Exercícios-03-Espaços-vetoriais

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Curso de Engenharia de Controle e Automação 
Disciplina: Álgebra Linear 
Professor: Marcelo Cendron 
Exercícios – Espaços vetoriais 
Exercícios	1. Verifique se os espaços abaixo são vetoriais: a. O conjunto ℚ dos números racionais. Resposta: Não é espaço vetorial. Não atende o axioma 6, pois não é fechado na multiplicação. Exemplo 𝛼 = 2,3 𝑒 𝑢 = 1 3 	,	então	𝛼𝑢 = 2,3 3 ∉ 𝑐𝑜𝑛𝑗𝑢𝑛𝑡𝑜 𝑄 b. O conjunto ℚ! = {(𝑎, 𝑏) | 𝑎, 𝑏 ∈ ℚ}, com as operações usuais Resposta: Não é espaço vetorial, idem anterior c. O conjunto unitário {0}, com as operações usuais, Resposta: É espaço vetorial d. ℝ! = {𝑥 ∈ ℝ ∶ 𝑥 > 0} com as operações usuais, Resposta: Não é espaço vetorial. Não atende o axioma 5, dado um vetor u = (x), não existe um vetor –u = (-x) e. O conjunto dos números complexos com parte real não negativa com as operações usuais Lembrando das operações usuais dos números complexos: Soma: z1+z2=(a+bi)+(c+di) = (a+c)+(b+d)i Multiplicação:𝛽𝑧 = (𝛽𝛼 + 𝛽𝑏𝑖) Resposta: Não é espaço vetorial. Não atende o axioma 5, dado um vetor u = (a+ bi), um vetor –u = (-a - bi) não pertence ao conjunto de números complexos com parte real não negativa 2. Seja V o conjunto de todos os pares ordenados de números reais e considere as operações de adição e multiplicação por escalar definidas em 𝑢 = (𝑢1, 𝑢2) e 𝑣 = (𝑣1, 𝑣2) por: 𝑢 + 𝑣 = (𝑢1 + 𝑣1, 𝑢2 + 𝑣2), 𝛼𝑢 = (0,𝛼𝑢!) a. Calcule 𝑢 + 𝑣 e 𝛼𝑢, com u = (-1, 2), v = (3, 4) e 𝛼 = 3 b. Explique por que V é fechado na adição e multiplicação por escalar 
	
c. Como a adição de V é uma operação de adição padrão de ℝ! certos axiomas de espaço vetorial valem para V por valerem em ℝ!. Quais são esses axiomas d. Mostre que valem os axiomas 7, 8 e 9 e. Mostra que o axioma 10 falha e que, portanto, V não é um espaço vetorial com as operações dadas. 3. Seja V o conjunto de todos os pares ordenados de números reais e considere as operações de adição e multiplicação por escalar definidas em 𝑢 = (𝑢1, 𝑢2) e 𝑣 = (𝑣1, 𝑣2) por: 𝑢 + 𝑣 = (𝑢1 + 𝑣1 + 1, 𝑢2 + 𝑣2 + 1), 𝛼𝑢 = (𝛼𝑢!,𝛼𝑢!) a. Calcule 𝑢 + 𝑣 e 𝛼𝑢, com u = (0, 4), v = (1, -3) e 𝛼 = 2 b. Mostre que (0, 0) ≠ 0 c. Mostre que −1,−1 = 0 d. Mostre que vale o axioma 5 fornecendo um par ordenado –u tal que u + (-u) = 0 com 𝑢 = (𝑢1, 𝑢2) e. Encontre dois axiomas de espaço vetorial que não sejam válidos. 4. Nos exercícios a seguir, determine se o conjunto dado com as operações é um espaço vetorial. Para os que não são espaços vetoriais, identifique os axiomas que falham: a. O conjunto de todos os números reais com as operações padrão de adição e multiplicação. b. O conjunto de todos os pares de números reais da forma (x, 0) com as operações padrão de ℝ! c. O conjunto de todos os pares de números reais da forma (x, y) em que 𝑥 ≥ 0 com as operações padrão de ℝ! d. O conjunto de todos os termos de números reais com operação padrão de adição, mas com multiplicação por escalar definida por: 𝛼 = 𝑥, 𝑦, 𝑧 = 𝑎!𝑥, 𝑎!𝑦, 𝑎!𝑧 e. O conjunto de todas as matrizes 2 x 2 da forma: 𝑎 00 𝑏 Com as operações matriciais padrão de adição e multiplicação por escalar.