USF_EAD_U2_Aplicações_matemáticas-1

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SUMÁRIO
UNIDADE 01: EXEMPLO DE TEXTO .....................................................................103
1. Título de Peso ....................................................................................................103
2. Mauris tristique velit facilisis nulla hendrerit rutrum. ..........................................105
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Porcentagem, Expressão Algébrica e Equações
UNIDADE 2
PORCENTAGEM, EXPRESSÃO 
ALGÉBRICA E EQUAÇÕES
INTRODUÇÃO
Nesta unidade daremos continuidade aos estudos realizados anteriormente, quando 
tratamos dos conceitos de proporcionalidade e de regra de três a partir da aplicação do 
conceito de porcentagem.
Certamente, o conceito de porcentagem tem inúmeras aplicações relacionadas ao es-
tudo das ciências sociais aplicadas, tais como a Administração, as Ciências Contábeis e 
a Economia. Durante esta unidade, trataremos de algumas possibilidades de aplicação, 
focando a compreensão real do conceito, para que, assim, você possa verdadeiramente 
compreender sua aplicação, não ficando restrito aos exemplos aqui expostos.
Em seguida, serão exploradas as ideias de expressão algébrica e equações do 1º 
e 2º grau. A partir destes objetos matemáticos, pretendemos introduzir o pensamento 
algébrico, partindo de seus fundamentos e possibilitando a resolução de algumas situ-
ações-problema.
1. PORCENTAGEM
Antes de iniciarmos este conceito, vamos retomar o que compreendemos como razão 
entre duas grandezas.
De forma geral, uma razão entre duas grandezas nada mais é do que uma compa-
ração realizada entre valores a partir de um quociente, a qual é representada por 
a
b
, 
sendo a o valor da 1ª grandeza e b o valor da 2ª grandeza.
Vamos analisar a seguinte situação: em uma população de certa cidade, estima-se que 
73 em cada 100 habitantes têm acesso à internet fixa em casa.
Logo, podemos dizer que temos uma razão entre o quantitativo de habitantes que possui 
acesso à internet fixa e a população total da cidade de 
73
100
, ou 73 para 100 habitantes.
Quando construímos uma razão, tendo como base de comparação o número 100 (como 
na situação apresentada), ela é chamada de razão centesimal.
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1.1 CONCEITO
Razão centesimal, como o próprio nome diz, é uma razão na qual o consequente (de-
nominador) é o número 100.
São exemplos de razões centesimais:
7
100
 lê-se 7 para 100, ou 7 centésimos.
22
100
 lê-se 22 para 100, ou 22 centésimos.
84
100
 lê-se 84 para 100, ou 84 centésimos.
Estas razões também podem ser escritas no formato decimal, a partir da realização dos 
quocientes indicados:
7 0,07
100
= , pois 7 100 0,07÷ =
22 0,22
100
= , pois 22 100 0,22÷ =
84 0,84
100
= , pois 84 100 0,84÷ =
Ainda há outra forma de escrita de razões centesimais: na forma de taxa percentual ou 
simplesmente porcentagem. Neste formato, teremos:
0,07 7%= lê-se 7 por cento.
0,22 22%= lê-se 22 por cento.
0,84 84%= lê-se 84 por cento.
Assim, podemos concluir que existe a equivalência entre a forma fracionária decimal e 
a taxa percentual. 
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Porcentagem, Expressão Algébrica e Equações
22 0,22 22%
100
= =
Destaca-se que, para a conversão de uma taxa percentual para a sua representação 
decimal, deve-se dividir a taxa percentual por 100.
Exemplo: converter 27,5% para a representação decimal:
Divide-se a taxa percentual 27,5% por 100:
27,5 0,275
100
=
Retomando a situação anterior: quando afirmamos que em uma população existe uma 
razão de 
73 0,73
100
= entre o quantitativo de habitantes que têm acesso à internet fixa
em suas casas, estamos afirmando que 73% da população tem acesso a este recurso.
Na prática, podemos afirmar que:
 ` Se a população é composta por 100 habitantes, 73 possuem o recurso citado.
 ` Se a população é composta por 200 habilitantes, 73 . 2 146= possuem o recurso citado.
 ` Se a população é composta por 300 habitantes, 73 . 3 219= possuem o recurso citado.
Ou seja, a porcentagem, ou percentagem, nada mais é do que o valor obtido ao apli-
carmos uma taxa percentual ou razão centesimal a um determinado valor.
1.2 APLICAÇÕES 
Como já citado, as porcentagens podem ser aplicadas em inúmeros contextos, dos 
quais alguns serão apresentados a seguir.
a. Porcentagem para representar uma parte de um todo
Exemplo: em um curso superior, espera-se que 63% do total de alunos realize atividades de 
estudo durante os finais de semana. Sabendo que este curso possui um total de 2355 alunos, 
segundo a estimativa apresentada, quantos alunos se enquadram dentro desta situação?
Temos aqui uma situação na qual utilizamos a porcentagem para representar uma parte 
(um subconjunto) de um todo (um conjunto). Neste caso, o nosso subconjunto corres-
ponde a 63% do total, ou seja, a cada 100 alunos, espera-se que 63 destes enquadrem-
-se dentro da condição exposta.
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Para calcularmos o quanto 63% representam frente ao total de 2355 alunos, podemos 
utilizar a regra de três simples, fazendo:
Porcentagem Quantitativo de alunos
100 2355
63 x
Estamos relacionando a porcentagem 100 ao total de alunos: 2355, e a porcentagem 63 
ao quantitativo que queremos encontrar.
100 2355
63
=
x
Realizando a multiplicação dos meios e extremos teremos:
100 148365=x
148365 1483,65 1484
100
= = ≅x
Observação: como a grandeza quantitativo de alunos admite apenas valores inteiros, 
ou seja, não faz sentido indicar que espera-se ter 1483,65 alunos na condição descrita, 
precisamos arredondar o valor para número inteiro, logo, o ponto de arredondamento a 
ser analisado é a casa das unidades, conforme destacado a seguir:
1483,65
Para realizar o arredondamento nesta casa decimal, observaremos a casa imediata-
mente subsequente, ou seja, a casa dos décimos:
1483,65
 ` Se esta casa decimal tiver um valor menor ou igual a 4, será feito o arredondamento da 
casa das unidades para baixo, o que na prática significa deixar o valor da casa decimal 
da forma como está.
 ` Se esta casa decimal possuir valor maior que 4, será feito o arredondamento da casa das 
unidades para cima, o que na prática significa acrescer 1 à casa das unidades.
No caso observado temos na casa dos décimos o valor 6 , que é um valor maior que 4, 
por isso utilizamos o arredondamento para cima:
1483,65 1484≅
Caso o arredondamento seja feito em outra casa decimal, as regras utilizadas devem 
ser as mesmas.
b. Porcentagem como um acréscimo ou decréscimo
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Porcentagem, Expressão Algébrica e Equações
Exemplo 1: por quanto se deve vender um objeto que foi comprado por R$ 4.000,00, a 
fim de obter um lucro de 20% sobre o valor de compra?
Nesta situação, podemos iniciar calculando o valor de 20% sobre o valor de compra, 
fazendo:
4000,00 . 0, 2 800,00=
O fator multiplicador 0,2 é a representação decimal de 20%, a qual pode ser obtida di-
vidindo a taxa porcentual por 100:
20 0,2
100
=
O valor de R$ 800,00 é o lucro que se tem por objeto e que deve ser somado ao valor 
de compra:
4000,00 800,00 4800,00+ =
Sendo assim, o valor de venda deverá ser de R$ 4.800,00, para que tenhamos um lucro 
de 20% sobre o valor de compra.
Outra forma de resolver este problema seria multiplicar o valor de R$ 4.000,00 por 1,2 , 
o qual corresponde a 120%. Utilizamos 120% visto que 100% corresponde ao valor total 
da compra e 20% é o valor do lucro que se busca.
Convertendo a taxa porcentual 120% para sua representação decimal, teremos:
120 1,2
100
=
Preço de venda: ( )1 0,2 .4000 1,2.4000 4800,00+ = = 
Exemplo 2: uma loja está realizando uma promoção anunciando um desconto de 15% 
sobre qualquer produto. Em um produto cujo valor original é R$ 1.799,90, qual será o 
preço após o desconto anunciado?
Vamos iniciar calculando 15% do valor original do produto. Converte-se a taxa porcen-
tual para sua representação decimal fazendo:
15 0,15
100
=
A partir da representação decimal encontrada, multiplica-se o valor originaldo produto 
por este valor, encontrando, assim, o valor do desconto.
1799,90 . 0,15 269,99=
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Este valor deve ser descontado (subtraído) do valor original do produto:
1799,90 269,99 1529,91− =
Portanto, podemos afirmar que o valor do produto com a promoção é de R$ 1.529,91.
Também poderíamos resolver esta situação da seguinte forma: como queremos aplicar 
um desconto de 15%, podemos afirmar que:
100% 15% 85%− =
Podemos calcular 85% sobre o valor original do produto – assim, aplicaremos um des-
conto de 15%.
Converte-se a taxa porcentual 85% para sua representação decimal fazendo:
85 0,85
100
=
Multiplica-se o valor original do produto pela representação decimal encontrada, che-
gando ao valor do produto, já aplicado o desconto.
1799,90 . 0,85 1529,91=
Exemplo 3: sabemos que o salário de um colaborador, após ter um aumento de 7,6%, 
passou a ser R$ 2.785,15. Calcule qual era o valor do salário antes da aplicação do 
aumento.
Como sabemos o valor do salário já acrescido, podemos afirmar que corresponde a 100% + 
7,6% = 107,6%. O nosso objetivo é encontrar o valor do salário antes do aumento, ou seja, en-
contrar 100% do salário. Para a resolução deste problema, faremos uso de uma regra de três:
2785,15 107,6
100
=
x
Realizando o produto dos meios e dos extremos:
107,6 278515=x
278515
107,6
=x
2588,43=x
Podemos afirmar que o valor do salário antes do aumento era R$ 2.588,43. Também po-
deríamos resolver esta situação realizando o quociente (divisão) entre o valor do salário 
acrescido do aumento e 1 0,076 1,076+ = .
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Porcentagem, Expressão Algébrica e Equações
Para chegarmos no valor 1,076, devemos considerar 1 como 100% e 0,076 como 
7,6 0,076
100
= .
2785,15 2588,43
1,076
=
Exemplo 4: calcular o lucro e por quanto deve-se vender um objeto comprado por R$ 
4.000,00 para ganhar 20% sobre o valor de venda.
Trata-se de calcular 20% de uma quantia que ainda é desconhecida. O que se deve fa-
zer é considerar este preço de venda desconhecido como 100% e, consequentemente, 
tomar o preço de compra conhecido como 80%, já que o lucro deve ser de 20%.
Pode-se resolver o problema utilizando uma regra de três.
80 4000
100
=
x
A construção desta regra de três coloca os 80% relacionados ao valor de R$ 4.000,00 e 
o valor a ser encontrado x em relação aos 100% que se deseja.
Resolvendo a regra de três teremos:
80 400000=x
400000 5000,00
80
= =x
Logo, o valor de venda deste produto deverá ser de R$ 5.000,00 a fim de apresentar 
um lucro de 20% sobre o valor de venda. Como o valor de compra é de R$ 4.000,00, 
podemos afirmar que o valor do lucro será:
5000,00 4000,00 1000,00− =
Exemplo 5: calcular o prejuízo e o preço de venda de um objeto comprado por R$ 
8.000,00, tendo perdido 25% do preço de venda.
É preciso calcular 25% de uma quantia desconhecida. De novo, deve-se considerar 
essa quantia desconhecida (o preço de venda) como 100%. O preço de compra foi de 
125% (100% + 25%), já que o prejuízo foi de 25% sobre o preço de venda.
Podemos resolver essa situação por uma regra de três:
125 8000
100
=
x
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Assim, relaciona-se por meio desta regra de três 125% com os R$ 8.000,00 e 100% 
com o valor que se deseja calcular.
Resolvendo a regra de três:
125 800000=x
800000 6400,00
125
= =x
Portanto, o objeto deverá ser vendido por R$ 6.400,00, com um prejuízo na ordem de 
8000,00 6400,00 1600,00− = .
c. Porcentagem com valor relativo ao todo
Exemplo 1: foi realizada uma pesquisa com uma determinada população sobre a pre-
ferência por tipo/modelo de automóvel, obtendo o seguinte resultado:
Tabela 01. Frequência absoluta de tipo/modelo de automóveis
TIPO/MODELO FREQUÊNCIA ABSOLUTA
Hatch 375
Sedan 147
SUV 263
Picape 209
Total 994
Fonte: elaborada pelo autor.
Considere frequência absoluta o quantitativo de sujeitos que optaram pelo tipo/modelo 
de automóvel e encontre o valor percentual que cada subgrupo representa em relação 
ao todo (frequência relativa). Para isto, faremos a razão (divisão) entre o valor de cada 
frequência absoluta e o total de frequências:
No tipo/modelo Hatch, teremos:
375 0,377
994
=
O valor que se encontra está no formato decimal. Para transformá-lo em porcentagem, 
é preciso multiplicá-lo por 100:
0,377 .1 00 37,7%=
Podemos afirmar que para o tipo/modelo Hatch, há um percentual de 37,7% em relação 
ao total de sujeitos participantes da pesquisa.
Replicando o mesmo cálculo para os outros tipos/modelos, teremos:
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Porcentagem, Expressão Algébrica e Equações
Tabela 02. Frequência absoluta relativa de tipo/modelo de automóveis
TIPO/MODELO FREQUÊNCIA ABSOLUTA FREQUÊNCIA RELATIVA
Hatch 375 37,7%
Sedan 147 14,8%
SUV 263 26,5%
Picape 209 21,0%
Total 994 100,0%
Fonte: elaborada pelo autor.
d. Variação porcentual
Exemplo 1: o departamento de custos de uma empresa está realizando um estudo so-
bre a variação das cotações de algumas matérias-primas utilizadas para os processos 
produtivos da organização. Foi elaborada a seguinte tabela:
Tabela 03. Cotação de matérias-primas
COTAÇÕES (EM REAIS)
Matéria-prima (por tonelada) Jan/2021 Mar/2021
Alumínio 10.740,68 12.366,46
Estanho 117.485,30 157.549,50
Minério de ferro 9,09 8,97
Fonte: elaborada pelo autor.
Calcule a variação porcentual de cada matéria-prima no período observado.
Para isso, pode-se fazer uso de uma razão (divisão) entre o valor do final do período 
(Mar/2021) e valor do início do período (Jan/2021).
Para a matéria-prima do alumínio, temos a cotação em mar/2021 de R$ 12.366,46 e em 
jan/2021 de R$ 10.740,68. A razão ficará:
12366,46 1,1514
10740,68
≅
O valor encontrado está no formato decimal. Para transformá-lo em porcentagem, de-
ve-se multiplicá-lo por 100.
1,1514 .1 00 115,14%=
A porcentagem de 115,14% mostra que houve uma variação positiva, pois foi encontra-
da uma taxa porcentual maior que 100%. Este número considera a cotação observada 
em jan/2021 como 100%, indicando uma variação de 15,14% de jan/2021 a mar/2021. 
Ou seja, neste caso, para encontrar apenas a porcentagem de variação, devemos sub-
trair os 100% do valor encontrado.
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115,14% 100% 15,14%− =
Portanto, conclui-se que no período observado houve uma variação de +15,14% na 
cotação do alumínio. 
Vamos proceder da mesma forma para as outras matérias-primas. Para o estanho, 
temos a cotação em mar/2021 de 157.549,50 e, em jan/2021, de 117.485,30. Assim, a 
razão ficará:
157549,50 1,3410
117485,30
≅
Transformando o resultado em porcentagem, multiplicando por 100, teremos:
1,3410 .1 00 134,10%=
Também observamos uma variação positiva, pois encontra-se uma porcentagem maior 
que 100%. Por isso, para encontrar a variação porcentual, deve-se subtrair 100%.
134,10% 100% 34,10%− =
Conclui-se que no período observado houve uma variação de +34,10% na cotação do estanho.
Para o minério de ferro, a cotação de mar/2021 é R$ 8,97 e, em jan/2021, é R$ 9,09. 
Assim, a razão entre estes valores ficará:
8,97 0,9868
9,09
≅
É preciso transformar este valor decimal em porcentagem, multiplicando-o por 100.
0,9868 .1 00 98,68%=
Perceba que encontramos um valor abaixo de 100%, o que retrata a situação observada, 
pois, neste período, o minério de ferro teve uma queda no preço. O valor da cotação inicial 
(jan/2021) é considerado 100%, assim, devemos subtrair do valor encontrado os 100%:
98,68% 100% 1,32%− = −
Portanto, concluir-se que o minério de ferro, no período observado, teve uma variação 
de -1,32% em sua cotação.
2. EXPRESSÕES ALGÉBRICAS
Faremos neste momento a introdução dos conceitos relacionados à linguagem algé-
brica e apresentaremos algumas ferramentas úteis para o desenvolvimento dessas ex-
pressões, os produtos notáveis e a fatoração.
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Porcentagem, Expressão Algébrica e Equações
Para isto, vamos iniciar conhecendo alguns conceitos básicos:a. Monômio: um termo algébrico composto por uma parte numérica e uma parte literal.
Exemplo 1: 5x
Para o termo 5x , temos como parte numérica "5" e parte literal " "x .
Exemplo 2: - 24a
Para o termo 24− a , temos como parte numérica “ 4”− e parte literal 2“ ”a .
Destacamos que a parte numérica será chamada de coeficiente e a parte literal, de 
variável. Assim, quando escrevemos a expressão 5x , estamos representando um va-
lor variável " "x , que está sendo multiplicado por um coeficiente "5" .
b. Polinômio: é uma expressão algébrica composta por mais de um monômio.
Exemplo 1: 25 10+x x
Exemplo 2: 3 24 3 6− +a b
Exemplo 3: 26 2− + −x y
Em uma expressão algébrica é fundamental compreendermos algumas propriedades:
a. Propriedade associativa: em uma expressão algébrica, monômios que possuem sua par-
te literal igual são chamados de termos semelhantes e, consequentemente, podem ser 
associados:
Exemplo 1: na expressão 3 2 2 2 36 2 5 7 3 3 5 3− + − − + + − +x x y y x z , podemos iden-
tificar alguns termos semelhantes:
3 2 2 2 36 2 5 7 3 3 5 3− + − − + + − +x x y y x z
Assim, conforme o critério apresentado pela propriedade distributiva, com exceção dos 
monômios 
22− x e 5− z , os quais não são semelhantes a monômio algum, não podem 
ser associados. Observe as possíveis associações realizadas:
3 3 36 3 3− + = −x x x
2 2 25 3 3− + = −y y y
7 3 4− + = −
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Logo, a expressão inicial 3 2 2 2 36 2 5 7 3 3 5 3− + − − + + − +x x y y x z pode ser reescrita 
a partir das associações realizadas e dos monômios, os quais não foram utilizados no 
processo de associação.
3 2 23 3 4 2 5− − − − −x y x z
Para organizar a expressão quanto à ordem de escrita dos monômios, se fará uso do 
seguinte critério: parte literal em ordem alfabética, dando prioridade para o elemento 
com maior expoente. A partir dessa ideia, a expressão será reescrita da seguinte ma-
neira:
 
3 2 23 2 3 5 4− − − − −x x y z
Observa-se que o monômio 4− (chamado termo independente por não possuir parte 
literal evidente) foi colocado no final da expressão.
Com a propriedade associativa podemos pensar na adição e na subtração de polinô-
mios.
Observe a seguinte situação:
( ) ( )3 2 3 24 3 2 7 5 2 5− + − + − + +x x xy x x
A expressão indica a adição entre dois polinômios. Para realizá-la, utilizaremos a pro-
priedade associativa, ou seja, os monômios semelhantes dos dois polinômios devem 
ser associados. Faremos as seguintes associações:
3 3 34 5− = −x x x
2 2 23 2− + = −x x x
7 5 2− + = −
Observe que o monômio 2xy não foi associado a nenhum outro monômio, então, 
podemos escrever como resultado desta adição de polinômios:
3 2 2 2− − + −x x xy
Observe esta outra situação:
( ) ( )3 2 2 3 2 25 2 3 2 2 2− + − + − − + − +a a ab b a a ab b
Identifica-se aqui uma subtração entre polinômios. Nesta situação, o 2º polinômio terá a 
influência do sinal negativo à sua frente. Para o desenvolvimento desta expressão, ini-
cialmente deve-se realizar o jogo de sinal entre os sinais dos monômios do 2º polinômio 
e o sinal à frente deste polinômio. 
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2
Porcentagem, Expressão Algébrica e Equações
Observação: o jogo de sinal será gerado pela interação entre os sinais do polinômio e 
o sinal fora do parêntese, utilizando o seguinte padrão:
 ` Sinais iguais →+
 ` Sinais diferentes →−
Por exemplo, a primeira interação que se observa é:
( )32− − a
Os sinais observados são iguais, portanto, o resultado será:
( )3 32 2− − =a a
As outras interações serão:
( )2 2− + = −a a
( )2 2− − =ab ab
( )2 2− + = −b b
Assim, teremos um novo polinômio:
( )3 2 22 2− + −a a ab b
Após a realização do jogo de sinal, a operação entre os polinômios será transformada 
em adição, fazendo-se uso do novo polinômio:
( ) ( )3 2 2 3 2 25 2 3 2 2 2− + − + + − + −a a ab b a a ab b
Aplicando a propriedade associativa temos:
3 2 27 3 5 2 2− + − +a a ab b
 ` Propriedade distributiva: quando temos uma multiplicação entre duas expressões algé-
bricas, todos os elementos da 1ª expressão devem multiplicar todos os elementos da 2ª 
expressão.
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Exemplo 1: ( )2 3 2 3 22 . 5 4 2 2 2− − + − +x x x y y
Nesta situação, o monômio 2“ 2 "− x deve multiplicar todos os monômios da expressão 
( )3 2 3 2" 5 4 2 2 2 "− + − +x x y y . Iniciaremos multiplicando 22− x por 35x . Aqui fare-
mos uso de propriedade de potenciação, a qual trata da multiplicação entre potências 
de mesma base:
. +=n m n ma a a
Ou seja, quando multiplicados potências de mesma base, esta é conservada e os ex-
poentes são somados.
Aplicando a propriedade à multiplicação 2 32 . 5− x x teremos:
( )2 3 2 3 52.5 . 10 10+− = − = −x x x x
Precisamos aplicar a distribuição da multiplicação para os outros elementos da expres-
são, conforme indicado no esquema abaixo:
Obteremos a seguinte expressão como resultado da multiplicação:
5 4 2 3 2 2 210 8 4 4 4− + − + −x x x y x y x
Exemplo 2: ( ) ( )3 2 3 2 24 2 . 3 2 1− + + − +a b a a b
Aplicando a propriedade distributiva, temos que garantir que todos os monômios conti-
dos na 1ª expressão algébrica ( )3 24 2− +a b multipliquem todos os monômios contidos 
na 2ª expressão algébrica ( )3 2 23 2 1+ − +a a b .
Vamos iniciar multiplicando 34− a por todos os termos da 2ª expressão:
Chegaremos a:
6 5 3 2 312 8 4 4− − + −a a a b a
50
2
Porcentagem, Expressão Algébrica e Equações
Continuando a aplicação da propriedade distributiva, faremos a multiplicação do segun-
do monômio da 1ª expressão algébrica 22b por todos os elementos da 2ª expressão:
Continuando os resultados já encontrados, teremos:
6 5 3 2 3 3 2 2 2 4 212 8 4 4 6 4 2 2− − + − + + − +a a a b a a b a b b b
Analisando a expressão resultante, podemos identificar termos que são semelhantes e, 
consequentemente, podem ser associados.
6 5 3 2 3 3 2 2 2 4 212 8 4 4 6 4 2 2− − + − + + − +a a a b a a b a b b b
3 2 3 2 3 24 6 10+ =a b a b a b
6 5 3 2 3 2 2 4 212 8 10 4 4 2 2− − + − + − +a a a b a a b b b
Aplicando as expressões algébricas
Situação 1: em uma indústria, os processos de produção passaram por estudos que 
possibilitaram sua modelagem a partir de equações matemáticas. Assim, foram adota-
dos os seguintes modelos para a realização de previsões quanto ao seu resultado.
 ` Sendo t a variável tempo, em horas de trabalho por dia, p a quantidade produzida de 
um certo produto durante um turno de trabalho e l o lucro unitário do produto. 
21 3= −p t
23 80= − +l t t
A partir destes modelos matemáticos, encontre a expressão D , a qual representaria o 
lucro total diário desta produção.
Como queremos encontrar o lucro total diário desta produção, precisamos realizar 
.=D p l , ou seja, faremos a multiplicação entre as duas expressões. Então, podemos 
escrever o seguinte:
( ) ( )2. 21 3 . 3 80= → = − − +D p l D t t t
2
51Aplicações Matemáticas
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Aplicando a propriedade distributiva nesta expressão teremos:
( ) ( )221 3 . 3 80= − − +D t t t
3 2 263 1680 9 240= − + + −D t t t t
Já aplicando a propriedade associativa:
3 2 263 1680 9 240= − + + −D t t t t
3 263 1689 240= − + −D t t t
Podemos afirmar que o lucro diário desta produção pode ser modelado a partir da ex-
pressão:
3 263 1689 240= − + −D t t t
2.1 PRODUTOS NOTÁVEIS
Os produtos notáveis merecem muita atenção, pois seu uso facilita cálculos, reduz o 
tempo de resolução e agiliza o aprendizado.
Algumas expressões constituem cálculos algébricos que apresentam certo padrão de 
resolução, e entre essas expressões são necessárias técnicas de multiplicação, como 
a propriedade distributiva. Dentre essas multiplicações entre expressões algébricas, 
temos os produtos notáveis, que podem ser desenvolvidos de duas maneiras:
 ` Pela propriedade distributiva.
 ` Pela regra prática.
Os casos mais comuns de produtos notáveis são:
 ` Quadrado da soma de dois termos.
 ` Quadrado da diferença de dois termos.
 ` Produtoda soma pela diferença.
 ` Cubo da soma.
 ` Cubo da diferença.
A utilização da regra requer uma definição geral para cada caso, exigindo um pouco 
mais de prática para desenvolvê-la, mas simplificando os cálculos. Já na propriedade 
distributiva há a necessidade de um desenvolvimento mais detalhado do cálculo
A seguir serão destacadas as regras práticas desses produtos notáveis.
52
2
Porcentagem, Expressão Algébrica e Equações
Observe que chamamos a de primeiro termo e b de segundo. Nos exemplos a seguir 
serão desenvolvidos alguns produtos que se enquadram neste primeiro caso de produ-
tos notáveis.
Exemplo 1: ( )22+x
Nesta situação, identificamos o quadrado da soma de dois termos, possibilitando a apli-
cação da regra prática a seguir:
( )2 2 22+ = + +a b a ab b
Como o produto a ser desenvolvido é ( )22+x , podemos identificar o primeiro termo da 
soma como =a x e o segundo termo da soma como 2=b . Substituindo estes valores 
da regra prática teremos:
( )2 2 22+ = + +a b a ab b
( )2 2 22 2. .2 2+ = + +x x x
( )2 22 4 4+ = + +x x x
Exemplo 2: ( )24 3+m n
Também é uma situação que pode ser desenvolvida a partir do produto notável ( )2+a b
, identificando 4=a m e 3=b n . Aplicando a regra prática:
( )2 2 22+ = + +a b a ab b
( ) ( ) ( )2 2 24 3 4 2.4 .3 3+ = + +m n m m n n
( )2 2 24 3 16 24 9+ = + +m n m mn n
Quadrado da soma de dois termos
( )2 2 22+ = + +a b a ab b
Regra prática: O quadrado da soma de dois termos é igual ao quadrado do primeiro ter-
mo, mais duas vezes o primeiro termo pelo segundo, mais o quadrado do segundo termo.
2
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Observe que chamamos a de primeiro termo e b de segundo.
Exemplo 1: ( )27−x
Analisando o produto a ser desenvolvido, percebemos que temos o quadrado da dife-
rença de dois termos. Podemos identificar o primeiro termo da diferença como =a x 
e o segundo termo da diferença, 7=b . 
( )2 2 22− = − +a b a ab b
( )2 2 27 2. .7 7− = − +x x x
( )2 27 14 49− = − +x x x
Exemplo 2: ( )22 4−x y
Também é uma situação de quadrado da diferença, identificando 2=a x e 4=b y . 
Substituindo estes termos na regra prática:
( )2 2 22− = − +a b a ab b
( ) ( ) ( )2 2 22 4 2 2.2 .4 4− = − +x y x x y y
( )2 2 22 4 4 16 16− = − +x y x xy y
Produto da soma pela diferença
( )( ) 2 2+ − = −a b a b a b
Quadrado da diferença de dois termos
( )2 2 22− = − +a b a ab b
Regra prática: o quadrado da diferença de dois termos é igual ao quadrado do primeiro 
termo, menos duas vezes o primeiro termo pelo segundo, mais o quadrado do segundo termo.
Regra prática: o produto da soma pela diferença de dois termos é igual ao quadrado do 
primeiro termo menos o quadrado do segundo termo.
54
2
Porcentagem, Expressão Algébrica e Equações
Observe que chamamos a de primeiro termo e b de segundo.
Exemplo 1: ( )( )5 5+ −x x
Identificamos o produto da soma pela diferença de dois termos. Podemos afirmar que 
=a x e 5=b . Aplicando a regra prática:
( )( ) 2 2+ − = −a b a b a b
( )( ) 2 25 5 5+ − = −x x x
( )( ) 25 5 25+ − = −x x x
Observe que este produto também poderia ser resolvido por meio da aplicação da pro-
priedade distributiva:
Identifica-se na expressão os termos semelhantes:
5 5 0− =x x
Sendo assim, não escrevemos o valor “0” na expressão final.
( )( ) 25 5 25+ − = +x x x
Exemplo 2: ( )( )3 4 3 4+ −y x y x
Sabendo que temos uma situação de produto da soma pela diferença de dois termos, 
aplicamos a regra prática a partir de 3=a y e 4=b x :
( )( ) 2 2+ − = −a b a b a b
( )( ) ( ) ( )2 23 4 3 4 3 4+ − = −y x y x y x
( )( ) 2 23 4 3 4 9 16+ − = −y x y x y x
2
55Aplicações Matemáticas
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Observe que chamamos a de primeiro termo e b de segundo termo.
Exemplo 1: ( )37+x
É uma situação de cubo da soma de dois termos, com =a x e 7=b . Assim, podemos 
aplicar a regra prática:
( )3 3 2 2 33 3+ = + + +a b a a b ab b
( )3 3 2 2 37 3. .7 3. .7 7+ = + + +x x x x
( )3 3 27 21 147 343+ = + + +x x x x
Exemplo 2: ( )33 2+ m
Observamos a situação de cubo da soma de dois termos, com 3=a e 2=b m . Subs-
tituindo na regra prática, teremos:
( )3 3 2 2 33 3+ = + + +a b a a b ab b
( ) ( ) ( )3 2 33 23 2 3 3.3 .2 3.3. 2 2+ = + + +m m m m
( )3 2 33 2 27 54 3.3.4 8+ = + + +m m m m
( )3 2 33 2 27 54 36 8+ = + + +m m m m
Cubo da diferença de dois termos
( )3 3 2 2 33 3− = − + −a b a a b ab b
Cubo da soma de dois termos
( )3 3 2 2 33 3+ = + + +a b a a b ab b
Regra prática: o cubo da soma de dois termos é igual ao cubo do primeiro termo, mais 
três vezes o quadrado do primeiro termo pelo segundo, mais três vezes o primeiro termo pelo 
quadrado do segundo, mais o cubo do segundo termo.
56
2
Porcentagem, Expressão Algébrica e Equações
Regra prática: o cubo da diferença de dois termos é igual ao cubo do primeiro termo, menos 
três vezes o quadrado do primeiro termo pelo segundo, mais três vezes o primeiro termo pelo 
quadrado do segundo, menos o cubo do segundo termo.
Observe que chamamos a de primeiro termo e b de segundo.
Exemplo 1: ( )35−p Temos uma situação que se enquadra dentro de um cubo da dife-
rença de dois termos, com =a p e 5=b . Aplicando a regra prática, teremos:
( )3 3 2 2 33 3− = − + −a b a a b ab b
( )3 3 2 2 35 3. .5 3. .5 5− = − + −p p p p
( )3 3 25 15 75 125− = − + −p p p p
Exemplo 2: ( )36 2−x y
Observamos mais uma situação de cubo da diferença de dois termos, com 6=a x e 
2=b y . Podemos aplicar a regra prática da seguinte forma:
( )3 3 2 2 33 3− = − + −a b a a b ab b
( ) ( ) ( ) ( ) ( )3 3 2 2 36 2 6 3. 6 .2 3.6 . 2 2− = − + −x y x x y x y y
( )3 3 2 2 36 2 216 216 72 8− = − + −x y x x y xy y
Resumo dos casos
Podemos resumir os casos de produtos notáveis estudados nesta unidade a partir das 
seguintes regras práticas:
 ` ( )2 2 22+ = + +a b a ab b
 ` ( )2 2 22− = − +a b a ab b
 ` ( )( ) 2 2+ − = −a b a b a b
 ` ( )3 3 2 2 33 3+ = + + +a b a a b ab b
 ` ( )3 3 2 2 33 3− = − + −a b a a b ab b
2
57Aplicações Matemáticas
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2.2 FATORAÇÃO
Chamamos de fatoração o processo de transformar uma dada expressão em um pro-
duto (multiplicação). Para isso, vamos estudar alguns possíveis caminhos para a reali-
zação de uma fatoração.
Fator comum em evidência
Observe a expressão algébrica a seguir:
26 9−a ab
Exemplo 1: Verificamos que ambos os termos que compõem a expressão possuem o 
fator comum " " a e que todos os termos podem ser divididos por 3. Assim, a expressão 
pode ser reescrita como:
2 26 9 3.2 3.3− = −a ab a ab
A partir destes destaques, podemos definir com termos a serem colocados em evidên-
cia "3 "a . O termo em evidência se caracterizará como o primeiro fator do produto que 
será construído a partir da fatoração:
( )3 . a
Para encontrarmos o segundo fator do produto, precisaremos dividir cada um dos termos 
da expressão original ( 26 9 )−a ab pelo termo que foi colocado em evidência (3 )a :
26 2
3
=
a a
a 
9 3
3
−
= −
ab
a
Para realizar esta divisão, faremos uso da seguinte propriedade de potenciação, a qual 
trata da divisão de potências de mesma base:
−=
m
m n
n
a a
a
Aplicando esta propriedade temos:
2
2 16 2 2
3
−= =
a a a
a 
1 1 09 3 3 3
3
−− = − = − = −
ab a b a b b
a
Observe que em 03− a b , o termo 0a foi excluído da expressão final, pois, conforme a 
propriedade 0 1=a , teríamos 3.1. 3− = −b b .
Os resultados das divisões deverão formar o segundo fator do produto:
58
2
Porcentagem, Expressão Algébrica e Equações
( )3 . 2 3−a a b
Sendo assim, termos uma expressão fatorada.
Exemplo 2: Fatore a expressão algébrica 3 4 4 2 220 15 10− −m n m n m n
Iniciamos o processo de fatoração identificando o termo em comum aos monômios. 
Como todos são divisíveis por 5 e 2m n é elemento que aparece em todos os monô-
mios, podemos definir que o termo em evidência será 25m n . Façamos as divisões de 
cada termo pelo termo em evidência:
( )2 3 25 4 3 2− −m n mn m n
Agrupamento
Exemplo1: Vamos fatorar a expressão a seguir:
4 2 36 15 14 35− − +a a c a ac
Ao tentar utilizar a estratégia anterior para a realização da fatoração, veremos que não 
existe termo em comum a todos os monômios. Logo, vamos optar por realizar a fatora-
ção por agrupamentos.
Vamos separar a expressão em duas partes:
4 2 36 15 14 35− − +a a c a ac
A fatoração será realizada em duas partes, conforme indicado abaixo:
( )4 2 2 26 15 3 2 5− = −a a c a a c
( )3 214 35 7 2 5− + = − −a ac a a c
Substituindo as fatorações na expressão, teremos:
( ) ( )2 2 23 2 5 7 2 5− − −a a c a a c
Como identificamos que o termo ( )22 5−a c é um termo comum, podemos colocá-lo 
em evidência:
( ) ( )2 22 5 . 3 7− −a c a a
2
59Aplicações Matemáticas
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Exemplo 2: Vamos fatorar a expressão:
2 23 3+ + +m x x m y y
Realizando esta fatoração por agrupamento: 
2 23 3+ + +m x x m y y
Fatorando as partes teremos:
( )2 23 . 3+ = +m x x x m
( )2 23 . 3+ = +m y y y m
Substituindo na expressão original teremos:
( ) ( )2 23 3+ + +x m y m
Identificamos que ( )2 3+m é um termo em comum, ou seja, pode ser colocado em 
evidência:
( ) ( )2 3 .+ +m x y
Trinômio do quadrado perfeito
Existem situações que podem ser fatoradas a partir de produtos notáveis, como os tri-
nômios do quadrado perfeito ( )2+a b e ( )2−a b .
Exemplo 1: Vamos fatorar a expressão abaixo:
2 29 36 36+ +x xy y
Ao analisar a expressão, percebemos que ela se assemelha ao produto notável:
( )2 2 22+ = + +a b a ab b
Comparando as expressões, teríamos:
60
2
Porcentagem, Expressão Algébrica e Equações
Para realizar a fatoração a partir do produto notável citado, precisamos encontrar a e 
b para compor a expressão ( )2+a b . Para isso, faremos:
Como 2 29=a x , podemos encontrar a fazendo:
29 3= =a x x
Como 2 236=b y , podemos encontrar b fazendo: 
236 6= =b y y
Observe que, na comparação, 36 2=xy ab . Se substituirmos nessa expressão os ter-
mos encontrados para a e b , teremos:
36 2.3 .6=xy x y
36 36=xy xy
Como chegamos em uma igualdade verdadeira, podemos afirmar que esta expressão 
pode ser considerada um trinômio do quadrado perfeito ( )2+a b . 
Observação: Essa verificação é necessária para comprovar a existência do produto 
notável (trinômios do quadrado perfeito) adotado como modelo de fatoração.
Assim, sua fatoração poderá ser escrita como:
( )23 6+x y
Da mesma forma, todos os outros casos de produtos notáveis abordados neste material 
podem ser utilizados para a realização de fatoração.
Fatoração a partir de outros casos de produtos notáveis
Exemplo 2: Fatore a expressão 2 236 49 −x y
Identifica-se nesta expressão um binômio (polinômio composto por dois monômios) que 
se assemelha ao padrão apresentado pelo produto notável:
( )( ) 2 2+ − = −a b a b a b
Fazendo a relação entre a expressão dada e o produto notável:
2
61Aplicações Matemáticas
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2 236 49−x y
Assim como realizado no caso dos trinômios do quadrado perfeito, para encontrar o 
valor de a e b , será calculada a raiz quadrada dos termos:
236 6= =a x x
249 7= =b y y
Portanto, substituindo os valores de a e b encontrados no modelo do produto notável, 
teremos:
( )( )+ −a b a b
( )( )6 7 6 7+ −x y x y
3. EQUAÇÕES DO 1º E 2º GRAU
Para iniciar os estudos em torno das equações, algumas definições são fundamentais:
 ` Igualdade: situação de equilíbrio entre duas expressões.
 ` Incógnita: valor desconhecido expresso em uma igualdade.
Considere a expressão 2 20=x . Nela, a letra x representa um valor desconhecido, ou 
seja, uma incógnita. Já o sinal de = representa uma situação de equilíbrio entre os dois 
lados da expressão: 2x é equivalente a 20 (situação de equilíbrio).
Os dois elementos citados dão origem à ideia principal – a equação. Portanto, podemos 
definir uma equação como uma expressão algébrica que contém uma igualdade, na 
qual encontraremos uma ou mais incógnitas.
Quando nos referimos ao processo de resolver uma equação, estamos buscando des-
cobrir o valor que pode ser utilizado no lugar da incógnita, de forma que a igualdade 
possa ser satisfeita. Observe a expressão a seguir:
2 7 27+ =x
Podemos afirmar que essa expressão é uma equação, pois há uma situação de igual-
dade, a qual afirma que o dobro de um número desconhecido ( )2x , somado com 7, é 
igual a 27.
2a 2b
62
2
Porcentagem, Expressão Algébrica e Equações
De forma empírica, podemos afirmar que o valor que satisfaz esta igualdade é 10=x , 
pois, substituindo este valor na equação, teremos:
2 7 27+ =x
2.10 7 27+ =
27 27=
Chegamos então na igualdade satisfeita e, consequentemente, na equação resolvida.
Ocorre que nem todas as equações podem ser resolvidas apenas por meio da observação, 
por serem mais complexas. A partir desta afirmação, o estudo das equações busca apre-
sentar possíveis estratégias de resolução para esse objeto matemático, com o objetivo de 
facilitar a definição dos valores desconhecidos (incógnita) que satisfazem à equação.
Nesta unidade, abordaremos dois tipos de equações: as polinomiais do 1º grau (linea-
res) e as do 2º grau (quadráticas).
3.1 EQUAÇÕES POLINOMIAIS DO 1º GRAU
Cada tipo de equação se define a partir de um formato. No caso, as equações poli-
nomiais do 1º grau, ou simplesmente equações do 1º grau, definem-se a partir do 
seguinte modelo:
0 0+ = ≠ax b ondea
O maior expoente aplicado na incógnita define o grau de uma equação polinomial: nes-
se caso, a incógnita com maior expoente é x ou 1x , por isso esse tipo de equação 
recebe a nomenclatura de equação do 1º grau.
São exemplos de equações do 1º grau:
 ` 4 7 0− =x
 `
312 6
5
− + =x
 `
167 3 2
5
+ = −x x
 ` 2,5 1,7 10− =x
Observe que, inicialmente, nem todas as equações apresentadas encontram-se no for-
mato 0+ =ax b , porém, utilizando de manipulação algébrica, todas podem ser forma-
tadas neste modelo.
Para isso, façamos uso do princípio de equilíbrio entre os membros (lados) de uma 
equação, o qual permite que termos de um lado possam ser transpostos para outro 
2
63Aplicações Matemáticas
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lado, havendo a inversão da operação aritmética que este está aplicando.
Exemplo 1: Utilizando a equação 
167 3 2
5
+ = −x x , escreva-a no formato 0+ =ax b .
Percebemos a necessidade de encaminharmos todos os termos que contêm x para 
um único lado da equação; para tanto, devemos fazer a transposição do termo 3x para 
o lado esquerdo da equação. Como ele é positivo, está desenvolvendo uma adição, 
mas quando for encaminhado para o outro lado, desenvolverá a operação inversa, uma 
subtração.
16 167 2 7 2
5 5
3 3+ = − → + −− =x xx x
Como os termos 7x e 3− x são semelhantes, eles podem ser associados:
16 162 4 27
5
3
5
+ = − → +− = −x x x
Observando a equação, identificamos que os termos que não apresentam a incógnita 
x precisam ser associados também. Para isso, façamos com que o termo 2− seja 
transposto para o lado esquerdo da equação:
164 2 0
5
+ + =x
Como os termos 
16
5
 e 2 são semelhantes, eles podem ser associados:
16 264 2 0 4 0
5 5
+ + = → + =x x
Temos, assim, uma equação que está escrita no formato 0+ =ax b , na qual o coefi-
ciente 4=a e 
26
5
=b .
Resolvendo uma equação do 1º grau
De forma geral, a estratégia para a resolução de uma equação do 1º grau consiste em 
isolar os termos que contêm a incógnita em um dos lados da equação.
Exemplo 1: Resolva a equação 
167 3 2 
5
+ = −x x
Para iniciarmos o processo de resolução, façamos com que todos os termos que contêm 
a incógnita x fiquem do lado esquerdo da equação e que os outros fiquem do lado direito.
64
2
Porcentagem, Expressão Algébrica e Equações
16 167 3 2 7 3 2
5 5
+ = − → − = − −x x x x
Associando os termos semelhantes, teremos:
264
5
= −x
Como o objetivo é isolar a incógnita x , precisamos transpor o coeficiente 4 para o outro 
lado da equação. Atente-se para o fato de que este coeficiente estámultiplicando a incóg-
nita, assim, deverá realizar a operação inversa do outro lado da equação, ou seja, divisão:
26
26 54 
5 4
−
= − → =x x
Observação: para a realização da divisão contida na expressão anterior, deve-se recor-
dar o procedimento para a divisão de frações: manter a primeira fração e multiplicá-la 
pela inversão da segunda
26
5
4 
1
−
=x
26 1 26.
5 4 4
= − = −x
Simplificando a fração por 2 teremos:
26 2 13: 
4 2 2
= − → = −x x
Podemos afirmar que a solução desta equação é 
13
2
= −x , logo, este é o valor que 
satisfaz à igualdade apresentada.
Exemplo 2: vamos resolver a equação 
7 23 12
4 7 5
+ = − +
x x
Iniciaremos separando, de um lado, os termos que contêm a incógnita x e, do outro, 
os termos independentes:
7 23 7 2312 12
4 7 5 4 5 7
+ = − + → + = −
x x x x
2
65Aplicações Matemáticas
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Como esta equação apresenta várias frações, recomenda-se que seja calculado um 
denominador comum para toda a expressão, o qual pode ser obtido por meio do Mínimo 
Múltiplo Comum ou por outro método. Encontrando o múltiplo comum e convertendo as 
frações, teremos:
245 28 47040 460
140 140
+ −
=
x x
 
Temos um denominador comum para toda a equação – logo, este pode ser desprezado, 
para trabalharmos apenas com a equação:
245 28 47040 460+ = −x x
Em seguida, os termos semelhantes devem ser associados:
273 46580=x
Para isolar o x , o coeficiente 273 , que está multiplicando a incógnita, deve ser trans-
posto para o outro lado da equação, realizando a operação inversa, divisão:
46580
273
=x
Chegamos assim à solução desta equação.
Aplicando as equações do 1º grau para a resolução de problemas
Vamos analisar algumas aplicações possíveis para as equações do 1º grau.
Exemplo 1: a empresa Factory Ltda está analisando duas possibilidades de novos 
processos produtivos para implantação. Sabe-se que os custos variáveis (por unidade 
produzida) e os custos fixos das opções estudadas são diferentes e apresentam-se da 
seguinte forma:
Tabela 04. Custos dos processos produtivos A e B
PROCESSO A PROCESSO B
Custos fixos para implantação (R$) 27.000,00 17,90
Custo por unidade produzida (R$) 31.000,00 15,30
Fonte: elaborada pelo autor.
Encontre o ponto de equilíbrio entre as duas opções, isto é, a quantidade produzida que 
leva as duas opções de processos produtivos a terem o mesmo custo.
Resolução:
Chamando a quantidade produzida de x . , podemos afirmar que o custo do processo A 
pode ser modelado pela expressão:
66
2
Porcentagem, Expressão Algébrica e Equações
27000 17,90+ x
Já o custo do processo B pode ser modelado da seguinte forma:
31000 15,30+ x
Como o objetivo é encontrar o ponto de equilíbrio entre as opções, vamos criar uma 
igualdade entre as duas expressões:
27000 17,90 31000 15,30+ = +x x
Resolvendo a equação do 1º grau:
27000 17,90 31000 15,30 1 7,90 15,30 31000 27000+ = + → − = −x x x x
2,60 4000=x
4000 1538,46
2,6
= ≅x
Podemos afirmar que o ponto de equilíbrio entre os dois processos é aproximadamente 
1.538 unidades produzidas.
Exemplo 2: um investidor realizou uma aplicação durante os meses de janeiro/2021 a 
março/2021, obtendo uma rentabilidade total durante este prazo de 1,8%. Ao resgatar 
o valor, foi realizada uma nova aplicação durante os meses de abril/2021 e maio/2021, 
com uma rentabilidade total durante este prazo de 2,1%. Ao final desta segunda aplica-
ção, o investidor resgatou o valor total de R$ 2.452,27. Calcule o valor que foi investido 
na primeira aplicação.
Resolução:
A incógnita a ser encontrada é o valor investido na 1ª aplicação; chamaremos este valor 
de x .
Na 1ª aplicação, houve um rendimento total de 1,8% 0,018= . Sendo assim, podemos 
afirmar que o valor x foi multiplicação por 1 0,018 1,018+ = , resultado na expressão:
1,018x
Já na 2ª aplicação houve um rendimento total de 2,1% 0,021= . Portanto, o valor da 
expressão anterior (resultando do rendimento da 1ª aplicação) deverá ser multiplicado 
por 1 0,021 1,021+ = :
1,021 .1 ,018x
2
67Aplicações Matemáticas
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S
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co
Como sabemos que o valor final resgatado é de R$ 2.452,27, podemos igualá-lo à ex-
pressão criada:
1,021 .1 ,018 2452,27=x
Multiplicando os coeficientes 1,021 e 1,018:
1,021 .1 ,018 2452,27 1 ,039378 2452,27= → =x x
Resolvendo a equação do 1º grau, teremos:
1,039378 2452,27=x
2452,27
1,039378
=x
2359,36≅x
Podemos afirmar que o valor investido na 1ª aplicação foi de R$ 2.359,36.
3.3 EQUAÇÕES POLINOMIAIS DO 2º GRAU
Da mesma forma que as equações do 1º grau, as equações polinomiais do 2º grau, 
ou simplesmente equações do 2º grau, são assim classificadas devido ao maior expo-
ente aplicado à incógnita da equação ( )2x , que é escrita da seguinte forma:
2 0 0+ + = ≠ax bx c onde a
São exemplos de equações do 2º grau:
 ` 22 8 10 0− − + =x x , onde 2, 8= − = −a b e 10=c
 ` 24 3 27 0+ − =x x , onde 4=a , 3=b e 27= −c
 ` 216 32 0− =x , onde 16=a , 16=a , 0=b e 32= −c
 ` 28 15 0+ =x x , onde 8=a , 15=b e 0=c
Note que estamos dando destaque à identificação dos valores dos coeficientes , a b e 
c das equações, pois essa tarefa será fundamental para a resolução dessas equações.
Para a resolução de uma equação do 2º grau, podemos utilizar algumas estratégias, 
dentre as quais destacamos a utilização da fórmula de Bhaskara. Por essa fórmula, po-
deremos encontrar a solução de uma equação do 2º grau. Definimos essa fórmula como:
68
2
Porcentagem, Expressão Algébrica e Equações
2 4
2
− ± −
=
b b acx
a
Onde , a b e c são os coeficientes da equação do 2º grau.
A fórmula de Bhaskara também pode ser escrita fazendo uso do discriminante ∆ (lê-se 
delta) da seguinte maneira:
2 4∆ = −b ac
2
− ± ∆
=
bx
a
Observação: em uma equação do 2º grau, pode-se ter até duas possíveis soluções.
Resolvendo uma equação do 2º grau
Vamos iniciar o estudo das estratégias de resolução das equações polinomiais do 2º 
grau a partir das chamadas equações incompletas, aquelas que possuem 0=b ou 
0=c .
Exemplo 1: vamos resolver a equação 26 54 0− =x
Ao analisar a equação podemos identificar que:
6=a 0=b 54= −c
Ou seja, é uma equação do 2º grau incompleta.
Quando temos esse tipo de situação ( )0=b , podemos resolver a equação simples-
mente isolando a incógnita de um dos lados da igualdade. Assim, teremos:
2 26 54 0 6 54− = → =x x
2 254 9
6
= → =x x
9 3= ± → = ±x x
{ }3;3= −S
Observação: note que o expoente quadrado em 2 9=x foi transposto para o outro lado 
da igualdade como raiz quadrada.
2
69Aplicações Matemáticas
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co
Ao chegarmos à solução 3= ±x , concluímos que essa equação tem duas soluções, 
chamadas de 1 3= −x e 2 3=x .
Exemplo 2: resolva a equação 24 19 0− =x
Também temos uma situação em que 0=b . Logo, podemos isolar a incógnita x :
2 24 19 0 4 19− = → =x x
2 19
4
=x
19
4
= ±x
2,18≅ ±x
{ }2,18;2,18= −S
Essa equação também tem duas possíveis soluções, 1 2,18≅ −x e 2 2,18≅x .
Observando as soluções dos exemplos 1 e 2, notamos que ambas respostas trazem 
números com valores absolutos iguais, mas com sinais opostos. Isso ocorre com todas 
as soluções de equações do 2º grau incompletas, onde 0=b .
Exemplo 3: encontre a(s) solução(ões) da equação 26 16 0+ =x
Nesta equação identificamos que o coeficiente 0=b . 
2 26 16 0 6 16+ = → = −x x
2 16
6
= −x
2 16
6
= ± −x
Ao chegarmos neste ponto, precisamos encontrar a raiz quadrada de um número ne-
gativo. Ocorre que as raízes quadradas de números negativos não possuem solução no 
conjunto numérico dos números reais. Logo, indicamos que esta equação não tem solução.
{ } =S
70
2
Porcentagem, Expressão Algébrica e Equações
Pelo fato de haver uma igualdade entre um produto (multiplicação) e o valor “0” como 
resultado da fatoração, para que esta seja verdadeira um dos dois fatores da multiplica-
ção deve ser igual zero. Então teremos:
0=xou 12 0 12+ = → = −x x
{ }0; 12= −s
Podemos afirmar que essa equação possui duas soluções: 1 0=x e 2 12.= −x
Nas equações incompletas, onde 0=c , teremos as seguintes soluções:
1 0=x 2 = −
bx
a
Por fim, chegamos às equações completas do 2º grau, aquelas que possuem todos os 
coeficientes diferentes de zero. Vamos observar os exemplos:
Exemplo 1: resolva a equação 22 4 48 0− + + =x x
Nesta equação, identificamos que:
2 4 48= − = =a b c
A partir desses coeficientes, vamos aplicar a fórmula de Bhaskara na busca pela solução.
Adotamos a seguinte escrita para a fórmula: 
2 4∆ = −b ac
2
− ± ∆
=
bx
a
Iniciamos calculando o valor do ∆ :
Exemplo 4: vamos resolver a equação 2 12 0+ =x x
Ao analisar a equação, podemos identificar que é uma equação do 2º grau incompleta, 
pois 0=c . Neste caso, podemos resolvê-la ao fatorar a equação, colocando o termo 
x em evidência. Assim, teremos:
( ). 12 0+ =x x
2
71Aplicações Matemáticas
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2 4∆ = −b ac
Substituindo os valores dos coeficientes a , b e c :
( )24 4. 2 .48 16 384∆ = − − → ∆ = +
400∆ =
Aplicando a parte final da fórmula de Bhaskara:
( )
4 400 4 20 
2. 2 4
− ± − ±
= → =
− −
x x
A partir da simbologia ± indicamos que existem duas possíveis soluções para a equa-
ção.
1 1
4 20 24 6
4 4
− −
= → = − =
− −
x x
2 2
4 20 16 4
4 4
− +
= → = = −
− −
x x
{ }4;6= −S
Essa equação apresenta duas soluções: 1 6=x e 2 4= −x
Exemplo 2: vamos resolver a equação 23 3 3− + +x x = 0
Observando a equação, percebe-se que é uma equação do 2º grau completa, a qual 
pode ser resolvida por meio da fórmula de Bhaskara. Identificamos os coeficientes da 
equação como 3= −a , 3=b e 3=c . Aplicando a fórmula, teremos:
2 4∆ = −b ac
( )23 4. 3 .3∆ = − −
9 36 45∆ = + =
72
2
Porcentagem, Expressão Algébrica e Equações
( )
3 45 
2 2. 3
− ± ∆ − ±
= → =
−
bx x
a
1
3 45 1,62
6
− −
= ≅
−
x
2
3 45 0,62
6
− +
= ≅ −
−
x
{ }0,62;1,62= −S
Podemos afirmar que essa equação possui duas soluções: 1 1,62=x e 2 0,62= −x .
Exemplo 3: resolva a equação 22 4 2 0− + − =x x .
Aqui temos uma equação do 2º grau completa, na qual observamos os coeficientes 
2= −a , 4=b e 2= −c . Aplicando a fórmula de Bhaskara:
2 4∆ = −b ac
( ) ( )24 4. 2 . 2∆ = − − −
16 16 0∆ = − =
Quando o valor de 0∆ = , significa que a equação tem apenas uma solução, a qual será 
encontrada por: 
0 
2 2
− ± ∆ − ±
= → =
b bx x
a a
2
−
=
bx
a
Resolvendo, teremos:
( )
4 4 1
2. 2 4
= − = − =
− −
x
{ }1=S
2
73Aplicações Matemáticas
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A solução dessa equação é 1=x .
Exemplo 4: resolva a equação 23 4 4 0− − − =x x
Temos aqui uma equação do 2º grau completa com coeficientes 3= −a , 4= −b e 
4= −c .
Aplicando a fórmula de Bhaskara:
( ) ( ) ( )22 4 4 4. 3 . 4∆ = − → ∆ = − − − −b ac
16 48 32∆ = − = −
Quando 0∆ < não é possível encontrar uma solução para a equação nos números 
reais, pois ao substituirmos este valor da fórmula precisaríamos calcular a raiz 
quadrada desse número negativo.
Assim, podemos afirmar que esta equação não possui solução.
{ } = =∅S ou S
Aplicando as equações do 2º grau para a resolução de problemas
Vamos aplicar uma equação do 2º grau para resolver a situação:
Exemplo 1: em um concurso, um prêmio de R$ 1.072.500,00 foi sorteado, com vá-
rios ganhadores. Segundo as regras do concurso, o prêmio seria dividido entre os ga-
nhadores que se apresentassem no prazo estipulado. Ocorre que 4 ganhadores não 
se apresentaram dentro desse prazo, fazendo com que cada ganhador recebesse R$ 
26.000,00 a mais. Descubra quantos ganhadores foram contemplados inicialmente.
Resolução:
Caso todos os ganhadores tivessem comparecido, o prêmio de cada um seria 
1072500
x
. 
Como 4 desses ganhadores não compareceram, o prêmio de cada um foi 
1072500
4−x
.
Como sabemos, com a falta de 4 ganhadores o prêmio de cada um ficou com R$ 26.000,00 
a mais do que o prêmio inicial. Então, podemos escrever:
1072500 107250026000
4
+ =
−x x
Para resolver essa equação, precisamos igualar o denominador do lado esquerdo da 
equação. Utilizaremos como denominador comum x :
74
2
Porcentagem, Expressão Algébrica e Equações
1072500 26000 1072500
4
+
=
−
x
x x
Como temos uma igualdade entre razões (regra de três), podemos solucionar a situa-
ção a partir do produto dos meios e dos extremos:
21072500 26000 4290000 104000 1072500+ − − =x x x x
Observamos que a situação nos leva para uma equação do 2º grau. Para solucioná-la, 
vamos transpor todos os elementos para o lado esquerdo da equação:
21072500 26000 4290000 104000 1072500 0+ − − − =x x x x
Os termos 1072500x e 1072500− x são semelhantes, portanto, podem ser 
associados:
226000 4290000 104000 0− − =x x
Organizando, teremos:
226000 104000 4290000 0− − =x x
Podemos simplificar a equação, dividindo-a por 1000:
226 104 4290 0− − =x x
Como temos uma equação do 2º grau completa, vamos aplicar a fórmula de Bhaskara:
( ) ( )22 4 104 4.26. 4290∆ = − → ∆ = − − −b ac
456976∆ =
( )104 456976 
2 2.26
− − ±− ± ∆
= → =
bx x
a
104 676
52
±
=x
1 15=x
2
75Aplicações Matemáticas
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Sabendo que a área total desse terreno é de 21000 m , calcule a medida do comprimento 
e da largura.
Resolução:
A área de um retângulo pode ser escrita como:
.=A c l
Sendo c o comprimento e l a largura.
Escrevemos do seguinte modo:
( ) ( )2 5 . 3= − +A x x
Como sabemos que o terreno em questão tem 1000,=A podemos substituir na equação:
( )( )2 5 3 1000− + =x x
Analisando a equação, percebemos a necessidade de realizar a distributiva entre os 
termos do lado esquerdo:
22 6 5 15 1000+ − − =x x x
Identificamos uma equação do 2º grau, a qual, para ser resolvida, pode ter todos os 
seus elementos transpostos para o lado esquerdo:
22 6 5 15 1000 0+ − − − =x x x
Os termos em destaque 6x e 5− x são semelhantes, logo, serão associados, assim 
como será feito com os termos 15− e 1000− .
2 11= −x
Como esse problema admite como resposta apenas valores positivos (quantidade de 
ganhadores), podemos afirmar que, inicialmente, houve 15 ganhadores.
Exemplo 2: um terreno retangular tem as medidas de comprimento e largura expressas 
no desenho a seguir:
x + 3
2x - 5
76
2
Porcentagem, Expressão Algébrica e Equações
22 1015 0+ − =x x
Aplicando a fórmula de Bhaskara:
( )2 24 1 4.2. 1015∆ = − → ∆ = − −b ac
8121∆ =
1 8121 
2 2.2
− ± ∆ − ±
= → =
bx x
a
1 90,12
4
− ±
=x
1 22,28=x
2 22,78= −x
Como 2 5= −c x e 3= +l x , admitimos apenas a solução positiva, ou seja, 22,28=x
, chegando aos seguintes valores de comprimento e de largura:
2.22,28 5 39,56= − =c
22,28 3 25,28= + =l
Note que ao calcularmos a área a partir dos valores encontrados como resposta, chega-
mos em 1000,0768=A . Isso ocorre porque realizamos um arredondamento no valor 
da raiz quadrada na fórmula de Bhaskara.
CONCLUSÃO
Chegamos ao fim de mais uma unidade. Tivemos a oportunidade de explorar o conceito 
de Porcentagem a partir dos significados produzidos nos estudos de razão e propor-
ção. Também iniciamos os estudos direcionados à produção da escrita algébrica a partir 
das expressões algébricas, passando por algumas operações e propriedades funda-
mentais para a compreensão deste contexto.
Dando continuidade, direcionamo-nos para o estudo das equações de 1º e 2º grau, 
momento em que pudemos explorar algumas estratégias de resolução, assim como 
conhecer algumas aplicações desses objetos matemáticos.
Para a próxima unidade, daremos continuidade nesses estudos, abordando as inequa-
ções do 1º e 2º graus, função linear e função modular.
2
77Aplicações Matemáticas
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REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS
BOULOS, Paulo. Pré-cálculo. São Paulo: Pearson Education do Brasil, 2004.
LAPA, Nilton. Matemática aplicada: uma abordagem introdutória. São Paulo: Saraiva, 2012. 
MEDEIROS,Valéria Zuma. Pré-cálculo. São Paulo: Pioneira Thomson Learning, 2006. 
MORETTIN, Pedro A.; HAZZAN, Samuel; BUSSAB, Wilton O. Introdução ao cálculo para administração, 
economia e contabilidade. São Paulo: Saraiva, 2009.
MULLER, Franz August; GARCIA, Adriana Martins. Matemática aplicada à negócios. São Paulo: Saraiva, 2009. 
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