PROBLEMAS PROPOSTOS QUANTIDADE DE MOVIMENTO, ESCOAMENTO VISCOSO EM DUTOS

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Mecânica dos Fluidos 
 
PUCRS C-60 
1.11 PROBLEMAS PROPOSTOS – QUANTIDADE DE MOVIMENTO 
 
[ 1 ] Utilizando as equações da quantidade de movimento determine a força 
horizontal e vertical exercida sobre a superfície mostrada na figura. A 
velocidade do jato de água e igual a 15m/s. Considere o jato como sendo com 
diâmetro de 100mm. O ângulo da placa é de 600 
 
R:: Rx=883,57 N Ry= 1530,39 N 
 
 
[ 2 ] Considere uma tubulação que escoa água com a curva mostrada na 
figura. O ângulo em relação ao plano horizontal é igual a 400. Os diâmetro da 
tubulação é D1=100mm e o diâmetro do bocal na saída é D2=30mm. Considere um fluxo de massa igual 15,29 Kg/s e pressão relativa em (1) igual 
a p1=232 kPa. 
Determine a forças resultantes (Rx e Ry) sobre o flange. 
R:: Rx=2105,25 N Ry=-212,60 N 
 
 
[ 3] O jato de água de 6 cm de diâmetro atinge uma placa contendo um 
orifício de 4cm de diâmetro. Parte do jato atravessa pelo orifício, e parte é 
defletida. 
 
Determine a força horizontal necessária para conter a placa. 
R: 981,75N 
 
 
[ 4 ] A figura mostra o escoamento de água na qual a 
tubulação apresenta uma redução de seção. 
Na seção (1) o diâmetro D1=8cm e a velocidade V1=5m/s. Na seção (2) o diâmetro D2=5cm e a pressão é igual a p2=patm=101,32kPa. Nestas condições do escoamento o manômetro de coluna 
de mercúrio apresenta uma altura de h=58cm. (a) 
Determine a pressão relativa na seção (1) ( b ) Determine 
a força total que os flanges resistem. ρágua=1000 kg/m3 ; 
ρHg=13600 kg/m3 (a) 71,7 KPa (b) Rx=164,4 N. 
V1=5m/s
(1)
(2)
D1=8cm
x
y
P2=Patmágua D2=5cm
h=58cm
mercúrio
V1=5m/s
(1)
(2)
D1=8cm
x
y
x
y
P2=Patmágua D2=5cm
h=58cm
mercúrio 
[5 ] A figura mostra um bocal convergente montado numa 
linha de uma tubulação industrial. Os manômetros 
instalados antes e após o bocal apresentam as pressões 
indicadas na figura. Determine a forca Rx que deve ser exercida pelos tubos adjacentes para suportar o bocal 
convergente. Considere que o fluido e gasolina com 
massa especifica igual a 680 kg/m3. 
 
Anexo C: Problemas Resolvidos e Propostos 
 
Jorge A. Villar Alé C-61 
[ 7 ] No sistema representado na figura escoa água em regime permanente (ρ=1000 kg/m3). Determinar a força resultante no eixo-y 
(Ry) considerando que a velocidade V1=10m/s sendo o diâmetro da lamina de fluido homogênea e igual a 30mm. O ângulo da placa inclinada é igual a 450. 
 
 [ 8 ] Determinar a força de reação no sistema apresentado na figura no qual escoa água (ρ=1000 kg/m3 ) numa tubulação de 
400mm de diâmetro com velocidade media igual a 5 m/s. A água sai a pressão atmosférica em forma de jato devido a placa plana 
com diâmetro de 100 mm. Obs. Sistema em regime permanente e propriedades uniformes na entrada (1) e saída (2) do fluido. 
 [ 9 ] Uma bomba de jato de água tem área de Aj=0,01m2 e uma velocidade Vj=30m/s. O jato fica dentro de uma corrente secundaria de água com velocidade V1=3,0m/s. A área total do duto e A2=0,075m2. A água e eficazmente misturada e deixa a bomba com uma corrente uniforme na seção 2. Na entrada da bomba as pressões do jato e da corrente secundaria são iguais. Determine a 
velocidade na seção de saída. Massa especifica da água 1000 kg/m3 
 ‘ 
[ 10 ] Num Venturi escoa água conforme mostrado a figura. O manômetro de mercúrio indica uma altura H=20cm. Considere d1 = 2d2 = 16cm. A diferença de pressão entre os pontos 1 e 2 é 24,72kPa. Desconsiderar a perda de carga. Calcular o fluxo de massa no sistema. Obs: água 1000kg/m3 mercúrio 13600kg/m3. 
 
 
Mecânica dos Fluidos 
 
PUCRS C-62 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
EEXXEEMMPPLLOOSS 
 
EESSCCOOAAMMEENNTTOO VVIISSCCOOSSOO IINNTTEERRNNOO 
Anexo C: Problemas Resolvidos e Propostos 
 
Jorge A. Villar Alé C-63 
1.12 PROBLEMAS RESOLVIDOS – Escoamento Viscoso em Dutos (Cap.6 e Cap.7) 
 
[ 1 ] Numa tubulação horizontal escoa água através com uma vazão de 0,1m3/s. O diâmetro da tubulação é igual a 150mm. O fator 
de atrito da tubulação é igual a 0,0149. A 200C a água tem uma massa específica igual a 999 kg/m3 e viscosidade dinâmica igual a 
1,0x10-3 Pa.s. Para um comprimento de tubulação de 10 metros determinar a variação de pressão na tubulação e a tensão de 
cisalhamento na parede. R: ∆P=16 kPa τW = 60 N/m2. 
 
[2] Determinar a perda de carga numa tubulação de 150mm de diâmetro e 30 metros de comprimento na qual escoa glicerina com 
uma velocidade media igual a 4,0 m/s. A glicerina esta a uma temperatura de 25oC e com o qual a massa especifica é igual a 1258 
kg/m3 e a viscosidade dinâmica igual a 9,6x10-1 Pa.s Determine (a) a perda de carga da tubulação. (b) o gradiente de pressão da 
tubulação. (c) Tensão de cisalhamento na parede da tubulação. (d) A eq. para graficar o perfil de velocidades. (e) O valor da 
velocidade para r = R/2. R: (a) hL=13,3 m (b) 5,4 kPa/m (c) τW = 204 N/m2. (d) V=6,0m/s 
 
[ 3 ] Petróleo bruto escoa através de um trecho horizontal do oleoduto do Alasca, numa vazão de 1,6 milhão de barris por dia 
(1barril=42galões). O tubo é de ferro galvanizado diâmetro interno igual a 48 pol. A rugosidade do tubo é de 0,1464mm. A pressão 
máxima permitida na saída da bomba é de 1200 psi. A pressão mínima requerida para manter os gases dissolvidos em solução é 
50psi. O petróleo a temperatura de bombeamento tem densidade igual a 0,93 e viscosidade cinemática igual 1,179x10-6 m2/s. Para 
tais condições determine o espaçamento máximo possível entre as estações de bombeamento. Se a eficiência da bomba é 85%, 
determine potência que deve ser fornecida em cada estação de bombeamento. R: 27,4MW 
 [4 ] As cabeças borrifadoras num sistema agrícola devem ser supridas com água através de 500 pés de tubo de PVC utilizando 
uma bomba acionada por motor de combustão interna. Na sua faixa de operação de maior eficiência, a vazão de descarga da 
bomba é de 1500 gpm a uma pressão não superior a 65psig. Para uma operação satisfatória, os borrifadores devem trabalhar a 
30psig ou mais. As perdas localizadas e as variações de elevação podem ser desprezadas. Determine o diâmetro do tubo padrão 
que pode ser empregado. Obs. Considere água a 200C. 
 
 
 
 
[5] Numa planta de processamento químico, deve transportar-se benceno a 
500C (d=0,86, µ=4,2x10-4 Pa.s) de uma ponto A até um outro ponto B com 
uma pressão de 550kPa. Antes do ponto A esta instalada uma bomba. Com 
relação à horizontal, o ponto A esta 21 metros abaixo do ponto B. O ponto A 
esta conectado ao ponto B por uma tubulação de pvc nova com diâmetro 
interno igual a 50mm. Determinar a pressão requerida na saída da bomba 
considerando que o benzeno deve ser transportado com uma vazão de 110 
litros/min. 
Obs. Considere que a perda de carga na tubulação igual a 3,91m. 
R: 760kPa. 
 
 
 
 
 
Mecânica dos Fluidos 
 
PUCRS C-64 
[6] A figura mostra o escoamento de água na qual a tubulação apresenta uma redução de seção. Na seção (1) o diâmetro D1=8cm e a velocidade V1=5m/s. Na seção (2) o diâmetro D2=5cm e a pressão é igual a p2=patm=101,32kPa. Nestas condições do escoamento o manômetro de coluna de mercúrio apresenta uma altura de h=58cm. 
( a ) Aplicando as relações de manométrica determine a pressão relativa na seção (1). 
( b ) Aplicando a Eq. de Energia determine a perda de carga entre (1) e (2) 
( c ) Aplicando a equação da quantidade de movimento determine a força total que os flanges resistem. 
ρágua=1000 kg/m3 ; ρHg=13600 kg/m3 
V1=5m/s
(1)
(2)
D1=8cm
x
y
P2=Patmágua D2=5cm
h=58cm
mercúrio
V1=5m/s
(1)
(2)
D1=8cm
x
y
x
y
P2=Patmágua D2=5cm
h=58cm
mercúrio [7] Óleo escoa com uma vazão de 0,2m3/s por um tubo de ferro fundido de 500m de comprimento e 200mm de diâmetro o qual 
apresenta um rugosidade ε=0,26mm. Nestas condições, no diagrama de Moody se obtém um fator de atrito igual a 0,0225. (a) 
Determine a perda de carga na tubulação. (b) Determine a queda de pressão se o tubo temum ângulo de declive de 100 no sentido 
do escoamento. ρ=900 kg/m3 ν=0,00001 m2/s. 
 
 [8] No sistema mostrado escoa água em regime permanente de A para B. 
Na saída (ponto B) a pressão é igual a pressão atmosférica (101,32 kPa) 
Determinar (em A) qual a pressão relativa e pressão absoluta para que o 
fluido escoe com uma vazão 12 litros/segundo. A perda de carga do 
sistema é igual a 12 metros de coluna de fluido (hL=12m). A diferença de altura entre o nível do fluido no reservatório e a saída do 
fluido na tubulação é igual a 15m. O diâmetro da tubulação é igual a 50mm. 
 
 
[ 9 ] Água flui de um reservatório através de uma tubulação com 
750mm de diâmetro para uma unidade geradora (turbina) e sai 
para um rio que localizado a 30 metros abaixo da superfície do 
reservatório. A vazão e igual a 2,0 m3/s. A perda de carga da 
tubulação e acessórios e igual a 27,29m. 
 
• Determine a potencia da maquina considerando um 
rendimento global de 88%.. 
 
Obs: massa especifica da água 1000 kg/m3 
 
 
 
[ 10 ] Numa tubulação de 150mm de diâmetro e 30 metros de comprimento escoa um fluido com velocidade media igual a 4,0 m/s. 
Determine a perda de carga da tubulação. Obs. Considere a massa especifica igual a 1258 kg/m3 e a viscosidade dinâmica igual a 
9,6x10-1 Pa.s. 
 
[ 11 ] Dois reservatórios são conectados por 100m de tubulação retilínea com 
diâmetro de 50mm e rugosidade relativa igual a 0,002. Ambos reservatórios estão 
abertos á atmosfera. 
 
Determine a perda de carga na tubulação para uma vazão de 15 m3/h. 
 
A massa especifica do fluido é igual a 780 kg/m3 e a viscosidade dinâmica igual a 
1,7x10-3 Pa.s. 
 
Anexo C: Problemas Resolvidos e Propostos 
 
Jorge A. Villar Alé C-65 
[ 12 ] Determinar a diferença de pressão (em kPa) ao longo de uma tubulação de aço de 150mm de diâmetro e comprimento igual a 
10m e rugosidade relativa igual a 0,002 no qual escoa água a 20oC com uma vazão de 0,1 m3/s. Qual será a perda de carga na 
tubulação em metros de coluna de água. Determinar a tensão de cisalhamento. 
Obs. considere para água a 200C a densidade igual a 0,999 e viscosidade dinâmica igual a 1,0x10-3 kg/m.s. 
 
 
[13] Uma experiência de laboratório foi realizada na 
disciplina para determinar a perda de carga entre os pontos 
A e B distantes 150cm numa tubulação de 7mm de diâmetro. 
Determinar a perda de carga entre os pontos A e B em 
função da leitura manométrica do sistema apresentado na 
figura abaixo. 
(Densidade do mercúrio 13,6. Massa especifica da água 
1000 kg/m3). 
 
 
[ 14 ] Determine a perda de pressão (Pa) e o coeficiente de perda de 
carga num laminador de fluxo instalado num duto de 50 cm de 
diâmetro no qual escoa ar a 200C com ρ=1,2 kg/m3 µ=1,8x10-5 Pa.s. 
O laminador e formado por tubos lisos de 30 cm de comprimento e 4 
mm diâmetro. 
 
 
 
 [ 15 ] Água e bombeada entre dois reservatórios abertos para a atmosfera 
a uma vazão de 5,6 litros/s, numa tubulação de 122m de comprimento e 
50mm de diâmetro. A rugosidade relativa e igual a 0,001 sendo que o 
coeficiente de atrito da tubulação igual a 0,0216. Considere Z1=6,1m e Z2=36,6m sendo (1) a superfície livre do reservatório de aspiração (antes da bomba) e (2) a superfície livre do reservatório de recalque (após a bomba). 
Calcule a potência requerida pela bomba em Watts considerando um 
rendimento global de 70%. O somatório de todos os coeficientes de perda 
de carga dos acessórios e igual a Σk=13,2. 
Obs. ρ=1000 kg/m3 ν=1,02x10-6 m2/s. ] 
 
Z1=6,1m
Z2=36,6m 
 
 
 
[ 16 ] Numa tubulação horizontal escoa água através com uma vazão de 0,1m3/s. O diâmetro da tubulação é igual a 150mm. 
Considere que para a temperatura de 200C a água tem uma massa específica igual a 999kg/m3 e viscosidade dinâmica igual a 
1,0x10-3 Pa.s. Para um comprimento de tubulação de 1000 metros determinar (a) a variação de pressão na tubulação.(b) a potencia 
de acionamento da bomba. 
 
 
Mecânica dos Fluidos 
 
PUCRS C-66 
Solução: Exemplo 1 
 [ 1 ] Numa tubulação horizontal escoa água através com uma vazão de 0,2m3/s. O diâmetro da tubulação é igual a 150mm. O fator 
de atrito da tubulação é igual a 0,0149. Considere que para a temperatura de 200C a água tem uma massa específica igual a 999 
kg/m3 e viscosidade dinâmica igual a 1,0x10-3 Pa.s. Para um comprimento de tubulação de 10 metros determinar a variação de 
pressão na tubulação e a tensão de cisalhamento na parede. 
 
1. Pela Eq. continuidade determinamos a velocidade que é igual a 5,66m/s. 
 
2. Para determinar a variação de pressão na tubulação utilizamos a Eq. da energia: 
 
B
BB
LA
AA z
g
u
g
p
hz
g
u
g
p
++=−++
22
22
ρρ
 
 
como a tubulação é horizontal (z1=z2) e do mesmo diâmetro (v1=v2) 
L
BA h
g
p
g
p
=−
ρρ
 
 
onde a perda de carga é dada por: 
 
( )
mca
x
xx
g
v
D
L
fhL 62,181,92
66,5
15,0
10
0149,0
2
22
=== 
 
kPaxxghpp LBA 88,1581,999962,1 ≡==− ρ 
 
Desta forma a tensão de cisalhamento na parede é dada como: 
 
2
6006,0
10
88,15
4
15,0
4 m
N
kPax
L
pD
w ===
∆=τ 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Anexo C: Problemas Resolvidos e Propostos 
 
Jorge A. Villar Alé C-67 
Solução: Exemplo 2 
[ 2 ] Determinar a perda de carga numa tubulação de 150mm de diâmetro e 30 metros de comprimento na qual escoa glicerina com 
uma velocidade media igual a 4,0 m/s. A glicerina esta a uma temperatura de 25oC e com o qual a massa especifica é igual a 1258 
kg/m3 e a viscosidade dinâmica igual a 9,6x10-1 Pa.s Determine (a) Perda de carga da tubulação. (b) Determine o gradiente de 
pressão da tubulação. (c) Tensão de cisalhamento na parede da tubulação. (d) A equação apropriada para graficar o perfil de 
velocidades. (e) O valor da velocidade para r = R/2. 
 
D=150mm L=30m V=4,0m/s 
T=25oC µ=9,6x10-1 ρ=1258 kg/m3 
 
Perda de carga da tubulação. 
 
Determinamos o Número de Reynolds 
ar LaEscoamento
x
xxVD
min - 786
106,9
15,00,41258
Re
1
≅==
−ν
 
 
Para escoamento laminar a perda de carga é dada por: 
 
g
v
D
L
hL 2Re
64 2
= ( ) mca
x
x
g
v
D
L
hL 28,1381,92
4
15,0
30
786
64
2Re
64 22
=== 
 
Determine o gradiente de pressão da tubulação. 
 
A variação de pressão 
kPaxxghp L 16381,9125828,13 ≅==∆ ρ 
O gradiente de pressão 
 
m
kPa
m
kPa
L
p
4,5
30
163 ==∆ 
 
Tensão de cisalhamento na parede da tubulação 
 
8Re
64
24
22 vvf
W ρρτ == desta forma 

≅=
2
2
204
8
4
1258
786
64
m
N
xWτ 
 
A equação apropriada para graficar o perfil de velocidades. 
 


 

−=
2
max 1 R
r
uu 
com umax=2umedio = 2x4m/s=8m/s 
 


 

−=
2
10,8
R
r
u 
O valor da velocidade para r = R/2. 

 

−=
2
2
1
10,8u =6m/s 
Mecânica dos Fluidos 
 
PUCRS C-68 
Solução: Exemplo 3 
[ 3 ] Petróleo bruto escoa através de um trecho horizontal do oleoduto do Alasca, numa vazão de 1,6 milhão de barris por dia 
(1barril=42galões). O tubo é de ferro galvanizado diâmetro interno igual a 48 pol. A rugosidade do tubo é de 0,1464mm. A pressão 
máxima permitida na saída da bomba é de 1200 psi. A pressão mínima requerida para manter os gases dissolvidos em solução é 
50psi. O petróleo a temperatura de bombeamento tem densidade igual a 0,93 e viscosidade cinemática igual 1,97x10-5m2/s. Para 
tais condições determine o espaçamento máximo possível entre as estações de bombeamento. Se a eficiência da bomba é 85%, 
determine potência que deve ser fornecida em cada estação de bombeamento. 
 
 Escoamento numa tubulação: comprimento desconhecido 
 
Dados: 
Q=1,6 milhões de barris dia 
100kPa = 14,5psi. ou 1psi ≅ 6,897kPa 
P1=1200 psi. (275,86kPa) P2=50 psi. (344,83 kPa) 
Ferro galvanizado ε=0,1464mm 
D=48 pol ( 1220mm) 
DR=0,93 oú ρ=930 kg/m3 
ν=1,97x10-5 m2/s. 
η=85% 
 
dia
barris
xQ 6106,1= 01 barril = 42 galões 
min
67,46666
6024
42106,1 6 gal
x
xx
Q == 
 
Conversão 01 galão/min = 6,309x10-5 m3/s 
s
m
xxQ
3
5 94,210309,667,46666 == − 
Aplicamos a Eq. de Energia entreo ponto 1 e o ponto 2. 
2
2
22
1
2
11
22
z
g
u
g
p
Hhz
g
u
g
p
AL ++=+−++ ρρ
 
Simplificações 
• Não existem equipamento adicionado ou retirando energia entre o ponto 1 e 2 portanto HR=0 e HA=0 
• A tubulação apresenta o mesmo diâmetro portanto v1=v2. 
• Como os pontos estão na mesma altura z1=0 e z2=0. 
Com tais simplificações se tem: 
( )
g
P
g
pp
hL ρρ
∆=−= 21 
 
o valor limite da perda a de carga é dada por: 
 
( )
fluidocm
x
x
hL ..32,86981,9930
100083,34486,8275
=
−
= (neste caso de Petróleo bruto) 
g
V
D
L
fhL 2
2
= 
 
Com tal equação podemos explicitar o comprimento da tubulação 
Anexo C: Problemas Resolvidos e Propostos 
 
Jorge A. Villar Alé C-69 
 
2
2
V
g
f
D
hL L= onde 
2
9,0Re
74,5
7,3
/
log25,0
−


 

 += Df ε 
 
ε/D= 0,1464mm/1220mm=0,00012 
 
ν
VD
=Re a velocidade media smx
D
Q
A
Q
V /51,2
22,1
94,244
22
≅===
ππ
 
 
 
5
5
1055,1
1097,1
22,151,2
Re x
x
xVD
≅==
−ν
 
 
 
01722,0
)1055,1(
74,5
7,3
00012,0
log25,0
2
9,05
=






 +=
−
x
f 
km
x
V
g
f
D
hL L 8,191
51,2
81,92
01722,0
22,1
32,869
2
22
≅== 
 
A bomba deverá fornecer (adicionar) no ponto 1 uma energia equivalente a perda de carga 
HA=hL=869,32m 
A potência teórica adicionada pela bomba ao fluido pode ser determinada como: 
gQHP AA ρ= 
onde ρ é a massa específica do fluido e Q a vazão. 
 
A eficiência da bomba é definida como a relação entre o potencial adicionado pela bomba ao fluido e a potência subministrada à 
bomba (potência motriz). 
bomba a para fornecida Potência
fluido ao bomba pela adicionada Potência
Bomba=η 
Desta forma a potência fornecida para a bomba: 
G
A
motriz
gQH
P
η
ρ
= 
kW
xxx
Pmotriz 2,2743285,0
94,281,993032,869
== 
Mecânica dos Fluidos 
 
PUCRS C-70 
Solução: Exemplo 4 
[ 4 ] As cabeças borrifadoras num sistema agrícola devem ser supridas com água através de 500 pés de tubo de PVC utilizando 
uma bomba acionada por motor de combustão interna. Na sua faixa de operação de maior eficiência, a vazão de descarga da 
bomba é de 1500 gpm a uma pressão não superior a 65psig. Para uma operação satisfatória, os borrifadores devem trabalhar a 
30psig ou mais. As perdas localizadas e as variações de elevação podem ser desprezadas. Determine o diâmetro do tubo padrão 
que pode ser empregado. 
 
Escoamento num Sistema de Irrigação: Diâmetro desconhecido 
 
Dados: Q=1500 gpm (95 lts/s) L=152m Tubo de PVC ε=0,015mm 
Fluido: água a 200C Tabela: ρ=998 kg/m3 ν=1,02x10-6 m2/s. 
100kPa = 14,5psi. ou 1psi ≅ 6,897kPa 
P1<= 65psig. (448,16 kPa) P2 >= 30 psig (206,85 kPa) 
 
2
2
22
1
2
11
22
z
g
u
g
p
Hhz
g
u
g
p
AL ++=+−++ ρρ
 
 
Simplificações 
• Não existem equipamento adicionado ou retirando energia entre o ponto 1 e 2 portanto HR=0 e HA=0 
• A tubulação apresenta o mesmo diâmetro portanto v1=v2. 
• Como os pontos estão na mesma altura z1=0 e z2=0. 
Com tais simplificações se tem: 
( )
g
P
g
pp
hL ρρ
∆=−= 21 
 
Assumindo os valores extremos estamos considerando ∆Pamx 
( )
aguacm
x
x
hL ..6,2481,91000
100085,20616,448
=
−
= 
 
g
V
D
L
fhL 2
2
= 
 
Igualando os termos 
g
V
D
L
fP
2
2
ρ=∆ (Pa) 
 
Para trabalhar com o diâmetro substituímos a velocidade pela vazão (V=Q/A): 
 
5
2
25
2
24
2
2
2
2
18816
2
4
2 D
Q
D
L
f
D
Q
D
L
f
D
Q
D
L
f
D
Q
D
L
fP 

===

=∆
π
ρ
π
ρ
π
ρ
π
ρ 
 
Substituindo Q = 0,095 m3/s ν=1,02x10-6 m2/s ρ=998 kg/m3 L=152m 
Anexo C: Problemas Resolvidos e Propostos 
 
Jorge A. Villar Alé C-71 
5
715,1109
D
f
P =∆ 
D
QD
D
QVD 144
Re
2


=

==
πννπν
 . Substituindo os dados 
 
D
04,118586
Re= 
 
Procedimento Iterativo. 
 
1. Admitimos um valor para o diâmetro. Por exemplo Eq. de Bresse. ( D=Q0,5) 
2. Determinamos o Re. 
3. Com Re e e/D determinamos o fator de atrito f 
4. Com D e F obtemos a variação de pressão 
5. Se ∆Pcal. ≅ ∆Pmax significa que o diâmetro assumido é adequado. 
6. Se ∆Pcal. < ∆Pmax significa que podemos diminuir o diâmetro e recalcular 
7. Se ∆Pcal. > ∆Pamx significa que devemos aumentar o diâmetro e recalcular. 
 
Diâmetro (mm) ε/D Re f ∆Pcal. (Pa) 
308 0,000487 3,85x105 0,01435 57 kPa < (241,31 kPa) 
150 0,001 8x105 0,01378 201,31 kPa 
Continuar 
 
Quando o diâmetro não corresponde ao diâmetro comercial do tubo devemos recalcular e verificar os dados. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Mecânica dos Fluidos 
 
PUCRS C-72 
Solução: Exemplo 5 
[5] Numa planta de processamento químico, deve transportar-se 
benzeno a 500C (d=0,86, µ=4,2x10-4 Pa.s) de uma ponto A até um 
outro ponto B com uma pressão de 550kPa. Antes do ponto A está 
instalada uma bomba. Com relação à horizontal, o ponto A esta 21 
metros abaixo do ponto B. O ponto A esta conectado ao ponto B 
por uma tubulação de pvc nova com diâmetro interno igual a 
50mm. Determinar a pressão requerida na saída da bomba 
considerando que o benzeno deve ser transportado com uma 
vazão de 110 litros/min. Obs. Considere que a perda de carga na 
tubulação igual a 3,91m. 
Resposta: 760kPa. 
 
 
Dados: Fluido Benzeno d=0,86 T=500C µ=4,2x10-4 Pa.s 
 PB=550kPa. D=50mm (A=0,001964m2) Q=110 l/min. ( 0,001834 m3/s) Solução: 
Aplicamos a Eq. de Energia entre o ponto A e B. 
 BBBLTRADAAA zg
u
g
p
hHHz
g
u
g
p
++=−−+++
22
22
ρρ
 
 
Simplificações: 
� Como a bomba esta antes do ponto A HAD=0 . Não existe turbinas retirando energia do sistema (HR=0) 
� Como não existe perda de carga localizada (hLacc=0) hLT= hL 
� Como a tubulação entre A e B não muda de diâmetro, pela continuidade AA=AB e portanto vA=vB. 
� Tomando como eixo de referencia o nível do ponto A: ( ZB - ZA) =21m 
B
B
LTA
A z
g
p
hz
g
p
+=−+
ρρ
 
 
reorganizando os termos, e explicitando a pressão em A: 
 
( ) LTABBA hzzg
p
g
p
+−+= 
ρρ
 
Devemos determinar a perda de carga da tubulação 
g
V
D
L
fhL 2
2
= 
 
Considerando: velocidade: v=Q/A =0,934 m/s 93,0
001964,0
0,001834
===
A
Q
v 
 
Reynolds: 
µ
ρ DV
=Re 9563
4-4,2x10
005,0934,0860
Re ≈=
xx (escoamento turbulento) 
 
com ε/D=0 - tubo liso no Diagrama de Moody achamos f=0,018. 
 
( )
m
x
xx
g
V
D
L
fhL 81,381,92
93,0
05,0
240
018,0
2
22
=== 
fluidocm
x
x
g
pA ..9081,312 
81,9860
1000550
=++=
ρ
 
 
kPaxxpA 30,75981,986090 == 
Anexo C: Problemas Resolvidos e Propostos 
 
Jorge A. Villar Alé C-73 
Solução: Exemplo 6 
[6] A figura mostra o escoamento de água na qual a tubulação apresenta uma redução de seção. Na seção (1) o diâmetro D1=8cm e a velocidade V1=5m/s. Na seção (2) o diâmetro D2=5cm e a pressão é igual a p2=patm=101,32kPa. Nestas condições do escoamento o manômetro de coluna de mercúrio apresenta uma altura de h=58cm. 
( a ) Aplicando as relações de manométrica determine a pressão relativa na seção (1). 
( b ) Aplicando a Eq. de Energia determine a perda de carga entre (1) e (2) 
( c ) Aplicando a equação da quantidade de movimento determine a força total que os flanges resistem. 
ρágua=1000 kg/m3 ; ρHg=13600 kg/m3 
V1=5m/s
(1)
(2)
D1=8cm
x
y
P2=Patmágua D2=5cm
h=58cm
mercúrio
V1=5m/s
(1)
(2)
D1=8cm
x
y
x
y
P2=Patmágua D2=5cm
h=58cm
mercúrio Aplicando Eq. de Manometria: 
 
 kPaxxghP aMR 7,7158,081,9)100013600()(1 =−=−= ρρ (Relativa) 
 
Aplicando Eq. de Energia. 
 
 m
xx
x
g
vv
g
pp
hL 23,007,73,781,92
8,125
81,91000
10007,71
2
222
2
2
121 =−=


 −+

=


 −+

 −=
ρ
 
 
Aplicando Eq. da Quantidade de movimento. 
 
 NxxvvmApRx 1,163)58,12(12,251000005,07,71)( 1211 =−−=−−= & 
 
 
Solução: Exemplo 7 
[7] Óleo escoa com uma vazão de 0,2m3/s por um tubo de ferro fundido de 500m de comprimento e 200mm de diâmetro o qual 
apresenta um rugosidade ε=0,26mm. Nestas condições, no diagramade Moody se obtém um fator de atrito igual a 0,0225. (a) 
Determine a perda de carga na tubulação. (b) Determine a queda de pressão se o tubo tem um ângulo de declive de 100 no sentido 
do escoamento. ρ=900 kg/m3 ν=0,00001 m2/s. 
 
m
gg
V
D
L
fhL 1162
37,6
2,0
500
0225,0
2
22
=== 
 
Continuar: R: ∆P=265Pa. 
 
 
 
 
Mecânica dos Fluidos 
 
PUCRS C-74 
Solução: Exemplo 8 
 
 [8] No sistema mostrado escoa água em regime permanente de A para B. 
Na saída (ponto B) a pressão é igual a pressão atmosférica (101,32 kPa) 
Determinar (em A) qual a pressão relativa e pressão absoluta para que o 
fluido escoe com uma vazão 12 litros/segundo. A perda de carga do 
sistema é igual a 12 metros de coluna de fluido (hL=12m). A diferença de altura entre o nível do fluido no reservatório e a saída do 
fluido na tubulação é igual a 15m. O diâmetro da tubulação é igual a 50mm. 
 
Dados 
Q=12 l/s=0,012m3/s hL=12 m.c.f. PB= 101,33kPa. (Pressão Atm. padrão) ZB – ZA= 15m D=50mm Com a vazão podemos determinar a velocidade na tubulação: 
 
( ) smxD
Q
v /12,6
00196,0
012,0
4
05,0
012,0
4
22
===



= ππ 
 
A Eq. de energia aplicada entre os pontos A e B, fazendo não tendo máquinas adicionado (bombas) o extraindo (turbinas) energia. 
B
BB
LA
AA z
g
u
g
p
hz
g
u
g
p
++=−++
22
22
ρρ
 
 
Considerando a velocidade em A muito pequena comparada com a velocidade na tubulação, fazemos desprezível o termo de 
energia cinética da mesma. 
B
BB
LA
A z
g
u
g
p
hz
g
p
++=−+
2
2
ρρ
 
 
Utilizando nesta expressão a pressão relativa, em B temos que PB=0. Desta forma a pressão relativa em A é dada como: 
( ) LABBA hzzg
u
g
p
+−+=
2
2
ρ
 
 
considerando a massa especifica do fluido ρ=1000kgm/3 
 
( ) m
xg
pA 90,2812159,11215
81,92
12,6 2
=++=++=
ρ
 
 
em unidades de pressão, a pressão relativa em A é dada como: 
 
kPaxxpA 6,28390,2881,91000 == 
A pressão absoluta pA= pA(Rel) + pAtm = 283,6 + 101,33 =385 kPa. 
 
 
 
 
 
 
 
Anexo C: Problemas Resolvidos e Propostos 
 
Jorge A. Villar Alé C-75 
Solução: Exemplo 9 
 
[ 9 ] Água flui de um reservatório através de uma 
tubulação com 750mm de diâmetro para uma unidade 
geradora (turbina) e sai para um rio que localizado a 30 
metros abaixo da superfície do reservatório. A vazão e 
igual a 2,0 m3/s. A perda de carga da tubulação e 
acessórios e igual a 27,29m. 
 
• Determine a potencia da maquina 
considerando um rendimento global de 88%.. 
 
Obs: massa especifica da água 1000 kg/m3 
 
 
 
B
BB
ALA
AA z
g
u
g
p
Hhz
g
u
g
p
++=+−++
22
22
ρρ
 
 
ABLA zzhH −+= 
mH A 80,575,3029,27 =+= 
Watts
xxxQgH
W A 4536
7,0
0056,080,5781,91000
===
η
ρ
& 
 
Solução: Exemplo 10 
 
[ 10 ] Numa tubulação de 150mm de diâmetro e 30 metros de comprimento escoa um fluido com velocidade media igual a 4,0 m/s. 
Determine a perda de carga da tubulação. Obs. Considere a massa especifica igual a 1258 kg/m3 e a viscosidade dinâmica igual a 
9,6x10-1 Pa.s. 
 
Perda de carga da tubulação. 
Número de Reynolds 
ar LaEscoamento
x
xxVD
min - 786
106,9
15,00,41258
Re
1
≅==
−ν
 
Para escoamento laminar a perda de carga é dada por: 
g
v
D
L
hL 2Re
64 2
= ( ) mca
x
x
g
v
D
L
hL 28,1381,92
4
15,0
30
786
64
2Re
64 22
=== 
 
 
 
 
 
 
Mecânica dos Fluidos 
 
PUCRS C-76 
Solução: Exemplo 11 
 
[ 11 ] Dois reservatórios são conectados por 100m de tubulação retilínea com 
diâmetro de 50mm e rugosidade relativa igual a 0,002. Ambos reservatórios estão 
abertos á atmosfera. 
 
Determine a perda de carga na tubulação para uma vazão de 15 m3/h. 
 
A massa especifica do fluido é igual a 780 kg/m3 e a viscosidade dinâmica igual a 
1,7x10-3 Pa.s. 
 
s
m
x
x
D
Q
V 12,2
05,0
3600
15
4
4
22
===
ππ
 635.48
107,1
05,012,2780
Re
3
===
−x
xxVD
µ
ρ (turbulento) 
 
( ) 0268,048635
74,5
7,3
002,0
log25,0
2
9,0
=






 +=
−
f 
 
m
x
x
g
V
D
L
fhL 28,1281,92
12,2
05,0
100
0268,0
2
22
=== 
 
 
Solução: Exemplo 12 
 
[ 12 ] Determinar a diferença de pressão (em kPa) ao longo de uma tubulação de aço de 150mm de diâmetro e comprimento igual a 
10m e rugosidade relativa igual a 0,002 no qual escoa água a 20oC com uma vazão de 0,1 m3/s. Qual será a perda de carga na 
tubulação em metros de coluna de água. Determinar a tensão de cisalhamento. 
Obs. considere para água a 200C a densidade igual a 0,999 e viscosidade dinâmica igual a 1,0x10-3 kg/m.s. 
 
A variação de pressão ma tubulação é dada pela Eq. de energia. 
 
B
BB
LA
AA z
g
u
g
p
hz
g
u
g
p
++=−++
22
22
ρρ
 
 
como a tubulação é horizontal e do mesmo diâmetro 
 
L
BA h
g
p
g
p
=−
ρρ
 
 
( )
mca
x
xx
g
v
D
L
fhL 62,181,92
66,5
15,0
10
0149,0
2
22
=== 
 
kPaxxghpp LBA 88,1581,999962,1 ≡==− ρ 
a tensão de cisalhamento na parede é dada como: 
 
2
6006,0
10
88,15
4
15,0
4 m
N
kPax
L
pD
w ===
∆=τ 
 
Respostas ∆P=15,88 kPa τW=60 N/m2 
Anexo C: Problemas Resolvidos e Propostos 
 
Jorge A. Villar Alé C-77 
Solução: Exemplo 13 
[ 13 ] Uma experiência de laboratório foi realizada na 
disciplina para determinar a perda de carga entre os pontos 
A e B distantes 150cm numa tubulação de 7mm de diâmetro. 
Determinar a perda de carga entre os pontos A e B em 
função da leitura manométrica do sistema apresentado na 
figura abaixo. 
(Densidade do mercúrio 13,6. Massa especifica da água 
1000 kg/m3). 
 
B
BB
LA
AA z
g
u
g
p
hz
g
u
g
p
++=−++
22
22
ρρ
 
Tubulação é horizontal e do mesmo diâmetro: 
g
p
g
p
h BAL ρρ
−= 
Aplicando Eqs. de manometria obtemos: 
 
 BxaguaHgxaguaA phhgghghp =−−−+ )(ρρρ 
 
BaguaHgA pghghp =+− ρρ 
 ( )ghpp aguaHgBA ρρ −=− 
 ( ) kPaxpp BA 74,4581,910001360037,0 =−=− 
 
m
mx
x
g
pp
h BAL 66,48191000
100074,45
==
−
=
ρ
 
 
 
Solução: Exemplo 14 
[ 14 ] Determine a perda de pressão (Pa) e o coeficiente de perda de 
carga num laminador de fluxo instalado num duto de 50 cm de 
diâmetro no qual escoa ar a 200C com ρ=1,2 kg/m3 µ=1,8x10-5 Pa.s. 
O laminador e formado por tubos lisos de 30 cm de comprimento e 4 
mm diâmetro. 
 
 
ar LaEscoamento
x
xxVD
min - 1600
108,1
00040,62,1
Re
5
≅==
−µ
ρ 
Para escoamento laminar a perda de carga é dada por: 
 
g
v
D
L
hL 2Re
64 2
= ( ) mca
x
x
g
v
D
L
hL 91,481,92
6
004,0
3,0
1600
64
2Re
64 22
=== 
 
LghP ρ=∆ PaxxP 8,5791,481,92,1 ==∆ 
g
v
khL 2
2
= 67,2
6
91,481,922
22
===
xx
V
gh
k L 
 
 
Mecânica dos Fluidos 
 
PUCRS C-78 
Solução: Exemplo 15 
 [ 15 ] Água e bombeada entre dois reservatórios abertos para a atmosfera 
a uma vazão de 5,6 litros/s, numa tubulação de 122m de comprimento e 
50mm de diâmetro. A rugosidade relativa e igual a 0,001 sendo que o 
coeficiente de atrito da tubulação igual a 0,0216. Considere Z1=6,1m e Z2=36,6m sendo (1) a superfície livre do reservatório de aspiração (antes da bomba) e (2) a superfície livre do reservatório de recalque (após a bomba). 
Calcule a potência requerida pela bomba em Watts considerando um 
rendimento global de 70%. O somatório de todos os coeficientes de perda 
de carga dos acessórios e igual a Σk=13,2. 
Obs. ρ=1000 kg/m3 ν=1,02x10-6 m2/s. ] 
 
Z1=6,1m
Z2=36,6m 
 
 
B
BB
ALA
AA z
g
u
g
p
Hhz
g
u
g
p
++=+−++
22
22
ρρ
 
 
ABLA zzhH −+= 
( )
m
xg
V
D
L
fhL 82,2181,92
85,2
05,0
122
0216,0
2
22
=== 
( )
m
xg
V
Khac 46,581,92
85,2
2,13
2
22
===∑ 
 
mH A 80,575,3029,27 =+= WattsxxxQgHW A 45367,0
0056,080,5781,91000
===
η
ρ
& 
 
Solução: Exemplo 16 
[ 16 ] Numa tubulação horizontal escoa água através com uma vazão de 0,1m3/s. O diâmetro da tubulação é igual a 150mm. 
Considere que para a temperatura de 200C a água tem uma massa específica igual a 999kg/m3 e viscosidade dinâmica igual a 
1,0x10-3Pa.s. Para um comprimento de tubulação de 1000 metros determinar (a) a variação de pressão na tubulação.(b) a potencia 
de acionamento da bomba. 
 
B
BB
LA
AA z
g
u
g
p
hz
g
u
g
p
++=−++
22
22
ρρ
 
 
Como a tubulação é horizontal e do mesmo diâmetro 
 
L
BA h
g
p
g
p
=−
ρρ
 onde: 00,151.848
100,1
15,099966,5
Re
3
===
−x
xxVD
ν
 Turbulento. 
 
Da apostila, utilizando a Eq. para tubos lisos com Re > 105 
 
012,0)108(5,0056,0 32,05 =+= −xf 
 
( )
mca
x
xx
g
v
D
L
fhL 62,13081,92
66,5
15,0
1000
012,0
2
22
=== 
 
kPaxxghpp LBA 128081,999962,130 ≡==− ρ kWxW 1281,01280 ==&