Questão resolvida - Determine o volume gerado pela rotação da região em forma de hélice compreendida entre a curva x - y3 O e a reta x - y O, em torno do eixo x - Cálculo I - CSV (adaptada)

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Tiago Lima - Instagram: @professor_disciplinas_exatas
 
• Determine o volume gerado pela rotação da região em forma de hélicecompreendida 
entre a curva e a reta , em torno do eixo x.x - y = 03 x - y = 0
 
Resolução:
 
Primeiro, vamos achar a intercessão entre as curvas; 
 
Para determinar a intercessão, devemos igualar as curvas, vamos isolar x na reta;
 
x - y = 0 x = y→
 
Agora, substituímos na equação da outra curva e resolvemos para y;
 
y - y = 0 y 1 - y = 0 y = 0 ou 1 - y = 03 → 2 → 2
 -y = - 1 × -12 ( )
 y = 1 y = ± 2 → 1 →
 y = ±1
 
Assim, podemos concluir que as curvas se interceptam nos pontos; 0, 0 , 1, 1 e -1, -1 . ( ) ( ) ( )
Isolando y na curva , fica;x - y = 03
 
x - y = 0 -y = - x × -1 y = x y = = x3 → 3 ( ) → 3 → x
1
3
Para saber o comportamento da curva , substituímos valores para x como: y = x
. Temos como resultados;x = ±0, 2; x = ±0, 4 e x = ±0, 8
y = y = ±0, 58±0, 2 →
y = y = ±0, 74±0, 4 →
y = y = ±0, 93±0, 8 →
 
A reta é uma curva simétrica em relação aos eixos coordenados, com isso, podemos x = y
traçar a região que desejamos obter o volume;
 
 
 
3
3
3
3
3
Usando o método das cascas, o volume é dado pela fórmula:
 
V = 𝜋 f x - g x dx
b
a
∫ ( ( ))2 ( ( ))2
Sendo a função de cima, , e g(x) a função de baixo, , os limites de f x( ) y = x
1
3 y = x
integração a e b estão em x e são, respectivamente, 0 e 1 – considerando que as 2 regiões 
são simetricas e iremos multiplicar a integral de uma das área por 2. Substituindo, a integral 
do volume fica:
 
V = 2𝜋 x - x dx = 2𝜋 x - x dx = 2𝜋 - = 2𝜋 -
1
0
∫
1
3
2
( )2
1
0
∫
2
3 2
x
+ 1
+1
2
3
2
3
x
3
3 1
0
x
2 + 3
3
2+3
3
x
3
3 1
0
= 2𝜋 - = 2𝜋 x - = 2𝜋 1 - - 2𝜋 0 - =
x
5
3
5
3
x
3
3 1
0
3
5
5
3
x
3
3 1
0
3
5
( )
5
3
1
3
( )3 3
5
( )
5
3
0
3
( )3
= 2𝜋 ⋅ 1 - = 2𝜋 - = 2𝜋 = 2𝜋
3
5
1
3
3
5
1
3
9 - 5
15
4
15
 
 
 
Gira
V = u. v. 
8𝜋
15
 
 
(Resposta )