Cônicas: Elipse, Hipérbole e Parábola

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CAPÍTULO 1- Seções Cônicas
As curvas obtidas pela interseção de um plano com um cone são chamadas
cônicas. Quando o plano intersepta o cone nas suas 2 folhas, a cônica obtida
é uma hipérbole. Quando o plano é paralelo a uma geratriz do cone, a curva é
uma parábola. E quando o plano não é paralelo a uma geratriz mas intercepta
o cone em uma só folha, a curva obtida é uma elipse ou uma circunferência.
Neste caṕıtulo nós descreveremos geometricamente as cônicas e determinare-
mos suas equações cartesianas. Em seguida, mostraremos que uma curva
plana dada por uma equação cartesiana do segundo grau nas variáveis x e y
é necessariamente uma cônica.
1. Descrição Geométrica das Cônicas
1.1. Elipse
Uma elipse é o lugar geométrico dos pontos cuja soma das distâncias a dois
pontos fixos é constante. Esses pontos fixos são chamados focos da elipse, e o
ponto médio desses focos é o centro da elipse. Vamos a seguir obter a equação
geral de uma elipse cujo centro coincide com a origem do sistema cartesiano
e cujos focos estão sobre o eixo x.
Denotemos por 2c a distância entre os focos e por 2a a soma das distâncias de
um ponto da elipse aos focos. Nesse sistema de coordenadas, os dois focos são
(−c, 0) e (c, 0). Portanto a soma das distâncias de um ponto (x, y) qualquer a
esses focos é
√
(x+ c)
2
+ y2 +
√
(x− c)2 + y2 . A equação da elipse é então
dada por √
(x+ c)
2
+ y2 +
√
(x− c)2 + y2 = 2a.
Essa equação pode ser simplificada se eliminarmos os radicais. Para isto,
colocamos um radical em cada membro da equação acima e elevamos ao
quadrado, obtendo
(x+ c)
2
+ y2 =
(
2a−
√
(x− c)2 + y2
)2
= 4a2 + (x− c)2 + y2 − 4a
√
(x− c)2 + y2.
Logo
4xc = 4a2 − 4a
√
(x− c)2 + y2,
e portanto
a2
[
(x− c)2 + y2
]
=
(
a2 − xc
)2
.
Conclúımos que
a2x2 + a2c2 + a2y2 = a4 + c2x2.
Para simplificar mais ainda esta equação, introduzimos o parâmetro b =√
a2 − c2. Esse parâmetro pode ser interpretado geometricamente como a
metade do comprimento do eixo menor da elipse. A equação fica então
b2x2 + a2y2 = a2b2,
ou equivalentemente
x2
a2
+
y2
b2
= 1.
Figure 1. Uma elipse com a = 2 e b = 1.
1.2. Hipérbole
Uma hipérbole é o lugar geométrico dos pontos cuja diferença a dois pon-
tos fixos é constante. Esses pontos fixos são chamados focos da hipérbole,
e o ponto médio dos focos é o centro da hipérbole. Denotemos por 2c a
distância entre os focos e por 2a a diferença entre as distâncias de um ponto
da hipérbole aos focos. Sendo F1 e F2 os focos, um ponto P do plano está na
hipérbole se
d(P, F1)− d(P, F2) = 2a
ou então
d(P, F2)− d(P, F1) = 2a.
Cada uma das igualdades acima define um ramo da hipérbole. A hipérbole
é portanto constitúıda de 2 ramos. Vamos a seguir obter a equação geral de
uma hipérbole cujo centro coincide com o centro do sistema cartesiano e cujos
focos estão sobre o eixo x.
Nesse sistema de coordenadas, os dois focos são F1 = (−c, 0) e F2 = (c, 0).
Se P = (x, y) é um ponto da hipérbole, então satisfaz a alguma das equações
acima e portanto√
(x+ c)
2
+ y2 −
√
(x− c)2 + y2 = ±2a.
2
Esta equação da hipérbole pode ser simplificada. Procedendo como acima
obtemos a equação
a2x2 + a2c2 + a2y2 = a4 + c2x2.
A diferença desta equação para a equação da elipse é que nesse caso a < c.
Definimos então o parâmetro b =
√
c2 − a2. A interpretação geométrica deste
parâmetro será vista mais adiante. Utilizando este parâmetro a equação acima
se reduz a
b2x2 − a2y2 = a2b2
ou equivalentemente
x2
a2
− y
2
b2
= 1.
Um fato importante relativo as hipérbole é que elas possuem 2 asśıntotas incli-
nadas. São as retas y = ± bax . Esse fato nos permite interpretar o parâmetro
b como um número que define as direções assintóticas da hipérbole. A demon-
stração de que essas retas são de fato asśıntotas da hipérbole é deixada como
exerćıcio para o aluno.
Figure 2. Uma hipérbole com a = 2 e b = 1.
1.3. Parábola
Uma parábola é o lugar geométrico dos pontos do plano equidistantes de
um ponto e de uma reta fixos. O ponto é chamado foco e a reta diretriz da
parábola. O ponto da parábola que está na reta que passa pelo foco e é per-
pendicular a diretriz é o centro da parábola. Vamos a seguir obter a equação
de uma parábola cujo centro coincide com o centro do sistema cartesiano,
cujo foco está sobre o eixo x e cuja diretriz é perpendicular ao eixo x.
3
Nesse sistema de coordenadas, o foco tem coordenadas (p2 , 0) e a diretriz
tem equação x = −p2 , onde estamos denotando por p a distância do foco
a diretriz. Se (x, y) é um ponto da parábola, então equidista do foco e da
diretriz, e portanto √(
x− p
2
)2
+ y2 = x+
p
2
Elevando ao quadrado obtemos
y2 = 2px
que é a equação da parábola.
Figure 3. Uma parábola com p = 1.
2. Equações do Segundo Grau em 2 Variáveis
As curvas dadas por equações do segundo grau nas variáveis x e y podem
ser circunferências, elipses, parábolas ou hipérboles. Em alguns casos, essas
curvas podem se degenerar em retas ou pontos.
Antes de analisar a equação geral do segundo grau, vejamos alguns exemplos:
Exemplo 1: A equação
(x− x0)2 + (y − y0)2 = R2
corresponde à uma circunferência de centro (x0, y0) e raio R.
Exemplo 2: A equação
(x− x0)2
a2
+
(y − y0)2
b2
= 1
corresponde à uma elipse de centro (x0, y0) e eixos principais x e y. O valor
dos semi-eixos é a e b, respectivamente.
Exemplo 3: A equação
(x− x0)2
a2
− (y − y0)
2
b2
= 1
corresponde à uma hipérbole de centro (x0, y0) e eixos principais x e y. O
semi-eixo na direção x é a e o coeficiente angular das asśıntotas é ± ba .
4
Exemplo 4: A equação
y = y0 + 4p(x− x0)2
corresponde à uma parábola de eixo vertical e centro (x0, y0). A distância do
foco a diretriz é p.
Exemplo 5: A equação
(x− x0)2 = 1
corresponde à um par de retas verticais.
Uma equação geral do segundo grau pode ser escrita na forma
Ax2 + 2Bxy + Cy2 +Dx+ Ey + F = 0
Vamos analisar primeiro equações do segundo grau com B = 0. Se A e C
forem simultaneamente 0, a equação acima é na verdade do primeiro grau
e a curva representada por ela é uma reta. Dividiremos a nossa análise em
diversos casos, levando em conta os sinais de A e C.
Caso 1: A = 0 ou C = 0.
Analisaremos agora o caso em que C = 0 e A 6= 0. O caso em que C 6= 0 e
A = 0 é análogo, bastando inverter-se os papéis de x e y.
Nessa situação, a equação acima se reduz à
Ax2 +Dx+ Ey + F = 0
que pode ser reescrita na forma
A(x+
D
2A
)2 + Ey =
D2
4A
− F
Caso E 6= 0, esta é a equação de uma parábola. Caso E = 0, devemos ver o
sinal de D
2
4A2 −
F
A . Se este número for positivo, a equação representa 2 retas
verticais, se for 0, representa 1 reta vertical e se for negativo a equação não
é satisfeita por nenhum ponto do plano.
No caso de A e C serem não nulos, podemos reescrever a equação do segundo
grau como
A(x+
D
2A
)2 + C(y +
E
2C
)2 =
D2
4A
+
E2
4C
− F
Caso 2: A e C têm o mesmo sinal.
Analisaremos o caso em que A > 0 e C > 0. No caso desses números serem
negativos, multiplicamos a equação toda por −1.
Nesse caso, temos que considerar o sinal de D
2
4A +
E2
4C − F. Se esse número
for negativo, a equação não é satisfeita em nenhum ponto do plano e se for
0 a equação representa um único ponto. No caso de ser um número positivo,
a equação representa uma elipse, e se além disso, A = C, essa elipse é na
verdade uma circunferência.
5
Caso 3: A e C têm sinais opostos.
Neste caso, a equação representa uma hipérbole exceto quando D
2
4A +
E2
4C−F =
0, caso em que a equação representa na verdade um par de retas concorrentes.
Voltemos a considerar agora a equação geral do segundo grau, com B 6= 0.
Mostraremos à seguir que através de uma rotação de eixos podemos voltar
ao caso anterior com B = 0.
Utilizaremos agora uma notação matricial, que encurta as fórmulas e que
nos permite utilizar a teoria de auto-valorese auto-vetores de uma matriz
simétrica. Apesar de ser posśıvel chegar aonde queremos sem usar matrizes,
optamos por esse caminho por ser mais simples e claro, além de fazermos
uma conexão com a álgebra linear.
Uma rotação de ângulo α no plano xy corresponde a mudança de coordenadas
dada por {
x = cosα u− sinα v
y = sinα u+ cosα v
Em notação matricial escrevemos[
x
y
]
=
[
cosα − sinα
sinα cosα
] [
u
v
]
Ao fazermos uma rotação de eixos, a parte linear da equação original continua
linear e portanto a parte quadrática da equação no sistema de coordenadas
(u, v) provém somente da parte quadrática
Q(x, y) = Ax2 + 2Bxy + Cy2
Em termos matriciais temos
Q(x, y) =
[
x y
] [ A B
B C
] [
x
y
]
Observemos que a matriz
M =
[
A B
B C
]
é simétrica. A teoria das matrizes simétricas nos diz que M possui 2 autoval-
ores reais, e que podemos tomar autovetores correspondentes formando uma
base ortonormal. Se denotamos por
[
cosα
sinα
]
um desses autovetores, o outro
autovetor será
[
− sinα
cosα
]
e matriz
[
cosα − sinα
sinα cosα
]
diagonaliza a matriz
M, i.e.,[
cosα sinα
− sinα cosα
] [
A B
B C
] [
cosα − sinα
sinα cosα
]
=
[
A 0
0 C
]
onde A e C são os autovalores de M.
6
No sistema (u, v), a parte quadrática da equação original se transforma então
em
Q(u, v) = Au2 + Cv2
como queŕıamos verificar.
Observemos que o determinante de M é ∆ = AC − B2 e também é igual a
AC. Portanto, podemos concluir que se ∆ = 0, estamos no caso 1 acima, e
a equação pode representar uma parábola, um par de retas paralelas, uma
reta ou então nada. Se ∆ > 0, estamos no caso 2 acima, e a equação pode
representar uma elipse ou circunferência, um ponto ou então nada. Se ∆ < 0,
estamos no caso 3, e a equação pode representar uma hipérbole ou um par
de retas concorrentes.
Se quisermos determinar explicitamente o valor de α que diagonaliza a matriz
M , multiplicamos as matrizes do primeiro membro desta equação e igualamos
o elemento da linha 1 e coluna 2 a 0. Temos então
(A cosα+B sinα)(− sinα) + (B cosα+ C sinα)(cosα) = 0
e portanto
B cos(2α) = (A− C) sin(2α)
2
.
Assim, se A = C, escolhemos α = 450. Se A 6= C, escolhemos α satisfazendo
a equação
tan(2α) =
2B
A− C
.
Exemplo 6: Considere a equação xy = 1. Para eliminarmos o termo em xy,
faremos uma rotação de 450 no plano xy. As fórmulas para tal rotação são{
x =
√
2
2 ( u− v)
y =
√
2
2 ( u+ v)
.
Substituindo estas fórmulas na equação acima obtemos
u2 − v2 = 2,
que é a equação de uma hipérbole.
Figure 4. Hipérbole do Exemplo 6.
7
Exemplo 7: Considere a equação 3x2 +
√
3xy + 2y2 + x −
√
3y = 0. Para
eliminarmos o termo em xy, consideramos uma rotação de ângulo α com
tan(2α) =
√
3 . Escolhemos então α = 300. As fórmulas para tal rotação são{
x =
√
3
2 u−
1
2 v
y = 12 u+
√
3
2 v
.
Substituindo estas fórmulas na equação acima obtemos
7u2 + 3v2 − 4v = 0.
Completando quadrados obtemos,
7u2 + 3(v − 2/3)2 = 4/3.
que é a equação de uma elipse centrada em (u, v) = (0, 2/3) e com a = 221
√
21,
b = 2/3.
Figure 5. Elipse do Exemplo 7.
3. Exerćıcios
1. Esboce o gráfico das seguintes cônicas:
(a) (x+ 1)2 + 3(y + 2)2 = 1
(b) y − 1 = (x− 3)2
(c) x
2
4 − (y + 2)
2 = 1
(d) x2 + x+ y2 + 2y = 0
(e) 3x2 + 12x+ y2 = 8
(f) x2 − 2x− y2 + y = 2
2. Esboce os gráficos das cônicas abaixo:
(a) x2 + xy + y2 = 1 (R: elipse, α = 450, a =
√
6/3, b =
√
2 )
(b) x2 +
√
3xy + 2y2 = 4 (R: elipse, α = 600, a =
√
8/5, b =
√
8 )
(c) xy +
√
2x = 1 (R: hipérbole, α = 450, a = 2, b = 2, centrada em
(u, v) = (−1,−1))
(d) x2 +
√
3xy = 1 (R: hipérbole, α = 300, a =
√
2/3, b =
√
2 )
(e) x2 + 2xy + y2 + 4
√
2x = 2 (R: parábola, α = 450, p = 1 centrada
em (u, v) = (−1,−1) )
8
3. Determine a equação das cônicas abaixo:
(a) hipérbole centrada na origem com eixo de comprimento 4 fazendo
um ângulo de 450 com o eixo x e com asśıntotas nas direções dos
eixos x e y. (R: xy = 2)
(b) elipse centrada na origem, eixo maior 6 e eixo menor 2, eixo maior
fazendo um ângulo de 300 com o eixo x. (R: 13x
2+ 79y
2− 4
√
3
9 xy = 1)
(c) parábola centrada no ponto (−1, 1) e tendo como diretriz a reta
y = x. (R:x2 + 2xy + y2 + 8x− 8y + 16 = 0)
4. Interceptando-se o cone x2 + y2 = z2 por um plano obtemos uma
cônica. Identifique a cônica em cada caso:
(a) z − 3y = 6 (R: hipérbole)
(b) 2z = y − 1 (R:elipse )
(c) z = y + 1 (R: parábola )
(d) z = 2 (R:circunferência )
5. Trace as seções cônicas degeneradas abaixo:
(a) x2 − 2xy + y2 = 0 (R: reta x = y )
(b)
√
3x2−2xy−
√
3y2 = 0. (R: Par de retas x =
√
3y e y = −
√
3x)
(c) x2 + 14y
2 − 2x− y + 2 = 0. (R: Ponto P = (1, 2) )
6. Determine a equação da elipse centrada na origem, cujo eixo maior tem
comprimento 4 fazendo um ângulo de π4 com o eixo x e cujo eixo menor
mede 2. (R: 5x2 + 5y2 − 6xy = 8 ou 32 )
7. Esboce o gráfico da cônica dada pela equação 2x2 +
√
3xy + y2 + x =
4
5 .(R: Em um sistema rotacionado de 30
0, a equação fica 52 (X +
√
3
10 )
2
+
1
2 (Y −
1
2 )
2
= 1 )
8. Considere as cônicas C1 e C2 cujas equações são x
2 + y2 − 1 = 0 e
x2 + y2 − 10x+ 9 = 0.
(a) Esboce as cônicas C1 e C2.
(b) Determine os coeficientes angulares das retas tangentes comuns a
C1 e C2.
(c) Determine as equações de todas as retas tangentes comuns a C1 e
C2.Prove que as retas y = ± bax são asśıntotas da hipérbole
x2
a2
− y
2
b2
= 1
(Dica: Reescreva a equação da hipérbole na forma x
2
y2 =
a2
b2 +
a2
y2 )
9. Considere a elipse x
2
a2 +
y2
b2 = 1, e sejam Ca e Cb ćırculos centrados
na origem de raios a e b, respectivamente. Sejam pa e pb a interseção
de uma semi-reta que parte da origem com Ca e Cb, respectivamente.
Mostre que a reta horizontal que passa por pa intersecta a reta vertical
que passa por pb em um ponto da elipse.
10. Reflexão de uma reta focal em uma cônica:
(a) Mostre que a reta normal a elipse em um ponto é bissetriz do
ângulo formado pelos segmentos que unem esse ponto aos focos.
9
(b) Mostre que a reta tangente a hipérbole em um ponto é bissetriz do
ângulo formado pelos segmentos que unem esse ponto aos focos.
(c) Mostre que a reta normal a parábola em um ponto é bissetriz do
ângulo formado pela perpendicular a diretriz passando pelo ponto
e pelo segmento que une esse ponto ao foco.
11. Excentricidade de uma cônica: Dada uma cônica qualquer, o número e =
c
a é chamado excentricidade da cônica. No caso de uma circunferência,
e = 0, no caso de uma elipse, 0 < e < 1, e no caso de uma hipérbole
e > 1. No caso de uma parábola definimos a excentricidade como sendo
1.
(a) Seja l uma reta perpendicular ao eixo maior de uma elipse E, a
uma distância ae do seu centro, e seja F o foco de E mais próximo
de l. Mostre que a razão entre as distâncias de um ponto de E ao
foco F e a reta l é constante e igual a e. A reta l é chamada diretriz
da elipse.
(b) Seja l uma reta perpendicular ao eixo de uma hipérbole H, a uma
distância ae do seu centro, e seja F o foco de H mais próximo de l.
Mostre que a razão entre as distâncias de um ponto de H ao foco
F e a reta l é constante e igual a e. A reta l é chamada diretriz da
hipérbole.
12. Considere uma cônica de excentricidade e e distância p entre o foco e a
diretriz. Suponha que a origem do sistema de coordenadas coincida com
o foco da cônica e que a diretriz esteja perpendicular ao eixo x. Mostre
que a equação polar dessa cônica é
r =
ep
1− e cos θ
10