AV3 GEOMETRIA ANALITICA

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1. Pergunta 1
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Com o intuito de se calcular o ângulo formado entre dois planos, é necessário, primeiro, encontrar os valores de seus vetores normais. Os vetores normais de cada plano podem ser identificados pela equação cartesiana dos planos, que é escrita na forma ᴨ: ax+by+cz = d. Considere os dois planos abaixo, definidos pelas seguintes equações cartesianas:
ᴨ1 : x+y+z = 10
ᴨ2 : x+y+z = 0
Tendo em vista essas informações e o conteúdo estudado sobre ângulo entre planos, afirma-se que os planos são paralelos porque:
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1. 
as retas perpendiculares a cada um dos planos são concorrentes.
2. 
os valores são positivos de cada um dos seus coeficientes.
3. 
os planos são definidos em um mesmo espaço geométrico.
4. 
os vetores normais dos planos ᴨ1 e ᴨ2 são iguais. 
Resposta correta
5. 
o coeficiente d, de cada um dos planos é diferente.
2. Pergunta 2
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As relações vetoriais auxiliam no processo de localização espacial entre os objetos geométricos. Normalmente, essa relação entre vetores define, por exemplo, ângulos entre retas e planos, retas e retas, e planos e planos. A fórmula abaixo é uma relação vetorial que define um ângulo entre objetos geométricos.
GEOME ANALI UNID 3 QUEST 11.PNG.png
Está correto apenas o que se afirma em:
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1. 
I, II e IV.
2. 
I e IV.
3. 
I e II.
4. 
II e IV.
5. 
II, III e IV. 
Resposta correta
3. Pergunta 3
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Os planos são objetos geométricos definidos por equações do tipo ᴨ: ax+by+cz = d, sendo que os coeficientes a,b,c e d são valores pertencentes ao conjunto dos números reais. Essas equações dos planos, denominadas gerais ou cartesianas, são relevantes para se obter informações acerca dos seus vetores normais, ou seja, vetores que são perpendiculares a esses planos.
Considerando essas informações e o conteúdo estudado sobre ângulo entre planos, afirma-se que os vetores normais são importantes para o cálculo do ângulo entre os planos porque:
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1. 
o produto escalar dos vetores normais equivale ao ângulo formado entre os dois planos.
2. 
os vetores normais de dois planos quaisquer são ortonormais, o que torna possível tal cálculo.
3. 
os vetores normais são paralelos, o que permite o cálculo do ângulo entre os planos.
4. 
os vetores normais possibilitam o cálculo do ângulo entre os planos, levando em conta sua ortogonalidade.
5. 
o ângulo formado entre os vetores normais é o mesmo ângulo formado entre os planos.
Resposta correta
4. Pergunta 4
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Os planos são objetos geométricos que podem ser definidos por diversos tipos de equações. As equações cartesianas dos planos auxiliam na determinação de outros objetos geométricos importantes, por exemplo, para o cálculo do ângulo entre dois planos. Reconhecer quais são esses objetos e conseguir calcular o ângulo por meio do algoritmo é extremamente importante para o estudo desse tema.
Tendo em vista a relação supracitada e o conteúdo estudado sobre ângulo entre planos, analise e ordene as etapas a seguir, de acordo com a sequência em que devem ser efetuados os passos para a se obter a o ângulo entre dois planos:
( ) Encontrar as coordenadas dos vetores normais.
( ) Calcular a razão entre o módulo do produto escalar e o produto das normas dos vetores.
( ) Calcular o arco cosseno do valor encontrado.
( ) Calcular o produto das normas de cada um dos vetores normais.
( ) Calcular o produto escalar dos vetores normais.
Agora, assinale a alternativa que representa a sequência correta:
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1. 
1, 4, 5, 3, 2.
Resposta correta
2. 
1, 2, 3, 5, 4.
3. 
2, 1, 3, 4, 5.
4. 
3, 4, 2, 1, 5.
5. 
2, 4, 1, 5, 3.
5. Pergunta 5
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Para se efetuar o cálculo da distância entre retas é necessário, de antemão, realizar a discussão de algumas possibilidades. Distinguir entre retas paralelas, concorrentes ou reversas, por exemplo, pode exigir tipos diferentes de abordagens algébricas. Em outras palavras, conhecer os tipos de retas delimitam a maneira com que será efetuado, ou não, o cálculo da distância entre elas.
Considerando essas informações e o conteúdo estudado acerca de distância entre retas, pode-se afirmar que a distância entre duas retas r1 e r2 concorrentes é nula porque:
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1. 
retas concorrentes têm um ponto em comum, e a distância de um ponto para ele mesmo é nula.
Resposta correta
2. 
o produto vetorial entre seus vetores diretores é positivo, o que resulta em sua distância ser nula.
3. 
os vetores normais das retas são perpendiculares entre si, o que resulta na distância nula.
4. Incorreta: 
as retas concorrentes são também perpendiculares, o que resulta na distância nula entre elas.
5. 
o produto escalar entre esses objetos resulta em um número positivo, correspondente à distância entre eles.
6. Pergunta 6
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A distância entre objetos geométricos como pontos se dá de forma sucinta: aplica-se a fórmula da distância euclidiana e encontra-se o valor dessa distância. Para calcular a distância entre duas retas, porém, deve-se haver uma discussão acerca de suas possíveis posições relativas, antes de considerar cálculos algébricos.
Considerando essas informações e o conteúdo estudado sobre distância entre retas, analise as afirmativas a seguir.
I. A distância entre retas concorrentes é nula.
II. Retas paralelas podem ter sua distância calculada tendo como base um ponto e uma reta.
III. A distância entre duas retas reversas depende do produto misto entre elas.
IV. A distância entre retas paralelas e retas concorrentes é igual.
Está correto apenas o que se afirma em:
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1. 
I e IV.
2. Incorreta: 
I e II.
3. 
I, II e III.
Resposta correta
4. 
II e IV.
5. 
I, II e IV. 
7. Pergunta 7
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A distância de alguns objetos matemáticos pode ser calculada por meio de outros objetos matemáticos. Um exemplo disso é o cálculo da distância entre duas retas que pode considerar um ponto pertencente a uma reta e a outra reta como referência. Apenas com esses elementos já é possível mensurar a distância entre eles.
Considerando essas informações e o conteúdo estudado sobre distância entre planos, pode-se afirmar que a distância entre dois planos paralelos pode ser mensurada da mesma forma porque:
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1. 
consideram-se no cálculo um ponto de um plano e a equação do outro plano.
Resposta correta
2. 
calcula-se a distância entre um ponto e uma reta pertencentes ao mesmo plano.
3. 
calcula-se a distância entre duas retas pertencentes ao mesmo plano.
4. 
os vetores diretores das retas pertencentes a cada um dos planos são perpendiculares.
5. 
consideram-se no cálculo os dois vetores normais de ambos os planos.
8. Pergunta 8
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Os planos são objetos de estudos importantes para a Geometria Analítica, tal como retas, pontos e outros objetos geométricos. Desse modo, eles possuem, também, equações que os descrevem. Por meio dessas equações, por exemplo, é possível estudar suas posições relativas, ou seja, qual a posição ou inclinação de um plano com relação a outro plano.
Considerando essas informações e o conteúdo estudado sobre ângulo entre planos, pode-se dizer que o ângulo entre dois planos é definido com base em vetores porque:
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1. 
os planos são perpendiculares entre eles, tal como as retas são perpendiculares entre elas.
2. 
os planos possuem equações definidas em termos de retas paralelas, o que permite o cálculo do ângulo entre eles por meio de retas perpendiculares.
3. 
as retas perpendiculares auxiliam na mensuração da distância entre um ponto e um plano, o que torna capaz a mensuração do ângulo em questão.
4. 
as retas perpendiculares têm equações semelhantes aos planos, o que torna possível a mensuração do ângulo em questão.
5. 
o ângulo entre os planos é calculado com base no ângulo formado pelos vetores normais desses planos.
Resposta correta
9. Pergunta 9
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O conhecimento acerca das posições relativas entre duas retas é fundamental para que se determine qual abordagem algébrica utilizar para calcular, por exemplo, a distância entre elas. No caso das retas reversas,a manipulação algébrica envolve conceitos matemáticos mais avançados.
Considerando essas informações e o conteúdo estudado sobre distância entre retas, afirma-se que o cálculo da distância entre retas reversas envolve conceitos mais avançados porque:
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1. 
calcula-se a norma dos vetores utilizados, o que demanda uma manipulação algébrica avançada.
2. 
utiliza-se uma conjunção de fórmulas de distâncias entre objetos geométricos.
3. 
ele envolve a utilização do produto misto, que é uma manipulação algébrica que une o produto vetorial e o produto escalar de vetores.
Resposta correta
4. 
ele envolve o conceito de norma de um vetor, e de vetor unitário, tópicos avançados em Geometria Analítica.
5. 
trabalha-se com o conceito de produto vetorial e com a norma dos vetores utilizados.
10. Pergunta 10
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Define-se interseção entre dois objetos quaisquer quando há um encontro entre esses objetos em um espaço pré-definido. Isso significa que, pelo menos, existe um ponto em comum entre esses objetos geométricos. Com relação a retas e planos, essa mesma ideia se mantém. Considere a equação paramétrica de uma reta (r), e a equação geral de um plano (ᴨ) a seguir:
GEOME ANALI UNID 3 QUEST 7.PNG.png
Considerando essas informações e o conteúdo estudado sobre interseção entre retas e planos, pode-se dizer que é possível encontrar a interseção entre eles porque:
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1. 
o parâmetro t, presente na equação da reta r, é nulo, o que possibilita o cálculo do ponto de interseção.
2. 
o produto escalar entre os objetos geométricos é positivo, o que possibilita a determinação do ponto de interseção.
3. 
os vetores normais de ambos são paralelos, logo, eles se intersecionam.
4. 
é possível encontrar um conjunto de pontos pertencentes a ambos objetos geométricos.
5. 
é possível encontrar um ponto pertencente a ambos objetos geométricos.
Resposta correta