ATIVIDADE 4 - cálculo aplicado várias variáveis

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· Pergunta 1
1 em 1 pontos
	
	
	
	A oscilação de uma mola pode ser chamada de movimento harmônico simples , o qual pode ser descrito pela equação  , onde   é uma função do tempo   que indica a posição da massa,   é a massa da mola e   é a constante elástica. Para uma mola de comprimento natural de 0,75 m e 5 kg de massa, é necessária uma força de 25 N para mantê-la esticada até um comprimento de 1 m. Se a mola for solta com velocidade nula ao ser esticada em um comprimento de 1,1 m, qual é a posição da massa após   segundos?
 
Assinale a alternativa correta. (Dica: Lei de Hooke:  ).
 
 
	
	
	
	
		Resposta Selecionada:
	 
.
	Resposta Correta:
	 
.
	Comentário da resposta:
	Resposta correta. A alternativa está correta. O enunciado fornece as seguintes condições:  (a mola no tempo  está esticada em 1,1 m sendo seu comprimento natural de 0,75 m; portanto, está deformada em 0,35 m) e  (a velocidade inicial da mola é nula; lembre que a função velocidade é a derivada primeira da função posição). Pela lei de Hooke, temos que o valor da constante elástica é: . Tomando  e  na EDO , obtemos a EDO . Resolvendo o PVI: ,  e , temos que a solução geral da EDO é  e, portanto, a solução do PVI é 
	
	
	
· Pergunta 2
1 em 1 pontos
	
	
	
	As equações diferenciais lineares e homogêneas de segunda ordem podem ser expressas por meio da seguinte forma:  , onde   e   são funções contínuas. Para resolvermos equações desse tipo, precisamos escrever uma equação auxiliar, a qual é uma equação de segundo grau.
 
Com relação à solução de equações diferenciais lineares e homogêneas de segunda ordem, analise as afirmativas a seguir e assinale V para a(s) Verdadeira(s) e F para a(s) Falsa(s).
 
I. (   ) A equação auxiliar pode apresentar duas raízes reais distintas.
II. (   ) A equação auxiliar sempre apresenta raízes reais.
III. (  ) A equação auxiliar da EDO homogênea de segunda ordem   é expressa por  .
IV. (  ) A equação auxiliar de raízes complexas   e   apresenta como solução a função  .
 
Assinale a alternativa que apresenta a sequência correta:
 
 
	
	
	
	
		Resposta Selecionada:
	 
V, F, F, F.
	Resposta Correta:
	 
V, F, F, F.
	Comentário da resposta:
	Resposta correta. A alternativa está correta. Com base na teoria das equações diferenciais lineares e homogêneas de segunda ordem, temos que, entre as afirmativas apresentadas, apenas a afirmativa I é verdadeira, sendo todas as outras falsas. Portanto, a sequência correta é V, F, F, F.
	
	
	
· Pergunta 3
1 em 1 pontos
	
	
	
	As equações diferenciais podem ser classificadas de acordo com alguns critérios. Por exemplo, podemos classificar uma equação diferencial de acordo com sua ordem e grau. No caso da classificação pela ordem, temos que esta é definida pela ordem da mais alta derivada que aparece na equação, e a classificação pelo grau é dada pelo expoente da derivada de maior ordem que aparece na equação.
 
De acordo com a classificação de ordem e grau, assinale a alternativa correta:
 
 
	
	
	
	
		Resposta Selecionada:
	 
A equação diferencial  é de ordem 1 e grau 1.
	Resposta Correta:
	 
A equação diferencial  é de ordem 1 e grau 1.
	Comentário da resposta:
	Resposta correta. A alternativa está correta. De acordo com as definições de classificação por ordem e grau, temos que a ordem da equação é definida pela “maior derivada” da equação, no caso, a maior derivada é a de ordem 1, . Já a classificação pelo grau é dada pelo expoente da maior derivada, nesse caso, grau 1, pois .
	
	
	
· Pergunta 4
1 em 1 pontos
	
	
	
	Um circuito elétrico simples composto por um resistor  , um indutor   e uma força eletromotriz   (proporcionada por uma pilha ou gerador) pode ser modelado matematicamente por meio da seguinte equação diferencial:  . Sabendo que essa equação é do tipo linear de primeira ordem, considere um resistor de  , uma indutância de   e uma voltagem constante de  .
 
Assinale a alternativa que corresponde ao fator integrante da EDO dada.
 
 
	
	
	
	
		Resposta Selecionada:
	 
.
	Resposta Correta:
	 
.
	Comentário da resposta:
	Resposta correta. A alternativa está correta. O fator integrante de uma EDO linear de primeira ordem  é expresso por . Dada a EDO , temos que  e, portanto, o fator integrante é .
	
	
	
· Pergunta 5
1 em 1 pontos
	
	
	
	De acordo com Stewart (2016, p. 543), “a técnica para resolver as equações diferenciais separáveis foi primeiro usada por James Bernoulli (em 1690) para resolver um problema sobre pêndulos e por Leibniz (em uma carta para Huygens em 1691). John Bernoulli explicou o método geral em um artigo publicado em 1694”.
 
STEWART, J. Cálculo . São Paulo: Cengage Learning, 2016. 2 v.
 
Sabe-se que o método de resolução de uma equação diferencial separável é a integração de ambos os membros da igualdade, assim, assinale a alternativa que corresponde à solução da equação diferencial  .
 
 
	
	
	
	
		Resposta Selecionada:
	 
.
	Resposta Correta:
	 
.
	Comentário da resposta:
	Resposta correta. A alternativa está correta. A equação diferencial dada é uma equação separável. Separando as variáveis  e , podemos reescrever a equação como . Integrando ambos os lados da igualdade, temos .
	
	
	
· Pergunta 6
1 em 1 pontos
	
	
	
	Em um circuito elétrico, tem-se que o gerador fornece uma voltagem constante de   um capacitor com capacitância de   e um resistor com uma resistência de  . Sabe-se que esse circuito pode ser modelado matematicamente por meio da seguinte equação diferencial:  , onde   é a carga, medida em coulombs.
 
Dado que  , assinale a alternativa correta.
 
 
	
	
	
	
		Resposta Selecionada:
	 
A função corrente é expressa por .
	Resposta Correta:
	 
A função corrente é expressa por .
	Comentário da resposta:
	Resposta correta. A alternativa está correta. A função corrente é a derivada da função carga, isto é, . A EDO  é uma equação linear de primeira ordem cuja solução pode ser expressa por . Dada a EDO , temos que  e . Portanto, sua solução geral é . Como , segue que  e, assim, a função carga é expressa por . Por fim, concluímos que a função corrente é .
	
	
	
· Pergunta 7
1 em 1 pontos
	
	
	
	Uma equação diferencial pode ser classificada de acordo com a sua linearidade em equação diferencial linear e equação diferencial não linear . As equações diferenciais lineares são caracterizadas por duas propriedades: Considere que a variável independente é   e a variável dependente é  , temos que: (i) A variável dependente   e todas as suas derivadas são do primeiro grau, isto é, possuem grau 1. (ii) Cada coeficiente depende apenas da variável independente  .
 
Considere a variável   uma função da variável  , isto é,  . Analise as afirmativas a seguir.
 
I. A equação diferencial   é linear.
II. A equação diferencial   é linear.
III. A equação diferencial   é linear.
IV. A equação diferencial   é linear.
 
Assinale a alternativa correta.
 
	
	
	
	
		Resposta Selecionada:
	 
I, III e IV, apenas.
	Resposta Correta:
	 
I, III e IV, apenas.
	Comentário da resposta:
	Resposta correta. A alternativa está correta. De acordo com as condições de linearidade de uma equação diferencial, temos que as afirmativas I, III e IV estão corretas, pois em todas elas temos que a variável dependente  e todas as suas derivadas possuem grau 1, e cada coeficiente depende apenas da variável independente .
	
	
	
· Pergunta 8
1 em 1 pontos
	
	
	
	As equações diferenciais não possuem exatamente uma regra de resolução. O método de resolução de uma equação diferencial depende de algumas características apresentadas pela mesma. Por exemplo, equações diferenciais escritas na forma   são ditas equações diferenciais separáveis e resolvidas usando a integração em ambos os membros da igualdade.
 
Com base no método de resolução de equações diferenciais separáveis, analise as afirmativas a seguir:
 
I. A solução da equação   é  .
II. A solução da equação   é   .
III. A solução da equação   é  .
IV. A solução da equação   é  .
 
É correto o que se afirma em:
 
 
	
	
	
	
		Resposta Selecionada:
	 
I e III, apenas.Resposta Correta:
	 
I e III, apenas.
	Comentário da resposta:
	Resposta correta. A alternativa está correta. Aplicando adequadamente o método de solução nas equações diferenciais separáveis, temos que:
Afirmativa I: correta. Separando as variáveis: . Integrando a equação: , onde .
Afirmativa III: correta. Separando as variáveis: . Integrando a equação: , onde .
	
	
	
· Pergunta 9
1 em 1 pontos
	
	
	
	Um problema de valor inicial (PVI), para equações diferenciais lineares homogêneas de segunda ordem, consiste em determinar uma solução   que satisfaça às condições iniciais da forma   e  . Por meio dessas condições, é possível determinar o valor das constantes obtidas na solução geral.
 
Considere o seguinte PVI:  ,   e  . Analise as afirmativas a seguir:
 
I. A equação auxiliar apresenta duas raízes reais e distintas.
II. A solução do PVI é  .
III. O valor de umas das constantes da solução geral é  .
IV. A EDO dada não é homogênea.
 
É correto o que se afirma em:
 
 
	
	
	
	
		Resposta Selecionada:
	 
I e II, apenas.
	Resposta Correta:
	 
I e II, apenas.
	Comentário da resposta:
	Resposta correta. A alternativa está correta. São verdadeiras as afirmativas I e II, pois:
Afirmativa I: Correta. A equação auxiliar é expressa por , cujas raízes são  (duas raízes reais e distintas).
Afirmativa II: correta. Como a equação auxiliar possui raízes reais e distintas, a saber , a solução geral é expressa por . A partir das condições iniciais, obtemos o seguinte sistema:
(i) 
(ii) 
Resolvendo o sistema, obtemos  e . Portanto, a solução do PVI é .
	
	
	
· Pergunta 10
1 em 1 pontos
	
	
	
	Uma equação diferencial linear de primeira ordem pode ser expressa na forma  , onde   e   são funções contínuas em um dado intervalo. A solução geral para equações diferenciais lineares de primeira ordem é dada pela expressão  .
 
Com base nessa informação, analise as afirmativas a seguir e, na sequência, assinale a alternativa que apresenta a(s) afirmativa(s) correta(s):
 
 
I. A solução geral da equação   é  .
II. A solução geral da equação   é  .
III. A solução geral da equação   é  .
IV. A solução geral da equação   é  .
 
É correto o que se afirma em:
 
 
	
	
	
	
		Resposta Selecionada:
	 
I, II e IV, apenas.
	Resposta Correta:
	 
I, II e IV, apenas.
	Comentário da resposta:
	Resposta correta. A alternativa está correta. Aplicando o método de solução para uma equação diferencial linear, temos:
Afirmativa I: correta. Temos que  e , assim,
.
 
Afirmativa II: correta. Dividindo toda a equação por , temos que  e , assim, .
 
Afirmativa IV: correta. Temos que  e , assim, , onde .
	
	
	
Terça-feira, 30 de Março de 2021 12h54min13s BRT
VV