Aula 6 - Aplicação das derivadas e Regra de L'Hospital(1)

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Profa. Me. Alessandra Azzolini 
 
 
 
CÁLCULO APLICADO – UMA VARIÁVEL 
 
 
 
 
 
Aula 6 
APLICAÇÃO DAS DERIVADAS 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Profa. Me. Alessandra Azzolini 
 
 
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Profa. Me. Alessandra Azzolini 
 
Aplicação das derivadas na física 
 
Apresentaremos apenas as aplicações que julgamos mais comuns e a velocidade que é a 
derivada do espaço em relação ao tempo 
, 
onde v é a velocidade e s a posição. Na sequência, a aceleração que é a derivada da velocidade 
em relação ao tempo 
, 
onde a é a aceleração. Assim se temos a equação que descreve a posição de uma determinada 
partícula, conseguimos obter a equação da velocidade e da aceleração. 
Exemplo 1 
 A velocidade como derivada 
 Um objeto em movimento obedece à função horária 𝑠 = 𝑓(𝑡) = 𝑡2 + 2𝑡 (t em segundos 
e s em metros). 
 Determinar sua velocidade no instante t0 = 1s. 
Resolução: 
A velocidade no instante t0 = 1s será igual a derivada da função horária 𝑠 = 𝑓(𝑡). 
𝑠 = 𝑓(𝑡) = 𝑡2 + 2𝑡 
• Cálculo de 𝑓′(𝑡) = 2𝑡 + 2 
• Cálculo de 𝑓′(1) 
𝑓′(1) = 4 
Portanto, a velocidade no instante t0 = 1s, v(1) será 4 m/s. 
 
A aceleração como derivada 
A aceleração no instante t0 = 1s será igual á derivada da função horária 𝑠 = 𝑓(𝑡). 
• Cálculo de 𝑓′′(𝑡) 
𝑎 = 𝑓′′(𝑡) = 2 
• Cálculo de 𝑓′′(1) 
𝑓′′(1) = 2 
Portanto, a aceleração no instante t0 = 1s, a(1) será 2 m/s². 
 
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Exemplo 2 
Um objeto em movimento obedece à função horária 𝑠 = 𝑓(𝑡) = 5𝑡3 + 10𝑡² − 6. Determine a 
distância após 2 horas, a velocidade e a aceleração após 3 horas. 
 distância após 2 horas 
𝒔 = 𝑓(2) = 5(2)3 + 10(2)² − 6 
𝑠 = 𝑓(𝑡) = 74 𝑘𝑚 
 a velocidade após 3 horas 
 𝒗 = 𝑓′(𝑡) = 15𝑡2 + 20𝑡 
 𝒗 = 𝑓′(3) = 15(3)2 + 20(3) 
 𝒗 = 𝑓′(3) = 195 𝑘𝑚/ℎ 
 aceleração após 3 horas 
 𝒂 = 𝑓′′(𝑡) = 30𝑡 + 20 
 𝒂 = 𝑓′′(3) = 30.3 + 20 
 𝒂 = 𝑓′′(3) = 110 𝑘𝑚/ℎ² 
Exercícios 
1. O movimento de um objeto ocorre ao longo de uma reta horizontal, de acordo com a 
função horária: 𝑠 = 𝑓(𝑡) = 𝑡2 + 3𝑡 − 3. Sabendo-se que a unidade de comprimento é o 
metro e de tempo, o segundo, calcule a velocidade no instante t0 = 2s. 
𝑣 = 𝑓′(𝑡) = 2𝑡 + 3 
𝑣 = 𝑓′(2) = 2.2 + 3 
𝑣 = 𝑓′(2) = 7 𝑚/𝑠 
 
2. Dada a função horária de um movimento retilíneo 𝑠 = 𝑓(𝑡) = 2𝑡2 − 𝑡, determine a 
distância em km percorrida e a velocidade em km/h ao fim de 5h. 
𝑠 = 𝑓(5) = 2.52 − 5 
𝑠 = 𝑓(5) = 45 𝑘𝑚 
 
𝑣 = 𝑓′(𝑡) = 4𝑡 − 1 
𝑣 = 𝑓′(5) = 4.5 − 1 
𝑣 = 𝑓′(5) = 19 𝑘𝑚/ℎ 
 
3. Determine a aceleração de uma partícula no instante t0 = 5, sabendo que sua velocidade 
obedece à função 𝑣(𝑡) = 2𝑡2 + 3𝑡 (Velocidade: m/s; tempo:s) 
𝑎 = 𝑣′(𝑡) = 4𝑡 + 3 
𝑎 = 𝑣′(5) = 4.5 + 3 
𝑎 = 𝑣′(5) = 23 𝑚/𝑠² 
 
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Máximos e Mínimos de uma função: teste da primeira derivada 
Grosseiramente podemos dizer que os pontos de Máximos e Mínimos de uma função são os 
pontos de picos e de depressões da função. Veja o gráfico: 
 
Observando o gráfico podemos identificar que os pontos f(a) e f(b) são pontos de máximo 
local e f(0) é ponto de mínimo local. 
Ainda mais, podemos dizer que o ponto f(b) é um máximo absoluto e f(0) é ponto de mínimo 
absoluto, pois f(b) é o maior valor de f e f(0) é o menor valor de f : 
 . 
Mas como encontrar estes pontos em uma função qualquer que não se conheça o gráfico? 
Observamos que nos pontos de máximos e de mínimos de uma função com intervalos 
infinitos encontram-se os pontos críticos (pontos de inflexão). 
Assim, quando derivamos e igualamos a zero, encontram-se estes pontos, . 
O Estudo do sinal da função consiste em avaliar o comportamento da função ao longo do 
domínio, ou seja, descrever onde ela é crescente, decrescente e os pontos de inflexão. 
Para realizar este estudo utilizamos os conhecimentos de derivada, uma vez que a derivada 
descreve a inclinação da reta tangente. Assim, quando tem-se: 
• , a inclinação é positiva então a função é crescente. 
• , a inclinação é negativa então a função é decrescente. 
• , a inclinação é nula então a função está nos pontos de inflexão. 
 
 
 
 
 
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Vejamos um exemplo: 
Dada a função 𝑓(𝑥) = 2𝑥3 −
3
2
𝑥2 − 3𝑥 + 1, faça o estudo da função. 
 
Primeiramente deve-se derivar a função f(x). Como se trata de um polinômio pode-se aplicar 
a derivada da potência em cada termo, onde obtém-se: 
 𝑓′(𝑥) = 2.3𝑥2 −
3
2
. 2𝑥1 − 3.1 + 0 
 
𝑓′(𝑥) = 6𝑥² − 3𝑥 − 3 
 
Iniciamos encontrando os pontos de inflexão, pontos onde a derivada é igual a zero, ou seja, 
onde a inclinação da reta tangente é nula. 𝑓′(𝑥) = 0 
6𝑥2 − 3𝑥 − 3 = 0 
Como se trata de uma equação do segundo grau pode-se encontrar as raízes aplicando 
a fórmula de Bháskara, onde encontram-se as raízes: 
x' = 1 e x” =−
1
2
 
 
Isto quer dizer que os pontos 𝑥 = 1 e 𝑥 = −
1
2
 a função f(x) não é crescente nem decrescente. 
Começamos com o caso onde a função é crescente (𝑓′(𝑥) > 0) 
De forma análoga, pode-se encontrar onde ela é decrescente, : 
Observa-se no gráfico o comportamento da função conforme acabamos de encontrar. 
 
O ponto de máximo local em e mínimo local em . 
 
 
http://www.dicasdecalculo.com.br/conteudos/derivadas/propriedades-das-derivadas/
http://www.dicasdecalculo.com.br/formula-de-bhaskara/
 
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Máximos e Mínimos de uma função: teste da segunda derivada 
Análise da concavidade de uma função 
Apresenta-se como realizar a Análise da concavidade de uma função, ou seja, determinar 
em que parte do domínio a função possui a concavidade voltada para cima e/ou para baixo. 
Para isto a função deve ser duas vezes derivável em um intervalo aberto (a,b) e deve-
se verificar as seguintes situações: 
1) Se em (a,b), então a concavidade está voltada para cima; 
2) Se em (a,b), então a concavidade está voltada para baixo; 
3) Se em (a,b), então este é um ponto de inflexão. 
 
Observação: nem todo ponto de inflexão é um ponto de máximo ou mínimo, sempre faça o 
estudo do sinal da função antes e depois dos pontos encontrados, pois o sinal deve mudar. 
Veja o exemplo da função para o domínio , na qual 
e onde encontramos , porém esta função é monótona crescente (sempre 
crescente), não havendo troca de sinal em 0. Logo, não há pontos de máximos e de mínimos. 
 
Obs: quando temos uma função f continua em um intervalo fechado, [a,b], então tem-se 
pontos de máximos ou mínimos locais em a e b, mas não necessariamente máximos ou 
mínimos absolutos. 
 
1º) Calculamos 𝑓′(𝑥) 
2º) Calculamos os números críticos 𝑥𝑖 𝑑𝑒 𝑓
′(𝑥) = 0 
3º) Calculamos 𝑓′′(𝑥), nela substituindo os números críticos. 
4º) aplicando o teste da derivada segunda: 
 
 
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Exemplo 1: 
Determine os intervalos abertos nos quais f(x) têm a concavidade para cima e para baixo: 
𝑎) 𝒇(𝒙) = 𝟐𝒙𝟑 − 𝟔𝒙𝟐 + 𝟏 
1º) Calculamos 𝑓′(𝑥) 
𝒇′(𝒙) = 𝟔𝒙2 − 𝟏𝟐𝒙 
2º) Calculamos os números críticos 𝑥𝑖 𝑑𝑒 𝒇′(𝒙) = 𝟎 
𝟔𝒙2 − 𝟏𝟐𝒙 = 𝟎 
𝟔𝒙(𝒙 − 𝟐) = 𝟎 
𝟔𝒙 = 𝟎 𝒙 − 𝟐 = 𝟎 
𝒙 = 𝟎 𝒐𝒖 𝒙 = 𝟐 
3º) Calculamos 𝑓′′(𝑥), nela substituindo os números críticos. 
𝒇′′(𝒙) = 𝟏𝟐𝒙 − 𝟏𝟐 
4º) aplicando o teste da derivada segunda: 
Como 𝑓′′(0) 𝑒 𝑓′′(2) são diferentes de zero, existem extremos locais. 
𝒇′′(𝟎) = −𝟏𝟐 
𝒇′′(𝟐) = 𝟏𝟐 
𝑥 = 0 é 𝑝𝑜𝑛𝑡𝑜 𝑑𝑒 𝑚á𝑥𝑖𝑚𝑜 𝑟𝑒𝑙𝑎𝑡𝑖𝑣𝑜 
𝑥 = 2 é 𝑝𝑜𝑛𝑡𝑜 𝑑𝑒 𝑚𝑖𝑛𝑖𝑚𝑜 𝑟𝑒𝑙𝑎𝑡𝑖𝑣𝑜 
Exemplo 2: 
Encontre os pontos de máximos e mínimos da função dada: 
 com . 
Sabemos que f é diferenciável por ser uma função polinomial, assim pode-se derivar e 
encontrar os pontos críticos da função da seguinte forma: 
1º) Calculamos 𝑓′(𝑥) 
𝑓′(𝑥) = 2𝑥 − 2 
2º) Calculamos os números críticos 𝑥𝑖 𝑑𝑒 𝑓
′(𝑥) = 0 
2𝑥 − 2 = 0 
2𝑥 = 2 
𝑥 =
2
2
 
𝑥 = 18 
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Calculando os pontos críticos: onde encontramos em x =1 . Estudando o sinal antes e depois 
do ponto crítico tem-se: 
3º) Calculamos 𝑓′′(𝑥), nela substituindo os números críticos. 
𝑓′′(𝑥) = 2 
4º) aplicando o teste da derivada segunda: 
Como 𝑓′′(1) são diferentes de zero, existem extremos locais. 
𝑓′′(1) = 2 
 
𝑥 = 1 é 𝑝𝑜𝑛𝑡𝑜 𝑑𝑒 𝑚𝑖𝑛𝑖𝑚𝑜 𝑟𝑒𝑙𝑎𝑡𝑖𝑣𝑜 
Exemplo 3: 
Suponha que o número de bactérias em uma cultura no instante t é dada 
por . Ache o maior e o menor número de bactérias durante o 
intervalo de tempo . 
 
Este exemplo possui domínio fechado. Assim, no cálculo dos máximos e mínimos devemos 
observar, além dos pontos críticos, os pontos extremos do domínio. 
Iniciamos encontrando os possíveis pontos críticos a partir da primeira derivada e igualando 
a zero, na derivação devemos utilizar a derivada do produto: 
 , 
 . 
Em seguida, deve-se igualar a zero, : 
 
 
 
 . 
Por fim, deve-se calcular o número de bactérias nos extremos e no ponto crítico. Para assim 
concluirmos quais são os pontos de máximo e mínimo dentro do intervalo adotado: 
 ; 
 ; 
 . 
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Portanto, temos como o menor número de bactérias 125000 e como o maior número de 
bactérias 161787,94 no intervalo indicado. O gráfico do número de bactérias em função do 
tempo é o seguinte: 
 
Aplicação da Teoria dos Máximos e Mínimos na Resolução de Problema 
Exemplo 1 
Dentre os retângulos de 16 cm de perímetro, qual o de maior área? 
Resolução 
1º) Determinamos a função principal: 
A função principal é a área do retângulo, pois a grandeza área vem acompanhada da expressão maior. 
Sejam x e y os lados de um retângulo. 
A área do retângulo em função de x e y será 
𝑨(𝒙, 𝒚) = 𝒙𝒚 ( 1 ) 
 
2º) Escrevemos a função principal só dependendo de uma variável. 
𝟐𝒑 = 𝟐𝒙 + 2y = 16 
𝒑 = 𝒙 + y = 8 
y = 8 - x 
O outro dado do problema, 16 cm de perímetro servirá para fazer com que a função principal tenha uma só 
variável ou só x ou y. 
O perímetro do retângulo é dado por 2p = 2x + 2y => y = 8 -x ( 2 ) 
Substituindo (2) em (1), vem: 
𝑨(𝒙) = 𝒙𝒚 
 
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𝑨(𝒙) = 𝒙(𝟖 − 𝒙) 
𝑨(𝒙) = 𝟖𝒙 − 𝒙² 
𝑨(𝒙) = −𝒙2 + 𝟖𝒙 
3º) Calculamos os pontos críticos de 𝑨(𝒙): 
𝑨′(𝒙) = −𝟐𝒙 + 𝟖 
−𝟐𝒙 + 𝟖 = 𝟎 
𝒙 = 𝟒 
𝒙 = 𝟒 é 𝒐 ú𝒏𝒊𝒄𝒐 𝒑𝒐𝒏𝒕𝒐 𝒄𝒓í𝒕𝒕𝒊𝒄𝒐 𝒅𝒆 𝑨(𝒙). 
 
4º) Calculamos 𝑨′′(𝒙) 
𝑨′′(𝒙) = −𝟐 
𝑨′′(4) = −𝟐 
5º) Conclusão 
y = 8 - x 
y = 8 – 4 
y = 4 
𝑨(4) = −𝟐, 𝒎á𝒙𝒊𝒎𝒐 
O retângulo de maior área é dado por 
𝑨(4) = −𝟐, 𝒊𝒔𝒕𝒐 é, 𝒖𝒎 𝒒𝒖𝒂𝒅𝒓𝒂𝒅𝒐 𝒅𝒆 𝒍𝒂𝒅𝒐 𝒄𝒐𝒎 𝟒 𝒄𝒎. 
 
 
Exemplo 2 
Um exercício em que se utiliza o conhecimento de Máximos e Mínimos de uma função. 
Usando uma folha quadrada de cartolina, de lado 30cm, deseja-se construir uma caixa sem 
tampa, cortando seus cantos em quadrados iguais e dobrado convenientemente a parte 
restante. Determinar o lado dos quadrados que devem ser cortados de modo que o volume 
da caixa seja o maior possível. 
Iniciamos a resolução fazendo um esboço do problema: 
 
 
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onde y é o lado dos quadrados a serem cortados e x a medida resultante após o corte. Assim, 
tem-se: 
 . 
Após basta cortar os cantos e dobrá-los para obter uma caixa da seguinte forma: 
 
onde o volume é calculado como: 
 . 
Substituindo tem-se: 
 . 
Sabe-se que os máximos e mínimos são encontrados nos pontos críticos, ou seja, onde o 
coeficiente angular da reta tangente é igual a zero. 
Assim, para obter os pontos onde este coeficiente seja igual a zero, deve-se derivar a equação 
é igualar a zero, . Em seguida, encontram-se os valores destes pontos: 
 
 . 
Aplicando a Fórmula de Bhaskara obtém-se: 
 
 , 
o que nos dá e . 
Porém, o valor de não pode ser admitido, visto que teríamos um valor 
de . 
Resposta: devem ser cortados quadrados de lados de . 
 
 
 
 
 
 
 
 
http://www.dicasdecalculo.com.br/formula-de-bhaskara/
 
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Exercícios 
1. Determine o(s) ponto(s) crítico(s) da função dada: 
𝑎) 𝑓(𝑥) = 𝑥2 − 2𝑥 + 1 
𝑓′(𝑥) = 2𝑥 − 2 
2𝑥 − 2 = 0 
𝑥 = 1 
𝑏) 𝑓(𝑥) = 𝑥3 − 3𝑥2 + 5 
𝑓′(𝑥) = 3𝑥2 − 6𝑥 
3𝑥2 − 6𝑥 = 0 
𝑥 = 0 𝑜𝑢 𝑥 = 2 
 
𝑐) 𝑓(𝑥) = 𝑥4 + 3 
𝑓′(𝑥) = 4𝑥³ 
4𝑥3 = 0 
𝑥 = 0 
 
𝑑) 𝑓(𝑥) = 𝑥4 − 8𝑥3 
𝑓′(𝑥) = 4𝑥³ − 24𝑥² 
4𝑥3 − 24𝑥2 = 0 
4𝑥2(𝑥 − 6) = 0 
𝑥 = 0 𝑜𝑢 𝑥 = 6 
 
 
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2. Determine os pontos de máximos relativo e de mínimo relativo das funções, se existirem: 
1º) Calculamos 𝑓′(𝑥) 
2º) Calculamos os números críticos 𝑥𝑖 𝑑𝑒 𝑓
′(𝑥) = 0 
3º) Calculamos 𝑓′′(𝑥), nela substituindo os números críticos. 
4º) aplicando o teste da derivada segunda 
𝑎) 𝑓(𝑥) = 𝑥2 − 6𝑥 + 8 
1º) 𝑓′(𝑥) = 2𝑥 − 6 
2º) 2𝑥 − 6 = 0 
2𝑥 = 6 
𝑥 =
6
2
 
𝑥 = 3 
3º) 𝑓′′(𝑥) = 2 
4º) 𝑓′′(3) = 2 
𝑥 = 3, 𝑝𝑜𝑛𝑡𝑜 𝑑𝑒 𝑚í𝑛𝑖𝑚𝑜 𝑟𝑒𝑙𝑎𝑡𝑖𝑣𝑜 
𝑏) 𝑓(𝑥) = 𝑥3 − 6𝑥2 + 9𝑥 − 17 
1º) 𝑓′(𝑥) = 3𝑥2 − 12𝑥 + 9 
2º) 3𝑥2 − 12𝑥 + 9 = 0 
 𝑥2 − 4𝑥 + 3 = 0 
 𝑥 = 1 𝑜𝑢 𝑥 = 3 
 
3º) 𝑓′′(𝑥) = 6𝑥 − 12 
4º) 𝑓′′(1) = −6 
 𝑓′′(3) = 6 
 𝑥 = 1 é 𝑝𝑜𝑛𝑡𝑜 𝑑𝑒 𝑚á𝑥𝑖𝑚𝑜 𝑟𝑒𝑙𝑎𝑡𝑖𝑣𝑜 
 𝑥 = 3 é 𝑝𝑜𝑛𝑡𝑜 𝑑𝑒 𝑚í𝑛𝑖𝑚𝑜 𝑟𝑒𝑙𝑎𝑡𝑖𝑣𝑜 
 
𝑐) 𝑓(𝑥) = −𝑥3 + 3𝑥2 − 1 
𝑓′(𝑥) = −3𝑥2 + 6𝑥 
−3𝑥2 + 6𝑥 = 0 
 
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 𝑥 = 0 𝑜𝑢 𝑥 = 2 
𝑓′′(𝑥) = − 6𝑥 + 6 
𝑓′′(0) = 6 
𝑓′′(2) = −6 
 𝑥 = 0 é 𝑝𝑜𝑛𝑡𝑜 𝑑𝑒 𝑚𝑖𝑛𝑖𝑚𝑜 𝑟𝑒𝑙𝑎𝑡𝑖𝑣𝑜 
 𝑥 = 2 é 𝑝𝑜𝑛𝑡𝑜 𝑑𝑒 𝑚á𝑥𝑖𝑚𝑜 𝑟𝑒𝑙𝑎𝑡𝑖𝑣𝑜 
 
𝑑) 𝑓(𝑥) = 2𝑥3 − 12𝑥2 + 24𝑥 + 5 
𝑓′(𝑥) = 6𝑥2 − 24𝑥 + 24 
6𝑥2 − 24𝑥 + 24 = 0 
𝑥2 − 4𝑥 + 4 = 0 
𝑥 = 2 
𝑓′′(𝑥) = 12𝑥 − 24 
𝑓′′(2) = 0 
 
𝑥 = 2 é 𝑝𝑜𝑛𝑡𝑜 𝑑𝑒 𝑖𝑛𝑓𝑙𝑒𝑥ã𝑜 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Regra de L’Hospital 
Apresenta-se uma forma prática de resolver limites indeterminados utilizando derivadas, 
isto é através da Regra de L’Hospital. 
Entretanto, para utilizar estas regras temos que ter as indeterminações dos tipos ou . 
Seja as funções e diferenciáveis em um intervalo aberto que contém e que: 
 e 
ou 
 e . 
Se existe ou se esse limite for ou , então: 
 . 
Obs: Esta mesma afirmação vale para , , ou . 
Exemplos: 
 
Este é um dos limites fundamentais, que com o uso Regra de L’Hospital torna-se bem fácil de 
ser encontrado. Como tem-se: 
 
e as funções são diferenciáveis podemos usar a regra de L’Hopital, onde obtém-se: 
. 
 
Como temos uma indeterminação do tipo 
 
e as funções são diferenciáveis, podemos usa a regra de L’Hopital, onde obtém-se: 
 
 
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Profa. Me. Alessandra Azzolini 
Exercícios 
Determine: 
𝑎) lim
𝑥→2
𝑥2 − 4
𝑥2 − 5𝑥
= 0 
𝑏) lim
𝑥→1
𝑥2 − 3𝑥 + 2
𝑥2 − 5𝑥 + 4
=> lim
𝑥→1
2𝑥 − 3
2𝑥 − 5
=
−1
−3
=
1
3
 
𝑐) lim
𝑥→1
 
2𝑥2 − 4𝑥 + 2
𝑥3 − 𝑥2 − 𝑥 + 1
=> lim
𝑥→1
 
4𝑥 − 4
3𝑥2 − 2𝑥 − 1
=> lim
𝑥→1
 
4
6𝑥 − 2
= 1 
𝑑) lim
𝑥→−∞
 
2𝑥2 + 3𝑥
𝑥3 + 4
=> lim
𝑥→−∞
 
4𝑥 + 3
3𝑥²
=> lim
𝑥→−∞
 
4
6𝑥
= 0 
𝑒) lim
𝑥→+∞
𝑥2 − 3𝑥 + 1
4𝑥2 + 1
=> lim
𝑥→+∞
2𝑥 − 3
8𝑥
=> lim
𝑥→+∞
2
8
=
1
4
 
𝑓) lim
𝑥→0
𝑠𝑒𝑛 𝑥
𝑥
=> lim
𝑥→0
𝑐𝑜𝑠 𝑥
1
=
1
1
= 1 
𝑔) lim
𝑥→0
𝑥
1 − 𝑒𝑥
=> lim
𝑥→0
1
−𝑒𝑥
=
1
−1
= −1 
ℎ) lim
𝑥→1
ln 𝑥
𝑥 − 1
=> lim
𝑥→1
1
𝑥
1
=> lim
𝑥→1
1
𝑥
= 1 
𝑖) lim
𝑥→0
𝑠𝑒𝑛 𝑥
𝑥2 − 𝑥
=> lim
𝑥→0
𝑐𝑜𝑠 𝑥
2𝑥 − 1
=
1
−1
= −1 
𝑗) lim
𝑥→∞
𝑒3𝑥
𝑥2
=> lim
𝑥→∞
3𝑒3𝑥
2𝑥
=> lim
𝑥→∞
9𝑒3𝑥
2
=
∞
2
= ∞ 
 
 
 
 
 
 
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REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS 
STEWART, James. Cálculo, volume I. 5ª edição. São Paulo- SP: Pioneira Thomson Learning, 
2006. 
 
GUIDORIZZI, Hamilton L. Um Curso de Cálculo: Volume 1. Rio de Janeiro: Editora LTC, 2001. 
Disponível em https://www.dicasdecalculo.com.br/conteudos/derivadas/aplicacoes-de 
derivadas/ acesso em 29 de setembro 2019. 
 
https://www.dicasdecalculo.com.br/conteudos/derivadas/aplicacoes-de%20derivadas/
https://www.dicasdecalculo.com.br/conteudos/derivadas/aplicacoes-de%20derivadas/