VARIABILIDADE_ESTATISTICA

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Índice
Introdução	4
MEDIDAS DE VARIABILIDADE OU DISPERSÃO	5
Amplitude	5
Desvio médio (absoluto)	5
Variância ()	6
Desvio-padrão (S)	7
Coeficiente de Variação (CV)	10
Conclusão	12
Bibliografia	13
I. Introdução 
Um conjunto de dados, de qualquer tamanho, pode ser resumido de acordo com as seguintes medidas: Medidas de tendência central ou posição, Medidas de dispersão ou variabilidade, Medidas de assimetria e Medidas de achatamento ou curtose.
Este trabalho tem por objectivo, compreender as Medidas de dispersão ou variabilidade; identificar as principais medidas de dispersão ou variabilidade; definir, apresentar as formas e exemplos das seguintes medidas de dispersão ou variabilidade: Amplitude (h), Desvio Médio (Dm), Variância (S2), Desvio-Padrão (S) e Coeficiente De Variação (Cv)
Como é sabido, as medidas de posição (média, mediana, moda) descrevem características dos valores numéricos de um conjunto de observações em torno de um “ponto de equilíbrio” dos dados. No entanto, Nenhuma delas informa sobre o grau de variação ou dispersão dos valores observados em relação a média. O estudo deste tema é de extrema importância, pois irá permitir entender com maior profundida, acerca das medidas que caracterizem a dispersão ou variabilidade dos dados, e por conseguinte facilitar na obtenção de resultados fidedignos na análise de um conjunto de dados.
Este trabalho contou com a ajuda de consulta de algumas obras literárias, e a pesquisa na internet. E segue a seguinte organização: introdução, desenvolvimento, conclusão e a bibliografia.
II. MEDIDAS DE DISPERSÃO OU VARIABILIDADE 
I. Medidas de Dispersão
São medidas estatísticas utilizadas para avaliar o grau de variabilidade ou dispersão, dos valores em torno da média, isto é, medem quão próximos uns dos outros estão os valores de um grupo (e algumas mensuram a dispersão dos dados em torno de uma medida de posição). www.usp.br» aula-impressao
Servem para medir a representatividade da média
· Amplitude (h)
· Desvio Médio (Dm)
· Variância (S2)
· Desvio-Padrão (S)
· Coeficiente De Variação (Cv)
2. 1. Amplitude
A mais simples das medidas de dispersão é a amplitude, anotada por “h”, e definida como sendo a diferença entre os valores extremos do conjunto, isto é: h = xmax – xmin, (www.mat.ufrgs.br» apostilas).
Exemplo:
A amplitude do conjunto: 5, 4, 3, 8, 10, vale: h = xmax - xmin = 10 - 3 = 7.
2.2. Desvio médio (absoluto)
A amplitude é uma medida simples e fácil de calcular. Tem a virtude de dar uma idéia da variabilidade do conjunto. No entanto ela não leva em consideração todos os valores do conjunto como seria desejável.
Assim prefere-se, em geral, trabalhar com medidas que utilizam toda a informação disponível. Uma destas medidas é o desvio médio absoluto ou simplesmente desvio médio. O desvio médio é representado por “Dm” e definido como sendo “a média das distâncias que os valores do conjunto se encontram da média”, (www.Unitins.br» documento).
Dm = [ |x1 - x| + |x2 - x| + ... + |xn - x| ] / n = 
Exemplo:
Calcular o desvio medio do conjunto: -7 4 0 3 8 10
A média é x = (-7 + 4 + 0 + 3 + 8 + 10) / 6 = 18/6 = 3
Então o desvio médio será:
Dm = [|-7 - 3| + |4 - 3| + |0 - 3| + |3 - 3| + |8 - 3| + |10 - 3|] / 6 = (10 + 1 + 3 + 0 + 5 + 7) / 6 =
26/6 = 4,33
2.3. Variância ()
O desvio médio apesar de intuitivamente fácil de interpretar e simples de calcular não é muito utilizado em Estatística. O que de fato é a medida de dispersão usual é a variância e principalmente sua raiz quadrada que é denominada de desvio padrão. A variância é anotada por e definida como sendo, “a média dos quadrados dos desvios em relação a média aritmética.” Por desvio entende-se a diferença entre um valor do conjunto e a média.
 = [(x1 - x)2 + (x2 - x)2 + ... + (xn - x)2] / n
 Se os dados referem-se a uma população usa-se n no denominador da expressão.
amostral
Onde, Representa cada elemento do conjunto de dados, É a média do conjunto e Representa o número de elementos do conjunto.
2.4. Desvio-padrão (S)
O desvio padrão, denotado por s, é a raiz quadrada da VARIANCIA e, tem a característica de não possuir o resultado elevado ao quadrado.
 ou 
Quando a amostra é pequena deve calcular-se a variância e o desvio padrão corrigidos. A única diferença é que se divide por (n-1) em vez de dividir por n.
Por exemplo, a variância corrigida é: 
Desvio padrão amostral (representado pela letra s) indica uma medida de dispersão dos dados em torno da média amostral.
O desvio padrão é a medida de dispersão mais utilizada porque aponta de forma mais precisa a dispersão dos valores em relação à média aritmética (NAZARETH, 2003). 
Exemplo 1:
Para exemplificar o cálculo do desvio padrão para dados não agrupados, considere a série de valores a seguir: -7 4 0 3 8 10
A média é X = (-7 + 4 + 0 + 3 + 8 + 10) / 6 
X= 18/6 
X= 3
Então variância será:
 
E o desvio padrão: , S = 5,54
Exemplo 2:
18, 22, 15, 17, 19, 21, 16
· Inicialmente, precisa encontrar a média dessa série, que é 18,2.
· Depois, precisa encontrar, para cada elemento, a diferença do seu valor e a média.
Para facilitar o processo, cria-se uma tabela contendo duas colunas, uma para o valor de Xi, e outra para o valor de Xi-X, conforme pode ser visto no quadro 1.
Quadro 1: Valor para Xi e Xi-X
A partir dos valores da tabela, calculamos , que é igual a 0,36. Assim, aplicando a fórmula do desvio padrão, teríamos o seguinte:
O desvio padrão de uma série será sempre um valor positivo, e quanto maior esse valor, maior será a dispersão entre os elementos. Quando nos deparamos com dados agrupados, o valor das frequências também precisa ser levado em consideração para o cálculo do desvio padrão.
Assim sendo, a fórmula para o cálculo do desvio padrão para dados agrupados é a seguinte:
O processo para encontrar o desvio padrão para dados agrupados com intervalos de classe é semelhante ao anterior, sendo apenas necessário encontrar o ponto médio de cada uma das classes antes de calcular o produto de e de . Assim realiza-se a multiplicação do ponto médio de cada classe com a sua respectiva frequência ao invés do valor exato da variável.
Para exemplificar o cálculo do desvio padrão, vamos considerar os dados da variável idade no quadro 2.
	Idade 
	Fi
	
	07
	
	13
	
	21
	
	10
	
	04
De modo similar, construiremos uma tabela para apresentar os valores de para cada uma das classes da variável idade, conforme pode ser observado no quadro 3.
Quadro 3: Valores correspondentes a 
Ao aplicar a fórmula com os dados obtidos na tabela, teríamos o seguinte:
, Logo S = 10, 92.
· Um baixo desvio padrão indica que os pontos dos dados tendem a estar próximos da média ou do valor esperado.
· Um alto desvio padrão indica que os pontos dos dados estão espalhados por uma ampla gama de valores.
Segundo Crespo (2002), o desvio padrão possui algumas propriedades que permitem introduzir, no cálculo do desvio padrão, simplificações úteis. Entre as propriedades existentes, destacam-se:
· Somando-se (ou subtraindo-se) uma constante a (de) todos os valores de uma variável, o desvio padrão permanecerá o mesmo;
· Multiplicando-se todos os valores de uma variável por uma constante (diferente de zero), o desvio padrão ficará multiplicado por essa constante.
2.5. Coeficiente de Variação (CV)
Medida relativa de dispersão útil para a comparação em termos relativos do grau de concentração em torno da média de séries distintas:
O coeficiente de variação é expresso em porcentagem:
 Onde, S é o desvio-padrão e é a média
Exemplo 1: 
Para exemplificar, suponha que o acesso médio de homens em um mês em um sítio web é de 3.500, com desvio padrão de 900; e das mulheres é em média 2.700, com desvio padrão de 1.100. Então:
Para os homens: 
Para as mulheres: 
Exemplo 2: Calcular a variância relativa e o coeficiente de variação do conjunto:
-7 4 0 3 8 10
A média é X = (-7 + 4 + 0 + 3 + 8 + 10) / 6 = 18/6 = 3
Então variância será:
E o coeficiente de variação será: 
Assim concluí-se que os acessos das mulheres apresentam maior dispersão relativa do que os dos homens.
Naprática, considera-se que um coeficiente de variância superior a 50% indica alto grau de dispersão e, por consequência, baixa representatividade da média. Por outro lado, quanto menor for o valor de seu coeficiente de variância, mais representativa é a média (MARTINS; DONAIRE, 2004, p. 164).
1. Conclusão 
É dado como término o presente trabalho de pesquisa bibliográfica, com o tema Medidas de dispersão ou variabilidade, no qual constatou-se que as Medidas de dispersão ou variabilidade são medidas utilizadas para identificar o grau de dispersão entre os elementos de um conjunto. 
As principais medidas de dispersão ou variabilidade identificadas são: Amplitude, variância, desvio padrão e coeficiente de variação.
Observou-se que a amplitude é definida pela diferença entre o maior e o menor valor analisado em uma variável. E a variância é encontrada a partir dos desvios em torno da média aritmética.
Em relação ao desvio padrão constatou-se que é a medida de dispersão mais utilizada porque aponta de forma mais precisa a dispersão dos valores em relação à média aritmética.
O coeficiente de variação é uma medida relativa de dispersão. É útil quando se deseja comparar em termos relativos o grau de concentração em torno da média de séries distintas.
2. Bibliografia 
1. MARTINS, Gilberto de A.; DONAIRE, Denis. Princípios da estatística: 900 exercícios resolvidos e propostos. São Paulo: Atlas 2004.
2. NAZARETH, Helenalda. Curso básico de estatística. São Paulo: Ática, 2003.
3. SOARES, J.F.; FARIAS, A.A.; CESAR, C.C. Introdução à estatística. Rio de Janeiro: Guanabara Koogan S.A., 1991.
4. www.usp.br» aula-impressao
5. www.mat.ufrgs.br» apostilas.
6. www.Unitins.br» documento.