Aula 3 - Séries

Prévia do material em texto

DESCRIÇÃO
Aplicação dos conceitos de séries.
PROPÓSITO
Definir séries, utilizar os testes de convergência e apresentar algumas séries importantes.
PREPARAÇÃO
Antes de iniciar o conteúdo desse tema, tenha em mãos papel, caneta e uma calculadora
científica ou use a calculadora de seu smartphone ou computador.
OBJETIVOS
MÓDULO 1
Definir os conceitos iniciais de uma série numérica
MÓDULO 2
Aplicar testes que permitam verificar a convergência de uma série
MÓDULO 3
Definir as séries de potências e as séries trigonométricas
SÉRIES
MÓDULO 1
 Definir os conceitos iniciais de uma série numérica
CONCEITOS INICIAIS DE SÉRIES
NUMÉRICAS
INTRODUÇÃO
Em diversos momentos de nossa vida, lidamos com uma lista de números que seguem uma
determinada ordem. Essa lista é denominada matematicamente uma sequência numérica.
AGORA, SE ESSA LISTA DE NÚMEROS FOR
ORIGINADA DAS SOMAS PARCIAIS DOS
TERMOS DE UMA DETERMINADA SEQUÊNCIA
DADA, SE DÁ O NOME DE SÉRIE NUMÉRICA A
ESSA SEQUÊNCIA.
Neste módulo, definiremos sequências e série numéricas, abordando algumas de suas
propriedades.
SEQUÊNCIAS NUMÉRICAS
Antes de definirmos uma série numérica, necessitamos definir a sequência numérica.
Imagine uma lista de números que obedece a uma determinada ordem. Em outras palavras,
cada posição é ocupada por um número obtido por uma função que depende da sua posição.
 EXEMPLO
2, 4, 8, 16, ....: é uma sequência numérica crescente em que o valor do número é
calculado como o número dois elevado à sua posição. Se n é a posição, o valor do
número vale 2n.
1 ,
1
2
 , 
1
3
,
1
4
 , …
: é uma sequência decrescente de números em que o valor do número é o inverso de sua
posição. Se n é a posição do número, então o valor vale
1
n
.
Vamos definir agora com uma linguagem matemática.
foto: shutterstock.com
Uma sequência (sucessão numérica) é uma função cujo domínio é um subconjunto dos
números naturais, que seria a posição do número, e a imagem são números reais, sendo o
valor do número na sequência.
Usaremos a notação para sequência como
an
. Assim an : n∈N → R.
Em outras palavras, a entrada da função é um número inteiro positivo, a posição na lista, e a
saída é um número real que será obtida por uma função que relaciona o valor com a posição
do número.
A notação
an
também é usada para representar o termo geral da equação, que representa o valor do
enésimo termo.
Às vezes se tem a sequência de números, a lista numérica, mas não é simples obter a função
que relaciona os valores das posições, isto é, não é simples se definir o termo geral.
 EXEMPLO
Seja a sequência de números que apresenta as médias de chuva dos últimos meses da cidade
A, medida em mmhg.
{ 78 , 81 , 77 , 93 , 102 , 120 , 77 , … }
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Diríamos até que o trabalho dos cientistas é tentar modelar algumas sequências para se obter
uma fórmula para seu termo geral. No nosso exemplo, se obtivermos o termo geral, podemos
estimar a média de chuva em um determinado mês.
Em alguns casos, o termo geral da sequência é obtido por uma fórmula de recorrência que
envolve termos antecessores. Por exemplo:
A1 = 1 ,A2 = 2 E 
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Pode-se obter a_3=a_2+a_1=1+2=3, a_4=a_3+a_3=2+3=5, e assim sucessivamente.
 ATENÇÃO
Não necessariamente a sequência tem que iniciar com n = 0 ou n = 1. Dessa forma, podemos
definir como domínio da sequência um valor de n \in N tal que n ≥ p.
Vamos analisar os exemplos a seguir.
EXEMPLO 1
Liste os três primeiros números da sequência cujo termo geral é dado por a_n=2+8n, para n ≥
3.
RESOLUÇÃO
Para os três primeiros termos basta substituirmos o valor de n que representa a posição.
Repare que a primeira posição é obtida para n = 3, assim, a segunda e terceira serão dados
por n = 4 e n = 5.
n=3→a3=2+8.3=26
n=4→a4=2+8.4=34
n=3→a5=2+8.5=42
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
EXEMPLO 2
Liste os três primeiros números da sequência cujo termo geral é dado por a_n=n-
\left(-1\right)^n, para n ≥ 1.
RESOLUÇÃO
Para os três primeiros termos, basta substituirmos o valor de n que representa a posição.
Repare que a primeira posição é obtida para n = 1. Assim, a segunda e terceira serão dados
por n = 2 e n = 3.
n=1→a1=1--11=1--1=1+1=2
n=2→a2=2--12=2-1=2-1=1
n=3→a3=3--13=3--1=3+1=4
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
EXEMPLO 3
Encontre uma fórmula para o termo geral da sequência \frac{1}{2}\ ,\ \frac{2}{3}\ ,\ \frac{3}{4}\ ,\
\ldots.
RESOLUÇÃO
Analisando a lógica da sequência, se verifica que o termo geral pode ser definido como:
an=nn+1, com n≥1
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Uma sequência será alternante se, de um termo para outro, o sinal dela mudar, isto é,
a_{n+1}.a_n=-1, por exemplo.
1, -3, 9, -27, 81, …
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
SEQUÊNCIAS FINITAS OU INFINITAS
Uma sequência pode ser classificada como finita ou infinita. Uma sequência finita é aquela
que apresenta um número finito de termos. A sequência infinita apresenta um número infinito.
As sequências infinitas podem ser convergentes ou divergentes. Vamos analisar o que
acontece com uma sequência infinita quando seu valor de n tende ao infinito.
CONVERGENTE
DIVERGENTE
CONVERGENTE
Se limn→∞an= L, se diz que a sequência tem como limite um número real L. Em outras
palavras, podemos fazer os termos ficarem tão pertos de L quanto desejarmos, ao fazermos n
suficientemente grande. Nesse caso, se diz que a sequência é CONVERGENTE e que
converge para L.
DIVERGENTE
Quando o limn→∞an não existir ou for \pm\infty se diz que a sequência é DIVERGENTE.
Para ajudar no cálculo do limite de uma sequência, podemos usar o seguinte teorema:
Sendo f(x) uma função real definida no domínio [p, \infty), considere o termo geral de
uma sequência:
an=f(n) para n ≥ p
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Então, limn→∞an=limx→∞f(x), se existir o limite da função f(x).
EXEMPLO 4
Verifique se a sequência definida pelo termo geral a_n=\frac{3n^2+2n}{n^2-1}, para n ≥ 1 é
convergente ou divergente.
RESOLUÇÃO
Determinando o limite da sequência:
limn→∞an=limn→∞3n2+2nn2-1
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Relembrando o teorema de Leibniz, o polinômio tende ao termo de maior grau quando sua
variável tende ao infinito. Assim:
limn→∞an=limn→∞3n2+2nn2-1=limn→∞3n2n2=limn→∞31=3
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Como o limite deu um número real, a série é convergente.
EXEMPLO 5
Verifique se a sequência definida pelo termo geral a_n=10n+20 para n ≥ 1 é convergente ou
divergente.
RESOLUÇÃO
Determinando o limite da sequência:
limn→∞an=limn→∞10n+20= ∞
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Como o limite deu diferente de um número real, a série é divergente.
Uma sequência pode ser classificada entre crescente ou decrescente.
CRESCENTE
Uma sequência será crescente se e somente se para qualquer m e n naturais:
m<n↔ am< an
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
DECRESCENTE
Uma sequência será decrescente se e somente se para qualquer m e n naturais:
m<n↔ am> an
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Dizemos que uma sequência é monótona se for crescente ou decrescente.
TIPOS DE LIMITAÇÕES DA SEQUÊNCIA
Limitada superiormente
Uma sequência será limitada superiormente se existir um número real M tal que, para todo n
do domínio da sequência, a_n\ ≤ M.

Limitada inferiormente
Uma sequência será limitada inferiormente se existir um número real Q tal que, para todo n
do domínio da sequência, a_n ≥ Q.
javascript:void(0)
javascript:void(0)UMA SEQUÊNCIA SERÁ LIMITADA SE EXISTIREM
NÚMEROS REAIS M E Q TAL QUE, PARA TODO N DO
DOMÍNIO DA SEQUÊNCIA, {Q\LE A}_N ≤ M. EM
OUTRAS PALAVRAS, SE A SEQUÊNCIA FOR
LIMITADA, ELA SERÁ LIMITADA SUPERIORMENTE E
LIMITADA INFERIORMENTE.
EXEMPLO 6
Verifique se a sequência a_n=\frac{1}{2n+1} , para n > 0, é crescente ou decrescente. Verifique
também se a sequência é limitada.
RESOLUÇÃO
Dado o termo a_n=\frac{1}{2n+1} teremos o termo a_{n+1}=\frac{1}{2(n+1)+1}=\frac{1}{2n+3}.
Observe que, se n > 0, 2n + 3 > 2n + 1, assim, an+1<an para todo n > 0.
Dessa forma, a sequência é monótona decrescente.
Vamos agora analisar quanto a ser limitada.
O primeiro termo é obtido para n = 1, assim a_1=\frac{1}{2.1+1}=\frac{1}{3}.
Como a sequência é decrescente, todos os valores serão menores do que \frac{1}{3}. Assim, a
sequência é limitada superiormente pelo valor \frac{1}{3}.
Quando n tende ao infinito:
limn→∞an=limn→∞12n+1=1∞=0
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Assim, essa sequência também é limitada inferiormente pelo valor 0. Temos uma sequência
limitada.
EXEMPLO 7
Verifique se a sequência \left\{1\ ,\ -1\ ,\ 1\ ,\ -1\ ,\ 1,\ -1\ ,\ \ldots\right\} é crescente ou
decrescente. Verifique também se a sequência é limitada.
RESOLUÇÃO
Analisando os termos, verificamos que, às vezes, a_n>a_{n+1} e, às vezes, an<an+1. Dessa
forma, essa sequência não será crescente nem decrescente.
Vamos agora analisar quanto a ser limitada.
Observe que não existe nenhum termo da sequência maior do que 1, e nenhum termo da
sequência menor do que – 1.
Assim, essa sequência é limitada inferiormente e superiormente, sendo uma sequência
limitada.
TEOREMA DE ANÁLISE DA CONVERGÊNCIA DE
UMA SEQUÊNCIA
Existe um teorema importante para usarmos na análise da convergência de uma sequência. 
Teorema para sequência crescente
Seja an uma sequência crescente:
Se a sequência for limitada superiormente, an será convergente.
Se an não for limitada superiormente, an será divergente. 
Podemos também relatar o mesmo teorema para uma sequência decrescente. 
Teorema para sequência decrescente
Seja an uma sequência decrescente:
Se a sequência for limitada inferiormente, an será convergente.
Se an não for limitada inferiormente, an será divergente.
 DICA
A demonstração desse teorema é bem intuitiva e pode ser encontrada nas referências do tema.
EXEMPLO 8
Verifique se a sequência a_n=\frac{1}{2n+1}, para n > 0, é convergente.
RESOLUÇÃO
Como já analisamos no exemplo 7, que é uma sequência decrescente e limitada inferiormente,
ela será obrigatoriamente convergente.
Podemos confirmar isso com o cálculo do limite.
limn→∞an=limn→∞12n+1=1∞=0
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Vamos agora definir a série numérica.
SÉRIES NUMÉRICAS
Seja uma sequência definida pelo seu termo geral an, com n natural e n ≥ p.
A SÉRIE NUMÉRICA ASSOCIADA À SEQUÊNCIA DADA
SERÁ DEFINIDA COMO A SEQUÊNCIA CUJO TERMO
GERAL É OBTIDO POR:
SN=∑PNAK, N≥P
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
O elemento da série sn será a soma parcial de ordem n dos elementos da sequência, isto é, a
soma desde o primeiro termo até o termo n. A notação sn também será denominada de
enésimo termo da série.
Por exemplo, seja a sequência 2, 4, 8, 16, 32, ..., definimos os seguintes termos da série
associada a ela:
S1=A1=2
S2=A1+A2=2+4=6
S3=A1+A2+A3=2+4+8=14
...
SN=A1+A2+A3+…+AN=2+4+8+16+…+2N=22N-12-
1=22N-1
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
 ATENÇÃO
A fórmula para o sn foi obtida pela soma de uma progressão geométrica (PG) finita. Nem
sempre é possível obter um termo geral para os elementos da série.
No ensino médio, estudamos duas sequências: progressão aritmética (PA) e progressão
geométrica (PG). Essas sequências apresentavam fórmulas para suas somas parciais e totais.
Vale a pena uma pesquisa para relembrar a definição da PA e PG e de suas fórmulas.
As séries associadas a uma sequência PA ou PG são denominadas, respectivamente, de série
aritmética e série geométrica.
EXEMPLO 9
Determine os três primeiros termos da série associada a uma sequência de termo geral
a_n=\frac{2n+1}{n^2+1}.
RESOLUÇÃO
S1=A1=2.1+112+1=32
S2=A1+A2=32+2.2+122+1=32+55=52
S3=A1+A2+A3=32+52+2.3+132+1=32+52+710=4710
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Cuidado: O primeiro termo da série, representado no somatório, pode ser um número diferente
de zero ou de 1.
Repare \sum_{3}^{n}2^k, o somatório começa para k = 3. Assim, o primeiro termo da série será
2^3 = 8 e o segundo termo será 8 + 2^4 = 8 + 16 = 24.
SÉRIE INFINITA X SÉRIE FINITA
Uma série de infinitos termos é denominada de série infinita. Uma série com um número finito
de termos é definida como série finita.
Se define a soma da série como o limite da série, isto é:
S=LIMN→∞SN=LIMN→∞∑PNAK=∑P∞AK
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Essa soma pode ter valor finito ou infinito.
Se a soma for finita, se diz que a série é convergente. Se o limite não existir ou for \infty, a
série será divergente.
Muitas vezes, usamos a mesma notação \sum_{p}^{\infty}a_n para representar a própria série
infinita.
EXEMPLO 10
Determine a soma da série cujo termo vale 3-2+\frac{4}{3}\ -\frac{8}{9}+\ldots. Verifique se essa
série é convergente ou divergente.
RESOLUÇÃO
O enunciado já representa a série como a soma de um termo de uma sequência \left\
{3,-2,\frac{4}{3},-\frac{8}{9},\ \ldots\right\}.
S=∑p∞ak=limn→∞∑pnak=3-2+43 -89+…
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Repare que trata de uma série geométrica, os termos da soma são soma de uma progressão
geométrica (PG), pois cada termo é obtido pela multiplicação do termo anterior por uma razão.
Repare que o primeiro termo vale 3 e a razão vale \frac{-2}{3}=\frac{4/3}{-2}=\frac{-8/9}{4/3}=-
\frac{2}{3}.
A soma de uma PG infinita para quando o módulo da razão for menor do que 1 vale:
S=a11-q=31--23=31+23=95
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Como o valor de S foi um número real, a série é convergente.
EXEMPLO 11
Determine a soma da série cujo termo vale 8 + 12 + 16 + 20 + 24 + .... Verifique se a série é
convergente ou divergente.
RESOLUÇÃO
O enunciado já representa a série como a soma de um termo de uma sequência \left\
{8,12,16,20,24,\ldots\right\}.
S=∑p∞ak=limn→∞∑pnak=8 + 12 + 16 + 20 + 24 +…
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Repare que os termos da soma são soma de uma progressão aritmética (PA), pois cada termo
é obtido pela soma do termo anterior com uma razão.
Repare que o primeiro termo vale 8 e a razão vale 12-8=16-12=20-16=4
A soma de uma PA vale:
sn=a1+an2n
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
O termo geral da sequência vale a_n=a_1+\left(n-1\right)r
Assim:
sn=2a1+r(n-1)2n
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Pelo enunciado:
sn=2.8+4(n-1)2n=6+2n.n
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Dessa forma, o valor de:
S=∑p∞ak=limn→∞sn=limn→∞6+2n . n=∞
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Portanto, como S não é um número finito, então a série é divergente.
PROPRIEDADES DE UMA SÉRIE CONVERGENTE
Podemos citar algumas propriedades de uma série convergente:
A
Seja k um número real, se \sum_{p}^{\infty}a_n for uma série convergente, então
\sum_{p}^{\infty}{ka}_n, com k real, também será convergente e pode ser obtida por
k\sum_{p}^{\infty}a_n.
B
Sejam as séries convergentes \sum_{p}^{\infty}a_n e \sum_{p}^{\infty}b_n, se
\sum_{p}^{\infty}c_n=\sum_{p}^{\infty}{{(a}_n+b_n),} então \sum_{p}^{\infty}c_n será
convergente e pode ser obtida por \sum_{p}^{\infty}a_n+\sum_{p}^{\infty}b_n.
Por fim,podemos definir um critério necessário para que uma série seja convergente.
Se ∑p∞an for convergente, então os termos a_n têm que tender para zero quando n
tende ao infinito, isso é limn→∞an=0..
javascript:void(0)
javascript:void(0)
 ATENÇÃO
Cuidado: Esse critério é necessário mas não suficiente; em outras palavras, pode existir uma
série que limn→∞an=0 e ela ser divergente.
Podemos escrever o teorema de outra forma:
Se limn→∞an≠0 ou se limn→∞an não existir então a série ∑p∞an será divergente.
EXEMPLO 12
Verifique se a série \sum_{1}^{\infty}\frac{2n^2}{5n^2+1} é convergente ou divergente.
RESOLUÇÃO
O termo geral da sequência associada vale \frac{2n^2}{5n^2+1}
Determinando o limite desse termo:
limn→∞an=limn→∞2n25n2+1=limn→∞2n25n2=25≠0
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Assim, a série é divergente.
EXEMPLO 13
Verifique se a série \sum_{1}^{\infty}\frac{3}{n(n+1)} é convergente ou divergente.
RESOLUÇÃO
O termo geral da sequência associada vale \frac{3}{n(n+1)}.
Determinando o limite desse termo:
limn→∞an=limn→∞3n(n+1)=3∞=0
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Assim, a condição necessária foi atendida, mas não podemos concluir nada quanto à
convergência.
sn=∑1n3k(k+1)=3∑1n1k-1k+1
sn=31-12+12-13+13-14+…+1n-1n+1
sn=31-1n+1
S=limn→∞sn=limn→∞31-1n+1=3 . 1-1∞=3
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Portanto, a série é convergente.
 ATENÇÃO
Essa soma em que os termos se cancelam, que usamos na solução do exemplo, é
denominada de soma telescópica.
EXEMPLO 14
Verifique se a série \sum_{1}^{\infty}\frac{1}{n} é convergente ou divergente.
RESOLUÇÃO
O termo geral da sequência associada vale \frac{1}{n}.
Determinando o limite desse termo:
limn→∞an=limn→∞1n=1∞=0
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Assim, a condição necessária foi atendida, mas não podemos concluir nada quanto à
convergência.
sn=∑1n1k
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Repare que:
s1=1
s2=1+12
s4=1+12+13+14>1+22
s8=1+12+13+14+15+16+17+18>1+32
...
sn=1+12+…+1n-1+1n>1+n2
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Assim:
S=limn→∞sn>limn→∞1+n2=1+∞
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Então, tende ao infinito, sendo uma série divergente, mesmo atendendo à condição inicial.
Por fim, apenas uma definição. Uma série \sum a_n será dita como absolutamente convergente
se a série \sum{\left|a_n\right|\ } for convergente.
Uma série é dita como condicionalmente convergente se for convergente, mas não
absolutamente convergente. Um ponto é que toda série absolutamente convergente será
convergente, mas nem toda série convergente será absolutamente convergente.
No próximo módulo, analisaremos os testes de convergência para uma série.
MÃO NA MASSA
1. DETERMINE O TERCEIRO TERMO DA SÉRIE NUMÉRICA DEFINIDA
POR:
SN=∑K=1N(-1)K9K2
 ATENÇÃO! PARA VISUALIZAÇÃO COMPLETA DA EQUAÇÃO UTILIZE
A ROLAGEM HORIZONTAL
A) -1
B) 1
C) -314
D) 314
E) -94
2. DETERMINE O QUINTO TERMO DA SÉRIE ASSOCIADA A SEQUÊNCIA
16,8,4,2,….
A) 1
B) 15
C) 16
D) 31
E) 32
3. MARQUE A ALTERNATIVA CORRETA RELACIONADA À SÉRIE
∑1NN3+2N+1N5-2.
A) Série condicionalmente convergente.
B) Série absolutamente convergente.
C) Série convergente.
D) Série divergente.
E) Série geométrica.
4. DETERMINE A SOMA DA SÉRIE ∑1N1(N+3)(N+2).
A) 13
B) 14
C) 15
D) 16
E) 17
5. MARQUE A ALTERNATIVA QUE A APRESENTA A SOMA DA SÉRIE
∑1N2N5N-1.
A) 310
B) 103
C) 57
D) 715
E) 1315
6. MARQUE A ALTERNATIVA VERDADEIRA EM RELAÇÃO À SÉRIE QUE
ESTÁ ASSOCIADA À SEQUÊNCIA COM TERMO GERAL DADO POR
AN=2N2+6N+8.
A) A série é divergente.
B) A série é condicionalmente convergente e a soma vale 25.
C) A série é absolutamente convergente e a soma vale 25.
D) A série é condicionalmente convergente e a soma vale 712.
E) A série é absolutamente convergente e a soma vale 712.
GABARITO
1. Determine o terceiro termo da série numérica definida por:
sn=∑k=1n(-1)k9k2
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
A alternativa "C " está correta.
O terceiro termo será calculado como: s3=a1+a2+a3
Mas:
• a1=(-1)1912=-9
• a2=-12922=94
• a3=(-1)3932=-1
Assim: s3=a1+a2+a3=-9+94-1=-314
2. Determine o quinto termo da série associada a sequência 16,8,4,2,….
A alternativa "D " está correta.
Ao analisar a sequência, se verifica que se trata de uma progressão geométrica (PG) de razão
0,5, pois an+1=an.12.
A série será definida por sn=∑1nan. Assim, o termo $$s_n$$ será a soma parcial da PG do
primeiro termo até o enésimo termo.
A fórmula da soma da PG finita é dada por:
sn=a1qn-1q-1=16(0,5n-1)0,5-1=321-0,5n=32-322n
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
O exercício pede o quinto termo. Então:
s5=32-3225=32-1=31
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
3. Marque a alternativa correta relacionada à série ∑1nn3+2n+1n5-2.
A alternativa "D " está correta.
O termo geral associado à série vale an=n3+2n+1n5-2.
Repare que, usando Leibniz, limn→∞n3+2n+1n5-2=limn→∞n3n5=limn→∞1n2→∞
Pelo teorema estudado, se limn→∞an≠0, então a série ∑i=p∞an será divergente.
4. Determine a soma da série ∑1n1(n+3)(n+2).
A alternativa "A " está correta.
Para calcular a soma, precisamos então calcular:
S=∑1∞1(k+3)(k+2)=limn→∞∑1n1(k+3)(k+2)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Mas,
1(k+3)(k+2)=1k+2-1k+3
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Assim,
sn=∑1∞1(k+3)(k+2)=∑1∞1k+2-1k+3
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Resultando em uma soma telescópica:
sn=13-14+14-15+15+…+1n+1-1n+2+1n+2-1n+3
sn=13-1n+3
S=limn→∞sn=limn→∞13-1n+3=limn→∞13-limn→∞1n+3=13-0=13
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
5. Marque a alternativa que a apresenta a soma da série ∑1n2n5n-1.
A alternativa "B " está correta.
Manipulando o termo da sequência associada
2n5n-1=2 . 2n-15n-1=225n-1
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Assim teremos os termos
2 , 2.25 , 2.252, …
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Portanto temos uma série geométrica. Usando a fórmula da soma de uma PG infinita com
primeiro termo 2 e razão 25..
S=a11-q=21-25=235=103
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
6. Marque a alternativa verdadeira em relação à série que está associada à sequência
com termo geral dado por an=2n2+6n+8.
A alternativa "E " está correta.
CONVERGÊNCIA SÉRIE
GABARITO
TEORIA NA PRÁTICA
Considere uma bola que é solta de uma altura 2H do solo. Toda vez que essa bola quica no
chão, ela volta a subir 0,5 à altura anterior que ela havia subido. Seja a série definida pela
sequência do espaço percorrido pela bola entre dois quiques, após o primeiro quique no chão,
determine a soma dessa série e verifique se ela é convergente ou divergente.
RESOLUÇÃO
SOMA DE UMA SÉRIE CONVERGENTE
VERIFICANDO O APRENDIZADO
1. DETERMINE A SOMA DA SÉRIE ∑1N5N71-N:
A) 12
B) 212
C) 352
D) 234
E) 454
2. MARQUE A ALTERNATIVA CORRETA RELACIONADA À SÉRIE ∑4N1(N-
3)(N-2).
A) Divergente.
B) Convergente com soma igual a 1.
C) Convergente com soma igual a 3.
D) Convergente com soma igual a 5.
E) Convergente com soma igual a 7.
GABARITO
1. Determine a soma da série ∑1n5n71-n:
A alternativa "C " está correta.
 
Manipulando o termo da sequência associada 5n71-n=5n7n-1=5 5n-17n-1=557n-1, temos uma
série geométrica. Usando a fórmula da soma de uma PG infinita com primeiro termo 5 e razão
57, temos:
S=a11-q=51-57=527=352
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
2. Marquea alternativa correta relacionada à série ∑4n1(n-3)(n-2).
A alternativa "B " está correta.
 
Para calcular a soma, precisamos calcular:
S=∑4∞1(n-3)(n-2)=limn→∞∑4n1(n-3)(n-2)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Mas,
1(n-3)(n-2)=1n-3-1n-2
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Assim,
sn=∑4∞1(n-3)(n-2)=∑4∞1n-3-1n-2
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Resultando em uma soma telescópica, cuidado que o primeiro termo é para $$n = 4$$.
sn=11-12+12-13+13+…+1n-4-1n-3+1n-3-1n-2
sn=1-1n-2
S=limn→∞sn=limn→∞1-1n-2=limn→∞1-limn→∞1n-2=1-0=1
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Convergente com soma igual a 1.
MÓDULO 2
 Aplicar testes que permitam verificar a convergência de uma série
TESTE DE CONVERGÊNCIA DE SÉRIES
NUMÉRICAS
INTRODUÇÃO
Uma série numérica pode ser convergente, quando sua soma tende a um número real, ou
divergente, quando a soma não tende a um número fixo.
É importante verificamos se uma série é ou não convergente. Para isso, existem alguns testes
denominados de teste de convergência.
Nesse módulo, estudaremos quatro testes: teste da comparação, teste da integral, teste da
razão e teste da raiz.
No módulo anterior, estudamos a definição de uma série numérica e sua classificação quanto à
convergência ou divergência.
UMA SÉRIE SERÁ CONVERGENTE SE SUA SOMA
TENDER A UM NÚMERO REAL QUANDO O NÚMERO
DE TERMOS TENDER AO INFINITO. ISSO É:
S=LIMN→∞SN=LIMN→∞∑PNAK=∑P∞AK=L, L REAL
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
No módulo anterior, estudamos alguns teoremas e fizemos alguns exemplos para verificar a
convergência de algumas séries numéricas.
Acontece que existem testes, denominados de testes de convergência, que podem ser
utilizados para se verificar a convergência de tipos determinados de séries numéricas.
Esses testes ganham importância quando, por exemplo, conhecemos os termos da série, mas
não conseguimos determinar uma fórmula para sua soma. Assim, não temos como ver
diretamente se a série converge ou não.
Aqui os testes serão analisados de forma separada, mas caberá a você, na prática, verificar o
melhor teste para aplicar na análise da convergência de uma determinada série. As vezes mais
de um teste é possível de ser aplicado na série analisada.
TESTE DA COMPARAÇÃO
O primeiro teste que vamos estudar é o teste da comparação.
A IDEIA DO TESTE DA COMPARAÇÃO É COMPARAR A
SÉRIE ANALISADA COM UMA SÉRIE QUE JÁ
SABEMOS, PREVIAMENTE, SER UMA SÉRIE
CONVERGENTE OU DIVERGENTE.
Sejam as séries ∑an e ∑bn com termos positivos.
Se ∑bn for convergente e an<bn para todo n, então ∑an também será convergente.
Se ∑bn for divergente an>bn para todo n, então ∑an também será divergente.
 DICA
A demonstração matemática desse teorema pode ser estudada nas obras que constam na
referência do tema.
Repare como é simples demonstrar essa afirmação:

Como as séries do teorema só possuem termos positivos, obrigatoriamente
s_n=\sum_{1}^{n}a_n e t_n=\sum_{1}^{n}b_n são crescentes. Veja que, quando aumenta o
valor de n, o somatório aumenta, pois os termos são positivos.

Se t_n=\sum_{1}^{n}b_n for convergente, então T=limn→∞tn=∑1∞bn=L. L real. Como cada
termo a_n é menor do que b_n, a série sn<tn, assim S=limn→∞sn=∑1∞an<L. Portanto, a série
s_n é crescente e limitada; pelo teorema visto no módulo anterior, ela será, portanto, uma série
convergente.

Da mesma forma, se tn=∑1nbn for divergente, então T=limn→∞tn=∑1∞bn→∞. Como cada
termo a_n é maior do que b_n, a série s_n > t_n, assim S=limn→∞sn>T. Mas, se T tende ao
infinito, então S tende ao infinito, e a série s_n também será divergente.
Para usar o teorema da comparação, precisamos conhecer algumas séries para serem usadas
como comparativos. Na grande parte dos problemas, usamos duas séries:
A
s_n=\sum_{1}^{n}\frac{1}{n^p} (séries harmônicas)
Essa série será convergente se p > 1 e divergente se p ≤ 1.
B
s_n=\sum_{1}^{n}{ar^{n-1}}(séries geométricas)
Essa série será convergente se \left|r\right|\le1 e divergente se \left|r\right|>1.
Vamos ver agora alguns exemplos.
EXEMPLO 15
javascript:void(0)
javascript:void(0)
Verifique se a série \sum_{1}^{\infty}{\frac{2}{k}\ sen\frac{1}{k}} é convergente ou divergente.
RESOLUÇÃO
Repare que k > 0, portanto 0<1k≤1.
Para y no primeiro quadrante, isso é [0, \frac{\pi}{2}] , vale uma desigualdade: seny\le y.
Como 0<1k≤1<π2, então \frac{1}{k} está no primeiro quadrante e 0<sen1k≤1k.
Portanto, 0<2ksen1k≤2k . 1k→, 0<2ksen1k≤2k2
Sabemos que a série harmônica \sum_{1}^{n}\frac{2}{k^2} é convergente.
Usando o teorema da comparação, como \sum_{1}^{n}\frac{2}{k^2} é convergente e \frac{2}
{n}sen\frac{1}{n}\le\frac{2}{n^2} para todo n > 1, a série \sum_{1}^{\infty}{\frac{2}{k}\ sen\frac{1}
{k}} também será convergente.
EXEMPLO 16
Verifique se a série \sum_{1}^{\infty}\frac{3\ln{k}}{k} é convergente ou divergente.
RESOLUÇÃO
∑1∞3lnkk=3ln11+3ln22+∑3∞3lnkk=3ln22+∑3∞3lnkk
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Como k≥e<3, então 3\ln{k\ \geq}3. Quer dizer que para k \geq3 \rightarrow3\ln{k\ \geq}3
Assim \frac{3\ln{k}}{k}\geq\ \frac{3}{k}
Sabemos que a série harmônica \sum_{3}^{\infty}\frac{3}{k} é divergente.
Assim, pelo teorema da comparação, como \frac{3\ln{n}}{n}\geq\ \frac{3}{n} para todo n\geq3 e
\sum_{3}^{\infty}\frac{3}{k} é divergente, então \sum_{3}^{\infty}\frac{3\ln{k}}{k} é divergente.
Se \sum_{3}^{\infty}\frac{3\ln{k}}{k} e divergente então \sum_{1}^{\infty}\frac{3\ln{k}}
{k}=\frac{3\ln{2}}{2}+\sum_{3}^{\infty}\frac{3\ln{k}}{k} também é divergente.
K≥E<3
javascript:void(0)
Lembrando que: ln(k)=loge(k). Por isso, a comparação é feita com a base do logaritmo.
TESTE DA COMPARAÇÃO DO LIMITE
Existe um outro tipo de teste da comparação, denominado de teste da comparação do limite.
Ele obedece ao seguinte teorema:
Sejam as séries ∑an e ∑bn com termos positivos. Se
LIMN→∞ANBN=K
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
com k real maior do que zero, ambas as séries convergem ou ambas as séries divergem.
Vamos entender a demonstração desse teorema.
Repare que, se k é positivo, ele está limitado entre dois números reais M < k < P.
Para quando n tende ao infinito M<anbn<P→Mbn<an<Pbn.
Assim, se \sum b_n converge, \sum{Pb}_n também converge. Pelo teorema da comparação
anterior, como an<Pbn, ∑an também convergirá.
Da mesma forma, e \sum b_n diverge, então \sum{Mb}_n também diverge. Pelo teorema da
comparação anterior, como a_n>Mb_n, \sum a_n também irá divergir.
Vamos trabalhar com alguns exemplos.
EXEMPLO 17
Verifique se a série \sum_{1}^{\infty}\frac{4}{3^n-1} é convergente ou divergente.
RESOLUÇÃO
Usando o teorema da comparação do limite.
Nós sabemos que a série geométrica com termo b_n=\frac{4}{3^n} é convergente.
limn→∞anbn=limn→∞43n-143n=limn→∞3n3n-1=limn→∞11-13n=1>0
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Assim, pelo teorema da comparação do limite, como a série \sum_{1}^{\infty}\frac{4}{3^n} é
convergente e limn→∞43n-143n=1 então \sum_{1}^{\infty}\frac{4}{3^n-1} também será
convergente.
EXEMPLO 18
Verifique se a série \sum_{1}^{\infty}\frac{n^2+n}{\sqrt{n^5+1}} é convergente ou divergente.
RESOLUÇÃO
Usando o teorema da comparação do limite.
Vamos pegar os maiores termos do numerador e denominador e estudar a série com termo
bn=n2n5=n2-52=n-12=1n
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Como limn→∞bn=limn→∞1n=∞. Portanto, como o termo não tende a zero, a série é
divergente.
limn→∞anbn=limn→∞n2+nn5+11n=limn→∞(n2+n)nn5+1=limn→∞n2nn5=limn→∞1=1
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Assim, pelo teorema da comparação do limite, como a série \sum_{1}^{\infty}\frac{1}{\sqrt n} é
divergente e limn→∞n2+nn5+11n=1 então \sum_{1}^{\infty}\frac{n^2+n}{\sqrt{n^5+1}}também
será divergente.
Temos ainda duas complementações para o teorema da comparação do limite.
Sejam as séries ∑an e ∑bn com termos positivos. Se
limn→∞anbn=k
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Se k = 0 e a série ∑bn for convergente, a série ∑an também é convergente.
Se k \rightarrow\infty e a série ∑bn for divergente, a série ∑an também é divergente.
A demonstração é simples, se k = 0 então a série ∑an<∑bn. Assim, se ∑bn é convergente
então ∑an também converge.
Da mesma forma, se k→∞ então a série ∑an>∑bn. Assim, se ∑bn é divergente então ∑an
também diverge.
Veja os exemplos.
EXEMPLO 19
Verifique se a série ∑1∞10ln(k) é convergente ou divergente.
RESOLUÇÃO
Vamos pegar a série harmônica com termo b_n=\frac{10}{k}. Sabemos que ela é divergente.
Fazendo agora:
limn→∞anbn=limn→∞10lnn10n=limn→∞nlnn
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Usando L´Hopital, derivando numerador e denominador:
limn→∞anbn=limn→∞nlnn=limn→∞11/n=limn→∞n=∞
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Pelo teorema da comparação, como limn→∞anbn=∞ e a série b_n diverge, então ∑1∞10ln(k)
também diverge.
Vamos agora estudar o teste da integral.
TESTE DA INTEGRAL
O teste da integral, como o próprio nome sugere, usa a comparação entre a série analisada e
uma integral de uma função f apropriada para se concluir sobre a convergência ou não da
série.
Ele se baseia no seguinte teorema:
SEJA UMA FUNÇÃO F CONTÍNUA, POSITIVA E
DECRESCENTE NO INTERVALO [1,∞) E SEJA AN=F(N).
A SÉRIE ∑AN SERÁ CONVERGENTE SE E SOMENTE
SE A INTEGRAL ∫1∞FXDX FOR CONVERGENTE.
Repare que o teorema usa a expressão se e somente se; assim, ele quer dizer que, quando
\int_{1}^{\infty}f\left(x\right)dx for convergente, \sum a_n também é convergente, e vice-versa.
Da mesma forma que \sum a_n será divergente quando \int_{1}^{\infty}f\left(x\right)dx for
divergente, e vice-versa.
Outro ponto é que \int_{1}^{\infty}f\left(x\right)dx é uma integral imprópria e será convergente
quando seu valor for um número real. Se não for um número real, a integral
\int_{1}^{\infty}f\left(x\right)dx será divergente.
 DICA
A demonstração do teorema se baseia em uma argumentação geométrica e pode ser
estudada, se for o caso, nas referências desse tema.
Veja os exemplos.
EXEMPLO 20
Verifique se a série \sum_{1}^{\infty}\frac{1}{(k^2+4)} é convergente ou divergente.
RESOLUÇÃO
Se a_n=\frac{1}{(n^2+4)} então f(n)=\;\frac1{(n^2+4)}. Essa função f(x) é contínua, decrescente
e positiva, podendo ser usado o teste da integral.
A integral imprópria analisada será \int_{1}^{\infty}{\frac{1}{(x^2+4)}dx}
Resolvendo a integral \int_{1}^{\infty}{\frac{1}{(x^2+4)}dx}
∫1∞1(x2+4)dx=∫1∞141x22+1dx=14arctgx21∞
∫1∞1(x2+4)dx=14arctg∞-12arctg12=14π2-12arctg12
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Como \int_{1}^{\infty}{\frac{1}{(x^2+4)}dx}=\frac{\pi}{8}-\frac{1}{2}arctg\left(\frac{1}{2}\right), a
integral será convergente, então a série \sum_{1}^{\infty}\frac{1}{(k^2+4)} será convergente.
Agora vamos estudar o teste da razão.
TESTE DA RAZÃO
O teste da razão utilizará a ideia de comparar termos subsequentes da sequência associada à
série analisada. Vamos diretamente para seu enunciado.
Utilizaremos o seguinte critério.
Seja a série ∑an
01
Se limn→∞an+1an=L<1, então ∑an é absolutamente convergente.
02
Se limn→∞an+1an=L>1 ou ∞, então ∑an é divergente.
03
javascript:void(0)
javascript:void(0)
javascript:void(0)
Se limn→∞an+1an=L=1, o teste não é conclusivo, isso é, nada se pode concluir através desse
teste
A demonstração desse teorema pode ser encontrada nas referências desse tema.
 ATENÇÃO
Lembre-se de que, no primeiro caso, se a série for absolutamente convergente, ela será
convergente também.
EXEMPLO 21
Verifique se a série \sum_{1}^{\infty}{{(-1)}^k\frac{k^2}{2^k}} é convergente ou divergente.
RESOLUÇÃO
Vamos usar o teste da razão.
an+1an=(-1)n+1(n+1)22(n+1)(-1)nn22n=-1n+1n22n2n+1=-12n+1n2
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Analisando o limite a seguir:
limn→∞an+1an=limn→∞-12n+1n2=limn→∞12n+1n2=12.1=12<1
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Assim, a série é absolutamente convergente, sendo, portanto, convergente.
EXEMPLO 22
Verifique se a série \sum_{1}^{\infty}\frac{k^k}{k!} é convergente ou divergente.
RESOLUÇÃO
Vamos usar o teste da razão.
an+1an=(n+1)n+1(n+1)!nnn!=n+1n+1nnn!n+1!=n+1n+1nn1n+1=n+1nn=1+1nn
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Analisando o limite a seguir:
limn→∞an+1an=limn→∞1+1nn=limn→∞1+1nn=e>1
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Assim, como o limite foi maior do que 1, a série é divergente.
Agora vamos analisar o último teste desse módulo: o teste da raiz.
TESTE DA RAIZ
O teste da raiz utiliza um critério que leva em conta a raiz enésima do termo da sequência a
que a série é associada. Esse teste é muito utilizado quando os termos da série são
associados a potências de n.
Seja a série ∑an com termos positivos.
01
Se limn→∞ann=L<1, então ∑an é absolutamente convergente.
02
Se limn→∞ann=L>1 ou ∞, então ∑an é divergente.
03
Se limn→∞ann=L=1, o teste não é conclusivo, isso é, nada se pode concluir através desse
teste
Vamos exemplificar a utilização desse teste.
javascript:void(0)
javascript:void(0)
javascript:void(0)
EXEMPLO 23
Verifique se a série ∑1∞3n+44n+3n é convergente ou divergente.
RESOLUÇÃO
Como o termo 3n+44n+3n é positivo, podemos usar o teste da raiz. O termo:
Se
an=3n+44n+3→ann=3n+44n+3
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Então:
limn→∞ann=limn→∞3n+44n+3=34<1
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
A série vai convergir absolutamente de acordo com o teste da raiz.
MÃO NA MASSA
1. MARQUE A ALTERNATIVA CORRETA EM RELAÇÃO À SÉRIE ∑1∞EKK.
A) É divergente.
B) É convergente com soma no intervalo 13,12.
C) É convergente com soma no intervalo 13,1.
D) É convergente com soma no intervalo 12,1.
E) É convergente com soma no intervalo 1,2.
2. MARQUE A ALTERNATIVA CORRETA EM RELAÇÃO ÀS SÉRIES
∑1∞4N2+32+8N22N.
A) Nada se pode concluir quanto à sua convergência.
B) É divergente.
C) É condicionalmente convergente.
D) É convergente, porém não é absolutamente convergente.
E) É absolutamente convergente.
3. MARQUE A ALTERNATIVA CORRETA EM RELAÇÃO ÀS SÉRIES
∑1∞ΠARCTG( K)K.
A) Nada se pode concluir quanto à sua convergência.
B) É divergente.
C) É condicionalmente convergente.
D) É convergente, porém não é absolutamente convergente.
E) É absolutamente convergente.
4. MARQUE A ALTERNATIVA CORRETA EM RELAÇÃO À SÉRIE
∑1∞33N+9.
A) É divergente.
B) É convergente com soma no intervalo 13,12.
C) É convergente com soma no intervalo 14,32.
D) É convergente com soma no intervalo 14,13.
E) É convergente com soma no intervalo 1,2.
5. MARQUE A ALTERNATIVA CORRETA EM RELAÇÃO ÀS SÉRIES
SN=∑1∞52N-1 E TN=∑1∞N+1N3+N
A) Ambas são divergentes.
B) Ambas são convergentes
C) A série sn é divergente e tn é convergente.
D) A série sn é convergente e tn é divergente.
E) Não é possível analisar a convergência das séries.
6. MARQUE A ALTERNATIVA CORRETA EM RELAÇÃO ÀS SÉRIES
SN=∑1∞8K2+1 E TN=∑1∞3KK2+1
A) Ambas são divergentes.
B) Ambas são convergentes
C) A série sn é divergente e tn é convergente.
D) A série sn é convergente e tn é divergente.
E) Não é possível analisar a convergência das séries.
GABARITO
1. Marque a alternativa correta em relação à série ∑1∞ekk.
A alternativa "A " está correta.
Como k≥1 então ek≥1.
Assim ekk≥ 1k
Sabemos que a série harmônica ∑1∞1k é divergente.
Assim, pelo teorema da comparação, como enn≥ 1n para todo n≥1 e ∑1∞1k é divergente,
então ∑1∞ekk é divergente.
2. Marque a alternativa correta em relação às séries ∑1∞4n2+32+8n22n.A alternativa "E " está correta.
Como 4n2+32+8n22n é positivo, podemos usar teste da raiz.
Se
an=4n2+32+8n22n→ann=4n2+32+8n22nn=4n2+32+8n22
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Assim:
limn→∞ann=limn→∞4n2+32+8n22=limn→∞4n28n22=14<1
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Então, a série vai convergir absolutamente de acordo com o teste da raiz.
3. Marque a alternativa correta em relação às séries ∑1∞πarctg( k)k.
A alternativa "B " está correta.
Como πarctg(n)n é positivo, podemos usar o teste da raiz.
Se
an=πarctg(n)n→ann=πarctg(n)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Assim,
limn→∞ann=limn→∞πarctg(n)=ππ2=2>1
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Então, a série será divergente de acordo com o teste da raiz.
4. Marque a alternativa correta em relação à série ∑1∞33n+9.
A alternativa "C " está correta.
Usando o teorema da comparação do limite, sabemos que a série geométrica com termo
bn=33n é convergente.
limn→∞anbn=limn→∞33n+933n=limn→∞3n3n+9=limn→∞11+93n=1>0
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Assim, pelo teorema da comparação do limite, como a série ∑1∞33n é convergente e
limn→∞anbn=1,, então ∑1∞33n+9 também será convergente.
Para estimar a soma:
As parcelas são positivas, sendo uma série crescente.
Para n=1→33n+9=33+9=14, podemos concluir que S>14.
Como 3n3n+9<33n, então:
S=limn→∞∑1∞3n3n+9<limn→∞∑1∞313n= T
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
A soma T pode ser obtida por uma soma de PG infinita de primeiro termo 1 e razão 13.
Assim,
T=b11-q=11-13=123=32
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Portanto, 14<S<32 
5. Marque a alternativa correta em relação às séries sn=∑1∞52n-1 e tn=∑1∞n+1n3+n
A alternativa "D " está correta.
Vamos analisar a primeira série sn
Usando o teorema da comparação do limite.
Nós sabemos que a série geométrica com termo bn=52n é convergente.
limn→∞anbn=limn→∞52n-152n=limn→∞2n2n-1=limn→∞11-12n=1>0
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Assim pelo teorema da comparação do limite como a série ∑1∞52n é convergente e
limn→∞52n-152n=1 então ∑1∞52n-1 também será convergente.
Analisando agora a segunda série tn.
Usando o teorema da comparação do limite.
Vamos pegar os maiores termos do numerador e denominador e estudar a série com termo
bn=nn3=n1-32=n-12=1n
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Como
limn→∞bn=limn→∞1n=∞
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Portanto, como o termo não tende a zero a série é divergente.
limn→∞anbn=limn→∞n+1n3+n1n=limn→∞(n+1)nn3+1=limn→∞nnn3=limn→∞1=1
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Assim pelo teorema da comparação do limite como a série ∑1∞1n é divergente e
limn→∞n+1n3+n1n=1 então ∑1∞n+1n3+n também será divergente.
Portanto a resposta é alternativa d.
6. Marque a alternativa correta em relação às séries sn=∑1∞8k2+1 e tn=∑1∞3kk2+1
A alternativa "D " está correta.
TESTE DA INTEGRAL
GABARITO
TEORIA NA PRÁTICA
O depósito de rejeitos em um reservatório a cada dia segue uma série numérica dada pela
fórmula d_n=\sum_{1}^{\infty}{\frac{1000}{n}\ 3^{-n}}, em que n representa o tempo em dias e
dn indica a quantidade de depósito de material em toneladas. Você está interessado em
estimar se a quantidade do depósito estará limitada a um determinado valor. Verifique o
depósito do material para quando o número de dias crescer infinitamente.
RESOLUÇÃO
TESTE DA COMPARAÇÃO
VERIFICANDO O APRENDIZADO
1. MARQUE A ALTERNATIVA CORRETA EM RELAÇÃO À SÉRIE
∑1∞12+4N.
A) É divergente.
B) É convergente com soma no intervalo 16,13.
C) É convergente com soma no intervalo 14,32.
D) É convergente com soma no intervalo 14,13.
E) É convergente com soma no intervalo 1,2.
2. MARQUE A ALTERNATIVA CORRETA EM RELAÇÃO ÀS SÉRIES
SN=∑1∞4K+1K! E TN=∑1∞-1K-1(K+1)44K+1.
A) Ambas são divergentes.
B) Ambas são convergentes
C) A série sn é divergente e tn é convergente.
D) A série sn é convergente e tn é divergente.
E) Não é possível analisar a convergência das séries.
GABARITO
1. Marque a alternativa correta em relação à série ∑1∞12+4n.
A alternativa "B " está correta.
 
Sabemos que a série geométrica com termo bn=14n é convergente.
limn→∞anbn=limn→∞12+4n14n=limn→∞4n4n+2=limn→∞11+24n=1>0
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Assim, pelo teorema da comparação do limite, como a série ∑1∞14n é convergente e
limn→∞anbn=1, então ∑1∞12n+2 também será convergente.
Para estimar a soma:
As parcelas são positivas, sendo uma série crescente.
Para n=1→12+4n=16=16, podemos concluir que S>16.
Como 12+4n<14n, então:
S=limn→∞∑1∞1n2+4n<limn→∞∑1∞14n= T
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
A soma T pode ser obtida por uma soma de PG infinita de primeiro termo 14 e razão 14.
Assim,
T=b11-q=141-14=1434=13
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Portanto, 16<S<13 
2. Marque a alternativa correta em relação às séries sn=∑1∞4k+1k! e tn=∑1∞-1k-
1(k+1)44k+1.
A alternativa "B " está correta.
 
Vamos analisar a primeira série sn:
an+1an=4k+2k+1!4k+1k!=4k+24k+1.k!k+1!=4k+1
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Analisando o limite abaixo:
limn→∞an+1an=limn→∞4k+1=limn→∞4k+1=0<1
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Assim, a série é absolutamente convergente, sendo, portanto, convergente.
Analisando a segunda série:
bn+1bn=-1n(n+2)44n+2-1n-1(n+1)44n+1=-1n+2n+144n+14n+2=-14n+2n+14
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Analisando o limite a seguir:
limn→∞an+1an=limn→∞-14n+2n+14=limn→∞14n+2n+14=14.1=14<1
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Assim, a série é absolutamente convergente, sendo, portanto, convergente.
MÓDULO 3
 Definir as séries de potências e as séries trigonométricas
SÉRIES DE POTÊNCIAS E SÉRIES
TRIGONOMÉTRICAS
INTRODUÇÃO
Nesse módulo, introduziremos o conceito da série de funções.
Dentre as séries de funções existem alguns tipos de grande aplicação, principalmente na
aproximação de funções matemáticas.
Nesse módulo, estudaremos as séries de potência e as séries trigonométricas.
SÉRIES DE FUNÇÕES
Nos módulos anteriores estudamos as séries numéricas, em que se obtinha uma série
associada a uma sequência de números. Vamos agora ampliar este conceito.
Vamos criar uma série que dependa do valor de uma variável independente x, ou seja, uma
série que, variando o valor de x, origina em séries numéricas diferentes. 
Seja uma sequência dada por funções fn(x), podemos definir uma série:
SNX=∑1NFK(X)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Sua soma dada por:
SX=∑1∞FK(X)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
REPARE QUE TANTO OS TERMOS DA SÉRIE (SN)
COMO A SOMA (S) TERÃO VALORES QUE VARIAM
COM X. EM OUTRAS PALAVRAS, TEREMOS UMA
SÉRIE NUMÉRICA DIFERENTE PARA CADA VALOR DE
X. ESSE TIPO DE SÉRIE É DENOMINADO SÉRIE DE
FUNÇÕES.
Um ponto importante é que a série pode convergir para certos valores de x e divergir para
outros.
Por exemplo:
SNX=∑1N1KXK
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Repare que para cada valor de x as séries obtidas serão diferentes.
 EXEMPLO
Vamos exemplificar para dois valores de x:
x=1→sn1=∑1n1k1k=1+12+13+…+1n
x=2→sn2=∑1n1k2k=2+2+83+…+2nn
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Dentre essas séries de funções, algumas têm grande importância, pois são utilizadaspara
aproximação de funções matemáticas. Estudaremos nesse módulo as séries de potências e as
séries trigonométricas.
SÉRIES DE POTÊNCIAS
Um tipo de série de grande aplicação são as séries de potências.
Diversas funções na matemática podem ser expressas, ou aproximadas, como uma série de
potência; por isso, sua importância.
Seja an uma sequência e x0 um número real. A série de potências será uma série de funções
do tipo:
∑0∞AN(X-X0)N
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Essa série será denominada de série de potências com coeficientes an, ao redor ou centrada
em x0.
 ATENÇÃO
Repare que a série de potência é uma generalização de um polinômio.
A série de potência centrada no zero, isso é, x0 = 0, será dada por:
∑0∞ANXN=A0+A1X+A2X2+…
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Os coeficientes podem ser números ou funções da posição, isso é, funções da variável n.
Por exemplo, seja a série de potências cujo coeficientes são dados por a_n=\frac{1}{n!},
centrada no zero; assim, a série será:
∑N=0∞XNN!=1+X+X22+X36+…
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Como as séries de potência são generalizações de um polinômio, elas podem ser adicionadas,
subtraídas, multiplicadas e divididas entre si. Basta realizar as operações como se estivessem
realizando a operação com polinômios.
A série de potência pode convergir para determinados valores de x e divergir para outros.
 ATENÇÃO
O intervalo que contém os valores de x nos quais a série é convergente é denominado de
intervalo de convergência.
Vamos agora estudar uma importante propriedade da série de potências que será útil na
demonstração do teorema relacionado ao raio de convergência da série.
TEOREMA AUXILIAR
SE A SÉRIE ∑N=0∞ANXN FOR CONVERGENTE PARA
X=XC, COM XC≠0, A SÉRIE CONVERGIRÁ
ABSOLUTAMENTE PARA TODOS OS VALORES DE X
NO INTERVALO ABERTO -XC,XC
Vamos ver um exemplo da aplicação desse teorema auxiliar.
Seja a série de potências:
∑N=1∞XNN!
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Para x = – 1 essa série será transformada em \sum_{n=1}^{\infty}{{(-1)}^n\frac{1}{n!}}
Vamos provar que essa série converge. Para isso, vamos usar o teorema da convergência para
uma série alternada.
TESTE DA SÉRIE ALTERNADA
SEJA A SÉRIE ALTERNADA ∑1∞(-1)N-1AN=A1-A2+A3-
A4+…, COM A_N POSITIVO. SEAN+1≤AN E
LIMN→∞AN=0, ESTA SÉRIE SERÁ CONVERGENTE.
O entendimento desse teorema é simples. Se o termo posterior é sempre menor do que o
anterior, cada vez mais, com o crescimento de n, diminui a contribuição ao somatório. Como os
termos tendem a zero, a partir de um certo momento, as contribuições das novas parcelas
tendem a zero, fazendo com que a série seja convergente a um valor real.
Se usarmos o teste de convergência para uma série alternada, podemos verificar que a série
\sum_{n=1}^{\infty}{{(-1)}^n\frac{1}{n!}} será convergente, pois é uma série alternada com:
1N+1!<1N!→AN+1<AN E LIMN→∞AN=LIMN→∞1N!=0
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Então, podemos dizer que a série \sum_{n=1}^{\infty}\frac{x^n}{n!} é convergente para x = – 1.
Assim, pelo teorema auxiliar, podemos concluir que se \sum_{n=1}^{\infty}\frac{x^n}{n!} é
convergente para x = – 1. Então, será absolutamente convergente para ( – 1 , 1) .
Assim, obtendo um ponto de convergência da série, podemos definir um intervalo em que a
série é absolutamente convergente.
Agora, podemos enunciar um teorema importante relacionado ao intervalo de convergência da
série de potência.
TEOREMA
Para uma dada série de potência centrada em x0:
∑N=0∞AN(X-X0)N
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Existem apenas três possibilidades:
01
Ou a série converge apenas para x = x_0;
02
Ou a série converge absolutamente para todo x real;
03
Ou existe um número real R > 0 tal que a série converge absolutamente para todo x no
intervalo x-x0<R e diverge para todo x no intervalo x-x0>R.
Nos pontos x = x_0 – R e x = x_0 + R a série poderá convergir ou divergir. Assim, o caso (3)
pode ser representado pela figura a seguir.
javascript:void(0)
javascript:void(0)
javascript:void(0)
 
Imagem: Jorge Luís Rodrigues Pedreira de Cerqueira.
 DICA
Caso você se interesse pela demonstração desse teorema, pode estudar as obras de
referência desse tema.
O número R é denominado de raio de convergência da série de potências. Assim, no caso
(1), o valor de R = 0 e, no caso (2), o valor de R = \infty.
O intervalo de convergência para o caso (1) será apenas o ponto x = x_0, no caso (2) será
-∞<x<∞ e no caso (3) será x0-R<x<x0+R.
Os testes de convergência estudados no módulo anterior devem ser usados para se verificar o
valor do raio de convergência e para se checar a convergência ou não para x = x_0 – R e x =
x_0 + R.
EXEMPLO 24
Verifique a convergência da série de potência \sum_{1}^{\infty}{k!\ x^k}, determine o raio e o
intervalo de convergência para essa série.
RESOLUÇÃO
Usando o teste da razão:
AN+1AN=N+1! XN+1N! XN=X (N+1)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Vamos analisar limn→∞x (n+1).
Para x=0→limn→∞x (n+1)=0, a série será absolutamente convergente;
Para x≠0→limn→∞x (n+1)→∞>1, a série será divergente.
O raio de convergência será zero e o intervalo de convergência será x = 0.
EXEMPLO 25
Verifique a convergência da série de potência \sum_{1}^{\infty}{{(-1)}^k\frac{x^{2k}}
{2^{2k}\left(k!\right)^2}}, determine o raio e o intervalo de convergência para essa série.
RESOLUÇÃO
Usando o teste da razão:
an+1an=
(-1)n+1x2(n+1)22(n+1)n+1!2(-1)nx2n22nn!2=-122n22n+1x2n+2x2nn!n+1!2=-1x21(n+1)2
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Vamos analisar
limn→∞(-1)x21(n+1)2=limn→∞x21(n+1)2=0<1
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Observe que para todos os valores de x o limite será menor do que 1 e, pelo teste da razão,
será absolutamente convergente.
Assim, o raio de convergência será \infty e o intervalo de convergência será (-\infty,\infty).
EXEMPLO 26
Verifique a convergência da série de potência \sum_{1}^{\infty}{\frac{1}{k}{(x+1)}^k}, determine
o raio e o intervalo de convergência para essa série.
RESOLUÇÃO
Usando o teste da razão:
an+1an=1(n+1)(x+1)n+11n(x+1)n=nn+1x+1
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Vamos analisar limn→∞nn+1(x+1)=x+1
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Assim:
x+1<1→x+1<1→x<0x+1>-1→x>-2
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Para x no intervalo (– 2 , 0), a série será convergente.
x+1>1→x+1>1→x>0x+1<-1→x<-2
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Para x no intervalo (-\infty,– 2) e (0, \infty), a série será divergente.
Necessitamos analisar para x=0 e x=–2, pois para estes valores o teste da razão é não
conclusivo pois o limite dará 1.
Fazendo x=0 \rightarrow\sum_{1}^{\infty}{\frac{1}{k}{(x+1)}^k}=\sum_{1}^{\infty}\frac{1}{k},
que é uma série harmônica que já sabemos que é divergente.
Fazendo x=–2 \rightarrow\sum_{1}^{\infty}{\frac{1}{k}{(x+1)}^k}=\sum_{1}^{\infty}
{{(-1)}^k\frac{1}{k}}, que é uma série alternada
Pelo critério da série alternada, será uma série convergente.
Assim o intervalo de convergência será –2≤x<0.
O raio de convergência R será 1, pois a série será convergente para x+1<1.
PODEMOS REPRESENTAR ALGUMAS FUNÇÕES F(X)
ATRAVÉS DE UMA SÉRIE DE POTÊNCIAS, ISSO É:
FX=∑N=0∞AN(X-X0)N
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Uma função expressa por uma série de potência centrada em x0 é dita função analítica em
x0.
Nesse caso, o domínio da função f(x) será o intervalo de x, ao redor de x0, em que a série
converge.
 SAIBA MAIS
Uma função analíticaserá contínua no seu domínio e poderá ser derivável e integrável.
Vamos agora estudar dois casos particulares de séries de potência utilizados para aproximar
funções, que são as séries de Taylor e de Maclaurin.
SÉRIES DE TAYLOR E DE MACLAURIN
Vimos que algumas funções podem ser representadas por uma série de potências.
FX=∑N=0∞AN(X-X0)N
FX=A0+A1X-X0+A2X-X02+…
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Vamos obter os valores dos coeficientes em função do valor de f.
FX0=A0
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Se:
FX=A0+A1X-X0+A2X-X02+…
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Então:
F'X=A1+2A2X-X0+3A3X-X02+…
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
e
F'(X0)=A1=1! A1→A1=F'(X0)1!
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Repetindo os passos:
F''X=2A2+6A3X-X0+12A3X-X02+…
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
E:
F''X0=1. 2 A2=2!A2→A2=F''(X0)2!
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Repetindo mais uma vez:
F'''X=6 A3+24 A3X-X0+60 A3X-X02+…
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
E:
F'''X0=2.3 A3=3!A3→A3=F'''(X0)3!
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
De forma análoga, seguindo os mesmos passos podemos obter que:
AN=F(N)(X0)N!
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Podemos colocar agora essa descoberta na forma de um teorema.
Se a função f(x) tiver uma representação através de uma série de potências em x0, isso
é:
FX=∑N=0∞AN(X-X0)N, COM X-X0<R
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Seus coeficientes an serão dadas pela fórmula:
AN=F(N)X0N!
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Substituindo esses coeficientes na série, podemos representar a função f(x) por:
FX=∑N=0∞F(N)X0N!(X-X0)N
FX=FX0+F'X01!X-X0+F''X02!X-X02+F'''X03!X-X03+…
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Essa série será denominada de série de Taylor da função f(x) centrada em x0.
Utilizamos a mesma para aproximar uma função ao redor de x0.
Para o caso de x0 = 0, a série de Taylor se torna:
FX=∑N=0∞F(N)0N!XN=F0+F'01!X+F''02!X2+F'''03!X3+…
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
 ATENÇÃO
Esse caso particular aparece com frequência e recebe um nome especial: série de Maclaurin.
EXEMPLO 27
Represente a função f(x) = cos x através de uma série de Taylor centrada em x = \frac{\pi}{4}.
RESOLUÇÃO
Necessitamos obter os valores dos coeficientes. Para isso, necessitamos das derivadas da
função f(x) = cos (x) e o valor de f\left(\frac{\pi}{4}\right)=\frac{\sqrt2}{2}.
f’(x)=–sen(x)→f'π4=-22
f’’(x)=–cos(x) →f''π4=-22
f’’’(x)=sen(x) →f'''π4=22
f(4)(x)=cos(x) →f(4)π4=22
E assim sucessivamente.
A série de Taylor será:
fx=fx0+f'x01!x-x0+f''x02!x-x02+f'''x03!x-x03+…
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Substituindo os valores:
fx=22-22x-π4+24x-π42+212x-π43+…
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Uma função pode ter uma boa aproximação através da série de Taylor (T_n(x)) ou não. Isso é
medido por uma função denominada de resto (R_n(x)).
FX=TNX+RN(X)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
 DICA
Esse assunto não será abordado, mas pode ser estudado, se for o caso, nas referências que
se encontram no fim desse tema.
Mas podemos adiantar que funções que são infinitamente deriváveis possuem uma
aproximação através de séries de Taylor.
Agora, vamos estudar um outro tipo de séries de funções denominado séries trigonométricas.
SÉRIES TRIGONOMÉTRICAS
Outro tipo de série de grande aplicação são as séries trigonométricas. Elas serão a base das
Séries de Fourier, de grande aplicação na matemática para aproximação de funções.
Seja an uma sequência e x um número real. A série trigonométrica será uma série de funções
do tipo:
SNX=∑0NANCOSNX+BNSEN(NX)
e
SX=∑0∞ANCOSNX+BNSEN(NX)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
 SAIBA MAIS
O nome “trigonométrica” vem do fato de que as funções de x que se encontram nos termos da
série são funções trigonométricas em seno e cosseno.
Repare que a série trigonométrica será uma série periódica, pois tanto a função seno como a
cosseno são periódicas, com um período de 2π.
Em outras palavras, a série se repete a cada período de x = 2π. Assim,
s_n\left(x\right)=s_n\left(x+2k\pi\right) e S(x) = S(x+2kπ), com k inteiro.
Agora, vamos recordar os conceitos de função par e função ímpar:
A função g(x) será uma função par se e somente se g(x) = g( – x ) para todo x do seu
domínio;
A função g(x) será uma função ímpar se e somente se g(x) = – g( – x ) para todo x do seu
domínio.
Assim, vemos que cos(x) é uma função par e sen(x) é uma função ímpar. Dessa forma,
representaremos:
Séries trigonométricas pares (bn = 0 para todo n): Sx=∑0∞ancosnx.
Séries trigonométricas ímpares (an = 0 para todo n): Sx=∑0∞bnsen nx.
 EXEMPLO
Como exemplo de série trigonométrica, podemos citar a série de Fourier. A série de Fourier
pode ser usada para aproximar funções, principalmente as funções que apresentam uma certa
periodicidade.
Para a série de Fourier, sendo:
FX=∑0∞ANCOSNX+BNSEN(NX)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Temos os seguintes coeficientes:
A0=1Π∫-ΠΠFXDX
AN=1Π∫-ΠΠFXCOSNXDX , N ≥1
BN=1Π∫-ΠΠFXSENNXDX , N ≥1
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
MÃO NA MASSA
1. DETERMINE O RAIO E O INTERVALO DE CONVERGÊNCIA,
RESPECTIVAMENTE, DA SÉRIE DE POTÊNCIA ∑1∞(X+1)KK! :
A) 12 e-12,12
B) 1 e-12,12
C) 0 e 12
D) 12 e-1,12
E) ∞ e -∞,∞
2. MARQUE A ALTERNATIVA QUE APRESENTA UMA SÉRIE
TRIGONOMÉTRICA ÍMPAR.
A) ∑0∞1ncosnx-1nsen(nx)
B) ∑0∞n+1cosnx-nsen(nx)
C) ∑0∞ln(nx)
D) ∑0∞1n(x+1)
E) ∑0∞n+1sen(nx)
3. DETERMINE O RAIO E O INTERVALO DE CONVERGÊNCIA,
RESPECTIVAMENTE, DA SÉRIE DE POTÊNCIA ∑1∞ X-2KK+1::
A) 2 e-2,1
B) 1 e-2,1
C) 0 e 2
D) 12 e-1,12
E) ∞ e -∞,∞
4. MARQUE A ALTERNATIVA QUE APRESENTA A SÉRIE DE MACLAURIN
PARA A FUNÇÃO F(X) = (1 – X )– 1
A) fx=1-x+x2-x3+…
B) fx=1+2x+6x2+24x3+…
C) fx=1+x+x2+x3+…
D) fx=1-2x+6x2-24x3+…
E) fx=x+x2+x3+x4+…
5. MARQUE A ALTERNATIVA QUE APRESENTA A SÉRIE DE TAYLOR
PARA A $$FUNÇÃO F(X) = SEN X$$ CENTRADA NO PONTO X=Π6.
A) fx=12-32x-π6-14x-π62-312x-π63-148x-π64+…
B) fx=12+32x-π6-14x-π62-312x-π63+148x-π64+…
C) fx=12+32x-π6+14x-π62+312x-π63+148x-π64+…
D) fx=12+12x-π6-34x-π62-112x-π63+348x-π64+…
E) fx=12+22x-π6-14x-π62-212x-π63+148x-π64+…
6. DETERMINE O RAIO E O INTERVALO DE CONVERGÊNCIA,
RESPECTIVAMENTE, DA SÉRIE DE POTÊNCIA ∑1∞(-2)KXKK4:
A) 12 e-12,12
B) 1 e-12,12
C) 0 e 12
D) 12 e-1,12
E) ∞ e -∞,∞
GABARITO
1. Determine o raio e o intervalo de convergência, respectivamente, da série de potência
∑1∞(x+1)kk! :
A alternativa "E " está correta.
Usando o teste da razão:
an+1an=(x+1)n+1n+1!(x+1)nn!=x+11(n+1)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Vamos analisar limn→∞x+1n+1=0
Assim, o limite é menor do que 1 para todo x, pelo teste da razão será absolutamente
convergente para todo x.
Assim, o raio de convergência será ∞ e o intervalo de convergência será (-∞,∞).
2. Marque a alternativa que apresenta uma série trigonométrica ímpar.
A alternativa "E " está correta.
Uma série trigonométrica ímpar é aquela com forma ∑0∞ansen(nx)
Analisando as opções, a única que apresenta essa forma é a letra e.
A letra a e b apresentam as funções cos(nx) que não são ímpares. As funções da letra c e d
não são funções trigonométricas.
3. Determine o raio e o intervalo deconvergência, respectivamente, da série de potência
∑1∞ x-2kk+1::
A alternativa "C " está correta.
Usando o teste da razão:
an+1an=x-2n+1n+2!x-2nn+1!=(x-2) (n+2)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Vamos analisar limn→∞(x-2) (n+2).
Para x – 2 = 0→x=2→limn→∞(x-2) (n+2)=0, então a série será absolutamente convergente;
Para x≠2→limn→∞(x-2) (n+2)→∞>1, então a série será divergente.
O raio de convergência será zero e o intervalo de convergência será $$x = 2$$.
4. Marque a alternativa que apresenta a série de Maclaurin para a função f(x) = (1 – x )– 1
A alternativa "C " está correta.
SÉRIES DE MACLAURIN
5. Marque a alternativa que apresenta a série de Taylor para a $$função f(x) = sen x$$
centrada no ponto x=π6.
A alternativa "B " está correta.
Necessitamos obter os valores dos coeficientes. Para isso, precisamos das derivadas da
função$$ f(x) = sen (x)$$ e o valor de fπ6=12.
f’(x)=cos(x)→f'π6=32
f’’(x)=–sen(x) →f''π6=-12
f’’’(x)=–cos(x) →f'''π6=-32
f(4)(x)=sen(x) →f(4)π6=12
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
e assim sucessivamente.
A série de Taylor será:
fx=fx0+f'x01!x-x0+f''x02!x-x02+f'''x03!x-x03+…
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Substituindo os valores:
fx=12+32x-π6-14x-π62-312x-π63+148x-π64+…
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
6. Determine o raio e o intervalo de convergência, respectivamente, da série de potência
∑1∞(-2)kxkk4:
A alternativa "A " está correta.
SÉRIES DE POTÊNCIAS
GABARITO
TEORIA NA PRÁTICA
Seja f(x) = 2 ln (x). Utilize a série de Taylor, até seu termo de quarta ordem, centrada no ponto x
= 1, para obter o valor de f(x) nos pontos x = 1 – 0,001 e x = 1 + 0,001.
RESOLUÇÃO
SÉRIE DE TAYLOR
VERIFICANDO O APRENDIZADO
1. DETERMINE O RAIO E O INTERVALO DE CONVERGÊNCIA,
RESPECTIVAMENTE, DA SÉRIE DE POTÊNCIA ∑1∞ X+8KK+3:
A) 2 e-8,1
B) 1 e 1,8
C) 0 e -8
D) ∞ e -8
E) ∞ e -∞,∞
2. MARQUE A ALTERNATIVA QUE APRESENTA A SÉRIE DE MACLAURIN
DA FUNÇÃO F(X) = E5X.
A) fx=1+5x+252x2+1253x3+…
B) fx=1-5x+252x2-1256x3+…
C) fx=1+5x+25x2+125x3+…
D) fx=1+5x+252x2+1256x3+…
E) fx=1+x+x2+x3+…
GABARITO
1. Determine o raio e o intervalo de convergência, respectivamente, da série de potência
∑1∞ x+8kk+3:
A alternativa "C " está correta.
 
Usando o teste da razão:
an+1an=x+8n+1n+4!x+8nn+3!=(x+8) (n+4)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Vamos analisar limn→∞(x+8)(n+4).
Para x + 8 = 0→x=-8→limn→∞(x+8) (n+4)=0. Então, a série será absolutamente convergente;
Para x≠–8→limn→∞(x+8) (n+4)→∞>1 Então, a série será divergente.
O raio de convergência será zero e o intervalo de convergência será $$x = – 8$$.
2. Marque a alternativa que apresenta a série de Maclaurin da função f(x) = e5X.
A alternativa "D " está correta.
 
A série de Maclaurin será:
fx=∑n=0∞f(n)0n!xn=f0+f'01!x+f''02!x2+f'''03!x3+…
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Necessitamos obter os valores dos coeficientes; para isso, precisamos das derivadas da
função f(x) = e5x e o valor de f0=1.
f’(x)=5e5x→f'0=5
f’’(x)=25e5x→f'0=25
f’’(x)=25e5x→f'0=25
f(4n)(x)=625e5x→f'0=625
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
A série de Maclaurin será substituindo os valores
fx=1+5x+252x2+1256x3+…
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
CONCLUSÃO
CONSIDERAÇÕES FINAIS
Esse tema apresentou o conceito das séries.
No primeiro módulo, apresentamos a definição e os conceitos iniciais da série numérica. No
módulo dois, os testes de convergência que permitem verificar se uma determinada série é ou
não convergente. No último módulo, apresentamos duas séries de funções, séries de potências
e séries trigonométricas, de grande aplicação na aproximação de funções.
Assim, esperamos que, ao chegar ao fim desse tema, você tenha capacidade de resolver os
problemas de séries.
AVALIAÇÃO DO TEMA:
REFERÊNCIAS
GUIDORIZZI, H.L. Cálculo. Volume 4. 5. ed. São Paulo: LTC, 2013. cap. 2, p. 15-35, cap. 3, p.
36-65, cap.4, p. 66-74
HALLET H. et al. Cálculo, a uma e a várias variáveis. 5. ed. São Paulo: LTC, 2011. cap. 9,
p.417-454
STEWART, J. Cálculo. Volume 2. 5. ed. São Paulo: Thomson Learning, 2008. cap. 11, p. 698-
791.
EXPLORE+
Pesquise mais sobre equações diferenciais de segunda ordem e suas aplicações na internet e
em nossas referências.
CONTEUDISTA
Jorge Luís Rodrigues Pedreira de Cerqueira
 CURRÍCULO LATTES
javascript:void(0);