ATIVIDADE 4 (A4) GRA1594 Cálculo aplicado várias variáveis

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Pergunta 1
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Resposta Correta:
Comentário
da resposta:
A oscilação de uma mola pode ser chamada de movimento harmônico simples ,
o qual pode ser descrito pela equação , onde  é uma função do
tempo  que indica a posição da massa,  é a massa da mola e  é a constante
elástica. Para uma mola de comprimento natural de 0,75 m e 5 kg de massa, é
necessária uma força de 25 N para mantê-la esticada até um comprimento de 1
m. Se a mola for solta com velocidade nula ao ser esticada em um comprimento
de 1,1 m, qual é a posição da massa após  segundos?
 
Assinale a alternativa correta. (Dica: Lei de Hooke: ).
 
 
.
.
Resposta correta. A alternativa está correta. O enunciado fornece as
seguintes condições:  (a mola no tempo  está esticada em
1,1 m sendo seu comprimento natural de 0,75 m; portanto, está deformada
em 0,35 m) e  (a velocidade inicial da mola é nula; lembre que a
função velocidade é a derivada primeira da função posição). Pela lei de
Hooke, temos que o valor da constante elástica é:
. Tomando  e  na EDO
, obtemos a EDO . Resolvendo o PVI:
,  e , temos que a solução geral da
EDO é  e, portanto, a solução do PVI é
Pergunta 2
“Uma equação diferencial linear de segunda ordem tem a forma
, onde  e  são funções contínuas”
(STEWART, 2016, p. 1028). Se , a equação é dita linear homogênea,
caso contrário, se  a equação é dita linear não homogênea.
 
STEWART, J. Cálculo .
São Paulo: Cengage Learning, 2016. 2 v.
 
1 em 1 pontos
1 em 1 pontos
Resposta
Selecionada:
Resposta Correta:
Comentário
da resposta:
Com relação às equações homogêneas, assinale a alternativa correta:
 
 
A equação diferencial  tem solução
.
A equação diferencial  tem solução
.
Resposta correta. A alternativa está correta. Dada a equação diferencial
, escrevemos sua equação auxiliar .
Resolvendo essa equação de segundo grau, obtemos os seguintes valores
para . Como as raízes são distintas, podemos escrever a
solução geral da equação diferencial dada como .
Pergunta 3
Resposta Selecionada:
Resposta Correta:
Comentário da
A solução de uma equação diferencial é uma família de funções, onde cada
função dessa família se diferencia da outra pelo valor de uma constante. Para
verificar se uma função é solução de uma equação diferencial, devemos
substituir a expressão da função e suas derivadas na equação e verificar se vale
a igualdade. Se a igualdade for verdadeira, a função é solução, se não for
verdadeira, não é solução.
 
Com relação à solução de equações diferenciais, analise as afirmativas a seguir:
 
I. A função  é solução da equação diferencial 
.
II. A função  é solução da equação diferencial .
III. A função  é solução da equação diferencial .
IV. A função  é solução da equação diferencial .
 
É correto o que se afirma em:
 
 
II e IV, apenas.
II e IV, apenas.
Resposta correta. A alternativa está correta. De acordo com a de�nição
1 em 1 pontos
resposta: de solução de uma equação diferencial, temos que estão corretas as
a�rmativas II e IV, pois:
A�rmativa II: Correta. Dada a função , temos .
Repare que  Trocando  na equação diferencial, temos:
A�rmativa IV: correta. Dada a função , temos
 e . Trocando ,  e  na equação diferencial,
temos:
.
Pergunta 4
Resposta
Selecionada:
Resposta Correta:
Comentário
da resposta:
Considere uma mola com uma massa de 3 kg e de comprimento natural 0,5 m.
Para esticá-la até um comprimento de 0,8 m, é necessária uma força de 22,5 N.
Suponha que a mola seja esticada até o comprimento de 0,8 m e, em seguida,
seja liberada com velocidade inicial nula. O movimento realizado obedece à
equação diferencial: , onde  é uma função do tempo  que indica a
posição da massa  e  é a constante elástica.
 
Com base na situação descrita, assinale a alternativa correta. (Dica: Lei de
Hooke: ).
 
 
A posição da massa em qualquer momento  é expressa por
A posição da massa em qualquer momento  é expressa
por 
Resposta correta. A alternativa está correta. O enunciado fornece as
seguintes condições:  (a mola no tempo  está esticada em
0,8 m sendo seu comprimento natural de 0,5 m; portanto, está deformada
em 0,3 m) e  (a velocidade inicial da mola é nula; lembre que a
função velocidade é a derivada primeira da função posição). Pela lei de
Hooke, temos que o valor da constante elástica é:
. Tomando  e  na EDO
, obtemos a EDO . Resolvendo o PVI:
1 em 1 pontos
,  e  temos que a solução geral da EDO
é  , portanto, a solução do PVI é
. Portanto,
Pergunta 5
Resposta Selecionada:
Resposta Correta:
Comentário
da resposta:
Um circuito elétrico simples composto por um resistor , um indutor  e uma
força eletromotriz  (proporcionada por uma pilha ou gerador) pode ser
modelado matematicamente por meio da seguinte equação diferencial:
. Sabendo que essa equação é do tipo linear de primeira ordem,
considere um resistor de , uma indutância de  e uma voltagem constante
de .
 
Assinale a alternativa que corresponde ao fator integrante da EDO dada.
 
 
.
.
Resposta correta. A alternativa está correta. O fator integrante de uma
EDO linear de primeira ordem  é expresso por
. Dada a EDO ,
temos que  e, portanto, o fator integrante é
.
Pergunta 6
Uma função é considerada solução de uma equação diferencial se, ao trocarmos
a função e suas derivadas na equação, o resultado obtido for uma igualdade
verdadeira. Uma equação diferencial possui uma infinidade de funções como
solução, caso nenhuma condição seja especificada. Por outro lado, dada uma
condição, obtém-se uma solução particular para a equação diferencial.
 
Considere a equação diferencial . Analise as afirmativas a seguir e
assinale V para a(s) Verdadeira(s) e F para a(s) Falsa(s).
 
I. (   )  Para  temos que  é solução da equação diferencial
dada.
1 em 1 pontos
1 em 1 pontos
Resposta Selecionada:
Resposta Correta:
Comentário da
resposta:
II. (   )  Para  temos que  é solução da equação diferencial
dada.
III. (   ) Para , temos que  é solução da equação
diferencial dada.
IV. (   ) Para , temos que  é solução da equação diferencial
dada.
 
Assinale a alternativa que apresenta a sequência correta:
 
 
V, V, V, F.
V, V, V, F.
Resposta correta. A alternativa está correta. Resolvendo a equação
diferencial, temos que sua solução geral é:
. Assim:
A�rmativa I: Verdadeira. Para , temos que
. Portanto,  é solução da
equação diferencial dada.
A�rmativa II: Verdadeira. Para , temos que
. Portanto,  é solução da
equação diferencial dada.
A�rmativa III: Verdadeira. Para  temos que
. Portanto,  é
solução da equação diferencial dada.
Pergunta 7
Um problema de valor inicial (PVI), para equações diferenciais lineares
homogêneas de segunda ordem, consiste em determinar uma solução  que
satisfaça às condições iniciais da forma  e . Por meio dessas
condições, é possível determinar o valor das constantes obtidas na solução
geral.
 
Considere o seguinte PVI: ,  e . Analise as
afirmativas a seguir:
 
I. A equação auxiliar apresenta duas raízes reais e distintas.
II. A solução do PVI é .
1 em 1 pontos
Resposta Selecionada:
Resposta Correta:
Comentário da
resposta:
III. O valor de umas das constantes da solução geral é .
IV. A EDO dada não é homogênea.
 
É correto o que se afirma em:
 
 
I e II, apenas.
I e II, apenas.
Resposta correta. A alternativa está correta. São verdadeiras as
a�rmativas I e II, pois:
A�rmativa I: Correta. A equação auxiliar é expressa por ,
cujas raízes são  (duas raízes reais e distintas).
A�rmativa II: correta. Como a equação auxiliar possui raízes reais e
distintas, a saber , a solução geral é expressa por
. A partir das condições iniciais, obtemos o seguinte
sistema:
(i) 
(ii) 
Resolvendo o sistema, obtemos  e . Portanto, a solução do
PVI é .
Pergunta 8
A meia-vida é o tempo gasto para metade dos átomos de uma quantidade inicial
 se desintegrar ou se transmutar em átomos de outro elemento. Uma
substância é dita mais estável quando a meia-vida possui um valor elevado.
Esse tipo de problema pode ser modelado pela seguinte equação diferencial:, onde  representa a quantidade de átomos presente na substância e é
uma função do tempo . Uma substância radioativa teve sua quantidade inicial
 reduzida em 0,043% após 15 anos.
 
Com relação a essa informação, analise as afirmativas a seguir:
 
I. O valor da constante de proporcionalidade é .
II. A função que representa o problema descrito é .
III. O tempo de meia-vida dessa substância é de 23.512 anos.
IV. Após 15 anos, a quantidade de substância existente é de .
 
1 em 1 pontos
Resposta Selecionada:
Resposta Correta:
Comentário da
resposta:
É correto o que se afirma em:
 
 
I e II, apenas.
I e II, apenas.
Resposta correta. A alternativa está correta. Resolvendo a equação
diferencial separável , temos que as a�rmativas I e II estão
corretas, pois
, onde .
Para , concluímos que  e, para 
 concluímos . Portanto, a função que representa o
problema descrito é .
Pergunta 9
Resposta Selecionada:
Resposta Correta:
A lei de resfriamento de Newton nos permite calcular a taxa de variação da
temperatura de um corpo em resfriamento. Considere a seguinte situação: Um
cozinheiro fez um bolo de chocolate. Ao retirar do forno, o bolo apresentava uma
temperatura de 150°C. Passados quatro minutos, essa temperatura caiu para 90
°C. Sabendo que a temperatura do ambiente é de 25°C, calcule quanto tempo
levará para que o bolo esfrie até a temperatura de 30 °C.
 
Assinale a alternativa correta.
 
 
15 minutos.
20 minutos.
0 em 1 pontos
Comentário
da resposta:
Sua resposta está incorreta. A alternativa está incorreta. A equação de
resfriamento do bolo pode ser descrita pela equação diferencial
 onde  e a solução geral é
. São fornecidas as seguintes informações:  e ,
as quais possibilitam encontrar o valor das constantes  e . De
, temos . De , temos . Portanto, a
função temperatura do bolo é  e o tempo , em
minutos, que o bolo leva para atingir a temperatura de 30ºC é
.
Pergunta 10
Resposta Selecionada:
Resposta Correta:
Comentário
da resposta:
De acordo com Stewart (2016, p. 543), “a técnica para resolver as equações
diferenciais separáveis foi primeiro usada por James Bernoulli (em 1690) para
resolver um problema sobre pêndulos e por Leibniz (em uma carta para
Huygens em 1691). John Bernoulli explicou o método geral em um artigo
publicado em 1694”.
 
STEWART, J. Cálculo . São Paulo: Cengage Learning, 2016. 2 v.
 
Sabe-se que o método de resolução de uma equação diferencial separável é a
integração de ambos os membros da igualdade, assim, assinale a alternativa
que corresponde à solução da equação diferencial .
 
 
.
.
Resposta correta. A alternativa está correta. A equação diferencial dada é
uma equação separável. Separando as variáveis  e , podemos
reescrever a equação como . Integrando ambos
os lados da igualdade, temos
.
1 em 1 pontos