Questão resolvida - Determine a solução geral da equação diferencial de segunda ordem 3y_-3y'-18y=360 - Cálculo II - ESTÁCIO

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Tiago Lima - Instagram: @professor_disciplinas_exatas
 
• Determine a solução geral da equação diferencial de segunda ordem 
.3y" - 3y' - 18y = 360
 
Resolução:
 
Inicialmente, é preciso encontrar a solução homogênia de 2° ordem de: 3y" - 3y' - 18y = 0
 
Essa equação tem equação caracteristica 3𝜆 - 3𝜆- 18 = 0 equação do 2ª grau→ 2 ( )
com : 𝜆 = y", y' = 𝜆 e - 18 é um termo independente, veja que isso é uma equação do2
2° grau, simplificando e resolvendo :
3𝜆 - 3𝜆- 18 = 0 ÷ 3 𝜆 -𝜆- 6 = 02 → 2
 
𝜆' = = 3
- -1 +
2 ⋅ 1
( ) -1 - 4 ⋅ 1 ⋅ -6( )2 ( )
 
𝜆'' = = - 2
- -1 -
2 ⋅ 1
( ) -1 - 4 ⋅ 1 ⋅ -6( )2 ( )
 
A solução homogênea genérica para uma equação diferencial de 2ª ordem é :( )
 
y x = C ⋅ 𝜚 + C ⋅ 𝜚h( ) 1
𝜆´x
2
𝜆"x
 
Substituindo 𝜆´ e 𝜆";
 
y = C ⋅ e + C ⋅ eHomogênea 1
3x
2
-2x
 
Como a EDO não é homogênea, é preciso encontrar a solução particular : y = kp
Fazemos : y' = 0 e y'' = 0p p
Substituindo na EDO, fica : 3 ⋅ 0 - 3 ⋅ 0 - 18k = 360 k = k = 20; assim, y = 20→
360
18
→ p
 
Para finalizar, devemos somar a solução homogênea com a solução particular e teremos a
 solução geral da equação diferencial de segunda ordem :
 
y = C ⋅ e +C ⋅ e + 20g 1
3x
2
-2x
 
 
(Resposta)