outro planeta de gravidade diferente, terá 
um peso diferente, porém sua quantidade de matéria (massa) continuará sendo a mesma. 
A massa é uma grandeza física fundamental. Segundo a mecânica newtoniana, ela dá a medida da inércia ou da 
resistência de um corpo em ter seu movimento acelerado. Ela também é a origem da força gravitacional, atuante 
sobre os corpos no Universo. Logo, os conceitos de massa e inércia estão diretamente relacionados. Mais adiante 
iremos tratar sobre equilíbrio dos corpos, onde retomaremos o conceito de inércia. 
24 
 
Definimos a massa especifica (μ) de uma substância através da razão entre a massa (m) de uma porção compacta 
e homogênea dessa substância e o volume (V) ocupado por ela, por isso a massa específica é característica de cada 
substância. Matematicamente expressamos a massa específica da seguinte forma: 
𝝁 =
𝒎
𝑽
 
Onde m é a massa da porção de substância e V é o volume ocupado por ela. No SI, para casos estruturais, a 
unidade de massa específica é kgf/m
3
. É comum o uso de kN/m³ como unidade de medida para a massa específica. 
Lembre-se de que a massa específica de uma substância (μ) não é necessariamente igual à densidade de um corpo 
formado totalmente dessa substância. Elas são diferentes quando o corpo não é maciço: se o corpo possui em seu 
interior espaços vazios, ele ocupa um volume bem maior do que ocuparia se fosse composto. 
É importante ter clareza de que a massa específica é definida para uma substância e que a densidade é definida 
para um corpo. 
 
4.3 TIPOS DE CARREGAMENTO EM ESTRUTURAS 
É absolutamente necessário que as forças que atuam nas edificações sejam muito bem conhecidas, na sua 
intensidade, direção e sentido, pra que a concepção estrutural seja coerente com o caminho que essas forças 
devem percorrer até o solo e para que os elementos estruturais sejam adequadamente dimensionados. 
As forças externas são denominadas cargas. As cargas permanentes são as que ocorrem ao longo da vida útil da 
estrutura e cargas acidentais as que ocorrem eventualmente. As cargas permanentes são devidas exclusivamente a 
forças gravitacionais, ou pesos. As cargas acidentais podem variar, de tipo: peso das pessoas, do mobiliário, dos 
carros, força do vento, etc. 
4.3.1 DISTRIBUIÇÃO DAS CARGAS 
A distribuição de cargas sobre uma estrutura pode ser diferente de um ponto para outro. As cargas que têm a 
mesma intensidade ao longo do elemento estrutural são denominadas cargas uniformes, as que variam são 
denominadas cargas variáveis. Quanto à geometria as cargas podem ser: 
 Localizadas em um ponto, denominadas de cargas 
pontuais ou concentradas. 
 
 Distribuídas sobre uma área, denominadas cargas 
superficiais. 
 
 
 Distribuídas sobre uma linha, denominadas de cargas lineares. 
 
 
25 
 
4.4 TRANSFORMAÇÃO DE UNIDADES 
 
PRINCIPAIS PREFIXOS DAS UNIDADES SI 
NOME SÍMBOLO FATOR DE MULTIPLICAÇÃO DA UNIDADE 
terá T 10
12
 = 1 000 000 000 000 
giga G 10
9
 = 1 000 000 000 
mega M 10
6
 = 1 000 000 
quilo k 10
3
 = 1 000 
hecto h 10
2
 = 100 
deca da 10 
UNIDADE 
deci d 10
-1
 = 0,1 
centi c 10
-2
 = 0,01 
mili m 10
-3
 = 0,001 
micro μ 10
-6
 = 0,000 001 
nano n 10
-9
 = 0,000 000 001 
pico p 10
-12
 = 0,000 000 000 001 
 
Unidades de medida (comprimento, área, volume). 
COMPRIMENTO 
NOME SÍMBOLO FATOR DE MULTIPLICAÇÃO DA UNIDADE 
quilometro km 10
3
 = 1 000 
hectometro hm 10
2
 = 100 
decametro dam 10 
UNIDADE – METRO → m 
decímetro dm 10
-1
 = 0,1 
centímetro cm 10
-2
 = 0,01 
milímetro mm 10
-3
 = 0,001 
micrometro μm 10
-6
 = 0,000 001 
 
ÁREA 
NOME SÍMBOLO FATOR DE MULTIPLICAÇÃO DA UNIDADE 
quilometro quadrado km² 10
6
 = 1 000 000 
hectometro quadrado hm² 10
4
 = 10 000 
decametro quadrado dam² 10² = 100 
UNIDADE – METRO QUADRADO → m² 
decímetro quadrado dm² 10
-2
 = 0,01 
centímetro quadrado cm² 10
-4
 = 0,0 001 
milímetro quadrado mm² 10
-6
 = 0,000 001 
 
VOLUME 
NOME SÍMBOLO FATOR DE MULTIPLICAÇÃO DA UNIDADE 
quilometro quadrado km³ 10
9
 = 1 000 000 000 
hectometro quadrado hm³ 10
6
 = 1 000 000 
decametro quadrado dam³ 10³ = 1 000 
UNIDADE – METRO CÚBICO → m³ 
decímetro quadrado dm³ 10
-3
 = 0,001 
centímetro quadrado cm³ 10
-6
 = 0,000 001 
milímetro quadrado mm³ 10
-9
 = 0,000 000 001 
 
26 
 
Força, peso, carga, carregamento. 
NOME SÍMBOLO FATOR DE MULTIPLICAÇÃO DA UNIDADE 
Unidade - quilograma força → kgf 
tonelada força tf 1 000 
Unidade - Newton → N 
quilonewton kN 1 000 
RELAÇÃO 
1 kgf = 10 N 1 tf = 10 kN 
 
Pressão 
NOME SÍMBOLO FATOR DE MULTIPLICAÇÃO DA UNIDADE 
Unidade - Pascal → Pa 
mega Pascal MPa 10
6
 = 1 000 000 
giga Pascal GPa 10
9
 = 1 000 000 000 
Unidade - Newton por milímetro quadrado → N/mm² 
Newton por centímetro quadrado N/cm² 10
-2
 = 0,01 
Newton por metro quadrado N/m² 10
-6
 = 0,000 001 
quilo Newton por milímetro quadrado kN/mm² 10³ = 1 000 
quilo Newton por centímetro quadrado kN/cm² 10 
quilo Newton por metro quadrado kN/m² 10
-3
 = 0,001 
RELAÇÃO 
1 Pa = 1 N/m² 1 MPa = 1 N/mm² 
1 GPa = 1 000 MPa 1 MPa = 0,1 kN/cm² 
 
VOCÊ SABIA?2 
 
 
2
 Elementos de Resistência dos Materiais e de Estática das Estruturas – Norman Barros Logsdon. 2011. 
27 
 
 
QUADRO RESUMO – CONCEITOS ESSENCIAIS NO COMPORTAMENTO DAS ESTRUTURAS
3
 
 
 
Força 
É a grandeza que faz com que um sólido se mova ou mude 
sua posição ou estado (ou sua forma). 
Força = massa x aceleração 
𝑭 =𝒎 × 𝒂 
UNIDADES: N, kN, kgf, tf 
 
Cargas 
São forças que agem sobre um sólido desde o exterior, 
com exceção das forças reativas emanadas dos suportes do 
sólido. 
Carga = força atuante 
𝑪 = 𝑭 =𝒎 × 𝒂 
UNIDADES: N, kN, kgf, tf 
 
Força gravitacional 
É a força pela qual a massa da Terra consegue uma sólida 
adequação à quantidade de sua massa / = peso. 
(peso próprio da estrutura) 
Força da gravidade = massa x gravidade 
𝑮 =𝒎 × 𝟗,𝟖𝟏∗ 
UNIDADES: N, kN, kgf, tf 
*usaremos 10 
 
Momento 
É o movimento giratório induzido por um par, ou exercido 
por uma força em um sólido, cujo centro de movimento 
está fora da direção da força. 
Momento = força x distância 
𝑴 = 𝒇 × 𝒅 
UNIDADES: Nm, kNm, kgfm, tfm 
 
 
Tensão 
É a força de resistência interna por unidade de área, que é 
mobilizada em um sólido através de uma força externa. 
Tensão = força : área 
𝝈 = 𝒇÷ 𝑨 
UNIDADES: N/m², kN/m², kgf/m², 
tf/m² 
 
Resistência 
É a força pela qual um sólido resiste a uma deformação ou 
movimento induzido pela ação de uma força externa /= 
força de resistência. 
Resistência = força de resistência 
𝑹 = 𝑭𝑨 =𝒎 × 𝒂 
UNIDADES: N, kN, kgf, tf 
 
Equilíbrio 
É o estado no qual a soma total das forças agindo sobre um 
sólido não produz nenhum movimento, significando que 
ela é igual a zero. 
Soma total das forças e momentos = 0 
 𝑭+𝑴 = 𝟎 
 
 
 
3
 Henrich Engel, livro “Sistemas de Estruturas” 
10 kgf x 10 
= 100 kN 
28 
 
Vínculos e Equações Fundamentaisda 
Estática 
 
5.1 APOIOS 
Para o estudo do equilíbrio dos corpos rígidos não bastam conhecer somente as forças externas que agem sobre 
ele, mas também é necessário conhecer como este corpo rígido está apoiado. Apoios são elementos que restringem 
os movimentos das estruturas e recebem a seguinte classificação: 
 Apoio móvel 
 
 
→ Impede movimento na direção normal (perpendicular) ao plano do apoio; 
→ Permite movimento na direção paralela ao plano do apoio; 
→ Permite rotação. 
 
 
Apoios móveis (roletes) 
 
 Apoio fixo 
 
→ Impede movimento na direção normal ao plano do apoio; 
→ Impede movimento na direção paralela ao plano do apoio; 
→ Permite rotação. 
 
 
Apoios fixos 
5 
29 
 
 Engaste 
 
 
→ Impede movimento na direção normal ao plano do apoio; 
→ Impede movimento na direção paralela ao plano do apoio; 
→ Impede rotação. 
 
 
Engastes 
 
TIPO DE APOIO SIMBOLOGIA GRAU DE LIBERDADE REAÇÕES 
Articulado móvel, apoio 
do primeiro gênero 
 
Articulado fixo, apoio do 
segundo gênero 
 
Engaste, apoio do 
terceiro gênero 
 
 
ATENÇÃO! 
 
 
 
 
 
 APOIOS: dispositivos que ligam pontos do sistema a outros sistemas impedindo determinados movimentos; o 
número de reações é igual ao número de movimentos que impedem. 
 VÍNCULOS: cada uma das restrições impostas por um apoio; o número de vínculos é o número de reações. 
30 
 
 
 
5.2 ESFORÇOS ATIVOS E REATIVOS 
 
QUADRO RESUMO – DIVERSIDADE DE FORÇAS EM ESTRUTURA/DENOMINAÇÃO
4
 
 
1 TIPOS 
FORÇAS EXTERNAS FORÇAS INTERNAS FORÇAS CORTANTES FORÇAS GRAVITACIONAIS 
 
 
 
 
FORÇAS ATUANTES FORÇAS REATIVAS FORÇAS RESISTÊNTES 
 
 
2 ESFORÇOS 
COMPRESSÃO TRAÇÃO EMPUXO CIZALHAMENTO 
 
 
TORÇÃO FLEXÃO FRICÇÃO FORÇA DE MEMBRANA 
 
 
 
4
 Henrich Engel, livro “Sistemas de Estruturas” 
31 
 
→PESO PRÓPRIO 
→CARGA DE USO 
→FORÇAS DE MOVIMENTO 
→FORÇAS DE RESSONÂNCIA 
3 DIREÇÃO 
FORÇAS HORIZONTAIS FORÇAS VERTICAIS FORÇAS OBLÍQUAS FORÇAS PLANAS FORÇAS NORMAIS 
 
 
4 DISTRIBUIÇÃO 
FORÇAS PONTUAIS FORÇAS LINEARES FORÇAS PLANAS FORÇAS ESPACIAIS 
 
 
 
5 DURAÇÃO 
FORÇAS ESTÁTICAS: FORÇAS DINÂMICAS: 
6 
ELEMENTO 
ESTRUTURAL 
FORÇA DE BARRA FORÇA DE CABO FORÇA DE ESTACA FORÇA DE SUPORTE 
 
FORÇA DE ARCO FORÇA DE EMPUXO OUTRAS 
 
7 GEOMETRIA 
FORÇA DE ARCO FORÇA MERIDIONAL FORÇA DE COROA 
 
FORÇA DE BORDA FORÇA RADIAL OUTRAS 
 
8 CAUSA PESO PRÓPRIO CARGA DE USO CARGA DE NEVE CARGA DE VENTO PRESSÃO DO SOLO FORÇAS DE MASSA FORÇAS DE COESÃO 
 
 
 
 
 
32 
 
5.2.1 ESFORÇOS EXTERNOS: 
Esforços externos ativos: carregamentos que exigem a construção de uma estrutura que os suporte; exemplos: o 
peso de objetos e pessoas sobre uma laje, a pressão do vento sobre um telhado, a pressão da água sobre as paredes 
de uma caixa d’água, o peso próprio de uma ponte. 
Esforços externos reativos: introduzidos pelos apoios. 
 
5.3 CLASSIFICAÇÃO DOS ESFORÇOS: 
Esforços reativos (reações de apoio) de uma estrutura (conjunto de partes resistentes de uma construção) isostática 
são determinados em função dos esforços ativos (cargas externas aplicadas) apenas com as equações de equilíbrio 
da estática dos corpos rígidos. 
Esforços solicitantes são esforços (efeitos) internos: 
 Força normal (N), perpendicular à seção; 
 Força cortante (Q), no plano da seção; 
 Momento fletor (M), no plano perpendicular à seção; 
 Momento torçor (T), no plano da seção. 
 
5.4 ESTABILIDADE DAS ESTRUTURAS (PLANAS): 
5.4.1 EQUILÍBRIO DE UM CORPO RÍGIDO 
 Corpo rígido: todo sólido capaz de receber forças sem se deformar. 
 Sem deformar: ação de forças produz movimentos. 
Como trabalhamos com estruturas planas, temos: 
 Espaço bidimensional → Um plano; 
 Estrutura, cargas e deslocamentos → no plano; 
 Movimentos independentes → apenas três (translação horizontal, translação vertical e rotação); 
 Sistemas “3 x 3”. 
 
 
 
 
33 
 
Exemplo de aplicação: 
Verificar o equilíbrio do corpo rígido plano esquematizado na figura abaixo. 
 
 
 
RESOLUÇÃO 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
5.5 CLASSIFICAÇÃO DAS ESTRUTURAS: 
 Hipostática: estrutura que pode apresentar movimento; o número de vínculos é menor que o número 
necessário. 
 
 
 
34 
 
 Isostática: estrutura cujos vínculos impedem que ela se movimente; o número de vínculos é o 
estritamente necessário para impedir movimento. 
 
 
 Hiperestática: estrutura que não pode apresentar movimento mesmo retirando-se algum vínculo, o 
número de vínculos é maior que o número necessário. 
 
 
 
35 
 
 
 Estudo das reações de apoio 
 
6.1 CÁLCULO DE REAÇÕES DE APOIO EM ESTRUTURAS ISOSTÁTICAS – EQUILÍBRIO EXTERNO DAS VIGAS 
6.1.1 VIGAS BIAPOIADAS SEM BALANÇOS 
O equilíbrio externo das vigas depende das cargas que atuam sobre as vigas 
e das reações a essas cargas provocadas pelos vínculos, denominadas 
reações de apoio. As primeiras cargas são denominadas cargas externas 
ativas e as segundas, reativas. 
Em uma viga, as cargas externas ativas são: cargas distribuídas decorrentes 
do peso próprio da viga; as cargas aplicadas pelas lajes e alvenarias; e as 
cargas concentradas devidas a outras vigas que nela se apoiam. 
Para determinação das cargas externas reativas, é necessário conhecer-se as 
forças de reação que cada vínculo é capaz de admitir. 
Assim, um apoio articulado móvel, que permite giro e deslocamento 
horizontal, só reage a forças verticais. Portanto, esse vínculo só admite 
reação vertical. 
O vínculo articulado fixo, por impedir deslocamento vertical e horizontal, 
admite reações vertical e horizontal. O vínculo engastado, que impede 
rotação e deslocamentos, admite reação vertical, horizontal e momento. 
Se, sob a ação das cargas externas ativas e reativas, a viga estiver em equilíbrio estático valem as condições de 
estabilidade já enunciadas, ou seja, não anda na horizontal, não anda na vertical e não gira. Essas condições 
podem ser traduzidas matematicamente pelas chamadas equações da estática, ou seja: 
 não anda na horizontal → ƩFH = 0 
 não anda na vertical → ƩFV = 0 
 não gira → ƩM = 0 
OBS: o símbolo Ʃ significa soma. 
Não andar na horizontal significa que a soma de todas as forças na horizontal (incluindo as projeções horizontais 
das forças inclinadas) deve resultar nula. O mesmo para as forças verticais. Não girar significa que os giros 
(momentos) que as forças ativas e reativas tendem a provocar em relação a um ponto qualquer, preestabelecido, 
são nulos. 
Exemplo: determinar as reações de 
apoio da viga da figura ao lado. 
 
 
 
6 
RV 
RV 
RH 
RV 
RH 
M 
2 tf 
2 m 3 m 
5 m 
A B 
36 
 
 
Denominem-se de A e B os apoios. Colocando a seguir as reações possíveis em cada tipo de vínculo, tem-se: 
 
 
 
 
 
 
 
Em seguida apliquem-se as três equações da estática: ƩFH = 0 ƩFV = 0 e ƩM = 0 
Usando a primeira equação e convencionando um sinal para as forças, 
ou seja, se a força horizontal tiver o sentido da esquerda pra a direita 
será positiva, caso contrário, negativa. Essa convenção pode ser oposta a 
esta sem que os resultados sofram qualquer alteração. Assim: 
Como não existe nenhuma força horizontal atuando na viga, a equação resulta no óbvio, ou seja, a reação 
horizontal no apoio B é zero, não existe. 
Aplicando a segunda equação e também convencionando que as forças 
com sentido de baixo para cima são positivas e as de sentido contrário 
negativas, tem-se: 
Deve-se aplicar, ainda, a terceira equação, a que se refere ao giro, convencionando-se que se a força tender a fazer 
a viga girar no sentido horário, em relação a um ponto qualquer escolhido, ela será positiva, caso contrário, 
negativa. Antes de aplicar essa terceira equação é necessário escolher um ponto qualquer (mas qualquer mesmo) 
para se tomar os momentos das forças ativas e reativas que atuamna viga. 
Para tomar o resultado mais rápido, recomenda-se que o ponto escolhido (também denominado polo de momento) 
para considerar os momentos das forças, seja um dos apoios. 
Seja, neste exemplo, o ponto B o polo dos momentos. Assim: ƩMB = 0 
Considere-se o momento de cada força (lembre-se RHB = 0), desconsiderando, em princípio, as demais, ou seja: 
 
 
 
 
 
 
 
2 tf 
2 m 3 m 
5 m 
A B 
RVA RVB 
RHB 
Convenção 
de sinais 
ƩFH = 0 
-RHB = 0 → RHB =0 
ƩFV = 0 
+RVA -2,0tf + RVB = 0 
RVA + RVB = 2,0tf (Equação1) 
2 m 3 m 
5 m 
A B 
RVA 
Sentido horário 
(+) 
Momento de RVA em 
relação a B 
37 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Portanto, tem-se: 
 
 
Como M = F x d, no primeiro caso tem-se como força a reação RVA, cuja distância ao polo B é 5 m. Sua tendência 
de giro em relação a B é no sentido horário. Soma-se a esse momento o momento da força de 2,0 tf, cuja distância 
ao polo B é de 2 m e cujo sentido de giro em relação a B é anti-horário. 
No terceiro caso, a linha de ação da reação RVB passa pelo ponto B, logo sua distância a B é zero, o que resulta em 
um momento nulo. 
Completando-se a equação 2, tem-se: 
 
 
 
 
Para determinar RVB, substitui-se o valor de RVA na Equação 1. 
 
 
 
 
2 m 3 m 
5 m 
A B 
RVB 
Momento de RVB em 
relação a B 
+ RVA x 5 m – 2 tf x 2 m + RVB x 0 = 0 (Equação 2) 
RVA x 5 m – 4 tfm = 0 
RVA x 5 m = 4 tfm 
RVA = 4 tfm / 5 m 
RVA = 0,8 tf 
RVA + RVB = 2,0tf (Equação1) 
0,8tf + RVB = 2,0tf 
RVB = 2,0tf - 0,8tf 
RVB = 1,2tf 
Sentido anti-horário 
(–) 
2 tf 
2 m 3 m 
5 m 
A B 
Momento de 2,0 tf 
em relação a B 
38 
 
Para simplificar o cálculo, pode-se generalizar os resultados, usando uma força P qualquer atuando sobre a viga de 
vão l qualquer e distante a e b dos apoios A e B, respectivamente. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Desta maneira, basta aplicar diretamente essas relações genéricas, sem necessidade de se determinar os valores 
das reações usando, toda vez, as equações da estática. 
Se houver mais de uma carga na viga, faz-se o cálculo das reações parciais para cada carga, somando-se ao final 
esses valores parciais para obter a reação total em cada apoio. 
 
Exemplos: 
 Usando as fórmulas para RVA e RVB: 
 
 
 
 
 
 𝐹𝑉 = 0 → 𝑹𝑯𝑩 = 𝟎 
P 
b a 
l 
A B 
RVA RVB 
RHB 
ƩFH = 0 
-RHB = 0 → RHB =0 
ƩFV = 0 
+RVA –P + RVB = 0 
RVA + RVB = P (Equação1) 
ƩMB = 0 
+RVA x l –P x b + RVB x 0 = 0 
RVA x l –P x b = 0 
RVA x l = P x b 
RVA = (P x b)/l 
RVA + RVB = P (Equação1) 
[(P x b)/l] + RVB = P 
RVB = P - [(P x b)/l] 
RVB = [(P x l) – (P x b)]/l 
RVB = [P x (l – b)]/l 
Como (l – b) é a, temos: 
RVB = (P x a)/l 
2 tf 
2 m 3 m 
5 m 
A B 
RVA RVB 
RHB 
𝑅𝑉𝐴 =
𝑃 × 𝑏
𝑙
 
𝑅𝑉𝐴 =
2 𝑡𝑓 × 2 𝑚
5 𝑚
 
𝑹𝑽𝑨 = 𝟎, 𝟖 𝒕𝒇 
𝑅𝑉𝐵 =
𝑃 × 𝑎
𝑙
 
𝑅𝑉𝐵 =
2 𝑡𝑓 × 3 𝑚
5 𝑚
 
𝑹𝑽𝑩 = 𝟏, 𝟐 𝒕𝒇 
 
 
39 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
No caso de cargas uniformemente distribuídas sobre a viga, tais como seu peso próprio, laje e alvenaria, usa-se o 
artifício de substituir a carga distribuída pela sua resultante. 
Como a carga distribuída é de 2,0tf/m e o seu comprimento é de 4m, sua resultante é de P = 2,0tf/m x 4m = 8,0tf, 
aplicada no meio, ou seja: 
 
 
 
 
 
 
 
 
1,5m 1m 1,5m 
2,0 tf 
2m 
6m 
A B 
RVA RVB 
1,0 tf 4,0 tf 
𝑅𝑉𝐴 =
𝑃 × 𝑏
𝑙
 
𝑅𝑉𝐴 =
[2,0𝑡𝑓 × (1𝑚 + 1,5𝑚 + 1,5𝑚)] + [1,0𝑡𝑓 × (1,5𝑚 + 1,5𝑚)] + (4,0𝑡𝑓 × 1,5𝑚)
6𝑚
 
𝑅𝑉𝐴 =
(2,0𝑡𝑓 × 4𝑚) + (1,0𝑡𝑓 × 3𝑚) + (4,0𝑡𝑓 × 1,5𝑚)
6𝑚
 
𝑅𝑉𝐴 =
8,0𝑡𝑓𝑚 + 3𝑡𝑓𝑚 + 6𝑡𝑓𝑚
6𝑚
 
𝑹𝑽𝑨 ≅ 𝟐, 𝟖𝒕𝒇 
𝑅𝑉𝐵 =
𝑃 × 𝑎
𝑙
 
𝑅𝑉𝐵 =
(2,0𝑡𝑓 × 2𝑚) + [1,0𝑡𝑓 × (2𝑚 + 1𝑚)] + [4,0𝑡𝑓 × (2𝑚 + 1𝑚 + 1,5𝑚)]
6𝑚
 
𝑅𝑉𝐵 =
(2,0𝑡𝑓 × 2𝑚) + (1,0𝑡𝑓 × 3𝑚) + (4,0𝑡𝑓 × 4,5𝑚)
6𝑚
 
𝑅𝑉𝐵 =
4,0𝑡𝑓𝑚 + 3𝑡𝑓𝑚 + 18,0𝑡𝑓𝑚
6𝑚
 
𝑹𝑽𝑩 ≅ 𝟒, 𝟐𝒕𝒇 
 
4m 
A B 
RVA RVB 
q = 2,0 tf/m 
8,0tf 
2m 2m 
4m 
A B 
RVA RVB 
40 
 
Usando as equações da estática, desconsiderando a 
que se refere a forças horizontais, já que só existem 
cargas verticais atuando sobre a viga, tem-se: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Resultados que eram de se esperar: já que a carga é uniformemente distribuída sobre toda a extensão da viga, 
metade de seu valor vai para cada apoio. Generalizando, considerando a carga distribuída q e o vão l., tem-se: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
ƩFV = 0 
+RVA – 4m x 2tf/m + RVB = 0 
RVA – 8tf + RVB = 0 
RVA + RVB = 8tf (Equação1) 
ƩMB = 0 
+RVA x 4m – 8tf x 2m + RVB x 0 = 0 
RVA x 4m – 8tf x 2m = 0 
RVA x 4m = 16tfm 
RVA = 16tfm/4m 
RVA = 4tf 
RVA + RVB = 8tf (Equação1) 
4tf + RVB = 8tf 
RVB = 8tf - 4tf 
RVB = 4tf 
8,0tf 
2m 2m 
4m 
A B 
RVA RVB 
l 
A B 
RVA RVB 
 q . 
P = q x l (tf) 
l/2 l/2 
l 
A B 
RVA RVB 
ƩFV = 0 
+RVA – q x l + RVB = 0 
RVA + RVB = q x l (Equação1) 
ƩMB = 0 
+RVA x l – q x l x(l/2) + RVB x 0 = 0 
RVA x l –= 0 
RVA x l = (q x l²)/2 
RVA = (q x l²)/(2 x l) 
RVA = (q x l)/2 
RVA + RVB = q x l (Equação1) 
[(q x l)/2] + RVB = q x l 
RVB = q x l – [(q x l)/2] 
RVB = [(2 x q x l) – (q x l)]/2 
RVA = (q x l)/2 
41 
 
CONTEÚDO PROGRAMÁTICO 
 
Introdução à Resistência dos Materiais 
Descrição, objetivos do estudo da resistência dos materiais, exemplos gerais de aplicação, interação com 
outras disciplinas. 
 
Estruturas 
Classificação dos elementos estruturais em função de sua forma e função: Estruturas reticulares, placas, 
cascas, estruturas volumétricas, tenso-estruturas. 
 
Cargas 
Forças: tipos e forma de aplicação; decomposição de forças; unidades. 
Massa, peso, massa específica: conceituação e exemplos. 
Tipos de carregamentos em estruturas: cargas distribuídas e cargas concentradas. Transformação de 
unidades. 
 
Vínculos 
Tipos de vínculos - apoios de uma estrutura. 
Casos mais comuns: apoio simples fixo, apoio simples móvel e engaste. Esforços ativos e reativos (reações 
de apoio). 
 
Equações Fundamentais da Estática 
Equações de equilíbrio das estruturas. 
Classificação das estruturas segundo seu equilíbrio. 
Estudo das reações de apoio: Cálculo de reações de apoio em estruturas isostáticas: reações verticais, 
reações horizontais e momentos de engastamento. 
 
Esforços Solicitantes – Momentos Fletores, Esforços Cortantes, Esforços Normais e Esforços Torçores 
Conceitos Gerais. Cálculo dos esforços internos solicitantes: Linhas de estado - representação gráfica dos 
esforços - diagramas de esforços. Vigas isostáticas: bi-apoiadas, em balanço, vigas contínuas. Estruturas 
aporticadas.