3 Sistemas de equações lineares

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CAPÍTULO 3 
 
SISTEMAS DE EQUAÇÕES LINEARES 
 
3.1 INTRODUÇÃO 
 
Um dos principais tópicos da Álgebra Linear é o estudo de sistemas de equações lineares e suas 
soluções. Na prática, surgem muitos problemas que podem ser reduzidos a um sistema de equações 
lineares. Muitos deles, com um grande número de equações, que requerem um método sistemático para 
resolvê-los. 
 
DEFINIÇÕES BÁSICAS 
 
(1) Equação linear e soluções: uma equação linear nas incógnitas x1, x2, ..., xn é uma equação 
que pode ser colocada na forma padrão: 
 
a1x1 + a2x2 + ... + anxn = b (3-1) 
 
onde a1, a2,..., an, e b são constantes conhecidas. As constantes ak são chamadas de coeficientes e b é o 
termo constante ou termo independente. As variáveis x1, x2, ..., xn são chamadas de incógnitas. Se b = 0 a 
equação é dita homogênea. 
 Uma solução da equação linear é uma lista de valores para as incógnitas ou, de modo 
equivalente, um vetor x no Rn, ou seja 
 
x1 = k1, x2 = k2, ..., xn = kn ou x = (k1, k2, ..., kn) 
 
OBSERVAÇÃO: Essa equação assume implicitamente que há uma ordem nas incógnitas, que, em geral 
são listadas na forma de um vetor coluna x. 
 
Exemplo 1: Dada a equação linear x + 2y – 3z = 0, então x = 5, y = 2 e z = 3, ou equivalentemente, 
x = (5, 2, 3) é uma solução dessa equação. Por outro lado, o vetor x = (1, 2, 3) não é uma solução dessa 
equação. 
 
Exemplo 2: As equações mostradas a seguir não são lineares 
 
x + 3y2 = 4, 3x + 2y – xy = 5, sen(x) + y = 0 
 
Exercício: Encontre uma equação linear em x e y cujo vetor solução é x = (5 + 2t, t), onde t é um 
parâmetro. 
 
(2) Sistema de equações lineares: uma coleção finita de equações lineares é denominada de um 
sistema de equações lineares ou, simplesmente, um sistema linear. Por exemplo, o conjunto de equações 
 
x1 – x2 + 2x3 = –3 
2x1 + x2 + x3 = 0 
 
é um sistema linear de duas equações a três incógnitas. 
 
OBSERVAÇÃO: A solução de um sistema é o conjunto de valores das incógnitas que satisfaz a todas as 
equações do sistema. Por exemplo, no sistema anterior, uma das possíveis soluções é x = (–2, 3, 1). 
 
Em geral, um sistema linear de m equações a n incógnitas é representado da forma seguinte 
 
L1: a11x1 + a12x2 + ... + a1nxn = b1 
L2: a21x1 + a22x2 + ... + a2nxn = b2 
 ..................................................... 
Lm: am1x1 + am2x2 + ... + amnxn = bm 
 
Teorema: Qualquer sistema linear tem (a) solução única, (b) nenhuma solução ou (c) infinitas soluções. 
 
Estas situações são mostradas na figura 3-1. 
 
 
Fig. 3-1: Alternativas de solução de um sistema. 
 
(3) Matriz dos coeficientes e matriz associada 
 
Matriz dos coeficientes é a matriz formada pelos coeficientes do sistema linear, ou seja, 
 
[ ], 1,2,..., 1,2,...,ijA a i m e j n   (3-2) 
 
Matriz associada ou matriz aumentada é a matriz formada pelos coeficientes, acrescida 
de mais uma coluna determinada pelos termos constantes bi, ou seja, 
 
11 12 1 1
21 22 2 2
1 2
...
...
[ ]
... ... ... ... ...
...
n
n
ij i
m m mn m
a a a b
a a a b
M ou M a b
a a a b
 
 
  
 
 
 
 (3-3) 
 
(4) Equações lineares degeneradas: uma equação linear é dita degenerada se todos os seus 
coeficientes são nulos, ou seja, se ela é da forma 
 
0x1 + 0x2 +... + 0xn = b (3-4) 
 
Teorema: Seja um sistema linear que possui uma equação degenerada Lk, com termo constante bk, então, 
 
(i) Se b ≠ 0, o sistema não possui solução. 
 
(ii) Se b = 0, Lk pode ser retirada do sistema 
 
(5) Incógnita líder: seja Lk uma equação linear não degenerada. A incógnita líder é a primeira 
incógnita de Lk com coeficiente não nulo. 
 
Exemplo 3: 0x1 + 0x2 + 5x3 – 3x4 – 0x5 + 7x6 = 10 ou simplesmente: 5x3 – 3x4 + 7x6 = 10 
 
Então, a primeira incógnita com coeficiente não nulo é x3, logo ela é a líder. 
 
Exemplo 4: 0x + 2y – 4z = 8 ou simplesmente 2y – 4z = 8 
 
Então a incógnita líder é y 
 
(6) Sistemas equivalentes: Se substituirmos uma equação de um sistema por outra que seja uma 
combinação linear de pelo menos uma das equações restantes, o novo sistema assim obtido é equivalente 
ao original e, portanto, terá a mesma solução. 
 
Exemplo 5: Seja um sistema linear dado por 
 
L1: x1 + x2 + 2x3 = 8 
 L2: –2x1 – 4x2 + 6x3 = 2 
 L3: 3x1 – 7x2 + 4x3 = 10 
 
Vamos multiplicar a equação L1 por –2, em seguida somar o resultado com a equação L2 e o resultado 
obtido substituir na equação L2. Esse procedimento é denotado por 
 
 2L1 + L2 → L2 
 
Então, o novo sistema obtido fica sendo 
 
L1: x1 + x2 + 2x3 = 8 
 L2: 0x1 – 2x2 + 10x3 = 18 
 L3: 3x1 – 7x2 + 4x3 = 10 
 
 Desse modo, a nova equação L2 é uma combinação linear de L1, logo ela pode substituir qualquer 
uma das equações do sistema original para se obter outro sistema equivalente e, portanto, os dois terão a 
mesma solução. 
 
Exercício: 
 
1) Obtenha um sistema equivalente ao primeiro sistema do exemplo 5, realizando a operação 
 –3L1 + L3 → L3 
 
2) Mostre que o vetor x = (3, 1, 2) é solução dos dois sistemas do exemplo 5. 
 
OPERAÇÕES ELEMENTARES 
 
As seguintes operações elementares serão de grande utilidade para se obter sistemas lineares 
equivalentes, visto que elas não alteram sua solução 
 
 [E1] Trocar de posição duas das equações do sistema. Indicamos isso por 
 
 Li ↔ Lj (Lê-se: Permutar Li com Lj) 
 
 [E2] Substituir uma equação por um múltiplo não nulo de si mesma. Indicamos por 
 
 kLi → Li (Lê-se: kLi substitui Li) 
 
 [E3] Substituir uma equação por um múltiplo de outra equação somada a si mesma. Indicamos 
por 
 kLi + Lj → Lj (Lê-se: kLi + Lj substitui Lj ) 
 
3.2 SISTEMAS LINEARES COM DUAS OU TRÊS INCÓGNITAS 
 
 Interseções de retas ou de planos são soluções de sistemas lineares a duas ou a três incógnitas, 
respectivamente. 
 
Exemplo 6: seja o sistema linear 
 
L1: x – y = 1 
 L2: 2x + y = 6 
 
Realizando a operação elementar [E3], ou seja, –2L1 + L2 → L2, obtemos o sistema equivalente 
 
L1: x – y = 1 
L2: 3y = 4 
 
Logo, de L2 encontramos: y = 4/3 
 
E de L1 tiramos: x – 4/3 = 1, x = 7/3. 
 
Este é um sistema com apenas uma solução. Geometricamente a solução x = (7/3, 4/3) é o ponto 
de interseção entre as retas representadas pelas equações do sistema. Neste caso as retas são 
concorrentes. Um bom exercício é esboçar o gráfico das duas retas e verificar que o ponto x é realmente a 
interseção entre elas. 
 
Exemplo 7: seja o sistema linear 
 
L1: x + y = 4 
 L2: 3x + 3y = 6 
 
Realizando a operação –3L1 + L2 → L2, obtemos 
 
 L1: x + y = 4 
 L2: 0x + 0y = –6 
 
Neste caso, a equação L2 é degenerada e inconsistente, portanto o sistema é impossível (nenhuma 
solução). Geometricamente significa que as retas são paralelas e distintas, ou seja, as retas possuem a 
mesma inclinação, porém cortam o eixo y em pontos distintos. 
 
Exemplo 8: Seja o sistema linear 
 
L1: 4x – 2y = 1 
 L2: 16x – 8y = 4 
 
Realizando a operação –4L1 + L2 → L2 obtemos 
 
L1: 4x – 2y = 1 
L2: 0x + 0y = 0 (Pode ser eliminada do sistema) 
 
Neste caso, a equação L2 é degenerada, porém, consistente e assim, o sistema é possível. A equação L2 
pode ser retirada, ficando o sistema só com a equação L1. Fazemos então y como variável livre e 
expressamos x em função de y. Assim 
 
L1: 4x – 2y = 1 
 
 y = t, x = 1/4 + t/2 
 
 x = (1/4 + t/2, t) = (1/4, 0) + t(1/2, 1), –∞ < t < +∞ 
 
Portanto, o sistema tem infinitas soluções, pois para cada valor de t temos um vetor x distinto. 
 
Geometricamente, as retas são coincidentes, ou seja, possuem a mesma inclinação e cortam o 
eixo y no mesmo ponto. 
 
Exemplo 9: Sejam os sistemas cujas equações representam planos 
 
L1: x – y + 2z = 5 L1: x – y + 2z = 7 
 (a) L2: 2x – 2y + 4z = 10 (b) L2: 2x – 2y + 4z = 11 
 L3: 3x – 3y + 6z = 15 L3: 3x – 3y + 6z = 18 
 
No sistema (a), verificamos que L2 e L3 são múltiplos de L1. Geometricamente significa que os três planos 
coincidem. Portanto, o sistema tem infinitas soluções que podem ser expressas na formade equações 
paramétricas dos planos. Assim, descartando as equações L2 e L3 e, para y = t1 e z = t2 na equação L1, 
temos 
 
 x = 5 + t1 – 2t2, y = t1, z = t2 
 
ou x = (5 + t1 – 2t2, t1, t2) 
 
ou ainda, como uma combinação linear de vetores 
 
x = (5, 0, 0) + t1(1, 1, 0) + t2(–2, 0, 1). 
 
No sistema (b), os planos são paralelos, mas não coincidentes, então o sistema não tem solução. 
 
Em sistemas a três incógnitas podem ocorrer as seguintes situações, do ponto de vista 
geométrico, resumidas na figura 3-2. 
 
 
Fig. 3-2. Interpretação geométrica de sistemas a três incógnitas 
 
Exercício: Resolva o sistema abaixo e dê uma interpretação geométrica para a sua solução. 
 
 x – y + 2z = 2 
 2x + y – z = 1 
 
Resposta: x = (1 – t/3, –1 + 5t/3, t). Geometricamente é uma reta interseção entre os dois planos. 
 
3.3 RESOLUÇÃO DE SISTEMAS LINEARES – REDUÇÃO POR LINHA 
 
 O principal método de resolução de sistemas lineares é a chamada eliminação de Gauss que 
consiste em obter sistemas equivalentes, reduzidos por linha, através das operações elementares vistas 
anteriormente. Primeiro vamos definir o que é um sistema na forma escalonada por linha. 
 
FORMA ESCALONADA POR LINHA 
 
É um sistema onde cada incógnita líder de uma equação está à direita da incógnita líder da 
equação anterior. Esse tipo de sistema sempre possui solução que pode ser única ou infinita, determinada 
pela substituição retroativa, conforme exemplos a seguir. 
 
Exemplo 10: O sistema a seguir possui infinitas soluções. Neste caso o sistema possui um número de 
equações menor do que o número de incógnitas. Neste tipo de sistema, podemos destacar dois tipos de 
incógnitas: 
 
Incógnitas líderes: x1, x3 e x4 
 
Incógnitas livres: São as incógnitas restantes: x2 e x5. 
 
 L1: 2x1 + 6x2 – x3 + 4x4 – 2x5 = 7 
 L2: x3 + 2x4 + 2x5 = 5 
 L3: 3x4 – 9x5 = 6 
 
Assim, podemos encontrar as incógnitas líderes x1, x3 e x4 em função das incógnitas livres x2 e x5, 
utilizando a substituição retroativa, ou seja, começando da última equação até chegar à primeira. 
Portanto, 
 
 De L3: x4 = 2 + 3x5 
De L2: x3 = 1 – 8x5 
De L1: x1 = – 3x2 – 9x5 
 
Assim, a solução geral é dada por 
 
 x = (– 3x2 – 9x5, x2, 1 – 8x5, 2 + 3x5, x5) 
 
Ou fazendo x2 = a e x5 = b, temos a solução na forma paramétrica, ou seja, 
 
 x = (– 3a – 9b, a, 1 – 8b, 2 + 3b, b) 
 
ou ainda, como uma combinação linear de vetores 
 
x = (0, 0, 1, 2, 0) + a(–3, 1, 0,0, 0) + b(–9, 0, –8, 3, 1) 
 
Onde a e b são escalares quaisquer. 
 
OBSERVAÇÃO: Esta última equação mostra que a solução deste sistema é um plano no R5. 
 
Exemplo 11: O próximo sistema também é escalonado por linha, porém possui solução única. Neste caso, 
o número de equações é igual ao número de incógnitas, e esse sistema é dito estar na forma triangular, 
que é uma forma particular da forma escalonada, onde não há incógnitas livres. Portanto terá solução 
única. 
 
 L1: 2x1 + 3x2 + 5x3 – 2x4 = 9 
 L2: 5x2 – x3 + 3x4 = 1 
 L3: 7x3 – x4 = 3 
 L4: 2x4 = 8 
 
 
Novamente, usando a substituição retroativa temos 
 
De L4 encontramos x4 = 4, que substituída em L3 fornece x3 = 1. Substituindo x3 e x4 em L2 
encontramos x2 = –2 e, finalmente, substituindo x2, x3 e x4 em L1 encontramos x1 = 9. Então a solução 
única do sistema é 
 
x = (9, –2, 1, 4) 
 
3.4 RESOLUÇÕES DE SISTEMAS LINEARES USANDO MATRIZES 
 
 Uma maneira de resolver um sistema linear é trabalhando com sua matriz associada M, e 
esquecendo provisoriamente as incógnitas. Primeiro vamos ver alguns conceitos 
 
MATRIZ ESCALONADA POR LINHA 
 
Uma matriz A está escalonada por linha se as duas condições seguintes são válidas 
 
(1) Todas as linhas nulas, se existirem, estão na parte de baixo da matriz. 
 
 (2) Cada termo líder (pivô) de uma linha está à direita do termo líder da linha anterior. 
 
Exemplo 15: A seguinte matriz está na forma escalonada por linha, com os pivôs em destaque 
 
0 | 2 | 3 4 5 9 0 7
0 0 0 | 3 | 4 1 2 5
0 0 0 0 0 | 5 | 7 2
0 0 0 0 0 0 | 8 | 6
0 0 0 0 0 0 0 0
A
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
FORMA ESCALONADA REDUZIDA POR LINHA 
 
Uma matriz A está na forma escalonada reduzida por linha se, além de ser uma matriz 
escalonada por linha, ela satisfaz as seguintes condições 
 
 (1) Cada pivô é igual a 1 
 
 (2) Cada pivô é o único elemento não nulo de sua coluna. 
 
Exemplo 16: Das matrizes mostradas a seguir, apenas a matriz A está na forma escalonada reduzida por 
linha. 
 
0 1 3 0 0 4
0 0 0 1 0 3
0 0 0 0 1 2
A
 
   
 
 
 
1 3 2 0 4 5
0 0 1 1 3 2
0 0 0 0 0 6
0 0 0 0 0 0
B
 
  
 
 
 
 
1 2 3
0 0 1
0 0 0
C
 
   
 
 
 
 
OPERAÇÕES ELEMENTARES NAS LINHAS 
 
Seja A uma matriz cujas linhas são denotadas por R1, R2,..., Rm. Podemos efetuar as seguintes 
operações elementares 
 
 [E1]: Ri ↔ Rj (Trocar de posição duas linhas quaisquer) 
 
 [E2]: kRi → Ri (Substituir uma linha por um múltiplo dela mesma) 
 
 [E3]: kRi + Rj → Rj (Um múltiplo de uma linha somado com outra linha, substitui essa outra) 
 
POSTO DE UMA MATRIZ 
 
O posto de uma matriz A, denotado por rank(A) ou Pos(A) é igual ao número de pivôs da matriz 
A na forma escalonada por linha. Assim, no exemplo 15 temos rank(A) = 4 e no exemplo 16 temos 
rank(A) = 3 
 
OBSERVAÇÃO: O posto de uma matriz nunca é maior que a menor dimensão da matriz. Por exemplo, se 
A é uma matriz 5×3, então Pos(A) ≤ 3. A única matriz que tem posto nulo é a matriz nula. 
 
ELIMINAÇÃO DE GAUSS-JORDAN 
 
 O processo de redução de uma matriz até se chegar à forma escalonada reduzida por linha é 
conhecido como eliminação de Gauss-Jordan. 
 Esta seção apresenta dois algoritmos: um, para transformar qualquer matriz A em sua forma 
escalonada por linha (eliminação de Gauss) e outro para transformar em sua forma escalonada reduzida 
por linha (eliminação de Gauss-Jordan). 
 
Algoritmo A1 (Eliminação direta): dada qualquer matriz A, este algoritmo insere zeros abaixo de cada 
pivô, trabalhando de cima para baixo, e dá como resultado a forma escalonada por linha de A. 
 
PASSO 1: Descubra a primeira coluna com um elemento não nulo. Seja j1 esta coluna. 
 
 (a) Se necessário, troque a posição de duas linhas para que o elemento não nulo da coluna j1 
esteja na primeira linha, isto é, para que a1j ≠ 0 
 
 (b) Use a1j como pivô para obter zeros abaixo de a1j1. Especificamente, para i > 1, faça 
 
 (1) 1
11
ij
j
a
k
a

 (2) kR1 + Ri → Ri 
 
OBSERVAÇÃO: na equação de k, aij1 é a entrada a ser eliminada. Portanto, 
 
 k = (–entrada a ser eliminada / pivô) 
 
PASSO 2: Repita o passo 1 para o próximo pivô, eliminando as entradas abaixo dele. 
 
PASSO 3: Continue o processo acima até que não haja nenhuma entrada a ser eliminada abaixo 
do pivô. Observe que, no final do processo, os pivôs serão
11 j
a , 
22 j
a ,..., 
rrj
a , onde r é o número de 
linhas não nulas da matriz escalonada por linha. 
 
Algoritmo A2 (Eliminação retroativa): dada uma matriz A = [aij] na forma escalonada por linha, com 
elementos pivôs
11 j
a , 
22 j
a ,..., 
rrj
a , o resultado desse algoritmo será a forma escalonada reduzida por 
linha da matriz A. 
 
PASSO 1: (a) Multiplique a última linha não nula Rr por 1/arjr (para que o último pivô seja 1) 
 (b) Use 
rrj
a = 1 para obter zeros acima do pivô, realizando a operação: –
rij
a Rr + Ri → Ri. 
 
PASSO 2: Para r – 1 repita o passo 1 para as linhas Rr-1, Rr-2,..., R2 
 
Exemplo 18: Dada a seguinte matriz A, aplique sobre ela os algoritmos A1 e A2 para chegar à sua forma 
escalonada reduzida por linha. 
 
1 2 3 1 2
2 4 4 6 10
3 6 6 9 13
A
 
   
  
 
 
Solução: Aplicando o algoritmo A1 encontramos as seguintes matrizes equivalentes 
 
1 2 3 1 2 1 2 3 1 2
0 0 2 4 6 0 0 2 4 6
0 0 3 6 7 0 0 0 0 2
Forma escalonada por linha
    
        
      
 
 
Aplicando agora o algoritmo A2 sobre a forma encontrada acima, encontramos as seguintes matrizes 
equivalentes








 

10000
64200
21321




















 










 

10000
02100
07021
10000
02100
01321
10000
04200
01321
 
 
A última matriz desta seqüência é a forma escalonada reduzida por linha da matriz A. 
 
OBSERVAÇÃO: 
 
(1) Toda matriz tem uma única forma escalonada reduzida por linha, independente da seqüência 
de operações elementares aplicada. 
 
(2) As formas escalonadas por linhas, porém, podem não ser únicas para a mesma matriz. 
 
Exemplo 19: Resolva os seguintes sistemas lineares através da eliminação de Gauss-Jordan 
 
 x1 + x2 – 2x3 + 4x4 = 5 x1 + x2 – 2x3 + 3x4 = 4 x + 2y + z = 3 
 2x1 + 2x2 – 3x3 + x4 = 3 2x1 + 3x2 + 3x3 – x4 = 3 2x + 5y – z = –4 
 3x1 + 3x2 – 4x3 – 2x4 = 1 5x1 + 7x2 + 4x3 + x4 = 5 3x – 2y – z = 5 
 (a) (b) (c) 
 
Solução (a): Aplicamos o algoritmo de Gauss-Jordan na matriz M. Assim temos as seguintes matrizes 
equivalentes 
 
1 1 2 4 5 1 1 2 4 5 1 1 2 4 5
2 2 3 1 3 0 0 1 7 7 0 0 1 7 7
3 3 4 2 1 0 0 2 14 14 0 0 0 0 0
M
       
                 
             
 
1 1 0 10 9
0 0 1 7 7
0 0 0 0 0
Forma escalonada reduzida por linha
  
     
 
 
 
 
A última linha, por ser nula, pode ser excluída, então ficamos com o sistema 
 
x1 + x2 – 10x4 = –9 
 x3 – 7x4 = –7 
 
Que pode ser resolvido expressando as variáveis líderes em função das livres. Assim 
 
x1 = –9 – x2 + 10x4 x3 = –7 + 7x4 
 
Ou seja, esse sistema possui infinitas soluções que pode ser expressa pelo vetor solução 
 
 x = (–9 – x2 + 10x4, x2, –7 + 7x4, x4) 
 
ou ainda, fazendo x2 = t1 e x4 = t2 
 
 x = (–9, 0, –7, 0) + t1(–1, 1, 0, 0) + t2(10, 0, 7, 1) 
 
Observe que rank(A) = rank(M) 
 
Solução (b): Seguindo o mesmo procedimento do item (a), encontramos a seguinte sequência de matrizes 
 
1 1 2 3 4 1 1 2 3 4 1 1 2 3 4
2 3 3 1 3 0 1 7 7 5 0 1 7 7 5
5 7 4 1 5 0 2 14 14 15 0 0 0 0 5
M
       
                 
            
 
 
Observe que, na última matriz, a última linha corresponde a uma equação degenerada. Então não 
precisamos continuar já que o sistema não possui solução. Observe que rank(A) ≠ rank(M). 
 
Solução (c): Seguindo o mesmo procedimento dos itens anteriores, encontramos a seguinte sequência de 
matrizes 
 
1 2 1 3 1 2 1 3 1 2 1 3
2 5 1 4 0 1 3 10 0 1 3 10
3 2 1 5 0 8 4 4 0 0 28 84
M
     
                  
                
 
 
1 2 1 3 1 2 0 0 1 0 0 2
0 1 3 10 0 1 0 1 0 1 0 1
0 0 1 3 0 0 1 3 0 0 1 3
     
                
     
     
 
 
Neste caso o sistema possui uma única solução, que corresponde à última coluna destacada na última 
matriz, ou seja, 
 
 x = 2, y = –1, z = 3 ou x = (2, –1, 3) 
 
Observe que rank(A) = rank(M) = 3 (no de incógnitas). 
 
Exercício: Resolva o sistema a seguir reduzindo a sua matriz aumentada à forma escalonada reduzida por 
linha. 
 x + 4y + 3z = 1 
 2x + 5y + 4z = 4 
 x – 3y – 2z = 5 
 
Resposta: (3, –2, 2) 
 
TEOREMA DE EXISTÊNCIA E UNICIDADE 
 
Teorema: Considere um sistema linear a n incógnitas com matriz associada M e matriz dos coeficientes, 
A, então 
 
 (a) O sistema é possível se, e só se, rank(A) = rank(M) 
 
 (b) A solução é única se, e só se, rank(A) = rank(M) = n 
 
SISTEMAS LINEARES COM UMA MATRIZ DE COEFICIENTES COMUM 
 
 Em muitas aplicações precisamos resolver vários sistemas lineares com a mesma 
matriz de coeficientes. Então, em vez de resolver cada sistema separadamente, podemos 
aplicar um procedimento melhor formando a matriz aumentada 
 
 M = [A|B1|B2| ... |Bk] 
 
na qual B1, B2, ..., Bk são juntadas a A para em seguida reduzir a matriz obtida à forma 
escalonada reduzida por linha pela eliminação de Gauss-Jordan. Com isso resolvemos 
todos os k sistemas de uma só vez. 
 
Exemplo 20: Considere os sistemas 
 
 (a) x1 + 2x2 + 3x3 = 4 (b) x1 + 2x2 + 3x3 = 1 
 2x1 + 5x2 + 3x3 = 5 2x1 + 5x2 + 3x3 = 6 
 x1 + 8x3 = 9 x1 + 8x3 = –6 
 
Então, construindo a matriz aumentada pela junção dos dois sistemas, e depois 
encontrando a forma reduzida por linha temos 
 
 
1 2 3 | 4 | 1 1 0 0 | 1 | 2
2 5 3 | 5 | 6 0 1 0 | 0 | 1
1 0 8 | 9 | 6 0 0 1 | 1 | 1
   
      
       
 
 
Das duas últimas colunas tiramos as soluções dos sistemas como sendo 
 
 (a) x1 = 1, x2 = 0 e x3 = 1 (b) x1 = 2, x2 = 1 e x3 = –1 
 
 
ERRO DE ARREDONDAMENTO E PIVOTAMENTO PARCIAL 
 
 Sistemas de grande escala são resolvidos por eliminação de Gauss-Jordan através de 
computadores, os quais usam aproximações decimais para representar valores exatos e com isso 
introduzem erros de arredondamento. Se algumas precauções não forem tomadas, esses erros podem se 
propagar e degradar a resposta, a ponto de torná-la pouco exata ou até inútil. 
 Pode ser mostrado que a divisão por números próximos de zero tendem a ampliar os erros de 
arredondamento. Assim, na execução do algoritmo de Gauss-Jordan, onde se utiliza muitas divisões, é 
comum efetuar uma troca de linhas para colocar a entrada de maior valor absoluto na posição de pivô, 
antes de dividir tudo para a introdução do pivô. Esse procedimento é denominado de pivotamento parcial. 
 
Exemplo 21: Considere o sistema linear 
 
 x/10000 + y = 1 
 x – y = 0 
 
cuja solução exata é x = y = 10000/10001 
 
Mas, se esse sistema for resolvido usando uma calculadora ou um computador que usa aritmética de 
precisão finita, digamos com quatro dígitos significativos, o sistema ficaria assim 
 
 0,0001x + 1,000y = 1,000 
 1,000x – 1,000y = 0 
 
Usando a eliminação de Gauss-Jordan, neste sistema, com a limitação de quatro dígitos significativos, 
encontramos 
 
 x = 0,000, y = 1,000 
 
que é uma aproximação pobre à solução exata. 
 
Contudo, se fizermos a troca de linhas, encontraremos a resposta praticamente exata, mesmo com a 
limitação de quatro dígitos significativos, ou seja, 
 
 x = 1,000, y = 1,000 
 
OBSERVAÇÃO: Uma maneira de arredondar um número para algumas casas decimais significativas consiste em primeiro escrevê-
lo em notação exponencial, como M×10k, onde M = 0,d1d2d3 ..., com d1 não nulo; arredondamos M para a quantidade de casas 
significativas que queremos e retornamos o resultado para a forma decimal. Por exemplo, com quatro casas decimais significativas, 
o número 23,58642 arredonda para 23,59; o número 0,0002358642 arredonda para 0,0002359 e o número 10,001 arredonda para 
10,00. 
 
Exercício: Resolva o sistema abaixo por eliminação de Gauss-Jordan com pivotamento parcial utilizando 
aritmética de precisão finita com dois dígitos significativos. 
 
 0,21x + 0,33y = 0,54 
 0,70x + 0,24y = 0,94. 
 
Resposta: x = 1,00; y = 1,00. A solução exata é x = 1 e y = 1 
 
3.5 FORMA MATRICIAL DE UM SISTEMA LINEAR 
 
 O sistema genérico de m equações a n incógnitas é equivalente à seguinte equação matricial 
 
11 12 1 1 1
21 22 2 2 2
1 2
...
...
... ... ... ... ... ...
...
n
n
m m mn n m
a a a x b
a a a x b
a a a x b
    
    
    
    
    
    
 (3-5) 
 
Ou, abreviadamente: AX = B, ou ainda, como X e B são matrizes coluna, podemos vê-los como vetores 
coluna. Então também podemos escrever o sistema como 
 
Ax = b 
 
Onde A = [aij] é a matriz dos coeficientes, X = [xj] é matriz coluna das incógnitas e B = [bi] é matriz 
coluna das constantes. 
 
Exemplo 22: Representar na forma de matrizes o seguinte sistema 
 
 x1 + 2x2 – 4x3 + 7x4 = 4 
 3x1 – 5x2 + 6x3 – 8x4 = 8 
 4x1 – 3x2 – 2x3 + 6x4 = 11 
 
Solução: 




































11
8
4
6234
8653
7421
4
3
2
1
x
x
x
x
 
 
Verifique que x = (3, 1, 2, 1) é uma solução do sistema. 
 
A equação matricial (3-5) também pode ser escrita como a equação vetoriala seguir 
 





















































mmn
n
n
n
mm
b
b
b
a
a
a
x
a
a
a
x
a
a
a
x
......
...
......
2
1
2
1
2
22
12
2
1
21
11
1
 (3-6) 
 
Ou também, abreviadamente, como 
 
 b = x1c1 + x2c2 + ... + xncn 
 
onde b é o vetor coluna das constantes e c1, c2, ... cn são os vetores coluna da matriz A. 
 
Desta forma, a equação vetorial (3-6) tem uma solução se, e só se, o vetor coluna das constantes for uma 
combinação linear dos vetores coluna da matriz dos coeficientes. 
 
Exemplo 23: Expressar o vetor v = (1, –2, 5) como uma combinação linear dos vetores u1 = (1, 1, 1), 
u2 = (1, 2, 3) e u3 = ( 2, –1, 1). 
 
Solução: Primeiro escrevemos v = xu1 + yu2 + zu3, com x, y e z sendo as incógnitas. Então, a equação 
vetorial correspondente será 
 












































1
1
2
3
2
1
1
1
1
5
2
1
zyx
 
 
Ou, em forma de sistema temos 
 
 x + y + 2z = 1 
 x + 2y – z = –2 
 x + 3y + z = 5 
 
Cuja solução é 
 
 x = (–6, 3, 2) 
 
Portanto, o vetor v pode ser expresso como 
 
 v = –6u1 + 3u2 + 2u3 
 
Exercícios: 
 
1) Escreva o vetor v = (4, 9, 19) como combinação linear dos vetores u1 = (1, –2, 3), 
u2 = (3, –7, 10) e u3 = (2, 1, 9). Em seguida determine o sistema linear equivalente bem como sua forma 
reduzida. 
 
Resposta: v = 4u1 – 2u2 + 3u3 
 
2) Expressar o vetor v = (2, –3, 1, –5) como uma combinação linear dos vetores e1 = (1, 0, 0, 0), 
e2 = (0, 1, 0, 0), e3 = (0, 0, 1, 0) e e4 = (0, 0, 0, 1) 
 
Resposta: v = 2e1 – 3e2 + e3 – 5e4 
 
 
3.6 SISTEMAS LINEARES HOMOGÊNEOS 
 
 Um sistema linear é homogêneo se todos os termos constantes, do lado direito de cada equação, 
são nulos. Então, sua forma matricial fica 
 
 Ax = 0 
 
Esse tipo de sistema sempre tem uma solução nula chamada de solução trivial. Ele sempre pode 
ser escrito na forma escalonada porlinha e a questão se resume a determinar as soluções não nulas. 
 
Teorema: Seja r o número de equações e n o número de incógnitas de um sistema homogêneo na forma 
escalonada por linha. Então 
 
(i) Se r = n, o sistema possui apenas a solução nula. 
 
 (ii) Se r < n, o sistema possui pelo menos uma solução não nula. 
 
Exemplo 24: Determine se cada um dos seguintes sistemas homogêneos possui uma solução não nula 
 
 x + y – z = 0 x + y – z = 0 x1 + 2x2 – 3x3 + 4x4 = 0 
 2x – 3y + z = 0 2x + 4y – z = 0 2x1 – 3x2 + 5x3 – 7x4 = 0 
 x – 4y + 2z = 0 3x + 2y + 2z = 0 5x1 + 6x2 – 9x3 + 8x4 = 0 
 (a) (b) (c) 
 
Solução (a): Encontramos a forma reduzida 
 
 x + y – z = 0 | x + y – z = 0 | Forma escalonada 
 –5y + 3z = 0 | –5y + 3z = 0 | por linha 
 –5y + 3z = 0 | 
 
Então este sistema possui uma solução não nula já que sua forma reduzida tem mais incógnitas do que 
equações. Por exemplo: se z = 5 então, y = 3 e x = 2. Assim, o vetor x = (2, 3, 5) é uma das soluções do 
sistema. 
 
Solução (b): Encontramos a forma reduzida 
 
 x + y – z = 0 | x + y – z = 0 | Forma escalonada 
 2y + z = 0 | 2y + z = 0 | por linha 
 –y + 5z = 0 | 11z = 0 | 
 
Então o sistema possui apenas a solução trivial (solução nula) já que o número de incógnitas é igual ao 
número de equações. 
 
Solução (c): O sistema original já possui mais incógnitas do que equações então, obrigatoriamente ele tem 
uma solução não nula. Não é preciso encontrar a forma reduzida. 
 
3.7 APLICAÇÕES 
 
ANÁLISE DE REDES 
 
Em termos gerais, uma rede é um conjunto de ramos através dos quais “flui” alguma coisa. Na 
maioria das redes, os ramos se encontram em pontos denominados de nós ou vértices. Existem 
basicamente dois tipos de redes: aberta - na qual o fluxo pode entrar ou sair da rede, e fechada - na qual o 
fluxo circula continuamente pela rede sem entrar ou sair. Os principais tipos de redes têm três 
propriedades básicas 
 
(1) Fluxo unidirecional: o fluxo em qualquer ramo é sempre num único sentido. 
(2) Conservação do fluxo num nó: a taxa de fluxo para dentro de um nó é igual à taxa de fluxo 
para fora desse mesmo nó. 
(3) Conservação do fluxo na rede: a taxa de fluxo para dentro da rede é igual à taxa de fluxo 
para fora dessa mesma rede. 
 
A figura 3-3 ilustra uma rede aberta onde os números representam a quantidade ou taxa de alguma coisa 
que está fluindo nos ramos desta rede. Observe, nesta rede, a presença destas três propriedades. 
 
 
Fig. 3-3 
 
Exemplo 25: A figura 3-4 mostra a topologia de um circuito elétrico onde cada ramo representa um 
elemento do circuito com o respectivo sentido da corrente, indicado pela seta, e cada vértice é um nó 
(conexão de dois ou mais elementos). 
 
 
Fig. 3-4 
 
Solução: Vamos aplicar a lei de Kirchhoff para as correntes em cada um dos quatro nós, convencionando 
que as correntes que saem são positivas e as que chegam são negativas 
 
 Nó 1: i1 + i2 – i6 = 0 
 Nó 2: –i2 – i3 + i4 = 0 
 Nó 3: –i1 + i3 + i5 = 0 
 Nó 4: –i4 – i5 + i6 = 0 
 
Este sistema pode ser escrito na forma matricial como segue 
 
 
1
2
3
4
5
6
1 1 0 0 0 1 0
0 1 1 1 0 0 0
1 0 1 0 1 0 0
0 0 0 1 1 1 0
i
i
i
i
i
i
 
                            
  
 
 
Ou simplesmente Ai = 0 
 
O vetor i é o vetor das correntes de ramo. A matriz A recebe o nome de matriz de incidência, 
pois descreve os sentidos de incidência dos ramos nos nós (1 quando está saindo, –1 quando está 
chegando e 0 quando está ausente). 
 
Exemplo 26: A figura 3-5(a) mostra uma proposta de fluxo de tráfego de certa cidade, em torno de uma 
praça. O plano prevê a instalação de um semáforo computadorizado na saída da rua 1. Todas as ruas são 
de mão única. 
 
(a) Quantos veículos por hora o semáforo deveria deixar passar para garantir que o número 
médio de veículos por hora que entram na rede seja igual ao número médio de veículos que 
saem da rede. 
 
(b) O que é que pode ser dito sobre o número médio de veículos por hora que circulam na praça. 
 
Solução (a): Se x é o número de veículos por hora que o semáforo deve deixar passar, então podemos 
escrever 
 
 x + 700 + 400 = 500 + 400 + 600 + 200 
 
Logo, x = 600 veículos por hora. 
 
Solução (b): Para evitar congestionamento, o fluxo em cada cruzamento, para dentro e para fora, devem 
se igualar. 
 
 
 (a) (b) 
Fig. 3-5 
 
Então temos 
 
 Cruzamento A: 400 + 600 = x1 + x2. x1 + x2 = 1000 
 Cruzamento B: x2 + x3 = 400 + x x2 + x3 = 1000 
 Cruzamento C: 500 + 200 = x3 + x4 x3 + x4 = 700 
 Cruzamento D: x1 + x4 = 700 x1 + x4 = 700 
 
Desta forma, com x = 600, o sistema assim formado tem uma infinidade de soluções. Tomando, por 
exemplo, x4 = t como parâmetro, encontramos 
 
 x1 = 700 – t, x2 = 300 + t, x3 = 700 – t e x4 = t 
 
Neste caso, entretanto, o parâmetro t não é totalmente arbitrário, pois se t > 700, x1 e x2 serão negativos, o 
que não é permitido já que isto implica na inversão dos sentidos nestes ramos. Portanto, teremos as 
seguintes limitações para os fluxos 
 
 0 < x1 < 700, 300 < x2 < 1000, 0 < x3 < 700 e 0 < x4 < 700 
 
INTERPOLAÇÃO POLINOMIAL 
 
Um problema importante em várias aplicações é encontrar um polinômio cujo gráfico passa por 
um conjunto de pontos conhecidos no plano. Esse polinômio é chamado de polinômio interpolador, 
genericamente escrito como 
 
 P(x) = ao + a1x + a2x2 + ... + an-1xn-1 (3-8) 
 
Teorema: Dados quaisquer n pontos distintos no plano xy, existe um único polinômio de grau n – 1 cujo 
gráfico passa por estes pontos. 
 Para encontrar o polinômio interpolador, cujo gráfico passa pelos pontos (x1, y1), (x2, y2), ..., (xn, 
yn) e cuja equação geral é y = ao + a1x + a2x2 + ... + an-1xn-1, armamos o seguinte sistema 
 
 ao + a1x1 + a2x12 + ... + an-1x1n-1 = y1ao + a1x2 + a2x22 + ... + an-1x2n-1 = y2 
 ...................................................... 
 ao + a1xn + a2xn2 + ... + an-1xnn-1 = yn. 
 
Na forma matricial esse sistema fica 
 
 
2 3 1
11 1 1 1
2 3 1
1 22 2 2 2
2 3 1
2 33 3 3 3
2 3 1
1
1 . .
1 . .
1 . .
. .. . . . . . .
. .. . . . . . .
1 . .
n
o
n
n
n
n nn n n n
a yx x x x
a yx x x x
a yx x x x
a yx x x x





     
     
     
     
     
     
     
     
          
 
A matriz A desse sistema é conhecida como matriz de Vandermonde. 
 
OBSERVAÇÃO: Estamos supondo que os valores de x e y são conhecidos de modo que o sistema é 
linear nas incógnitas ao, a1, a2 ..., an-1. 
 
Exemplo 28: O polinômio do 1º grau p(x) = ao + a1x, é uma reta cujo gráfico passa por dois pontos 
distintos (x1, y1) e (x2, y2) do plano xy (Figura 3-6). 
 
 
Fig. 3-6 
 
onde os coeficientes incógnitos ao e a1 podem ser facilmente obtidos resolvendo um sistema linear de 
duas equações. 
 
Exemplo 29: Encontre um polinômio cúbico cujo gráfico passa pelos pontos (1, 3), (2, –2), (3, –5), (4, 0) 
 
Solução: O polinômio é da forma 
 
 P(x) = ao + a1x + a2x2 + a3x3 ou y = ao + a1x + a2x2 + a3x3 
 
Onde, dos pontos fornecidos tiramos x1 = 1, x2 = 2, x3 = 3, x4 = 4, y1 = 3, y2 = –2, y3 = –5, y4 = 0 
 
Quando esses valores são substituídos no polinômio cúbico encontramos um sistema linear nas incógnitas 
ao, a1, a2 e a3, cuja matriz aumentada resulta em 
 
1 1 1 1 3
1 2 4 8 2
1 3 9 27 5
1 4 16 64 0
M
 
  
 
 
 
 
 
E a matriz na forma escalonada reduzida por linha é 
 














11000
50100
30010
40001
 
 
Então segue que ao = 4, a1 = 3, a2 = –5 e a3 = 1. Assim o polinômio interpolador é 
 
 P(x) = 4 + 3x – 5x2 + x3 
 
Cujo gráfico é mostrado na figura 3-7. 
 
 
Fig. 3-7: Gráfico do polinômio interpolador do exemplo 29. 
 
CURIOSIDADES HISTÓRICAS 
 
 
 
 
 
PROBLEMÁTICA 
 
1) Resolva os sistemas seguintes aplicando as operações elementares e dê uma interpretação geométrica 
para cada uma das soluções. 
 
(a) 2x – 5y = 11 (b) 2x – 3y = 8 (c) 2x – 3y = 8 
 3x + 4y = 5 –6x + 9y = 6 –4x + 6y = –16 
 
2) (a) Para que valores de a o sistema a seguir possui solução única? (b) Determine os pares (a, b) para os 
quais o sistema possui mais de uma solução. 
 
 x + ay = 4 
 ax + 9y = b 
 
3) Resolva cada um dos sistema abaixo expressando a solução, quando possível, como uma combinação 
linear de vetores. 
 
 2x1 + 3x2 – 6x3 – 5x4 + 2x5 = 7 2x – 6y + 7z = 1 x + 2y – 3z = 2 
 x3 + 3x4 – 7x5 = 6 4y + 3z = 8 2x + 3y + z = 4 
 x4 – 2x5 =1 2z = 4 3x + 4y + 5z = 8 
 (a) (b) (c) 
 
4) Para cada um dos sistemas a seguir resolva-os utilizando o processo de eliminação de Gauss ou Gauss-
Jordan. 
 
 x + 2y – 4z = –4 x + 2y – 3z = –1 x + 2y – 3z = 1 
 (a) 2x + 5y – 9z = –10 (b) –3x + y – 2z = –7 (c) 2x + 5y – 8z = 4 
 3x – 2y + 3z = 11 5x + 3y – 4z = 2 3x + 8y – 13z = 7 
 
 x1 – 3x2 + 2x3 – x4 + 2x5 = 2 x1 + 2x2 – 3x3 + 4x4 = 2 
 (d) 3x1 – 9x2 + 7x3 – x4 + 3x5 = 7 (e) 2x1 + 5x2 – 2x3 + x4 = 1 
 2x1 – 6x2 + 7x3 + 4x4 – 5x5 = 7 5x1 + 12x2 – 7x3 + 6x4 = 3 
 
5) Reduza cada uma das matrizes a seguir à forma escalonada reduzida por linha. 
 
 
5 9 6 2 2 1 6 4 1 2 3 1 2
0 2 3 4 4 1 10 13 1 1 4 1 3
0 0 7 8 8 1 26 19 2 5 9 2 8
A B C
       
             
           
 
 
6) Determine a matriz aumentada e a matriz dos coeficientes do seguinte sistema 
 
 x + 2y – 3z = 4 
 3y – 4z + 7x = 5 
 6z + 8x – 9y = 1 
 
7) Resolva cada um dos seguintes sistemas usando a matriz associada M. 
 
 x – 2y + 4z = 2 x + y + 3z = 1 
 (a) 2x – 3y + 5z = 3 (b) 2x + 3y – z = 3 
 3x – 4y + 6z = 7 5x + 7y + z = 7 
 
8) Resolva o sistema a seguir utilizando a matriz associada M. 
 
 x1 + 2x2 – 3x3 – 2x4 + 4x5 = 1 
 2x1 + 5x2 – 8x3 – x4 + 6x5 = 4 
 x1 + 4x2 – 7x3 + 5x4 + 2x5 = 8 
 
9) Calcule o posto das matrizes do problema 5. 
 
10) Encontre os valores de kR, tais que o sistema homogêneo a seguir tenha uma solução distinta da 
solução trivial. 
 
 2x – 5y + 2z = 0 
 x + y + z = 0 
 2x + kz = 0 
 
11) Represente o sistema a seguir na forma matricial e encontre a matriz incógnita que é solução do 
sistema. O que representa, geometricamente, essa solução? 
 
 x + 6y – 8z = 1 
 2x + 6y – 4z = 0 
 
12) Dado o sistema a seguir: (a) Resolva-o, isto é, encontre sua matriz solução. (b) Resolva também o 
sistema homogêneo associado. (c) Verifique que a soma de uma solução particular encontrada em (a) com 
a solução do sistema homogêneo, continua sendo uma solução do sistema não homogêneo. 
 
 
1 2 0 1 2
1 0 2 1 2
1 2 2 1 4
3 4 4 3 8
x
y
z
w
    
        
    
    
    
 
 
13) Monte um sistema linear a três incógnitas, x, y e z, cuja solução é 
 
 x = (2t + 3, t – 1, t) 
 
onde t é um parâmetro. 
 
14) Nas equações dos planos, dadas a seguir encontre equações vetoriais e paramétricas para a reta de 
interseção dos planos em R3. 
 
 a) x + y – z = 3 e 2x + y + 3z = 4 
 
 b) x + 2y + 3z = 1 e 3x – 2y + z = 2 
 
15) Certa dieta requer 7 unidades de gordura, 9 unidades de proteína e 16 unidades de carboidratos para a 
refeição principal e uma pessoa dispõe de três alimentos com os quais pode montar sua dieta: 
 
Alimento 1: Cada medida contém 2 unidades de gordura, 2 unidades de proteína e 4 unidades de 
carboidratos. 
 
Alimento 2: Cada medida contém 3 unidades de gordura, 1 unidade de proteína e 2 unidades de 
carboidratos. 
 
Alimento 3: Cada medida contém 1 unidade de gordura, 3 unidades de proteína e 5 unidades de 
carboidratos. 
 
Seja x, y e z o número de medidas que a pessoa consome dos alimentos 1, 2 e 3, respectivamente. 
Encontre (mas não resolva) um sistema linear em x, y e z cuja solução diz quantas medidas de cada 
alimento deve ser consumida pela pessoa para atender à dieta. 
 
16) As matrizes escalonadas por linha dadas a seguir são matrizes associadas de determinado sistema 
linear. Para cada uma delas indique se o sistema tem uma única solução, infinitas soluções ou nenhuma 
solução. 
 









































60000
53000
41490
72432
)(
0000
2300
2521
)(
5300
2510
2132
)( McMbMa
 
 
17) Foram estudados tres tipos de alimentos. Fixada a mesma quantidade (digamos 1 g) determinou-se 
que 
 i) O alimento I contém 1 unidade de vitamina A, 3 de vitamina B e 4 de vitamina C. 
 ii) O alimento II contém 2 de A, 3 de B e 5 de C. 
 iii) O alimento III contém 3 de A, 3 de C e nenhuma unidade de B. 
 
Se são necessárias 11 unidades de vitamina A, 9 de vitamina B e 20 de vitamina C, encontre todas as 
possíveis quantidades dos alimentos I, II e III que fornecem as quantidades de vitaminas desejadas. Se o 
alimento I custa 60 centavos por grama e os outros dois custam 10 centavos, existe uma solução custando 
exatamente R$1,00. 
 
18) Considerando o problema 6 expresse, quando possível, o vetor solução dos sistemas como uma 
combinação linear de vetores coluna. 
 
19) Utilizando as leis de Kirchhoff para as tensões, monte um sistema linear para cada circuito mostrado 
na figura P3-1 e depois resolva-o para encontrar as correntes elétricas indicadas. 
 
 
Fig. P3-1 
 (a) (b) (c) 
 
20) Encontre os coeficientes a, b, c e d tais que a curva mostrada na figura P3-2 seja dada pela equação 
ax2 + ay2 + bx + cy + d = 0. Esta equação corresponde a equação de uma circunferência. 
 
 
Fig. P3-2 
 
21) Usando pivotamento parcial, resolva o sistema abaixo usando aritmética de precisão finita com dois 
dígitos significativos. 
 
 0,11x1 – 0,13x2 + 0,20x3 = –0,02 
 0,10x1 + 0,36x2 + 0,45x3z = 0,25 
 0,50x1 – 0,01x2 + 0,30x3 = –0,70.