Cálculo Diferencial e Integral II - Teleaula 02 - Aula Atividade Aluno

Prévia do material em texto

Matemática AULA ATIVIDADE ALUNO 
 
AULA 
ATIVIDADE 
ALUNO 
 
Curso: 
MATEMÁTICA 
 
 
Matemática AULA ATIVIDADE ALUNO 
Disciplina: Cálculo Diferencial e Integral II 
Teleaula: 02 
Essa aula atividade é dividida em três partes. A primeira parte é uma retomada de 
conteúdos que serão essenciais para o desenvolvimento das atividades propostas na 
segunda parte. Essa parte, aborda os conteúdos vistos em teleaula. E por fim, a terceira 
parte são sugeridos alguns exercícios de livros para serem realizados em casa, a fim de 
revisar os conteúdos vistos na teleaula. 
Parte 1: Relembrando conceitos 
Nessa parte você irá realizar alguns exercícios a fim de revisar conteúdos vistos em 
disciplinas anteriores que serão importantes para o entendimento dos conceitos 
estudados em teleaula. 
Questão 1 
Uma das grandes aplicações do Cálculo Diferencial e Integral está relacionado com o 
cálculo da área de uma região abaixo da curva e limitada pelo eixo Ox. Considere a 
função f, de R em R, definida pela seguinte lei: 𝑓(𝑥) = 𝑥3 + 2𝑥 + 5 e o intervalo 𝐼 =
 [0; 1]. Analise as seguintes afirmativas abaixo. 
I – A sua primitiva é uma função polinomial de 3º grau. 
II – A função 𝐹(𝑥) = (
𝑥4
4
) + 𝑥2 + 5𝑥 + 4 é uma primitiva dessa função. 
III – A área da região abaixo da curva e limitada pelo eixo x é igual a 
10
4
 u.a.. 
Assinale a alternativa que apresenta somente a (s) correta (s). 
a) Somente a afirmativa I está correta. 
b) Somente a afirmativa II está correta. 
c) Somente as afirmativas I e III estão corretas. 
d) Somente a afirmativa III está correta. 
e) Somente as afirmativas II e III estão corretas. 
Questão 2 
 
 
Matemática AULA ATIVIDADE ALUNO 
Integrar uma função consiste em encontrar a primitiva associada à função. Dessa forma, 
somos autorizados a afirmar que a derivada a integral são operadores matemáticos 
inversos. Atentando-se para o fato de a função ser contínua no intervalo de integração, 
seja 𝑓(𝑥) = 2𝑥 + 3. Determine a primitiva (F(x)) da função f(x). 
Questão 3 
Calcule as integrais indefinida: 
∫(4𝑥2 − 8𝑥 + 1) 𝑑𝑥 
∫ (
1
𝑧3
−
3
𝑧2
) 𝑑𝑧 
∫ (3√𝑢 +
1
√𝑢
) 𝑑𝑢 
∫(2𝑥 − 5) (3𝑥 + 1) 𝑑𝑥 
Parte 2: Resolução de problemas 
Nessa parte da atividade você irá responder questões referentes aos conteúdos 
abordados em teleaula. 
Questão 1 
Considere que a parte interna de um copo é formada girando-se a parábola 𝑦 = 𝐴√𝑥 em 
torno do eixo x. Determine A de modo que com o comprimento de 6 cm o copo tenha 
uma capacidade de 500 cm³. 
Questão 2 
A taxa de variação na receita para uma determinada empresa de 2002 a 2009 pode ser 
modelada por 
𝑑𝑅
𝑑𝑡
= 320,1 𝑒0,0993𝑡 
em que 𝑅 é a receita (em milhões de dólares) e t é o tempo (em anos), com 𝑡 = 2 
correspondendo a 2002. Em 2007, a receita para essa empresa foi de 𝑅$ 6484,5 
milhões. 
 
 
Matemática AULA ATIVIDADE ALUNO 
(a) Encontre um modelo para a receita dessa empresa. 
(b) Encontre a receita dessa empresa em 2009. 
Questão 3 
Na física podemos utilizar as integrais de funções de uma variável real para o cálculo da 
velocidade de um corpo dada a sua aceleração em um intervalo de tempo. Com base 
nessas informações encontre a velocidade aproximada de um carro cuja aceleração é 
dada por 
𝑎(𝑡) = 𝑡 ln 𝑡, 
 no intervalo 1 ≤ t ≤ 10. Assinale a alternativa que contém a velocidade aproximada desse 
corpo: 
a) 90,38 m/s. 
b) 150 m/s. 
c) 65,37 m/s. 
d) 115,13 m/s. 
e) 24,75 m/s. 
Questão 4 
Em uma empresa têxtil uma máquina parou de funcionar. A taxa de variação do prejuízo 
(em reais) em função do tempo (em horas) em que a máquina fica parada é dada por: 
𝑑𝑃
𝑑𝑡
=
400
(𝑡 + 1)
+ 40 
Sabe-se que com a máquina funcionando não há prejuízo. 
a) Encontre a função que descreve o prejuízo em função do tempo que a máquina 
fica parada. 
b) Calcule o prejuízo aproximado que gerará se a máquina ficar parada 8 horas. 
Questão 5 
Não existem regras de integração diretas para todas as funções que podemos vir a 
querer integrar, mas existem métodos que nos permitem usar recursos matemáticos 
 
 
Matemática AULA ATIVIDADE ALUNO 
para simplificar a expressão e chegar em regras conhecidas. Um desses métodos é 
chamado de “regra da substituição trigonométrica”. Analise e resolva a integral a seguir: 
 
Questão 6 
(Adaptado de STEWART, 2014, p.375) Uma empresa de tecnologia produz, dentre 
outros itens, calculadoras de diversos tipos, como as científicas e as gráficas, 
empregadas nas mais variadas atividades. Esta empresa, após diversas pesquisas, 
preparou uma linha de montagem para fabricar um novo modelo de calculadora gráfica. 
Sabe-se que a taxa de produção dessas calculadoras, após t semanas, é dada por 
r(t) = 5000 (1 −
100
(t + 10)2
) calculadoras/semana 
Observe que a produção tende a 5000 por semana à medida que passa o tempo. No 
entanto, a produção inicial é baixa devido aos trabalhadores ainda não estarem 
familiarizados com as novas técnicas de produção. 
Com base nestas informações, qual a quantidade de calculadoras produzidas no período 
compreendido entre o começo da quarta semana até o fim da quinta semana? 
Questão 7 
Calcule as integrais, utilizando o método adequado. 
1. ∫
1
(4 − 5𝑡)4
 𝑑𝑡 
2. ∫
𝑡 − 2
(𝑡2 − 4𝑡 + 3)3
 𝑑𝑡 
3. ∫ 𝑥2 𝑒−𝑥 𝑑𝑥 
Parte 3: Estudo teórico complementar 
Agora você irá fazer um estudo dos temas dessa unidade. Para isso além de estudar o 
material do livro didático da disciplina, você deve acessar os links indicados e estudá-
los. Como sugestão para favorecer a aprendizagem dos tópicos a seguir, faça esquemas 
 
 
Matemática AULA ATIVIDADE ALUNO 
destacando as principais informações. Os esquemas são uma boa estratégia de estudo, 
pois o ajudam a sintetizar as ideias principais e a relacioná-las entre si. 
Para acessar ao link encaminhado você deve estar na página (deve realizar o login) 
biblioteca virtual e deve abrir uma nova guia copiando nela o link que disponibilizarei. 
Livro: Cálculo – volume 1 – 8ª edição. 
Autor: James Stewart 
Capítulo: 5 (seção 5.5) e 7 (seção 7.1 e 7.2) 
Link (acessar a biblioteca digital): https://bit.ly/2uIHc1j 
Acessar o link e resolver os seguintes exercícios (páginas 371): 
Exercício Solução 
1-6 somente os 
ímpares 
As respostas encontram-se ao final livro seção 5.5: 
https://bit.ly/2PLBH8y 
7-23 somente os 
ímpares 
53-59 somente os 
ímpares 
 
Acessar o link e resolver os seguintes exercícios (páginas 425): 
Exercício Solução 
5-12 somente os 
ímpares 
As respostas encontram-se ao final livro seção 7.1: 
https://bit.ly/2WiosPe 
 
Acessar o link e resolver os seguintes exercícios (páginas 438): 
Exercício Solução 
1-18 somente os 
ímpares 
As respostas encontram-se ao final livro seção 7.3: 
https://bit.ly/2DPsDux 
Bons Estudos!