Resistência dos materiais aplicada à arquitetura

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RESISTÊNCIA
DOS
MATERIAIS 
 
APLICADA À
ARQUITETURA
 
 
UNIDADE I
CONCEITOS INICIAIS
• Introdução; 
• Equilíbrio; 
• Vínculos.
OBJETIVO DE APRENDIZADO
• Conhecer o conceito de equilíbrio estático; 
• Desenvolver a percepção de uma estrutura real aplicada em um
modelo teórico bidimensional; 
• Observar a representação de forças como elementos vetoriais e
aplicar a decomposição de vetores; 
• Observar também o que são vínculos estruturais e quais os tipos de
vínculos convencionados..
INTRODUÇÃO
 Imagine que você está em uma viagem de carro pela estrada e se vê
diante de um rio que precisa atravessar. Você nota que tem duas
opções: uma ponte de concreto, sem nenhum defeito estrutural, e uma
ponte feita com tábuas de madeira. Qual das duas opções você
escolheria? 
 Mesmo sem um estudo específico sobre resistência dos materiais, é
natural sentir que a ponte de concreto seja mais resistente, pois ao
longo da vivência vamos observando empiricamente o comportamento de
diversos materiais. Percebemos, por exemplo, que uma simples tábua de
madeira poderia facilmente se deformar com o peso mais do que o
esperado para uma viga de concreto. 
 Agora, imagine que você está caminhando numa passarela e vê que
adiante há uma parte do piso feita em vidro e é possível ver todas as
pessoas e carros abaixo dela. Algumas pessoas se sentem um pouco
inseguras ao ver tal cena. Por quê? E por que só uma parte dela é feita
de vidro e não ela toda?
 Essas situações estão intimamente ligadas ao estudo da resistência dos
materiais, pois, com os estudos apropriados, vamos percebendo que
alguns materiais desempenham certos papeis em uma estrutura com
mais eficiência do que outros. O que não quer dizer que pontes de
madeira são inseguras ou que seja impossível existir uma passarela feita
apenas de vidro. 
 O estudo da resistência dos materiais foca em entender o
comportamento dos materiais diante das solicitações às quais eles são
submetidos. Quantos quilos uma ponte de madeira aguenta? Quanta força
você precisa fazer para quebrar um clipe de papel utilizando só as
mãos? Se você utilizar uma tábua para apoiar dois sacos de 50 kg de
cimento, a tábua se deforma demais? 
 Para responder a estas perguntas, primeiro precisamos entender quais
são as unidades de medida utilizadas no estudo da resistência dos
materiais. Para nos referirmos às unidades, temos o Sistema
Internacional de Unidades (SI), que estabelece um padrão de medida para
cada unidade. No Brasil, a resolução nº 12 (1988) do Conselho Nacional de
Metrologia (CONMETRO) estabelece algumas diretrizes referentes às
unidades de medida. 
 Isso significa que teremos algumas unidades de medidas específicas
para certas grandezas citadas nestas unidades e em unidades futuras.
Por exemplo, segundo o SI, quando nos referirmos a um intervalo de
tempo, utilizaremos a unidade de segundos (s). E antes de seguir com o
estudo das unidades mais utilizadas em resistência dos materiais,
precisamos entender (ou relembrar) a diferença entre massa e força.
 Massa é uma grandeza relacionada à quantidade de matéria de um
corpo, quanto mais matéria houver, maior será a massa. E segundo o SI,
ela é expressa em quilogramas (kg), ou seja, quando alguém diz que “este
saco de arroz pesa 1 kg”, na verdade essa medida se refere à massa.
Mas e o peso, então? O que seria? 
 Aquilo que chamamos de peso na física e na resistência dos materiais é
uma medida de força resultante da ação da gravidade. Em outras
palavras, o peso depende da força que o planeta exerce sobre seu
corpo e é a força que você faz em direção ao chão.
 Explicando de outra forma, uma pessoa que tem 75 kg de massa, tem
75 kg de massa em qualquer lugar, seja na Terra, na Lua ou em
qualquer outro planeta. O que muda é o peso dela nesses lugares. Qual a
importância disso afinal? Como dito anteriormente, peso é uma medida de
força pelo Sistema Internacional de Unidades (SI), força que é
referenciada pela unidade newton (N), seja a força peso, exercida pela
massa de algum material, seja outro tipo de força, vindo de outra fonte,
todas serão retratadas pela mesma unidade.
 Considerando que a maior parte das situações abordadas nessa
disciplina seja localizada na Terra, podemos simplificar a relação entre
massa e peso de acordo com a gravidade do nosso planeta, que é 9,81
m/s², mas que podemos considerar como 10 para fins didáticos de
facilitação de cálculo. Nessa simplificação, 1 kg = 10 N (um quilograma
equivale a 10 newtons). Logo, uma pessoa de 65kg representa uma
força de 650N apontando para o centro da Terra. 
 Como você deve ter notado no exemplo anterior sobre estudo teórico
de fenômenos físicos, utilizamos representações que traduzem o mundo
como está ao nosso redor em uma linguagem gráfica de forma
simplificada. O peso que a mulher exerce sobre o chão foi traduzido
num vetor sobre um único ponto de apoio e o valor desse peso
acompanha o vetor. Este é um exemplo de como poderemos
representar este tipo de situação. 
 Portanto, sempre que estivermos diante de situações reais que
envolvam forças, por exemplo, na verdade, estaremos observando
vetores, pontos de aplicação e linhas. Não necessariamente estarão
representados todos os detalhes, como de onde foi originada a força ou
a área de contato entre o pé e o chão, por exemplo.
 Agora que estamos mais familiarizados com a representação de
forças, seja ela originada de um peso ou outro tipo de força (um
elástico esticado, por exemplo, está aplicando uma força para voltar ao
tamanho normal), podemos discutir o conceito de equilíbrio. 
 
 O que seria então o equilíbrio? 
 
 Ao longo da vivência vamos nos deparando com várias formas de nos
referirmos a algo que chamamos de equilíbrio. Existe o equilíbrio
emocional, financeiro, ambiental…, no entanto, quando falamos de
resistência dos materiais, nosso foco é o equilíbrio estático. Afinal,
futuramente estaremos lidando com edificações e, nesse caso, o
principal equilíbrio delas é o estático. 
 A forma geral de conceituar o equilíbrio estático é confirmar que “a
somatória de todas as forças é igual a zero”. Quando um corpo estiver
em equilíbrio, todas as forças que estão atuando sobre ele têm que ter
alguma outra força (ou forças) para anular. Imagine um cabo de guerra
onde a soma das forças dos dois times é exatamente igual, a corda não
vai para nenhum dos lados. Isso quer dizer que a corda está em equilíbrio.
EQUILÍBRIO 
 Observe, por exemplo, as imagens acima, mesmo que os times tenham
uma quantidade diferente de pessoa, um dos times tem 3 pessoas
fazendo uma força de 10 N cada uma e o outro tem uma pessoa sozinha
fazendo uma força de 30 N. Temos um caso de equilíbrio estático, pois
as forças se anulam e o cabo não sai do lugar. 
 
 E se houvesse um peso pendurado na corda? Como ele seria
representado? Bom, para termos uma referência mais bem
estabelecida, quando falarmos de equilíbrio, estaremos considerando os
corpos e as forças dentro de um sistema de eixos cartesianos, os já
conhecidos eixos xy. Observe na figura a seguir, por exemplo, como o
farol pode ser colocado num sistema de eixos cartesianos. 
 Quando precisamos referenciar um corpo para estudo do equilíbrio
estático, precisamos colocá-lo dentro de um sistema de eixos
cartesianos. Em geral, o eixo horizontal é convencionado como eixo x e o
eixo vertical como eixo y. 
 Bom, nesse eixo, imagine uma torre presa ao chão, como o farol que
citamos anteriormente. Vários tipos de forças vão atuar nessa torre,
como estamos buscando um equilíbrio estático, nosso objetivo é que ela
mantenha a estabilidade mesmo com a ação destas forças. 
 Observe a imagem a seguir: 
 A força F1 representa o peso da própria torre. Como dito antes, o
peso é uma força relacionada à massa de um material que é direcionada
ao centro do planeta. A força F2 representa a reação do chão. Para
que a torre não afunde, o chão precisa “empurrar a torre para cima”,
com a mesma intensidade que o peso a empurra para baixo, assim
conseguimos o equilíbrio estático no plano vertical (eixo y).
Vínculosde 1ª classe: Chamamos de vínculo de primeira classe aqueles
que restringem o movimento de uma estrutura apenas na direção
normal ao plano de apoio. Imagine um veículo cujas rodas estão
presas em um trilho; os vínculos dessa estrutura com o ambiente
são essas rodas, elas não restringem a rotação (momento) e não
restringem o movimento lateral (forças horizontais), mas elas
impedem que este carro se desloque para cima ou para baixo
(forças verticais);
 Os vínculos ou apoios são os elementos de um corpo ou de uma
estrutura que restringem o movimento e/ou deslocamento. Seguindo a
nossa representação dos corpos em duas dimensões, podemos
classificar os vínculos em três tipos diferentes. 
 Além do peso, imagine que está ventando muito e a força F3
representa a força do vento na torre, mais uma vez essa torre está
em equilíbrio, ou seja, a base da torre precisa gerar a força F4 na
direção contrária ao vento, mantendo o equilíbrio. Dessa forma, todas as
forças se anulam e a torre se mantém estável. 
 Outra condição para que se tenha o equilíbrio é garantir que, além de
não se deslocar na horizontal ou não vertical, os corpos não estejam
girando em nenhuma direção; a este tipo de movimento chamamos de
momento, que pode ser momento fletor ou momento torsor. 
 Posteriormente, estas condições de equilíbrio serão melhor exploradas;
por enquanto, vamos focar no fato que precisamos garantir que as
estruturas consigam anular todas as forças aplicadas para se que
mantenha a estabilidade de uma estrutura. Isso é garantido através do
que chamamos de vínculos.
VÍNCULOS
• Vínculos de 2ª classe: Os vínculos de segunda classe são aqueles que
restringem o movimento de uma estrutura em duas direções, além de
restringir o movimento na direção normal ao plano de apoio. Também
há restrição do movimento paralelo ao plano e a rotação não é
restrita neste tipo de vínculo.
 Em geral, vínculos de segundo grau são articulações fixas na base. 
• Vínculos de 3ª classe: Os vínculos de terceira classe, também
chamados de engastes, são conexões que limitam todos os
movimentos. Limitam o deslocamento horizontal, vertical e o giro.
Quando uma estrutura, ou parte dela, está conectada através de um
vínculo de terceira classe, se diz que está engastada.
 Imagine, por exemplo, um poste. Um poste
é uma estrutura engastada no solo, pois há
uma única conexão (a base) que impede o
movimento horizontal, vertical e a rotação. 
 Estes diferentes tipos de vínculos são as
fixações que garantem que os corpos e as
estruturas vão resistir aos esforços;
sempre que aparecer uma força, é o
vínculo que garante uma força contrária a
fim manter a estabilidade. 
 Porém, todos os exemplos mencionados
são referentes a forças ou totalmente
horizontal ou totalmente vertical. Mas, e se
houvesse uma força inclinada? Como
vamos fazer para distinguir o que está no
eixo x e o que está no eixo y? 
 Imagine um barco que está navegando no mar em linha reta e de
repente se inicia uma ventania lateral, empurrando o barco para o lado,
conforme ilustrado na figura a seguir: Veja que, se considerar o barco
inserido num sistema de eixos cartesianos, a força F1 representa a
força de propulsão do barco na direção em que ele pretende se
deslocar. A força F2 é a força lateral do vento, que empurra o barco
para o lado enquanto ele se desloca.
 Com essas duas forças agindo simultaneamente, o barco se desloca
para a frente e para o lado ao mesmo tempo; é como se, em vez de
ter duas forças atuando, tivéssemos uma única força F3, a qual
chamamos de soma vetorial das outras duas forças e que agiria de
forma inclinada.
 Olhando atentamente para os vetores que representam as forças F1,
F2 e F3, podemos observar que a força inclinada resultante se trata da
hipotenusa do triângulo retângulo que é formado pelas três forças.
 Mas, e quando acontecer o contrário? Se houver ação de uma força
inclinada, como poderemos separar essa força em forças dentro dos
nossos eixos xy? Da mesma forma que duas forças ortogonais se
somam em uma única força inclinada, podemos partir de uma força
inclinada e separá-la em duas outras forças. 
 Isso é chamado decomposição vetorial e serve principalmente para
podermos separar forças vetoriais em componentes que estejam nos
eixos que estabelecemos. 
 Para entender o processo de decomposição vetorial, podemos
interpretar os vetores que estamos buscando e são projeções do vetor
original, como se houvesse uma “sombra” deste vetor F projetada nos
eixos x e y. A estes vetores projetados daremos o nome Fx e F y ,
conforme ilustrado a seguir.
 Como saber o valor desses vetores componentes? Bom, para isso será
necessário saber qual o ângulo entre o vetor F e um dos eixos
cartesianos. Vamos chamar o ângulo de θ, por exemplo, utilizando das
relações trigonométricas com o ângulo conforme indicado na figura a
seguir: 
 Com base nesta figura, podemos estabelecer as seguintes relações: 
 Bom, agora que já está definido o conceito de equilíbrio, a metodologia
de representação de forças e decomposição vetorial, podemos pensar
em como esses assuntos vão se relacionar, façamos então o exercício
do exemplo a seguir:
EXERCÍCIO 1 – EXEMPLO RESOLVIDO 
 Sobre a mesa de trabalho, três colegas estão disputando a última xícara
de café. O primeiro a pegar está puxando com uma força de 30N e
com um ângulo de 30° em relação a uma linha horizontal, conforme
ilustrado na figura abaixo.
 Com que força os seus colegas devem puxar a xícara de volta para
que ela não saia do lugar, dada a direção e o sentido das forças F1 e
F2?
 A primeira coisa que precisamos ter em mente é deixar específico que
a caneca não deve sair do lugar. A questão está descrevendo que o
sistema está em equilíbrio, ou seja, as forças F1 e F2 devem anular a
terceira força de 30N. Sendo assim, resta saber quais os componentes
vertical e horizontal desta força de 30N.
DECOMPONDO O VETOR DE 30N –
COMPONENTE HORIZONTAL
 Esta primeira etapa visa descobrir o quanto da força de 30N é
transmitido à xícara no sentido horizontal, em outras palavras, qual a
projeção horizontal da força dado o ângulo de 30°.
 Ou seja, a força F de 30N tem uma componente horizontal de
aproximadamente 26,01 N. 
 Agora, partimos para a decomposição do componente vertical:
 Considerando que os vetores da força inclinada e seus componentes
compõem um triângulo retângulo e o valor que se busca equivale ao
cateto adjacente ao ângulo, podemos partir da seguinte relação
trigonométrica:
 Onde: 
 » F = 30N; 
 » θ = 30º. 
Temos que o valor do cosseno de 30° é aproximadamente 0,867.
 Logo:
DECOMPONDO O VETOR DE 30N –
COMPONENTE VERTICAL 
 Com a mesma observação que os vetores da força inclinada e seus
componentes compõem um triângulo retângulo, o valor agora equivale ao
cateto oposto ao ângulo apontado, podemos partir então da relação do
seno:
Onde: 
 » F = 30N; 
 » θ = 30º.
 Temos que o valor do seno de 30° é aproximadamente 0,50. 
 Logo:
 Ou seja, a força F de 30N tem uma componente horizontal de 15,0 N. 
 Desta forma, sabemos então com que intensidade de força as duas
outras pessoas presentes à mesa precisariam puxar a xícara de café
para que fosse estabelecido um equilíbrio naquela situação.