Prova de Matemática para Computação

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Curso Superior de Tecnologia em Sistemas de Computação
Disciplina: Matemática para Computação
APX1
Observações:
1. O prazo dispońıvel para esta prova é 48 horas
2. Justifique todas as respostas.
Questões
1. (2,0 pontos) —————————————————————————————————
Se f(x) = x5 − x3 + x + 1, calcule f ′(x), usando a definição de derivada, isto é,
f ′(x) = lim
h→0
f(x + h)− f(x)
h
Qual o domı́nio de f ′(x)? Calcule também f ′(2), f ′(−
√
2) e f ′(a).
2. (2,0 pontos) —————————————————————————————————
Calcule os limites:
(a) lim
x→0
1− senx
x
(b) lim
x→−1+
x2 + 2x
x2 − 1
(c) lim
x→−1−
x2 + 2x
x2 − 1
(d) lim
x→1+
1
(x− 1)3
(e) lim
x→1−
1
(x− 1)3
(f) lim
x→∞
5x3 − 4x2 + 2x + 1
19x3 − x2 + 5x + 2
(g) lim
x→−∞
2x + 1
x2 + 2x + 1
3. (2,0 pontos) —————————————————————————————————
Calcule as primeiras e segundas derivadas das funções:
(a) f(x) =
(x2 + 1)2
x3 − 1
(b) f(z) =
3 + 2ez
3− 1
z
4. (2,0 pontos) —————————————————————————————————
Estude a continuidade na reta real da função f(x) onde:
f(x) =

− lnx se x < 0
0 se x = 0
lnx se x > 0
5. (2,0 pontos) —————————————————————————————————
Seja a função f(x) =
x3
4
+ 1, definida no intervalo [0, 2]. Mostre que f satisfaz as
hipóteses do Teorema do Valor Médio para derivadas em [0, 2] e encontre todos os valores
de c no intervalo (0, 2) cuja existência é garantida pelo teorema.