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Equações Diferenciais Ordinárias
Profa. Dra. Vanda Maria Luchesi
Aula 2 - 21/07/2021
1 Revisão aula 1
1.1 Modelo de crescimento populacional
A hipótese de que a taxa de crescimento da população ideal é proporcional
ao tamanho da população é escrita como a seguinte equação:
dP
dt
= kP (1)
onde k é a constante de proporcionalidade.
Muitas populações começam crescendo exponencialmente, porém o ńıvel
da população se estabiliza quando ela se aproxima de sua capacidade suporte
K. E desta forma um modelo realista fica determinado pela equação:
dP
dt
= kP (1− P
K
) (2)
onde k é a constante de proporcionalidade e K é a capacidade suporte.
1.2 Modelo para o movimento de uma mola
d2x
dt2
= − k
m
x (3)
Figura 1: Sistema Massa Mola com eq. my′′ + ky = 0, reproduzida da ref.
[1]
1
2 Classificação de Equações Diferenciais
Definição 2.1 (Equação diferencial) Uma equação que relaciona uma
função incógnita e algumas de suas derivadas é chamada Equação dife-
rencial.
Definição 2.2 (Equação diferencial ordinária) Uma equação que rela-
ciona a função incógnita dependente apenas de uma variável e algumas de
suas derivadas é chamada Equação diferencial ordinária.
Definição 2.3 (Equação diferencial parcial) Uma equação que relaci-
ona uma função incógnita que depende mais de uma variável e algumas de
suas derivadas parciais é chamada Equação diferencial parcial.
Neste texto trataremos exclusivamente das equações diferenciais ordinárias.
A ordem de uma equação diferencial é a mais alta ordem das derivadas da
função incógnita que aparecem na equação. Assim 1 e 2 são equações de
primeira ordem e 3 é uma equação de segunda ordem. A forma geral de
uma equação diferencial ordinária de primeira ordem é:
y′(t) = f(t, y(t)) (4)
que escrevemos abreviadamente como
y′ = f(t, y). (5)
Na equação 5, f(t, y) é uma função definida em um subconjunto A do plano
R2. Uma solução de 5 é uma função y(t) definida em um intervalo I tal que:
(t, y(t)) ∈ A, para todo t ∈ I e y(t) satisfaz 5. Para cada (t0, y0) ∈ A, o
problema de encontrar uma solução y(t) de 5 tal que y(t0) = y0 chama-se
problema de valor inicial (PVI).
Exerćıcio 2.1 Em cada caso verifique se a função dada é uma solução da
equação diferencial e determine c de modo que a solução particular resultante
satisfaça a condição dada
1. y′ + y = 1; y(t) = 1 + ce−t; y = 3 quando t = 0.
2. ty′ = 3y; y(t) = ct3; y = 1 quando t = −2.
3. y′′ + 9y = 0; y(t) = cos 3t+ csen3t; y = 5 quando t = π/6.
2
3 Equações diferenciais de primeira ordem
Este caṕıtulo trata de equações diferenciais de primeira ordem
dy
dt
= f(t, y). (6)
onde f é uma função de duas variáveis.
3.1 Equações Lineares - Método dos Fatores Integrantes
Se a função f na equação 6 depender linearmente da variável dependente
y, então a equação 6 é denominada equação linear de primeira ordem. Em
geral escrevemos a equação linear de primeira ordem do seguinte modo:
dy
dt
+ p(t)y = g(t) (7)
onde p e g são funções dadas da variável independente t. Um exemplo t́ıpico
de equação linear de primeira ordem é a equação:
dy
dt
= −ay + b (8)
onde a e b são constantes. A equação 8 pode ser resolvida do seguinte modo:
Definição 3.1 (Método de integração) Se a 6= 0 e y 6= b/a podemos
escrever:
dy/dt
y − b/a
= −a (9)
e integrando ambos os lados da equação 10, obtemos:
ln(y − b/a) = −at+ C. (10)
E a solução geral da equação 8 é
y = (b/a) + ce−at (11)
onde c é uma constante arbitrária.
Exemplo 3.1 Considere a equação
dp
dt
= 0, 5p− 450. (12)
encontre as soluções dessa equação. Encontre a solução do PVI com condição
inicial p(0) = 850.
3
Para resolver a 7 vamos usar um método similar ao método da integração,
o qual utiliza uma função µ(t) chamada fator integrante.
Se multiplicarmos a equação 7 pela função µ(t) obtemos:
µ(t)
dy
dt
+ µ(t)p(t)y = µ(t)g(t). (13)
Com o intuito de achar o fator integrante µ(t), devemos encontrar uma
função µ(t) de modo que o lado esquerdo da equação 7 quando multiplicado
por µ(t) satisfaça a derivada do produto µ(t)y:
µ(t)(
dy
dt
+ p(t)y) = (µ(t)y)′. (14)
Se pudermos encontrar tal função µ(t) a equação 7 ficará
(µ(t)y)′ = µ(t)g(t) (15)
e integrando ambos os lados teremos
µ(t)y =
∫
µ(t)g(t)dx+ C (16)
de modo que a solução da equação 7 será
y(t) =
1
µ(t)
∫
µ(t)g(t)dx+ C. (17)
Para encontrarmos o fator integrante µ(t), expandimos a equação 14 e can-
celamos termos:
µ(t)
dy
dt
+ µ(t)p(t)y = (µ(t)y)′ = µ′(t)y + µ(t)y′. (18)
o que resulta em:
µ(t)p(t) = µ′(t). (19)
Supondo µ(t) 6= 0 e reescrevendo a equação 20 temos:
µ′(t)
µ(t)
= p(t), (20)
a qual pode ser resolvida integrando ambos os lados:∫
dµ
µ(t)
=
∫
p(t)dt, (21)
o que resulta em
ln |µ(t)| =
∫
p(t)dt, (22)
4
ou seja
µ(t) = Ae
∫
p(t)dt (23)
onde A = ±eC . Como estamos procurando um fator integrante particular,
podemos tomar A = 1 e usarmos
µ(t) = e
∫
p(t)dt (24)
Definição 3.2 (Método do fator integrante) Para resolver a equação
linear y′ + p(t)y = g(t), multiplique ambos os lados da equação pelo fator
integrante µ(t) = e
∫
p(t)dt e integre de ambos os lados.
Exerćıcio 3.1 1. Resolva a equação
dy
dt
+
1
2
y =
1
2
e
t
3 (25)
e encontre a solução particular cujo gráfico contém o ponto (0, 1).
2. Resolva a equação diferencial
dy
dt
− 2y = 4− t (26)
3. Resolva o problema de valor inicial
ty′ + 2y = 4t2, y(1) = 2. (27)
4. Resolva o problema de valor inicial
2y′ + ty = 2, y(0) = 1. (28)
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Referências
[1] STEWART, J., Cálculo - vol. 2. 6ª Edição. São Paulo: Cengage Learning,
2012.
[2] BOYCE, W. E.; DIPRIMA, R. C., Equações Diferenciais Elementares
e Problemas de Valores de Contorno. Rio de Janeiro: LTC, 2003.
[3] DOERING, C. I., LOPES, A. O. Equações Diferenciais Ordinárias. Rio
de Janeiro: SBM - Coleção Matemática Universitária, 2005.
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