Questão resolvida - A solução da equação diferencial 8y" 4y'0 para y(0)2 e y'(0)4 - Cálculo II - UNIP

Prévia do material em texto

Tiago Lima - Instagram: @professor_disciplinas_exatas
 
• A solução da equação diferencial para e .8y" + 4y' = 0 y 0 = 2( ) y' 0 = 4( )
 
Resolução:
Vamos encontrar a solução homogênea y ; essa solução tem equação genérica do tipo;H
 
y = y x = C ⋅ 𝜚 + C ⋅ 𝜚H h( ) 1
𝜆´x
2
𝜆"x
 
A EDO tem equação caracteristica 8𝜆 + 4𝜆 = 0 equação do 2ª grau incompleta2 ( )
com : 𝜆 = y", y' = 𝜆 e 0 é um termo independente, veja que isso é uma equação do2
2° grau incompleta, resolvendo :
 
8𝜆 + 4𝜆 = 0 𝜆 8𝜆+ 4 = 0 𝜆' = 0 ou 8𝜆" + 4 = 02 → ( ) →
 8𝜆" = -4
 𝜆" =
-4
8
 𝜆" = -
1
2
 
Substituindo 𝜆´ e 𝜆" ;
 
y = C ⋅ e + C e y x = C + C eH 1
0x
2
- x
1
2 → H( ) 1 2
- x
1
2
 
Primeiro, substituimos y 0 = 2 na solução encontrada;( )
 
y 0 = C + C e = 2 C + C e = 2 C + C = 2 C = 2 -CH( ) 1 2
- ⋅0
1
2 → 1 2
0
→ 1 2 → 1 2
 
Substituindo em y x , temos que;H( )
 
y' = C e ⋅ - = - , temos que y' 0 = 4, substituindo;2
- x
1
2
1
2
C e
2
2
- x
1
2
( )
 
y' 0 = - = 4 - = 4 - = 4 -C = 8 C = - 8( )
C e
2
2
- ⋅0
1
2
→
C e
2
2
0
→
C ⋅ 1
2
2
→ 2 → 2
 
 
 
Substituindo na relação encontrada para C e C , encontramos C ;1 2 1
 
C = 2 - -8 C = 2 + 8 C = 101 ( ) → 1 → 1
 
Assim, a solução homogênea da EDO é;
 
y x = 10- 8eH( )
- x
1
2
 
 
(Resposta )