Lista 1 Espaço Vetorial

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Instituto Federal de Santa Catarina – Campus Florianópolis
Unidade Curricular: Álgebra Linear
Professor: Luiz Arthur Dornelles Jr
Semestre: 2019/2
Lista 1 - Espaço Vetorial
1. Determine os vetores 𝑢, 𝑣 ∈ R4 sabendo que as coordenadas de 𝑢 são iguais, a última coordenada de
𝑣 é 3 e 𝑢 + 𝑣 = (1, 2, 3, 4).
2. Sejam 𝑢 = (1, 1), 𝑣 = (1, 2) e 𝑤 = (2, 1). Encontre números 𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑥, 𝑦 e 𝑧, todos não-nulos, tais
que 𝑎𝑢 + 𝑏𝑣 + 𝑐𝑤 = 𝑥𝑢 + 𝑦𝑣 + 𝑧𝑤 com 𝑎 ̸= 𝑥, 𝑏 ̸= 𝑦 e 𝑐 ̸= 𝑧.
3. Para o conjunto de matrizes 𝑀2×2, determine:
3.1. O elemento neutro para a operação de adição de matrizes.
3.2. O elemento identidade para a operação de multiplicação de matrizes.
3.3. Mostre que o conjunto 𝑀2×2 é um espaço vetorial.
4. Para os conjuntos abaixo, verificar quais deles são Espaços Vetoriais, levando em consideração as
operações indicadas. Para os que não são, identificar os axiomas que não se verificam.
4.1. R3, com as operações (𝑥1, 𝑦1, 𝑧1)+(𝑥2, 𝑦2, 𝑧2) = (𝑥1 +𝑥2, 𝑦1 +𝑦2, 𝑧1 +𝑧2) e 𝑘(𝑥1, 𝑦1, 𝑧1) = (0, 0, 0).
4.2. {(𝑥, 2𝑥, 3𝑥) | 𝑥 ∈ R} com as operações usuais.
4.3. R2, com as operações (𝑎, 𝑏) � (𝑐, 𝑑) = (𝑎, 𝑏) e 𝛼 � (𝑎, 𝑏) = (𝛼𝑎, 𝛼𝑏).
4.4. R2, com as operações (𝑥1, 𝑦1) + (𝑥2, 𝑦2) = (𝑥1 + 𝑥2, 𝑦1 + 𝑦2) e 𝛼 � (𝑥1, 𝑦1) = (𝛼2𝑥1, 𝛼2𝑦1).
4.5. R2, com as operações (𝑥1, 𝑦1) + (𝑥2, 𝑦2) = (𝑥1 + 𝑥2, 𝑦1 + 𝑦2) e 𝛼 � (𝑥1, 𝑦1) = (𝛼𝑥1, 0).
4.6. 𝐴 = {(𝑥, 𝑦) ∈ R2 | 𝑦 = 5𝑥}, com as operações usuais.
4.7. 𝐴 =
{︃[︃
0 𝑎
𝑏 0
]︃
∈ 𝑀(2, 2) | 𝑎, 𝑏 ∈ R
}︃
, com as operações usuais.
4.8. O conjunto dos números racionais com as operações usuais de adição e multiplicação.
4.9. O conjunto R2 com as operações (𝑎, 𝑏) � (𝑐, 𝑑) = (0, 0) e 𝑘 � (𝑎, 𝑏) = (𝑘𝑎, 𝑘𝑏).
4.10. O conjunto dos números reais positivos com as operações 𝑎 � 𝑏 = 𝑎𝑏 e 𝑘 � 𝑎 = 𝑎𝑘.
5. Considere o espaço vetorial real 𝑉 = {(𝑥, 𝑦) ∈ R2 | 𝑥 > 0} com as operações:
• Adição de Elementos: (𝑥1, 𝑦1) � (𝑥2, 𝑦2) = (𝑥1 · 𝑥2, 𝑦1 + 𝑦2)
• Multiplicação por escalar: 𝛼 � (𝑥, 𝑦) = (𝑥𝛼, 𝛼 · 𝑦) ∀𝛼 ∈ R
Responda às questões seguintes:
5.1. Exiba o elemento neutro da operação de adição.
5.2. Exiba o elemento simétrico aditivo do elemento (𝑥, 𝑦) ∈ 𝑉 .
5.3. Mostre que 𝛼 · (𝑢 + 𝑣) = 𝛼 · 𝑢 + 𝛼 · 𝑣 𝑢, 𝑣 ∈ 𝑉 e 𝛼 ∈ R
6. Considere o espaço vetorial 𝑉 = {(𝑥, 𝑦) | 𝑥, 𝑦 ∈ R} com as operações:
• Adição de Elementos: (𝑥1, 𝑦1) � (𝑥2, 𝑦2) = (𝑥1 + 𝑥2 + 5, 𝑦1 + 𝑦2)
• Multiplicação por escalar: 𝛼 � (𝑥, 𝑦) = (𝛼 · 𝑥 + 5 · (𝛼 − 1), 𝛼 · 𝑦)
responda as questões à seguir:
6.1. Exiba o elemento neutro da operação de adição.
6.2. Exiba o elemento simétrico aditivo de um elemento (𝑥, 𝑦) ∈ 𝑉 qualquer.
7. Mostrar que 𝑃2(R) (polinomios de grau menor ou igual a 2) é um espaço vetorial em relação às
operações usuais de adição de polinômios e multiplicação de polinômios por escalar.
8. Mostre que o conjunto de todas as matrizes reais de ordem 𝑛, que denotamos por M𝑛(R), com a
operação de adição de elementos, 𝐴 = [𝑎𝑖𝑗] e 𝐵 = [𝑏𝑖𝑗], definida por: 𝐴 + 𝐵 = [𝑎𝑖𝑗 + 𝑏𝑖𝑗] e a operação
de multiplicação por escalar definida por: 𝜆𝐴 = [𝜆𝑎𝑖𝑗], é um espaço vetorial real.
9. Dados os espaços vetoriais 𝐸1 e 𝐸2, considere o conjunto 𝐸 = 𝐸1 × 𝐸2 cujos elementos são os pares
ordenados 𝑣 = (𝑣1, 𝑣2), com 𝑣1 ∈ 𝐸1 e 𝑣2 ∈ 𝐸2. Defina operações que tornem 𝐸 um espaço vetorial
e verifique a validade de cada um dos axiomas.
10. Determine, em cada item abaixo, se o conjunto dado com as operações especificadas de adição e
multiplicação por escalar é um espaço vetorial. Caso não seja, apresente os axiomas não satisfeitos.
10.1. O conjunto R2 com as operações (𝑎, 𝑏) � (𝑐, 𝑑) = (𝑎, 𝑏) e 𝛼 � (𝑎, 𝑏) = (𝛼𝑎, 𝛼𝑏).
10.2. O conjunto R2 com as operações (𝑎, 𝑏) � (𝑐, 𝑑) = (𝑎 + 𝑐, 𝑏 + 𝑑) e 𝛼 � (𝑎, 𝑏) = (𝛼2𝑎, 𝛼2𝑏).
10.3. O conjunto R2 com as operações (𝑎, 𝑏) � (𝑐, 𝑑) = (𝑎 + 𝑐, 𝑏 + 𝑑) e 𝛼 � (𝑎, 𝑏) = (𝛼𝑎, 0).
11. Considere a seguinte afirmação: “Em um espaço vetorial 𝐸 existe um único vetor nulo e cada elemento
de 𝐸 possui um único inverso.” Qual propriedade mostrada em sala garante que esta afirmação é
verdadeira?
Lista 1 - Resultados
OBSERVAÇÃO: OS RESULTADOS AQUI APRESENTADOS
ESTÃO MUITO RESUMIDOS. A RESOLUÇÃO DOS EXER-
CÍCIOS DEVE SEGUIR AS ORIENTAÇÕES DADAS EM AULA,
CITANDO AS DEFINIÇÕES, TEOREMAS, COROLÁRIOS,
ETC. ESTUDADOS DURANTE O SEMESTRE.
1. (𝑥, 𝑥, 𝑥, 𝑥) + (𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑) = (1, 2, 3, 4), logo 𝑎 = 0, 𝑏 = 1 e 𝑐 = 2
2. 𝑎(1, 1) + 𝑏(1, 2) + 𝑐(2, 1) = 𝑥(1, 1) + 𝑦(1, 2) + 𝑧(2, 1). Uma solução: 𝑎 = 1, 𝑏 = 1, 𝑐 = 0, 𝑥 = −2,
𝑦 = 2 e 𝑧 = 1.
2
3.
3.1. 0𝑉 =
[︃
0 0
0 0
]︃
3.2. 𝐼2 =
[︃
1 0
0 1
]︃
3.3. Testar Axiomas
4.
4.1. Não é Espaço Vetorial. Falha o Axioma 𝑀4.
4.2. É Espaço Vetorial.
4.3. Não é Espaço Vetorial. Falham os Axiomas 𝐴1, 𝐴3 (falha a unicicdade) e 𝐴4 (Não tem o
elemento nulo).
4.4. Não é Espaço Vetorial. Falha o Axioma 𝑀3.
4.5. Não é Espaço Vetorial. Falha o Axioma 𝑀4.
4.6. É Espaço Vetorial.
4.7. É Espaço Vetorial.
4.8. Não é Espaço Vetorial. Não é fechado para a multiplicação por escalar, pois K = R.
4.9. Não é Espaço Vetorial. Falham os Axiomas 𝐴3 e 𝐴4
4.10. Não é Espaço Vetorial. Falham os Axiomas 𝑀2 e 𝑀3. Não
5.
5.1. Suponha que 0𝑉 = (𝑎, 𝑏), então: (𝑥, 𝑦) + (𝑎, 𝑏) = (𝑥, 𝑦) 0𝑉 = (1, 0)
5.2. O elemento simétrico do elemento (𝑥, 𝑦) é o vetor
(︂ 1
𝑥
, −𝑦
)︂
5.3.
𝛼(𝑢 + 𝑣) = 𝛼((𝑥1, 𝑦1) + (𝑥2, 𝑦2))
= 𝛼(𝑥1.𝑥2, 𝑦1 + 𝑦2)
= ((𝑥1.𝑥2)𝛼, 𝛼(𝑦1 + 𝑦2))
= (𝑥𝛼1 .𝑥𝛼2 , 𝛼𝑦1 + 𝛼𝑦2)
= (𝑥𝛼1 , 𝛼𝑦1) + (𝑥𝛼2 , 𝛼𝑦2)
= 𝛼(𝑥1, 𝑦1) + 𝛼(𝑥2, 𝑦2)
= 𝛼𝑢 + 𝛼𝑣.
6.
6.1. Suponha que 𝑣 = 0𝑉 = (𝑎, 𝑏), então:
(𝑢 + 𝑣) = 𝑢
(𝑥, 𝑦) + (𝑎, 𝑏) = (𝑥, 𝑦)
(𝑥 + 𝑎 + 5, 𝑦 + 𝑏) = (𝑥, 𝑦).
Temos que:
𝑥 + 𝑎 + 5 = 𝑥 logo, 𝑎 = −5 e
𝑦 + 𝑏 = 𝑦 logo, 𝑏 = 0
Então 0𝑉 = (−5, 0).
3
6.2. Suponha −𝑢 = 𝑣 = (𝑎, 𝑏), então:
(𝑢 + 𝑣) = 0𝑣
(𝑥, 𝑦) + (𝑎, 𝑏) = (−5, 0)
(𝑥 + 𝑎 + 5, 𝑦 + 𝑏) = (−5, 0).
Temos que:
𝑥 + 𝑎 + 5 = −5 logo, 𝑎 = −𝑥 − 10 e
𝑦 + 𝑏 = 0 logo, 𝑏 = −𝑦
Então −𝑢 = (−𝑥 − 10, −𝑦).
7. Testar os axiomas nos polinômios da forma 𝑝(𝑥) = 𝑎0 + 𝑎1𝑥 + 𝑎2𝑥2.
8. Testar os axiomas usando propriedades de operações com matrizes, conforme enunciado.
9. Uma possibilidade para as operações:
• Adição de Elementos: (𝑣1, 𝑣2) + (𝑢1, 𝑢2) = (𝑣1 + 𝑢1, 𝑣2 + 𝑢2)
• Multiplicação por escalar: 𝛼 · (𝑣1, 𝑢2) = (𝛼 · 𝑣1, 𝛼 · 𝑣2)
Testar os axiomas usando as operações escolhidas acima.
10.
10.1. Não é Espaço Vetorial. Falha o Axioma 𝐴1.
10.2. Não é Espaço Vetorial. Falha o Axioma 𝑀3.
10.3. Não é Espaço Vetorial. Falha o Axioma 𝑀4.
4