FUNÇÃO ITA 1971 A 2021

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QUESTÕES DE FUNÇÕES DO ITA DE 1971 A 2021
ENUNCIADOS
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1) (ITA 1971) Se f é uma função real de variável real dada por
f x  x2 ,
então
f x2  y2  é igual a:
a) f f x  f y  2f xf y
para todo x e y.
b) f x2   2f f x  f xf y para todo x e y.
c) f x2   f y2   f xf y para todo x e y.
d) f f x  f f y  2f xf y para todo x e y.
e) f f x  2f y2   2f xf  y para todo x e y.
2) (ITA 1972) Seja f x  x2  px  p
uma função real de variável real. Os valores de p
para os quais f x  0
possua raiz dupla positiva são:
a) 0  p  4.
b) 
p  4
c) 
p  0.
d) f x  0
não pode ter raiz dupla positiva.
e) nenhuma das respostas anteriores.
3) (ITA 1973) O crescimento de uma certa cultura de bactérias obedece à função Xt  Cekt , onde Xt é um número de bactérias no tempo t  0; C e k são constantes positivas (e é a base do logaritmo neperiano). Verificando-se que o número inicial de bactérias X0, duplica em 4 horas, quantas bactérias se pode esperar no fim de 6 horas?
a) 3 vezes o número inicial.
b) 2,5 vezes o número inicial.
c) 2 2 vezes o número inicial.
d) 23 2 vezes o número inicial.
e) n.d.a.
4) (ITA 1973) A lei de decomposição do radium no tempo t  0,
é dada por
M  t   Cekt , onde
Mt
é a quantidade de radium no tempo t, C e k são constantes
positivas e e é a base do logaritmo neperiano. Se a metade da quantidade primitiva M 0,
desaparece em 1600 anos, qual a quantidade perdida em 100 anos?
a) 11001 da quantidade inicial.
b) 1 26 da quantidade inicial.
c) 1 216 da quantidade inicial.
 1
d) 1 2 16 da quantidade inicial.
e) n.d.a.
5) (ITA 1974) Sejam A, B e D subconjuntos não vazios do conjunto dos números
 (
g


t

 

 
f
)reais. Sejam as funções f : A  B y  f x,	g : D  B x  g  t , e a função
composta f g : E  K
são tais que:
a) E  A e K  D
b) E  B e K  A
(e, portanto,
z  f
gt. Então, os conjuntos E e K
c) E  D, D  E e K  B
d) E  D e K  B
e) n.d.a.
6) (ITA 1974) O conjunto de todos os valores de x para os quais existe um y real de modo
	 7  2x  x2 
que
y  log10 log10 
2	 é dado por:
	
3  4x

a) (
2
3
)intervalo aberto A, de extremos  e	2.
b) intervalo aberto A, de extremos 	e	3.
c) intervalo aberto A, de extremos 
d) intervalo aberto A, de extremos 
e) n.d.a.
3 e	3 .
2	2
3 e 1.
2
7) (ITA 1975) Seja
 (
g
) 7 
 25 
f x
 ex  ex ex  ex
definida em
 (
.
)Se g for a função inversa de f, o
valor de e 	 será:
4	7e
	
 25 
 7 2
 25 
a)	b)	c) loge 	
25
d) e		e) NDA
3	 7 
8) (ITA 1976) Considere g :a, b, c a, b, c uma função tal que ga  b
Então, temos:
e gb  a.
a) a equação gx  x
tem solução se, e somente se, g é injetora.
b) g é injetora, mas não é sobrejetora.
c) g é sobrejetora, mas não é injetora.
d) se g não é sobrejetora, então ggx  x
e) n.d.r.a.
para todo x em a, b, c.
9) (ITA 1976) Seja A e B conjuntos infinitos de números naturais. Se f : A  B e
g : B  A são funções tais que f gx  x, para todo x em B e gf x  x, para todo
x em A, então, temos:
a) existe xo em B, tal que f y  xo, para todo y em A.
b) existe a função inversa de f.
c) existe xo e x1 em A, tais que xo  x1 e f xo   f x1 .
d) existe a em B, tal que gf ga  ga.
e) n.d.r.a.
10) (ITA	1976)	Seja	A	uma	função	real	de	variável	real	x,	tal	que:
e2x  2ex Ax 1  0,
para todo número real x.
Nestas condições, temos:
a) A0  1, Ax  Ax, para todo número real x e não existe um número real x  0,
satisfazendo a relação Ax  1.
b) A0 1 e Ax  0, para algum número real x.
c) A1  0
e Ax  Ax,
para todo número real x.
d) não existe um número real x, não nulo, satisfazendo a relação um número real x, satisfazendo Ax  Ax.
e) (

)n.d.r.a.
Ax  1 e não existe
11) (ITA 1976) Considere a seguinte função real de variável real Então
a) Para todo x  1, ocorre Mx  1.
Mx
ex  ex ex  ex .
b) Para todo número real x ocorrem, simultaneamente, Mx  Mx e 0  Mx  1.
c) Existem um a (número real positivo) e um b (número real negativo), tais que
Ma  Mb.
d) Mx  0, somente quando x  0 e Mx  0 apenas quando x  0.
e) n.d.r.a.
12) (ITA 1977) Considere a função Fx  x2 1
definida em . Se F
representa a
 (
F
)função composta de F com F, analise as afirmações abaixo:
(1) F Fx  x x2 1 , para todo x real.
(2) Não existe número real y, tal que F Fy  y.
(3) FoF é uma função injetora.
(4) F Fx  0, apenas para dois valores reais de x. O número de afirmativas VERDADEIRAS é:
a) 4	b) 3	c) 2	d) 1	e) 0
13) (ITA 1977) Supondo que a  b, onde a e b são constantes reais, considere a função
Hx  a b ax definida no intervalo fechado 0,1. Podemos assegurar que:
a) H não é uma função injetora.
b) Dado qualquer y, sempre existe um x em 0,1 satisfazendo Hx  y.
c) Para cada y, com a  y  b,
Hx  y.
corresponde um único real x, com 0  x  1,
tal que
d) Não existe uma função real G, definida no intervalo fechado a, b, satisfazendo a relação GHx  x para cada x em 0,1.
e) n.d.a.
14) (
.
)(ITA 1978) Sejam o conjunto dos números reais e f uma função de em
Sejam B 	e o conjunto f 1 B  x 
a) f f 1 B  B
b) f f 1 B  B se f é injetora.
c) f f 1 B  B
d) f 1 f B  B se f é sobrejetora
e) n.d.a.
; f x B, então:
15) (ITA 1978) Seja
f x
uma função real de variável real. Se para todo x no domínio
de f temos
f x  f x,
dizemos que a função é par; se, no entanto, temos
f x  f x,
dizemos	que	a	função	é	ímpar.	Com	respeito	à	função
gx  loge sen x  1 sen2 x  , podemos afirmar que:
a) está definida apenas para x  0.
b) é uma função que não é par nem ímpar.
c) é uma função par.
d) é uma função ímpar.
e) n.d.a.
16) (

 

 

x
 

 
;
 
x 

 
0

)(ITA 1978) Qual das funções definidas abaixo é bijetora? Obs. e a, b é o intervalo fechado de extremos a e b.
a) f :	
· 
tal que f x  x2.
b) f :	 	 tal que f x  x 1.
c) f :1,3 2, 4 tal que f x  x 1.
d) f :0, 2  tal que f x  sen x.
e) n.d.a.
17) (ITA 1979) Seja f uma função real definida para todo x real tal que: f é ímpar;
f x  y  f x  f y;
e f x  0,
se x  0.
f x  f 1
 (

 

 

)Definindo g x		, x
se x  0.
Sendo n um número natural, podemos afirmar que:
a) f é não-decrescente e g é uma função ímpar.
b) f é não-decrescente e g é uma função par.
c) f é não-decrescente e 0  gn  f 1.
d) f não é monótona e 0  gn  f 1.
e) não é possível garantir que 0  gn  f 1.
18) (ITA 1980) Sejam A e B subconjuntos não vazios de e f  A  B, g  B  A
duas funções tais que afirmar que:
a) f é sobrejetora.
b) f é injetora.
c) f é bijetora.
d) g é injetora e par.
fog  IB,
onde IB
é a função identidade em B. Então podemos
e) g é bijetora e ímpar.
19) (ITA 1980) No sistema de coordenadas cartesianas ortogonais, a curva
y  ax2  bx  c
passa pelos pontos 1,1 , 2, m
e m, 2 , onde m é um número real
diferente de 2. Sobre esta curva podemos afirmar que:
a) Ela admite um mínimo para todo m tal que 1  m  3 .
2	2
b) Ela admite um mínimo para todo m tal que 0  m  1.
c) Ela admite um máximo para todo m tal que  1  m  1 .
2	2
d) Ela admite um máximo para todo m tal que 1  m  3 .
2	2
e) Ela admite um máximo para todo m tal que 0  m  1.
 (

) (

) x  a , se x  b
20) (ITA 1982) Seja f : 
definida por f x  x  b
. Se f f x  x
para todo x real e f 0  2, então
  b, se x  b
a) ab  2
b) 
ab  1
c) 
ab  0
d) 
ab  1
e) 
ab  2
21) (ITA 1983) Dadas as funções
f x2   log2x x
e gx  2sen2 x  3sen x 1
definidas para x  0 e x  1 , o conjunto
2
 (
*
 
:
 

g
 
f
 


x

 

 
0

)A  x 
 f x0, 2
é dado por
 (
a)
 
A
 

) (
4
2
 
,
 
4
6

 
,
 
4
6

5

) 		5 
 (
b)
 
A
 

) (
2
2

 
,
 
2
6

 
,
 
2
6

5

) 		5 
c) A  42, 46, 465
 (
d)
 
A
 

) (
4
2

 
,
 
4
6

 
,
 
4
6

5

) 2	2	5 
 (
e)
 
A
 

) (
2
2

 
,
 
4
6

 
,
 
2
6

5

) 		5 
22) (ITA 1983) Sejam três funções f , u, v :
tais que f  x  1   f x 	1
para
 (

)	x 
f x
todo x não nulo e
ux2  vx2  1
	
para todo x real. Sabendo-se que
x0 é um
número real tal que
u x
0  vx0
  0
e f  1	 1	  2,
 (

 
u(x
o
 
) v(x
o
 
)
 

)	
o valor de
f  u(xo )  é:
 (

 
v(x
o
 
)
 

)	
a) 1
b) 1	c) 2	d) 1
2
e) 2
23) (ITA 1984) Seja
f x  e
x2 4 , onde x 	e	é o conjunto dos números reais.
Um subconjunto D de tal que f : D 	é uma função injetora é:
a) D x 
b) D x 
c) D  
d) (
:
 

 
2
 

 x
:
 
x
 

 
2

)D x 
e) D x 
: x  2 ou x  0
: x  2 ou x  2
 2
24) (ITA 1985) Considere as seguintes funções: f x  x  7
2
e gx  x2  1
4
definidas
para todo x real. Então, a respeito da solução da inequação podemos afirmar que:
a) Nenhum valor de x real é solução.
b) Se x  3 então x é solução.
g f x  g f x,
c) Se
x  7
2
então x é solução.
d) Se x  4 então x é solução.
e) Se 3  x  4 então x é solução.
25) (ITA 1985) Dadas as sentenças: I – Sejam f : X  Y e g : Y  X
duas funções satisfazendo g f x  x,
para todo
xX. Então, f é injetiva, mas g não é necessariamente sobrejetiva.
II – Seja f : X  Y
uma função injetiva. Então,
f A f B  f A  B,
onde A e B
são dois subconjuntos de X.
III – Seja f : X  Y uma função injetiva. Então, para cada subconjunto A de X,
f AC   f AC onde AC  x X | x A e f AC  x Y | x f A.
podemos afirmar que está (estão) correta(s):
a) As sentenças I e II.	b) As sentenças II e III.
c) Apenas a sentença I.	d) As sentenças I e III.
e) Todas as sentenças.
26) (ITA 1986) Sejam a, b, c números reais dados com a  0.
Suponha que
x1 e x2
sejam	as	raízes	da	função
y  ax2  bx  c	e
x1  x2.
Sejam
x3  b	e
2a
x4  2b 
b2  4ac 4a
. Sobre o sinal de y podemos afirmar que:
a) y  0,
b) y  0,
c) y  0,
d) y  0,
e) y  0,
x 
 (
,
,
,
,
,
)x 
x 
x 
x 
x1  x  x3 x4  x  x2 x1  x  x4 x  x4
x  x3
27) (

)(ITA 1986) Seja f :	uma função que satisfaz à seguinte propriedade:
 (
.
) (
10
)f x  y  f x  f y, x, y	Se gx  f log	x2 12  então podemos afirmar que
a) O domínio de g é e g0  f 1.
b) g não está definida para os reais negativos e gx  2f log10 x2 1, para x  0.
 (
.
)c) g 0  0 e gx  2f log10 x2 1, x 
d) g0  f 0 e g é injetora.
 	 	 
 2	1 2
e) g 0
 1 e g x
 f log10 x 1
 , x 
 (
.
) (
,
) (
1
)28) (ITA 1986) Seja a 	0  a  1
ax2  a2 2
e f a função real de variável real definida por
f x 
cos 2x  4 cos x  3
. Sobre o domínio A desta função podemos afirmar que:
a) ,  2  	 A
b) A   2, 2  
c)  2, 2   A
d) x 	| x 	e x 
2  A
e) A   2, 2 
29) (

.
)(ITA 1986) Consideremos as seguintes afirmações sobre uma função f :
1. Se existe x 	tal que f x  f x então f não é par.
2. Se existe x 	tal que f x  f x então f é ímpar.
3. Se f é par e ímpar então existe x  tal que f x  1.
4. Se f é ímpar então f f (f composta com f) é ímpar.
Podemos afirmar que estão corretas as afirmações de números
a) 1 e 4	b) 1, 2 e 4	c) 1 e 3	d) 3 e 4	e) 1, 2 e 3
30) (ITA	1987)	Considere
x  gy
a	função	inversa	da	seguinte	função:
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y  f x  x2  x 1, para cada número real x  1 . Nestas condições, a função g é assim
2
definida:
a) g(y)  1 	y  3 , para cada y  3 .
2	4	4
b) g(y)  1 	y  1 , para cada y  1 .
2	4	4
c) g(y) 
d) g(y) 
y  3 ,
4
y  1 ,
4
para cada
para cada
y  3 .
4
y  1 .
4
e) g(y)  3 	y  1 , para cada y  1 .
4	2
31) (ITA 1987) Considere a função
2
y  f x
definida por
f x  x3  2x2  5x,
para
cada x real. Sobre esta função, qual das afirmações abaixo é verdadeira?
a) y  f x é uma função par.
b) y  f x é uma função ímpar.
c) f x  0 para todo real x.
d) f x  0 para todo real x.
e) f x
tem o mesmo sinal de x, para todo real x  0.
32) (ITA 1988) Seja f x  log2 x2 1,
 (
.
)f é:
x 	x  1. A lei que define a inversa de
 (
,
)a)	1 2y ,
y
b) 
1 2y ,
y
c) (
.
)1
1 2y ,
y
d) (
.
) (
,
)
1 2y ,
y	y  0.
e) (
,
)1
1 2y ,
y	y  0.
33) (ITA 1988) Considere Ax  log1 2x2  4x  3,
2
x 	Então temos:
 (
.
)a) Ax  1,
b) Ax  1,
para algum x 	x  1.
 (
,
.
)para algum x 
c) Ax  1, apenas para x 	tal que 0  x 1.
d) Ax  1,
para cada x  tal que 0  x 1.
 (
.
)e) Ax  1, para cada x 
34) (
g
)(ITA 1988) Sejam f e g funções reais de variável real definidas por f x  lnx2  x
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e gx 
1
1 x
. Então, o domínio de f	é:
 (
g
)a) 0, e
b) 0,1
c) e, e 1
d) 1,1
e) 1, 
Nota: f
é a lei definida por f gx  f gx para cada x de seu domínio.
35) (ITA 1988) Seja f :		uma função estritamente decrescente, isto é, quaisquer x
e y reais com x  y tem-se f x  f y. Dadas as afirmações:
I. f é injetora.
II. f pode ser uma função par.
III. Se f possui inversa então sua inversa também é estritamente decrescente. Podemos assegurar que:
a) apenas as afirmações I e III são verdadeiras.
b) apenas as afirmações II e III são falsas.
c) apenas a afirmação I é falsa.
d) todas as afirmações são verdadeiras.
e) apenas a afirmação II é verdadeira.
36) (ITA 1989) Os valores de ,
0     e
  ,
2
para os quais a função f : 
 (

)dada por f x  4x2  4x  tg2  assume seu valor mínimo igual a 4, são
a)  e 3	b)
 e 2	c)
 e 2	d)
 e 2	e) 2 e 3
4	4	5	5	3	3	7	7	5	5
37) (ITA 1989) Sejam A e B subconjuntos de	, não vazios, possuindo B mais de um
elemento. Dada uma função f : A  B,
para todo a A. Podemos afirmar que
a) A função L sempre será injetora.
b) A função L sempre será sobrejetora.
definimos L: A  AB por
La  a, f a,
c) Se f for sobrejetora, então L também o será.
d) Se f não for injetora, então L também não o será.
e) Se f for bijetora, então L será sobrejetora.
38) (

)(ITA 1989) Sejam f , g :	duas funções tais que
a) (
f
 
:

f
 
:

)g
b) g
é injetora. Verifique se f é injetora e justifique sua resposta.
é sobrejetora. Verifique se g é sobrejetora e justifique sua resposta.
39) (ITA 1990) Dadas as funções podemos afirmar que:
· 
x
f (


0

) (

 

1
 
e
)x  1 ex , x
e gx  x sen x, x 
 (
,
)a) ambas são pares.	b) f é par e g é ímpar
c) f é ímpar e g é par.	d) f não é par e nem ímpar e g é par.
e) ambas são ímpares.
 (

)x  2, se x  1
40) (

)(ITA 1990) Seja f : 
a função definida por
f x  


x2, se 1  x  1. 4, se x  1
Lembrando que se A 	então f 1 A  x 
(I) f não é injetora e f 1 3, 5  4.
(II) f não é sobrejetora e f 1 3, 5  f 1 2, 6.
(III) f é injetora e f 1 0, 4  2, .
Então podemos garantir que:
a) apenas as afirmações II e III são falsas.
b) as afirmações I e III são verdadeiras.
c) apenas a afirmação II é verdadeira.
d) apenas a afirmação III é verdadeira.
e) todas as afirmações são falsas.
41) (


2

 



3

)(ITA 1990) Seja a função f :
sua inversa podemos garantir que:
a) não está definida pois f não é injetora.
b) não está definida pois f não é sobrejetora.
c) está definida por f 1 y  y  2 , y  3.
y  3
d) está definida por f 1 y  y  5 1, y  3.
y  3
e) está definida por f 1 y  2y  5 1, y  3.
y  3
: f xA, considere as afirmações:
definida por f x  2x  3 1. Sobre
x  2
42) (ITA 1990) Sejamas funções f e g dadas por:
f :	
, f x  1, se x  1	g :
 (


1

 

,
 
g

x

 

 
2x
 

 
3
x
 

1
) (

0,
 
se
 
x
 

 
1
)
Sobre a composta f gx  f gx podemos garantir que:
a) se
x  3 ,
2
f gx  0
b) 
se 1  x  3 ,
2
f gx  1
c) se 4  x  2,
3
e) n.d.a.
f gx  1
d) se 1  x  4 ,
3
f gx  1
43) (

)(ITA 1991) Considere as afirmações: I- Se f :		é uma função par e g: 
uma função qualquer, então a composição
g (
f
)é uma função par.
II- (

)Se f :		é uma função par e g: 
uma função ímpar, então a composição
 (
g
) (

)f	é uma função par.
III- (

)Se f : 
ímpar. Então:
é uma função ímpar e inversível então
f 1 :
é uma função
a) Apenas a afirmação I é falsa;
b) Apenas as afirmações I e II são falsas;
c) Apenas a afirmação III é verdadeira;
d) Todas as afirmações são falsas;
e) Todas as afirmações são verdadeiras.
44) (

)(ITA 1991) Sejam a  , a  1 e f : 
inversa de f é dada por:
a) loga x 	x2 1, para x  1.
definida por f x 
ax  ax 2
. A função
b) loga x 	x2 1 , para x 	.
c) log x 	x2 1 , para x 	.
a
d) loga
x 
x2 1 , para x  1.
e) n.d.a.
45) (

)(ITA 1991) Seja f : 
ex ,	se x  0

f x  x2 1, se 0  x  1
 (

)ln x,	se x  1
definida por:
Se D é um subconjunto não vazio de tal que f : D  é injetora, então:
a) D 	e f D  1,  .
b) D  ,1 e,  e f D  1,  .
c) D  0,  e f D  1,  .
d) D  0, e e f D  1,1.
e) n.d.a.
Notação: f D  y	: y  f x, x D e ln x denota o logaritmo neperiano de x .
 (
*
 

)Observação: esta questão pode ser resolvida graficamente.
46) (
*
 

,
)(ITA 1992) Considere as funções f :
por:
g:	e h: 
definidas
 (

) (
x

)	1 
	
2	81
f x  3
 (
*
)O conjunto dos valores de x em
a) 0,3
x  ; gx  x
 (
g


x

 

 

h
f
 

x

,
)tais que f
; hx 	.
x
é subconjunto de:
b) 3, 7
c) 6,1
d) 2, 2
e) n.d.a.
47) (ITA 1992) O domínio da função f x  log
 (






)a) , 0  0, 1  1, 3   3 , 
2x2
3x2  5x  2 é:
 (

)3x1
 (
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	2 		2 	 2	
 (






)b) , 1  1, 5   5 , 
	2 		2 	 2	
c) , 1   1 , 2  1, 3   3 , 
							
	2 	 2 3 		2 	 2	
d) , 0 1, 
e) n.d.a.
48) (ITA 1992) Dadas as funções	f :		e g:		ambas estritamente decrescentes e sobrejetoras, considere h  f g . Então podemos afirmar que:
a) h é estritamente crescente, inversível e sua inversa é estritamente crescente.
b) h é estritamente decrescente, inversível e sua inversa é estritamente crescente.
c) h é estritamente crescente, mas não é necessariamente inversível.
d) h é estritamente crescente, inversível e sua inversa é estritamente decrescente.
e) n.d.a.
49) (ITA 1993) Seja f :		uma função não nula, ímpar e periódica de período p. Considere as seguintes afirmações:
I. f p  0
II. f x  f x  p,
III. f x  f x  p,
x 
x 
IV. f x  f x,
x 
Podemos concluir que:
a) I e II são falsas.	b) I e III são falsas.
c) II e III são falsas.	d) I e IV são falsas.
e) II e IV são falsas.
50) (ITA 1993) Um acidente de carro foi presenciado por	1
65
da população de
Votuporanga (SP). O número de pessoas que soube do acontecimento t horas após é dado
por: f t 
B
1 Cekt
onde B é a população da cidade. Sabendo-se que 1
9
da população
soube do acidente 3 horas após então o tempo que passou até que 1
5
da população
soubesse da notícia foi de:
a) 4 horas.	b) 5 horas.	c) 6 horas.
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d) 5 horas e 24 min.	e) 5 horas e 30 min.
51) (ITA 1994) Dadas as funções reais de variável real
f x  mx 1 e
gx  x  m,
onde m é uma constante real com 0  m  1, considere as afirmações:
I. f gx  g f x, para algum x  .
II. f m  gm .
III. Existe a  tal que f ga  f a.
IV. Existe b	tal que g f b  mb.
V. 0  g gm  3 . Podemos concluir que:
a) todas são verdadeiras.
b) apenas quatro são verdadeiras.
c) apenas três são verdadeiras.
d) apenas duas são verdadeiras.
e) apenas uma é verdadeira.
a  x   
se x  
 	2 	2
52) (

)(ITA 1995) Seja a função f : 
definida por
f (x)   	
onde a  0
é uma constante. Considere
K  y
  a sen x	se x  
 2	x 	2
; f y  0 . Qual o valor de a ,
 (


)sabendo-se que f   K ?
 2 
 (
2
)a) 	b) 
4	2
c) 
d) 	e) 2
 (
2
)2
53) (ITA 1996) Seja f : 
definida por f x  3x  3,	x  0 . Então:
 (

) (

x
2
 

 
4x
 

 
3,
 
x
 

 
0
)
a) f é bijetora e f f  2   f 1 21 .
	3 
	
b) f é bijetora e f f  2   f 1 99.
	3 
	
c) f é sobrejetora, mas não é injetora.
d) f é injetora, mas não é sobrejetora.
e) f é bijetora e f f  2   f 1 3 .
	3 
	
54) (ITA 1996) Considere as funções reais f	e g definidas por
f x  1 2x ,
 (
2
)1 x2
x 	1,1
e gx  x	,
 (
g,
)1 2x
x 
	 1. O maior subconjunto de	onde pode
ser definida a composta f
tal que f gx  0, é:
a) 1,  1    1 ,  1 	b) , 1   1 ,  1 
	2 
 3	4 
 3	4 
c) , 1   1 ,1
d) 1, 
 2	
e)  1 ,  1 
	2	3 
55) (
* 
 


)(ITA	1996)	Seja	f : 
uma	função	injetora tal	que
f 1  0	e
f x y  f x  f y
para todo x  0 e y  0. Se x1,
x2 ,
x3 ,
x4 e x5 formam nessa
ordem uma progressão geométrica, onde
xi 
 0
para i  1, 2,3, 4,5
e sabendo que
 (
5
)f x
  13f 2  2f x  e
4 f  xi
  2f 2x
, então o valor de
x é:
	i	1
i1 
 
i1 
	1	1
 (
x
)i1 
a) 2
b) 2	c) 3	d) 4	e) 1
56) (

)(ITA	1997)	Sejam	f , g :
funções	tais	que
gx  1 x	e
f x  2f 2  x  x 13 , para todo x 	. Então, f gx é igual a
a) x 13
b) 1 x3
c) 
x3
d) 
x	e) 2  x
 x2 1 2  x   
57) (ITA 1997) O domínio D da função f x  ln 	
é o conjunto
a) D x 
: 0  x  3 2
	2x2  3x	
b) D x
: x 1 
ou x  
c) D x
d) D x 
: 0  x 1 ou x  
: x  0
e) D x 
: 0  x  1  ou
  x  3 2
58) (

)(ITA 1997) Se e  representam, respectivamente, o conjunto dos números racionais e o conjunto dos números irracionais, considere as funções f , g : definidas por
 (

)f (x)  0,	se x 
1,	se x  
 (

0,
se
 
x
 

 
)g(x)  1,	se x  
 (
g
 
:

)
Seja J a imagem da função composta f	. Podemos afirmar que:
a) J 	b) J 	c) J 0
d) J  1
e) J  0,1
59) (

)(ITA 1998) Sejam as funções f :		e g : A 	, tais que f x  x2  9 e
f gx  x  6 , em seus respectivos domínios. Então, o domínio A da função g é:
a) 3, 
d) , 1 3, 
b)	c) 5, 
 (


)e) , 6 
60) (ITA 1998) Seja f :		a função definida por f x  3ax , onde a é um número real, 0  a  1. Sobre as afirmações:
(I) f x  y  f xf y, para todo x, y .
(II) f é bijetora.
(III) f é crescente e f 0,   3, 0 . Podemos concluir que:
a) Todas as afirmações são falsas.
b) Todas as afirmações são verdadeiras.
c) Apenas as afirmações (I) e (II) são verdadeiras.
d) Apenas a afirmação (II) é verdadeira.
e) Apenas a afirmação (III) é verdadeira.
61) (ITA 1998) Seja f :		a função definida por f x  2sen 2x  cos 2x . Então:
a) f é ímpar e periódica de período  .
b) f é par e periódica de período  2 .
c) f não é par nem ímpar e é periódica de período  .
d) f não é par e é periódica de período  4
e) f não é ímpar e não é periódica.
62) (ITA 1999) Considere as funções f e g definidas por
f x  x  2 , para x  0 e
x
gx 
x
x 1
,	para	x  1.	O	conjunto	de	todas	as	soluções	da	inequação
g f x  gx é:
a) 1, 
d) 1,1
b) , 2
e) 2, 1  1, 
c) 2, 1
63) (

)(ITA 1999) Sejam	f , g, h :
h g f :		é a função identidade. Considereas afirmações:
I. A função h é sobrejetora.
funções tais que a função composta
II. Se
x0 	é tal que f x0   0 , então f x  0
para todo x  com
x  x0 .
III. A equação Então:
hx  0 tem solução em .
a) Apenas a afirmação (I) é verdadeira.
b) Apenas a afirmação (II) é verdadeira.
c) Apenas a afirmação (III) é verdadeira.
d) Todas as afirmações são verdadeiras.
e) Todas as afirmações são falsas.
 	 3 x
 	 1 x
64) (ITA 1999) Sejam f , g :
 (

)Considere as afirmações:
funções definidas por f x
 	
 2 
e g x
   .
 (
3
) 
I. Os gráficos de f e g não se interceptam.
II. As funções f e g são crescentes.
III. f 2g1  f 1g2
Então:
a) Apenas a afirmação (I) é falsa.
b) Apenas a afirmação (III) é falsa.
c) Apenas as afirmações (I) e (II) são falsas.
d) Apenas as afirmações (II) e (III) são falsas.
e) Todas as afirmações são falsas.
65) (

)(ITA 2000) Considere f : 
definida por
f x  2sen 3x  cos x  .
Sobre
 (


)f podemos afirmar que:
a) é uma função par.
b) é uma função ímpar e periódica de período fundamental 4.
c) é uma função ímpar e periódica de período fundamental 4 3.
d) é uma função periódica de período fundamental 2.
e) (

)não é par, não é ímpar e não é periódica.
	2	
66) (ITA 2000) Sejam f , g :
afirmar que
a) f é injetora e par e g é ímpar.
b) g é sobrejetora e g f é par.
c) f é bijetora e g f é ímpar.
d) g é par e g f é ímpar.
e) f é ímpar e g f é par.
definidas por f x  x3 e gx  103cos5x. Podemos
67) (ITA 2001) O conjunto de todos os valores de m para os quais a função
 (

)f x
x2  2m  3 x  m2  3
 (


) 	 está definida e é não negativa para todo x real é:
x2  2m 1 x  m2  2
a)  1 , 7 
 
b)  1 , 
c) 0, 7 
d) , 1 
e)  1 , 7 
 
 4 4 
 4	
	4 
	4 
 4 4 
68) (ITA 2001) Considere as funções
5  7x
f (

 

)x 	,
4
5  7x
g (

 

)x 
4
e h(x)  arc tg(x).
Se a é tal que hf a  hga   , então f a  ga vale:
4
a) 0	b) 1	c) 7
4
d) 
7 2
e) 
7
69)	(ITA	2001)	Se
f : 0,1 	é	tal	que,
x 0,1,
f x  1	e
2
f x  1 f  x   f  x 1

então a desigualdade válida para qualquer n  1, 2,3,	e
4  			
  2 		2 
0  x  1 é:
a) f x  1  1
2n	2
b) 	 2n
 f x  1
2
1
c) 2n1
 f x  1
2
d) 
f x  1
2n
e) f x  1
 (
;
 
sen
 
y
 

)2n
70) (

 
P


)(ITA 2002) Seja f :
dada por
f x y
x. Se A é tal que
f x  , x  A , então
a) A  1,1.	b) A  a,  , a  1 .
c) A  a,  , a 1.	d) A  , a , a  1.
e) A  , a , a  1.
Nota: Se X é um conjunto, PX denota o conjunto de todos os subconjuntos de X .
71) (ITA 2002) Sendo par a função dada por f x  ax  b , c  x  c , então f x , para
x  c
c  x  c , é constante e igual a
a) a  b
b) 
a  c
c) 
c	d) b	e) a
72) (
\
 

0

 

,
)(ITA	2003)	Mostre	que	toda	função	f :
f xy  f x  f y em todo seu domínio, é par.
satisfazendo
73) (ITA 2003) Considere uma função	f :		não constante e tal que
f x  y  f xf y , x, y . Das afirmações:
I. f x  0 , x  .
II. f nx  f xn , x 	, n 	* .
III. f é par.
é (são) verdadeira(s):
a) apenas I e II.	b) apenas II e III.	c) apenas I e III.
d) todas.	e) nenhuma.
74) (ITA 2004) Sejam as funções f e g definidas em por f x  x2  x e
 (
f
g
valor
 
mínimo
ponto de
 
mínimo
valor
 
máximo
ponto de
 
máximo

1

 
0
9
 
4
0
)g x  x2  x em que  e  são números reais. Considere que estas funções são tais que
Então a soma dos valores de x para os quais f gx  0 é igual a:
a) 0	b) 2	c) 4	d) 6	e) 8
75) (ITA 2004) Considere a função	f :		,
x, y	, o valor do produto f xf y é igual a
f x  2 cos x  2isen x . Então,
a) f x  y
d) f xy
b) 
2f x  y
e) 2f x  2i f y
c) 
4i f x  y
76) (
/
 

1

)(ITA 2005) Seja D 	e f : D  D
Considere as afirmações:
I  f é injetiva e sobrejetiva.
II  f é injetiva, mas não sobrejetiva.
uma função dada por f x  x 1 .
x 1
III (

 
x
 

) f x  f  1   0 , para todo x D , x  0.
	
IV  f xf x  1, para todo x D . Então, são verdadeiras:
a) apenas I e III	b) apenas I e IV	c) apenas II e III
d) apenas I, III e IV	e) apenas II, III e IV
77) (ITA 2006) Seja f : 0,1 	definida por f x  
2x, 0  x  1 2
.
 (

)2x 1, 1 2  x  1
Seja
g : 1 2,1 2 	dada por gx  
f x 1 2,
1 2  x  0
, com f definida
 (

)1 f x 1 2, 0  x  1 2
 (

)acima. Justificando a resposta, determine se g é par, ímpar ou nem par nem ímpar.
78) (ITA 2008) Seja
f x  lnx2  x 1 , x 	. Determine as funções h, g :
tais que f x  gx  h x , x  , sendo h uma função par e g uma função impar.
79) (ITA 2008) Um intervalo real D tal que a função f : D 	definida por
f x  ln x2  x 1 é injetora, é dado por
a) b) (,1]
c) 0,1/2
d) 0,1
e) [1/ 2, )
80) (ITA 2009) Seja f :
a) (
\
 


1


)Mostre que f é injetora.
definida por f x  2x  3 .
 (
\
 


1

 

)x 1
b) Determine D  f x; x 
e f 1 : D 
\ 1 .
81) (ITA 2009) Seja	f :
	\ 0
uma função satisfazendo às condições:
f x  y  f xf y , para todo x, y	e f x  1 , para todo x
Das afirmações:
I. f pode ser ímpar.
II. f 0 1 .
III. f é injetiva.
\ 0 .
IV. f não é sobrejetiva, pois f x  0
é (são) falsa(s) apenas
para todo x  .
a) I e III.	b) II e III.	c) I e IV.	d) IV.	e) I.
82) (ITA 2010) Seja f :		bijetora e ímpar. Mostre que a função inversa
 (

)f 1 :
também é ímpar:
3x  3x
83) (

)(ITA 2010) Analise se a função f : 
afirmativo, determine a função inversa f 1 .
, f (x) 	é bijetora e, em caso
2
84) (

)(ITA 2010) Sejam f , g :
afirmações:
I. f g é ímpar,
II. f g é par,
III. g f é ímpar,
É (são) verdadeiras(s)
tais que f é par e g é ímpar. Das seguintes
a) apenas I.	b) apenas II.	c) apenas III.	d) apenas I e II.	e) todas
85) (ITA 2010) Considere conjuntos A, B 	e
C  A  B. Se A  B , AC e
BC
são domínios das funções reais definidas por
ln x 	  ,	e
 (

x
2
 

 
6x
 

 
8
)x  , respectivamente, pode-se afirmar que
5  x
a) C  
, 5	b) C  2, 
c) C  [2, 5[ .
d) C  [, 4]
e) C não é intervalo.
 (

) 	3  x2 , x  0
86) (ITA 2012) Analise se f : 
, f x  	2
é bijetora e, em caso
3  x , x  0
 (

)afirmativo, encontre f 1 :	.
87) (ITA 2012) Considere um número real a  1 positivo, fixado, e a equação em x
Das afirmações:
a2x  2ax   0 , 	.
I. Se  0 , então existem duas soluções reais distintas;
II. Se   1, então existe apenas uma solução real;
III. Se  0 , então não existem soluções reais;
IV. Se  0 , então existem duas soluções reais distintas, é (são) sempre verdadeira(s) apenas
a) I.	b) I e III.	c) II e III.	d) II e IV.	e) I, III e IV.
88) (ITA 2013) Determine o maior domínio D  da função
f : D 	, f x  log
	4sen x cos x 1 .
 (
x
) (

) (

) x
 4	
89) (

)(ITA 2013) Considere funções f , g, f  g :
. Das afirmações:
I. Se f e g são injetoras, f  g
é injetora;
II. Se f e g são sobrejetoras, f  g
é sobrejetora;
III. Se f e g não são injetoras, f  g
não é injetora;
IV. Se f e g não são sobrejetoras, f  g
é (são) verdadeira(s)
não é sobrejetora,
a) nenhuma.	b) apenas I e II.	c) apenas I e III.
d) apenas III e IV.	e) todas.
90) (

 
3b
 

)(ITA 2013) Considere as funções	f	e g , da variável real	x , definidas, respectivamente, por
f x  ex2 axb
e	gx  ln  ax  ,
	
em que a e b são números reais. Se
f 1  1  f 2 , então pode-se afirmar sobre a
 (
f
)função composta g
a) g f 1  ln 3
que
b)  g f 0
c) g f nunca se anula.
d) g f está definida apenas em x 
: x  0
e) g f admite dois zeros reais distintos.
91) (ITA 2014) Considere as funções f :		, f x  ex , em que  é uma constante
real positiva, e g : 0, 	, gx 	x . Determine o conjunto solução da inequação
g f x  f gx.
92) (ITA 2014) Considere as funções f , g :
, f x  ax  m ,
gx  bx  n , em
 (

)que a , b , m e n são constantes reais. Se A e B são as imagens de f e de g , respectivamente, então, das afirmações abaixo:
I. Se A  B , então a  b e m  n ;
II. Se A  , então a  1;
III. Se a, b, m, n  , com a  b
é (são) verdadeira(s)
e m  n , então A  B ,
a) apenas I.	b) apenas II.	c) apenas III.	d) apenas I e II.	e) nenhuma.
93) (ITA 2014) Das afirmações:
I. (
\
)Se x, y	\	, com y  x , então x  y	;
II. Se x 	e y	\	, então xy	\	;
III. Sejam a, b, c	, com a  b  c . Se injetora,
é (são) verdadeira(s)
f :a, c a, b
é sobrejetora, então f não é
a) apenas I e II.	b) apenas I e III.	c) apenas II e III.
 (

)d) apenas III.	e) nenhuma.
94) (ITA 2015) Considere as funções
f1, f2, f :
, sendo
f1 x  1 x  3 ,
2
f2 x  3 x 1
2
Determine:
e f x
igual ao maior valor entre
f1 x
e f2 x , para cada x 	.
a) Todos os x 	tais que f1 x  f2 x.
b) O menor valor assumido pela função f.
c) Todas as soluções da equação f x  5 .
95) (ITA 2016) Seja f a função definida por f x  logx1 x2  2x  8. Determine:
a) O domínio Df
da função f.
b) O conjunto de todos os valores de
c) O conjunto de todos os valores de
x Df
x Df
tais que f x  2.
tais que f x  1.
96) (ITA 2016) Considere as seguintes afirmações:
I. A função f x  log	 x 1 é estritamente crescente no intervalo 1, .
10 	
 x 
II. A equação 2x2  3x1 possui uma única solução real.
III. A equação x 1x  x
É (são) verdadeira(s)
admite pelo menos uma solução real positiva.
a) apenas I.	b) apenas I e II.	c) apenas II e III.
 (

)d) I, II e III.	e) apenas III.
97) (ITA 2017) Esboce o gráfico da função f : 
dada por f x  2 x
 1 .
2
98) (

)(ITA 2018) Considere as funções	f , g :
dadas por
f x  ax  b	e
gx  cx  d,
com a, b, c, d
, a  0
e c  0. Se
f 1
então uma
 (
g

1
 

 
g

1 
 
f
 

1
,
)relação entre as constantes a, b, c e d é dada por
a) b  ad  d  bc.	b) d  ba  c  db.
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c) a  db  b  cd.
e) c  da  b  cd.
d) 
b  ac  d  ba.
99) (ITA 2019) Sabendo que x pertence ao intervalo fechado 1, 64, determine o maior valor da função
f x  log x4 12log x2  log
 8 .
 (


)2	2	2 	
x
100) (ITA 2020) Sejam a e b dois números reais. Sabendo que o conjunto dos números
reais k para os quais a reta y  kx
intersecta a parábola
y  x2  ax  b
é igual a
, 26, , determine os números a e b.
 2	2x2 x1
101) (ITA 2021) Seja S  o conjunto solução da inequação Podemos afirmar que:
x  x 1
 1.
a) S  1,1
b) S  1,  1 
c) S  0,1
	2 
d) S  1,  1  0,1
e) 
S é o conjunto vazio.
	2 
102) (ITA 2021) Seja S o subconjunto do plano cartesiano constituído pela união dos
gráficos das funções
f x  2x ,
gx  2x
e hx  log2 x,
com x  0.
Para cada
k  0 seja n o número de interseções da reta y  kx
a) n  1 para todo k  0.
b) n  2 para pelo menos três valores distintos de k.
c) n  2 para exatamente dois valores distintos de k.
d) n  3 para todo k  0.
com S. Podemos afirmar que:
e) O conjunto dos k  0 para os quais n  3 é a união de dois intervalos disjuntos.
RESPOSTAS
1) d (Função composta)
2) d (Função quadrática)
3) c (Função exponencial)
4) d (Função exponencial)
5) d (Função composta)
6) c (Função logarítmica)
7) a (Função inversa e função exponencial)
8) a (Tipologia das funções)
9) b (Função composta e inversa)
10) a (Função exponencial)
11) e (Função exponencial)
12) e (Função composta e função modular)
13) c (Função afim e tipologia das funções)
14) a (Função composta, inversa e tipologia das funções)
15) d (Paridade)
16) c (Tipologia das funções)
17) c (Monotonicidade e paridade)
18) a (Função composta e tipologia das funções)
19) b (Função quadrática)
20) a (Função composta)
21) a (Função composta, função logarítmica e exponencial)
22) b (Função composta)
23) e (Tipologia das funções)
24) e (Função composta e módulo)
25) b (Tipologia das funções)
26) c (Função quadrática)
27) c (Função composta e função logarítmica)
28) e (Domínio, função exponencial e função trigonométrica)
29) a (Paridade)
30) a (Função inversa)
31) e (Paridade)
32) b (Função inversa)
33) e (Função logarítmica)
34) b (Função composta e função logarítmica)
35) a (Tipologia das funções, paridade e função inversa)
36) c (Função quadrática)
37) a (Tipologia das funções)
38) a) Sim. b) Sim. (Função composta e tipologia das funções)
39) c (Paridade)
40) d (Função inversa e tipologia das funções)
41) e Função inversa e tipologia das funções)
42) c (Função composta)
43) e (Paridade, função composta e função inversa)
44) c (Função inversa)
45) b (Tipologia das funções)
46) c (Função composta)
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47) a (Função logarítmica)
48) a (Função composta, função inversa e monotonicidade)
49) b (Função periódica)
50) a (Função exponencial)
51) e (Função composta)
52) d (Função composta)
53) b (Função composta, função inversa e tipologia das funções)
54) a (Função composta)
55) b (Função e progressões)
56) c (Função composta)
57) e (Função logarítmica)
58) c (Função composta)
59) a (Função composta e domínio)
60) e (Função exponencial)
61) c (Função trigonométrica, paridade e periodicidade)
62) e (Função composta)
63) d (Função composta e tipologia das funções)
64) e (Função exponencial)
65) b (Função trigonométrica, paridade e periodicidade)
66) e (Função composta e tipologia das funções)
67) d (Domínio)
68) d (Função exponencial e função composta)
69) e (Equação funcional)
70) b (Domínio)
71) e (Paridade)
72) Demonstração (Paridade)
73) a (Equação funcional e paridade)
74) d (Função quadrática)
75) b (Função e números complexos)
76) a (Tipologia das funções)
77) Par (Paridade)
78) Vide solução. (Paridade)
79) c (Tipologia das funções, função logarítmica e função modular)
80) Vide solução. (Tipologia das funções e função inversa)
81) e (Paridade e tipologia das funções)
82) Demonstração. (Função inversa e paridade)
83) Vide solução. (Função inversa)
84) d (Paridade)
85) c (Domínio)
86) Vide solução. (Função inversa)
87) c (Função exponencial e função quadrática)
88)   ,   (Domínio, função logarítmica e função trigonométrica)
 4 2 
89) a (Tipologia das funções)
90) e (Função exponencial, função logarítmica e função composta)
91) 4,  (Função composta e função exponencial)
92) e (Função afim)
93) e (Tipologia das funções e conjuntos numéricos)
 (
3
)94) a) S 4,5;1,5; b) 3; c) S  4; 7 (Função modular)
95) Vide solução. (Função logarítmica)
96) b (Função exponencial e função logarítmica)
97) Vide solução (Função exponencial e função modular)
98) a (Função composta e inversa)
99) 81 (Função logarítmica)
100) a  4 e b 1 (Função quadrática)
101) d (Inequação exponencial)
102) b (Função exponencial e função logarítmica)
RESOLUÇÕES
1) (ITA 1971) Se f é uma função real de variável real dada por
f x  x2 ,
então
f x2  y2  é igual a:
a) f f x  f y  2f xf y
para todo x e y.
b) f x2   2f f x  f xf y para todo x e y.
c) f x2   f y2   f xf y para todo x e y.
d) f f x  f f y  2f xf y para todo x e y.
e) f f x  2f y2   2f xf  y para todo x e y.
RESOLUÇÃO: d
f x2  y2   x2  y2 2  x4  y4  2x2y2
f f x  f x2   x2 2  x4
 f x2  y2   f f x  f f y  2f xf y
2) (ITA 1972) Seja f x  x2  px  p
uma função real de variável real. Os valores de p
para os quais f x  0
a) 0  p  4.
b) p  4
c) p  0.
possua raiz dupla positiva são:
d) f x  0
não pode ter raiz dupla positiva.
e) nenhuma das respostas anteriores.
RESOLUÇÃO: d
Para que a função quadrática tenharaiz dupla, seu discriminante  deve ser nulo.
  p2  4 1 p  0  p  0 
p  4
Para que a raiz dupla seja positiva, a soma das raízes deve ser positiva. Assim, temos:
1   p  0  p  0
1
Logo, não há valor de p que satisfaça as duas condições, o que implica que f x  0 não pode ter raiz dupla positiva.
3) (ITA 1973) O crescimento de uma certa cultura de bactérias obedece à função Xt  Cekt , onde Xt é um número de bactérias no tempo t  0; C e k são constantes positivas (e é a base do logaritmo neperiano). Verificando-se que o número inicial de bactérias X0, duplica em 4 horas, quantas bactérias se pode esperar no fim de 6 horas?
a) 3 vezes o número inicial.
b) 2,5 vezes o número inicial.
c) 2 2 vezes o número inicial.
d) 23 2 vezes o número inicial.
e) n.d.a.
RESOLUÇÃO: c
Sabendo que o número inicial de bactérias
X4  2X0.
X0, duplica em 4 horas, então
Como Xt  Cekt ,
X0  Cek0  C
então
1
X4  Cek4  2 C  e4k  2  ek  24
 (

) (

)No fim de 6 horas, teremos:
X6  Ce
k6  Cek 6
1 6
 C 24
3
 C 22  2 2 C
 (
2
)Logo, o número de bactérias após 6 horas é 2	vezes o número inicial.
4) (ITA 1973) A lei de decomposição do radium no tempo t  0,
é dada por
M  t   Cekt , onde
Mt
é a quantidade de radium no tempo t, C e k são constantes
positivas e e é a base do logaritmo neperiano. Se a metade da quantidade primitiva M 0,
desaparece em 1600 anos, qual a quantidade perdida em 100 anos?
a) 11001 da quantidade inicial.
b) 1 26 da quantidade inicial.
c) 1 216 da quantidade inicial.
 1
d) 1 2 16 da quantidade inicial.
e) n.d.a.
RESOLUÇÃO: d
Sabendo que a metade da quantidade primitiva M 0, desaparece em 1600 anos, então
M1600  M0  M0  M0 .
2	2
Como M  t   Cekt , então
M0  Cek0  C
M1600  Ce
k1600  C  e1600k  21  e100k  2 2
 1 16
A quantidade de radium, após 100 anos, é
M100  Ce
k100  C 2
 1
16.
Logo, a quantidade perdida em 100 anos é
 1		 1 
M0  M100  C  C 2 16  C 1 2 16 ,
 1
ou seja, é 1 2 16 da quantidade inicial.
5) (ITA 1974) Sejam A, B e D subconjuntos não vazios do conjunto dos números
 (
g


t

 

 
f
)reais. Sejam as funções f : A  B y  f x,	g : D  B x  g  t , e a função
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composta f g : E  K
são tais que:
a) E  A e K  D
b) E  B e K  A
(e, portanto,
z  f
gt. Então, os conjuntos E e K
c) E  D, D  E e K  B
d) E  D e K  B
e) n.d.a.
RESOLUÇÃO: d
Para que a função f g : E  K esteja bem definida, devemos ter
 (
g


t

 

 
f
)f	gt
t  Dg  E  D
 (
g
)Observe que não é possível aplicar f
estaria definido.
gtDf  Img  Df
 (
g
)f gt Imf  B  K
em um t que não pertença a D, pois
gt
não
Observe que
Imf g  Imf
 B, mas, para garantir que a imagem de f
esteja contida
no seu contradomínio K, é preciso que K contenha B.
6) (ITA 1974) O conjunto de todos os valores de x para os quais existe um y real de modo
	 7  2x  x2 
que
y  log10 log10 
2 
 é dado por:
	
3  4x

a) (
2
3
)intervalo aberto A, de extremos  e	2.
b) intervalo aberto A, de extremos 	e	3.
c) intervalo aberto A, de extremos 
d) intervalo aberto A, de extremos 
e) n.d.a.
3 e	3 .
2	2
3 e 1.
2
RESOLUÇÃO: c
Para que um logaritmo esteja bem definido é preciso que sua base seja positiva e diferente de 1, e o logaritmando seja positivo. Assim, para o logaritmando mais interno, temos:
 (

)7  2x  x2
0
3  4x2
 (
Resoluções
 
elaboradas
 
pelo
 
Prof.
 
Renato
 
Madeira
)
 (
madematica.blogspot.com
Página
 
29
 de
 
96
)
O numerador tem raízes
1 2
e o denominador raízes 
3 
. Dispondo essas raízes
2
 (
2
)sobre a reta real e aplicando o método dos intervalos, temos:
 (
2
) (
2
) x  1 2	 	3  x 	3  x  1 2	(*)
2	2
 7  2x  x2 
Como	também é um logaritmando, temos:
log10 
3  4x2	
	
 7  2x  x2 
7  2x  x2	0
7  2x  x2
log10 
3  4x2
  0 
3  4x2
· 
10
 1 
3  4x2
1  0
	
 4  2x  3x2 
0
3  4x2
O numerador tem discriminante negativo, então o numerador é sempre positivo. Assim, temos:
4  2x  3x2	2	3	3
3  4x2
· 
0  3  4x
· 
0  
2
 x 
2
(**)
Fazendo a interseção dos intervalos (*) e (**), temos:
x 	| 
3  x 
3 	
3 ,	3 .
	  	
	2	2 		2	2 
7) (ITA 1975) Seja
 (
g
) 7 
 25 
f x
 ex  ex ex  ex
definida em
 (
.
)Se g for a função inversa de f, o
valor de e
a) 4
	 será:
b) 7e
c) log  25 
 7 2
 (
25
)	
d) e		e) NDA
 (
e
 


)3	25	 7 
RESOLUÇÃO: a
Se g for a função inversa de f, então f x  y  gy  x.
g 7   x  f x  7
	
 (
25
) (
25
)	
 (
x
)f x  e
· ex
ex  1 
	ex
e2x

1  7
 25e2x  25  7e2x  7  18e2x  32
ex  ex
ex  1
 (
16
9
)ex
e2x 1	25
 e2x  16  2x  log  16   x  1 log
		
 16   log
 log 4
9	e  9 	2	e  9 
e	e 3
			
g 7 
 7 
 (
g
)4	 25 
loge 4	4
 	  loge	 e 	  e	3 
 25 	3	3
8) (ITA 1976) Considere g :a, b, c a, b, c uma função tal que ga  b
Então, temos:
e gb  a.
a) a equação gx  x
tem solução se, e somente se, g é injetora.
b) g é injetora, mas não é sobrejetora.
c) g é sobrejetora, mas não é injetora.
d) se g não é sobrejetora, então ggx  x
e) n.d.r.a.
para todo x em a, b, c.
RESOLUÇÃO: a
Como a, b e c são elementos de um conjunto, vamos assumir que eles são distintos dois a dois.
O valor de g c
um dos casos. 1º) g c  a
pode ser a, b ou c. Vamos analisar as características da função em cada
gb  gc  a, o que implica que g não é injetora
c não é imagem de ninguém, o que implica g não é sobrejetora 2º) g c  b
ga  gc  b, o que implica que g não é injetora
c não é imagem de ninguém, o que implica g não é sobrejetora 3º) gc  c
Nesse caso a função é bijetora, pois todos os elementos do contradomínio são imagem de algum elemento do domínio (sobrejetora) e cada elemento é imagem de um único elemento do domínio (injetora).
Observe agora que, para que a equação gx  x tenha solução, devemos ter gc  c, o
que implica g é injetora. Por outro lado, se g é injetora, então gc  c, o que implica que
a equação gx  x
tem solução.
Assim, a equação gx  x
tem solução se, e somente se, g é injetora.
Note	ainda	que
gga  g b  a
e	ggb  ga  b,
mas	o	valor	de
ggc  g c  c somente no 3º caso e g não é sobrejetora nos 1º e 2º casos.
9) (ITA 1976) Seja A e B conjuntos infinitos de números naturais. Se f : A  B e
g : B  A são funções tais que f gx  x, para todo x em B e gf x  x, para todo
x em A, então, temos:
a) existe xo em B, tal que f y  xo, para todo y em A.
b) existe a função inversa de f.
c) existe xo e x1 em A, tais que xo  x1 e f xo   f x1 .
d) existe a em B, tal que gf ga  ga.
e) n.d.r.a.
RESOLUÇÃO: b
Seja f x  y, com x A
e yB, então
x A  gf x  x  gy  x
yB  f gy  y  f x  y
Observe então que
f x  y  gy  x, o que implica que g é a função inversa de f e,
consequentemente, f e g são bijetoras. Logo, a alternativa b) é a correta.
A alternativa a) é falsa, pois se xo
é imagem de todos os elementos do domínio então f
não é injetora e, consequentemente, não é bijetora.
A alternativa c) é falsa, pois a expressão apresentada implica que f não é injetora e, portanto, não é bijetora.
A alternativa d) é falsa, pois, para todo a B, f ga  a  gf ga  ga.
10) (ITA	1976)	Seja	A	uma	função	real	de	variável	real	x,	tal	que:
e2x  2ex Ax 1  0,
para todo número real x.
Nestas condições, temos:
a) A0  1, Ax  Ax, para todo número real x e não existe um número real x  0,
satisfazendo a relação Ax  1.
b) A0 1 e Ax  0, para algum número real x.
c) A1  0
e Ax  Ax,
para todo número real x.
d) não existe um número real x, nãonulo, satisfazendo a relação um número real x, satisfazendo Ax  Ax.
e) n.d.r.a.
RESOLUÇÃO: a
Ax  1 e não existe
e2x  2ex
Ax
1  0  2ex
Ax
 e2x
1  Ax 
e2x 1 2ex
 	e20 1	11
A 0 
2e0
	 1
2 1 
Ax 
e2x 1 2ex
 1  e
2x  2ex
1  0 
ex
12
 0  ex
 1  x  0
e2x
· 
0, x 
 (

 
A
 
x
 


 

e

1
2e
x
2x
0,
 

 

x
)2x 
 1 1
2x	x	2x
Ax  e
2ex
1  e2x
2
ex
 1 e
e2x
 e	 1 e
2	2ex
 Ax, x 
 (

)Logo, a alternativa correta é a).
11) (ITA 1976) Considere a seguinte função real de variável real Então
a) Para todo x  1, ocorre Mx  1.
Mx
ex  ex ex  ex .
b) Para todo número real x ocorrem, simultaneamente, Mx  Mx e 0  Mx  1.
c) Existem um a (número real positivo) e um b (número real negativo), tais que
Ma  Mb.
d) Mx  0, somente quando x  0 e Mx  0 apenas quando x  0.
e) n.d.r.a.
RESOLUÇÃO: e
a) INCORRETA, pois
Mx é sempre menor do que 1.
 (
x
)Mx  e
· 
ex
ex  1 
	ex
 e2x 1  e2x
1 2  1	2
 1, x 
ex  ex
1  ex ex
e2x 1	e2x 1	e2x 1
b) INCORRETA, pois Mx é negativo sempre que x é negativo.
M x
ex  ex
 ex  ex
 ex  ex ex  ex
 M x
2x	0	2x
 	e2x 1
Se x  0  2x  0  e
 e  1  e
1  0  M x 	 0
e2x 1
2x	0	2x
 	e2x 1
Se x  0  2x  0  e
· 
e  1  e
1  0  M x 	 0
e2x 1
c) INCORRETA, conforme mostrado a seguir.
a  0  b  0  Ma  0  Mb  0  Mb  0  Ma
d) INCORRETA, pois Mx  0 se, e somente se, x  0.
 	e2x 1
2x	2x	0
M x  e2x 1  0  e
1  0  e	 1  e
 2x  0  x  0
Logo, a alternativa correta é e).
12) (ITA 1977) Considere a função Fx  x2 1
definida em . Se F
representa a
 (
F
)função composta de F com F, analise as afirmações abaixo:
(1) F Fx  x x2 1 , para todo x real.
(2) Não existe número real y, tal que F Fy  y.
(3) FoF é uma função injetora.
(4) F Fx  0, apenas para dois valores reais de x. O número de afirmativas VERDADEIRAS é:
a) 4	b) 3	c) 2	d) 1	e) 0
RESOLUÇÃO: e
(1) FALSA
FoFx  FFx  F x2 1  
(2) FALSA
x2 12 1  x4  2x2 11  x2 x2  2
FoFy  y2 y2  2  y , que é satisfeita, por exemplo, para y = 0.
(3) FALSA
FoFx  x2 x2  2  x2 x2  2  FoFx
Logo, FoF é par e portanto não é injetora.
(4) FALSA
 (
2
)FoFx  x2 x2  2  0  x  0 ou x  
13) (ITA 1977) Supondo que a  b, onde a e b são constantes reais, considere a função
Hx  a b ax definida no intervalo fechado 0,1. Podemos assegurar que:
a) H não é uma função injetora.
b) Dado qualquer y, sempre existe um x em 0,1 satisfazendo Hx  y.
c) Para cada y, com a  y  b,
Hx  y.
corresponde um único real x, com 0  x  1,
tal que
d) Não existe uma função real G, definida no intervalo fechado a, b, satisfazendo a relação GHx  x para cada x em 0,1.
e) n.d.a.
RESOLUÇÃO: c
Sabendo que a  b  b  a  0,
então
Hx  a b ax
é uma função do 1º grau
crescente de domínio DH  0,1
e imagem
ImH  H0, H1  a, b. Assim,
Hx
é uma bijeção de 0,1 em a, b.
a) INCORRETA, pois Hx é bijetora e, portanto, injetora.
b) INCORRETA, pois a imagem de
Hx é o intervalor fechado a, b.
c) CORRETA, pois Hx é uma bijeção de 0,1 em a, b.
d) INCORRETA, pois se G  F1,
então G Fx  x
e F1 existe pois F é bijetora.
14) (
.
)(ITA 1978) Sejam o conjunto dos números reais e f uma função de em
Sejam B 	e o conjunto f 1 B  x 
a) f f 1 B  B
b) f f 1 B  B se f é injetora.
c) f f 1 B  B
d) f 1 f B  B se f é sobrejetora
e) n.d.a.
RESOLUÇÃO: a
; f x B, então:
Seja xo f 1 B  f xo B  f f 1 B  B, então a alternativa a) está correta.
O diagrama seguinte representa uma situação em que f é injetora e f f 1 B  B. Logo, as alternativas b) e c) são incorretas.
Sejam
xo B e x1  B tais que f xo   f x1 ,
então f xo   f x1 f B.
f 1 f B  x  ; f xf B  xo, x1 f 1 f B
Como
x1  B, então f 1 f B  B. Logo, a alternativa d) é incorreta.
Observe essa situação no diagrama seguinte.
Observe que, da forma como
f 1 está definida ela não é necessariamente uma função,
como nos exemplos apresentados nos dois diagramas.
15) (ITA 1978) Seja
f x
uma função real de variável real. Se para todo x no domínio
de f temos
f x  f x,
dizemos que a função é par; se, no entanto, temos
f x  f x,
dizemos	que	a	função	é	ímpar.	Com	respeito	à	função
gx  loge sen x  1 sen2 x  , podemos afirmar que:
a) está definida apenas para x  0.
b) é uma função que não é par nem ímpar.
c) é uma função par.
d) é uma função ímpar.
e) n.d.a.
 (
1

 
sen
2
 
x
)RESOLUÇÃO: d
Sabemos que
1 sen2 x  1
para todo x 
, então a raiz quadrada
está
sempre bem definida e
sen x 
1 sen2 x  0,
o que implica que o logaritmando é
sempre positivo. Logo, o domínio da função g são todos os números reais e a alternativa
a) é incorreta.
Vamos agora analisar a paridade da função g.
gx  log
sen x  1 sen2 x   log sen x  1 sen x2  
e	e 	
	2		
2	sen x  1 sen2 x 
 loge sen x  1 sen x   loge sen x  1 sen x 	 	 

 (


 
sen
 
x
 

 
1

 
sen
2
 
x
 




)	1 sen2 x  sen2 x 		1	
sen x 
1 sen2 x 
 (
1

 
sen
2
 
x
)loge
 loge 	 
 (
e
) log sen x 
 sen x 
 (
2


)1
1 sen x	 loge sen x 

1 sen2 x   g x
Logo, g é ímpar, as alternativas b) e c) são incorretas e a d) é correta.
16) (

 

 

x
 

 
;
 
x 

 
0

)(ITA 1978) Qual das funções definidas abaixo é bijetora? Obs. e a, b é o intervalo fechado de extremos a e b.
a) f :	
· 
tal que f x  x2.
b) f :	 	 tal que f x  x 1.
c) f :1,3 2, 4 tal que f x  x 1.
d) f :0, 2  tal que f x  sen x.
e) n.d.a.
RESOLUÇÃO: c
a) f não é bijetora
f x  f x  x2 ,
b) f não é bijetora
então f não é injetora e, portanto, não é sobrejetora;
 (

 

 

 
f 


0,
 



 

 

1,
 


 

 
Im
f
 

 

1,
 


 


)f 
Logo, f não é sobrejetora e, portanto, não é bijetora.
c) f é bijetora
f é uma função do 1º grau, então é estritamente crescente o que implica que f é injetora.
f 1,3  f 1, f 3  2, 4  Imf  2, 4
Logo, f é sobrejetora e, portanto, bijetora.
d) f não é bijetora
 (

)f x  sen x 1,1 	f não é sobrejetora e, portanto, não é bijetora
17) (ITA 1979) Seja f uma função real definida para todo x real tal que: f é ímpar;
f x  y  f x  f y;
e f x  0,
se x  0.
f x  f 1
 (

 

 

)Definindo g x		, x
se x  0.
Sendo n um número natural, podemos afirmar que:
a) f é não-decrescente e g é uma função ímpar.
b) f é não-decrescente e g é uma função par.
c) f é não-decrescente e 0  gn  f 1.
d) f não é monótona e 0  gn  f 1.
e) não é possível garantir que 0  gn  f 1.
RESOLUÇÃO: c
Como f é impar, então f x  f x,
 (
.
)x1  x2  x1  x2  0  f x1  x2   0
x 
f x1  x2   f x1   f x2   f x1   f x2   0  f x1   f x2 
Logo, f é não-decrescente.
Como f x  y  f x  f y, então, sendo n um número natural, tem-se f n  n  f (1).
Isso pode ser verificado pelo P.I.F., notando que: 1º) f 0  0
f é ímpar  f 0  f 0  f 0  0
2º) Hip. de Indução: f k  k  f 1, k  
3º) f k 1  f k  f 1  k  f 1  f 1  k 1f 1
Logo, pelo P.I.F., f n  n  f (1).
 gn  f n  f 1  n f 1  f 1  n 1 f 1
n	n	n
 0  gn  f 1
18) (ITA 1980) Sejam A e B subconjuntos não vazios de e f  A  B, g  B  A
duas funções tais que afirmar que:
a) f é sobrejetora.
b) f é injetora.
fog  IB,
onde IB
é a função identidade em B. Então podemos
c) f é bijetora.
d) g é injetora e par.
e) g é bijetora e ímpar.
RESOLUÇÃO: a
Como g  B  A
é uma função, então yB  x A
tal que
x  gy .
Logo,
yB, temos
y  IB y  fogy f gy  f x , ou seja, todo elemento
y B é imagem pela função f	de algum x A . Isso significa de f  A  B é
sobrejetora.
Isso permite concluir que a alternativa (a) está correta. Vamos agora analisar as outras alternativas.
A seguir, vamos apresentar um contraexemplo que mostra que as outras alternativas estão erradas.
A  0,1, 2 e B  0,1
f  0,1, 1, 0, 2,1  fog 0  f g0  f 1  0
g  0,1, 1, 0		fog1  f g1  f 0  1
	
Observe que, nesse contraexemplo, as condições do enunciado são satisfeitas, mas f não é injetora e g não é para nem ímpar, além de não ser sobrejetora.
Note que, se f for bijetora, g será a função inversa de f , mas, como mostrado acima, isso não é necessário para que sejam satisfeitas as condições do enunciado.
19) (ITA 1980) No sistema de coordenadas cartesianas ortogonais, a curva
y  ax2  bx  c
passa pelos pontos 1,1 , 2, m
e m, 2 , onde m é um número real
diferente de 2. Sobre esta curva podemos afirmar que:
a) Ela admite um mínimo para todo m tal que 1  m  3 .
2	2
b) Ela admite um mínimo para todo m tal que 0  m  1.
c) Ela admite um máximo para todo m tal que  1  m  1 .
2	2
d) Ela admite um máximo para todo m tal que 1  m  3 .
2	2
e) Ela admite um máximo para todo m tal que 0  m  1.
RESOLUÇÃO: b
Seja f x  y  ax2  bx  c , então
f 1  a 12  b1 c  1  a  b  c  1
f 2  a  22  b 2  c  m  4a  2b  c  m
f m  a m2  bm  c  2  m2a  mb  c  2
4a  2b ca  b c  m1  3a  b  m1
 m2a  mb  c  4a  2b  c  2  m  m2  4a  m  2b  2  m 
 m  2m  2a  m  2b  m  2
m  2  m  2a  b  1
m  2a  b3a  b  1m 1  m 1a  m  a 
m m 1
Observando que a  0  0  m 1, então a função admite ponto de mínimo para todo m
tal que 0  m  1.
20) (

)(ITA 1982) Seja f : 
 x  a , se x  b
 (
definida
 
por
 
f
 

x

 

 

x
 

 
b
)
. Se f f x  x
para todo x real e f 0  2, então
  b, se x  b
a) ab  2
b) 
ab  1
c) 
ab  0
d) 
ab  1
e) 
ab  2
RESOLUÇÃO: a
Sejam x  b
e x  a  b, então
x  b
 (


) (


)f f x  x  f  x  a   x 
x  b
x  a  a x  b
x  a  b x  b
 x 
a 1 x  a b 1  x
b 1 x  a  b2 
 a 1 x  a b 1  b 1 x2  a  b2  x
Fazendo identidade de polinômios, temos:
b 1  0  b  1
 (

)a 1  a  b2  b2  1  b  1
 (

)a b 1  0
 (

)x  a , se x  1
Assim, temos: f x   x 1	.
	1, se x  1
Note que, temos f f 1  f 1  1.
f 0  2  f 0  0  a  2  a  2
0 1
 (

 
f
 

x

 

 

 
x
 

1
)x  2 , se x  1

	1, se x  1
 ab  2 1  2
21) (ITA 1983) Dadas as funções
f x2   log2x x
e gx  2sen2 x  3sen x 1
definidas para x  0 e x  1 , o conjunto
2
 (
*
 
:
 

g
 
f
 


x

 

 
0

)A  x 
 f x0, 2
é dado por
 (
a)
 
A
 

) (
4
2

 
,
 
4
6

 
,
 
4
6

5

) 		5 
 (
b)
 
A
 

) (
2
2

 
,
 
2
6

 
,
 
2
6

5

) 		5 
c) A  42, 46, 465
 (
d)
 
A
 

) (
4
2

 
,
 
4
6

 
,
 
4
6

5

) 2	2	5 
 (
e)
 
A
 

) (
2
2

 
,
 
4
6

 
,
 
2
6

5

) 		5 
RESOLUÇÃO: a
Seja f x  y, então
g f x  0  gf x  gy  0  2sen2 y  3sen y 1  0
sen y  1  y    2k, k 	 y  
 (

 
y
 

 

6
)		2	2 sen y  1  y  k  1k   , k 
2	6
 y  5
6
1
f x2   log	x  f x  f  x 2   log
 (
x
x
) log	x 2 
2x	2
 1  2  log4x x  log4x x 2
1
4x2
	 2
	1		2	 
f x  log4x x  2  4x
 x  42  x	2  42  x 2
 x  42
	 6
	1		6	 
f x  log4x x  6  4x
 x  46  x	6  46  x 6
 x  46
5	5 6
5	15	5	65
 5 
f x  log4x x 
 4x
6
 x  4 6  x	6  4 6  x 6
 x  465
 (

 
A
 

) (
4
2

 
,
 
4
6

 
,
 
4
6

5

) 		5 
22) (ITA 1983) Sejam três funções f , u, v :
tais que f  x  1   f x 	1
para
 (

)	x 
f x
todo x não nulo e
ux2  vx2  1
	
para todo x real. Sabendo-se que
x0 é um
número real tal que
u x
0  vx0
  0
e f  1	 1	  2,
 (

 
u
(
x
o
 
)
 
 
v
(
x
 
 
)
 

o
)	
o valor de
f  u(xo )  é:
 (

 
v(x
o
 
)
 

)	
a) 1
b) 1	c) 2	d) 1
2
e) 2
RESOLUÇÃO: b
	1	1	
 u x
2  vx
2 
f 	
  2  f 	o	o	  2 
 u xo  vxo  		u xo  vxo 	
	
 f  u xo   vxo    2  f  u xo  	1	  2
 vxo 	u xo  	 vxo 	u xo  
			
	vxo  
Como f  x  1   f x 
	
1	, vem:
	x 
f x
	
f  u xo  	1	  f  u xo   	1	 2
 vxo 	 u x   	 vxo  	 u x  
		o  			f 	o 
	 vxo   	 vxo  
	
 (

 
v(x
o
 
)
 

)Fazendo f  u(xo )   y,
	
 (

 
v(x
o
 
)
 

)Logo, f  u(xo )   1.
	
temos:
y  1  2  y2  2y 1  0  y  1 y
23) (ITA 1984) Seja
f x  e
x2 4 , onde x 	e	é o conjunto dos números reais.
Um subconjunto D de tal que f : D 	é uma função injetora é:
a) D x 
b) D x 
c) D  
d) (
:
 

 
2
 

 x
:
 
x
 

 
2

)D x 
e) D x 
: x  2 ou x  0
: x  2 ou x  2
 2
RESOLUÇÃO: e
Inicialmente, vamos identificar o domínio de validade de f x  e
x2  4  0  x  2 ou x  2
x24 .
As funções
y  ex
e y 
x, com x  0,
são injetoras. A composição de funções
 (
x
2
 

4
)injetoras é injetora. Assim, para que f x  e
seja injetora, devemos escolher D de
forma que y  x2  4 seja injetora. Os intervalos x  2 e x  2 estão em ramos distintos da parábola, basta escolher um dos dois intervalos. Logo, uma opção de conjunto D para
que a função seja injetora é D x 	: x  2.
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24) (ITA 1985) Considere as seguintes funções: f x  x  7
2
e gx  x2  1
4
definidas
para todo x real. Então, a respeito da solução da inequação podemos afirmar que:
a) Nenhum valor de x real é solução.
b) Se x  3 então x é solução.
g f x  g f x,
c) Se
x  7
2
então x é solução.
d) Se x  4 então x é solução.
e) Se 3  x  4 então x é solução.
RESOLUÇÃO: e
g f x  g f x  g f x  0
Seja f x  y, então
g f x  gf x  gy  0  y2  1  0   1  y  1
4	2	2
y  f x  x  7   1  y  1   1  x  7  1  3  x  4 2	2	2	2	2	2
Logo, se 3  x  4, então x é solução.
25) (ITA 1985) Dadas as sentenças:
I – Sejam f : X  Y e g : Y  X duas funções satisfazendo g f x  x,
para todo
xX. Então, f é injetiva, mas g não é necessariamente sobrejetiva.
II – Seja f : X  Y
uma função injetiva. Então,
f A f B  f A  B,
onde A e B
são dois subconjuntos de X.
III – Seja f : X  Y uma função injetiva. Então, para cada subconjunto A de X,
f AC   f AC onde AC  x X | x A e f AC  x Y | x f A.
podemos afirmar que está (estão) correta(s):
a) As sentenças I e II.	b) As sentenças II e III.
c) Apenas a sentença I.	d) As sentenças I e III.
e) Todas as sentenças.
RESOLUÇÃO: b I – INCORRETA
x1  x2  gf x1   x1  x2  gf x2   f x1   f x2   f é injetiva
Seja x0 X  y  f x0  Y tal que g y  g f x0   x0  g é sobrejetiva II – CORRETA
Sendo f é injetiva, então se y0  Imf , existe um único x0  X tal que f x0   y0.
1º) y0 f Af B  y0 f A  y0 f B
 x1 A  x2  B tais que f x1   y0  f x2   y0
Como f é injetiva, então f x1   f x2   x1  x2.
 x1  x2 A  B  y0  f x1   f x2 f A  B
 f Af B  f A B
2º) y0 f A  B  x0 A  B tal que y0  f x0 
 (
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x0 A  B  x0 A 
 y0 f Af B
x0 B  y0  f x0 f A 
y0  f x0 f B
 f A B  f Af B
Logo, f A B  f Af B.
III – CORRETA
y0 f AC   x0 AC tal que y0  f x0 
x AC  x
A  y
 f xf A  y
f AC
0	0	0	0	0
 f AC   f AC
Poderíamos também usar o resultado demonstrado em II.
Como f é injetiva, então
f A  f AC   f A  AC   f   
y f AC   y f A  y
f AC
0	0	0
 f AC   f AC
26) (ITA 1986) Sejam a, b, c números reais dados com a  0.
Suponha que
x1 e x2
sejam	as	raízes	da	função
y  ax2  bx  c	e
x1  x2.
Sejam
x3  b	e
2a
x4  2b 
b2  4ac 4a
. Sobre o sinal de y podemos afirmar que:
a) y  0,
b) y  0,
c) y  0,
d) y  0,
e) y  0,
x 
 (
,
,
,
,
,
)x 
x 
x 
x 
x1  x  x3 x4  x  x2 x1  x  x4 x  x4
x  x3
RESOLUÇÃO: c
Como	a  0,
· (
b
2
 

 
4ac
)0	e
x1  x2 ,
então
x1 
b 
b2  4ac
e
2a
x2 
b 
b2  4ac
.
2a
Além disso, temos
x1  x3  x2 ,
pois x3 é a média das raízes.
2b 	b2  4ac	b	b2  4ac
x4  	4a
 	
2a	4a
Como 0  
b2  4ac  
b2  4ac
 (
x
), então
 x  x .
4a	2a
3	4	2
Como a parábola possui concavidade voltada para baixo, então	y  0
x1  x  x4.
A figura a seguir ilustra a situação do problema.
quando
27) (

)(ITA 1986) Seja f :	uma função que satisfaz à seguinte propriedade:
 (
.
) (
10
)f x  y  f x  f y, x, y	Se gx  f log	x2 12  então podemos afirmar que
a) O domínio de g é e g0  f 1.
b) g não está definida para os reais negativos e gx  2f log10 x2 1, para x  0.
 (
.
)c) g 0  0 e gx  2f log10 x2 1, x 
d) (
.
)g0  f 0 e g é injetora.
 	 	 
 2	1 2
e) g 0
 1 e g x
 f log10 x 1
 , x 
RESOLUÇÃO: c
a) INCORRETA
Como
x2 1  0, x 
, e f está definida para todos os reais, então o logaritmando é
 (
.
)sempre positivo e o domínio de g é
g0  f log	02 12   f log	1  f 0
10	10
b) (
.
)INCORRETA, pois Dg 
c) CORRETA
f x  y  f x  f y
x  y  0  f 0  0  f 0  f 0  f 0  2f 0  f 0  0
g0  f log	02 12   f log	1  f 0  0
10	10
x  y  f x  x  f x  f x  f 2x  2f x
gx  f log	x2 12   f 2log	x2 1  2f log
x2 1
10	10	10
d) INCORRETA
g não é injetora, pois é uma função par
gx  f log	x2 12   f log	x2 12   g x
10	10
e) INCORRETA
g0  0,
conforme mostrado em c).
 	 
 2	1 2	 
 2	2		
 2	2
g x  f log10 x 1
  f
log10 x
1 
 f log10 x 1  
 	 2
2
gx2
  2	 
 f log10 x
1 
 
2	
 g x
 4g x
Observe que a expressão acima só é verdadeira para as funções constantes
gx  4, que não atendem as condições do enunciado.
f x  f x  f x  x  f 0  0  f x  f x
gx  0 ou
 (
,
) (
1
)28) (ITA 1986) Seja a 	0  a  1
ax2  a2 2
e f a função real de variável real definida por
f x 
cos 2x  4 cos x  3
. Sobre o domínio A desta função podemos afirmar que:
a) ,  2  	 A
b) A   2, 2  
c)  2, 2   A
d) x 	| x 	e x 
2  A
e) A   2, 2 
RESOLUÇÃO: e
 (
2
) (
2
) (

)ax2 a2  0  ax2  a2 0a1x2  2  	 x 
cos 2x  4 cos x  3  0  2 cos2 x 1  4 cos x  3  0
 cos2 x  2 cos x 1  0  cos x  1
 x    2k, k 	 x  1 2k, k 
A   2, 2  1, 1
	
 A   2, 2 
	
29) (

.
)(ITA 1986) Consideremos as seguintes afirmações sobre uma função f :
1. Se existe x 	tal que f x  f x então f não é par.
2. Se existe x 	tal que f x  f x então f é ímpar.
3. Se f é par e ímpar então existe x  tal que f x  1.
4. Se f é ímpar então f f (f composta com f) é ímpar.
Podemos afirmar que estão corretas as afirmações de números
a) 1 e 4	b) 1, 2 e 4	c) 1 e 3	d) 3 e 4	e) 1, 2 e 3
RESOLUÇÃO: a
1. CORRETA
f é par  f x  f x, x  
A negação dessa proposição é: f não é par  x 
tal que f x  f x
Logo, se existe x  tal que f x  f x então f não é par.
2. INCORRETA
f é ímpar  f x  f x, x  
Não basta existir um x ou alguns x que satisfaçam a propriedade. Tem que ser todos os valores de x do domínio da função.
3. INCORRETA
f é par  f x  f x, x  
 (

 
f
 

x

 

 
0,
 

x
 

)f é ímpar  f x  f x, x  
f é par e ímpar  f x  f x  f x, x 
4. CORRETA
f é ímpar  f x  f x, x 
f f x  f f x  f f x  f f x  f f x
Logo, f f é ímpar.
30) (ITA	1987)	Considere
x  gy
a	função	inversa	da	seguinte	função:
y  f x  x2  x 1, para cada número real x  1 . Nestas condições, a função g é assim
2
definida:
a) g(y)  1 	y  3 , para cada y  3 .
2	4	4
b) g(y)  1 	y  1 , para cada y  1 .
2	4	4
c) g(y) 
d) g(y) 
y  3 ,
4
y  1 ,
4
para cada
para cada
y  3 .
4
y  1 .
4
e) g(y)  3 	y  1 , para cada y  1 .
4	2	2
RESOLUÇÃO: a
y  f x  x2  x 1  x2  x  1 y  0
 x  1
1 4 1 y  x  1 
y  3
2	2	4
x  1  gy  x  1 	y  3 , y  3
2	2	4	4
Observe que
 1 , 3 
 (

 
2
 
4
 

)	
é o vértice da parábola. A condição
x  1
2
define que se busca a
função inversa do ramo direito da parábola. A função
f :  1 ,    3 , 

é bijetora
e, portanto, possui inversa g :  3 ,    1 , .
	
 2		 4	
 (

) 4		 2	
31) (ITA 1987) Considere a função
y  f x
definida por
f x  x3  2x2  5x,
para
cada x real. Sobre esta função, qual das afirmações abaixo é verdadeira?
a) y  f x é uma função par.
b) y  f x é uma função ímpar.
c) f x  0 para todo real x.
d) f x  0 para todo real x.
e) f x
tem o mesmo sinal de x, para todo real x  0.
RESOLUÇÃO: e
a) FALSA Contraexemplo:
f 1  13  2 12  51  1 2  5  8 f 1  13  2 13  51  1 2  5  4
f 1  f 1  f não é par
b) FALSA
f 1  f 1  f não é ímpar
c) FALSA, pois f 1  8.
d) FALSA, pois f 1  4.
e) VERDADEIRA
f x  x3  2x2  5x  x  x2  2x  5
O trinômio do 2º grau
x2  2x  5 tem discriminante   22  415  16  0,
então
é sempre positivo. Logo, f x  0, se x  0 e f x  0, se x  0.
32) (ITA 1988) Seja f x  log2 x2 1,
 (
.
)f é:
x 	x  1. A lei que define a inversa de
 (
,
)a)	1 2y ,
y
b) 
1 2y ,
y
c) (
.
)1
1 2y ,
y
d) (
.
) (
,
)
1 2y ,
y	y  0.
e) (
,
)1
1 2y ,
y	y  0.
RESOLUÇÃO: b
Para os valores x  1, temos x2 1  0 o que implica que f x  log2 x2 1 está bem
definida. Além disso, com esse domínio, f é bijetora e, portanto, possui inversa.
 (

)A imagem de x2 1 para x  1 é	e, portanto, a imagem de f x  log2 x2 1 é
.
 (
.
)Vamos obter a expressão da inversa de f : , 1 
y  f x  log2 x2 1  x2 1  2y  x2  1 2y
x  1 f 1 y  x  
1 2y , y
Note que a inversa de f é f 1 :
 , 1.
33) (ITA 1988) Considere Ax  log1 2x2  4x  3,
2
x 	Então temos:
 (
.
)a) Ax  1,
b) Ax  1,
para algum x 	x  1.
 (
,
.
)para algum x 
c) Ax  1, apenas para x 	tal que 0  x 1.
d) Ax  1,
para cada x  tal que 0  x 1.
 (
.
)e) Ax  1, para cada x 
RESOLUÇÃO: e
Vamos inicialmente identificar o domínio de
Ax  log1 2x2  4x  3.
2
Como
y  2x2  4x  3
tem	discriminante
  42  4  2  3  8,
então
 (
.
) (
.
)y  2x2  4x  3  0 para todo x	Logo, o domínio de Ax é
O valor mínimo de
y  2x2  4x  3 é y
    8  1.
MIN
4a	4  2
2x2  4x  3  1, x 	 Ax  log1 2x2  4x  3  log 1 1  0
2	2
 (
.
)Logo, Ax  0  1, para cada x 
34) (
g
)(ITA 1988) Sejam f e g funções reais de variável real definidas por f x  lnx2  x
e gx 
1
1 x
. Então, o domínio de f	é:
 (
g
)a) 0, e
b) 0,1
c) e, e 1
d) 1,1
e) 1, 
Nota: f
é a lei definida por f gx  f gx para cada x de seu domínio.
RESOLUÇÃO: b
f gx  f gx
O domínio de gx é 1 x  0  x 1. Assim, Dg  ,1.
O	domínio	de
f x
é	x2  x  0  x x 1  0  x  0 ou x  1.
Assim,
Df  , 0  1, .
Para que f g esteja bem definida, devemos ter x tal que g estejabem definida, ou seja,
x  1 (*) e gx deve estar no domínio de f, ou seja,
gx 
ou
1
1 x
 0,
que não ocorre para nenhum x real
gx 
1
 (
1

 
x
)1 x
· 
1 
 1  0  1 x  1  0  x  1 (**)
Fazendo a interseção de (*) e (**), temos Df g  0,1.
35) (ITA 1988) Seja f :		uma função estritamente decrescente, isto é, quaisquer x
e y reais com x  y tem-se f x  f y. Dadas as afirmações:
I. f é injetora.
II. f pode ser uma função par.
III. Se f possui inversa então sua inversa também é estritamente decrescente. Podemos assegurar que:
a) apenas as afirmações I e III são verdadeiras.
b) apenas as afirmações II e III são falsas.
c) apenas a afirmação I é falsa.
d) todas as afirmações são verdadeiras.
e) apenas a afirmação II é verdadeira.
RESOLUÇÃO: a
I. VERDADEIRA
Sejam x1  x2 , e supondo, sem perda de generalidade, x1  x2 , então f x1   f x2 ,
ou seja, f x1   f x2 ,
II. FALSA
o que implica que f é injetora.
 (
.
)Para que f seja par, devemos ter f x  f x,
o que já foi demonstrado em I.
III. VERDADEIRA
Supondo que exista f 1, então
x 	Isso implica que f não é injetora,
x1  x2  f x1  f x2   f 1 f x1  f 1 f x2   f x1  f x2 
Sejam f x1   y1 e f x2   y2 ,
então
y1  y2  f 1 y1   f 1 y2 ,
o que implica f 1 é estritamente decrescente.
36) (ITA 1989) Os valores de ,
0     e
  ,
2
para os quais a função f : 
 (

)dada por f x  4x2  4x  tg2  assume seu valor mínimo igual a 4, são
a)  e 3	b)
 e 2	c)
 e 2	d)
 e 2	e) 2 e 3
4	4	5	5	3	3	7	7	5	5
RESOLUÇÃO: c
Em uma função quadrática, de coeficiente líder positivo, seu vértice é um ponto de mínimo. Assim, o valor mínimo de f é dado por
yV    
4a
42  4  4   tg2 
4  4
 4  1 tg
2   4  tg2
  3
 tg  
0	
 (
3
)	 
ou   2
3	3
37) (ITA 1989) Sejam A e B subconjuntos de	, não vazios, possuindo B mais de um
elemento. Dada uma função f : A  B,
para todo a A. Podemos afirmar que
a) A função L sempre será injetora.
b) A função L sempre será sobrejetora.
definimos L: A  AB por
La  a, f a,
c) Se f for sobrejetora, então L também o será.
d) Se f não for injetora, então L também não o será.
e) Se f for bijetora, então L será sobrejetora.
RESOLUÇÃO: a
a) CORRETA
Inicialmente, observemos que dois pares ordenados são iguais se, se somente se, ambos os elementos são iguais.
Sejam a1, a2 A, com a1  a2  a1, f a1   a2 , f a2   La1   La2 , o que
implica L é injetora, independentemente de f.
b) INCORRETA
Observe que, para cada primeiro elemento a do par ordenado de L, há um único valor do
segundo elemento f a. Como B possui mais de um elemento, se o par ordenado
a, f a está na imagem de L, então há pelo menos um par ordenado de primeiro elemento a que não está. Logo, L nunca é sobrejetora.
c) INCORRETA
Vide a demonstração de b), onde se mostrou que L nunca será sobrejetora.
d) INCORRETA
Vide a demonstração de a). L sempre será injetora, independentemente de f.
e) INCORRETA.
Vide a demonstração de b), onde se mostrou que L nunca será sobrejetora.
38) (

)(ITA 1989) Sejam f , g :	duas funções tais que
a) (
f
 
:

f
 
:

)g
b) g
é injetora. Verifique se f é injetora e justifique sua resposta.
é sobrejetora. Verifique se g é sobrejetora e justifique sua resposta.
RESOLUÇÃO:
a) Sim, f é injetora.
Supondo por absurdo que f não seja injetora, então existem
x1  x2
tais que
f x1   f x2 .	Aplicando	a	função	g	nos	dois	lados	da	igualdade,	temos
gf x1   gf x2   g f x1   g f x2 .
Assim, temos existem
x1  x2
tais que g f x1   g f x2 ,
o que implica
g f :		não é injetora. (ABSURDO). Portanto, f é injetora.
b) Sim, g é sobrejetora.
 (
,
)Como	g f :		é	sobrejetora,	então
g f x  z  gf x  z.
z
x  tal	que
Assim, z
, y  f x tal que gy  gf x  z, o que implica que g é sobrejetora.
39) (ITA 1990) Dadas as funções podemos afirmar que:
· 
x
 (


0

) (

 

1
 
e
)f x  1 ex , x
e gx  x sen x, x 
 (
,
)a) ambas são pares.	b) f é par e g é ímpar
c) f é ímpar e g é par.	d) f não é par e nem ímpar e g é par.
e) ambas são ímpares.
RESOLUÇÃO: c
x
1 1	x
f x  1 e	
ex  e
1  f x 
f é ímpar
1 ex
1 1 ex
ex 1
gx  xsen x  x  sen x  xsen x  g x  g é par
 (

)x  2, se x  1
40) (

)(ITA 1990) Seja f : 
a função definida por
f x  


x2, se 1  x  1. 4, se x  1
Lembrando que se A 	então f 1 A  x 
(I) f não é injetora e f 1 3, 5  4.
(II) f não é sobrejetora e f 1 3, 5  f 1 2, 6.
(III) f é injetora e f 1 0, 4  2, .
Então podemos garantir que:
a) apenas as afirmações II e III são falsas.
b) as afirmações I e III são verdadeiras.
c) apenas a afirmação II é verdadeira.
d) apenas a afirmação III é verdadeira.
e) todas as afirmações são falsas.
: f xA, considere as afirmações:
RESOLUÇÃO: d
A imagem de y  x  2,
com x  1, é Im1  ,1.
A imagem de
y  x2 , com 1  x  1, é Im2  0,1.
A imagem de y  4, com x  1, é Im3  4.
Logo, a imagem de f é Imf  Im1 Im2 Im3  ,14.
(I) FALSA
f não é injetora, pois f 2  f 3  4.
f 1 3, 5  x 	: f x3, 5  1, .
Note que f x3,5  f x  4.
(II) VERDADEIRA
 (
.
)f não é sobrejetora, pois Imf  ,14 
f 1 3, 5  x 
f 1 2, 6  x 
: f x3, 5  1, .
: f x2, 6  1, .
 f 1 3, 5  f 1 2, 6
(III) FALSA
f não é injetora, pois f 2  f 3  4.
f 1 0, 4  x 	: f x0, 4  2, 1 1,1 1,   2, 
41) (ITA 1990) Seja a função f :
sua inversa podemos garantir que:
a) não está definida pois f não é injetora.
b) não está definida pois f não é sobrejetora.
c) está definida por f 1 y  y  2 , y  3.
y  3
d) está definida por f 1 y  y  5 1, y  3.
y  3
e) está definida por f 1 y  2y  5 1, y  3.
y  3
definida por f x  2x  3 1. Sobre
 (


2

 



3

)x  2
RESOLUÇÃO: e
f x  2x  3 1  2x  2 1 1  3  1 x  2	x  2	x  2
A função
y	1
 (

)x  2
é injetora e assume todos os valores reais, exceto 0.
Assim, f é injetora e sua imagem é
Imf
	3, o que implica que f é sobrejetora.
Portanto, f é bijetora e possui função inversa. Vamos encontrar a expressão da inversa.
y  3 	1		1	 y  3  x  2 	1	 f 1 y  x 	1	 2  2y  5 , y  3
				
x  2	x  2	y  3	y  3	y  3
42) (ITA 1990) Sejam as funções f e g dadas por:
f :	
, f x  1, se x  1	g :
 (


1

 

,
 
g

x

 

 
2x
 

 
3
x
 

1
) (

0,
 
se
 
x
 

 
1
)
Sobre a composta f gx  f gx podemos garantir que:
a) se
x  3 ,
2
f gx  0
b) 
se 1  x  3 ,
2
f gx  1
c) se 4  x  2,
3
e) n.d.a.
f gx  1
d) se 1  x  4 ,
3
f gx  1
RESOLUÇÃO: c
f gx  1  gx  1  1  gx  1  4  x  2
3
gx  1  2x  3 1  0  x  2  0  1  x  2 x 1	x 1
gx  1  2x  3 1  0  3x  4  0  x  1 ou x  4 x 1	x 1	3
f gx  0  gx  1  gx  1 ou gx  1  x  1 ou 1  x  4
3
ou x  2
Logo, a alternativa c) está correta.
43) (

)(ITA 1991) Considere as afirmações: I- Se f :		é uma função par e g: 
g f é uma função par.
II- (

)Se f :		é uma função par e g: 
uma função qualquer, então a composição uma função ímpar, então a composição
 (
g
) (

)f	é uma função par.
III- (

)Se f : 
ímpar. Então:
é uma função ímpar e inversível então
f 1 :
é uma função
a) Apenas a afirmação I é falsa;
b) Apenas as afirmações I e II são falsas;
c) Apenas a afirmação III é verdadeira;
d) Todas as afirmações são falsas;
e) Todas as afirmações são verdadeiras.
RESOLUÇÃO: e
I – VERDADEIRA
 (
f
 



x

 

 
g

f
 


x


 

 
g

f
 

x


 

 

g
 
f
 


x

 

 
g
 
f
)f é par  f x  f x
g
II – VERDADEIRA
f é par  f x  f x
g (
g



x

 

 
f
 

g


x


 

 
f
 


g

x


 

 
f
 

g
 

x
