Prova 3 de Cálculo 1 UnB 1.2018

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Universidade de Braśılia
Departamento de Matemática
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NOTA
Cálculo 1
3aProva – 1/2018
Nome: Mat.: / Turma:
Atenção: Esta prova contém 3 questões discursivas. Elas devem ser revolvidas, prefe-
rencialmente à lápis, no local indicado após seu enunciado. Se necessário, utilize o verso.
Respostas sem justificativa serão desconsideradas.
1) Calcule:
(a) [1,0 ponto]
∫
cos(x) ln(sen(x))dx
(b) [1,0 ponto]
∫
dx
(x+ 1)(x2 + 1)
(c) [1,0 ponto]
∫ 1
0
ex
1 + ex
dx
(d) [1,0 ponto]
∫
dx√
9 + x2
Solução
Cálculo I Prova 3 1.o/2018 – 1/7
Solução
Cálculo I Prova 3 1.o/2018 – 2/7
2) Considere o problema de calcular a área A sob o gráfico da função f : [0, π2] → R,
f(x) = sen(
√
x), ilustrado na figura ao lado.
 πO
 2
(a) [1,0 ponto] Use uma mudança de variável para transfor-
mar a integral indefinida
∫
sen(
√
x) dx em uma outra cujo
integrando não envolva a função raiz quadrada.
(b) [1,0 ponto] Use os itens anteriores para obter uma primi-
tiva para a função f(x).
(c) [1,0 ponto] Calcule a área A usando o item anterior.
Solução
Cálculo I Prova 3 1.o/2018 – 3/7
Solução
Cálculo I Prova 3 1.o/2018 – 4/7
3) Suponha que os móveis M1 e M2 se desloquem em uma trajetória retiĺınea, tendo inici-
ado o movimento simultaneamente a partir de um mesmo ponto e com velocidades, em
km/h, dadas por v1(t) = t
√
t2 + 32 e v2(t) = 5 t. A figura abaixo ilustra os gráficos das
velocidades em função do tempo t, em que 0 ≤ t ≤ 6 e t = 0 corresponde ao ińıcio do
movimento.
t
v
(a) [1,0 ponto] Determine o instante t > 0 em que os
móveis têm a mesma velocidade.
(b) [1,0 ponto] Determine o espaço percorrido pelo móvel
M2 até o instante t = 2.
(c) [1,0 ponto] Determine o espaço percorrido pelo móvel
M1 até o instante t = 3.
Solução
Cálculo I Prova 3 1.o/2018 – 5/7
Solução
Cálculo I Prova 3 1.o/2018 – 6/7
Rascunho
Cálculo I Prova 3 1.o/2018 – 7/7