1 multiplos e divisores, MMC e MDC

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Matemática 100% Prof. Wilder
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MÚLTIPLOS DE UM NÚMERO NATURAL
Conceito: Denominamos múltiplo de um número o produto desse número por um número natural qualquer. Um bom exemplo de números múltiplos é encontrado na tradicional tabuada.
Exemplo
Os múltiplos e divisores de um número estão relacionados entre si da seguinte forma: 
Se 15 é divisível por 3, então 3 é divisor de 15, assim, 15 é múltiplo de 3. 
Se 8 é divisível por 2, então 2 é divisor de 8, assim, 8 é múltiplo de 2. 
Se 20 é divisível por 5, então 5 é divisor de 20, assim, 20 é múltiplo de 5. 
Importante: Zero é múltiplo de todos os números naturais, veja:
3 x 0 = 0; 0 x 10 = 0; 5 x 0 = 0 
DIVISORES DE UM NÚMERO NATURAL
Um número é divisor de outro quando o resto da divisão for igual a 0. Portanto, 
12 é divisível por (1, 2, 3, 4, 6 e 12). 
36 é divisível por (1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18 e 36). 
48 é divisível por (1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24 e 48.) 
Observações importantes: 
 O menor divisor natural de um número é sempre o número 1. 
 O maior divisor de um número é o próprio número. 
 O zero não é divisor de nenhum número.
 Os divisores de um número formam um conjunto finito. 
Alguns números têm apenas dois divisores: o 1 e ele mesmo. Esses números são chamados de primos. Observe os números primos de 1 a 100 destacados no crivo de Erastóstenes:
CRITÉRIOS DE DIVISIBILIDADE
Conceito: Um número é considerado divisível por outro quando o resto da divisão entre eles é igual a zero. Para que a divisão entre os números resulte em partes inteiramente iguais, necessitamos ter conhecimento sobre algumas regras de divisibilidade. 
 
· Divisibilidade por 2
Um número natural é divisível por 2 quando ele termina em 0, ou 2, ou 4, ou 6, ou 8, ou seja, quando ele é par.
Exemplos:
1) 5040 é divisível por 2, pois termina em 0.
2) 237 não é divisível por 2, pois não é um número par. 
· Divisibilidade por 3
Um número é divisível por 3 quando a soma dos valores absolutos dos seus algarismos for divisível por 3.
Exemplo:
234 é divisível por 3, pois a soma de seus lgarismos é igual a 2+3+4=9, e como 9 é divisível por 3, então 234 é divisível por 3. 
· Divisibilidade por 4
Um número é divisível por 4 quando termina em 00 ou quando o número formado pelos dois últimos algarismos da direita for divisível por 4.
Exemplo:
1800 é divisível por 4, pois termina em 00.
4116 é divisível por 4, pois 16 é divisível por 4.
1324 é divisível por 4, pois 24 é divisível por 4.
3850 não é divisível por 4, pois não termina em 00 e 50 não é divisível por 4.
· Divisibilidade por 5
Um número natural é divisível por 5 quando ele termina em 0 ou 5.
Exemplos:
1) 55 é divisível por 5, pois termina em 5.
2) 90 é divisível por 5, pois termina em 0.
3) 87 não é divisível por 5, pois não termina em 0 nem em 5. 
· Divisibilidade por 6
Um número é divisível por 6 quando é divisível por 2 e por 3.
Exemplos:
1) 312 é divisível por 6, porque é divisível por 2 (par) e por 3 (soma: 6).
2) 5214 é divisível por 6, porque é divisível por 2 (par) e por 3 (soma: 12).
· Divisibilidade por 8
Um número é divisível por 8 quando termina em 000, ou quando o número formado pelos três últimos algarismos da direita for divisível por 8.
Exemplos:
1) 7000 é divisível por 8, pois termina em 000.
2) 56104 é divisível por 8, pois 104 é divisível por 8.
3) 61112 é divisível por 8, pois 112 é divisível por 8.
4) 78164 não é divisível por 8, pois 164 não é divisível por 8.
· Divisibilidade por 9
Um número é divisível por 9 quando a soma dos valores absolutos dos seus algarismos for divisível por 9.
Exemplo:
2871 é divisível por 9, pois a soma de seus algarismos é igual a 2+8+7+1=18, e como 18 é divisível por 9, então 2871 é divisível por 9.
· Divisibilidade por 10
Um número natural é divisível por 10 quando ele termina em 0.
Exemplos:
1) 4150 é divisível por 10, pois termina em 0.
2) 2106 não é divisível por 10, pois não termina em 0.
· Divisibilidade por 11
Um número é divisível por 11 quando a diferença entre as somas dos valores absolutos dos algarismos de ordem ímpar e a dos de ordem par é divisível por 11.
O algarismo das unidades é de 1ª ordem, o das dezenas de 2ª ordem, o das centenas de 3ª ordem, e assim sucessivamente.
Exemplos:
1)87549
    Si (soma das ordens ímpares) = 9+5+8 = 22
    Sp (soma das ordens pares) = 4+7 = 11
    Si-Sp = 22-11 = 11
    Como 11 é divisível por 11, então o número 87549 é divisível por 11.
2)439087
    Si (soma das ordens ímpares) = 7+0+3 = 10
    Sp (soma das ordens pares) = 8+9+4 = 21
    Si-Sp = 10-21
    Como a subtração não pode ser realizada, acrescenta-se o menor múltiplo de 11 (diferente de zero) ao minuendo, para que a subtração possa ser realizada: 10+11 = 21. Então temos a subtração 21-21 = 0.
    Como zero é divisível por 11, o número 439087 é divisível por 11. 
· Divisibilidade por 12
Um número é divisível por 12 quando é divisível por 3 e por 4.
Exemplos:
1) 720 é divisível por 12, porque é divisível por 3 (soma=9) e por 4 (dois últimos algarismos, 20).
2) 870 não é divisível por 12 (é divisível por 
3, mas não é divisível por 4).
3) 340 não é divisível por 12 (é divisível por 
4, mas não é divisível por 3).
· Divisibilidade por 15
Um número é divisível por 15 quando é divisível por 3 e por 5.
Exemplos:
1) 105 é divisível por 15, porque é divisível por 3 (soma=6) e por 5 (termina em 5).
2) 324 não é divisível por 15 (é divisível por 3, mas não é divisível por 5).
3) 530 não é divisível por 15 (é divisível por 5, mas não é divisível por 3).
· Divisibilidade por 25
Um número é divisível por 25 quando os dois algarismos finais forem 00, 25, 50 ou 75.
Exemplo:
200, 525, 850 e 975 são divisíveis por 25.
M.D.C. e M.M.C
MÁXIMO DIVISOR COMUM (M.D.C)
Conceito: O Maximo divisor comum de dois ou mais números é o maior de seus divisores comuns.
Exemplo:
D(18) = (1, 2, 3, 6, 9, 18)
D(30) = (1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30)
D(42) = (1, 2, 3, 6, 7, 14, 21, 42)
E os divisores comuns de 18, 30 e 42.
Logo: MDC (18, 30, 42) = 6
Processos para Calculo de MDC
· Decomposição em fatores primos.
a) Decompõem-se os números em fatores primos.
b) Toma-se o produto dos fatores comuns, elevados ao menos de seus expoentes.
Exemplo:
O MDC entre 420, 480 e 600:
MDC(600, 480, 420) = = 60.
· Divisão sucessiva ou Algoritmo de Euclides.
a) Divide-se o maior numero pelo menor. Depois o menor pelo resto da divisão. Em seguida o resto da primeira divisão pelo resto da segunda divisão, o resto da segunda pelo resto da terceira, e assim sucessivamente até encontrar um quociente exato.
b) O ultimo divisor encontrado é o Maximo divisor comum.
c) O ultimo quociente, quando for o menos possível, é igual a dois
Exemplo:
O MDC entre 420, 480 e 600
480
600
120
1
4
120
0
120
420
10
3
2
60
0
MDC (600, 480, 420) = 60
MÍNIMO MULTIPLO COMUM (M.M.C)
Conceito: O mínimo múltiplo comum de dois ou mais números é o menor de seus múltiplos comuns, diferente de zero.
Exemplo:
Sejam os conjuntos dos múltiplos de 3, 4 e 6.
M(3) = (0, 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24,...)
M(4) = (0, 4, 8, 12, 16, 20, 24, 28, 32,..)
M(6) = (0, 6, 12, 18, 24, 30, 36, 42, 48, 54)
E os múltiplos comuns de 3, 4 e 6 são:
Logo o MMC(3, 4, 6) = 12
Processo para Calculo de MMC
· Decomposição em fatores primos.
a) Decompõem-se os números em fatores primos, dividindo-se os números pelos fatores comuns e não comuns.
b) Toma-se o produto desses fatores primos comuns e não comuns
 Exemplo:
MMC (70, 75, 80) = 
Exercícios:
(UFGM) O número de três algarismos divisíveis ao mesmo tempo por 2, 3, 5, 6, 9, 11 e que tenham os maiores algarismos possíveis é:
a)330
b)66
c)676
d)990
2)(Olimpíada de Matemática) Subtraindo uma unidade do quadrado do número 17, encontramos:
a) um número divisível por 5
b) um número divisível por 8
c)um numero divisível por 17
d)um numero divisível por 28
3) (Santa Casa) Considere o número 313131A, onde A representa o algarismo das unidades. Se esse número é divisível por 4, então o valor Maximo queA pode assumir é:
a)0
b)4
c)6
d)8
4) (ESA) Se o número 7x4 é divisível por 18, então o algarismo x é:
a)4
b)7
c)9
d)0
 5) (UERJ) O ano bissexto possui 366 dias e sempre é múltiplo de 4. O ano de 2012 foi o último bissexto. Porém, há casos especiais de anos que, apesar de múltiplos de 4, não são bissextos: são aqueles que também são múltiplos de 100 e não são múltiplos de 400. O ano de 1900 foi o último caso especial.
A soma dos algarismos do próximo ano que será um caso especial é:
a) 3
b) 4
c) 5
d) 6
6) (ENEM) O gerente de um cinema fornece anualmente ingressos gratuitos para escolas. Este ano serão distribuídos 400 ingressos para uma sessão vespertina e 320 ingressos para uma sessão noturna de um mesmo filme. Várias escolas podem ser escolhidas para receberem ingressos. Há alguns critérios para a distribuição dos ingressos:
cada escola deverá receber ingressos para uma única sessão;
todas as escolas contempladas deverão receber o mesmo número de ingressos;
não haverá sobra de ingressos (ou seja, todos os ingressos serão distribuídos).
O número mínimo de escolas que podem ser escolhidas para obter ingressos, segundo os critérios estabelecidos, é
a) 2.
b) 4.
c) 9.
d) 40.
e) 80.
7) (EEAR) De um aeroporto internacional partem, todos os dias, três aviões que fazem rotas internacionais. O primeiro avião faz rota de ida e volta em 4 dias, o segundo em 5 dias e o terceiro em 10 dias. Se, num certo dia, os três aviões partirem simultaneamente, depois de quantos dias esses aviões partiram novamente no mesmo dia?
a)10
b)20
c)25
d)30
8) (EEAR) Sabendo-se que o MDC entre 30 e 36 é a e que o MMC é b, então o produto entre eles é:
a)1080
b)10800
c)108000
d)1080000
9) (UERJ) Três grandes cidades A, B e C fazem festas de 6 em 6 meses, 9 em 9 meses e 20 em 20 meses respectivamente. Sabendo-se que em abril de 1980 as festas coincidiram, quando as festas voltarão a coincidir? 
a) 1989 
b) 1991
c) 1995
d) 2001
e) 2005
10) (UERJ) Dois sinais luminosos fecham juntos num determinado instante. Um deles permanece 10 segundos fechado e 40 segundos aberto, enquanto o outro
permanece 10 segundos fechado e 30 segundos aberto. O número mínimo de segundos necessários, a partir daquele instante, para que os dois sinais voltem a fechar juntos outra vez é de:
a)150
b)160
c)190
d)200 
Gabarito:
1- D
2- B
3- C
4- B
5- A
6- C
7- B
8- A
9- C
10- D
7
5
3
2
2
1
7
35
105
210
420
5
3
2
2
2
2
2
1
5
15
30
60
120
240
480
5
5
3
2
2
2
1
5
25
75
150
300
600
7
5
3
2
420
5
3
2
480
5
3
2
600
2
5
3
×
×
×
=
×
×
=
×
×
=
5
3
2
2
×
×
{
}
24
,
12
,
0
)
6
(
)
4
(
)
3
(
=
Ç
Ç
M
M
M
7
5
5
3
2
2
2
2
1
1
1
1
1
7
1
5
7
5
25
35
5
75
35
10
75
35
20
75
35
40
75
35
80
75
70
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
7
5
3
2
2
4
×
×
×
{
}
6
,
3
,
2
,
1
)
42
(
)
30
(
)
18
(
=
Ç
Ç
D
D
D