AV2_Calculo-Diferencial-e-Integral

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Utilizando o Método de Integração Por Partes, obtem-se que o resultado da integral ∫ 𝑥𝑒3𝑥 𝑑𝑥 é: 
 
 
1
3
𝑥𝑒𝑥 −
1
9
𝑒𝑥 + 𝐶. 
 
1
3
𝑥𝑒3𝑥 +
1
9
𝑒3𝑥 + 𝐶. 
 
1
3
𝑥𝑒3𝑥 −
1
9
𝑒3𝑥 + 𝐶. 
 
1
9
𝑥𝑒3𝑥 +
1
3
𝑒3𝑥 + 𝐶. 
 
1
9
𝑥𝑒3𝑥 −
1
3
𝑒3𝑥 + 𝐶. 
 
 
 
O valor da área sombreada da figura abaixo é: 
 
 
 9/2. 
 2/9. 
 9. 
 2. 
 22/9. 
 
 
 
Utilizando uma substituição apropriada, obtém-se que a integral ∫
𝑥3
(5𝑥4+2)3
 𝑑𝑥 é: 
 
 
1
40(5𝑥4+2)2
+ 𝐶. 
 −
40
(5𝑥4+2)2
+ 𝐶. 
 
40
(5𝑥4+2)2
+ 𝐶. 
 −
1
40(5𝑥4+2)2
+ 𝐶. 
A 
Nome: Matrícula: 
Disciplina: ARA0015 / CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL Data: / / 
Período: 2021.2 / AV2 Turma: 3001 
Turma: 3006 
Leia com atenção as questões antes de responder. 
É proibido o uso de equipamentos eletrônicos portáteis e consulta a materiais de qualquer natureza durante a realização da prova. 
Questões objetivas e discursivas que envolvam operações algébricas devem possuir a memória de cálculo. 
Boa prova. 
 de 1,00 
 
 de 1,00 
 
 de 1,00 
 
 −
1
(5𝑥4+2)2
+ 𝐶. 
 
 
 
Para integrar uma razão de dois polinômios, o Método de Integração de Funções Racionais por Frações Parciais se baseia na 
ideia de decompor uma função racional em uma soma de funções racionais mais simples para que possam ser integradas 
por outros métodos. Para utilizar tal método, a decomposição em frações parciais do integrando de ∫
𝑥+5
𝑥2+𝑥−2
 𝑑𝑥 é dado por: 
 
 
2
𝑥−1
+
1
𝑥+2
. 
 
1
𝑥−1
−
2
𝑥+2
. 
 
2
𝑥+1
−
1
𝑥−2
. 
 
1
𝑥−1
+
2
𝑥+2
. 
 
2
𝑥−1
−
1
𝑥+2
. 
 
 
 
A derivada função 𝑦 = csc 𝑥 é: 
 
 𝑦
′ = csc 𝑥 ⋅ cotg 𝑥. 
 𝑦
′ = − csc 𝑥 ⋅ cotg 𝑥. 
 𝑦′ = sec 𝑥 ⋅ tg 𝑥. 
 𝑦′ = − sec 𝑥 ⋅ tg 𝑥. 
 𝑦
′ = − csc2 𝑥. 
 
 
 
Ao se calcular o comprimento de arco do segmento de reta 𝑦 = 5𝑥 entre (0, 0) e (1, 5), obtém-se o valor de: 
 
 26. 
 
1
26
. 
 5√26. 
 
1
5√26
. 
 √26. 
 
 
 
Se uma função 𝑓 for contínua no intervalo [𝑎, 𝑏] e a função 𝐹 for uma antiderivada de 𝑓 em [𝑎, 𝑏], pelo Teorema Fundamental 
do Cálculo conclui-se que: 
 
 ∫ 𝑓(𝑥)
𝑏
𝑎
𝑑𝑥 = 𝑏 − 𝑎. 
 ∫ 𝑓(𝑥)
𝑏
𝑎
𝑑𝑥 = 𝐹(𝑏) − 𝐹(𝑎). 
 ∫ 𝑓(𝑥)
𝑏
𝑎
𝑑𝑥 = 0. 
 ∫ 𝑓(𝑥)
𝑏
𝑎
𝑑𝑥 = 𝐹(𝑎) − 𝐹(𝑏). 
 ∫ 𝑓(𝑥)
𝑏
𝑎
𝑑𝑥 = 𝑎 − 𝑏. 
 
 
 
Utilizando uma Regra da Cadeia, obtém-se que a derivada da função 𝐹(𝑥) = √1 − 2𝑥 é: 
 
 𝐹′(𝑥) = 2√1 − 2𝑥. 
 𝐹′(𝑥) = −2√1 − 2𝑥. 
 𝐹
′(𝑥) = −
1
2√1−2𝑥
. 
 𝐹
′(𝑥) =
1
√1−2𝑥
. 
 de 1,00 
 
 de 1,00 
 
 de 1,00 
 
 de 1,00 
 de 1,00 
 
 𝐹
′(𝑥) = −
1
√1−2𝑥
. 
 
 
 
Suponha que uma partícula está se movendo ao longo de um eixo e que tenha velocidade dada por 𝑣(𝑡) = 25 + 10𝑒−0,05𝑡 m/s. 
Utilizando o cálculo integral, determine a distância percorrida pela partícula de nos primeiros 10 segundos. 
 
 
 
 
 
A força gravitacional exercida pela Terra sobre uma unidade de massa a uma distância 𝑟 do centro do planeta é 
 
𝐹(𝑟) = {
𝐺𝑀𝑟
𝑅3
 𝑠𝑒 𝑟 < 𝑅
𝐺𝑀
𝑟2
 𝑠𝑒 𝑟 ≥ 𝑅
 , 
 
onde 𝑀 é a massa da Terra; 𝑅 é seu raio; e 𝐺 é a constante gravitacional. Mostre que 𝐹 é uma função contínua de 𝑟. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 de 1,00 
 
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