exercicios Resolvidos

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CURSO: ENGENHARIA 
 
 
DISCIPLINA: MATEMATICA APLICADA A ENGENHARIA 
 
 
0.1 LISTA DE EXERCICIOS 
 
1. Represente os seguintes vetores no R2. 
 
(a) u = (1, 2). 
 
(b) v = (-3, 4). 
 
 
 
2. Represente os seguintes vetores no R3. 
 
(a) u = (-1, 2, 7). 
 
(b) v = (-3; 1; 4). 
 
 
 
 
 
3. Mostre se os vetores dados são linearmente dependentes (L.D.) ou linearmente independentes (L.I.). 
 
(a) u = (2, 3) e v = (5, 7). 
 
(b) u = (-2, 3) e v = (6, -9). 
 
(c) u = (1, -3, 6) e v = (1, 2, 3). 
 
(d) u = (-2, -3,-10) e v = (4, 6, 20). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
4. Mostre que o RN é um espaço vetorial sobre R. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
5. Mostre que o M2x2(R) (espaço das matrizes de ordem 2 por 2) e um espaço vetorial sobre 
R. 
 
 
 
 
6. Verifique se W é ou não subespaço vetorial. 
 
(a) W = {(x, 1), x € R} ⊂ R². 
 
(b) W = {(-x, 0), x € R} ⊂ R² 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
(c) W = {(x, 0, y, 0), x,y ⊂ R} ⊂ R4. 
 
(d) W é o espaço das funções deriváveis e V o espaço das funções reais, com W ⊂ V . 
 
 
 
(e) W e o espaço das funções integráveis e V o espaço das funções reais, com W ⊂ V . 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
(f) W e o espaço das funções que possuem limites finitos e V o espaço das funções reais, com W⊂ 
V. 
V = ESPAÇO DAS FUNÇÕES REAIS; 
W= ESPAÇO DAS FUNÇÕES QUE POSSUEM LIMITES FINITOS; 
I) f= O € W  
II) sejam f e g € W e ɤ.g(não é uma função que possuem limites finitos pela propriedades das 
funções reais). Portanto, f+ ɤ.g € w ....W não é S.E.V de V 
 
(g) W e o espaço das funções contínuas e V o espaço das funções reais, com W ⊂ V. 
 
V = ESPAÇO DAS FUNÇÕES REAIS; 
W = ESPAÇO DAS FUNÇÕES CONTÍNUAS; 
W ⊂ V 
f= O € W  
sejam f e g € W e ɤ.g( é uma função contínua pela propriedades das funções reais). Portanto, f+ ɤ.g € w ....W é S.E.V de V 
 
7. Mostre se as seguintes operações são ou não produto interno. 
 
(a) <u, v> = u1.v2 + u2.v1, onde u = (u1, u2) e v = (v1, v2). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
(b) <u, v> = u1.v1 - u2.v2, onde u = (u1, u2) e v = (v1, v2). 
 
Mesma coisa da anterior.... 
 
(c) <u, v> = 5u1.v1 + u2.v2, onde u = (u1, u2) e v = (v1, v2). 
Substituir por u=(1,1).... 
 
8. Desde que <u, v> = 2, <u, w> = -3, <v, w> = 5, ||u|| = 1, ||v|| = 2 e ||w|| = 1. calcule, 
 
(a) <u + v, v + w> 
 
 
 
 
 
 
(b) ||u + v + w|| 
 
 
 
 
 
 
 
9. Calcule o ângulo entre os seguintes vetores, 
 
(a) u = (2, 4) e v = (-4, 2). 
 
(b) u = (1, 0) e v = (-1, 0). 
 
(c) u = (1, 1) e v = (0; 1). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
10. Mostre uma base para os seguintes espaços vetoriais. 
 
(a) R4. (b) M3x3(R). (c) P
2
(R) espaço dos polinômios de grau menor ou igual a 2 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
11. O que você entende por base ortogonal e ortonormal? 
Ortogonal Forma ângulo de 90º (“produto interno igual à zero”) 
Ortonormal  Forma ângulos retos e unitários (“o produto interno igual a 1”) 
TODOS OS VETORES ORTONORMAIS SÃO ORTOGONAIS NA QUAL TEMOS 
ANORMA IGUAL A 1. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
12. Calcule os produtos vetoriais. 
 
(a) u = (-2, -1, 1) e v = (4, 6, 0). 
 
(b) u = (1, 1, 0) e v = (1, 5, 0). 
 
(c) u = (0, -1, 1) e v = (0, 5, 0). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
13. Seja u = (1, -1, 2), v = (2, 0, 5), w = (-1, 1,0) e a= (0, 1, 2). Calcule 
 
(a) [ �⃗� , 𝑣 , �⃗⃗� ]. 
 
(b) [2 �⃗� , 𝑣 , �⃗⃗� ]. 
 
(c) [ �⃗� +𝑎 , 𝑣 , �⃗⃗� ]. 
 
(d) [�⃗⃗� , 3�⃗� , 𝑣 ]