Questão resolvida - Deduza, usando integrais, a fórmula do volume de um elipsoide de semi-eixo maior a e semi-eixo menor b - Volume de sólido de revolução - Cálculo II

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Tiago Lima - Instagram: @professor_disciplinas_exatas
 
• Deduza, usando integrais, a fórmula do volume de um elipsoide de semi-eixo maior a 
e semi-eixo menor b, com o eixo maior orientado na direção eixo x.
 
Resolução:
 
 A fórmula genérica de um elipsoide de semi-eixo maior a e semi-eixo menor b é;
 
+ = 1
x
a
2
2
y
b
2
2
Isolando y, essa fórmula fica;
 
+ = 1 = 1- y = b 1- y = y =
x
a
2
2
y
b
2
2
→
y
b
2
2
x
a
2
2
→
2 2
x
a
2
2
→ b 1-2
x
a
2
2
→ b2
a - x
a
2 2
2
 
y = y = ⋅ y = y =a - x
b
a
2
2
2 2
→
b
a
2
2
a - x2 2 →
b2
a2
a - x2 2 →
b
a
a - x2 2
 
Para chegar na fórmula, vamos fazer a revolução da região delimitada plea curva do 
elipsoide no primeiro quadrante e o eixo x, em torno do eixo x, como visto a seguir;
 
A fórmula que fornece o volume de um sólido de revolução é;
 
 
0 a
 
V = 𝜋 f x dx
b
a
∫ [ ( )]2
 
 O limite de integração vai de 0 a a, para encontrar o volume do elipsoide, vamos multiplicar 
a integral que fornece o volume por 2, já que queremos o volume de todo elipsoide, e 
integrando de 0 a a, só fornece metade do volume ;
 
V = 2𝜋 dx = 2𝜋 a - x dx = 2𝜋 a - x dx
a
0
∫ b
a
a - x2 2
2 a
0
∫ b
a
2
2 2
1
2
]2
b
a
2 a
0
∫ 2 2
2
2
= 2𝜋 a - x dx = 2𝜋 a - x dx = 2𝜋 a x -
b
a
2
2
a
0
∫ 2 2 1 b
a
2
2
a
0
∫ 2 2 b
a
2
2
2
x
3
3 a
0
= 2𝜋 a a - - 2𝜋 a 0-
b
a
2
2
2
a
3
3 b
a
2
2
2
0
3
3
 
= 2𝜋 a - = 2𝜋 = 2𝜋 =
b
a
2
2
3
a
3
3 b
a
2
2
3a - a
3
3 3 b
a
2
2
2a
3
3 2 ⋅ 2b a
3a
2 3
2
 
V =
4𝜋ab
3
2
 
 
(Resposta )