4 9 ET Medidas

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ESTATÍSTICA APLICADA À 
ENGENHARIA 
 
Roberto Carlos Lourenço 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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4 MEDIDAS 
Neste bloco, estudaremos os métodos para calcular a média aritmética simples, a 
mediana, a moda e os quatis, que são as medidas de posição. 
Dando sequência aos nossos estudos, vamos conhecer as medidas de dispersão, 
ferramenta fundamental na Estatística, sendo assim, o cálculo de Amplitude Total, 
Variância, Desvio padrão, Coeficiente de Variação e intervalos interquartil, estarão 
complementando nossos estudos. 
4.1 Medidas de posição – média, mediana, moda e quartil 
Média Aritmética Simples ou Média - x 
Para dados não agrupados é a soma dos valores da variável dividida pelo total de 
observações. 
Exemplo: 
Após realização de uma pesquisa sobre qual quantia, em reais, cada pessoa estava 
disposta a pagar em um lanche de rua, foram coletados os valores: 9, 13, 6, 12 e 5. 
Qual é a média referente os valores coletados? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Para dados agrupados: 
 
Mediana (md) 
Para dados não agrupados: é o valor da variável que ocupa a posição central dos dados 
ordenados. 
Exemplo: 
Calcular a mediana dos valores 9, 12, 8, 6, 14, 11, 5. 
Primeiro: coloque os números em ordem, seja, crescente ou decrescente. 
5, 6, 8, 9, 11, 12, 14 
Segundo: se o número de elementos é ímpar, temos como mediana o único elemento 
central: md = 9 
Outro caso 
Calcular a mediana dos valores 9, 12, 8, 6, 14, 11. 
Primeiro: coloque os números em ordem, seja, crescente ou decrescente. 
6, 8, 9, 11, 12, 14 
 
 
 
 
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Depois, calculamos a média dos dois valores centrais, por se tratar de quantidade par 
de elementos: 
 
Para dados agrupados 
 
Exemplo 
 
 
 
 
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Moda (mo) 
Para dados não agrupados: é o valor da variável mais frequente da distribuição. 
Exemplo 
1. Determine a moda para o seguinte conjunto de dados: 
65, 87, 49, 58, 65, 60, 80, 65, 90 
mo = 65 (por aparecer 3 vezes) 
 
 
 
 
 
 
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2. Determine a moda para o seguinte conjunto de dados: 
65, 80, 87, 49, 58, 65, 80, 65, 90, 80, 
mo = 65 (por aparecer 3 vezes) 
mo = 80 (por aparecer 3 vezes) 
Temos duas modas, sendo uma distribuição bimodal. 
Para dados agrupados 
 
Exemplo 
 
 
 
 
36 
 
 
 
Os quartis 
Temos como definição que os quartis são os valores de uma série que a dividem em 
quatro partes iguais. 
Existem três quartis 
Primeiro quartil Q1 – valor situado de tal modo na série que 25% dos dados são 
menores que ele e 75% restantes são maiores. 
Segundo quartil Q2 – coincide com a mediana. 
Terceiro quartil Q3 – valor situado de tal modo na série que 75% dos dados são 
menores que ele e 25% restantes são maiores. 
Para determinar cada quartil trabalhamos da seguinte maneira: 
 
 
 
37 
 
 
Exemplo: 
 
 
 
 
 
38 
 
 
 
4.2 Medidas de dispersão – amplitude, variância e desvio padrão 
As medidas de dispersão servem para quantificar a variabilidade dos valores da 
variável, isto é, a dispersão dos dados, ou a forma como os valores de cada conjunto se 
espalha ao redor das medidas de tendência central. 
Exemplo 
Valores de duas carteiras de ações na Bolsa de Valores: 
 
A média em ambas carteiras, x = R$ 1,50 
Mediana da carteira A, md = R$ 1,50 
Mediana da carteira B, md = R$ 1,51 
 
 
 
39 
 
Observando os dados pelo gráfico a seguir, é possível identificar uma maior oscilação 
da carteira A comparando com a carteira B, mostrando que um investidor mais 
conservador iria optar pela carteira B, por apresentar uma menor oscilação de valores 
dentro do período apresentado. 
 
Além do gráfico podemos utilizar a Medida de Dispersão para estudar a variabilidade 
entre os valores. 
Amplitude total (R) 
Diferença entre o maior e o menor valor de um conjunto de dados. 
Variância (σ² ou S²) 
É um estudo sobre os desvios em torno da média aritmética, determinando a média 
dos quadrados dos desvios. 
)()²(² alpopulacion
n
xxs i −Σ=
 
)(
1
)²(² amostral
n
xxs i
−
−Σ
=
 
 
 
 
 
40 
 
 
 
Propriedades 
1. Somando ou subtraindo um valor constante k a todos os valores de uma variável, o 
desvio padrão não altera. 
2. Multiplicando todos os valores de uma variável por uma constante k não nula, o 
desvio padrão fica multiplicado por essa constante k. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
41 
 
Exemplo 
Calcule a amplitude total, variância, desvio padrão e coeficiente de variação para a 
variável Idade da tabela a seguir: 
 
Acrescentamos uma nova coluna para colaborar: 
 
Amplitude total 
 
 
 
 
42 
 
 
 
 
 
 
 
43 
 
 
4.3 Medidas de dispersão – intervalo interquartil e coeficiente de 
variação 
Na estatística trabalhamos com dados que por sua vez precisam de interpretações, 
onde conhecer a medida de posição (média aritmética, mediana ou moda) não é o 
suficiente para uma análise mais ampla. 
Dessa forma, chamando de dispersão ou variabilidade a maior ou a menor 
diversificação dos valores de uma variável em torno de um valor de tendência central 
tomado como ponto de comparação, a Estatística recorre às medidas de dispersão ou 
de variabilidade. 
Nesse tópico vamos estudar o intervalo interquartil e o coeficiente de variação. 
Intervalo interquartil 
Outra ferramenta útil para calcular uma medida de variabilidade é conhecida como 
variação interquartil ou intervalo interquartil (IQR, do inglês inter-quartile range), onde 
podemos afirmar que quanto maior a IQR, maior a distribuição ou a variabilidade. 
A IQR é obtida por meio do cálculo: 
IQR = Q3 – Q1 
É a diferença entre o primeiro e o terceiro quartis. 
Por definição, temos que a variação de interquartil inclui 50% de valores do meio na 
distribuição quando estes são organizados em ordem crescente ou decrescente. Isso 
acontece, pois: 
 
 
 
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Primeiro quartil Q1 – valor situado de tal modo na série que 25% dos dados são 
menores que ele e 75% restantes são maiores. 
Segundo quartil Q2 – coincide com a mediana. 
Terceiro quartil Q3 – valor situado de tal modo na série que 75% dos dados são 
menores que ele e 25% restantes são maiores. 
Exemplo 
Considere as 20 notas a seguir, obtidas em uma prova de Gestão de Negócios: 
 
1º Passo 
Encontramos Q1 e Q3 
Posição de Q3 = 0,75 . (20 + 1) = 15,75 
Posição de Q1 = 0,25 . (20 + 1) = 5,25 
 
 
5,63
2
65621 =+=Q 
5,84
2
85843 =+=Q 
 
 
 
 
45 
 
2º Passo 
Calculamos IQR: 
IQR = Q3 – Q1 
IQR = 84,5 – 63,5 = 21 
Portanto, a variação interquartil é igual a 21. 
Coeficiente de variação 
O Coeficiente de Variação é um cálculo que colabora no estudo de medida de 
dispersão, sendo indicado como CV: 
%100.
x
sCV = 
Onde s é o desvio padrão e x representa a média aritmética dos valores. 
Exemplo: 
Tomemos os resultados das medidas das estaturas das massas de um mesmo grupo de 
indivíduos: 
 média Desvio padrão 
Estaturas (em cm) 175 5,0 
Massas (em kg) 68 2,0 
 
Verifique qual variável apresenta maior grau de dispersão. 
Resolução 
%86,2%100.
175
5
≅=ECV - Coeficiente de variação para a variável Estatura em cm. 
 
%94,2%100.
68
2
≅=MCV - Coeficiente de variação para a variável Massa em kg. 
 
 
 
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Portanto, podemos afirmar que para esse grupo de indivíduos, as massas apresentam 
maior grau de dispersão que as estaturas. 
Conclusão 
Neste bloco, estudamos a média aritmética simples, a mediana, a moda e os quatis, 
que são as medidas de posição, que são chamadas de medidas de posição. E 
completamos nossos estudos desse bloco conhecendo as medidas de dispersão, que 
são Amplitude Total, Variância, Desvio padrão, Coeficiente de Variação e intervalos 
interquartil. 
REFERÊNCIAS 
CRESPO, A. A. Estatística Fácil. São Paulo: Saraiva, 2009. 
DANTE, L. R. Matemática. São Paulo: Ática, 2009. V. único. 
DOWNING, D.; CLARK, J. Estatística aplicada. São Paulo: Saraiva, 2011. 
LEVIN, J.; FOX, J. A.; FORDE, D. R. Estatística para ciências humanas. São Paulo: Pearson,2014. 
SMOLE, K. C. S. Matemática. São Paulo: Saraiva, 1999. v. 1. 
______.; DINIZ, M. I. Matemática Ensino Médio. São Paulo: Saraiva, 2003. v. 1.