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Engenharia Elétrica
ETAPA VI
Edição Uniube
Uberaba
2010
Anderson dos Santos Morais
Fernando de Melo Lopes
Kety Rosa de Barros
Luiz Fernando Resende dos Santos Anjo
Thiago Bruno Caparelli
UNIVERSIDADE DE UBERABA
Volume 1
© 2010 by Universidade de Uberaba
Todos os direitos reservados. Nenhuma parte desta publicação poderá ser 
reproduzida ou transmitida de qualquer modo ou por qualquer outro meio, 
eletrônico ou mecânico, incluindo fotocópia, gravação ou qualquer outro tipo de 
sistema de armazenamento e transmissão de informação, sem prévia autorização, 
por escrito, da Universidade de Uberaba.
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Pró-Reitor de Educação a Distância:
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Produção de Material Didático:
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• Subcomissão de Produção
Editoração
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Edição
Universidade de Uberaba
Av. Nenê Sabino, 1801 – Bairro Universitário
Dados Internacionais de Catalogação na Publicação (CIP) 
(Câmara Brasileira do Livro, SP, Brasil)
 Universidade de Uberaba 
 U3e Engenharia Elétrica / Universidade de Uberaba; 
organização [de] Adriana Rodrigues, Raul Sérgio Reis 
Rezende. -- Uberaba: Universidade de Uberaba, 2010
 XX p. – (Série Tecnologias; etapa VI, v.1) 
Produção e supervisão: Programa Educação a Distância 
– Universidade de Uberaba
 
ISBN
1. Engenharia Elétrica 2. Educação a distância 3. 
Semicondutores 4. Circuitos. 5. Fenômeno dos transportes 
I. Rodrigues, Adriana; Rezende, Raul Sérgio Reis. II. 
Universidade de Uberaba. Programa de Educação a 
Distância. III. Título. IV. Série.
 
 CDD= 621.3
Anderson dos Santos Morais
Mestre em Engenharia Química. Graduado em Engenharia de Alimentos. 
Professor de Fenômenos de Transporte e Física 1 dos cursos de Engenharias da 
UNIUBE. Experiência na área de Engenharia Química, com ênfase em Processos 
de Separação e Cristalização, atuando, principalmente, nos seguintes temas: 
qualidade, processos químicos, ácido cítrico, cana e resíduo.
Fernando de Melo Lopes
Graduado pela UNIUBE em Engenharia Elétrica com especialidade em 
telecomunicações, professor da UNIUBE, engenheiro eletricista do Shopping 
Uberaba responsável pela área de manutenção, ar condicionado e obras, cursos 
de eletrônica.
Kety Rosa de Barros
Mestre (2006) em Engenharia Biomédica pela Universidade Federal de Uberlândia, 
com experiência em desenvolvimento de hardware e software para aquisição 
e processamentos de sinais biomédicos. Graduada em engenharia elétrica 
pela Universidade Federal de Uberlândia (UFU). Professora na Universidade 
de Uberaba atuando nas áreas de eletricidade, eletrônica, telecomunicações e 
inteligência artifi cial.
Luiz Fernando Resende dos Santos Anjo
Doutor em Engenharia Civil pela Universidade Estadual de Campinas (2008). 
Mestre em Engenharia Civil pela Universidade Estadual de Campinas (2003). 
Graduado em Engenharia Civil pela Universidade de Uberaba (2000). É professor 
da Universidade de Uberaba UNIUBE e das Faculdades Associadas de Uberaba 
FAZU.
Thiago Bruno Caparelli
Mestre (2007) em Engenharia Biomédica pela Universidade Federal de Uberlândia, 
com experiência em desenvolvimento de sistemas de telemetria para aquisição 
e processamento de sinais biológicos. Graduado em engenharia elétrica pela 
Universidade Federal de Uberlândia (UFU). Professor na Universidade de Uberaba 
nas áreas de eletrônica, microprocessadores, redes de comunicação e automação 
industrial.
Sobre os autores
5
Apresentação
Prezado(a) aluno(a)
Você está recebendo este livro, da UNIUBE – Universidade de Uberaba, ofertado 
na modalidade a distância.
Nos capítulos que compõem este livro, veremos os conteúdos de semicondutores, 
materiais magnéticos e ópticos, entendendo como é a estrutura física de cada um 
destes materiais, assim como suas principais características e suas aplicações.
Em seguida, aprenderemos como são construídos os transistores de efeito de 
campo, conhecidos mais comumente como, FET’s, e suas formas de utilização. 
Aprenderemos também sobre os circuitos de segunda ordem, um pouco mais 
complexos que os de primeira ordem, já vistos anteriormente, e que são de 
fundamental importância para nos dar uma base técnica e matemática para 
disciplinas futuras. 
Os capítulos seguintes, estática e dinâmica dos fl uidos e sistemas elevatórios, 
contemplarão a parte de fenômenos de transporte de fl uidos, nos quais poderemos 
ver os fatores que infl uenciam no escoamento e no comportamento de um fl uido, 
e o que é necessário fazer para movê-lo através da gravidade. 
Por último, veremos os processos conhecidos como transferência de calor e massa, 
nos quais poderemos aprender como o calor e a massa são transferidos de um 
corpo para o outro e o que é necessário para que isso ocorra. O conjunto dessas 
teorias fornecerá uma estrutura concreta de conhecimento que será aplicada em 
sua vida acadêmica e profi ssional.
A seguir, vamos enumerar os capítulos que compõem este material.
1 – Semicondutores, materiais magnéticos e ópticos
2 – Transistores de Efeito de Campo (FET)
3 – Circuitos de Segunda Ordem
4 – Estática e Dinâmica dos Fluidos
5 – Sistemas Elevatórios
6 – Transferência de Calor e Massa
Contamos com o seu esforço e dedicação, para que a interação entre você, aluno, 
professores, preceptores e gestores do curso seja de forma síncrona em relação 
ao conteúdo ministrado e ao aprendido.
Será um prazer poder ajudá-lo(a). Pode contar conosco! Sucesso aos seus 
estudos!
Luiz Pessoa Vicente Neto
Gestor do curso de Engenharia Elétrica, modalidades presencial e a distância.
UNIUBE – Universidade de Uberaba
7
Sumário
Capítulo 1 
Semicondutores, materiais magnéticos e ópticos 09
Capítulo 2
Circuitos de segunda ordem 55
Capítulo 3
Transistores de efeito de campo (FETs) 135
Capítulo 4
Estática e dinâmica dos fl uidos 175
Capítulo 5
Sistemas elevatórios 231
Capítulo 6
Transferência de calor e massa 255
Referencial de Respostas 281
9
SEMICONDUTORES, 
MATERIAIS MAGNÉTICOS 
E ÓPTICOS
Organizamos esse capítulo em três partes, considerando três eixos que são: 
Materiais semicondutores, Magnéticos e Ópticos.
Em relação aos materiais semicondutores vocês estudarão desde a estrutura 
atômica do material semicondutor, o silício (Si) e o Germânio (Ge) importantes 
semicondutores usados na fabricação de dispositivos eletrônicos, como por 
exemplo: o diodo de junção, o transistor de junção bipolar, o transistor de 
efeito de campo e circuitos integrados em geral.
Em relação aos materiais magnéticos, serão abordados os princípios físicos 
que geram a ação eletromagnética, e as principais utilizações deste fenômeno 
nos equipamentos elétricos.
Em relação aos materiais ópticos, será estudado o princípio da transmissão 
da luz, e as vantagens que este tipo de condução traz para os sistemas de 
comunicação.
1
Kety Rosa de Barros
Thiago Bruno Caparelli
Introdução
Objetivos
Ao fi nal do estudo deste capítulo, esperamos que você seja capaz de:
identifi car as características dos condutores e dos semicondutores a 
nível atômico;
compreender a estrutura do cristal de Silício, principal semicondutor, 
usado na construção dos modernos dispositivos eletrônicos;
descrever os cristais P, N e a junção PN;
descrever o funcionamento do Diodo de junção: os modelos para 
análise e a reta de carga;
reconhecer e analisar os circuitos retifi cadores a diodo;
descrever a origem do comportamento magnético dos materiais, e 
explicar como os diferentes materiais reagem ao campo magnético;
calcular o valor do fl uxo magnético em um determinado material;
•
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•
•
10
Esquema
defi nir materiais adequados para uma determinada aplicação, a partir de 
seu comportamento magnético;
aplicar os conceitos de magnetismo nos diversos instrumentos elétricos;
explicaro conceito de onda eletromagnética, e suas características;
defi nir o ângulo crítico de condução de feixes luminosos;
reconhecer os diversos tipos de materiais ópticos;
identifi car aplicações para os diversos tipos de materiais ópticos.
•
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I - Materiais semicondutores
1. Estrutura atômica e conceitos gerais
2. Semicondutores
2.1. Dopagem de um semicondutor
2.1.1. Semicondutor tipo N e tipo P 
2.2. Junção PN - o diodo
2.3. Polarização do diodo
3. O diodo
3.1. Curva característica e análise por reta de carga
3.1.1. Reta de carga
4. Retifi cadores a diodo
4.1. Retifi cador em meia onda
4.2. Retifi cador em onda completa com derivação central
4.3. Retifi cador em onda completa – ponte de diodos
II- Materiais magnéticos
1. Introdução
2. Comportamento magnético
3. Curvas de magnetização e histerese
4. Aplicações em engenharia
4.1 Bobinas
4.2 Relés
4.3 Contatores
4.4 Disjuntores
II - Materiais ópticos
1. Histórico
2. Princípios básicos
2.1 A onda eletromagnética
2.2 Índice de refração
2.3 Polarização da onda eletromagnética
2.4 Ângulo crítico
3. Tipos de materiais ópticos
4. Aplicações de materiais ópticos em engenharia
11
4.1 Fototransmissores
4.2 Fotorreceptores
4.3 Acopladores ópticos
4.4 Fibras ópticas 
I- Materiais semicondutores
1 Estrutura atômica e conceitos gerais
A análise dos modernos dispositivos eletrônicos se inicia a partir do estudo dos 
materiais dos quais esses elementos são formados. É de extrema importância que 
se conheça a origem da composição do material e sua estrutura fundamental, o 
átomo.
Basicamente, o átomo é composto de um núcleo central contendo uma ou mais 
partículas carregadas positivamente denominadas prótons e esse núcleo é rodeado 
por partículas carregadas negativamente denominadas elétrons (Figura 1).
Figura 1: Estrutura do átomo
Fonte: http://www.grupoescolar.
com/materia/o_que_e_um_atomo.html
O átomo “completo” é eletricamente neutro, pois o número de prótons é igual 
ao número de elétrons e a carga positiva de cada próton é igual, em módulo, 
à carga negativa do elétron (tabela 1).
Tabela 1: Mostra o valor relativo dos componentes atômicos
Natureza Carga Relativa Massa Relativa
Próton Positiva +1 1
Nêutron - 0 1
Elétron Negativa -1 1/1836
Fonte: Acervo dos autores.
Os elétrons giram ao redor do núcleo em até 7 camadas, ou níveis de energia 
denominados K,L,M,N,O,P e Q. Tais camadas ou níveis de energia são formados 
de subcamadas (subníveis de energia) designadas pelas letras s, p, d, f (tabela 2).
12
Tabela 2: Mostra os níveis e subníveis atômicos e o número máximo de elétrons em cada 
camada.
Nível K (n=1) L (n=2) M (n=3) N (n=4) O (n=5) P (n=6) Q (n=7)
Subnível 1s 2s 2p 3s 3p 3d 4s 4p 4d 4f 5s 5p 5d 5f 6s 6p 6d 7s
Ne (max) 2 6 18 32 32 18 2
Fonte: Acervo dos autores.
A ordem crescente de energia dos subníveis é defi nida segundo o diagrama de 
Linus Pauling (fi gura 2) e pode ser a assim escrita:
1s2, 2s2, 2p6, 3s2, 3p6, 4s2, 3d10, 4p6, 5s2,4d10, 5p6, 6s2, 4f14, 5d10, 6p6, 7s2, 5f14, 
6d10.
O sentido das fl echas indica a 
ordem crescente de energia.
Figura 2: Diagrama de Linus Pauling
Fonte: http://www.vestibulandoweb.com.br/
quimica/teoria/distribuicao-eletronica.asp
Camada de valência: é a última camada da distribuição eletrônica e contem o 
subnível mais energético. Segundo a denominada “Teoria do Octeto”, a camada 
de valência necessita, na grande maioria dos átomos, de 8 elétrons para que o 
mesmo atinja a estabilidade. Quando esta não acontece os átomos realizam as 
chamadas ligações químicas se tornando estáveis.
Embora os elétrons tenham a tendência de permanecer em suas camadas, devido 
à atração exercida pelo núcleo (carregado positivamente), alguns desses elétrons 
adquirem energia necessária para se desprender do núcleo e se tornam elétrons 
livres.
13
Mas o que esses fatos implicam na condutividade de um elemento?
Bem, os elementos condutores possuem uma grande quantidade de elétrons livres 
enquanto que os isolantes possuem poucos. Logo, podemos defi nir: 
Material condutor: Possui, em geral 1 (um) elétron de valência que é 
levemente atraído pelo seu núcleo. Uma força externa pode facilmente 
arrancar tal elétron livre do átomo. A menor tensão aplicada pode fazer com 
que o elétron livre de um condutor circule de um átomo para outro o que 
equivale a dizer que esses materiais possuem alta condutividade.
Exemplos: Cobre, Ouro, Prata. 
Material isolante: apresentam os elétrons de valência rigidamente ligados 
aos seus átomos, ou seja, possuem baixa condutividade. Exemplos: 
borracha, mica e tefl on.
Material semicondutor: possui 4 (quatro) elétrons e um nível de 
condutividade entre os extremos de um isolante e um condutor. Exemplos: 
Silício e Germânio
2 Semicondutores
A fi gura 3 nos mostra um diagrama do átomo de silício (Si), principal componente 
semicondutor utilizado na construção de dispositivos eletrônicos, como por 
exemplo, os diodos e os transistores, mostrando seu núcleo contendo 14 prótons, 
14 nêutrons e a eletrosfera (camadas onde se localizam os elétrons).
•
•
•
Figura 3: Estrutura atômica do átomo de silício.
Fonte: Adaptado de Bogart (2004, p.6).
14
Como podemos observar a seguir, a distribuição eletrônica para o Si, principal 
semicondutor usado na indústria de dispositivos eletrônicos acontece da seguinte 
forma:
1s2 2s2 2p6 3s2 3p2.
Ou seja, como todo semicondutor o Si possui uma camada de valência com 4 
elétrons. Por meio das chamadas ligações covalentes esses átomos se unem 
formando a chamada estrutura cristalina.
Com o aumento da temperatura essas ligações recebem energia sufi ciente para 
se romperem, fazendo com que os elétrons dessas ligações rompidas passem a 
se movimentar livremente no interior do cristal, tornando-se elétrons livres (fi gura 
4). Aos espaços vazios provocados por elétrons que abandonam as ligações 
covalentes rompidas denominam-se LACUNAS.
Figura 4: Estrutura cristalina de Si formada 
por meio de ligações covalentes.
Fonte: Adaptado de Malvino (1995, p.34)
Notas:
O número de lacunas sempre é igual ao número de elétrons livres.
Quando o cristal de Si ou de Ge é submetido a uma diferença de potencial, 
os elétrons movem-se no sentido do maior potencial elétrico e as lacunas 
por conseqüência se movem no sentido contrário. 
Exemplo 1 
O átomo de Germânio assim como o Silício é um semicondutor bastante usado 
na construção de dispositivos eletrônicos e o mesmo possui 32 prótons em seu 
núcleo. Determine o número de elétrons em cada órbita e em cada subcamada 
de energia.
•
•
15
Resolução: 
Existem 32 elétrons que devem ser distribuídos conforme o diagrama de Pauling 
(fi gura 2):
Tabela3: distribuição dos elétrons para o átomo de Ge
Camada K L M N
Subcamada s s p s p d s p d f
Quantidade de elétrons 2 2 6 2 6 10 2 2 0 0
Atenção! Observe a presença de 4 elétrons na camada de valência 
para o Ge.
2.1 Dopagem de um semicondutor
A condutibilidade de um semicondutor pode ser aumentada pelo processo 
conhecido como Dopagem que nada mais é que a adição de elementos com 
excesso ou falta de elétron aos cristais tetravalentes. Para compreender 
melhor esse processo é necessário que você conheça algumas defi nições 
importantes:
Materiais intrínsecos: Materiais refi nados para reduzir as impurezas a um 
nível muito baixo.
Portadores intrínsecos: elétrons livres presentes no material devido à 
fatores naturais.
Materiais extrínsecos: materiais que tem suas características alteradas 
signifi cativamente pela adição de impurezas.
Impureza doadora: átomos pentavalentes que são adicionados ao cristal 
como, por exemplo, Fósforo e Antimônio (fi gura 5).
Impureza aceitadora: átomos trivalentes que são adicionados ao cristal 
como, por exemplo, Boro, Alumínio e Gálio (fi gura 6).
•
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•
Figura 5: Mostra o cristal de Si com 
impureza Doadora (átomo de fósforo)
Fonte: Bertoli (2000, p. 6)
16
Figura 6: Mostra o cristal de Si com 
impureza Aceitadora (átomo de Boro)
Fonte: Bertoli(2000, p. 6)
Como então acontece a dopagem de um semicondutor?
A dopagem de um dado semicondutor pode acontecer:
i. ao adicionarmos aos cristais tetravalentes alguns elementos trivalentes, 
obteremos átomos com falta de elétrons (7 elétrons na camada de valência) 
formando o chamado cristal P.
ii. ao adicionarmos elementos pentavalentes, teremos átomos com excesso 
de elétrons formando o chamado cristal N.
Parada obrigatória
Quanto maior a intensidade da dopagem, maior a condutibilidade 
dos cristais, pois teremos em sua estrutura uma quantidade maior de 
portadores livres. 
Quanto maior a temperatura do cristal, maior será sua condutibilidade, 
pois a energia térmica atua na quebra das ligações covalentes, o que 
faz surgir mais elétrons livres.
•
•
2.1.1 Semicondutor tipo N e tipo P 
Sabemos então que: “o semicondutor extrínseco pode ser dopado para ter 
excesso de elétrons livres ou de lacunas”, gerando o que denominamos 
17
semicondutor tipo n ou semicondutor tipo p respectivamente. A tabela 4 nos 
mostra as principais características desses dois tipos de materiais:
Tabela 4: Ilustra as características dos Cristais tipo P e tipo N
Cristal Tipo N (Negativo):
- Cristal é dopado com impureza doadora;
- Elétrons livres excedem ao número de 
lacunas;
- Portadores Majoritários: elétrons
- Portadores Minoritários: lacunas
Cristal Tipo P (positivo):
- Cristal é dopado com impureza 
Aceitadora;
- Lacunas excedem ao número de elétrons 
livres;
- Portadores Majoritários: lacunas
- Portadores Minoritários: elétrons
Fonte: Boylestad (2004, p. 6)
2.2 Junção PN - o diodo
A junção PN é formada por meio da união de um cristal P com um cristal N formando 
um dispositivo de estado sólido denominado diodo de junção (fi gura 7).
(a) (b)
Figura 7: (a) Junção PN ; (b) símbolo esquemático do diodo
Fonte: Acervo dos autores
Ao formar a junção PN existe uma repulsão dos elétrons livres do lado N, 
alguns desses elétrons atravessam a junção e se recombinam com as lacunas 
formando a camada de depleção (Figura 8).
18
Figura 8: Junção PN e a Camada de depleção
Fonte: Acervo dos autores
Notas:
A camada de depleção age como uma barreira impedindo a difusão de 
elétrons livres.
A intensidade da Camada de depleção aumenta com cada elétron que 
atravessa até atingir um equilíbrio.
No equilíbrio a camada de depleção gera uma barreira de potencial igual a 
0,7V para o Silício e 0,3V para o átomo de Germânio.
•
•
•
2.3 Polarização do diodo
Polarizar um diodo signifi ca aplicar uma diferença de potencial às suas extremidades. 
A aplicação de tensão nos terminais do diodo conduz a três possibilidades:
a) Diodo não polarizado (VD = 0V)
Na ausência de tensão de polarização aplicada, o fl uxo de carga em qualquer 
direção para um diodo semicondutor é zero conforme fi gura 9.
Figura 9: Junção PN – Diodo não polarizado (VD=0V).
Fonte: Adaptado de Boylestad (2004, p. 8).
19
b) Polarização direta (VD > 0V)
No material Tipo N os elétrons são repelidos pelo terminal da bateria e empurrados 
para a junção, no material Tipo P as lacunas são repelidas e tendem a penetrar 
na junção o que gera uma diminuição da camada de depleção (Figura 10).
Para haver fl uxo livre de elétrons a tensão na bateria tem de sobrepor o efeito 
da camada de depleção, ou seja, de 0,7V para o Si e 0,3V para o Ge.
Figura 10: Polarização Direta da junção PN (VD > 0V)
Fonte: Adaptado de Boylestad (2004, p. 9)
c) Polarização reversa: (VD < 0V)
Ao inverter a polaridade da bateria (fi gura 11), no material Tipo N os elétrons 
são atraídos para o terminal positivo, afastando-se da junção, o mesmo 
acontece para as lacunas. Há um aumento na camada de depleção impedindo o 
deslocamento de cargas de uma camada para outra. Neste caso existe apenas 
uma pequena corrente reversa denominada Is (corrente de fuga reversa).
Figura 11: Polarização reversa da junção PN (VD < 0V)
Fonte: Adaptado de Boylestad (2004, p.9)
20
3 O diodo
De posse dos conceitos gerais dos materiais semicondutores e de como 
a junção PN responde aos diversos potenciais aplicados, podemos agora 
compreender e analisar o funcionamento do diodo de junção (fi gura 12).
Figura 12: Fotos mostrando alguns tipos de diodos
Fonte: Acervo dos autores
3.1. Curva característica e análise por reta de carga
O gráfi co da fi gura 13 mostra a curva característica para o diodo, tal curva relaciona 
a tensão aplicada pela corrente circundante no mesmo.
Figura 13: Curva característica do Diodo (Silício e Germânio)
Fonte: Adaptado de Boylestad (2004, p.12)
Observe que na curva característica, o diodo só conduz intensamente quando 
a tensão aplicada no mesmo é maior que sua barreira de potencial. À medida 
que a tensão aumenta, elétrons livres e lacunas começam a atravessar a 
junção; a tensão na qual a corrente aumenta rapidamente recebe o nome de 
“tensão de joelho” (VT).
21
Quando o diodo se encontra polarizado reversamente, circula por ele apenas 
a corrente de saturação reversa (Is), ao aumentar a tensão reversa aplicada 
será atingida a tensão de ruptura ou também chamado potencial de zenner, 
a partir do qual a corrente aumenta sensivelmente.
Figura 14: Polarização direta e reversa dos diodos
Fonte: Acervo dos autores
Segundo Boylestad (2004, p.20) “Um circuito equivalente é uma combinação de 
elementos corretamente selecionados para melhor representar as características 
reais de um dispositivo, um sistema ou uma região específi ca de operação”. Para 
o complexo comportamento não linear do diodo visto na fi gura 13, pode-se em 
algumas aplicações usar uma das seguintes equivalências:
Figura 15: Circuitos equivalentes de diodos
Fonte: Adaptado de Boylestad(2004, p. 20)
Vamos compreender essas equivalências!
• Na curva descrita na fi gura 15 (a) temos o modelo ideal, onde o diodo 
trabalha como uma chave ideal que está fechada (diodo em condução) 
quando polarizada diretamente, aberta (ID=0A) quando polarizada 
reversamente.
• Em 15(b) visualizamos o modelo mais usado onde o diodo conduz quando 
polarizado diretamente com VD>VT. 
22
• E fi nalmente como o “Modelo linear por partes”, no qual se leva em 
consideração além da tensão de limiar (VT) a resistência de corpo do 
diodo.
Exemplo 2:
Para o circuito a seguir, determine a tensão e a corrente no diodo D e a tensão na 
carga RL, considerando:
a) Vs = 8V, diodo ideal
b) Vs = 0,5V, diodo ideal
c) Repita os itens (a) e (b) considerando o 
diodo de Si
Figura 16: Exemplo 2
Fonte: Acervo dos autores
Resolução:
a) Diodo polarizado diretamente. 
3. 0 8 0 2,2.10 . 0 3,63
0
8
D D D D
D
RL
Vs V RL I I I mA
V V
V Vs V
− − = ⇒ − − = ⇒ =
=
= = 
b) 
3. 0 0,5 0 2, 2.10 . 0 227,27
0
0,5
D D D D
D
RL
Vs V RL I I I A
V V
V Vs V
µ− − = ⇒ − − = ⇒ =
=
= =
c) Para Vs = 8V
3. 0 8 0,7 2, 2.10 . 0 3,318
0,7
8 0,7 7,3
D D D D
D
RL D RL RL
Vs V RL I I I mA
V V
V Vs V V V V
− − = ⇒ − − = ⇒ =
=
= − ⇒ = − ⇒ =
Para Vs = 0,5V
Como Vs < 0,7V o diodo não conduz.
 I
D
= I
RL
=0A
23
Observe que considerando as aproximações: diodo ideal (VD = 0V) ou o modelo 
simplifi cado (VT=0,7V) os valores calculados são extremamente próximos.
3.1.1 Reta de carga
A análise por reta de carga é uma forma de determinar o ponto de operação de 
um circuito não linear. O processo consiste em traçar uma reta determinada pela 
carga aplicada ao circuito sobre a curva característica do elemento não linear. 
A interseção dessas duas fornece o denominado ponto de operação, ou ponto 
Quiescente para o sistema (Figura 18).
Mas como esboçar a reta de carga?
Figura 17: Circuito série com diodo
Fonte: Acervo dos Autores
Aplicar a Lei de Kirchhoof para tensões ao circuito da 
fi gura 16, temos :
V s - V D - R .ID = 0
V s = V D - R .ID 
Para determinar o extremo superior da reta de carga 
(VD=0V):
 
0
V s = V D - R .ID 
V s
ID
R VD V=
=
Para determinar o extremo inferior da reta de carga 
(ID = 0A):
0
V s = V D - R .ID 
V D V s
ID A=
=
Figura 18: Pontode 
Operação do diodo e seus 
limites de tensão e corrente.
Fonte: Acervo dos Autores
24
Exemplo 3: 
a) Usando a curva característica (fi gura 
20) e o circuito dado na fi gura 19, 
determine o ponto quiescente:
b) Repita o item anterior considerando 
o modelo aproximado do diodo
Figura 19 : Exemplo 3
Fonte: “Acervo dos autores”
Figura 20: Curva característica – Exemplo 3
Fonte: Acervo dos autores
Resolução:
a) 
4
. 0 0 20
200
. 0 0 4
D D
D D
Vs
Vs V RL I paraVD V ID ID mA
R
Vs V RL I paraID A VD Vs V
− − = ⇒ = ⇒ = = ⇒ =
− − = ⇒ = ⇒ = =
Pela fi gura 18, temos: I
DQ1
~=15,9mA e V
DQ1
 ~= 0,85V
b) Pela fi gura 18, temos: I
DQ2
~= 16,3mA e V
DQ2
=0,7V
25
4 Retifi cadores a diodo
O sinal da rede elétrica, que chega em nossas casas, apresenta-se sob a forma 
de Corrente Alternada Senoidal, com freqüência igual a 60Hz e amplitude de 
220V ou 127V efi cazes. O sinal Alternado pode ser utilizado diretamente no 
acionamento de motores, no aquecimento (chuveiro elétrico) dentre outros. 
No entanto, existem aplicações que requerem corrente contínua, como por 
exemplo, o carregador da bateria de um celular e na alimentação de outros 
diversos circuitos eletrônicos.
Para efetuar a conversão de um sinal AC (Alternating Current) para um 
DC(Direct Current) podemos utilizar os denominados circuitos retifi cadores 
a diodo.
O processo de retifi cação de um sinal pode ser realizado de 3 formas: usando 
um circuito retifi cador em meia onda, em onda completa com tap central, ou 
em ponte de diodos. 
A seguir, faremos uma breve discussão sobre cada um desses circuitos 
retifi cadores.
4.1 Retifi cador em meia onda
Veja na fi gura 21 um exemplo de retifi cador em meia Onda, onde a tensão 
aplicada é Vs=Vp.sen(120.π.t)
Figura 21: Retifi cador em meia onda
Fonte: Acervo dos autores
O diodo conduz no semiciclo positivo e “corta” no negativo. O resultado pode ser 
visualizado nos gráfi cos da fi gura 21, a seguir:
26
Figura 21: Sinais disponíveis em um circuito retifi cador em meia onda 
Fonte: Acervo dos autores
A tensão média na saída de um retifi cador em meia onda é de: Vo= 0,318(Vp-VT)
Exemplo 4: 
Um retifi cador em meia onda possui uma tensão na entrada de 127Vrms e 
freqüência igual a 60Hz. Esboce o sinal na saída do retifi cador (RL=1kΩ).
Figura 22: Exemplo 4
Fonte: Acervo dos autores
Resolução:
Cálculo da tensão de pico para o sinal na entrada (Vs): 
2 127 179,6Vs Vp= × =
No semiciclo positivo o diodo conduzirá quando Vs ≥ 0,7V (diodo de Si). E a 
tensão de saída será: 179,6 0,7 178,9Vo Vo V= − ⇒ =
27
Figura 23: Exemplo 4.
Fonte: Acervo dos autores.
4.2 Retifi cador em onda completa com derivação central
O circuito a seguir (fi gura 24a) mostra um circuito retifi cador com derivação central 
no transformador (T). Neste caso o diodo D1 conduz apenas no semiciclo positivo e 
o D2 no semiciclo negativo (Figura 24b). Ao medir a tensão na carga visualizamos 
os sinais em 24(c).
Figura: 24(a): Retifi cador em 
onda completa com tap central
Fonte: Adaptado de 
Boylestad (2004, p. 57)
Figura 24(b): Funcionamento 
do retifi cador em onda 
completa (tap central).
Fonte: Adaptado de 
Boylestad (2004, p 57)
28
Figura 24(c): a fi gura mostra o sinal aplicado na entrada 
do retifi cador, os sinais nos diodos D1 e D2 e o sinal na 
saída do circuito retifi cador (considerando diodo ideal).
Fonte:Acervo dos autores.
Pode-se observar que a freqüência do sinal de saída é o dobro da freqüência do 
sinal de entrada.
A tensão média na saída do retifi cador é dada por: 0,636( )
2
Vp
Vdc VT= −
4.3 Retifi cador em onda completa – ponte de diodos
Figura 25: Retifi cador em Ponte.
Fonte: Acervo dos autores.
A fi gura 25 mostra o retifi cador em onda completo em ponte, cujo funcionamento 
pode ser resumido da seguinte forma (fi gura 26): 
Durante o semiciclo positivo apenas D3 e D2 conduzem, gerando na carga 
um sinal de amplitude Vp-2VT 
Durante o semiciclo Negativo apenas D1 e D4 conduzem, gerando na carga 
um sinal de amplitude Vp-2VT
•
•
29
Figura 26: Comportamento dos diodos no retifi cador em ponte.
Fonte: Adaptado de Bertolli (2000, p. 20).
A fi gura 27, mostra o sinal na entrada do retifi cador, a saída considerando o diodo 
ideal e a saída considerando a aproximação do diodo (VT=0,3 Ge e VT=0,7 Si)
Figura 27: Sinais de entrada e saída para o 
retifi cador em ponte.
Fonte: Acervo dos autores.
Importante!
Assim como o retifi cador com tap central a frequência dobrou em 
relação ao sinal de entrada.
Existe há cada semiciclo uma queda na tensão de saída de duas vezes 
a tensão de limiar dos diodos.
O calculo da tensão média é determinado por: 0,636( 2 )Vdc Vp VT= − .
•
•
•
Exemplo 5:
Dado um retifi cador em ponte cuja a tensão na entrada seja de 220Vrms e 
frequência 50Hz. Determine para uma carga de 2kΩ (Considere os diodos de 
silício):
a) A tensão média na carga
30
b) A potência exigida para cada diodo
c) Qual a máxima tensão reversa que está sendo aplicada aos diodos (PIV 
– Peak inverse voltage)
Resolução:
a) Tensão de pico na carga:
2.220 2.0,7
311,126 1,4
309,72
vo
vo
vo V
= −
= −
=
Tensão média:
0,636 309,72
169,98
Vdc
Vdc V
= ×
=
a) A corrente que circula pela carga é a mesma que passa pelos diodos, logo:
arg 309,72
154,86
2
.. 0,7 154,86 108,4
D D
D D D D
Vc a
I I mA
R k
P V I m P mW
= = ⇒ =
= = × ⇒ =
b) A máxima tensão reversa que circula pelo diodo é: 
 
( ) 0,7
311,12 0,7
310,42
Vr Vin pico V
Vr
Vr V
= −
= −
=
5 Introdução
Na área da engenharia é importante que o profi ssional conheça a capacidade 
que certos materiais apresentam de adquirir momento magnético permanente 
(como, cobalto, níquel, ferro, e vários de seus compostos), pois as aplicações 
para este tipo de material são extensas, e fazem uso de praticamente todos os 
aspectos do comportamento magnético. Vejamos alguns aspectos históricos 
desses materiais.
II- Materiais magnéticos
31
A Magnetita foi descoberta na China por volta de 
2600 A.C, depois conhecida pelos antigos Gregos, 
com o nome de “Pedra guia” e no século III a.C. foi 
utilizada por adivinhadores chineses que operavam 
com duas placas, uma sobre a outra. A placa superior 
representava o céu (que apresentava a constelação da 
Ursa Maior, facilmente reconhecível no céu oriental, 
e, portanto representada na placa) e girava num pivô colocado sobre a placa 
inferior, que simbolizava a Terra. O adivinho lançava pedras de magnetita que 
simbolizavam os diversos aspectos da vida contra as placas, e descrevia o futuro 
a partir de suas posições. Com o tempo, as placas foram sendo substituídas, até 
fi car a colher que representava a Ursa Maior. Como elas sempre se orientavam na 
mesma direção, os advinhos as consideravam objetos realmente mágicos. Essa 
é, na verdade, a essência da bússola magnética, que se tornou um objeto familiar 
já no século I d. C.
Magnetita 
Seu nome é devido à 
existência de forma 
abundante na região 
da Magnésia, na Ásia 
Menor – hoje Turquia.
Figura 29: A “colher mágica” chinesa
Fonte: www.scite.pro.br
Existe uma grande variedade de diferentes tipos de materiais magnéticos e é 
importante sabermos, inicialmente, porque estes e somente estes materiais 
possuem propriedades magnéticas. Em seguida devemos compreender o que leva 
a comportamentos diferentes nestes materiais, por exemplo, porque um material 
carrega um momento permanente enquanto outros não. 
As pesquisas por materiais magnéticos com melhores características são motivadas 
pela possibilidade de redução nas dimensões dos equipamentos e diminuição de 
limitações no desempenho devido à saturação e perdas.
6 Comportamento magnético
O magnetismo é resultado da estrutura eletrônica dos átomos.
Lembre-se que no máximo dois elétrons podem ocupar cada um dos 
subníveis de energia de um átomo isolado, e que isso também é válido 
para os átomos de uma estrutura cristalina.
32
Estes elétrons possuem spins opostos entre si, e como cada um é equivalente 
a uma carga emmovimento (afi nal, estão girando em torno de si mesmos) eles 
atuam como um pequeno ímã, com os correspondentes pólos norte e sul. De 
uma maneira geral, em um elemento o número de elétrons que tem um certo 
spin é igual ao número de elétrons que tem o spin oposto e o efeito global é uma 
estrutura magneticamente insensível (fi gura 29a). Entretanto, em um elemento 
com subníveis internos não totalmente preenchidos, o número de elétrons com 
spin num sentido é diferente do número de elétrons com spin contrário (fi gura 29b). 
Desta forma esses elementos têm um momento magnético global não-nulo.
Figura 29 – Magnetismo atômico
Fonte: Adaptado de Vlack, (1970, p. 119)
Como os átomos magnéticos adjacentes se alinham, de forma a terem 
suas orientações numa mesma direção, um cristal ou grão forma domínios 
magnéticos, que geralmente tem dimensões não superiores a 0.05 mm. Em um 
material magnético desmagnetizado (fi gura 30a) os domínios estão orientados 
aleatoriamente, e assim seus efeitos se cancelam. Porém, se os domínios são 
alinhados por um campo magnético, o material se torna magnético (fi gura 30b 
e 30c). O alinhamento de todos os domínios em uma direção origina um efeito 
aditivo, que pode ou não permanecer após a retirada do campo externo.
Figura 30 – Alinhamento de domínios
Fonte: Adaptado de Vlack, (1970, p. 120)
33
Para designar quando o alinhamento magnético é permanentemente retido ou 
não, são usados respectivamente os termos:
Material magnético duro: São aqueles materiais que, ao se retirar o campo 
magnético externo, o alinhamento dos domínios permanece.
Material magnético mole: São aqueles materiais que, ao se retirar o campo 
magnético externo, o alinhamento dos domínios desaparece.
Estes termos vêm do fato que materiais mecanicamente duros tendem a ser 
magneticamente duros. As tensões residuais de um material endurecido evitam a 
redistribuição ao acaso dos domínios. 
Para poder representar a ação do efeito de campo, o cientista inglês M. Faraday 
criou o conceito de “linhas de campo”. Em seus experimentos foram defi nidas 
linhas cuja tangente indicam a direção do campo (no caso, campo magnético), e 
que sua densidade indica a intensidade do campo naquele ponto do espaço. No 
caso específi co do campo magnético, foi determinado que as linhas de campo 
“saem” do pólo Norte, e “entram” no pólo Sul.
•
•
Figura 31 – Representação das linhas de campo 
magnético.
Fonte: Acervo dos autores.
A existência do campo e sua orientação (linhas de campo) podem ser facilmente 
verifi cadas por meio de um experimento simples:
Espalha-se ferro em pó sobre uma folha de papel, e sob ela coloca-se 
um ímã permanente. Ao agitar levemente a folha, os grãos de ferro irão 
se orientar conforme o campo, e as linhas de campo fi carão visíveis.
7 Curvas de magnetização e histerese
Se aplicarmos um campo externo a um material magnético, seus domínios irão 
alinhar-se rapidamente. Quanto mais se aumenta o campo, maior é o alinhamento 
dos domínios, e mais 
difícil fi ca obter novos 
alinhamentos.
Quando não é mais possível alinhar os domínios, 
dizemos que houve saturação do material magnético. S
34
Se traçarmos uma curva representando a densidade de fl uxo resultante em função 
da intensidade de campo magnético aplicado, teremos uma curva denominada 
curva de magnetização (Fig. 32).
Figura 32 – Curvas de magnetização de diversos materiais
Fonte: www.mspc.eng.br/elemag/eletrm0260.shtml
A partir da curva de magnetização é possível determinarmos diversos valores 
importantes, como a permissividade magnética do material, ou seja, a capacidade 
de concentrar linhas de campo.
O valor de permissividade pode ser apresentado em forma absoluta (valor absoluto) 
ou relativa (valor relativo à permissividade do vácuo - µ
0
). 
A partir da permissividade elétrica, é possível classifi car os materiais magnéticos 
em três grupos:
1. Paramagnéticos: materiais onde a permissividade (µ) é pouco maior que a 
do vácuo (µ
0
). Nestes materiais, os dipolos elementares são permanentes e, 
na presença de um campo magnético, tendem a se alinhar com ele, mas o 
alinhamento perfeito é impedido pelo movimento térmico. Como os dipolos 
magnéticos tendem a se alinhar, a suscetibilidade magnética é positiva, mas 
de valor bastante baixo.
2. Diamagnéticos: materiais onde a permissividade (µ) é pouco menor que 
a do vácuo (µ
0
). Nos materiais diamagnéticos, os dipolos elementares 
não são permanentes. Se um campo magnético é aplicado, os elétrons 
formam dipolos de acordo com a lei de Lenz, isto é, eles se opõem ao 
campo atuante. Assim, o material sofre uma repulsão, mas o efeito é muito 
fraco. Por sofrerem repulsão, a suscetibilidade magnética desses materiais 
35
é negativa e apresenta valores bastante baixos. Na realidade, todas as 
substâncias apresentam algum diamagnetismo, mas o fenômeno é tão fraco 
que é mascarado pela ação dos dipolos permanentes naqueles que os têm 
(paramagnéticos e ferromagnéticos).
3. Ferromagnéticos: materiais onde a permissividade (µ) é muito maior que 
a do vácuo (µ
0
). Nos materiais ferromagnéticos, os dipolos elementares 
são permanentes e se alinham na direção do campo magnético aplicado, 
resultando em forte magnetização. Entretanto, essa característica é 
dependente da temperatura. Acima de determinado valor, conhecido como 
temperatura de Curie, o material deixa de ser ferromagnético e se torna 
paramagnético. A explicação deste fenômeno envolve conceitos quânticos 
que não serão abordados neste curso. De maneira resumida, é possível 
dizer que a movimentação dos domínios causada pela agitação térmica 
impede que eles se orientem. Desta forma, eles acabam tendo alinhamentos 
distribuídos aleatoriamente, resultando em magnetização quase nula.
Parada para refl exão
Ao aplicar campo a um material ferromagnético, e posteriormente reduzir 
a intensidade de campo magnético aplicada até zero, o que poderíamos 
esperar?
Provavelmente, você pode pensar que a densidade de fl uxo magnético também 
voltasse ao seu valor original (zero). Entretanto, isso não ocorre. Vejamos:
Quando não mais houver campo magnético, ainda haverá um magnetismo 
residual na amostra de material. Quando o campo magnético externo é retirado, 
os momentos magnéticos dos domínios voltam a se desalinhar, porém parte deles 
mantém o novo alinhamento obtido durante a aplicação do campo externo. Na 
verdade, quando o campo externo foi aplicado, energia foi introduzida no material, 
e o mesmo sofreu uma nova reestruturação. Para mudar isto é necessário mais 
energia. Uma parte dessa energia provém do próprio material quando alguns de 
seus domínios voltam ao seu alinhamento original. Porém, para voltar à situação 
de magnetismo resultante zero, um campo magnético reverso deve ser aplicado 
sobre o material. Se a intensidade de campo magnético H for variada de zero até 
um valor positivo, desse valor positivo até um valor negativo, passando por zero, e 
do valor negativo até zero, obteremos uma curva característica denominada ciclo 
de histerese. Observe, a seguir, a representação dessa curva (fi gura 33).
36
Figura 33 – Ciclo de Histerese de um material Ferromagnético
Fonte: Adaptado de www.mspc.eng.
br/elemag/eletrm0260.shtml
1 – Saturação: Ponto onde todos os domínios estão alinhados. A partir deste 
ponto, um aumento no campo aplicado (H) não causará aumento de fl uxo 
magnético (B)
2 – Magnetização residual: Ao reduzir o campo a zero, a intensidade de fl uxo 
no material não é nula, indicando uma magnetização permanente (o material 
está magnetizado, funcionando como um ímã permanente).
3 – Campo coercitivo: Para anular a magnetização residual, é necessário aplicar 
um campo reverso ao material. A este campo dá-se o nome de Campo 
Coercitivo.
A partir deste ponto, o ciclo se repete, porém em sentido contrário. Temos então 
os pontos 4, 5 e 6, que são respectivamente o ponto de Saturação Negativa, 
Magnetização residual Negativa e Campo Coercitivo Negativo.
A curva de histerese émuito importante para a análise de materiais, 
pois sua área indica a quantidade de energia necessária para realizar 
o ciclo completo, ou seja, é proporcional à energia dissipada na forma 
de calor.
As proporções da curva de histerese dependem da composição do material 
magnético e têm infl uência na aplicação. Uma curva estreita (fi gura 34a) é 
adequada para núcleos de transformadores, por exemplo, onde se requer a menor 
perda possível de energia devido à histerese do material. Uma curva mais larga 
(fi gura 34b) é apropriada para ímãs permanentes, devido à elevada magnetização 
residual e ao também elevado campo coercitivo, signifi cando que ele não pode ser 
facilmente desmagnetizado.
37
Figura 34 – Curvas de histerese
Fonte: www.mspc.eng.br/elemag/eletrm0260.shtml
Exemplos de materiais magnéticos
Os principais elementos magnéticos são o ferro, o níquel e o cobalto. Um aspecto 
importante que devemos atentar é que, na maioria das vezes, estes materiais 
não são utilizados em estado puro, mas sob a forma de ligas. Temos vários tipos 
de ligas com propriedades muito diferentes, e que determinam o seu emprego 
na indústria. Destacamos que essas propriedades não dependem apenas da 
constituição das ligas, mas também do tratamento térmico a que são submetidas. 
De modo geral as ligas ferromagnéticas podem ser classifi cadas em:
ligas de ferro-silício (baixas perdas, alta permeabilidade);
ligas para ímãs permanentes (força coerciva elevada);
ligas para aplicações especiais.
•
•
•
Figura 35 – Curvas de Magnetização para ligas 
ferromagnéticas.
Fonte : Resende (1977, p. 151).
38
Na fi gura 35 são apresentadas curvas típicas de magnetização dos elementos 
ferromagnéticos e de algumas de suas ligas. É possível observar que a liga 50% 
Co - 50% Fe apresenta permeabilidade magnética mais elevada que qualquer dos 
dois metais puros que a constituem (houve melhora no seu comportamento).O 
metal monel (aproximadamente 67% Ni, 28% Cu, 5% de outros metais inclusive 
Fe, Mn, Si) permite obter uma densidade de fl uxo B praticamente constante para 
valores de campo superiores a 20 oersteds, assim como a liga 50% Ni - 50% 
Fe.
 
De todos os elementos ferromagnéticos, o mais importante e mais utilizado é o 
ferro. Ele está presente em todos os circuitos magnéticos das máquinas elétricas 
(sob a forma de ligas de ferro-silício) e de todas as peças estrutu rais (aço fundido 
ou laminado, ferro fundido). O níquel e o cobalto têm seu maior emprego como 
constituintes auxiliares de ligas à base de ferro.
Vários elementos não ferromagnéticos são utilizados para melhorar as quali dades 
das ligas de ferro (alumínio, arsênico, cério, cromo, molibdênio, silício, tório, titânio, 
tungstênio). O ferro é sujeito ao envelhecimento, do qual são praticamente isentas 
as ligas que contém 1,5% de silício ou mais.
8 Aplicações em engenharia
8.1 Bobinas
Bobinas constituem o principal elemento de diversos tipos de circuitos, devido à 
sua capacidade de conversão de corrente em campo magnético, e vice versa. 
Quando percorrido por uma corrente, um campo magnético é gerado ao redor do 
mesmo. A bobina é composta por enrolamentos de fi os, de forma que o campo de 
cada espira se some ao anterior, aumentando sua concentração. Com este campo 
intenso, a bobina pode funcionar como um eletroímã.
Figura 36 – Campo magnético em uma bobina
Fonte: www.ndt-ed.org/EducationResources
Como descoberto por Faraday, o efeito contrário também é possível; a variação 
do campo magnético ao redor das espiras é capaz de gerar corrente elétrica no 
interior do fi o. Este princípio de conversão é a base de funcionamento de motores 
e geradores.
39
É possível exemplifi car na prática este comportamento, por meio de 
dois simples experimentos:
1) Conectar uma bobina a um circuito gerador de corrente (fonte de corrente), 
e espalhar limalha de ferro ao seu redor. Assim que a corrente for ligada, o 
campo magnético deverá orientar a limalha de ferro, demonstrando as linhas 
de campo ao redor da bobina.
Figura 37 – Experimento 1
Fonte: Acervo dos autores
2) Conectar a bobina a um miliamperímetro. Depois de conectados, movimentar 
um ímã permanente no interior da bobina. O ponteiro do miliamperímetro deve 
se movimentar, indicando a presença de corrente elétrica gerada pela bobina.
Figura 38 – Experimento 2.
Fonte: Acervo dos autores.
8.2 Relés
Um relé é um interruptor acionado eletricamente, utilizando um eletroímã para 
controlar quando a corrente elétrica deve ou não fl uir de um elemento até outro. 
Eles têm sido usados há mais de 100 anos, e são um dos componentes mais 
comuns em dispositivos eletrônicos. Apesar de pequenos e simples, possuem 
uma grande aplicação na engenharia, pois são capazes de controlar uma grande 
40
quantidade de potência (altas tensões e/ou altas correntes) a partir de circuitos 
que utilizam dispositivos sensíveis, de baixa potência.
Atenção!
Em sistemas onde é necessário o acionamento de potências muito altas, 
relés são geralmente ligados em cascata: um pequeno relé fornece 
energia para acionar um relé muito maior, e este então fornece energia 
para a carga.
Relés são geralmente constituídos de quatro partes: Eletroímã, Armadura, mola, e 
um conjunto de contatos elétricos (Normalmente Fechados – NF – e normalmente 
abertos – NA).
Figura 39 – Interior de um Relé
Fonte: Adaptado de www.subaruforester.
org/vbulletin/f85/relay-tutorial-49528/
O funcionamento do relé é baseado no princípio da atração eletromagnética. Com 
o circuito desenergizado (Figura 40), a mola mantém a armadura em uma posição 
determinada. 
Figura 40 – Relé Desenergizado
Fonte: Adaptado de www.explainthatstuff.com/howrelayswork.html
41
Quando o circuito de acionamento é energizado (Fig. 41), a corrente que circula 
pela bobina gera um campo magnético. Este, por sua vez, atrai a armadura 
metálica, causando um chaveamento dos contatos elétricos.
Figura 41 – Relé energizado
Fonte: Adaptado de www.explainthatstuff.com/howrelayswork.html
A forma mais simples de entender o funcionamento do relé é testá-lo na prática. 
Esta é uma forma simples de visualizar a energização do relé, e como a armadura 
chaveia entre os contatos normalmente fechados e normalmente abertos.
Conecte o pólo negativo de uma 
bateria em um dos contatos da 
bobina do relé, e conecte o positivo 
da bateria no contato oposto.
Imediatamente deve-se ouvir o “click” 
da armadura mudando de posição 
entre os contatos normalmente aberto 
e normalmente fechado. Caso a capa 
plástica do relé seja transparente, será 
possível ver a armadura mudando de 
posição.
Figura 42 – Energização do relé por bateria
Fonte: Acervo dos autores
Agora, usaremos um multímetro para demonstrar o relé chaveando e completando 
o circuito elétrico quando ativado. Selecione no multímetro a opção “teste de 
diodo”. Conecte o fi o comum (preto) no contato normalmente aberto do relé, e o 
outro fi o (vermelho) no contato comum. Energize o relé com a bateria, conforme 
exemplo anterior. O multímetro deverá emitir um “beep”, indicando que o circuito 
elétrico foi fechado, e que há condução de corrente.
42
Figura 43 – Teste do relé com um multímetro
Fonte: Acervo dos autores
8.3 Contatores
Um contator é uma chave eletromecânica, assim como um relé. Sua grande 
diferença é que o contator é construído de forma que possa chavear um sistema 
com potência muito superior ao circuito de controle. Eles geralmente possuem 
uma única posição de repouso (normalmente aberto) de forma que qualquer 
falha no circuito de controle cause a abertura de seus contatos, e consequente 
desenergização do circuito de potência.
O sistema de ação consiste basicamente de um núcleo magnético excitado por 
uma bobina. Uma parte do núcleo magnético é móvel; este é atraído quando 
a bobina é percorrida por corrente, e repelida por molas quando a bobina é 
desenergizada. Contatos elétricos são distribuídos pela parte móvel do núcleo, 
formando um conjunto de contatos móveis. Na carcaça do contator existeum 
conjunto de contatos fi xos, constituindo o sistema de chaveamento.
Figura 44 – Contator
Fonte: www.cefetsp.br/edu/jaan/com_ele.html
43
O principal uso de contatores é no circuito de acionamento de motores, iluminação 
de grandes ambientes, sistemas de aquecimento, chaveamento de bancos de 
capacitores, e outras cargas elétricas de elevada potência.
8.4 Disjuntores
O disjuntor é uma chave elétrica automática, desenvolvida para proteger uma 
instalação elétrica de danos causados por sobrecargas e curtos-circuitos. Sua 
função básica é determinar uma condição de falha e imediatamente abrir o circuito, 
interrompendo o fl uxo de corrente. 
Sua construção segue o seguinte modelo:
Figura 45 – Construção de um disjuntor
Fonte: Adaptado de www.electrical-res.com/EX/10-16-14/
Miniature-Circuit-Breaker-DZ47-type-inside-parts-.jpg
1) Atuador: Utilizado para ligar e desligar manualmente o disjuntor. A maioria dos 
atuadores é projetada de forma que o disjuntor desarme mesmo que o atuador 
seja segurado ou travado na posição ligada.
2) Mecanismo atuador: Une os contatos interiores do disjuntor, permitindo ou 
não a passagem de corrente elétrica. Pode ser comandado pelo atuador, pela 
bobina ou pela chave bimetálica.
3) Terminais: Ponto de contato entre o circuito interno do disjuntor e a instalação 
a ser protegida.
4) Chave bimetálica: É um dispositivo de proteção contra sobrecargas. Ela é 
projetada de forma que uma pequena sobrecarga (quantidade de corrente acima 
da projetada para o disjuntor) faça a lâmina esquentar. Por ser composta por 
44
metais diferentes (conseqüentemente com dilatações diferentes) ela defl ete, 
acionando o mecanismo atuador e desligando o disjuntor.
5) Bobina: É um dispositivo de proteção contra curto-circuitos. Quando ocorre uma 
falha na instalação e um curto é criado, o valor da corrente circulante se eleva 
bruscamente. Esta variação gera um pulso magnético na bobina (que passa a 
funcionar como um eletroímã) atraindo o mecanismo atuador e desligando o 
disjuntor de forma muito rápida.
6) Câmara de extinção de arco: Quando um circuito com alta corrente é aberto 
bruscamente, a rigidez dielétrica do ar é rompida e um arco elétrico é formado; 
a função da câmara de extinção é impedir a formação do arco elétrico, evitando 
que os componentes do disjuntor sejam danifi cados.
Para a interrupção de altas correntes (geradas principalmente por circuitos 
indutivos), são necessários mecanismos especiais para a interrupção do arco 
elétrico resultante na abertura dos pólos (para aplicações de grande potência, esta 
corrente de curto-circuito pode alcançar valores de 100 kA). Disjuntores de alta 
corrente geralmente são preenchidos com elementos isolantes (óleo, hexafl uoreto 
de enxofre – SF6, ou vácuo) para que possam eliminar o arco e resistir às tensões 
do sistema.
II- Materiais ópticos
5 Histórico
O uso de fenômenos ópticos para transmissão de informações data de épocas 
muito distantes, provavelmente iniciado na idade das cavernas. Sinais de fumaça, 
sobre os quais era possível obter algum controle, foram utilizados pelos primeiros 
homens para transmissão de mensagens a curtas distâncias. Por milhares de 
anos, homens têm utilizado técnicas ópticas para comunicações em visada direta 
(linha de vista), seguindo códigos pré-estabelecidos.
Desde a implementação dos primeiros sistemas de comunicação simultânea, 
na primeira década do século XX, cientistas procuram formas de aumentar a 
capacidade de transmissão de informações, devido ao aumento incessante da 
demanda de uso destes meios de comunicação. O desempenho do sistema de 
comunicação geralmente é avaliado a partir de dois parâmetros principais: 
Fator de atenuação: Estabelece a taxa de decaimento do sinal no meio de 
comunicação, conseqüentemente defi nindo a distância máxima de transmissão 
sem a necessidade de repetidores ou sistemas regeneradores.
Largura de Banda: Defi ne a máxima freqüência de modulação permitida 
(no caso de sistemas analógicos) ou a taxa máxima de transmissão (no 
caso de sistemas digitais), sem a necessidade de regeneração de forma 
dos pulsos.
•
•
45
As comunicações óticas despertaram interesse por ultrapassar os sistemas de 
comunicação tradicionais nos dois pontos. 
6 Princípios básicos
6.1 A onda eletromagnética
Sempre que houver um campo magnético variando no tempo, surgirá um campo 
elétrico induzido. Simetricamente, quando existir em uma região um campo 
elétrico variante no tempo, surgirá um campo magnético induzido, indicando que 
num sistema dinâmico, o campo magnético e elétrico são indissociáveis. Portanto, 
a partir do momento que uma destas grandezas sofre alteração, existe uma 
variação na outra por indução. O resultado é uma sucessão de campos elétrico e 
magnético que se induzem mutuamente, afastando-se da origem, constituindo a 
chamada onda eletromagnética. 
Em um meio livre, os campos elétrico e magnético são ortogonais, e a direção de 
deslocamento é normal ao plano formado por eles.
Figura 46 – Onda Eletromagnética
Fonte: Adaptado de ww.fgel.uerj.br/labgis/gis_atualizada/
sensoriamento/radiacao.html
A partir do conceito de onda, é possível defi nir outras características importantes 
para o estudo dos fenômenos ópticos:
Comprimento de onda (λ): É defi nido como a distância necessária para 
introduzir um ciclo completo de variação de fase (360o) em uma onda 
senoidal propagando-se no meio especifi cado
Espectro eletromagnético: Intervalo de faixas de comprimento de onda, que 
defi ne o tipo de sinal. Compreende desde as ondas de rádio, passando pela 
radiação visível, até os raios gama.
•
•
46
Figura 47 – Espectro Eletromagnético
Fonte: Adaptado de ww.fgel.uerj.br/labgis/gis_atualizada/sensoriamento/radiacao.
html
6.2 Índice de refração
A velocidade de propagação da onda eletromagnética varia conforme o meio 
onde ela se insere, sendo que a maior velocidade ocorre no vácuo. 
O valor que relaciona 
a velocidade de 
propagação do vácuo 
com a de outro meio 
qualquer, é defi nido 
como Índice de 
Refração (N):
A maior parte dos materiais tem características 
magnéticas semelhantes à do vácuo, e assim a 
velocidade de propagação passa a depender das 
propriedades dielétricas do meio.
Como o comprimento de onda está relacionado com a velocidade de propagação, 
a combinação de suas equações leva a outra proposição:
Conclui-se, como era de se esperar, que o comprimento de onda varia 
proporcionalmente à mudança na velocidade de propagação.
6.3 Polarização da onda eletromagnética
Sabe-se que o campo elétrico e o campo magnético variam no espaço e no 
47
tempo, à medida que viajam pelo meio. Imaginando-se um plano normal à direção 
de propagação, sobre o qual são projetados os vetores instantâneos do campo 
elétrico. Unindo-se os pontos de projeção destes vetores, é formada uma fi gura 
geométrica, que defi ne o tipo de polarização da onda eletromagnética:
Segmento de reta: Quando a resultante é uma reta, diz-se que a onda possui 
polarização linear.
Circunferência: Quando a resultante é um círculo, tem-se a polarização 
circular.
Elipse: Quando a resultante é uma elipse, tem-se a polarização elíptica.
•
•
•
Figura 48 – Tipos de Polarização
Fonte: Adaptado de www.lucalm.hpg.ig.com.br/fi guras/fi bras_opticas/pg16.jpg
6.4 Ângulo crítico
As equações de Maxwell mostram que um campo eletromagnético, ao incidir na 
fronteira entre dois meios, faz surgir duas ondas. Parte da energia é transmitida, 
formando a onda refratada, e parte da energia retorna ao primeiro meio, formando 
a onda refl etida. A lei de Snell mostra que o ângulo da direção transmitida, em 
relação à normal com a superfície de separação, é relacionado com o ângulo de 
incidência, da seguinte forma:
F
ig
u
ra
 4
9 
–
 R
e
fl e
xã
o
 e
 R
e
fr
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o
 
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 L
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co
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.b
r/
im
a
g
e
s/
fi b
_
o
p
t_
1
.jp
g
48
Quando N
1
 é maior que N
2
, o crescimento do ângulo de refração émaior que o 
do ângulo de incidência. Assim, é possível determinar um valor que resulta em 
ângulo de refração de 90o em relação a normal das superfícies. A onda magnética 
neste caso irá propagar paralelamente à superfície, e não haverá transferência de 
energia para o outro meio (a onda será totalmente refl etida, e não haverá refração). 
O ângulo de incidência que satisfaz esta condição é determinado ângulo crítico.
7 Tipos de materiais ópticos
O comportamento óptico de um material está intimamente ligado com a sua 
estrutura eletrônica. Podemos classifi car os materiais em três tipos, de acordo 
com o nível de interação do material com a onda eletromagnética:
Materiais opacos: esses materiais não permitem a passagem da luz, ou 
seja, possuem um alto índice de absorção da radiação eletromagnética. Em 
geral, materiais opacos são materiais com grande quantidade de elétrons 
livres, pois a sua movimentação aumenta a chance de colisão com os 
fótons. Quando isto acontece, os elétrons absorvem a energia luminosa, 
e se excitam. Ao perder excitação, liberam energia na forma de outro fóton 
(ou sejam, apresentam alto índice de refl exão). Não é necessário que exista 
a condução metálica, pois os fótons podem ser absorvidos, excitando um 
elétron até um nível de energia mais alto, embora continue ligado ao átomo 
a que pertence.
Materiais transparentes: possuem interação com o campo eletromagnético 
sem absorção de energia. A luz é absorvida quando a energia do fóton é 
igual à energia de transição do estado fundamental da substância para 
um dos estados excitados. Para não haver absorção, o próximo nível de 
excitação eletrônica deve ser alto o sufi ciente para que a energia fornecida 
pelo fóton não permita que o elétron salte; esta é a principal característica 
de materiais dielétricos.
Materiais translúcidos: permitem passagem difusa da energia luminosa. Os 
fótons, ao interagir com este tipo de material, sofrem diversas refl exões e 
refrações internas, de forma que um feixe coerente que incida no material 
emerge do outro lado como uma série de feixes com direções aleatórias. 
Em casos extremos, as refl exões e refrações internas são tão intensas que 
o material se torna opaco.
8 Aplicações de materiais ópticos em engenharia
8.1 Fototransmissores
Fototransmissores são elementos geradores de pulsos luminosos, formando um 
dispositivo de conversão eletro-óptico. Dentre os diversos tipos de dispositivos 
existentes, dois se sobressaem: 
LED: Diodos Emissores de Luz (LED – Light Emitting Diode)
•
•
•
•
49
São dispositivos semicondutores, formados por junção PN. Sua operação é como 
a operação básica de um diodo comum. Uma pequena tensão é aplicada entre 
seus terminais, fazendo uma pequena corrente fl uir por meio da junção (elétrons 
são excitados, atravessam a barreira e caem nas lacunas).
Como os elétrons passam de um estado de energia 
mais alto para um estado mais baixo, eles irradiam 
energia. Em diodos comuns, esta energia é irradiada 
na forma de calor.
Devido à adição de elementos como gálio, arsênico e fósforo, o comprimento de 
onda da irradiação dos LEDs é alterada, fazendo com que liberem energia na forma 
de luz visível. A potência de luz de um LED é, aproximadamente, proporcional à 
injeção de corrente. Devido a algumas recombinações, nem todos os elétrons que 
saltam a barreira produzem fótons, ou seja, o LED não é 100% efi ciente.
LASER
São dispositivos amplifi cadores de luz, transformando excitação eletrônica 
em um feixe coerente de fótons (LASER – Light Amplifi cation by Stimulated 
Emission of Radiation). Partem do princípio de que a reemissão de fótons 
em um material luminescente é função estatística do tempo (diretamente 
proporcional ao número de elétrons excitados), e que a emissão pode ser 
estimulada de forma que ocorra mais cedo, caso o elétron excitado seja 
atingido por um fóton com mesma energia daquele que vai ser irradiado 
(estimulação de irradiação). Em resumo, uma lâmpada fornece fótons que 
estimulam os elétrons de uma barra fotoluminescente, facilitando a irradiação 
de mais fótons. Uma idéia mais clara pode ser fornecida pela fi gura 5.
•
Figura 50 – Esquema de LASER pulsante a Rubi
Fonte: Adaptado de image.tutorvista.com/content/basic-ruby-
pulsed-laser.gif
50
8.2 Fotorreceptores
São elementos geradores de pulsos elétricos, formando um sistema de 
conversão opto-elétrico. São baseados no princípio da geração de pares 
elétron-lacuna por meio da absorção de fótons irradiados para dentro do 
material. Nestes detectores, um potencial aplicado sobre a região de absorção 
gera um fl uxo de corrente proporcional à irradiação recebida. Isto acontece, 
pois o choque com fótons excita os elétrons do material. Quando a energia 
absorvida excede o ‘gap’ entre a camada de valência e a banda de condução, 
o elétron salta e se torna livre, participando do processo de condução.
Figura 51 – Detector Fotocondutor
Fonte: Adaptado de www.
g l o b a l s p e c . c o m / R e f A r t i c l e I m a g e s /
9FFA076C5D8F886C319E944239368CA0_14_
01_Photonics_and_Lasers-2.jpg
8.3 Acopladores ópticos
Estes dispositivos nada mais são do que com conjunto composto por 
fototransmissor e fotorreceptor, lacrados em um mesmo encapsulamento. 
Possui grande aplicação em engenharia, pois permite isolar eletricamente os 
sistemas, permitindo a passagem dos sinais sem contato elétrico. 
Saiba mais
O acoplador óptico é o principal dispositivo usado nos sistemas de proteção 
dos controles de máquinas de grande potência evitando que falhas no 
sistema de potência sejam transmitidas para o circuito de controle, e que 
seus componentes delicados sejam afetados e equipamentos hospitalares 
evitando que um curto no equipamento seja propagado para o paciente, 
eletrocutando-o.
51
Figura 52 – Optoacoplador
Fonte: Adaptado de school.mech.uwa.edu.au/~nscott/How_to_do_stuff/
micro_crash_course/optocoupler/opto_circuit.jpg
8.4 Fibras ópticas 
As fi bras são os principais elementos de transmissão dos sistemas de 
comunicação ópticos. É baseada em um sistema casca-núcleo com índices 
de refração diferentes, de forma que a transmissão da luz ocorra quase sem 
refração (daí advêm as baixíssimas perdas das fi bras óticas). 
Figura 53 – Fibra óptica
Fonte: Adaptado dewww.electrical-res.com/EX/10-
19-00/silica-silica-clad-optical-fi ber-355071.jpg
As fi bras ópticas podem ser classifi cadas de acordo com duas categorias:
Indíce de refração
ü Degrau: Há uma mudança brusca de valor entre o índice de refração do 
núcleo e o índice de refração da casca. O problema desta construção é 
que raios de luz tomam caminhos diferentes aumentando interferências. 
Observe a representação dessa característica na fi gura 54, a seguir:
•
52
Figura 54 – Fibra com índice em degrau
Fonte: Acervo dos autores
ü Parabólica: A variação do índice de refração segue uma distribuição 
parabólica: Ondas que viajam na parte mais externa da fi bra encontram 
um meio com índice de refração menor, ou seja, viajam mais rápido. 
Como resultado, atravessam a fi bra praticamente no mesmo tempo que 
as ondas que se propagaram pelo centro, onde a trajetória é menor (fi gura 
55).
Figura 55 – Fibra com índice 
parabólico
Fonte: Acervo dos autores
Porém, a classifi cação de acordo com os índices de refração não defi ne 
completamente as propriedades das fi bras ópticas. Características de propagação 
dependem também da quantidade de modos guiados. Desta forma, defi ne-se 
outro critério de classifi cação:
Fibras multimodo: Núcleo possui um diâmetro razoavelmente grande (em 
torno de 50µm) em relação ao comprimento de onda, permitindo que vários 
modos (feixes luminosos) trafeguem em seu interior. Apresenta perda por 
multicaminhos.
Fibras monomodo: Núcleo possui um diâmetro pequeno, e por isso 
praticamente um único feixe luminoso percorre a fi bra. Esta característica 
dá a fi bra alta capacidade de transmissão.
•
•
Figura 56 – Transmissão em Fibras Monomodo e Multimodo
Fonte: Acervo dos autores53
Neste capítulo enfocamos vários aspectos e características dos materiais 
semicondutores, materiais magnéticos e, também, os materiais ópticos. Vimos um 
breve histórico da magnetita e suas funcionalidades. Destacamos a importância do 
conhecimento da estrutura atômica para o entendimento dos fl uxos nos materiais 
condutores, isolantes ou semicondutores. Verifi camos a estrutura do cristal de 
Silício, os cristais P, N e a junção PN, assim como, o funcionamento do Diodo 
de junção por meio dos modelos para a análise e a reta de carga. Trabalhamos 
como reconhecer e analisar os circuitos retifi cadores a diodo , a calcular o valor 
do fl uxo magnético em um determinado material. Estudamos, o conceito de onda 
eletromagnética, e suas características a defi nição do ângulo crítico de condução 
de feixes luminosos e o reconhecimento de diversos tipos de materiais ópticos.
1) a) Com base na distribuição eletrônica dos átomos de Cu e Si, escreva como 
se classifi cam.
 b) Responda em que tipo de semicondutor as lacunas são portadores 
minoritários.
2) Esboce as linhas de indução do campo magnético criado pelos ímãs em cada 
uma das situações mostradas.
3) Escreva o que é histerese. Defi na os pontos característicos de um ciclo de 
histerese.
4) Explique o princípio básico de funcionamento de um laser.
5) Determinada irradiação eletromagnética apresenta λ = 1µm no vácuo. Determinel 
o comprimento dessa onda ao atravessar o núcleo de uma fi bra, composto de 
sílica cujo índice de refração seja 1,52.
Resumo
Atividades
54
Apostila de Ciência dos Materiais – Escola Politécnica / USP – disponível 
em http://www.ebah.com.br/aula07-propriedades-opticas-pdf-a581.html 
Apostila de Materiais Elétricos da Escola Politécnica / DCTM 
– UFBA, 2002, disponível em www.materiaiseletricos.ufba.br
BERTOLI, R. A., Apostila de Eletrônica, UNICAMP, 2000. Disponível 
em: http://www.uergsai.hpg.ig.com.br/material/semicondutores.pdf.
BOGART Jr, Theodore F, Dispositivos e Circuitos Eletrônicos, 
Volume I, 3º edição, São Paulo: Prentice Hall, 2001
BOYLESTAD, R.L., Dispositivos Eletrônicos e Teoria de 
Circuitos, 8º. Ed São Paulo, Prentice Hall, 2004.
GUERRINI, D. P., “Eletricidade Para a Engenharia”, Manole, 2003
KENYON, Ian. R, “Light Fantastic: A Modern Introduction to Classic 
and Quantum Optics”, Oxford University Press, 2008
MALVINO, A.P., Eletrônica: Volume I, 4º Ed São Paulo, Prentice Hall, 1995.
REZENDE, E. M., “Materiais Usados em Eletrotécnica”, Interciência, 1977
RIBEIRO, J. A., “Comunicações Ópticas”, Ed. Érica, 2006
SCHMIDT, A., “Materiais Elétricos”, Volume II, Edgard Blücher, 1979
VLACK, V. LAWRENCE, H. , “Princípios de Ciência 
dos Materiais”, Edgard Blücher, 1970
Referências
55
CIRCUITOS DE 
SEGUNDA ORDEM
No capítulo referente a circuitos de primeira ordem, você pôde estudar 
a resposta de um circuito RC ou RL devida a vários tipos diferentes de 
entradas. Estes circuitos eram compostos por um elemento resistivo e 
outro armazenador de energia (capacitor ou indutor) que interagiam entre 
si resultando em respostas específi cas, dependendo do tipo de sinal de 
entrada. Mas, existem circuitos que envolvem, além do elemento resistivo, 
dois elementos armazenadores de energia. Estes circuitos são chamados 
de RLC (Resistor/Indutor/Capacitor). Posto isso, vamos agora estudar a 
resposta deste tipo de circuito. Veremos que esta resposta dependerá de 
como os elementos estão associados, de seus valores e do tipo de sinal de 
entrada aplicado ao circuito.
2
Fernando de Melo Lopes
Introdução
Objetivos
Identifi car e classifi car os tipos de circuitos de segunda ordem.
Demonstrar o equacionamento utilizado para encontrar as equações 
de resposta.
Calcular a resposta do circuito a cada tipo diferente de sinal de entra-
da.
esboçar o sinal de resposta de cada circuito.
Examinar e interpretar as respostas dos circuitos de segunda ordem.
•
•
•
•
•
56
Introdução
Equação típica
Condições iniciais e fi nais
Resposta de um circuito RLC paralelo
a) Circuito superamortecido
b) Circuito superamortecido
c) Circuito subamortecido
Resposta para circuitos RLC série
a) Circuito superamortecido
b) Circuito criticamente amortecido
c) Circuito subamortecido
d) Circuito sem perdas
Fator de qualidade
Esquema
1. Circuitos de segunda ordem
Quando você estudou circuitos de primeira ordem viu que estes circuitos eram 
compostos por um elemento resistivo e um armazenador de energia (capacitor 
ou indutor). Agora, você irá estudar circuitos que envolvem dois elementos 
armazenadores ao mesmo tempo, ou seja, um elemento resistivo e dois elementos 
armazenadores de energia, que pode ser um resistor, um indutor e um capacitor 
(RLC), um resistor e dois indutores que não podem ser associados (RL) ou um 
resistor e dois capacitores que não podem ser associados (RC).
Figura 1: Tipos de circuitos de segunda ordem.
Fonte: Acervo do autor.
57
Você verá como será a resposta deste circuito a cada tipo diferente de entrada e 
poderá analisar e comparar com os circuitos de primeira ordem.
2. Equação típica
Circuitos de segunda ordem são assim chamados, pois a equação é composta por 
equações diferenciais de segunda ordem, como pode ser visto, a seguir:
2
2
( ) ( )
( ) ( )
dy t dy t
a b cy t f t
dt dt
+ + =
Sendo que:
− a, b e c são constantes;
− ( )y t é a resposta do circuito, ou seja, a saída. Pode representar qualquer 
grandeza do circuito como corrente, tensão, a carga ou fl uxo;
− ( )f t é a excitação, ou a entrada do circuito. Corresponde às fontes contidas 
no circuito e pode assumir várias formas dependendo do tipo de fonte 
existente no circuito (fonte CC, senoidal, impulso, degrau, dentre outros).
Assim como para circuitos de primeira ordem, existem dois tipos de regimes para 
os circuitos de segunda ordem: o regime transitório, que ocorre após uma mudança 
de estado e o regime permanente ou estacionário.
3. Condições iniciais e fi nais
Você verá que para resolver circuitos de segunda ordem precisamos apenas 
encontrar as condições iniciais e fi nais, além, é claro, da equação. Por isso, vamos 
dedicar uma parte deste roteiro para relembrar e praticar o equacionamento e o 
cálculo das condições iniciais e fi nais.
Antes de iniciar, vamos fazer algumas considerações importantes:
vamos considerar v como sendo a tensão no capacitor e i a corrente no indutor;
é muito importante a polaridade da tensão ( )v t no capacitor e a direção da 
corrente ( )i t no indutor. Devemos considerar esta polaridade ou direção 
considerando o elemento passivo, ou seja, consumindo energia;
vamos lembrar que o capacitor tem inércia de tensão. Ele não permite que a 
tensão varie bruscamente. Desta forma, teremos (0 ) (0 )v v− += , o que quer 
dizer que a tensão no capacitor antes do chaveamento 0t = será a mesma 
imediatamente após 0t = ;
•
•
•
o indutor tem inércia de corrente. Ele não permite que a corrente varie brus-
camente. Assim, teremos (0 ) (0 )i i− += , signifi cando que a corrente no indu-
tor antes de 0t = será a mesma no momento imediatamente após 0t = .
•
Exemplifi cando!
De posse destas informações, vamos fazer alguns exemplos:
2) A chave da fi gura, a seguir, esteve fechada por um longo tempo, sendo aberta 
em 0t = . 
a) Determine (0 )v + e (0 )i + ;
b) Determine (0) /dv dt e (0) /di dt ;
c) Determine ( )v ∞ e ( )i ∞ .
F
ig
u
ra
 2
: 
C
ir
cu
ito
 R
L
C
, 
d
o
 e
xe
m
p
lo
 1
F
o
n
te
: A
ce
rv
o
 d
o
 a
u
to
r.
Solução:
a) Se a chave esteve aberta por um longo tempo, signifi ca que em 0t = o circuito 
está em regime permanente. Para um regime permanente cc, o indutor é um 
curto circuito e o capacitor é um circuito aberto. Assim, podemos desenhar o 
circuito equivalente como:
59
Desta forma, podemos encontrar a corrente (0 )i − e a tensão (0 )v − :
10 10
(0 ) 1,67
4 2 6
V
i A
R
− = = = =
+
Como o circuito está em série, a mesma corrente i passa pelos dois resistores, 
sendo assim, v e a tensão no resistor de 2Ω, ou seja:(0 ) ( )( ) (2)(1,67) 3,33v R I V− = = =
A corrente no indutor e a tensão no capacitor não sofrem variações abruptas, 
portanto, no momento imediatamente após a abertura da chave a corrente i no 
indutor e a tensão v no capacitor serão as mesmas:
(0 ) (0 ) 1,67i i A− += =
(0 ) (0 ) 3,33v v V− += =
Para 0t += , a chave é aberta e o circuito equivalente pode ser redesenhado 
como:
Figura 3: Circuito da fi gura 2, redesenhado para 0t <
Fonte: Acervo do autor.
Figura 4: Circuito da fi gura 2, redesenhado para 0t >
Fonte: Acervo do autor.
60
Rodando a malha no circuito equivalente, teremos:
F
ig
u
ra
 5
: 
L
e
i d
a
s 
m
a
lh
a
s
F
o
n
te
: A
ce
rv
o
 d
o
 a
u
to
r.
1 1 11 0R L CV V V V− − − =
110 (1,67)(4) 3,33 0LV− − − =
110 6,67 3,33 0LV− − − =
1 0LV =
(0 ) 0Lv
+ =
Da mesma forma que foi feito com o capacitor, temos que 
( )
( ) LL
di t
v t L
dt
= .
( ) ( )L Ldi t v t
dt L
=
(0) (0)L Ldi v
dt L
=
(0) 0
0 /
0,3
Ldi A s
dt
= =
A mesma corrente que fl ui pelo indutor deve fl uir pelo capacitor. Assim, teremos:
(0 ) (0 ) 1,67Ci i A
+ += =
Como 
( )
( ) CC
dv t
i t C
dt
= , podemos fazer:
( ) ( )C Cdv t i t
dt C
=
(0) (0) 1,67
167 /
0,01
C Cdv i V s
dt C
= = =
61
Depois de muito tempo, o circuito estará em estado permanente. Assim, podemos 
redesenhar o circuito como:
Figura 6: Circuito da fi gura 2, redesenhado para t = ∞
Fonte: Acervo do autor.
Com isso, teremos:
3) Para o circuito da fi gura, a seguir, calcule (0 )Li
+ , (0 )Cv
+ , (0 )Rv
+ , (0 ) /Ldi dt
+ , 
(0 ) /Cdv dt
+ , ( )Li ∞ , ( )Cv ∞ e ( )Rv ∞ .
Figura 7: Circuito RLC, do exemplo 2
Fonte: Acervo do autor.
( ) 0i A∞ =
 ( ) 10v V∞ =
Solução:
Para 0t −= a corrente da 1I é 0A e o circuito se encontra em estado 
permanente.
62
Figura 8: Circuito da fi gura 7, redesenhado para 0t −=
Fonte: Acervo do autor.
Observe que, neste momento, não temos fonte alimentando o circuito: desta 
forma, podemos determinar:
(0 ) 0Li A
− =
(0 ) 20Cv V
− = −
Para 0t += , a fonte de corrente passa a alimentar o circuito: sendo assim, o 
circuito equivalente pode ser visto na fi gura, a seguir. Sabendo-se que a tensão 
no capacitor e a corrente no indutor não sofrem variações abruptas, podemos 
concluir:
(0 ) (0 ) 0L Li i A
− += =
(0 ) (0 ) 20C Cv v V
− += = −
A tensão no resistor de 4Ω não foi pedida, mas vamos usá-la para aplicar a LKT e 
a LKC neste circuito. Vamos chamá-la de 2Rv . Aplicando LKC ao nó, teremos:
1 21 0R RI I I− − =
1 2(0 ) (0 )3 0
6 4
R Rv v
+ +
− − =
1 2(0 ) (0 )3
6 4
R Rv v
+ +
= +
Aplicando LKT na malha do meio, teremos:
63
1 21 (0 ) (0 ) (0 ) 0R R CV v v v
+ + +− + − − =
1 220 (0 ) (0 ) ( 20) 0R Rv v
+ +− + − − − =
1 220 (0 ) (0 ) 20 0R Rv v
+ +− + − + =
1 2(0 ) (0 ) 0R Rv v
+ +− =
1 2(0 ) (0 )R Rv v
+ +=
Como 1 2
(0 ) (0 )
3
6 4
R Rv v
+ +
+ = , podemos fazer:
1 1(0 ) (0 ) 3
6 4
R Rv v
+ +
+ =
1 14 (0 ) 6 (0 ) 3
24
R Rv v
+ ++
=
110 (0 ) 3
24
Rv
+
=
110 (0 ) 3(24)Rv
+ =
1
72
(0 ) 7,2
10
Rv V
+ = =
Sabendo-se que ( ) ( ) /L Lv t Ldi t dt= , teremos:
( ) ( )L Ldi t v t
dt L
=
Mas, aplicando a LKT na malha da direita, teremos:
1 (0 ) (0 ) 0C LV v v
+ ++ − =
20 ( 20) (0 ) 0Lv
++ − − =
0 (0 ) 0Lv
+− =
(0 ) 0Lv
+ =
64
Assim:
(0 ) (0 ) 0
0 /
0,6
L Ldi v A s
dt L
+ +
= = =
Da mesma forma, ( ) ( ) /C Ci t Cdv t dt= , assim:
( ) ( )C Cdv t i t
dt C
=
Aplicando a LKC no nó da direita, teremos:
Assim:
Para obter (0 ) /Rdv dt
+ , faremos:
Derivando dos dois lados da equação, teremos:
2 (0 ) (0 ) (0 ) 0R C Li i i
+ + +− − =
2 (0 ) (0 ) 0 0
4
R
C
v
i
+
+− − =
7,2
(0 ) 1,8
4
Ci A
+ = =
(0 ) (0 ) 1,8
3,6 /
0,5
C Cdv i V s
dt C
+ +
= = =
1 2(0 ) (0 ) 3
6 4
R Rv v
+ +
+ =
1 24 (0 ) 6 (0 ) 3
24
R Rv v
+ ++
=
1 24 (0 ) 6 (0 ) 72R Rv v
+ ++ =
1 2(0 ) (0 )4 6 0R R
dv dv
dt dt
+ +
+ =
65
Aplicando a LKT na malha do meio e derivando ambos os lados, temos:
Como 
(0 )
3,6 /C
dv
V s
dt
+
= , teremos:
Sendo assim, a partir das equações:
1 21 (0 ) (0 ) (0 ) 0R R CV v v v
+ + +− + − − =
1 2(0 ) (0 ) (0 ) 20R R Cv v v
+ + +− − =
1 2
(0 )(0 ) (0 )
0CR R
dvdv dv
dt dt dt
++ +
− − =
1 2(0 ) (0 ) 3,6 0R R
dv dv
dt dt
+ +
− − =
1 2(0 ) (0 ) 3,6R R
dv dv
dt dt
+ +
− =
1 2(0 ) (0 )4 6 0R R
dv dv
dt dt
+ +
+ =
1 2(0 ) (0 ) 3,6R R
dv dv
dt dt
+ +
− =
Resolvendo o sistema, teremos:
1 2
1 2
(0 ) (0 )
4 6 0
(0 ) (0 )
3,6
R R
R R
dv dv
dt dt
dv dv
dt dt
+ +
+ +

+ =

 − =
( )
1 2
1 2
(0 ) (0 )
4 6 0
(0 ) (0 )
3,6 6
R R
R R
dv dv
dt dt
dv dv
dt dt
+ +
+ +

+ =

 − =
66
1 2
1 2
(0 ) (0 )
4 6 0
(0 ) (0 )
6 6 21,6
R R
R R
dv dv
dt dt
dv dv
dt dt
+ +
+ +

+ =

 − =
1 1(0 ) (0 )4 6 0 21,6R R
dv dv
dt dt
+ +
+ = +
1(0 )10 21,6R
dv
dt
+
=
1(0 ) 21,6
10
Rdv
dt
+
=
1(0 ) 2,16 /R
dv
V s
dt
+
=
Finalmente, para calcular ( )Li ∞ , ( )Cv ∞ e ( )Rv ∞ , o circuito estará em estado 
permanente. Teremos o circuito equivalente, a seguir:
Figura 9: Circuito da fi gura 7 em estado permanente
Fonte: Acervo do autor.
Agora, a corrente que passa pelo indutor é a mesma que passa pelo resistor R2. 
Para calcular a corrente em R2, usaremos o divisor de corrente:
2
6
( ) ( ) 2 1,2
4 6
L Ri i A∞ = ∞ = =+
( ) 20Cv V∞ = −
( ) (2 1, 2)(6) (0,8)(6) 4,8Rv V∞ = − = =
67
Resposta de um circuito RLC paralelo
A resposta completa de um circuito RLC paralelo é composta por uma resposta, 
transitória ou natural, que corresponde ao período de transição em que o 
capacitor e o indutor armazenam ou consomem suas energias, e por uma 
resposta permanente ou forçada que é o resultado após o período de transição 
e corresponde às condições fi nais do circuito.
( ) ( ) ( )n fv t v t v t= +
Vamos estudar primeiro a resposta à excitação zero de um circuito RLC com seus 
elementos ligados em paralelo. Este tipo de resposta corresponde à resposta 
natural ( )nv t . A partir deste equacionamento, para obtermos resposta completa 
basta somar o termo ( ) ( )fv t v= ∞ , ou seja, a condição fi nal do circuito.
Considere o circuito, a seguir:
Figura 10: Circuito RLC em paralelo
Fonte: Acervo do autor.
Vamos considerar também as seguintes relações:
( ) ( )( ) e ( ) RR R R
v t
v t Ri t i t
R
= =
( )0
0
( ) 1
( ) e ( )
t
L
L L L
di t
v t L i t I v t dt
dt L
= = + ∫
( ) ( )0
0
1
( ) e ( )
t
C
C C C
dv t
v t V i t dt i t C
C dt
= + =∫
Pelas leis LKC e LKT, teremos:
( ) ( ) ( ) ( )C R Lv t v t v t v t= = =
( ) ( ) ( ) 0C L Ri t i t i t+ + =
68
Vamos montar a equação diferencial a partir destas relações, como segue:
Utilizando a LKC, teremos:
( ) ( ) ( ) 0C L Ri t i t i t+ + =
( ) ( ) ( )0
0
1
0
t
C R
L
dv t v t
C I v t dt
dt L R
+ + + =∫
Derivando toda a equação e fazendo ( ) ( ) ( ) ( )C R Lv t v t v t v t= = = , teremos:
( ) ( ) ( )
2
2
1 1
0
C R
L
d v t dv t
C v t
dt L R dt
+ + =
( ) ( ) ( )
2
2
1 1
0
d v t dv t
C v t
dt R dt L
+ + =
Agora, dividindo todos os termos por C, teremos:
( ) ( ) ( )
2
2
1 1
0
d v t dv t
v t
dt RC dt LC
+ + =
Tomando as condições iniciais em relação ao capacitor, teremos:
( ) 00Cv V=
( )0
(0)
C
C
dv
i C
dt
=
( )0 (0)C Cdv i
dt C
=
Por defi nição, para circuitos RLC paralelo, teremos:
1
2RC
α =
0
1
LC
ω =
69
Sendo que:
α é chamada de constante de amortecimento do circuito
0ω é chamado de frequência de ressonância angular.
•
•
Assim, podemos escrever a equação diferencial:
( ) ( ) ( )
2
2
1 1
0
d v t dv t
v t
dt RC dt LC
+ + =
Como:
( ) ( ) ( )
2
2
02
2 0
d v t dv t
v t
dt dt
α ω+ + =
( ) 00Cv V=
( )0 (0)C Cdv i
dt C
=
Fazendo a transformada de Laplace da equação diferencial, teremos:
( )2 2
0 0 0
0
( ) 2 ( ) 2 ( ) 0
Cdv
s V s sV V s V V s
dt
α α ω− − + − + =
Como 
( )0 (0)C Cdv i
dt C
= , temos:
2 2
0 0 0
(0)
( ) 2 ( ) 2 ( ) 0C
i
s V s sV V s V V s
C
α α ω− − + − + =
2 2
0 0 0
(0)
( ) 2 2C
i
V s s s sV V
C
α ω α + + = + + 
0 0
2 2
0
(0)
2
( )
2
CisV V
CV s
s s
α
α ω
+ +
=
+ +
[ ]0