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Hiperboloide
 
Hiperboloide de uma folha
 
superfície cônica Hiperboloide de duas folhas
Na geometria, um hiperboloide de revolução, às vezes chamado de hiperboloide circular, é
uma superfície que pode ser gerada pela rotação de uma hipérbole em torno de um de seus
principais eixos. Um hiperboloide é uma superfície que pode ser obtida a partir de um
hiperboloide de revolução, deformando-o por meio de escalonamentos direcionais, ou mais
geralmente, de uma transformação afim.
Um hiperboloide é uma superfície quádrica, que é uma superfície que pode ser definida
como o conjunto zero de um polinômio de grau dois em três variáveis. Entre as superfícies
quádricas, um hiperboloide é caracterizado por não ser um cone ou um cilindro, ter um
centro de simetria e interceptar muitos planos em hipérboles. Um hiperboloide também
possui três eixos perpendiculares de simetria emparelhados e três planos perpendiculares
de simetria emparelhados.
Dado um hiperboloide, se alguém escolhe um sistema de coordenadas cartesianas cujos
eixos são eixos de simetria do hiperboloide, e origem é o centro de simetria do hiperboloide,
então o hiperboloide pode ser definido por uma das duas equações seguintes:
ou
https://pt.m.wikipedia.org/wiki/Wikip%C3%A9dia:P%C3%A1gina_principal
https://pt.m.wikipedia.org/wiki/Ficheiro:Hyperboloid1.png
https://pt.m.wikipedia.org/wiki/Ficheiro:DoubleCone.png
https://pt.m.wikipedia.org/wiki/Superf%C3%ADcie_c%C3%B4nica
https://pt.m.wikipedia.org/wiki/Ficheiro:Hyperboloid2.png
https://pt.m.wikipedia.org/wiki/Geometria_anal%C3%ADtica
https://pt.m.wikipedia.org/wiki/Rota%C3%A7%C3%A3o_(matem%C3%A1tica)
https://pt.m.wikipedia.org/wiki/Hip%C3%A9rbole
https://pt.m.wikipedia.org/wiki/Transforma%C3%A7%C3%A3o_afim
https://pt.m.wikipedia.org/wiki/Qu%C3%A1drica
https://pt.m.wikipedia.org/wiki/Raiz_(matem%C3%A1tica)
https://pt.m.wikipedia.org/wiki/Fun%C3%A7%C3%A3o_polinomial
https://pt.m.wikipedia.org/wiki/Cone
https://pt.m.wikipedia.org/wiki/Cilindro
https://pt.m.wikipedia.org/wiki/Sistema_de_coordenadas_cartesiano
https://pt.m.wikipedia.org/wiki/Eixo_de_simetria
Ambas as superfícies são assintóticas ao cone de equação
Só se obtém um hiperboloide de revolução se e somente se Caso contrário, os
eixos são exclusivamente definidos (até a troca do eixo x e do eixo y.)
Existem dois tipos de hiperboloides. No primeiro caso ( no lado direito da equação), tem-
se um hiperboloide de uma folha, também chamado hiperboloide hiperbólico. É uma
superfície conectada, que tem uma Curvatura Gaussiana negativa em cada ponto. Isto
implica que o plano tangente em qualquer ponto intercepta o hiperboloide em duas retas e,
assim, que o hiperboloide de uma folha é uma superfície duplamente regrada.
No segundo caso ( no lado direito da equação), tem-se um hiperboloide de duas folhas,
também chamado hiperboloide elíptico. A superfície tem dois componentes conectados e
uma curvatura gaussiana positiva em cada ponto. Assim, a superfície é convexa no sentido
de que o plano tangente em todos os pontos intercepta a superfície somente nesse ponto.
As coordenadas cartesianas para os hiperboloides podem ser definidas, similares às
coordenadas esféricas, mantendo o ângulo azimutal , mas mudando a inclinação
Representações paramétricas
Animação de um hiperboloide de revolução
https://pt.m.wikipedia.org/wiki/Assint%C3%B3tica
https://pt.m.wikipedia.org/wiki/Espa%C3%A7o_conexo
https://pt.m.wikipedia.org/wiki/Curvatura_gaussiana
https://pt.m.wikipedia.org/wiki/Espa%C3%A7o_tangente
https://pt.m.wikipedia.org/wiki/Superf%C3%ADcie_regrada
https://pt.m.wikipedia.org/wiki/Espa%C3%A7o_conexo
https://pt.m.wikipedia.org/wiki/Espa%C3%A7o_tangente
https://pt.m.wikipedia.org/wiki/Coordenadas_cartesianas
https://pt.m.wikipedia.org/wiki/Coordenadas_esf%C3%A9ricas
https://pt.m.wikipedia.org/wiki/Azimute
https://pt.m.wikipedia.org/wiki/Ficheiro:Cylinder_-_hyperboloid_-_cone.gif
 para funções trigonométricas hiperbólicas:
Hiperboloide de uma superfície: 
Hiperboloide de duas superfícies: 
hiperboloide de uma folha: geração por uma hipérbole (topo) e retas (fundo: vermelho ou azul)
https://pt.m.wikipedia.org/wiki/Ficheiro:Hyperboloid-1s.svg
https://pt.m.wikipedia.org/wiki/Hip%C3%A9rbole
https://pt.m.wikipedia.org/wiki/Reta
https://pt.m.wikipedia.org/wiki/Ficheiro:Hyperbo-1s-cut-all.svg
Retas na superfície
Um hiperboloide de uma folha contém dois feixes de retas. É uma superfície duplamente
regrada.
Se o hiperboloide tem a equação então as retas
estão contidas na superfície.
No caso de o hiperboloide é uma superfície de revolução e pode ser gerado pela
rotação de uma das duas retas ou , que são inclinados para o eixo de rotação (ver
imagem). A geração mais comum de um hiperboloide de revolução é a rotação de uma
hipérbole em torno do seu eixo semi-secundário (ver imagem).
Observação: Um hiperboloide de duas folhas é projetivamente equivalente a um paraboloide
hiperbólico.
Seções planas
hiperboloide de uma folha: seções planas
Propriedades de um hiperboloide de uma folha
https://pt.m.wikipedia.org/wiki/Superf%C3%ADcie_regrada
https://pt.m.wikipedia.org/wiki/Superf%C3%ADcie_de_revolu%C3%A7%C3%A3o
https://pt.m.wikipedia.org/wiki/Paraboloide
https://pt.m.wikipedia.org/wiki/Ficheiro:Hyperbo-1s-cut-all.svg
Por simplicidade, as seções planas da unidade hiperboloide com equação 
 são considerados. Como um hiperboloide em posição geral é
uma imagem afim da unidade hiperboloide, o resultado também se aplica ao caso geral.
Um plano com uma inclinação menor que 1 (1 é a inclinação das linhas no hiperboloide)
intercepta numa elipse,
Um plano com inclinação igual a 1 contendo a origem intercepta em um par de linhas
paralelas,
Um plano com uma inclinação igual a 1 que não contém a origem intercepta em uma
parábola,
Um plano tangencial intercepta em um par de linhas de concorrentes,
Um plano não tangencial com uma inclinação maior que 1 intersecta em uma
hipérbole.[1]
Obviamente, qualquer hiperboloide de revolução de uma folha contém círculos. Isso também
é verdade, mas menos óbvio, no caso geral.
hiperboloide de duas folhas: geração pela rotação de uma hipérbole
hiperboloide de duas folhas: seções planas
https://pt.m.wikipedia.org/wiki/Ficheiro:Hyperboloid-2s.svg
https://pt.m.wikipedia.org/wiki/Ficheiro:Hyperbo-2s-ca.svg
O hiperboloide de duas folhas não contém retas. A discussão de seções planas pode ser
realizada para a unidade hiperboloide de duas folhas com equação
.
que pode ser gerado por uma hipérbole rotativa em torno de um de seus eixos (aquele que
corta a hipérbole)
Um plano com declive menor que 1 (1 é o declive das assíntotas da hipérbole geradora)
intercepta ou em uma elipse ou em um ponto ou não intercepta,
Um plano com inclinação igual a 1 contendo a origem (ponto médio do hiperboloide) não
cruza ,
Um plano com inclinação igual a 1 que não contém a origem intercepta em uma
parábola,
Um plano com inclinação maior que 1 intercepta em uma hipérbole.[2]
Obviamente, qualquer hiperboloide de revolução de duas folhas contém círculos. Isso
também é verdade, mas menos óbvio, no caso geral.
Observação: Um hiperboloide de duas folhas é projetivamente equivalente a uma esfera.
A seguinte representação paramétrica inclui hiperboloides de uma folha, duas folhas e seu
cone de limite comum, cada um com o eixo como o eixo de simetria:
Para obtém-se um hiperboloide de uma folha,
Para um hiperboloide de duas folhas e
Para um cone duplo.
Propriedades de um hiperboloide de duas folhas
Representação paramétrica comum
https://pt.m.wikipedia.org/wiki/Hip%C3%A9rbole
https://pt.m.wikipedia.org/wiki/Eixo_de_simetria
Pode-se obter uma representação paramétrica de um hiperboloide com um eixo de
coordenadas diferente como o eixo de simetria, arrastando a posição do termo para o
componente apropriado na equação acima.
Os hiperboloides com equações são
ponto simétrico à origem,
simétrica para os planos de coordenadas e
simétrica rotacional ao eixo z e simétrica a qualquer plano que contenhao eixo z, em caso
de (hiperboloide de revolução).
A curvatura gaussiana de um hiperboloide de uma folha é negativa, a de um hiperboloide de
duas folhas é positiva. Apesar de sua curvatura positiva, o hiperboloide de duas folhas com
outra métrica adequadamente escolhida também pode ser usado como modelo para
geometria hiperbólica.
Mais geralmente, um hiperbolóide arbitrariamente orientado, centrado em , é definido pela
equação
onde é uma matriz e , são vetores.
Os autovetores de definem as direções principais do hiperboloide e os autovalores de 
são os recíprocos dos quadrados dos semi-eixos: , e . O hiperboloide de uma
folha tem dois autovalores positivos e um autovalor negativo. O hiperboloide de duas folhas
tem um autovalor positivo e dois autovalores negativos.
Hiperboloides imaginários são frequentemente encontrados em matemática de dimensões
superiores. Por exemplo, em um espaço pseudo-euclidiano, tem-se o uso de uma forma
Simetrias de um hiperboloide
Na curvatura de um hiperboloide
Equações generalizadas
Em mais de três dimensões
https://pt.m.wikipedia.org/wiki/Curvatura_gaussiana
https://pt.m.wikipedia.org/wiki/Autovalores_e_autovetores
https://pt.m.wikipedia.org/wiki/Autovalores_e_autovetores
https://pt.m.wikipedia.org/w/index.php?title=Espa%C3%A7o_pseudo-euclidiano&action=edit&redlink=1
https://pt.m.wikipedia.org/wiki/Forma_quadr%C3%A1tica
quadrática:
Quando é qualquer constante, então a parte do espaço dada por
é chamado de hiperboloide. O caso degenerado corresponde a .
Como exemplo, considere a seguinte passagem:[3]
No entanto, o termo quasi-esfera também é usado neste contexto, uma vez que a esfera e o
hiperboloide têm alguma semelhança.
Hiperboloides de uma folha são usados na construção, com estruturas chamadas estruturas
hiperboloides. Um hiperboloide é uma superfície duplamente regrada; Assim, ele pode ser
construído com vigas retas de aço, produzindo uma estrutura forte a um custo menor do que
outros métodos. Exemplos incluem torres de resfriamento, especialmente de usinas
elétricas, e muitas outras estruturas.
Galeria de estruturas hiperboloides de uma folha
... os vetores de velocidade sempre se encontram em uma superfície que Minkowski
chama de hiperboloide quadridimensional, expressa em termos de coordenadas
puramente reais (y1, ..., y4), sua equação é y
2 
1 + y
2 
2 + y
2 
3 − y
2 
4 = −1, análogo ao hiperboloide
y2 1 + y
2 
2 − y
2 
3 = −1 de espaço tridimensional.
Estruturas hiperboloides
https://pt.m.wikipedia.org/wiki/Forma_quadr%C3%A1tica
https://pt.m.wikipedia.org/wiki/Constante_matem%C3%A1tica
https://pt.m.wikipedia.org/wiki/Superf%C3%ADcie_regrada
https://pt.m.wikipedia.org/wiki/Torre_de_resfriamento
https://pt.m.wikipedia.org/wiki/Hermann_Minkowski
O Farol Adziogol, Ucrânia, 1911.
Torre Kobe Port, Japão, 1963.
https://pt.m.wikipedia.org/wiki/Ucr%C3%A2nia
https://pt.m.wikipedia.org/wiki/Jap%C3%A3o
https://pt.m.wikipedia.org/wiki/Ficheiro:Adziogol_hyperboloid_Lighthouse_by_Vladimir_Shukhov_1911.jpg
https://pt.m.wikipedia.org/wiki/Ficheiro:Kobe_port_tower11s3200.jpg
O Planetário James S. McDonnell de St. Louis Science Center, St. Louis, Missouri, 1963.
Torre de controle do Aeroporto Internacional de Newcastle, Newcastle upon Tyne, Inglaterra,
1967.
https://pt.m.wikipedia.org/wiki/St._Louis_(Missouri)
https://pt.m.wikipedia.org/wiki/Aeroporto_Internacional_de_Newcastle
https://pt.m.wikipedia.org/wiki/Newcastle_upon_Tyne
https://pt.m.wikipedia.org/wiki/Inglaterra
https://pt.m.wikipedia.org/wiki/Ficheiro:Mcdonnell_planetarium_slsc.jpg
https://pt.m.wikipedia.org/wiki/Ficheiro:Newcastle_International_Airport_Control_Tower.jpg
Torre de transmissão de Ještěd, Tchéquia, 1968.
Catedral de Brasília, Brasil, 1970.
https://pt.m.wikipedia.org/wiki/Tch%C3%A9quia
https://pt.m.wikipedia.org/wiki/Catedral_Metropolitana_de_Bras%C3%ADlia
https://pt.m.wikipedia.org/wiki/Brasil
https://pt.m.wikipedia.org/wiki/Ficheiro:Jested_002.JPG
https://pt.m.wikipedia.org/wiki/Ficheiro:Catedral1_Rodrigo_Marfan.jpg
Torre de água hiperboloide com tanque toroidal, Ciechanów, Polônia, 1972.
Roy Thomson Hall, Toronto, Canadá, 1982.
https://pt.m.wikipedia.org/wiki/Toro_(topologia)
https://pt.m.wikipedia.org/wiki/Ciechan%C3%B3w
https://pt.m.wikipedia.org/wiki/Pol%C3%B3nia
https://pt.m.wikipedia.org/wiki/Toronto
https://pt.m.wikipedia.org/wiki/Canad%C3%A1
https://pt.m.wikipedia.org/wiki/Ficheiro:Ciechanow_water_tower.jpg
https://pt.m.wikipedia.org/wiki/Ficheiro:Toronto_-_ON_-_Roy_Thomson_Hall.jpg
A torre de resfriamento THTR-300 para o reator nuclear de tório, agora desativado, Hamm-
Uentrop, Alemanha, 1983.
A Corporation Street Bridge, Manchester, Inglaterra, 1999.
https://pt.m.wikipedia.org/wiki/Torre_de_resfriamento
https://pt.m.wikipedia.org/wiki/T%C3%B3rio
https://pt.m.wikipedia.org/wiki/Hamm
https://pt.m.wikipedia.org/wiki/Alemanha
https://pt.m.wikipedia.org/wiki/Manchester
https://pt.m.wikipedia.org/wiki/Inglaterra
https://pt.m.wikipedia.org/wiki/Ficheiro:Thtr300_kuehlturm.jpg
https://pt.m.wikipedia.org/wiki/Ficheiro:Bridge_over_Corporation_Street_-_geograph.org.uk_-_809089.jpg
A torre de observação de Killesberg, Stuttgart, Alemanha, 2001.
BMW Welt, (BMW World), museu e local de evento, Munique, Alemanha, 2007.
https://pt.m.wikipedia.org/wiki/Estugarda
https://pt.m.wikipedia.org/wiki/Alemanha
https://pt.m.wikipedia.org/wiki/BMW_Welt
https://pt.m.wikipedia.org/wiki/Munique
https://pt.m.wikipedia.org/wiki/Alemanha
https://pt.m.wikipedia.org/wiki/Ficheiro:Killesberg_Tower.jpg
https://pt.m.wikipedia.org/wiki/Ficheiro:BMW-Welt_at_night_2.JPG
A Torre de Cantão, China, 2010.
The Essarts-le-Roi water tower, France.
Em 1853, William Rowan Hamilton publicou suas Lectures on Quaternions, que incluíam a
apresentação de biquaternions. A passagem a seguir da página 673 mostra como Hamilton
usa álgebra de biquaternion e vetores de quaternions para produzir hiperboloides a partir da
equação de uma esfera:
Relação com a esfera
https://pt.m.wikipedia.org/wiki/Torre_de_televis%C3%A3o_de_Cant%C3%A3o
https://pt.m.wikipedia.org/wiki/China
https://pt.m.wikipedia.org/w/index.php?title=Essarts-le-Roi&action=edit&redlink=1
https://pt.m.wikipedia.org/wiki/France
https://pt.m.wikipedia.org/wiki/William_Rowan_Hamilton
https://pt.m.wikipedia.org/wiki/Ficheiro:Canton_tower_in_asian_games_opening_ceremony.jpg
https://pt.m.wikipedia.org/wiki/Ficheiro:Les_Essarts-le-Roi_Ch%C3%A2teau_d%27eau.JPG
... a equação da esfera unitária ρ2 + 1 = 0, e mude o vetor ρ para uma forma de bivetor,
como σ + τ √−1. A equação da esfera então se divide no sistema das duas seguintes,
σ2 − τ2 + 1 = 0, S.στ = 0;
e sugere nossa consideração σ e τ como dois vetores reais e retangulares, de modo que
Tτ = (Tσ2 − 1 )1/2.
Por isso, é fácil inferir que, se assumirmos σ λ, onde λ é um vetor em uma
determinada posição, o novo vetor real σ + τ terminará na superfície de um hiperboloide
de duas folhas e equilátero; e que, se, por outro lado, assumirmos τ λ, então o locus da
extremidade do vetor real σ + τ será um hiperboloide equilátero, mas de uma folha. O
estudo desses dois hiperboloides é, portanto, assim conectado de maneira muito
simples, através de biquaternions, com o estudo da esfera.; ...
Nesta passagem S é o operador que dá a parte escalar de um quaternion, e T é o "tensor",
agora chamado de norma, de um quaternion.
Uma visão moderna da unificação da esfera e do hiperboloide usa a ideia de uma seção
cônica como uma fatia de uma forma quadrática. Em vez de uma superfície cônica, uma
exige hiper-superfícies cônicas no espaço de quatro dimensões com pontos
p = (w, x, y, z) ∈ R4 determinado por formas quadráticas. Primeiro, considere a hiper-
superfície cônica
 e
 que é um hiperplano.
Então é a esfera com raio r. Por outro lado, a hiper-superfície cônica
 prevê que é um hiperboloide.
Na teoria das formas quadráticas, uma unidade quasi-esfera é o subconjunto de um espaço
quadrático X consistindo em x ∈ X tal que a norma quadrática de x é um.[4]
Ver também
https://pt.m.wikipedia.org/wiki/Norma_(matem%C3%A1tica)https://pt.m.wikipedia.org/wiki/Forma_quadr%C3%A1tica
https://pt.m.wikipedia.org/wiki/Hiperplano
https://pt.m.wikipedia.org/wiki/Subconjunto
Elipsoide
Paraboloide
1. CDKG: Computerunterstützte Darstellende und Konstruktive Geometrie (TU Darmstadt) (htt
p://www.mathematik.tu-darmstadt.de/~ehartmann/cdg-skript-1998.pdf) (PDF; 3,4 MB),
S. 116
2. CDKG: Computerunterstützte Darstellende und Konstruktive Geometrie (TU Darmstadt) (htt
p://www.mathematik.tu-darmstadt.de/~ehartmann/cdg-skript-1998.pdf) (PDF; 3,4 MB),
S. 122
3. Thomas Hawkins (2000) Emergence of the Theory of Lie Groups: an essay in the history of
mathematics, 1869—1926, §9.3 "The Mathematization of Physics at Göttingen", see page
340, Springer ISBN 0-387-98963-3
4. Ian R. Porteous (1995) Clifford Algebras and the Classical Groups, pages 22, 24 & 106,
Cambridge University Press ISBN 0-521-55177-3
Wilhelm Blaschke (1948) Analytische Geometrie, Kapital V: "Quadriken", Wolfenbutteler
Verlagsanstalt.
David A. Brannan, M. F. Esplen, & Jeremy J Gray (1999) Geometry, pp. 39–41 Cambridge
University Press.
H. S. M. Coxeter (1961) Introduction to Geometry, p. 130, John Wiley & Sons.
Weisstein, Eric W. «Hyperboloid» (http://mathworld.wolfram.com/Hyperboloid.html) (em
inglês). MathWorld
Weisstein, Eric W. «One-sheeted hyperboloid» (http://mathworld.wolfram.com/One-Sh
eetedHyperboloid.html) (em inglês). MathWorld
Weisstein, Eric W. «Two-sheeted hyperboloid» (http://mathworld.wolfram.com/Two-Sh
eetedHyperboloid.html) (em inglês). MathWorld
Reproduzir conteúdo
Torre hiperboloide de Shukhov (1898) em Vyksa
Referências
Ligações externas
https://pt.m.wikipedia.org/wiki/Elipsoide
https://pt.m.wikipedia.org/wiki/Paraboloide
http://www.mathematik.tu-darmstadt.de/~ehartmann/cdg-skript-1998.pdf
http://www.mathematik.tu-darmstadt.de/~ehartmann/cdg-skript-1998.pdf
https://pt.m.wikipedia.org/wiki/Especial:Fontes_de_livros/0387989633
https://pt.m.wikipedia.org/w/index.php?title=Ian_R._Porteous&action=edit&redlink=1
https://pt.m.wikipedia.org/wiki/Cambridge_University_Press
https://pt.m.wikipedia.org/wiki/Especial:Fontes_de_livros/0521551773
https://pt.m.wikipedia.org/wiki/Wilhelm_Blaschke
https://pt.m.wikipedia.org/wiki/Cambridge_University_Press
https://pt.m.wikipedia.org/wiki/H._S._M._Coxeter
https://pt.m.wikipedia.org/wiki/John_Wiley_%26_Sons
https://pt.m.wikipedia.org/wiki/Eric_W._Weisstein
http://mathworld.wolfram.com/Hyperboloid.html
https://pt.m.wikipedia.org/wiki/MathWorld
https://pt.m.wikipedia.org/wiki/Eric_W._Weisstein
http://mathworld.wolfram.com/One-SheetedHyperboloid.html
https://pt.m.wikipedia.org/wiki/MathWorld
https://pt.m.wikipedia.org/wiki/Eric_W._Weisstein
http://mathworld.wolfram.com/Two-SheetedHyperboloid.html
https://pt.m.wikipedia.org/wiki/MathWorld
https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/c/cc/Vyksa_Shukhov_tower.ogv
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Wikipédia
Weisstein, Eric W. «Elliptic Hyperboloid» (http://mathworld.wolfram.com/EllipticHyper
boloid.html) (em inglês). MathWorld
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title=Hiperboloide&oldid=59190388"
https://pt.m.wikipedia.org/wiki/Especial:History/Hiperboloide
https://pt.m.wikipedia.org/wiki/User:Juan90264
https://pt.m.wikipedia.org/wiki/Eric_W._Weisstein
http://mathworld.wolfram.com/EllipticHyperboloid.html
https://pt.m.wikipedia.org/wiki/MathWorld
https://pt.wikipedia.org/w/index.php?title=Hiperboloide&oldid=59190388