Geometria Analitica

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Boas-vindas! .
(e alguns conselhos de alguém do século, ou melhor, do milênio passado) .
É uma enorme satisfação tê-lo(a) como aluno(a). Seja muito bem-vindo(a) à universidade.
Eu sei que na atual era dos smartphones as pessoas estão cada vez menos tolerantes aos chamados “textões”. São
poucos os que se animam a ler uma mensagem que não cabe inteira em uma tela de celular. Mas, infelizmente, não
dá para ser muito conciso nesta conversa inicial que pretendo ter com você. Espero que compreenda e que, realmente,
“perca” 10 minutos de sua vida e leia esta mensagem até o final, com atenção e discernimento.
Este material é parte de um conteúdo matemático intitulado Geometria Anaĺıtica e serve de pré-requisito para
diversas disciplinas das Ciências Exatas (Matemática/Estat́ıstica, F́ısica, Qúımica, Engenharias, Computação etc)
e até mesmo em outras áreas, como Economia, Administração, Agronomia e Arquitetura. Além disso, devido à
natureza da Geometria Anaĺıtica, que permite resolver problemas geométricos com o aux́ılio da álgebra (por meio das
equações de curvas e superf́ıcies em um sistema de coordenadas), ela é rica em aplicações práticas em muitos campos
do conhecimento.
Com o intuito de não tornar o estudo de Geometria Anaĺıtica árido e pouco atrativo em uma primeira abordagem
do tema, várias das demonstrações de proposições, teoremas e propriedades que foram feitas ao longo desse material
podem ser omitidas em uma primeira leitura. Mas é importante, principalmente para o estudante que deseja consolidar
seus conhecimentos matemáticos, que, uma vez compreendidos os diversos conceitos apresentados, retorne para uma
segunda leitura completa deste material.
Você verá que o primeiro caṕıtulo destas notas de aulas é intitulado Brev́ıssima Revisão de Ensino Médio. Trata-se
dos pré-requisitos matemáticos que, em um mundo ideal, seria ensinado e aprendido pelo aluno antes de seu ingresso na
universidade. Mas como não vivemos em um mundo ideal, acho que esses pré-requisitos são extremamente necessários.
A Geometria Anaĺıtica “universitária” começa no segundo caṕıtulo, intitulado Vetores e Coordenadas Cartesianas. E
é refletindo sobre esse primeiro caṕıtulo que eu gostaria de conversar com você, estudante de graduação. Para dizer a
verdade, não é sobre os tópicos desse caṕıtulo que eu quero conversar. É sobre algo mais geral, que tem a haver com
dedicação e aprendizagem. Ah sim! Já ia me esquecendo: não sou do tipo que vive dizendo “O meu tempo de estudante
que era bom, tinha ordem e disciplina! Hoje as universidades estão uma balbúrdia (palavras de certo ministro...)”.
Para dizer a verdade, já há muito tempo, quando eu era aluno, eu cheguei a ouvir isso de alguns professores (acho que
já estão mortos hoje...). Sinceramente, sendo bem realista, aqueles tempos não eram essa maravilha toda que muitos
saudosistas “pintam”. Entretanto, há sim algumas coisas que mudaram, e precisam ser pontuadas quando se fala de
aprendizagem. É sobre isso que eu quero conversar.
Fiz todos os meus estudos de formação no século passado (ou milênio passado, se preferir). Portanto, já sou “velho”
e, ao longo de duas décadas ensinando Matemática, pude perceber que muitas coisas foram mudando. Vou citar três
mudanças significativas de comportamento em nossa sociedade, ligadas ao ensino, utilizando frases cotidianas:
(1) “Hoje eu não estou a fim de ir à aula. Mas não tem problema! Depois eu assisto videoaulas na
Internet.”
Conforme comentado acima, quando eu estava na graduação, não existia essa oportunidade de aprendizado. No
máximo, t́ınhamos o “telecurso”, que passava na TV aberta, quase no fim da madrugada, e era sobre o 1o e 2o
graus (nomes que depois foram alterados para “Ensino Fundamental” e “Ensino Médio”). Por motivos óbvios, esses
programas quase não tinham audiência (quem sabe se a emissora alterasse a grade horária, colocando o telecurso
no horário das novelas, no começo da noite, e as novelas de madrugada...). Os que nasceram neste milênio e estão
inseridos no mundo das tecnologias digitais talvez não saibam, mas a Internet no Brasil começou em 1995. Quando
o computador tornou-se algo popular, no final dos anos 90, e surgiram as primeiras videoaulas de Matemática em
português na Internet, eu achei aquilo fantástico. Que poderosa ferramenta para se aprender! Mas o tempo passou...
e hoje percebo que a atitude de muitos alunos frente a essa oportunidade de aprendizado tem se mostrado incorreta,
pior ainda, tem se mostrado prejudicial a ele mesmo. E eu não estou falando de videoaulas ruins, o que, aliás, há aos
montes por áı. Estou falando de ótimas videoaulas. O problema é que os alunos acham que videoaula é como cinema,
basta assistir. Preste atenção nisso: NÃO SE APRENDE MATEMÁTICA POR CONTEMPLAÇÃO! Se
você quer realmente aprender, então prepare-se para o esforço: pause a videoaula a cada pequeno intervalo e procure
refazer o racioćınio e os exerćıcios que ali estão sendo apresentados. Quando eu falo em refazer, é no papel mesmo
(aliás, está áı outra coisa que parece estar entrando em extinção nas universidades). Se você é do tipo que assiste
uma videoaula de Matemática, e não faz algo a mais a partir dela, então não perca o seu tempo. Você não aprenderá
coisa alguma assim. Nesse caso, dormir pode ser algo melhor a se fazer. Entenda de uma vez por todas essa verdade:
APRENDER EXIGE ESFORÇO!
(2) “Não vou imprimir o material dessa disciplina. Está na rede. Eu posso acessar quando quiser.”
Eu gostaria de deixar muito claro que não sou anti-ecológico. Se há vantagem em não imprimir em papel algum
documento, então muito bem. Não imprima. Aliás, de alguns anos para cá, todo o processo de tramitação de
documentos nos órgãos públicos (o que inclui as universidades federais) é feita por via eletrônica. E isso é ótimo! Uma
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economia gigante de papel. A natureza agradece! Mas há algumas economias que nos deixam no prejúızo. Um arquivo
pdf com as notas de aulas, como esse que disponibilizo nesta disciplina (você está lendo um deles!), deve ser impresso
em papel e trazido em sala. Durante a aula, você pode fazer anotações com observações, resumos e complementos
que não estão originalmente no material. Além disso, as aulas serão repletas de exerćıcios que estão enunciados nestes
arquivos e que serão feitos “ao vivo” em sala, com o bom e velho giz e, portanto, devem ser entendidos e anotados
em papel, e não fotografados. Neste ponto, é importante que você também traga um caderno (outro item que parece
estar em extinção nas universidades). Alguns alunos argumentam que “copiar matéria” em papel é perda de tempo, e
que, se o professor não fornece o material, ele pode ir fotografando o quadro no decorrer da aula. Na minha opinião,
esse é um argumento perigoso. É verdade que apenas copiar a teoria do quadro pode não ser muito proveitoso, além
de tomar um tempo de aula. E é por isso que muitos professores, dentre eles eu, utilizam data-show para explicar a
teoria.Mas na hora sagrada de se resolver exerćıcios, deve-se escrever de forma raciocinada e com concentração, para
estimular o cérebro a realizar novas sinapses - diriam os neurologistas - e também para aferir a fixação de conteúdo e
verificar se você realmente está entendendo a teoria. Outro argumento a favor de se escrever em papel: quando se vê
e escreve, o cérebro tem que trabalhar mais do que quando está apenas vendo. Isso ajuda a fixar melhor o conteúdo
e vai ao encontro do que eu disse acima: Não se aprende Matemática por contemplação.
(3) “Com o smartphone tenho acesso a praticamente todo tipo de informação, então não há problemas
em responder mensagens durante a aula. Depois eu recupero.”
Para quem viveu a maior parte da vida em uma época em que fazer pesquisas e obter informações era dif́ıcil e exigia
horas, talvez dias, de dedicação, um smartphone é algo para lá de fantástico. Quando tive meu primeiro aparelho
smartphone fiquei deslumbrado com as inúmeras possibilidades de aprendizado, de comunicação e de interação com
mundo. Achei que aquele pequeno aparelho, que te dá o mundo ao alcance das pontas dos dedos, iria transformar o
planeta. E está transformando. Mas agora eu não tenho tanta certeza se essa transformação é tão benéfica assim.
Talvez em muitas áreas ele realmente seja ótimo, mas para o aprendizado, estou começando a achar que nem tanto.
Pelo menos para aqueles que não sabem utilizá-lo com moderação (sem querer plagiar propaganda de cerveja...).
Infelizmente, muitas pessoas estão ficando viciadas em celular e não enxergam que isso pode ser algo extremamente
nocivo. Acho que, no futuro, teremos uma nova categoria de v́ıcio, tão destrutivo quanto o fumo, o álcool, as drogas
ou os jogos, que é o v́ıcio em celular. É irônico também ver que algo que pode unir pessoas distantes, também pode
afastar as que estão próximas. É comum ver, em restaurantes, famı́lias que chegam para almoçar ou jantar e cada
um pega o seu celular e vai fazer as “suas coisas”. Estão perto fisicamente, mas distantes em pensamento. Mas
não quero ficar filosofando sobre os aspectos morais da tecnologia. Quero falar do celular em sala de aula. De uns
dois anos para cá, tenho presenciado algo inusitado: alunos que vão às aulas “apenas” com o celular. Não trazem
cadernos, canetas ou qualquer outro tipo de material de estudo. Quando muito fotografam algum exerćıcio resolvido
no quadro. Geralmente, esse tipo de aluno está sempre “conectado lá fora”, fisicamente na sala, mas afastados dela
pelo pensamento. Felizmente, esse tipo “extremo” de aluno ainda é minoria, mas eu temo pelo futuro. Sinceramente,
seria melhor que eles não fossem à aula. Seria mais barato (afinal, transporte tem custo) e o resultado final é o
mesmo: catástrofe acadêmica. Aqueles que utilizam o celular em sala de aula, além de desrespeitarem o professor,
desrespeitam os colegas que querem prestar atenção no que está sendo ensinado. Como se esses problemas não fossem
o suficiente, ainda há um outro, talvez pior a longo prazo: o acesso cont́ınuo a um ambiente como a Internet onde
predominam conteúdos ruins, errados ou superficiais podem levar uma geração inteira a um problema crônico de saúde
mental ou pśıquica. Tenho conversado com diversos alunos que se queixam que não conseguem se concentrar em um
assunto por mais do que poucos minutos. Concentração e racioćınio exigem esforço e é muito similar a um esporte:
tem que treinar. O problema é que estamos na era das informações curtas e superficiais, os textos devem ser curtos,
assim como as videoaulas. Com isso, o cérebro vai se acostumando a esse padrão (que é mais prazeroso, pois não
exige muito esforço) e quando é preciso se concentrar, talvez por horas, para aprender alguma coisa, então surgem as
dificuldades (é como se você tentasse correr uma maratona sem nunca ter treinado para isso). O aluno simplesmente
não consegue. Acho que não preciso dizer que isso traz consequências funestas para o futuro. Às vezes, eu tenho a
impressão que estamos presenciando o surgimento de uma geração inteira de “enfermos digitais”. Em resumo: saiba
utilizar a tecnologia a seu benef́ıcio e nos momentos em que ela realmente é útil. NÃO SE TORNE ESCRAVO
DE SEU SMARTPHONE.
Agora que já falamos dos problemas novos, gostaria também de conversar com você sobre os problemas velhos
(e você achando que já estava acabando...). Algumas coisas não mudam. Os problemas que eu vou listar abaixo já
existiam em minha época de estudante e, infelizmente, continuam até hoje. Vamos a eles:
(i) “Vou fazer uma ‘cola’ e me dar bem na prova sem precisar estudar.”
Eu penso que o problema das colas é quase tão velho quanto o ser humano. O que muda com o tempo são
as técnicas, não a essência do problema. O que eu vou falar não é novidade e acho que é dito desde sempre: O
MAIOR PREJUDICADO PELA COLA É QUEM A PRATICA. Quem precisa aprender os conteúdos que
são ministrados na universidade é você. Não é o professor. Ele já o sabe. Quem cola frauda a si mesmo, frauda o seu
futuro como profissional. Eu acho que nem todos têm perfil para cursar uma graduação. Muitos se formam à base da
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fraude e acabam tornando-se péssimos profissionais (isso quando conseguem ingressar no mercado de trabalho). Seria
melhor fazer um curso técnico com honestidade e tornar-se um bom profissional, mesmo que seja em profissões menos
“intelectualizadas”.
(ii) “Me empresta a sua lista de exerćıcios...”
Costumo pedir para os alunos resolverem e entregarem as listas de exerćıcios. Inclusive dou alguns pontos. Entre-
tanto, poucos fazem e muitos copiam as resoluções (isso quando se dão ao trabalho de copiarem, pois eu quero que
elas sejam feitas “à mão”). Essa prática é similar à cola que discuti acima. Só não está sendo feita na hora da prova,
mas as consequências são as mesmas, pois os exerćıcios tem por finalidade ajudar no aprendizado. No fim das contas,
o prejúızo é, também, do próprio aluno. Outro fato curioso sobre listas de exerćıcios: de alguns anos para cá, comecei
a pedir que os alunos entregassem junto com a lista de exerćıcios uma folha com uma tabela onde eles tinham que
anotar se fizeram e se entenderam o que fizeram em cada um dos exerćıcios. O resultado é geralmente hilário: há
diversos exemplos de alunos que “fizeram e entenderam tudo”, mas na prova (que geralmente é muito similar à lista)
eles tiram notas muito baixas. Não precisa ser muito esperto para saber o que está acontecendo: listas copiadas...
(iii) “Fiquei com 60. Passei!”
Na UFU, exige-se um mı́nimo de 60% de aproveitamento para ser aprovado em uma disciplina. Em nossa realidade
social, não se pode exigir aprendizado 100% para obter aprovação, mas contentar-se com 60% não pode significar que
está tudo bem. Você ainda está em débito consigo mesmo e com aquilo de deveria ter aprendido e, talvez, o que deixou
de aprender faça muita falta no futuro. Neste ponto eu gostaria de deixar uma reflexão: você confiaria em um médico
que fosse fazer uma cirurgia card́ıaca em sua mãe sabendo que ele aprendeu apenas 60% dos procedimentos? Muitos
alunos argumentam que depois de formados irão aprender na prática, quando estiverem no mercado de trabalho.
É verdade que a prática ensina muitas coisas. Mas também é verdade que se você aprendeu 100% daquilo que foi
ensinado na graduação, então sua vida profissional será bem melhor e, talvez, poderá evitar frustrações decorrentes de
uma formação deficitária. No caso da disciplina de Geometria Anaĺıtica, ainda há mais um agravante: seu conteúdo é
utilizado nas disciplinas geralmente chamadas de Cálculo Diferencial e Integral (Cálculos 1, 2, 3, 4, Numérico, EDO
etc). Com 60% de aproveitamento naGeometria Anaĺıtica, sua vida nos Cálculos será bem mais dif́ıcil, pois uma
disciplina está interligada a outra. Em resumo: ESFORCE-SE PARA APRENDER O MÁXIMO POSSÍVEL.
Não se acomode no 60%. E ainda: se você irá ensinar, lembre-se de que você deve saber bem mais do que aquilo que
está ensinando.
(iv) “Sou jovem, vou ‘curtir’, ainda tenho muito tempo para aprender...”
Esse é um pensamento não muito admitido, mas bastante praticado. É verdade que, para quem é jovem, há muito
tempo pela frente. Mas também é verdade que a fase do estabelecimento de hábitos de estudo e racioćınio ocorre na
juventude. Para quem não cultivou hábitos de estudo, concentração e racioćınio na juventude, é muito dif́ıcil adquiŕı-
los na idade madura, quando o cérebro já está “acomodado” com as rotinas pouco intelectualizadas do dia-a-dia e o
corpo já não acompanha um ritmo mais intenso. Além disso, deve-se levar em conta que parece ser natural uma certa
degeneração neuronal (e f́ısica) ao longo do tempo. Por fim, para a maioria das pessoas, a única ocasião de dedicar-se
com afinco aos estudos é na juventude. Passado esse peŕıodo, perdeu-se a oportunidade. Aı́ vem casamento, filhos
e/ou compromissos diversos...
(v) “Não tenho tempo de exercitar o que aprendi ontem, faço isso nos dias que antecederem as provas.”
Eu ouvia na minha época de graduação: “aula dada, aula estudada”. Confesso que não dava para seguir sempre esse
conselho (no começo de minha graduação, eu tinha trabalho durante o dia e universidade a noite). Mas sempre procurei
levar em dia meus estudos. Não preciso me aprofundar nas vantagens de não deixar tudo para a “última hora”, pois o
cérebro necessita de um certo tempo para assimilar e amadurecer novos conhecimentos. Entretanto, recentemente eu
escutei em uma palestra a seguinte informação: se não trabalharmos ou retomarmos um novo conhecimento adquirido,
em um determinado momento, no peŕıodo de:
• 6 horas, então esquecemos 1/4 do que foi aprendido;
• 24 horas: então esquecemos 1/3 do que foi aprendido;
• 6 meses: então esquecemos 9/10 do que foi aprendido.
Eu não sei se esses números estão corretos, até porque há divergências quando pesquisamos sobre essa questão. Mas
o fato é que há perdas quando postergamos a retomada de um novo conteúdo que foi aprendido. Então, fica o recado:
PROCURE REVISAR O QUANTO ANTES AQUILO QUE APRENDE DE NOVO E INSTAURE O
HÁBITO DO ESTUDO CONTÍNUO.
(vi) “Esse conteúdo não é importante...”
Muitos conteúdos matemáticos são abstratos e, às vezes, você pode achar que não precisará deles. Primeiramente,
eu acho que essa afirmação é extremamente prepotente. Se existe uma grade curricular, onde determinado assunto
está inserido, que foi constrúıda por diversos professores e outros profissionais que já estão há muito tempo na área
e no mercado de trabalho, e que afirmam que o assunto é importante, então (desculpem-me pela grosseria) quem é o
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aluno que acabou de ingressar na graduação para achar o contrário? Além disso, mesmo que por algum motivo não
utilize aquele conhecimento espećıfico no futuro, o fato de tê-lo estudado fez com que seu racioćınio desenvolvesse,
e isso é extremamente útil em quase tudo que fazemos na vida. Lembre-se: CONHECIMENTO NUNCA É
DEMAIS. A Matemática, em particular, tem por caracteŕıstica ser “acumulativa” ou “integrada”, ou seja, para
aprender coisas mais avançadas é necessário saber uma série de pré-requisitos. Você, aluno, sentirá isso na pele, pois
Geometria Anaĺıtica é um bom exemplo disso que estou falando. Se você esqueceu o Geometria Anaĺıtica, então sua
vida será bem mais dif́ıcil nos Cálculos... Mas não desanime, trabalho e dedicação são necessários, mas os frutos do
conhecimento compensarão cada minuto de esforço.
(vii) “Se não der certo, faço um curso à distância...”
Cursos à distância podem parecer coisas da modernidade, mas não é bem assim. Na minha época de graduação
já existiam (pelos Correios, acredite...). O que mudou foram as formas de acesso e estudo, que ficaram, obviamente,
muito mais fáceis atualmente. Eu atuo em um curso à distância de Licenciatura em Matemática aqui na UFU desde
2013 e tenho algo a falar, sem entrar em detalhes, para aqueles que cultivam o pensamento enunciado neste item:
ENSINO À DISTÂNCIA, SE NÃO FOR ENGANAÇÃO, VAI EXIGIR MUITO MAIS DO QUE O
PRESENCIAL. Se você realmente quer aprender e está em um curso presencial, lute e esforce-se para conclúı-lo.
Eu garanto que será melhor para você.
(vii) “Preciso apenas do diploma...”
A menos que você queira um diploma chique para emoldurar e pendurar na parede de sua sala, então escute bem
isso: O MERCADO DE TRABALHO É ACIRRADO, SÓ OS MELHORES CHEGAM NO TOPO DA
CARREIRA. Ter um diploma é, às vezes, apenas a porta de entrada para o mercado de trabalho. E apenas isso. O
resto é com você. Seu conhecimento, sua dedicação, seu esforço é que farão a diferença.
(ix) “É normal ter várias reprovações...”
Mesmo em cursos com fama de “fácil de entrar, dif́ıcil de sair”, como Matemática e Estat́ıstica, não é, e jamais foi,
normal ter várias reprovações. Ao contrário, o normal deveria ser a aprovação. Eu acho que existe uma espécie de “v́ırus
do pessimismo” que passa do aluno veterano para o aluno calouro e que acaba perpetuando certos comportamentos
bastante nocivos. Se você está com dificuldades em uma certa disciplina, então é ela que deve ser estudada com
mais afinco e não, simplesmente, ser abandonada. É como o casal que tem mais que um filho e um deles é mais
“problemático”, está sempre dando trabalho e parece não se ajustar na vida. É exatamente esse filho que será alvo
de maior dedicação por parte dos pais (mesmo quando os demais filhos achem injusta essa atitude dos pais). É claro
que disciplina de Geometria Anaĺıtica não é filho... Mas se você for realmente honesto consigo mesmo, verá que a
correlação é válida. Além disso, um dos motivos que levam à desistência e consequente reprovação em disciplinas é o
excesso de faltas. Vou ser bastante sincero: muitos alunos possuem, em uma única disciplina, mais faltas do eu tive
em toda a minha graduação. Você, caro aluno, que possui o pensamento enunciado nesse item, deve levar em conta
que reprovações por faltas pesam muito mais no coeficiente de rendimento acadêmico do que reprovações por nota.
Isso significa que você sempre estará em desvantagem quando concorrer a uma bolsa de ensino, pesquisa ou mesmo
de permanência (assistencial). Por fim, lembre-se que ficar na universidade reprovando em sucessivas disciplinas e
ocupando uma vaga até jubilar (isto é, ser desligado) significa custo para a sociedade, para você e, talvez, para sua
famı́lia; além, é claro, de estar tomando o lugar de alguém que poderia se esforçar mais do que você para ser aprovado
nas disciplinas.
(x) “Não sei estudar...”
Ao longo desses anos todos ensinando (ou tentando ensinar) Matemática, ouvi essa confissão de vários alunos. É
um assunto dif́ıcil de abordar com alguém que já ingressou na universidade e que, supostamente, já teve que estudar
muito. Se você reparar bem, quando falei dos três primeiros itens de nossa conversa, falei sobre estudos, ou melhor,
falei de como “não se deve estudar”. Releia novamente aqueles itens. Se você faz as coisas que estão lá descritas,
então você já tem uma ótima pista do porquê não sabe estudar. Mas eu tenho algo a mais a falar sobre isso, afinal,
para ser honesto, isso não é um problema novo. Acho que com exceção das mães dedicadas que fazem mil coisas ao
mesmo tempo: cuidam dos filhos, trabalham fora, cuidam do lar, do cachorro, do marido (esse nem tanto...), somos
seres “monotarefa”, ou seja, precisamos nos concentrarem apenas uma atividade de cada vez para aprendê-la. Com
estudo não é diferente. Quando você for estudar, dedique-se completamente a essa atividade. Procure um ambiente
calmo, silencioso, desligue-se da Internet e das redes sociais, dos fones de ouvido (se você gosta de uma música suave
ao fundo, tudo bem...). Depois de um dia de estudos, procure fazer uma caminhada ao ar livre (aqui em Uberlândia,
há o Parque do Sabiá, que é ótimo para isso) procurando revisar mentalmente o que estudou. Para quem não tem
esse hábito, pode ser dif́ıcil no começo, mas você acaba se acostumando e, com o passar do tempo, torna-se prazeroso
e você sente falta quando não é posśıvel realizar essa atividade. Algumas pessoas sentem-se melhor estudando em
grupos. Sem problemas. Isso é muito bom, afinal, um ajuda o outro nas dificuldades. Mas tome cuidado para não
virar aquele que está no grupo apenas para copiar o que os outros fazem. Isso não é estudar e, também, não é honesto.
Por fim, tenha sempre bons materiais de estudo e procure dividir o tempo de modo a atender todas as disciplinas.
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Finalizando nossa conversa, eu já ouvi uma frase bastante estranha da boca de pessoas simples, tanto quanto da
boca de pessoas letradas. A frase é dita com orgulho: “Sou péssimo em Matemática”. Como se isso fosse alguma
virtude... Eu nunca ouvi alguém dizer “Sou péssimo motorista” (ele pode até ser, mas nunca assumirá...). Dificilmente
uma pessoa que passou minimamente pela escola não se deparou com a Matemática. Se essa pessoa é péssima em
Matemática, é porque nunca se dedicou a ela como deveria. E isso deveria ser motivo de vergonha, não de orgulho.
É pensando nisso que deixo meu recado final: TUDO DE BOM QUE FOR FAZER, FAÇA BEM FEITO,
COM DEDICAÇÃO E ESFORÇO. Se você for melhor, o mundo será melhor. E como estamos precisando de um
mundo melhor...
Uberlândia-MG, primeiro semestre de 2020.
Dedico este trabalho ao meu filho, na esperança de que algum dia ele possa ler essas linhas.
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Sumário
Um Curso de Geometria Anaĺıtica 11
1 Brev́ıssima Revisão de Ensino Médio 13
1.1 Conjuntos Numéricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.2 O Sistema de Coordenadas Cartesianas Ortogonais no plano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.3 Distância entre dois pontos no Plano Cartesiano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.4 Alinhamento entre três pontos no Plano Cartesiano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.5 Retas no Plano Cartesiano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
Seção de Exerćıcios Propostos: Brev́ıssima Revisão de Ensino Médio . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2 Vetores e Coordenadas Cartesianas 23
2.1 Vetores: abordagem geométrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
2.2 Vetores: abordagem algébrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
2.2.1 Coordenadas na Reta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
2.2.2 Coordenadas no Plano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
2.2.3 Vetores no Plano Cartesiano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
2.2.4 Coordenadas no Espaço . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
2.2.5 Vetores no Espaço Cartesiano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
2.3 Produto Escalar (ou Produto Interno) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
2.4 Produto Vetorial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
2.5 Produto Misto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
Seção de Exerćıcios Propostos e Resolvidos: Vetores e Coordenadas Cartesianas . . . . . . . . 57
Seção EXTRA de Exerćıcios Resolvidos: Vetores e Coordenadas Cartesianas . . . . . . . . . . . 70
Seção EXTRA de Exerćıcios Propostos: Vetores e Coordenadas Cartesianas . . . . . . . . . . . 92
3 Retas, Planos e Distâncias 99
3.1 Retas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
3.1.1 Equação Vetorial de uma Reta no Espaço . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
3.1.2 Equações Paramétricas de uma Reta no Espaço . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
3.1.3 Equações Simétricas de uma Reta no Espaço . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
3.1.4 Equações Reduzidas de uma Reta no Espaço . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
3.1.5 Casos Particulares de Retas no Espaço . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
3.1.6 Ângulo entre Duas Retas no Espaço . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
3.2 Planos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
3.2.1 Equação Vetorial de um Plano no Espaço . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
3.2.2 Equações Paramétricas de um Plano no Espaço . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110
3.2.3 Equação Geral de um Plano no Espaço . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110
3.2.4 Ângulo entre Reta e Plano no Espaço . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
3.2.5 Ângulo entre Dois Planos no Espaço . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
3.3 Distâncias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114
3.3.1 Distância de Ponto a Ponto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114
3.3.2 Distância de Ponto a Reta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
3.3.3 Distância de Ponto a Plano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
3.3.4 Distância de Reta a Reta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
3.3.5 Distância de Reta a Plano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119
3.3.6 Distância de Plano a Plano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119
Seção de Exerćıcios Propostos e Resolvidos: Retas, Planos e Distâncias . . . . . . . . . . . . . . 120
Seção EXTRA de Exerćıcios Resolvidos: Retas, Planos e Distâncias . . . . . . . . . . . . . . . . 139
Seção EXTRA de Exerćıcios Propostos: Retas, Planos e Distâncias . . . . . . . . . . . . . . . . 158
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Página 10 de 249 páginas UFU Geometria Anaĺıtica
4 Curvas 165
4.1 Curvas Cônicas: secções cônicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165
4.2 Curvas Cônicas: definições geométricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168
4.2.1 Definição Geométrica de Parábola . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168
4.2.2 Definição Geométrica de Elipse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . 170
4.2.3 Definição Geométrica de Circunferência . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172
4.2.4 Definição Geométrica de Hipérbole . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173
4.3 Curvas Cônicas: equações cartesianas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175
4.3.1 Equação Cartesiana Geral de uma Curva Cônica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176
4.3.2 Equação Cartesiana de Parábola . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176
4.3.3 Equação Cartesiana de Elipse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180
4.3.4 Equação Cartesiana de Circunferência . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183
4.3.5 Equação Cartesiana de Hipérbole . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183
4.4 Caracterização de Curvas Cônicas Não Degeneradas em Termos de Diretriz e Excentricidade . . . . . 185
4.5 Identificação de Curvas Cônicas a Partir da Equação Geral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187
4.6 Curvas em Coordenadas Polares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191
4.6.1 O Sistema de Coordenadas Polares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191
4.6.2 As Curvas Cônicas em Coordenadas Polares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194
4.6.3 Algumas Fórmulas e Equações Adicionais em Coordenadas Polares . . . . . . . . . . . . . . . . 194
Seção de Exerćıcios Propostos e Resolvidos: Curvas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 198
Seção EXTRA de Exerćıcios Respondidos: Curvas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213
Seção EXTRA de Exerćıcios Propostos: Curvas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 219
5 Superf́ıcies 221
5.1 Definições Geométricas de Algumas Superf́ıcies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221
5.1.1 Superf́ıcies de Revolução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221
5.1.2 Superf́ıcies Ciĺındricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222
5.1.3 Superf́ıcies Cônicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222
5.1.4 Esferas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223
5.2 Superf́ıcies Quádricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223
5.2.1 Equações Cartesianas Reduzidas de Algumas Superf́ıcies Quádricas Especiais . . . . . . . . . . 223
5.2.2 Equação Cartesiana Reduzida de Elipsoide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 226
5.2.3 Equação Cartesiana Reduzida de Hiperboloide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 229
5.2.4 Equação Cartesiana Reduzida de Paraboloide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232
5.3 Coordenadas Ciĺındricas e Esféricas (resumo) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 235
Seção de Exerćıcios Propostos e Resolvidos: Superf́ıcies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 238
Seção EXTRA de Exerćıcios Respondidos: Superf́ıcies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 243
Seção EXTRA de Exerćıcios Propostos: Superf́ıcies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 247
Referências Bibliográficas 249
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Um Curso de Geometria Anaĺıtica
Estas notas para acompanhamento de aulas são para um curso de Geometria Anaĺıtica voltado para o primeiro
peŕıodo dos cursos de graduação em ciências exatas.
Este material está em constante aperfeiçoamento e podemos divid́ı-lo em cinco partes (caṕıtulos):
- Brev́ıssina Revisão de Ensino Médio
- Vetores e Coordenadas Cartesianas
- Retas, Planos e Distâncias
- Curvas e Coordenadas Polares
- Superf́ıcies e Coordenadas Ciĺındricas e Esféricas
O caṕıtulo Brev́ıssima Revisão de Ensino Médio é apenas uma revisão do conteúdo de Geometria Anaĺıtica
de Ensino Médio que, grosso modo, deveria ser pré-requisito para o estudo da Geometria Anaĺıtica de graduação.
Leitores familiarizados com esse assunto podem desconsiderar esse caṕıtulo e começar seus estudos no próximo.
No caṕıtulo Vetores e Coodenadas Cartesianas estudamos o conceito geométrico de vetor, aprendendo a operar
vetores no sentido de somar e multiplicar por um escalar (número real). Também abordamos os conceitos de norma,
ângulo e projeção de um vetor sobre outro para o qual precisamos do conceito de produto escalar entre vetores. Outras
operações entre vetores a serem estudadas serão a de produto vetorial e produto misto. Veremos aplicações de vetores
em problemas de Geometria e de F́ısica. Podemos subdividir este caṕıtulo em:
- Vetores: abordagem geométrica;
- Vetores: abordagem algébrica:
- Coordenadas na Reta;
- Coordenadas no Plano;
- Vetores no Plano Cartesiano;
- Coordenadas no Espaço;
- Vetores no Espaço Cartesiano.
- Produto Escalar (ou Produto Interno);
- Produto Vetorial;
- Produto Misto.
No tópico Retas estudamos os diversos tipos de equações para retas no espaço. Após o estabelecimento das
equações, o estudo das posições relativas entre retas no espaço torna-se bastante acesśıvel, bem como a noção de
ângulo entre elas. Podemos subdividir esse tópico em:
- Equação vetorial de reta;
- Equações paramétricas de reta;
- Equações simétricas de reta;
- Equações reduzidas de reta;
- Ângulo entre duas retas no espaço;
- Posições relativas entre duas retas no espaço;
- Intersecção de retas no espaço.
No tópico Planos, assim como nas retas, estudamos os diversos tipos de equações para planos no espaço. Após o
estabelecimento das equações, o estudo das posições relativas entre planos e retas no espaço torna-se bastante acesśıvel,
bem como a noção de ângulo entre esses objetos. Podemos subdividir esse tópico em:
- Equação vetorial de plano;
- Equações paramétricas de plano;
- Equação geral de plano e vetor normal a um plano;
- Ângulo entre dois planos no espaço;
- Ângulo entre reta e plano no espaço;
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Página 12 de 249 páginas UFU Geometria Anaĺıtica
- Posições relativas entre retas e planos no espaço;
- Intersecção de planos e retas no espaço.
No tópico Distâncias estudamos meios de como calcular as distâncias entre os elementos geométricos estudados
até aqui: pontos, retas e planos. Podemos subdividir esse tópico em:
- Distância entre dois pontos;
- Distância de ponto a reta;
- Distância de ponto a plano;
- Distância entre duas retas;
- Distância entre reta e plano;
- Distância entre dois planos.
No tópico Curvas Cônicas estudamos as chamadas curvas cônicas não degeneradas: as parábolas, as circun-
ferências, as elipses e as hipérboles. Além do estudo das equações cartesianas dessas importantes curvas planas, as
definições geométricas e os principais elementos dessas curvas, como centros, focos, vértices, eixos, diretrizes, asśıntotas
e excentricidades, também farão parte de nosso desenvolvimento teórico. Podemos subdividir esse tópico em:
- As curvas cônicas parábola, circunferência, elipse, e hipérbole como seções cônicas;
- As definições geométricas da parábola, da circunferência, da elipse e da hipérbole;
- O principais elementos das curvas cônicas: centros, focos, vértices, eixos, diretrizes, asśıntotas e excentricidades.
- As deduções das equações cartesianas reduzidas da parábola, da circunferência, da elipse e da hipérbole a partirdas
suas definições geométricas;
- Aplicação das translações e rotações ao estudo da equação quadrática Ax2 + Bxy+ Cy2 +Dx+ Ey+ F = 0.
No tópico Coordenadas Polares introduzimos um novo e importante sistema de coordenadas no plano: o Sistema
de Coordenadas Polares. Naturalmente, as equações de curvas nesse novo sistema de coordenadas, as chamadas
equações polares, são diferentes das respectivas equações cartesianas. Desta forma, as técnicas de transformação das
equações de um sistema para outro é de fundamental importância. Além disso, esboços de curvas a partir de suas
equações polares, intersecções de curvas e cálculos de distâncias nesse novo sistema também são itens de interesse e
estudo. Podemos subdividir esse tópico em:
- O Sistema de Coordenadas Polares;
- Transformação de Coordenadas Polares em Coordenadas Cartesianas e vice-versa;
- Esboço de curvas a partir de sua equação polar;
- Intersecção de gráficos em Coordenadas Polares;
- Fórmula da distância entre dois pontos;
- Equações polares das curvas cônicas;
No tópico Superf́ıcies estudamos algumas classes de superf́ıcies: as esféricas, as ciĺındricas, as cônicas e as
quádricas. O enfoque principal é o estudo das equações cartesianas dessas superf́ıcies. Em particular, as superf́ıcies
ciĺındricas e cônicas quadráticas são de especial interesse, pois enquadram-se no tipo de equação que será abordada
em nossos estudos. As superf́ıcies quádricas de revolução e seus principais elementos, como focos, vértices e eixos são
objetos importantes em nossos estudos devido a sua potencial utilização prática. Podemos subdividir esse tópico em:
- A esfera;
- Superf́ıcies ciĺındricas;
- Superf́ıcies cônicas;
- Equações reduzidas das seguintes superf́ıcies quádricas:
Elipsóide;
Hiperbolóide de uma folha;
Hiperbolóide de duas folhas;
Parabolóide eĺıptico;
Parabolóide hiperbólico;
Cone quadrático;
- Identificação de quádricas de revolução.
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Caṕıtulo 1
Brev́ıssima Revisão de Ensino Médio
(o Sistema de Coordenadas Cartesianas Ortogonais e Equações de Retas no plano - sem o uso de vetores)
1.1 Conjuntos Numéricos
A teoria envolvendo a construção matemática rigorosa dos conjuntos numéricos, suas operações e propriedades
foge aos objetivos deste curso introdutório. Tal estudo é visto em disciplinas mais avançadas de Teoria dos Números
e Análise Real (ou Análise Complexa).
Abaixo segue um resumo de tais conjuntos.
Conjunto do números naturais:
N = {1, 2, 3, 4, 5, . . .} .
Alguns autores consideram 0 (zero) como número natural.
Conjunto dos números inteiros:
Z = {. . . ,−5,−4,−3,−2,−1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, . . .} .
A palavra “números” em alemão é escrita como “zahlen”.
Conjunto dos números racionais:
Q =
{
a
b
: a, b ∈ Z e b 6= 0
}
.
Existe uma relação de equivalência importante em Q:
a
b
= c
d
⇐⇒ ad = bc .
Assim, por exemplo, 1
2
= 3
6
, pois 1.6 = 2.3 .
Todo número racional pode ser escrito em uma forma decimal, sendo esta forma “finita” ou “infinita” formando
uma d́ızima periódica. Por exemplo,
1
2
= 0, 5 7
8
= 0, 875 1
3
= 0, 3333 . . . 41
333
= 0, 123123123 . . .
Existem números que não são racionais. Por exemplo, o comprimento da hipotenusa de um triângulo retângulo
cujos catetos medem uma unidade de comprimento. Tal número é indicado por
√
2 e é uma raiz da equação x2 = 12+12
(esta equação é proveniente do Teorema de Pitágoras), ou seja, x2 = 2.
Ö2
1
1
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Página 14 de 249 páginas UFU Geometria Anaĺıtica
Podemos associar os números racionais a pontos de uma reta.
Para tanto, basta fixarmos dois pontosO e P distintos na reta e associarmos os números 0 e 1, respectivamente. Com
isto, estabelecemos uma unidade de medida geométrica sobre a reta que, por meio de seus múltiplos e submúltiplos,
e, por meio da ordenação natural do conjunto Q, permite a localização dos demais números racionais sobre essa reta.
Os números racionais positivos estão associados a pontos da semirreta com origem em O que passa por P, enquanto
que os números racionais negativos estão associados a pontos da semirreta com origem em O que não passa por P
(semirreta oposta). A figura abaixo esclarece o procedimento acima.
0 1 2 3-1-2-3
- ,0 5
O P
2 5,
5
2
Existem pontos da reta que não estão associados a números racionais. Tais pontos estão associados aos chamados
números irracionais.
À reunião do conjunto dos números racionais e do conjunto dos números irracionais chamamos de conjunto dos
números reais e indicamos por R.
Aqui cabe fazer uma ressalva importante: existe um processo matemático rigoroso de construção do con-
junto dos números reais e de sua associação com os pontos de uma reta. Naturalmente, não temos como fazer esse
desenvolvimento nestas notas. O que procuramos fazer acima é apenas passar uma ideia intuitiva do procedimento.
Voltaremos a falar disso na Seção 2.2 do Caṕıtulo 2 com um pouco mais de rigor.
A reta associada ao conjunto dos números reais, conforme descrevemos acima, chamamos de eixo coordenado,
ou então eixo real , ou ainda, de reta real .
Todo número irracional pode ser aproximado por números racionais e possui uma representação decimal “infinita”
que não forma d́ızima periódica. Por exemplo,
√
2 = 1, 41421356 . . .
√
3 = 1, 73205080 . . .
√
5 = 2, 23606797 . . . π = 3, 14159265 . . . e = 2, 71828182 . . .
Ainda há o conjunto dos números complexos:
C =
{
a+ bi : a, b ∈ R e i =
√
−1
}
.
Em resumo:
N Z Q R C
Neste curso trabalharemos apenas com o conjunto dos números reais, admitindo suas operações usuais, bem como
suas propriedades.
1.2 O Sistema de Coordenadas Cartesianas Ortogonais no plano
A definição de sistema de coordenadas cartesianas ortogonais segue abaixo:
Consideremos dois eixos congruentes (isto é, com a mesma unidade de medida geométrica) perpendiculares e
com origens coincidentes no ponto O.
Um dos eixos será chamado de eixo das abscissas, indicado por Ox, enquanto que o outro será chamado
de eixo das ordenadas, indicado por Oy. Cada um desses eixos também é chamado, genericamente, de eixo
coordenado.
Um plano determinado por dois eixos, conforme descrito acima, será dito um plano munido de um sistema de
coordenadas cartesianas ortogonais ou, simplificadamente, plano cartesiano e será indicado por Oxy. O
ponto O é chamado de origem do sistema de coordenadas cartesianas ortogonais.
É comum representar o plano cartesiano como o eixo Ox na horizontal com a orientação da esquerda para a direita
e o eixo Oy na vertical com orientação de baixo para cima.
A grande utilidade do plano cartesiano está no fato de cada ponto deste plano estar associado a um par ordenado
de números reais e vice-versa. Esta associação é feita do seguinte modo:
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Geometria Anaĺıtica UFU Página 15 de 249 páginas
(i) Dado um ponto P no plano cartesiano, consideremos as projeções ortogonais desse ponto nos eixos coordenados. A
projeção ortogonal Px de P no eixo Ox é um ponto deste eixo associado a um número real x que chamamos de abscissa
de P, enquanto que a projeção ortogonal Py de P no eixo Oy é um ponto deste eixo associado a um número real y
que chamamos de ordenada de P. Abscissas e ordenadas são chamadas, também, de coordenadas cartesianas de
P. O ponto P fica, portanto, associado ao par ordenado de números reais (x, y). Indicamos essa associação por
P = (x, y) ou P (x, y) .
Observemos que devido à unicidade das projeções ortogonais de P aos eixos coordenados, o par ordenado (x, y) é
único!
(ii) Dado um par ordenado de númerosreais (x, y), tomamos os pontos Px, associado ao número x no eixo Ox, e Py
associado ao número y no eixo Oy. Por Px traçamos uma perpendicular a Ox e por Py traçamos uma perpendicular
a Oy. O cruzamento dessas perpendiculares determina um ponto P. O par ordenado de números reais (x, y) fica,
portanto, associado ao ponto P.
Mais uma vez, devido às unicidades de Px e Py, o ponto P é o único ponto que pode ser associado ao par ordenado
(x, y).
Os pontos P (x, y) tais que:
• x, y > 0 estão no chamado 1 o quadrante;
• x < 0 e y > 0 estão no chamado 2 o quadrante;
• x, y < 0 estão no chamado 3 o quadrante;
• x > 0 e y < 0 estão no chamado 4 o quadrante.
0 1 2 3-1-2-3
P x y( , )
x
-1
-2
-3
1
2
3
y
O
x
y
Px
Py
eixo das ordenadas
eixo das abscissas
1 quadranteo.2 quadranteo.
3 quadranteo.
4 quadranteo.
Abaixo seguem alguns exemplos para esclarecer os procedimentos descritos acima.
0 1 2 3-1-2-3
P 1 2( , )
x
-1
-2
-3
1
2
3
y
O 0 0( , )
Q 2 0(- , )
R 0 2( ,- )
S 3(- , )-2
T 1 3(- , )
U 3 2( ,- )
V 3 1( , )
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Página 16 de 249 páginas UFU Geometria Anaĺıtica
O conjunto dos pares ordenados de números reais é indicado por R2, ou seja:
R2 = {(x, y) : x, y ∈ R}
A associação entre pontos do plano cartesiano e pares ordenados de números reais R2 descrita em (i) e (ii) acima
permite que se diga que existe uma bijeção entre o plano cartesiano e R2. É por isso que alguns textos referem-se ao
conjunto R2 como “plano cartesiano”.
1.3 Distância entre dois pontos no Plano Cartesiano
Dados dois pontos P1 (x1, y1) e P2 (x2, y2) no plano cartesiano, podemos calcular a distância d (P1, P2) entre eles
utilizando o Teorema de Pitágoras.
0 x1
x
y
x2
y1
y2
| -x x2 1|
| -y y2 1|
P1
P2
d(
,P
P
1
2)
Proposição 1.1 Se P1 (x1, y1) e P2 (x2, y2) são pontos no plano cartesiano, então a distância d (P1, P2) entre P1 e P2
é dada por:
d (P1, P2) =
»
(x2 − x1)
2
+ (y2 − y1)
2 .
Exemplo 1.1 A distância entre P1 (−3, 2) e P2 (4,−1) é d (P1, P2) =
»
(4− (−3))
2
+ (−1− 2)
2
=
√
49+ 9 =
√
58.
Exerćıcio 1.1 Calcule e distância entre P1 (5, 0) e P2 (−1, 1).
1.4 Alinhamento entre três pontos no Plano Cartesiano
Recordemos que o determinante de uma matriz 2× 2 pode ser calculado por
det
ï
a b
c d
ò
= ad− bc.
Recordemos, também, que o determinante de uma matriz 3× 3 pode ser calculado pela Regra de Sarrus:
det
a b cd e f
g h i
 = aei+ bfg+ chd− ceg− bdi− ahf.
Um procedimento prático da Regra de Sarrus é dado pelo esquema abaixo:
g h i g h
d e f d e
a b c a b
-ceg- - + + +afh bdi aei bfg cdh
Muitas vezes é extremamente útil saber quando três pontos no plano cartesiano estão alinhados por meio de um
cálculo algébrico. A resposta é dada pela seguinte proposição.
Proposição 1.2 Os pontos P1 (x1, y1), P2 (x2, y2) e P3 (x3, y3) no plano cartesiano estão alinhados se, e somente se,
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Geometria Anaĺıtica UFU Página 17 de 249 páginas
det
x1 y1 1x2 y2 1
x3 y3 1
 = 0 .
0 x1
x
y
x2
y1
y2
P1
P2
P3y3
x3
Exemplo 1.2 Os pontos P1 (−3, 1), P2 (5,−1) e P3 (1, 0) estão alinhados, pois
det
−3 1 15 −1 1
1 0 1
 = 3+ 1+ 0− (−1) − 5− 0 = 0.
Exerćıcio 1.2 Verifique se os pontos P1 (5, 0), P2 (−1, 1) e P3 (0, 3) estão alinhados.
1.5 Retas no Plano Cartesiano
Retas no plano cartesiano pode ser associada a uma equação de acordo com a proposição abaixo.
Proposição 1.3 Toda reta do plano cartesiano pode ser associada a pelo menos uma equação da forma
ax+ by+ c = 0
sendo a, b, c ∈ R com a 6= 0 ou b 6= 0. O par ordenado (x, y) representa um ponto genérico da reta.
Reciprocamente, dada uma equação da forma ax + by + c = 0, existe uma única reta no plano cartesiano cujos
pontos (x, y) a satisfazem.
Uma equação de reta da forma
ax+ by+ c = 0
é dita equação geral da reta.
0
x
y
x
y
P x y( , )
Observemos que dada uma reta, podem existir várias equações gerais. Por exemplo, x+2y+3 = 0 e 2x+4y+6 = 0
são equações da mesma reta.
Observemos também que uma equação de reta no plano cartesiano é, na verdade, uma condição para que os pontos
(x, y) da reta cumpram.
Algumas particularidades:
Seja ax+ by+ c = 0 equação da reta r.
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• (1) Se a = 0 e c = 0 (portanto, b 6= 0), então a reta r coincide com o eixo coordenado Ox e corta o eixo coordenado
Oy na origem.
• (2) Se a = 0 e c 6= 0 (portanto, b 6= 0), então a reta r é paralela ao eixo coordenado Ox e corta o eixo coordenado
Oy no ponto que corresponde à ordenada y = − c
b
.
• (3) Se b = 0 e c = 0 (portanto, a 6= 0), então a reta r coincide com o eixo coordenado Oy e corta o eixo coordenado
Ox na origem.
• (4) Se b = 0 e c 6= 0 (portanto, a 6= 0), então a reta r é paralela ao eixo coordenado Oy e corta o eixo coordenado
Ox no ponto que corresponde à abscissa x = − c
a
• (5) Se a 6= 0 e b 6= 0, então a reta r não é paralela a qualquer dos eixos coordenados e corta o eixo Ox no ponto que
corresponde à abscissa x = − c
a
e corta o eixo Oy no ponto que corresponde à ordenada y = − c
b
.
0
x
y
0
x
y
c
b r
r
0
x
y
0
x
y
c
a
r
r
0
x
y
r
c
a
c
b
y 0= y = c
b
x 0=
x = c
a ax by c 0+ + =
Quando b 6= 0 na equação geral ax+ by+ c = 0 da reta r, podemos isolar y e escrever a equação reduzida de
r como sendo
y = mx+ n .
Observemos que m = −a
b
enquanto que n = − c
b
.
O número m é chamado de coeficiente angular da reta r e mede a “inclinação” dessa em relação ao eixo
coordenado Ox.
Como b 6= 0, a reta r sempre corta o eixo coordenado Oy no ponto que corresponde à ordenada n.
Se m 6= 0, a reta r corta o eixo coordenado Ox no ponto que corresponde à abscissa − n
m
.
Se m = 0 temos que r é paralela ou coincidente com o eixo coordenado Ox.
0
x
y
r
n
m
n
y mx n
m 0
= +
¹
O coeficiente angular pode ser interpretado geometricamente de acordo com a proposição abaixo.
Proposição 1.4 Se y = mx+ n é equação reduzida da reta r no plano cartesiano, então
m = tg (θ)
sendo θ a medida do ângulo orientado no sentido anti-horário que a reta r forma com o eixo coordenado Ox.
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0
x
y
r
y mx n= +
m tg 0= (q) >
q
0
x
y
r
q
y mx n= +
m tg 0= (q) <
Por fim, a próxima proposição é bastante útil para encontrar equações de retas.
Proposição 1.5 (1) Se P (x0, y0) e Q (x1, y1) são pontos de uma r no plano cartesiano e x0 6= x1, então o coeficiente
angular de r é dado por
m = y1−y0
x1−x0
.
(2) Sejam P (x0, y0) ponto de uma reta r no plano cartesiano e m seu coeficiente angular. Então,
y− y0 = m (x− x0)
é equação de r.
0
x
y r
m tg= (q) =
q
x0 x1
y0
y1
x x1 0-
y y1 0-
P
Q
q
x x1 0-
y y1 0-
0
x
y
r
x0x1
y0
y1
x x0 1-
P
Q
q
qy y1 0-
Exemplo 1.3 Sejam P1 (−3, 1) e P2 (5,−1) pontos da r no plano cartesiano. Como −3 6= 5, a reta r não é paralela
ou coincidente ao eixo coordenado Oy e podemos calcular o coeficiente angular m da reta r, que é dado por
m = −1−1
5−(−3) = −
2
8
= −1
4
.
Logo,
y− 1 = −1
4
(x− (−3))⇒ y = −1
4
x+ 1
4
é equação reduzida de r.
Exerćıcio 1.3 Encontre a equação geral da reta r que passa pelos pontos P1 (5, 0), P2 (−1, 1) no plano cartesiano.
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Seção de Exerćıcios Propostos: Brev́ıssima Revisão de Ensino Médio
Exerćıcio 1.4 Dados os pontos no plano cartesiano:
A (500, 500)
B (−600,−600)
C (715,−715)
D (−1002, 1002)
E(0, 0)
F (711, 0)
G (0,−517)
H (−321, 0)
I (0, 8198)
J
Ä
π, π
√
3
ä
K
Ä√
2,−
√
2
ä
L
(
9
2
, 18
4
)
Quais são pertencentes:
(a) ao primeiro quadrante;
(b) ao segundo quadrante;
(c) ao terceiro quadrante;
(d) ao quarto quadrante;
(e) ao eixo das abscissas;
(f) ao eixo das ordenadas;
(g) à bissetriz dos quadrantes ı́mpares;
(h) à bissetriz do quadrantes pares.
Exerćıcio 1.5 Calcule a distância entre os pontos A (1, 3) e B (−1, 4).
Exerćıcio 1.6 Calcule a distância do ponto P (−6, 8) à origem do sistema de coordenadas.
Exerćıcio 1.7 Calcule a distância entre os pontos A (a− 3, b+ 4) e B (a+ 2, b− 8).
Exerćıcio 1.8 Calcule o peŕımetro do triângulo ABC, sendo dados A (2, 1), B (−1, 3) e C (4,−2).
Exerćıcio 1.9 Prove que o triângulo de vértices A (2, 2), B (−4,−6) e C (4,−12) é um triângulo retângulo.
Exerćıcio 1.10 Dados A (4, 5), B (1, 1) e C (x, 4), calcule x de modo que ABC seja triângulo retângulo com ângulo
reto em B.
Exerćıcio 1.11 Dados A (x, 5), B (−2, 3) e C (4, 1), obtenha x de modo que A seja equidistante de B e C.
Exerćıcio 1.12 Determine o ponto P, pertencente ao eixo das abscissas, que é equidistante dos pontos A (1, 3) e
B (−3, 5).
Exerćıcio 1.13 Determine o ponto P, pertencente à bissetriz dos quadrantes pares, que é equidistante dos pontos
A (8,−8) e B (12,−2).
Exerćıcio 1.14 Calcule os determinantes das seguintes matrizes:
A =
1 2 35 7 9
6 14 22
 , B =
x y 12 1 1
0 0 1
 , C =
 1 1 15 4 7
25 16 49
 e D =
 3 7 111 0 1
0 −6 1

Exerćıcio 1.15 Os pontos A (1, 3), B (2, 5) e C (49, 100) são colineares?
Exerćıcio 1.16 Determine y para que os pontos A (3, 5), B (−3, 8) e C (4, y) sejam colineares.
Exerćıcio 1.17 Mostre que A (a, 2a− 1), B (a+ 1, 2a+ 1) e C (a+ 2, 2a+ 3) são colineares para todo valor real do
número a.
Exerćıcio 1.18 Se A (0, a), B (a,−4) e C (1, 2), então para quais valores de a existe o triângulo ABC?
Exerćıcio 1.19 Dados os pontos A (1, 1) e B (10,−2), obtenha o ponto em que a reta AB intersecta o eixo das
abscissas.
Exerćıcio 1.20 Dados os pontos A (3, 1) e B (5, 5), obtenha o ponto em que a reta AB intersecta o eixo das ordenadas.
Exerćıcio 1.21 Dados os pontos A (2,−3) e B (8, 1), obtenha o ponto em que a reta AB intersecta a bissetriz dos
quadrantes ı́mpares.
Exerćıcio 1.22 Dados os pontos A (7, 4) e B (−4, 2), obtenha o ponto em que a reta AB intersecta a bissetriz dos
quadrantes pares.
Exerćıcio 1.23 Dados A (−3, 4), B (2, 9), C (2, 7) e D (4, 5), obtenha o ponto de intersecção das retas AB e CD.
Exerćıcio 1.24 Obtenha equações gerais das três retas que contêm os lados do triângulo de vértices A (0, 0), B (1, 3)
e C (4, 0).
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Exerćıcio 1.25 A reta determinada por A (a, 0) e B (0, b) passa por C (3, 4). Qual é a relação entre a e b?
Exerćıcio 1.26 Prove que os pontos A (a, b+ c), B (b, a+ c) e C (c, a+ b) são colineares e determine uma equação
da reta que os contém.
Exerćıcio 1.27 Desenhe no plano cartesiano as retas cujas equações são dadas abaixo:
(a) y = 2x
(b) x+ y = 5
(c) x− y+ 5 = 0
(d) x+ y+ 3 = 0
(e) 2y+ x = 0
(f) x− y− 4 = 0
Exerćıcio 1.28 Calcule o coeficiente angular das retas:
(a) x− 3y+ 4 = 0
(b) 5x+ 1 = 3y
(c) y = −3x+ 4
(d) x
5
− y
2
= 1
(e) 2y = −3
(f) 2x+ 3y = 0
(g) cos
(
π
6
)
x+ sen
(
π
6
)
y = 7
(h) que contém os pontos A (a, b) e B (b, a)
Exerćıcio 1.29 Determine a equação reduzida da reta que passa por P e tem inclinação de α radianos em relação ao
eixo das abscissas nos seguintes casos:
(a) P = (−1,−3) e α = π
4
rad
(b) P = (2,−4) e α = π
3
rad
(c) P = (−1,−4) e α = π
2
rad
(d) P = (−1, 3) e α = arcsen
(
3
5
)
rad
(e) P = (7, 2) e α = 0 rad
(f) P = (−1, 5) e α = arctg (2) rad
Exerćıcio 1.30 Determine a equação reduzida da reta que passa por P (−5, 3) e é paralela à reta que passa por
A
(
1
2
, 6
5
)
e B
(
3
2
,−4
5
)
.
Exerćıcio 1.31 Determine o ponto de intersecção entre as retas de equações reduzidas:
(a) y = x+ 1 e y = −x+ 2
(b) y = 2x+ 1 e y = 3x− 1
(c) y = x+ 3 e y = −2x+ 4
(d) y = 2x+ 4 e y = −2x+ 7
Exerćıcio 1.32 Sejam as retas r de equação y = 4x− 3 e s de equação y = 3x. Encontre a equação reduzida da reta
que passa pelo ponto de intersecção de r e s e tem inclinação de π
3
rad em relação ao eixo das abscissas.
Exerćıcio 1.33 Considere os segmentos a de extremos (3, 0) e (0, 5) e b de extremos (4, 0) e (0, 2). Encontre a
equação reduzida da reta que passa pela origem do sistema de coordenadas e pelo ponto de interseção dos segmentos
a e b.
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Caṕıtulo 2
Vetores e Coordenadas Cartesianas
Neste caṕıtulo começamos o estudo dos vetores, que são ferramentas matemáticas bastante úteis em várias áreas das
Ciências Exatas como, por exemplo, na F́ısica e nas Engenharias. Os vetores podem constituir uma alternativa útil e
simples na resolução de certos problemas de Geometria Euclidiana Plana, mas é na resolução de problemas envolvendo
Geometria Anaĺıtica no espaço euclidiano tridimensional que os vetores tornam-se, frequentemente, indispensáveis.
Dáı a importância de seu estudo pormenorizado.
Ao final deste caṕıtulo há três seções de exerćıcios. A primeira delas (página 57) é oriunda do chamado “Projeto
Prossiga de Geometria Anaĺıtica” que ocorreu no ano 2016, na Universidade Federal de Uberlândia, e do qual este
autor fez parte, juntamente com cerca de uma dezena de outros professores. Nesta primeira seção de exerćıcios, parte
deles estão resolvidos e servem de modelos para as resoluções dos demais. Esta é a seção “principal” de exerćıcios e
é a que o leitor deve estudar, pois é parte complementar da teoria . A segunda seção de exerćıcios (página 70)
é “extra”. Trata-se de uma seção com muitos exerćıcios resolvidos que são clássicos na Geometria Euclidiana. Esta
segunda seção de exerćıcios é destinada, principalmente, para leitores do Curso de Matemática. Por fim, temos uma
terceira seção “extra” de exerćıcios propostos (página 92). São exerćıcios análogos aos da primeira seção, e ficam como
aprofundamento para aqueles que decidirem fazê-los.
Como vamos utilizar muitos conceitos advindos da Geometria Euclidiana Plana e Espacial básica (de Ensino
Médio), entendemos que é conveniente fazer uma pequena recordação das notações clássicas mais usuais da Geometria
e que são utilizadas neste texto. Elas seguem abaixo:
• Pontos: letras latinas maiúsculas (A,B,C, . . .).
• Segmento com extremos A e B: “segmento AB” ou, simplesmente, AB.
• Comprimento do segmento AB: denotamos simplesmente por “AB”, sem a barra superior. Também utilizamos
letras latinas minúsculas para designar comprimentos (a, b, c, . . .). Alguns textos também trazem a notação |AB|.
Observação importante: quando não houver perigo de confusão, denotamos “AB” tanto para o segmento AB (que é
um conjunto de pontos), quanto para o comprimento do segmento AB (que é um número real).
• Semirreta com origem A contendo B: “semirreta AB” ou, simplesmente,⇀AB, ou −→AB (quando não houver perigo
de confusão com a notação de vetor que veremos adiante). Alguns textos também utilizam a notação SAB.
• Retas: letras latinas minúsculas (r, s, t, . . .). Também utilizamos a notação
←→
AB para designar a reta que contém os
pontos distintos A e B.
• Planos: letras gregas minúsculas (α,β, γ, . . .).
• Ângulo de vértice A e lados contendo os segmentos AB e AC: escrevemos BÂC ou CÂB ou, simplesmente,
 (quando não houver perigo de confusão).
• Medidade ângulo: letras gregas minúsculas (α,β, γ, . . .).
Observação: às vezes, e quanto não há perigo de confusão, a notação de ângulo pode, também, ser utilizada para
indicar a medida do ângulo, assim como a notação de medida do ângulo pode, também, ser utilizada para indicar o
próprio ângulo.
Antes de começarmos: nosso ambiente de trabalho é, predominantemente, o espaço euclidiano tridimensional.
Portanto, neste caṕıtulo, a menos que se diga o contrário, segmentos, retas e demais objetos geométricos, estão sendo
considerados neste espaço.
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2.1 Vetores: abordagem geométrica
Nas Ciências Exatas, é muito comum trabalharmos com dois tipos bastantes distintos de grandezas:
Grandezas escalares: que são caracterizadas apenas por um único valor numérico como, por exemplo, temperatura,
distância, massa, área, volume, etc.
Grandezas vetoriais: que são caracterizadas por um valor numérico, direção e sentido de percurso como, por
exemplo, velocidade, aceleração, força, etc.
(1) Em grandezas vetoriais, a direção é determinada por uma reta no espaço. Retas paralelas determinam a mesma
direção;
(2) Fixada uma direção, ou seja, fixada uma reta, há dois posśıveis sentidos de percurso, ou orientações;
(3) Consideremos, em todo o desenvolvimento que faremos nessas notas, que uma unidade de medida de compri-
mento foi fixada .
Observações:
(i) Formalmente, um segmento AB da reta r é constitúıdo por todos os pontos da reta r que estão entre A e B.
Quando A = B dizemos que o segmento de reta é degenerado ou nulo. O comprimento de um segmento de reta
degenerado é, por convenção, zero. No que se segue, a menos que se diga o contrário, segmento significa segmento não
degenerado.
(ii) Uma direção também pode ser determinada por um segmento de reta no espaço. Portanto, segmentos paralelos
determinam a mesma direção. Além disso, fixado um segmento, há dois posśıveis sentidos de percurso ou orientações.
Um segmento de reta AB com sentido de percurso fixado de A para B será chamado de segmento orientado,
sendo A a origem e B o extremo.
A B r
sentido de percurso
( )origem ( )extremo
Dois segmentos orientados paralelos podem ter o mesmo sentido de percurso ou sentidos de percurso contrários.
Vejamos como formalizar esses conceitos:
Sejam AB e A′B′ dois segmentos orientados paralelos não colineares, sendo A, A′ as origens e B, B′ os extremos.
• Quando os segmentos AA′ e BB′ possuem intersecção vazia, dizemos que os segmentos orientados AB e A′B′
possuem o mesmo sentido de percurso.
• Quando os segmentos AA′ e BB′ possuem um ponto P como interseção, dizemos que os segmentos orientados AB
e A′B′ possuem o sentidos de percurso contrários.
A
A¢
B¢
B
A A¢
B¢
B
P
Sejam AB e A′B′ segmentos orientados colineares, ambos sobre uma reta r.
• Quando AB e A′B′ induzem o mesmo sentido de percurso sobre a reta r, dizemos que os segmentos orientados
AB e A′B′ possuem o mesmo sentido de percurso.
• Quando AB e A′B′ induzem sentidos de percurso contrários sobre a reta r, dizemos que os segmentos orientados
AB e A′B′ possuem sentidos de percurso contrários.
Consideremos um segmento orientado AB com origem em A e extremo em B. Um segmento orientado CD com
origem em C e extremo em D paralelo a AB, com o mesmo comprimento de AB e com mesmo sentido de percurso de
AB é chamado de segmento orientado equipolente a AB. Neste caso, dizemos ainda que os segmentos orientados AB
e CD são equipolentes. Também consideramos que um segmento orientado é equipolente a ele próprio. Além disso,
todos os segmentos degenerados são considerados equipolentes.
Ao conjunto de todos os segmentos orientados equipolentes ao segmento orientado AB chamamos de vetor com
origem em A e extremo em B e indicamos por
−→
AB. Ao conjunto dos segmentos degenerados chamamos de vetor
nulo.
Dizemos que o segmento orientado AB é um representante do vetor
−→
AB, ou que o vetor
−→
AB está representado
pelo segmento orientado AB. Qualquer segmento orientado CD equipolente a AB pode ser representante do vetor
−→
AB,
ou seja,
−→
AB =
−→
CD.
Representamos graficamente um vetor
−→
AB por uma seta (ou flecha) com origem em A e extremo em B.
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A
B
v
C
D
v
Notemos que, pela forma como foi definido, um vetor não depende de sua posição no espaço, ou seja, um determi-
nado vetor pode ter um representante com origem em qualquer ponto do espaço. Desta forma, é natural representarmos
vetores por uma única letra (geralmente com uma seta em cima), sem especificar os pontos de origem e extremo de
um representante. Na figura acima temos ~v =
−→
AB =
−→
CD.
Observação: Nunca devemos falar “vetores equipolentes”. Conforme definimos acima, a relação de equipolência é
uma relação binária envolvendo segmentos orientados(1). Se o segmento orientado AB é equipolente ao segmento
orientado CD, então os vetores
−→
AB e
−→
CD são iguais, ou seja,
−→
AB =
−→
CD.
Definições Complementares
• (1) O chamado vetor nulo, definido acima, pode ser representado com origem e extremo coincidentes, ou seja,
~v =
−→
AA, por exemplo. Simplificadamente podemos escrever ~v = ~0. É claro que, neste caso, o vetor nulo não determina
direção e, portanto, também não determina sentido.
• (2) O comprimento de um vetor ~v é o comprimento de qualquer segmento orientado que o represente. Indicamos
o comprimento de ~v por ||~v|| ou |~v|. As vezes o comprimento de um vetor também é chamado de módulo ou norma .
O vetor nulo possui comprimento também nulo, ou seja ||~0|| = 0.
• (3) Os vetores não nulos ~u e ~v são vetores paralelos, ou possuem mesma direção, quando segmentos orientados que
os representem são paralelos ou colineares, conforme exemplos na figura abaixo. Indicamos por ~u//~v. Convencionamos
que o vetor nulo é paralelo a qualquer outro vetor.
w
u v w// //
u v
• (4) Dois vetores não nulos ~u e ~v paralelos possuem mesmo sentido quando possuem segmentos orientados que os
representem com mesmo sentido de percurso, caso contrário, ~u e ~v possuem sentidos opostos.
• (5) Dizemos que dois vetores não nulos ~u e ~v são vetores iguais, ou possuem mesmo comprimento, direção e
sentido, quando segmentos orientados que os representem possuem mesmo comprimento, direção e sentido. Neste
caso, escrevemos ~u = ~v.
• (6) O vetor oposto de um vetor não nulo ~v é o vetor paralelo e de mesmo comprimento de ~v mas que possui sentido
oposto ao sentido de ~v. Indicamos o vetor oposto de ~v por −~v (figura abaixo). Desta forma, temos que se ~v =
−→
AB,
então −~v = −
−→
AB =
−→
BA. Além disso, −~v//~v e ||−~v|| = ||~v||.
A
B
v
-v
B
A
• (7) Um vetor ~v é dito vetor unitário quando ||~v|| = 1.
• (8) O versor de um vetor não nulo ~v é o vetor unitário que possui a mesma direção e sentido de ~v (adiante veremos
como calcular o versor de um vetor não nulo).
• (9) Dois vetores não nulos ~u e ~v são vetores ortogonais quando possuem segmentos orientados que os representem
que sejam perpendiculares. Indicamos por ~u ⊥ ~v (figura abaixo). Convencionamos que o vetor nulo é ortogonal a
qualquer vetor.
1Em Matemática, o conjunto de todos os segmentos orientados equipolentes ao segmento orientado AB é chamado de classe de equi-
polência do segmento orientado AB. Isto significa que um vetor é uma classe de equipolência de segmentos orientados. A relação de
equipolência entre segmentos orientados do espaço é um caso particular daquilo que chamamos em Matemática de relação de equivalência.
Formalmente, uma relação de equivalência em um conjunto não vazio C é uma relação binária entre elementos desse conjunto, que indicamospor ∼, cumprindo três propriedades:
(i) a ∼ a para qualquer a ∈ C (reflexividade).
(ii) a ∼ b⇒ b ∼ a para quaisquer a, b ∈ C (simetria).
(iii) a ∼ b e b ∼ c⇒ a ∼ c para quaisquer a, b, c ∈ C (transitividade).
A relação de equipolência no conjunto dos segmentos orientados do espaço, incluindo os segmentos degenerados, cumpre as três condições
acima.
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A
B
v
uO
v
u
• (10) Três ou mais vetores não nulos são vetores coplanares quando possuem segmentos orientados que os repre-
sentem que sejam coplanares, conforme exemplo na figura abaixo. Notemos que dois vetores não nulos são sempre
coplanares. O vetor nulo é coplanar a qualquer conjunto de vetores coplanares.
coplanares não coplanares
v
u
w
v
u
w
Exemplo 2.1 Consideremos a figura abaixo:
A B
C
O
E
F
G
HD
Nesta figura temos o losango EFGH inscrito no retângulo ABCD (não quadrado), sendo O o ponto de intersecção
das diagonais do losango. Os pontos E, F, G e H são pontos médios dos lados DA, AB, BC e CD, respectivamente.
A seguir, temos diversas afirmações envolvendo vetores. Vamos decidir quais são verdadeiras e quais são falsas
baseados nas diversas definições dadas acima.
(a)
−→
EO =
−−→
OG
(e) ||
−−→
OH|| = ||
−−→
DH||
(i)
−→
AF//
−→
CD
(m)
−→
EO ⊥
−→
CB
(b)
−→
AF =
−→
CH
(f)
−→
EH =
−→
CO
(j)
−→
GF//
−→
HG
(n)
−−→
AO ⊥
−→
HF
(c)
−−→
DO =
−→
HG
(g) ||
−→
AC|| = ||
−→
BD||
(k)
−−→
AO//
−→
OC
(o)
−→
OB = −
−→
FE
(d) ||
−→
OC|| = ||
−→
BO||
(h) ||
−−→
OA|| = ||
−→
DB||/2
(l)
−→
AB ⊥
−−→
OH
(p)
−→
AB,
−→
AC e
−−→
AD são coplanares
Temos:
(a) Verdade. Os vetores
−→
EO e
−−→
OG possuem mesmo comprimento, direção e sentido. Logo, são iguais.
(b) Falso. Embora
−→
AF e
−→
CH possuam mesmo comprimento e direção, são vetores com sentidos opostos.
(c) Verdade. Os vetores
−−→
DO e
−→
HG possuem mesmo comprimento, direção e sentido. Logo, são iguais.
(d) Verdade. Embora
−→
OC e
−→
BO possuam direções diferentes, são vetores com o mesmo comprimento.
(e) Falso. O retângulo não é quadrado. Logo, os comprimentos de
−−→
OH e
−−→
DH são diferentes.
(f) Falso. Embora
−→
EH e
−→
CO possuam mesmo comprimento e direção, são vetores com sentidos opostos.
(g) Verdade. Embora
−→
AC e
−→
BD possuam direções diferentes, são vetores com o mesmo comprimento.
(h) Verdade. Embora
−−→
OA e
−→
DB possuam direções diferentes, o comprimento de
−→
DB é o dobro do comprimento de
−−→
OA.
(i) Verdade. Os vetores
−→
AF e
−→
CD possuem a mesma direção (sentidos e comprimentos diferentes). Logo, são paralelos.
(j) Falso. Os vetores
−→
GF e
−→
HG possuem direções diferentes. Logo, não são paralelos.
(k) Verdade. Os vetores
−−→
AO e
−→
OC possuem mesmo comprimento, direção e sentido. Logo, são paralelos.
(l) Verdade. Os vetores
−→
AB e
−−→
OH definem retas perpendiculares (no ponto F). Logo, são vetores ortogonais.
(m) Verdade. Os vetores
−→
EO e
−→
CB definem retas perpendiculares (no ponto G). Logo, são vetores ortogonais.
(n) Falso. Os vetores
−−→
AO e
−→
HF definem retas não perpendiculares. Logo, não são vetores ortogonais.
(o) Verdade. Os vetores
−→
OB e
−→
EF = −
−→
FE possuem mesmo comprimento, direção e sentido. Logo, são iguais.
(p) Verdade. Os vetores
−→
AB,
−→
AC e
−−→
AD estão representados sobre um retângulo, que é uma figura plana. Logo, são
coplanares.
Operações com Vetores
Adição: sejam ~u e ~v vetores no espaço. Tomemos representantes de ~u e ~v de tal modo que o extremo de ~u coincida
com a origem de ~v, ou seja, ~u =
−→
AB e ~v =
−→
BC. Definimos o vetor soma ~u+~v com sendo
~u+~v =
−→
AB+
−→
BC =
−→
AC .
A figura abaixo ilustra geometricamente a operação de adição de vetores.
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Geometria Anaĺıtica UFU Página 27 de 249 páginas
u
v
v
u
DA
B C
u
v
A
B C
u
v
u
v
+
u v+
Observações:
(1) Podeŕıamos tomar ~u =
−→
AB e ~v =
−−→
AD. Logo, ~u + ~v poderia ser representado pela diagonal AC do paralelogramo
baseado em AB e AD, conforme a figura acima à direita. Por esse motivo, às vezes, a adição é chamada de “Regra do
paralelogramo”.
(2) A soma de três ou mais vetores processa-se de modo análogo, por exemplo, se ~u =
−→
PQ, ~v =
−→
QR e ~w =
−→
RS, então
~u+~v+ ~w =
−→
PS.
Proposição 2.1 (Propriedades da adição de vetores) Sejam ~u, ~v e ~w vetores no espaço. Então, valem as seguintes
propriedades:
(i) Comutativa: ~u+~v = ~v+ ~u;
(ii) Associativa: (~u+~v) + ~w = ~u+ (~v+ ~w);
(iii) O vetor nulo é elemento neutro aditivo: ~u+~0 = ~u;
(iv) Todo vetor não nulo ~u possui um elemento oposto, indicado por −~u, tal que: ~u+ (−~u) = ~0.
O vetor ~u+ (−~v) se escreve ~u−~v e é chamado de diferença entre ~u e ~v.
Observemos que o vetor ~u − ~v possui representante que forma uma das diagonais de um paralelogramo baseado
em representantes de ~u e ~v, conforme exemplo na figura abaixo (a outra diagonal é a do representante da soma).
u
-v
v
u
u v-
Exemplo 2.2 Escrevamos os vetores ~a,~b,~c,~d,~e e ~f em função de ~u e ~v na figura abaixo.
d
e
u
f
c
v
a
b
Temos:
~a = ~u+~v ~b = −~u+~v ~c = −~u ~d = −~u−~v ~e = −~v ~f = ~u−~v
Exemplo 2.3 Mostremos que
−→
AB−
−→
AC =
−→
CB.
Basta lembrar que −
−→
AC =
−→
CA e a propriedade comutativa da adição de vetores:
−→
AB−
−→
AC =
−→
AB+
−→
CA =
−→
CA+
−→
AB =
−→
CB.
Multiplicação de número real por vetor: sejam α ∈ R e ~v vetor no espaço. Definimos o vetor α~v de tal modo
que:
• comprimento: o comprimento de α~v é ||α~v|| = |α|.||~v|| .
• direção: quando α 6= 0 e ~v 6= ~0, a direção de α~v é a direção de ~v. Quando α = 0 ou ~v = ~0, α~v é o vetor nulo.
• sentido: quando α > 0 o sentido de α~v é o mesmo de ~v. Quando α < 0 o sentido de α~v é o oposto ao de ~v.
A figura abaixo ilustra alguns exemplos geométricos da operação de multiplicação de vetor por escalar.
-2v
v 3v
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Proposição 2.2 (Propriedades da multiplicação de número real por vetor) Sejam α,β ∈ R e ~u,~v vetores no espaço.
Então, valem as seguintes propriedades:
(i) Associativa: α (β~v) = (αβ)~v;
(ii) Distributiva em relação à soma de vetores: α (~u+~v) = α~u+ α~v;
(iii) Distributiva em relação à soma de números reais: (α+ β)~v = α~v+ β~v;
(iv) O número real 1 é elemento neutro multiplicativo: 1~v = ~v.
Exemplo 2.4 Consideremos a figura abaixo:
A B
C
O
E
F
G
HD
Nesta figura temos o losango EFGH inscrito no retângulo ABCD (não quadrado), sendo O o ponto de intersecção
das diagonais do losango. Os pontos E, F, G e H são pontos médios dos lados DA, AB, BC e CD, respectivamente.
Determinemos representantes para os vetores abaixo expressando-os com origem no ponto A.
(a)
−→
OC+
−→
CH
(f) 2
−→
OE+ 2
−→
OC
(b)
−→
EH+
−→
FG
(g) 1
2
−→
BC+
−→
EH
(c) 2
−→
AE+ 2
−→
AF
(h)
−→
FE+
−→
FG
(d)
−→
EH+
−→
EF
(i)
−−→
OG−
−−→
HO
(e)
−→
EO+
−→
BG
(j)
−→
AF+
−→
FO+
−−→
AO
Temos:
(a)
−→
OC+
−→
CH =
−−→
OH =
−−→
AE;
(c) 2
−→
AE+ 2
−→
AF =
−−→
AD+
−→
AB =
−−→
AD+
−→
DC =
−→
AC;
(e)
−→
EO+
−→
BG =
−→
AF+
−→
FO =
−−→
AO;
(g) 1
2
−→
BC+
−→
EH =
−→
BG+
−→
EH =
−→
AE+
−→
EH =
−→
AH;
(i)
−−→
OG−
−−→
HO =
−→
AF+
−−→
OH =
−→
AF+
−→
FO =
−−→
AO;
(b)
−→
EH+
−→
FG =
−−→
AO+
−→
OC =
−→
AC;
(d)
−→
EH+
−→
EF =
−−→
AO+
−→
OB =
−→
AB;
(f) 2
−→
OE+ 2
−→
OC =
−→
GE+
−→
AC =
−→
BA+
−→
AC =
−→
BC =
−−→
AD;
(h)
−→
FE+
−→
FG =
−−→
OD+
−−→
AO =
−−→
AO+
−−→
OD =
−−→
AD;
(j)
−→
AF+
−→
FO+
−−→
AO =
−−→
AO+
−→
OC =
−→
AC.
Observações:
(1) Chamemos o conjunto de todos os vetores no espaço euclidiano tridimensional de V3. A operação