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Universidade Federal do Tocantins 
 
6. Lista de Exercícios de Álgebra Linear 
1) Seja V o conjunto de todas as funções de um conjunto não vazio X em R. Para quaisquer funções 
f, g ϵ V e para qualquer escalar k ϵ R, sejam f + g e kf funções definidas como: 
(f + g)(x) = f(x) + g(x) 
(kf)(x) = kf(x), 
para todo x ϵ X. Provar que V é um espaço vetorial real. 
 
2) Seja V o conjunto de todos os pares (x,y) de números reais e seja R o conjunto dos números 
reais. A soma de elementos em V e a multiplicação por escalar é definida por: 
     
   
1 1 2 2 1 2 1 2
1 1 1 1
x , y x , y 3y 3y , x x
c x , y 3cy , cx ,
    
 
 
Verificar que V, com estas operações, não é um espaço vetorial real. 
 
3) Nos itens de (a) a (g) apresenta-se um conjunto com as operações de adição e multiplicação por 
escalar nele definidas. Verificar quais deles são espaços vetoriais. Para aqueles que não são espaços 
vetoriais, citar os axiomas que não se verificam: 
(a) V = R³ tal que      1 1 1 2 2 2 1 2 1 2 1 2x , y ,z x , y ,z x x , y y ,z z     
    1 1 1k x , y ,z 0,0,0 . 
 
(b) V = {(x, 2x, 3x) / x ϵ R}, com as operações usuais. 
 
(c) V = R² tal que (a, b) + (c, d) = (a, b) 
 α(a, b) = (αa, αb). 
 
(d) V = R² tal que      1 1 2 2 1 2 1 2x , y x , y x +x , y y   
 α(x, y) = (α²x, α²y). 
 
(e) V = R² tal que      1 1 2 2 1 2 1 2x , y x , y x x , y y    
 α(x, y) = (αx, 0) 
(f) V = {(x, y) ϵ R² / y = 5x}, com operações usuais. 
 
(g) V = 2x2
0 a
 M / a,b R
b 0
  
   
  
, com as operações usuais. 
4) Considerando as operações soma e multiplicação por escalar usuais, verificar quais dos 
subconjuntos S abaixo é ou não um subespaço vetorial do espaço vetorial V dado: 
(a) V = R² e S = {(x, y) ϵ R² / y = 2x} 
 
(b) V = R² e S = {(x, y) ϵ R² / y = 4-2x} 
 
(c) V = R² e S = {(x, y) ϵ R² / y = |x|} 
 
(d) V = R² e S = {(x, y) ϵ R² / x > 0} 
 
(e) V = R³ e S = {(x, y, z) ϵ R³/ x = 4y e z = 0} 
 
(f) V = R³ e S = {(x, y, z) ϵ R³/ y = x+2 e z = 0} 
 
(g) V = R³ e S = {(x, y, z) ϵ R³ / x+y+z = 0} 
 
(h) V = R³ e S = {(4t, 2t, -t) ϵ R³ / t ϵ R} 
 
(i) V = R4 e S = {(x, y, z, t) ϵ R4 / x+y = 0 e z-t = 0} 
 
(j) V = R4 e S = {(x, y, z, t) ϵ R4 / 2x+y– t = 0 e z = 0} 
 
5) Quais dos subconjuntos S abaixo são subespaços vetoriais do espaço vetorial M2x2: 
(a) S = 
a b
com a,b,c,d R e b =c
c d
  
  
  
 (matrizes simétricas). 
 
(b) S = 
a b
coma,b,c,d R e b =c+1
c d
  
  
  
. 
 
(c) S = 
a b
com a,b,d R c= 0
c d
  
  
  
 (matrizes triangulares superiores). 
 
(d) S = 
a a b
com a, b R
a b b
   
  
  
. 
 
(e) S = 
a 1
com a,b R
a b
  
  
  
. 
 
(f) S = 
a b
comad -bc 0
c d
  
  
  
 (matrizes inversíveis).