APOSTILA_DE_CALCULO_1_-_SOCIESC

Prévia do material em texto

Material Didático de Estudo 
 
 
 
 
 
 
DISCIPLINA: CÁLCULO I 
 
 
 
 
 
 
 
Acadêmico(a): __________________________________________ 
 
 
Turma: _________________________________________________ 
 
 
 
 
 
“Eu nunca ensino aos meus alunos, apenas tento dar condições nas quais eles possam aprender.” 
 (Albert Einstein) 
 
 
 
 
 
 
2007/1 
 
 
 
 
 
 
Cálculo I 
Material elaborado por Deborah Jorge e Karina Borges Mendes 2 
Capítulo 1: Funções 
 
1.1ANÁLISE GRÁFICA DAS FUNÇÕES 
 
1.1.1 EXERCÍCIOS 
 
Abaixo estão representadas graficamente algumas funções. Analise cada uma dessas funções e responda 
às perguntas referentes a cada exercício. 
 
1. Ao acionar o freio de um automóvel, a distância para que ele pare, é denominada “espaço de 
frenagem”. Este depende de vários fatores, entre eles, a velocidade em que o carro se encontra quando o 
freio é acionado. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
a) Quantos metros o automóvel ainda deverá percorrer quando freado a uma velocidade de 60 km/h? E 
a 80 km/h? E a 120 km/h? 
b) A que velocidade deve estar o veículo para que o espaço de frenagem seja de 40 m? 
c) Quando aumentamos a velocidade de 80 para 120 km/h, em quantos metros aumentará o espaço de 
frenagem? 
 
2. Um reservatório, contendo 500 litros de água, dispõe de uma válvula na sua parte inferior. Um 
dispositivo foi utilizado para registrar o volume de água a cada instante, a partir do momento em que a 
válvula foi aberta. Os valores obtidos durante a operação permitiram construir o gráfico do volume de 
água (em litros) em função do tempo (em minutos). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
a) Quais as variáveis envolvidas? 
b) O volume de água permaneceu constante no reservatório? 
c) Após 10 minutos, qual o volume de água existente no reservatório? 
d) Quantos minutos decorreram até que o volume da água existente no reservatório caísse pela metade? 
Em quanto tempo o reservatório foi esvaziado? 
e) Qual o significado do intercepto vertical? E do intercepto horizontal? 
 
 
 
0
10
20
30
40
50
60
70
80
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120
Velocidade (km/h)
Es
pa
ço
 d
e 
fr
en
ag
em
 (m
)
0
100
200
300
400
500
0 5 10 15 20 25 30 35 40
Tempo (min)
V
ol
um
e 
(l
itr
os
)
Cálculo I 
Material elaborado por Deborah Jorge e Karina Borges Mendes 3 
3. Em Química e Física, estudamos os estados da matéria. Um gráfico representativo da temperatura, em 
oC, em função do tempo, em minutos, de aquecimento da água inicialmente a –20oC até a temperatura de 
120oC é: 
 
Com os dados do gráfico, responda: 
a) Qual o domínio da função? 
b) Qual o conjunto imagem? 
c) Que “trechos” da função são constantes? 
d) Para qual intervalo de tempo a temperatura é maior que zero, ou seja, para que valores de t temos 
a temperatura positiva? 
e) Para qual intervalo de tempo a temperatura é menor que zero, ou seja, para que valores de t temos a 
temperatura negativa? 
 
4. Sob temperatura constante, o volume de certa massa de gás é função da pressão a que o mesmo está 
submetido, como se vê no gráfico abaixo: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Observando o gráfico, responda: 
 a) Qual a variável independente? 
b) O que significa o fato, do gráfico, à medida que avança para a direita, ir descendo? 
c) Qual é a variação do volume deste gás quando alteramos a pressão a que está submetido de 0,5 para 1 
atmosfera? 
 d)E de 2 para 2,5 atmosferas? 
 
 
 
 
 
 
 
 
0
10
20
30
40
50
0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5
Pressão (atm)
V
ol
um
e 
(c
m
3 )
-40
-20
0
2 0
4 0
6 0
8 0
1 0 0
1 2 0
1 4 0
0 5 1 0 1 5 2 0 25 3 0
t ( m i n )
T 
(o
C
 )
Cálculo I 
Material elaborado por Deborah Jorge e Karina Borges Mendes 4 
5. Uma peça esférica de diâmetro 5” de aço 1035, com temperatura 1600°F, foi resfriada em água não 
agitada com temperatura 123°F. As temperaturas foram lidas em 2 pontos da peça: ½“ e 2.½“ abaixo de 
sua superfície, conforme o gráfico abaixo. 
 
Resfriamento: esfera de aço 1035
0
200
400
600
800
1000
1200
1400
1600
0 1 2 3 4 5 6 7
Tempo (min)
T
em
pe
ra
tu
ra
 (
o F
)
Profundidade 1/2" Profundidade 2 1/2"
 
 
a) qual a temperatura da peça quando medida a uma profundidade de ½” abaixo de sua superfície, após 
5 minutos de resfriamento? E à profundidade de 2.½”? 
b) depois de quanto tempo de resfriamento a peça atinge a temperatura de 800°F, à profundidade de ½”? 
E à profundidade de 2.½”? 
 
6. O gráfico abaixo representa a temperatura, em oC, em função do tempo, em horas, numa dada 
experiência: 
 
 
 
 
Com os dados do gráfico, responda: 
a) Qual o domínio da função? 
b) Qual o conjunto imagem? 
c) Determine em quais momentos a temperatura é igual a zero. 
d) Para qual intervalo de tempo a temperatura é maior que zero. 
e) Para qual intervalo de tempo a temperatura é menor que zero. 
 
 
 
 
 
 
 
-12,5
-10
-7,5
-5
-2,5
0
2,5
5
7,5
10
12,5
15
17,5
20
22,5
25
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
Tempo (horas)
T
em
pe
ra
tu
ra
 (o
C
)
Cálculo I 
Material elaborado por Deborah Jorge e Karina Borges Mendes 5 
0
10
20
30
40
50
60
70
80
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120
Velocidade (km/h)
E
sp
aç
o
 d
e 
fr
en
ag
em
 (m
) ? 
? 
 
1.2 DEFINIÇÃO DE FUNÇÃO 
 
 
No gráfico ao lado, pode-se observar que o espaço de frenagem 
representa uma grandeza variável: ele pode ser de 10 metros ou 
de 30 metros (citando apenas dois exemplos). 
 
A velocidade também é outra grandeza variável, já que o 
automóvel pode andar em diversas velocidades. Portanto, o 
espaço de frenagem e a velocidade são variáveis, mas seus 
valores não são independentes entre si. O espaço de frenagem 
depende da velocidade do veículo ou, em outras palavras, para 
cada velocidade há um único espaço de frenagem. 
 
Assim, pode-se considerar as duas variáveis em questão, uma 
assumindo valores num conjunto A (Domínio) e a outra num 
conjunto B (Contradomínio), de modo que o gráfico retrate uma 
situação tal que cada elemento do conjunto A corresponda a um 
único elemento do conjunto B. 
 
Matematicamente, a função pode ser definida como um tipo especial de relação entre grandezas: 
 
 
Sejam A e B dois conjuntos não vazios e “ f ” uma relação de A em B. Essa relação “ f ” é uma função de 
A em B quando a cada elemento “x” do conjunto A está associado um, e apenas um, elemento “y” do 
conjunto B. 
 
 
 
 
• O conjunto A de valores que podem ser atribuídos a “x” é chamado domínio da função e indica-se por 
D ou Df (sendo que a variável “x” é chamada variável independente). 
 
• O valor de “y”, correspondente a determinado valor atribuído a “x”, é chamado imagem de x pela 
função e é representado por f(x). A variável “y” é chamada variável dependente. 
 
• O conjunto Im, formado pelos valores que “y” assume em correspondência aos valores de “x”, é 
chamado conjunto imagem da função. Obs.: podemos representar y = f(x). 
 
 
1.2.1 NOTAÇÃO DE FUNÇÃO 
 
Para indicar que uma função “ f ” tem domínio em A e contradomínio em B, usa-se: f : A → B. (lê-se: f de 
A em B). 
 
• No exemplo apresentado acima, temos que: 
 
 - Variáveis envolvidas: 
 
 
 - Domínio da função: D = [ 0 , 120 ] ou D = { x ? R | 0 = x = 120 } 
 - Imagem da função: Im = [ 0 , 70 ] ou Im = { y ? R | 0 = y = 70 } 
 
 
 
 
 
 
 
 
independente (x) → velocidade (km/h) 
dependente (y) → espaço de frenagem 
(m) 
Cálculo I 
Material elaborado por Deborah Jorge e Karina Borges Mendes 6 
1.2.2 GRÁFICO DE UMA FUNÇÃO (No Sistema Cartesiano Ortogonal) 
 
O Sistema Cartesiano Ortogonal, também conhecido como Plano Cartesiano (R 2 ou E2) é formado por 
dois eixos reais, perpendiculares (ortogonais) entre si, gerando quatro regiões denominadas quadrantes. 
O eixo “x”, também é dito eixo das abscissas e o eixo “y” também é dito eixo das ordenadas. 
 
A intersecção dos eixos coordenados determina um ponto único, denominado origem → (0 , 0). Cada 
pontoneste plano é determinado por um par ordenado na forma (x , y), sendo que “x” e “y” formam as 
coordenadas de um ponto. 
 
Observações: 
 
• Todo ponto pertencente ao eixo das abscissas terá ordenada nula, ou seja, será da forma: (x , 0). 
• Todo ponto pertencente ao eixo das ordenadas terá abscissa nula, ou seja, será da forma: (0 , y). 
 
 
 
Construindo um Gráfico de Função através da Fórmula Matemática 
 
O gráfico, ou a representação gráfica de uma função, é uma forma de apresentarmos o comportamento 
de um fenômeno numa forma visual (geométrica), o que em muitos casos, facilita a compreensão do 
fenômeno, possibilitando perceber o seu comportamento de uma forma mais ampla. Para tanto, 
utilizaremos o sistema cartesiano ortogonal, indicando os valores de “x” e “y” nos seus eixos 
correspondentes. 
 
Etapas para a construção de um gráfico: 
• Montar uma tabela, atribuindo valores para “x” (conforme o Domínio da função) e calculando os 
respectivos valores de “y”; 
• Marcar no plano cartesiano os pontos gerados pelos pares ordenados (x , y) encontrados na tabela; 
• Ligar (ou não) os pontos marcados no plano cartesiano por meio de uma curva (de acordo com a 
função e o domínio desta). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Cálculo I 
Material elaborado por Deborah Jorge e Karina Borges Mendes 7 
1.3 FUNÇÕES ELEMENTARES 
 
1.3.1 FUNÇÃO CONSTANTE 
 
1.3.1.1 EXEMPLOS 
 
1) Sob temperatura ambiente, variando de 16oC a 54oC, o corpo humano é capaz de manter 
indefinidamente, uma temperatura de 36,7º C. 
Esta função, na faixa de temperatura mencionada, pode ser assim representada: 
 
[ ] ℜ→54,16:f definida por f(x) = 36,7 
0
5
10
15
20
25
30
35
40
0 10 20 30 40 50 60
Temperatura Ambiente
T
em
p
er
at
u
ra
 d
o
 C
o
rp
o
 
 
Logo, nesta faixa de temperatura ambiente, tem-se uma função constante. 
 
 
 
 
2) Em um determinado ano, uma empresa em expansão contratou 100 funcionários em março e 100 em 
outubro. Em janeiro deste mesmo ano o número de funcionários era 200. Matematicamente, podemos 
equacionar esta situação como sendo uma função f : D → N com D = {meses do ano} definida por: 
 
 
 
 
 
 
 
 
Foi solicitada pelo setor de recursos humanos desta firma uma representação visual, de modo a 
relacionar os meses do ano com o número de funcionários empregados (meses X funcionários). 
 
Assim temos: 
 
 Número de 
 funcionários 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 J F M A M J J A S O N D Meses do ano (200X) 
 
 
 
 





∈
∈
∈
=
},,{,400
},,,,,,{,300
},{,200
)(
dezembronovembrooutubroxse
setembroagostojulhojunhomaioabrilmarçoxse
fevereirojaneiroxse
xf 
200 
300 
400 
Cálculo I 
Material elaborado por Deborah Jorge e Karina Borges Mendes 8 
1.3.1.2 DEFINIÇÃO 
 
Uma função cuja lei de associação é do tipo f(x) = k (ou y = k), com k ∈ R é chamada de função 
constante, pois para qualquer valor atribuído à variável “x”, sua imagem “y” será sempre a mesma, de 
valor “k”. Podemos acrescentar ainda, que se trata de uma função que não é crescente, nem decrescente, 
mas sim constante, pois o valor da função (y) não cresce nem decresce, permanecendo o mesmo, ou seja, 
constante. 
Podemos observar que neste caso a taxa se variação é nula. 
Lembre-se que: y = f(x). 
 
Graficamente, tem-se uma reta paralela ao eixo das abscissas, cortando o eixo das ordenadas no ponto (0 
, k). 
 
 Se k > 0: Se k = 0: Se k < 0: 
 
 y y y 
 
 
 k 
 
 
 
 
 0 x 0 x 0 x 
 
 
 
 k 
 
 
 
 
1.3.1.3 EXERCÍCIOS PROPOSTOS 
 
1) Construa os gráficos das funções dadas por: 
 
a) f(x) = 4 com D = R d) y = – 3 com D = [–5 , 2 [ 
 
b) g(x) = 
3
40
− com D = R + e) y = 0 com D = { x ∈ R | – 4 < x ≤ 3 } 
 
c) y = π com D = R f) h(x) = 51 com D = R g) y = – 7 com D = { x ∈ R | x < 6 } 
 
 
2) Determine o conjunto imagem para cada uma das funções do exercício anterior. 
 
3) Em uma cidade, o departamento de água da prefeitura decidiu fazer uma experiência e passou a 
cobrar as contas de água dos consumidores com preços fixos para intervalos de consumo. Assim, por 
exemplo, para qualquer consumo inferior a 20m3, a conta será de R$ 18,50. Abaixo, você pode ver a lei de 
formação utilizada para determinar o valor “V” da conta, em reais, em função do consumo “c”, em 
metros cúbicos. 
 





≥
<≤
<≤
=
5000,59
502050,47
20050,18
)(
cse
cse
cse
cV Obs.: O consumo é medido mensalmente. 
 
a) Construa o gráfico no plano cartesiano V x c (valor da conta por consumo) determinando o D e Im. 
b) Quanto pagará um morador que consumir 20m3 de água em um mês? E se consumir 36,4m3 num mês? 
c) Qual foi o consumo de uma casa cuja conta apresentou um valor de R$ 59,00? 
d) Quanto pagou um morador que supostamente não consumiu nenhuma quantidade de água num mês? 
 
 
 
 
• 
• 
• 
Cálculo I 
Material elaborado por Deborah Jorge e Karina Borges Mendes 9 
4) Abaixo, pode-se ver parte de um gráfico que mostra o valor “y” a ser pago (em reais) pelo uso de um 
determinado estacionamento por um período de “x” horas. Suponha que o padrão observado no gráfico 
não se altere quando “x” cresce. Nestas condições, pergunta-se: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
a) Quanto deverá pagar uma pessoa, por utilizar o estacionamento durante meia hora? E durante duas 
horas? 
b) Quanto deverá pagar alguém que estacionar das 8h e 46min até as 11h e 50min? 
c) Quanto tempo ficou no estacionamento um carro se o proprietário pagou R$ 8,00? 
d) Quanto pagará um indivíduo que estacionar seu veículo das 22h de um dia até as 8h e 30min do dia 
seguinte? 
 
 
Respostas: 
 
 
1a) 1b) 1c) 1d) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
1e) 1f) 1g) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2a) Im = { 4 } 2b) Im = { }340− 2c) Im = { π } 2d) Im ={ }3− 
2e) Im = { 0 } 
2f) Im = { 51 } 
2g) Im = { –7 } 
 
3a) Valor conta (R$) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 0 20 50 Consumo (m3) 
 
 
3a) D = { c ∈ R | c ≥ 0 } e 
 
Im = { 18,50 ; 47,50 ; 59,00 } 
 
3b) R$ 47,50 e R$ 47,50 
 
3c) c ≥ 50 m3 
 
3d) R$ 18,50 
 
4a) R$ 2,00 e R$ 3,50 
 
4b) R$ 6,50 
 
4c) { x ∈ R | 4 < x ≤ 5 } 
 
4d) R$ 17,00 
y 
x 0 
– 40/3 
y 
x 
3 
0 
– 4 
18,50 
47,50 
59,00 
y 
x 
6 
– 7 
0 
• 
y 
x 
51 
0 
• 
y 
x 
4 
0 
• 
y 
x 0 
π 
• 
y 
x 
– 5 2 
3− 
0 
• 
R$ 
Horas 
6,5 
5 
3,5 
2 
0 1 2 3 4 
Cálculo I 
Material elaborado por Deborah Jorge e Karina Borges Mendes 10 
 
1.3.2 FUNÇÃO DO 1º. GRAU (ou Função linear) 
 
1.3.2.1 EXEMPLO 
 
Uma panela com água à temperatura de 15oC é levada ao fogo e observa-se que, a cada 1 minuto, a 
temperatura sobe 2oC. De acordo com os dados, forneça a lei (fórmula) que representa o aumento de 
temperatura em função do tempo. 
 
Resolução: 
Tempo inicial (to): 0 min Temperatura inicial (To) : 15o CCada temperatura é a temperatura inicial mais um acréscimo de 2oC por minuto. 
Logo, a lei que relaciona o aumento de temperatura em função do tempo é: 
 
T(t) = 15 + 2t , sendo esta, a solução do problema em questão. 
 
1.3.2.2 DEFINIÇÃO 
 
São funções que têm taxa constante de crescimento ou decrescimento. Uma função é dita do 1º. grau se 
sua inclinação, ou taxa de variação, é a mesma em toda parte. E é o fato da taxa de variação ser constante 
que faz de seu gráfico uma reta. 
Logo, esta inclinação pode ser calculada com valores das funções em 2 pontos, m e n, usando a fórmula: 
 
.)(var
)()(
beaentrexfdeiaçãodemédiataxa
ab
afbf
x
y
percurso
subida
Inclinação =
−
−
=
∆
∆
==
 
 
Para uma função não linear, a taxa de variação varia. 
 
 
Esta função tem a forma y = ax + b, com a? 0 e a e b ? R, com domínio e contra-domínio real. 
 
Seu gráfico é uma reta tal que: 
• a é a inclinação, ou taxa de variação de y com relação a x ou ainda, coeficiente angular da reta. 
• O valor da abscissa onde o gráfico corta o eixo “x” denomina-se raiz ou zero da função, que pode ser 
determinado algebricamente fazendo f(x) = 0. 
• b é o intercepto vertical ou intercepto y, ou seja, é o valor de y quando x é zero. 
• A raiz também é conhecida como intercepto horizontal ou intercepto x. 
 
 
1.3.2.3 FUNÇÕES CRESCENTES E DECRESCENTES 
 
Os termos crescente e decrescente podem ser aplicados a outras funções, não apenas às lineares. 
 
Qualquer função é crescente se os valores de y = f(x) crescem quando x cresce e é decrescente se os 
valores de y= f (x) decrescem quando x cresce. 
 
Uma função linear, y = ax + b, é crescente quando a taxa de variação for positiva, ou seja, quando 
“a > 0”. 
 
Uma função linear, y = ax + b, é decrescente quando a taxa de variação for negativa, ou seja, quando 
 “a < 0”. 
 
 
Tempo (min) Temperatura (oC) 
0 15 
1 17 (17 = 15 + 2.1) 
2 19 (19 = 15 + 2.2) 
3 21 (21 = 15 + 2.3) 
Cálculo I 
Material elaborado por Deborah Jorge e Karina Borges Mendes 11 
 
1.3.2.5 GRÁFICO 
 
Geometricamente, a função polinomial do 1º grau é representada por uma linha reta oblíqua aos eixos 
coordenados, cortando o eixo das ordenadas no ponto (0 , b). 
 
 Se a > 0 ⇒ f(x) é crescente Se a < 0 ⇒ f(x) é decrescente 
 
 y y 
 f(x) f(x) 
 
 
 b b 
 
 
 
 x’ 0 x 0 x’ x 
 
 
 
 
 
 
1.3.2.6 EXERCÍCIOS PROPOSTOS 
 
1)Construa, no sistema cartesiano ortogonal, os gráficos das funções dadas por: 
a) 
4
x
y −= d) 32
5
9 += CF g) xy −=
2
1
 j) xy 31+−= com D = { x ∈ R x ≤ 0 } 
b) 52)( +−= xxf e) 3)( += xxf h) xy 3−= com D = [ –2, + ∞ [ 
 
c) 032 =++− yx f) xxg −−= 1)( i) 22)( += xxh com D = [ –1, 2 [ 
 
2) Construa, num mesmo sistema cartesiano ortogonal, os gráficos das funções dadas por f(x) = x e g(x) = 
– x. 
 
Respostas: 
 
1a) 1b) 1c) 1d) 1e) 
 
 
 
 
 
 
 
 
1f) 1g) 1h) 1i) 1j) 
 
 
 
 
 
 
 
 
2) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Raiz ou zero 
 da função 
• 
• 
Raiz ou zero 
 da função 
• 
• 
y 
x 
? 
? 
5 
5/2 
0 
y 
x 
4 
–1 
? 
? 
0 
y 
x 
0 3 
–3/2 
? 
? 
y 
x 
? 
? 
1/2 
1/2 
0 
y 
x 
0 
6 
–2 ? 
y 
x 
– 4 ? 
–1 
0 –1 
F 
C 
–160/9 
? 
0 
32 
? 
y 
x –3 
? 3 
0 ? 
y 
x 
–3 
? 3 
? 
3 
f(x) 
g(x) 
45º 45º 
y 
x –1 ? 
? 
0 
–1 
 
y 
x 2 –1 
6 
2 ? 
Cálculo I 
Material elaborado por Deborah Jorge e Karina Borges Mendes 12 
1.3.2.7 DETERMINAÇÃO DA FUNÇÃO DO 1º GRAU A PARTIR DO SEU GRÁFICO 
 
 
Relembrando: f(x) = ax + b, sendo: a → coeficiente angular (declividade) e b → coeficiente linear 
 
Calculando o coeficiente angular “a” através do gráfico: 
 
 
Conhecendo o ângulo “α” (inclinação) formado entre a reta “r” e o eixo “x” (no sentido anti-horário), 
usa-se: αtga = 
 
Conhecendo dois pontos A(xA , yA) e B(xB , yB), pertencentes a reta “r”, usa-se: 
x
ytga
∆
∆== α 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 x’ 0 xA xB 
 
r 
 
 
 
 
 
 
1.3.2.8 EXEMPLOS 
 
1) Uma barra de aço com temperatura inicial de – 10ºC foi aquecida até 30ºC. O gráfico abaixo representa 
a variação da temperatura da barra em função do tempo gasto nesta experiência. Determine: 
a) a taxa de variação da temperatura em função do tempo; 
b) a função (fórmula matemática) que representa o fenômeno em questão; 
c) em quanto tempo, após o início da experiência, a temperatura da barra atingiu 0ºC; 
d) o Domínio e o conjunto Imagem desta situação. 
 
temperatura (ºC) 
 
 30 
 
 
 
 tempo (min) 
 5 
 - 10 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Observações: 
 
• Variação da inclinação da reta de uma função 
do 1º grau: °<< 1800 α com º90≠α . 
 
• Se α = 0 ⇔ a = 0, tem-se neste caso uma 
“função constante” (reta paralela ao eixo “x”). 
n 
yB 
yA 
α 
y 
x 
B 
A α 
Raiz ou zero 
da função 
∆y 
∆x 
• 
• 
• 
• 
Cálculo I 
Material elaborado por Deborah Jorge e Karina Borges Mendes 13 
2) O gráfico abaixo representa a variação da pressão da água do mar em função da profundidade. 
Construa a função que relaciona pressão e profundidade Calcule a pressão sofrida pelo mergulhador se 
estiver a uma profundidade de 35 metros. Qual o domínio e a imagem da função sabendo que a 
profundidade máxima do local é de 35 metros? 
 
 Pressão (atm) 
 
 
 3 
 
 1 
 
 20 profundidade (m) 
 
3) Um certo encanador (A) cobra por serviço feito um valor fixo de R$ 60,00 mais R$ 10,00 por hora de 
trabalho. Um outro encanador (B) cobra um valor fixo de R$ 40,00 mais R$ 15,00 por hora de trabalho. 
Determine a lei da função que relaciona preço e tempo de serviço para cada um dos encanadores. Faça o 
gráfico das duas funções num mesmo plano cartesiano. Considerando o menor custo para a realização de 
um trabalho, analise as vantagens e desvantagens da contratação dos serviços de cada um dos 
encanadores. 
 
4) Analisando o gráfico abaixo, determine: 
a) as funções f(x) e g(x); 
b) as raízes de f(x) e g(x); 
c) as coordenadas do ponto P (intersecção das retas). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
5) Determine a função geradora do gráfico abaixo: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 –3 
 –2 
1 2 
 –5 
• 
• 
• 
• 
• 
g(x) f(x) y 
x 0 
P 
y 
x 3 
1 
– 9 
– 2 
0 
Cálculo I 
Material elaborado por Deborah Jorge e Karina Borges Mendes 14 
 
1.3.2.9 EXERCÍCIOS PROPOSTOS 
 
1) Duas operadoras de telefonia celular apresentam planos similares para seus usuários. O plano da 
operadora “V” tem uma mensalidade no valor de R$ 25,00 e uma tarifa de R$ 0,70 por minuto em 
ligações locais. O plano da operadora “T” tem custo de R$ 0,50 por minuto para ligações locais e uma 
mensalidade no valor de R$ 30,00. Utilizando seus conhecimentos sobre função polinomial do 1º grau, 
determine a lei da função que relaciona preço e tempo de ligação para cada um dos operadoras, faça o 
gráfico das duas funções num mesmo plano cartesiano e analise as vantagens e desvantagens de cada 
uma das operadoras. 
 
 
2) Determine afunção geradora de cada um dos gráficos a seguir. 
 
a) b) c) 
 
 
 
 
 
 
 
3) O valor total cobrado por um eletricista inclui uma parte fixa correspondente à visita e outra variável 
correspondente à quantidade de fio requerida pelo serviço. O gráfico abaixo representa o valor do 
serviço efetuado em função da metragem de fio usada no serviço. Construa a lei da função que 
determina a pressão em função da quantidade de fio e determine quanto cobrará o eletricista se usar 18 
metros de fio para executar o serviço? 
 
 Preço (R$) 
 
 72 
 
 
 14 20 metros 
 
 4) Um fabricante vende um produto por R$ 2,00 a unidade. O custo total do produto consiste numa taxa 
fixa de R$ 120,00 mais o custo de produção de R$ 0,40 por unidade. 
a) Qual a função matemática que expressa o lucro em função das peças vendidas? 
b) Qual o gráfico desta função? 
c) Se vender 200 unidades desse produto, qual será o lucro? 
d) Qual o número de unidades que o fabricante deve vender para não ter lucro nem prejuízo? 
 
 
 
5) Observando o gráfico ao lado, determine as equações das 
retas (funções); as coordenadas do ponto P e os zeros das funções. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
y 
x 
? 
? 
4 
2 
0 
y 
x 3 
2 
–2 
? 
? 
0 
y 
x 
0 
6 
2 
? 
? 
x 
y 
P 
• 
• 
• 
• 
• 
–2 
– 4 
2 
f 
g 
2 
1 
Cálculo I 
Material elaborado por Deborah Jorge e Karina Borges Mendes 15 
 
6) O gráfico ao lado apresenta uma situação de frenagem, onde a velocidade do veículo varia em função 
do tempo. Sendo assim, responda: 
a) Qual a taxa de variação da velocidade em função do tempo? 
b) Qual a velocidade do veículo no instante 3s? 
c) O que acontece com o veículo após 5s de frenagem? 
d) Qual o Domínio e o Conjunto Imagem do problema? 
 
 
 
 
 
 
Nota: Para se ter uma melhor noção da velocidade (neste caso), podemos convertê-la de m/s para km/h, 
que é a unidade mais utilizada em nosso cotidiano. Para isto, basta multiplicar o valor da velocidade em 
m/s por 3,6 que teremos o resultado em km/h. 
 
7) O valor de uma máquina decresce linearmente com o tempo, devido ao desgaste. Sabendo-se que hoje 
ela vale 10.000 dólares, e daqui 5 anos, 1.000 dólares, qual será seu valor em 3 anos? 
 
8) Uma companhia tem função de custo ( ) 4000 2C q q= + e função receita ( ) 10R q q= . 
a) Qual é o custo fixo da companhia. 
b) Qual é o custo variável por unidade? 
c) Que preço a companhia está pedindo por seu produto? 
d) Faça os gráficos de R(q) e C(q) no mesmo plano cartesiano. 
e) Ache o ponto de equilíbrio. 
f) Faça a análise econômica da situação. 
 
9) Uma fábrica que produz quebra-cabeças tem custo fixo de R$6000 e custo variável de R$2 por jogo. A 
companhia vende os jogos a R$5 cada. 
a) Ache as funções custo, receita e lucro. 
b) Esboce os gráficos das funções receita e custo no mesmo plano cartesiano. 
c) Esboce o gráfico da função lucro. 
d) Ache o ponto crítico. 
e) Analise a situação econômica da fábrica. 
 
10) Gráficos das funções custo e receita para uma empresa são dados abaixo. 
 
 
 
a) Aproximadamente, que quantidade a empresa deve produzir para ter lucro? 
b) Avalie o lucro se a empresa produzir 600 unidades. 
c) O que representa o ponto onde as funções receita e custo se interceptam? 
 
 
 
 
v (m/s) 
t (s) 0 5 
20 
0
250
500
750
1000
1250
1500
1750
2000
2250
2500
0 100 200 300 400 500 600
receita
custo
Cálculo I 
Material elaborado por Deborah Jorge e Karina Borges Mendes 16 
 
11) Considerando as funções f(x) = 8 – x e g(x) = 3x, determine: 
a) as raízes das funções “f” e “g” dadas; 
b) as coordenadas do ponto P, que representa a interseção das retas em questão; 
c) qual a classificação [crescente ou decrescente] para cada uma das funções. 
 
 
12) Dada as equações 2x – y – 1 = 0 e x – y = 2 , determine: 
a) O ponto de intersecção das retas; 
b) Os pontos de encontro das retas com os eixos coordenados. 
c) Construa o gráfico das duas retas no mesmo plano cartesiano. 
 
 
 
 
Respostas: 
 
1) 
 
 
 
 
 
 
 
 
2a) 
5
4
5
2x
y += 2b) y = –2x + 4 2c) y = 3x 
 
3) y = 2 x + 32 , R$ 68,00 
 
4a) L = 1,6x – 120 4b) Gráfico 4c) R$ 200,00 4d) 75 unidades 
5) f(x) = 2x
2
1
+ e g(x) = 2
2
3x
− / P(4 , 4) raiz de f(x): x = – 4, raiz de g(x): x = 
3
4 
6a) – 4 m/s2 (que é o coef. angular) 6b) 8 m/s 6c) Sua velocidade torna -se “zero”, ou seja, o veículo pára. 
 
6d) D = { t ∈ R | 0 ≤ t ≤ 5 } e Im = { v ∈ R | 0 ≤ v ≤ 20 } 7) 4.600 dólares 
 
8a) 4000 8b) 2 8c) 10 8d) gráfico 8e) 500 
 
9a) C = 6000 +2q ; R = 5q ; L= 3q - 6000 9) b,c) gráficos 9d) 2000 
 
10a) acima de 300 unidades 10b) 750 10c) ponto de equilíbrio 
 
11a) raiz de f(x): x = 8, raiz de g(x): x = 0 11b) P(2 , 6) 11c) f(x) é decrescente e g(x) é crescente. 
 
12 a) (–1, –3) 12 b) (1/2 , 0) e (0 , –1) / (2 , 0) e (0 , –2) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
V(x) = 0,7x + 25 
 
T(x) = 0,5x + 30 
 
Resposta: “d” 
R$ 
min 25 
? 42,50 
0 
30,00 
25,00 
V 
T 
Cálculo I 
Material elaborado por Deborah Jorge e Karina Borges Mendes 17 
 
1.3.3 FUNÇÃO DO 2º GRAU (ou quadrática) 
 
 
1.3.3.2 DEFINIÇÃO 
 
 
Função Polinomial do 2º grau é toda função definida pela lei f(x) = ax2 + bx + c , com a ∈ R*, b ∈ R e c ∈ 
R. 
 
Exemplos: 
Na função 7x4x)x(f 2 +−= temos: a = 1, b = – 4 e c = 7. 
Na função x51x2)x(g 2 +−−= temos: a = –2, b = 5 e c = –1. 
Na função x3x)x(h 2 +−= temos: a = –1, b = 3 e c = 0. 
Na função 9x)x(P 2 −= temos: a = 1, b = 0 e c = –9. 
Na função 2xy = temos: a = 1, b = 0 e c = 0. 
 
Graficamente, a função polinomial do 2º grau é representada por uma figura “aberta” e “infinita” 
denominada parábola . 
 
 
Particularidades: 
 
 
• O gráfico de uma função de 2o grau é uma parábola com eixo de simetria paralelo ao eixo y. 
• Se o coeficiente de x2 for positivo (a > 0), a parábola tem a concavidade voltada para cima. 
• Se a < 0, a parábola tem a concavidade voltada para baixo. 
• A intersecção do eixo de simetria com a parábola determina um ponto chamado vértice (V). 
• Se a parábola interceptar o eixo x, então a intersecção define as raízes x1 e x2 da função [para isto, 
faz-se f(x) = 0]. 
• A parábola intercepta o eixo das ordenadas (y) no ponto (0 , c) [para isto, faz-se x = 0]. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Cálculo I 
Material elaborado por Deborah Jorge e Karina Borges Mendes 18 
 
No esquema abaixo, caracterizamos as diversas possibilidades gráficas: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
• As Coordenadas do Vértice da Parábola e o Conjunto Imagem da Função Quadrática: 
 
 
 
V (ponto de máximo) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
• Quando a > 0, a parábola tem concavidade voltada para cima e um ponto de mínimo: V(xV , yV). 
O valor mínimo é o yV e seu conjunto Imagem é Im = { y ∈ R | y ≥ yV }. 
• Quando a < 0, a parábola tem concavidade voltada para baixo e um ponto de máximo: V(xV , yV). 
O valor máximo é yV e seu conjunto Imagem é Im = { y ∈ R | y ≤ yV }. 
 
As coordenadas do vértice V são ()VV yx , , podendo ser calculadas através de: 
 
a
b
xV 2
−= e 
a
yV 4
∆
−= . 
 
 
 
 
 
 
 
∆ = b2 – 4ac > 0 
 
a parábola intercepta o 
eixo x em dois pontos 
distintos. 
∆ = b2 – 4ac = 0 
 
a parábola intercepta o 
eixo x em um único ponto. 
∆ = b2 – 4ac < 0 
 
a parábola não intercepta 
o eixo x. 
a > 0 
valor mínimo ← yV 
V → (ponto de mínimo) 
xV 
• 
a < 0 
xV 
valor máximo ← yV • 
c 
 c • c 
c 
 • 
c 
 • 
x1 x2 x1 = x2 = xV 
x1 x2 
V 
V 
 • 
 • 
 
 • 
a > 0 ? x1 , x2 ? R 
c 
? x1 , x2 ? R 
x1 = x2 = xV 
a < 0 
V 
V 
V 
V 
• • • 
• 
• 
• 
• 
• • 
 • 
Cálculo I 
Material elaborado por Deborah Jorge e Karina Borges Mendes 19 
1.3.3.3 EXEMPLOS 
 
1. Construir a representação gráfica da função y = x2 - 5x + 6. 
 
a) Concavidade para cima pois a > 0. 
 
b) Raízes da função (fazer y = 0): 
 
x2 - 5x + 6 = 0 (a = 1, b = -5 , c = 6) 
 
ac4b? 2 −= 
 
? = ( -5)2 – 4.(1).(6) = 1 
 
d) Coordenadas do vértice 
 
4
1
)1.(4
1
4
2
5
)1.(2
)5(
2
−=⇒−=⇒∆−=
=⇒−−=⇒−=
vvv
vvv
yy
a
y
xx
a
bx
 
23
2
15
2
15
2
15
)1.(2
1)5(
2
21
21
==
⇒
−
=
+
=⇒
±
=
±−−
=
∆±−
=
xex
xexx
x
a
b
x
 
 
c) Intercepto y (ponto onde a parábola corta o eixo 
y): 
Fazendo x = 0 temos que a parábola corta o eixo 
y em (0,c) logo esta função intercepta o eixo y 
em (0, 6) 
 
e) Gráfico: 
-5
0
5
10
15
-3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7
 
 
 
2. Construir a representação gráfica da função y = -x2 + 7x - 10. 
 
a) Concavidade para baixo pois a < 0. 
 
b)Raízes da função (fazer y = 0): 
 
-x2 + 7x - 10 = 0 (a = -1, b = 7, c = -10) 
 
? = (7)2 – 4.(-1).(-10) = 9 
d) Coordenadas do vértice 
 
4
9
4
9-•Ë
)1.(4
9-•Ë
4
-
2
7
2
7
•Ë
)1.(2
)7(-
•Ë
2
-
=⇒
−
=
−
=∆=
=⇒
−
−
=
−
==
vvvv
vvvv
yyy
a
y
xxx
a
b
x
 
 
5xe2x
•Ë
2
37
xe
2
37
x
•Ë
2
37x
12
97-x
21
21
==
−
−−
=
−
+−
=
−
±−=
−
±=
).(
)(
 
 
c) Intercepto y (ponto onde a parábola corta o eixo 
y): 
Fazendo x = 0 temos que a parábola corta o eixo 
y em (0,c), logo esta função intercepta o eixo y 
em (0, -10) 
 
e) gráfico 
-20
-15
-10
-5
0
5
10
-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
 
 
Cálculo I 
Material elaborado por Deborah Jorge e Karina Borges Mendes 20 
 
 
3. Construir a representação gráfica da função y = -x2 + 3x - 10. 
 
4. Construir a representação gráfica da função y = x2 - 2x + 1. 
 
a) Concavidade para cima pois a > 0. 
 
b) Raízes da função (fazer y = 0): 
 
x2 - 2x + 1 = 0 (a =1, b = -2, c = 1) 
 
ac4b? 2 −= 
 
? = ( -2)2 – 4.(1).(1) = 0 
 
1
•Ë
2
0-2
1
2
02
•Ë
2
02
)1.(2
0)2(-
2
-
21
21
==
=
+
=
±
=
±−
=
∆±
=
xx
xexx
x
a
b
x
 
 
c) Intercepto y (ponto onde a parábola corta o 
eixo y): 
Fazendo x = 0 temos que a parábola corta 
o eixo y em (0,c) logo esta função 
intercepta o eixo y em (0, 1) 
 
d) Coordenadas do vértice 
 
0
144
1
2
2
12
2
2
==∆=
==
−
==
vvv
vvv
y•Ë
).(
0y•Ë
a
-y
x•Ë
).(
)(-
x•Ë
a
b-
x
 
 e) Gráfico: 
-5
0
5
10
15
-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7
 
 
 
 
 
a) Concavidade para baixo pois a < 0. 
 
b) Raízes da função (fazer y = 0): 
 
-x2 + 3x - 10 = 0 (a= -1, b = 3, c = -10) 
 
acb 42 −=∆ 
 
 
? = (3)2 – 4.(-1).(-10) = -31 
 
d) Coordenadas do vértice 
 
4
31•Ë
4
31•Ë
)1.(4
(-31)-•Ë
4
-
2
3
•Ë
2-
3-
•Ë
)1.(2
)3(-
•Ë
2
-
−=
−
=
−
=∆=
==
−
+
==
vvvv
vvvv
yyy
a
y
xxx
a
b
x
 
 
Portanto essa equação não tem raízes. 
 
c) Intercepto y (ponto onde a parábola corta o 
eixo y): 
Fazendo x = 0 temos que a parábola corta o 
eixo y em (0,c), logo esta função intercepta o 
eixo y em (0, -10) 
 
 
 
 
e) Gráfico: 
-30
-25
-20
-15
-10
-5
0
5
-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
 
 
Cálculo I 
Material elaborado por Deborah Jorge e Karina Borges Mendes 21 
5. Um objeto lançado verticalmente, do solo para cima, tem posições no decorrer do tempo dadas pela 
função horária s = 40t – 5t2 ( t em segundos e s em metros). 
Esboce o gráfico que esta função descreve. 
Qual a altura máxima atingida? Em quanto tempo? 
 
 
 
6. O centro de gravidade de um golfinho saltador descreve uma parábola conforme o desenho. Sendo 
assim, determine a altura máxima atingida pelo mesmo. 
 
 
Resolução: 
Neste exemplo, temos a trajetória do golfinho dada por uma parábola do tipo y = ax2 + bx + c. De acordo 
com a figura acima, percebemos que o golfinho passa pelos pontos (0 ; 0), (1,0 ; 2,4) e (3,5 ; 1,4). 
Como o golfinho sai da origem, ou seja, do ponto (0 ; 0), o valor de c é igual a zero. Sendo assim ficamos 
com duas incógnitas, a e b. Com os pontos dados montamos um sistema de duas equações e duas 
incógnitas: 



+=
+=
ba
ba
5,325,124,1
4,2
 
Isolando o valor de a na primeira equação temos a = 2,4 – b. Substituindo este valor na segunda equação 
obtemos: 
( )
2,3
75,828
5,325,124,294,1
5,34,225,124,1
=
−=−
+−=
+−=
b
b
bb
bb
 
Se b = 3,2 e a = 2,4 – b, então 
8,0
2,34,2
−=
−=
a
a
 
Assim: 
xxy 2,38,0 2 +−= 
Agora podemos calcular a altura máxima atingida pelo golfinho. 
( )
( )
metros
a
acb
a
yv
yvmáximaaltura
2,3
8,04
)2,3(
4
4
4
22
=
−
−=
−
−=
∆
−=
=
 
a) 
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
tempo (segundos)
po
si
çã
o 
(m
et
ro
s)
 
b) A altura máxima atingida por este objeto é 
exatamente a coordenada do ponto chamado 
vértice. Logo, basta calcular yv. 
,80•Ë
)5.(4
1600-
1600•Ë)0).(5.(4-)40(
•Ë..4-,
4
-
2
2
=
−
=
=∆−=∆
=∆
∆
=
vv
v
yy
cab
a
y
 
logo a altura máxima é 80 metros. 
O tempo gasto para se atingir a altura máxima é a 
abscissa do vértice. Logo basta calcular xv. 
,4
)5.(2
40
.2
=
−
−
=⇒
−
= vvv xxa
b
x 
logo o tempo é de 4 segundos. 
Cálculo I 
Material elaborado por Deborah Jorge e Karina Borges Mendes 22 
 
 
1.3.3.4 EXERCÍCIOS PROPOSTOS 
 
1) Construa o gráfico das funções abaixo, determinando o valor máximo (ou mínimo) e o conjunto 
imagem para cada item. 
 
 
12x3xf(x)
168xxg(x)25x2xg(x)
xf(x)9xf(x)
2
22
22
+−=
−−−=+−=
=−=
c)
e)b)
d)a) 2
 
 
2) O custo diário de produção de uma indústria de aparelhos telefônicos é dado por C(x) = x2 – 86x + 
2500, onde C(x) é o custo em dólares e x é o número de unidades fabricadas. Quantos aparelhos devem 
ser produzidos diariamente para que o custo seja mínimo? 
 
 
3) Um foguete experimental é disparado do topo de uma 
colina, toca a extremidade superior de uma árvore, sem 
mudar sua trajetória e atinge o solo, conforme a figura a 
seguir. Determine a altura máxima atingida. 
 
 
 
 
4) Certo dia, numa praia, a temperatura atingiu o seu 
valor máximo às 14 h. Suponhamos que, neste dia, a temperatura f(t) em graus Celsius era uma função 
do tempo t, medido em horas, dada por f(t) = – t2 + bt – 160, quando 8 ≤ t ≤ 20. 
Obtenha: 
a) o valor de b; 
b) a temperatura máxima atingida nesse dia; 
c) o gráfico de f. 
 
5) Duas plantas de mesma espécie A e B, que nasceram no mesmo dia, foram tratadas desde o início com 
adubos diferentes. Um botânico mediu todos os dias o crescimento (em centímetros) destas plantas. Após 
10 dias de observação, ele notou que o gráfico que representa o crescimento da planta A é uma reta que 
passa por (2 , 3) e o que representa o crescimento da planta B pode ser descrito pela função 
12
24 2xxy −= . 
Um esquema desta situação está apresentado ao lado. Calcule: 
a) a “lei” que descreve o crescimento da planta A; 
b) o dia em que as plantas A e B atingiram a mesma altura e qual foi essa altura. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Planta A 
Planta B 
Tempo x (dias) 
Altura y 
(cm) 
2 
3 
0 
Cálculo I 
Material elaborado por Deborah Jorge e Karina Borges Mendes 23 
 
6) Qual a função geradora da párabola abaixo? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
7) Sabendo-se que uma curva que representa uma função de segundo grau passa pelos pontos (-3, 1), (1, 
1) e (0, 6), determine a lei desta função. 
 
 
8) Sabe-seque o lucro total “L” de uma empresa é dado pela fórmula L = R – C, em que, “R” é a receita 
total e “C” é o custo total da produção (em reais). Numa certa empresa que produziu “p” unidades em 
determinado período, verificou-se que R(p) = 1000p – p2 e C(p) = 300 + 40p + p2. Nestas condições, 
determine: 
a) a função L(p); 
b) a produção “p” para que o lucro da empresa seja o máximo possível para esta situação; 
c) o lucro máximo; 
d) o lucro obtido para uma produção de 300 unidades. 
 
 
 
9) Sabe-se que o lucro total de uma empresa é dado pela fórmula L = R – C, em que L é o lucro total, R é 
a receita total e C é o custo total de produção. Numa empresa que produziu x unidades, verificou-se que 
R(x) = 600x – x2 e C(x) = x2 + 2000. Nessas condições, qual deve ser a produção x para que o lucro da 
empresa seja máximo? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
-20
-15
-10
-5
0
5
10
-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 101112
 
 
 
Cálculo I 
Material elaborado por Deborah Jorge e Karina Borges Mendes 24 
 
Respostas: 
 
 1. a) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 b) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 c) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 d) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 3 x 
y 
 - 9 
 –3 
• Valor mínimo = - 9 
 
• Ponto de mínimo → (0,- 9) 
• Im = { y ∈ R | y ≥ - 9 } 
x 
 
• 1/2 2 
y 
2 
 
 -9/8 
 
 
 5/4 
 
• Valor mínimo = - 9/8 
 
• Ponto de mínimo → (5/4,- 9/8) 
• Im = { y ∈ R | y ≥ - 9/8 } 
 x 2 4 
12 
y 
0 
 
V • Valor máximo = 12 
 
• Ponto de máximo → (2, 12) 
• Im = { y ∈ R | y ≤ 12 } 
x 
8 
–2 
y 
• 
–1 
• 
• 
1 2 
• 2 
• 
• Valor mínimo = 0 
 
• Ponto de mínimo → (0,0) 
• Im = { y ∈ R | y ≥ 0 } 
Cálculo I 
Material elaborado por Deborah Jorge e Karina Borges Mendes 25 
 
 
e) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
x 
–16 
– 8 
y 
• 
– 4 0 
• 
• 
V • Valor máximo = 0 
• Ponto de máximo → (– 4, 0) 
• Im = { y ∈ R | y ≤ 0 } 
 
2) 43 aparelhos 
 
3) ≅ 29,3 m 
4a) b = 28 4b) temper. máxima = 36 ºC (YV) 
 
4c) 
 
tempo (h) 8 14 20 
36 
temperatura (ºC) 
0 
V 
 
 
5 a) y = 3x/2 
 b) atingiram a mesma altura, de 9 cm, no 6º dia 
 
6) y= -x2+7x-10 
 
7) y = (-5/3) x2- (10/3) x+6 
 
 8.a) L(p) = – 2p2 + 960p – 300; b) p = 240; c) 114.900; 
 d) 107.700 
 
9) 150 
 
 
 
 
 
 
Cálculo I 
Material elaborado por Deborah Jorge e Karina Borges Mendes 26 
 
 
1.3.4 FUNÇÃO EXPONENCIAL E FUNÇÃO LOGARÍTMICA 
 
1. Em uma experiência sobre deterioração de alimentos, constatou-se que a população de um certo tipo 
de bactérias dobrava a cada hora. Se no instante que começaram as observações havia 50 bactérias, qual a 
população de bactérias após 4 horas? 
 
Resolução: 
 
No instante inicial : 50 bactérias 
Após 1 hora será: 50 . 2 
Após 2 horas será: 50 . 2. 2 = 50 . 22 
Após 3 horas será: 50 . 22. 2 = 50 . 23 
Após 4 horas será: 50 . 23. 2 = 50 . 24 , logo, teremos 800 bactérias depois de 4 horas. 
 
Enfim, para cada hora x que se escolha há um número y de bactérias. O valor de y, portanto, é uma 
função de x, e a lei que expressa y em função de x é y = 50 . 2x, que é um caso particular de função 
exponencial. 
 
2. Considere os dados da tabela a seguir, que mostram o crescimento de uma população (em milhares) de 
bactérias. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Qual a equação que descreve esse crescimento populacional de bactérias? Esboce o gráfico. 
 
Resolução: 
 
Os dados da tabela acima mostram o crescimento de uma população (em milhares) de bactérias 
inoculadas em um meio de cultura. Para avaliar como a população está aumentando, observa-se seu 
crescimento a cada geração nos dados da terceira coluna. Se a população estivesse crescendo 
linearmente, todos os números na terceira coluna seriam iguais. Também, podem-se analisar a segunda e 
a terceira variações para concluir que estas não tendem a se estabilizar. Assim, este crescimento 
populacional não pode ser descrito por polinômios. De fato, populações em geral crescem muito 
rapidamente, pois a cada geração são mais indivíduos para se reproduzir, o que justifica o fato de os 
valores da terceira coluna serem sempre crescentes. 
 
Dividindo a população de cada geração pela da geração anterior, obtém-se: 
3,1
140
182
0 geração da população
1 geração da população == 
3,1
182
6,236
1 geração da população
2 geração da população == 
 
 
 
 
 
x 
(geração) 
P(x) 
(milhares) 
0 140 
1 182 
2 236,6 
3 307,58 
4 399,854 
5 519,81 
6 675,753 
Cálculo I 
Material elaborado por Deborah Jorge e Karina Borges Mendes 27 
 
 
Efetuando os mesmos cálculos para os outros dados, ter-se-á também o valor 1,3. Considerando-se x o 
número de gerações, a população pode ser escrita da seguinte maneira: 
( )xxP 3,1140)( ⋅= 
 
ou seja, 
quando x = 0, a população = 140 = ( )03,1140 ⋅ ; 
quando x = 1, a população = 182 = ( )13,1140 ⋅ ; 
quando x = 2, a população = 236,6 = ( )23,1140 ⋅ ; 
quando x = 3, a população = 307,58 = ( )33,1140 ⋅ ; 
 
 
Esta é uma função exponencial com base 1,3, assim chamada porque a variável x está no expoente. A 
base representa um fator de crescimento pelo qual a população muda a cada geração. Considerando r a 
taxa percentual, diz-se neste caso que a taxa de crescimento é r = 30% = 0,3. 
 
Se a equação for válida para as próximas 10 gerações, a população será ( ) 02,19303,1140)10( 10 =⋅=P . 
 
 
Graficamente, tem-se: 
 
População de Bactérias
0
500
1000
1500
2000
2500
0 2 4 6 8 10 12
x
P
(x
)
 
 
P(x) é uma função crescente, pois os valores aumentam para valores crescentes de x. Note também que a 
população cresce mais rápido quanto maior é o número de gerações. Este comportamento é próprio das 
funções exponenciais. 
 
Embora o gráfico seja uma linha cheia, isto é, contínua, ele mostra apenas uma boa aproximação da 
realidade, pois sabe-se que não há fração de população. 
 
Para reconhecer que os dados de uma tabela descrevem uma função exponencial, basta observar se as 
razões dão um fator constante. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Cálculo I 
Material elaborado por Deborah Jorge e Karina Borges Mendes 28 
 
 
1.3.4.1 DEFINIÇÃO 
 
Toda função f: ℜ → ℜ definida por f(x) = y0. ax , com a ∈ ℜ , a > 0 e a ? 1 e x ∈ ℜ é denominada 
função exponencial de base a. 
 
Propriedades: 
• Se a > 1 a função f(x) = y0. ax será crescente. Exemplos: f(x) = 2x, g(x) = ( )x23 
 
• Se 0 < a < 1 a função f(x) = y0. ax será decrescente . Exemplos: f(x) = ( )x21 , g(x) = (0,3)x 
 
• Sendo a função f(x) = ax, definida anteriormente, temos que ∀ x ∈ R, encontraremos ax > 0. Como 
todos os valores de “y” serão positivos, o gráfico se localizará totalmente acima do eixo “x”, concluindo-
se então que o conjunto imagem da função será dado por Im = { y ∈ R / y > 0 } ou ainda, de forma mais 
breve: Im = R ∗+ . 
 
• Decorrente do item anterior teremos, coincidente com o eixo das abscissas, uma assíntota horizontal. 
 
 
1.3.4.2 GRÁFICOS 
 
Exemplo 1: 
 
y = 2x 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplo 2: 
 
y = (1/2)x 
X y 
-3 0,125 
-2 0,25 
-1 0,5 
0 1 
1 2 
2 4 
3 8 
x y 
-3 8 
-2 4 
-1 2 
0 1 
1 0,5 
2 0,25 
3 0,125 
y =(1/2)
x
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
x
y
 
y = 2 x
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
x
y
 
 
 
 
 
Cálculo I 
Material elaborado por Deborah Jorge e Karina Borges Mendes 29 
1.3.4.3 EXERCÍCIOS PROPOSTOS 
 
1) Construa cada dupla de gráficos das funções abaixo no mesmo sistema cartesiano ortogonal. 
a) xxf 3)( = e( )xxg 31)( = b) 12)( += xxf e 12)( += xxg 
 
2) Construa o gráfico das funções abaixo, determinando o conjunto imagem e representando 
também as respectivas assíntotas. 
 
a) 12)( −= xxf b) 22 += xy c) 13)( −= xxg d) 23)( −= xxh 
 
e) xxf 22)( = f) 
x
xg
2
3
1)( 



= g) 
x
y
−





=
3
1
 
 
 
1.3.4.4 LOGARITMAÇÃO 
 
Resolver as seguintes equações exponenciais: 
 
a) 2x – 512 = 0 b) 3 . 4x+1 = 96 c) 3x = 2 
 
 
Utilizando somente os conceitos usuais de equações exponenciais, não poderemos solucionar a 
equação do item “c”. Para chegarmos à solução da referida equação precisaremos conhecer os 
logaritmos. 
 
 
Matematicamente, podemos escrever um número de várias formas: 
 
 
O número 
4
3
 pode ser escrito na forma )25,0.(3
4
1
3 =⋅ . 
 
Observe que na forma 1ª forma, a fração pode ser considerada uma divisão e na 2ª forma, a 
operação utilizada é a multiplicação. Podemos trocar a operação de um número sem alterar o seu 
valor. Utilizando um raciocínio similar, podemos transformar as equações: 
 
23 =x ⇔ x=2log 3 
 ? forma exponencial ? forma logarítmica 
 
Desta maneira, temos a definição da operação logaritmação: 
 
 
 bxaxba =⇔=log 




ℜ∈
≠>
>
x
1ae0a
0b
com 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
base logaritmando ou 
antilogaritmo 
Logaritmo Simbolo da 
operação 
Expoente 
Base 
 
base logaritmando ou 
antilogaritmo 
Logaritmo Simbolo da 
operação 
Expoente 
Base 
Cálculo I 
Material elaborado por Deborah Jorge e Karina Borges Mendes 30 
 
Através da definição podemos observar que o logaritmo é um expoente . Assim sendo... 
 
823 = ⇔ 38log 2 = 
 
3225 = ⇔ 532log2 = 
 
813 =x ⇔ x=81log 3 
 
Neste último caso, resolvendo o logaritmo, temos que: x=81log 3 
 813 =x 
 433 =x 
 4=x ∴ 481log 3 = 
 
• Logaritmo decimal (base 10) → 2100log100log 10 == 
 
• Logaritmo natural ou neperiano (base e ) → 01log1ln == e 
 ? e = 2,7182818284... (número de Euler ou Neperiano) 
 
 
Propriedades Importantes dos Logaritmos: 
 
 cbcb aa =⇔= loglog bnb
n log.log = 
 
 
 caca bbb loglog).(log += cac
a
bbb logloglog −=




 
 
Mudança de Base: 
 
Para mudarmos a base “a” de um logaritmo, para uma base “c” de livre escolha (c > 0 e c ≠ 1), 
utilizamos a fórmula: 
 
 
a
b
b
c
c
a log
log
log = 
 
1.3.4.5 EXERCÍCIOS PROPOSTOS 
 
1) Curva de Aprendizagem é um conceito criado por psicólogos que constataram a relação 
existente entre a eficiência de um indivíduo e a quantidade de treinamento ou experiência 
possuída por este indivíduo. Um exemplo de Curva de Aprendizagem é dado pela expressão 
teQ 5,0300700 −−= , em que: 
Q = quantidade de peças produzidas mensalmente por um funcionário; 
t = meses de experiência; 
 
a) De acordo com essa expressão, quantas peças um funcionário com 1 mês de experiência deverá 
produzir mensalmente? 
b) E um funcionário sem qualquer experiência, quantas peças deverá produzir mensalmente? 
Compare esse resultado com o resultado do item a. Há coerência entre eles? 
c) Construa o gráfico Q X t 
Cálculo I 
Material elaborado por Deborah Jorge e Karina Borges Mendes 31 
2) A produção de uma peça numa empresa é expressa pela função y = 100 – 100.e-0,2d, onde y é o 
número de peças e d o número de dias. A produção de 87 peças será alcançada em quantos dias? 
Esboce o gráfico que representa esta função. 
 
3) Uma imobiliária acredita que o valor v de um imóvel no litoral varia segundo a lei v(t) = 
50.000•(0,9)t, em que t é o número de anos contados a partir de hoje. 
a) Qual é o valor atual desse imóvel? 
b) Qual é a desvalorização percentual anual desse imóvel? 
c) Quanto valerá esse imóvel daqui a 2 anos? 
d) Daqui a quantos anos o imóvel valerá R$ 29.524,50? 
 
4) A expressão tktP 05,02)( •= fornece o número P de milhares de habitantes de uma cidade, 
em função do tempo t, em anos. Se em 1990 essa cidade tinha 300.000 habitantes, quantos 
habitantes, aproximadamente, ela possuía no ano 2000? 
 
5) Um corpo com temperatura de 200oC é exposto ao ar e após 30 segundos sua temperatura 
atinge 120oC. Sabendo que seu resfriamento obedece a função: T = c.ekt + Ta 
Onde: T ⇒ temperatura; t ⇒ tempo; c, k ⇒ constantes; Ta ⇒ 20oC. 
a) Determinar a temperatura após 1 hora. 
b) Determinar o tempo necessário para atingir 40oC. 
 
6) Sabe-se que a população de bactérias em uma cultura pode ser modelada pela função p = c.ekt, 
onde “p” representa o número de bactérias e “t” o tempo. Sabe-se que em 8 horas de cultura a 
população era de 1200 bactérias, isto para uma população inicial de 250 bactérias. Determine a 
população para 1 dia e 2 dias. 
 
7) Um estudo revelou que a população de peixes de um lago está crescendo à taxa de 25% ao 
ano. Isso significa que a população de peixes em um determinado ano é 1,25 vez maior que a 
população do ano anterior. Atualmente, essa população está estimada em 1.000 peixes. 
a) Obtenha a lei que define o número de peixes n nesse lago daqui a t anos. 
b) Qual será a população de peixes daqui a 1 ano? E daqui a 3 anos? 
c) Esboce o gráfico dessa função. 
 
8) Uma maionese mal conservada causou mal-estar nos freqüentadores de um restaurante. Uma 
investigação revelou a presença da bactéria salmonela, que se multiplica segundo a lei: 
attn 2200)( •= , em que n(t) é o número de bactérias encontradas na amostra de maionese t 
horas após o início do almoço e a é uma constante real. 
a) Determine o número inicial de bactérias. 
b) Sabendo que após 3 horas do início do almoço o número de bactérias era de 800, determine o 
valor da constante a. 
c) Determine o número de bactérias após 1 dia da realização do almoço. 
 
9) Segundo dados de uma pesquisa, a população de certa região do país vem decrescendo em 
relação ao tempo t, contado em anos, aproximadamente, segundo a relação: tPtP 25,04)0()( −•= . 
Sendo P(0) uma constante que representa a população inicial dessa região e P(t) a população t 
anos após, determine quantos anos se passarão para que essa população fique reduzida à metade. 
 
10) Considerando-se as taxas de natalidade e mortalidade, a população da cidade A apresenta 
crescimento de 5% ao ano, e a população da cidade B aumenta, a cada ano, 1.500 habitantes em 
relação ao ano anterior. Em 1990, a população da cidade A era de 200.000 habitantes e a 
população da cidade B era de 220.000 habitantes. 
a) Obtenha a lei que representa a população P de cada uma das duas cidades em t anos, a partir 
de 1990. 
b) Forneça a população de A e de B em 2003. 
c) Faça um esboço dos gráficos que representam as leis obtidas no item a no mesmo plano 
cartesiano. 
Cálculo I 
Material elaborado por Deborah Jorge e Karina Borges Mendes 32 
 
11) No primeiro dia útil de 2003 (data que será chamada de “data-base”), um investidor tem o 
saldo de R$ 15.000,00 numa aplicação financeira (estamos supondo que os rendimentos do último 
período que antecedeu à data-base já tenham sido creditados). 
Durante os próximos meses, são pagos a esse investidor rendimentos a uma taxa de 15% ao mês. 
Supondo que a partir da data-base não foram feitos nem depósitos nem retiradas, calcule o saldo 
dessa conta com relação à data-base, após: 
a) 1 mês; 
b) 2 meses; 
c) 3 meses; 
d) 12 meses; 
e) n meses (n inteiro, n≥ 0). 
 
12) Suponha que você deposite R$ 1000 numa conta que rende juros cuja taxa é 2% ao mês e 
acumule esse juro ao seu capital inicial mensalmente. Quanto você terá após 6 meses de 
aplicação? 
 
13) O gráfico abaixo é gerado pela função y = c.ekx + 10. Determinar: 
a) o valor de y para x = 30 
b) o valor de x para y = 12 
 
 y50 
 
 
 
 20 
 
 
 10 x 
 
 
 
 
Respostas: 
 
1) a) 518 peças; b) 400 peças 
2) 10,2 dias 
3) a) R$ 50.000,00; b) 10%; c) R$ 40.500,00; d) 5 anos 
4) 424.264 habitantes 
5) a) T = 20oC; b) t ≅ 112 segundos 
6) P(24) = 27.647 bactérias e P(48) = 3.057.647 bactérias 
7) a) n = 1000•(1,25) t; b)1250 peixes; 1953 peixes; c) Gráfico 
8) a) 200 bactérias; b) a = 2/3; c) 13.107.200 bactérias 
9) 2 anos 
10) a) PA = 200.000 • (1,05)t e PB = 220.000 + 1500t; b) PA = 377.129 habitantes e PB = 239.500 habitantes; c) Gráfico 
11) a) R$ 17.250,00; b) R$ 19.837,50; c) R$ 22.813,13; d) R$ 80.253,75; e) saldo = 15.000 • (1,15)n 
12) R$ 1126,16 
13) a) y = 10,6255 b) x = 21,6142 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Cálculo I 
Material elaborado por Deborah Jorge e Karina Borges Mendes 33 
 
1.3.5 FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS 
 
1.3.5.1 RAZÕES TRIGONOMÉTRICAS NO TRIÂNGULO RETÂNGULO 
 
Considerando o triângulo retângulo da figura: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Teorema de Pitágoras: a hipotenusa ao quadrado é igual a soma dos quadrados dos catetos 
( 222 cba += ) 
 
Obs. a hipotenusa é sempre o maior lado do triângulo retângulo. 
 
Para um ângulo agudo de um triângulo retângulo, define-se: 
 
Seno de um ângulo é a razão entre a medida do cateto oposto a esse ângulo e a medida da 
hipotenusa. 
 
Cosseno de um ângulo é a razão entre a medida do cateto adjacente a esse ângulo e a medida da 
hipotenusa. 
 
Tangente de um ângulo é a razão entre a medida do cateto oposto a esse ângulo e a medida do 
cateto adjacente a esse ângulo. 
 
 
 
 
 
 
 
 
1.3.5.2 CICLO TRIGONOMÉTRICO 
 
Denomina-se ciclo trigonométrico uma circunferência de raio unitário, fixada em um plano 
cartesiano, de centro O, sobre a qual marcamos um ponto A (origem), e adotamos como sentido 
positivo de percurso o sentido anti-horário. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
a
b
B̂sen = 
a
c
B̂cos = 
c
b
B̂tg = 
a
c
Ĉsen = 
a
b
Ĉcos = 
b
c
Ĉtg = 
cateto hipotenusa 
cateto 
 b 
 
c 
a 
 
A C 
B 
 
 B 
 
 C 
 D 
 
 A 
 y 
 
 
r = 1 x 
+ 
_ 
 
 O 
Os pontos A(1, 0); B(0,1); C(-1, 0) e D(0, -1) pertencem a 
circunferência e a dividem em 4 partes iguais 
denominadas quadrantes. 
 
Cálculo I 
Material elaborado por Deborah Jorge e Karina Borges Mendes 34 
 
1.3.5.3 SENO, COSSENO E TANGENTE NO CICLO TRIGONOMÉTRICO 
 
 
TABELAS DOS VALORES NOTÁVEIS 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Observações: 
• Relação Fundamental entre o seno e o cosseno: sen2 x + cos2 x = 1 
• 
xcos
senx=xtg 
 
 
1.3.5.4 FUNÇÕES SENO, COSSENO E TANGENTE 
 
a. Função seno é a função que faz corresponder a cada número real x o número y = sen x. 
b. Função Cosseno é a função que faz corresponder a cada número real x o número y = cos x. 
c. Função Tangente é a função que faz corresponder a cada número real x, x? p/2 + kp, onde k 
? Z, o número y = tg x. 
 
Função Seno e Função Cosseno: 
 
• Domínio: D = R 
• Conjunto Imagem: Im = [-1,1] 
 
 
 
 
 
 
 
 
30o 
(p/6) 
 
45o 
(p/4) 
 
60o 
(p/3) 
 
seno 2
1
 
2
2
 
2
3
 
 
cosseno 2
3
 
2
2
 2
1
 
 
tangente 3
3
 
1 3 
 
0o 
(0 
rad) 
 
90o 
(p/2 
rad) 
 
180o 
(p 
rad) 
 
270o 
(3p/2 
rad) 
 
360o 
(2p 
rad) 
 
seno 
 
0 
 
1 
 
0 
 
-1 
 
0 
 
cosseno 
 
1 
 
0 
 
-1 
 
0 
 
1 
 
tangente 
 
0 
 
∃/ 
 
0 
 
∃/ 
 
0 
sen 
 
? / 2 
 
 
0 
 
1 
2
3
2
2
2
1
 
2
1
2
2
2
3
 
 
 
1 
p/4 
 
p/3 
 
p/6 
 
cos 
Cálculo I 
Material elaborado por Deborah Jorge e Karina Borges Mendes 35 
1.3.5.5 GRÁFICOS 
 
1. SENO 
 
 
Função Seno
-1,5
-1
-0,5
0
0,5
1
1,5
x
y
 
 
 
 
 
2. COSSENO 
 
 
 
Função Cosseno
-1,5
-1
-0,5
0
0,5
1
1,5
x
y
 
 
 
1.3.5.6 PROPRIEDADES DAS FUNÇÕES SENO E COSSENO 
 
a. Função Limitada 
 Estas funções são limitadas pois : -1 = sen x = 1 e -1 = cos x = 1, para todo x real. 
 
b. Amplitude 
 Amplitude é a metade da diferença entre os valores máximo e mínimo de uma função. 
 Os valores máximo e mínimo das funções seno e cosseno são 1 e –1, assim a amplitude de ambas 
as funções é 1. 
 
c. Função Periódica 
Período: é o tempo para que a função execute um ciclo completo. 
O gráfico da função seno e também o da função cosseno, percorre um ciclo completo de 0 a 2? , 
todo o resto do gráfico é só uma repetição deste pedaço. Portanto o período destas 2 funções é p = 
2? . 
 
 
 
 
 
x y 
0 0 
π/2 1 
π 0 
 3π/2 -1 
 2π 0 
X Y = cos x 
0 1 
π/2 0 
π -1 
3π/2 0 
2π 1 
 
2p p/2 p 3p/2 -p/2 -2p -3p/2 -p 
 3p/2 2p p/2 p -p/2 -2p -3p/2 -p 
Cálculo I 
Material elaborado por Deborah Jorge e Karina Borges Mendes 36 
 
1.3.5.7. EXEMPLOS 
 
1. Esboce o gráfico de y = 3 sen t e use-o para determinar a amplitude e o período. 
 
 
 y = 3 sen t
-3
-2
-1
0
1
2
3
t
y
 
 
As ondas têm um máximo de 3 e um mínimo de –3, assim a amplitude é 3. 
O gráfico completa um ciclo entre t = 0 e t = 2? , sendo assim o período é 2? . 
 
 
2. Esboce o gráfico de y = cos 2 t e use-o para determinar a amplitude e o período. 
 
 
y = cos 2 t
-1,5
-1
-0,5
0
0,5
1
1,5
t
y
 
 
As ondas têm um máximo de 1 e um mínimo de –1, logo a amplitude é 1. 
O gráfico completa um ciclo entre t = 0 e t = ? , logo o período é p = ? . 
 
3. Esboce o gráfico de y = sen (t + ? /2) e use-o para determinar a amplitude e o período. 
 
 
y = sen (t+p/2)
-1,5
-1
-0,5
0
0,5
1
1,5
t
y
 
 2p p/2 p 3p/2 -p/2 -2p -3p/2 -p 
 2p p/2 p 3p/2 -p/2 -2p -3p/2 -p 
 p 2p p/2 3p/2 -p/2 -2p -3p/2 -p 
Cálculo I 
Material elaborado por Deborah Jorge e Karina Borges Mendes 37 
 
Tem amplitude A = 1. 
Tem período p = 2p. 
É o gráfico de y = sen t deslocado de p/2 unidades para a esquerda. (Observe que é o gráfico de 
y = cos t) 
 
 
4. Faça o gráfico de y = A sen t para diferentes valores de A. Descreva o efeito de A sobre o gráfico. 
 
 
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
t
y
 
 
 
5. Faça o gráfico de y = sen B t para diferentes valores de B. Descreva o efeito de B sobre o gráfico. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Os gráficos de y = sen Bt, para B = 1/2 o período é 4p, quando B = 1 o período é 2? , quando B = 
2 o período é ? . O valor de B afeta o período da função. Os gráficos sugerem que quanto maior 
for B, “mais depressa” a onda se repete e mais curto é o período. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Nos gráficos de y = A sen t para A = 1, 2, 3, 
valores positivos, observa-se que A é a 
amplitude. 
Faça o gráfico de y = A sen t para valores 
negativos de A e descreva o efeito de A sobre 
o gráfico. 
y = sen 1/2 t ( B =1/2)
-1,5
-1
-0,5
0
0,5
1
1,5
t
y
 p 2p 
y = sen t ( B = 1)
-1,5
-1
-0,5
0
0,5
1
1,5
t
y
y = sen 2t (B = 2)
-1,5
-1
-0,5
0
0,5
1
1,5
t
y
2p p 3p 4p 
2p 
 4p 
 2p 4p 
Cálculo I 
Materialelaborado por Deborah Jorge e Karina Borges Mendes 38 
 
1.3.5.8 FAMÍLIA DE CURVAS 
 
As constantes A, B, C e D são chamadas parâmetros. Pode-se estudar as famílias de curvas 
variando um dos parâmetros de cada vez. 
As funções y = A sen (Bt + C) + D e y = A cos (Bt + C) + D são periódicas com: 
 
• Amplitude = IAI, 
• Período 
IBI
p
π
=
2
, 
• Deslocamento horizontal = C/B 
• Deslocamento vertical = D 
 
1.3.5.9 EXERCÍCIOS PROPOSTOS 
 
1) Esboce o gráfico das funções abaixo. Quais são seus períodos e suas amplitudes? 
 
a) y = 3 sen x 
b) y = -3 sen x 
c) y = 5 cos t 
d) y = -5 cos t 
e) y = sen (x) + 1 
f) y = cos (x/2) 
g) y = sen (5x) + 1 
h) y = sen(x + ? ) 
 
2) A 10 de fevereiro de 1990, a maré alta em determinada cidade foi à meia noite. A altura de 
água no porto é uma função periódica, pois oscila regularmente entre maré alta e baixa. A altura 
(em pés) é aproximada pela fórmula 
 )t
6
cos(9,4+5=y
π
, 
onde t é o tempo em horas desde a meia noite de 10 de fevereiro de 1990. 
 
a) Esboce um gráfico dessa função em 10 de fevereiro de 1990 (de t = 0 a t = 24) 
b) Qual era a altura da água à maré alta? 
c) Quando foi a maré baixa e qual era a altura da água nesse momento? 
d) Qual é o período desta função e o que ele representa em termos das marés? 
e) Qual é a amplitude desta função e o que ela representa em termos das marés? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
i) y = 2 sen (x + ? ) 
j) y = ½ (cos 3x) +1 
k) y = cos(t/4) – 2 
l) y = 2 sen(4x) – 2 
m) y = 3 cos (x + ? ) -1 
n) y = 2 sen (x + ? /2) + 1 
o) y = -1cos (2t) -2 
p) y = -3 cos (x + ? ) +1 
Cálculo I 
Material elaborado por Deborah Jorge e Karina Borges Mendes 39 
Respostas: 
 
1) a) e) 
y = 3 sen x
-3
-2
-1
0
1
2
3
0 90 180 270 360
 
 
b) 
y = -3 sen x
-3
-2
-1
0
1
2
3
0 90 180 270 360
 
 
c) 
y = 5 cos t
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
0 90 180 270 360
 
 
d) 
 
y = -5 cos t
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
0 90 180 270 360
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
y = sen (x) + 1
-2
-1
0
1
2
0 90 180 270 360
 
 
f) 
y = cos(x/2)
-1
-0,5
0
0,5
1
0 180 360 540 720
 
g) 
 
y=sen(5x)+1
-1
-0,5
0
0,5
1
1,5
2
0 18 36 54 72
 
 
h) 
 
 
y=sen(x+p)
-1
-0,5
0
0,5
1
-270 -180 -90 0 90 180 270 360
 
Cálculo I 
Material elaborado por Deborah Jorge e Karina Borges Mendes 40 
 
i) m) 
 
y=2 sen(x+p)
-2
-1
0
1
2
-270 -180 -90 0 90 180 270 360
 
 
j) 
y=0,5(cos3x)+1
-1,5
-1
-0,5
0
0,5
1
1,5
0 30 60 90 120
 
 
k) 
y=(cosx/4)-2
-3
-2,5
-2
-1,5
-1
-0,5
0
0 360 720 1080 1440
 
 
l) 
y=2sen(4x)-2
-4
-3
-2
-1
0
0 22,5 45 67,5 90
 
 
 
 
 
 
2)a) gráfico; b) 9,9 m; c) 6 e 18 horas e altura de 0,1 m; d) 12 horas; e) 4,9 
 
 
 
 
y=3cos(x+p)-1
-4
-3
-2
-1
0
1
2
-270 -180 -90 0 90 180 270 360
 
 
n) 
 
y=2sen(x+p/2)+1
-2
-1
0
1
2
3
-180 -90 0 90 180 270 360
 
 
o) 
 
y=-cos(2x)-2
-3
-2,5
-2
-1,5
-1
0 45 90 135 180
 
p) 
 
y=-3cos(x+p)+1
-2
-1
0
1
2
3
4
-270 -180 -90 0 90 180 270 360
 
Cálculo I 
Material elaborado por Deborah Jorge e Karina Borges Mendes 41 
Capítulo 2: Limite e Continuidade 
2.1 EXEMPLO 
1. Sob temperatura constante, o volume de certa massa de um gás perfeito é função da pressão a que 
o mesmo está submetido. A lei dessa função é dada pelo gráfico abaixo, que representa: 
P
k
V = , 
onde k é uma constante que depende da massa e da temperatura do gás. 
 
 
 
 
 
 
 
a) Com respeito a função 
P
k
V = , com P > 0 (não tem sentido físico considerar a pressão P como 
sendo nula ou negativa), o que se pode dizer de V quando P diminui, tendendo a zero? 
b) Para a mesma função o que acontece com V quando P cresce, tornando-se muito grande, tão 
grande quanto se queira, isto é, quando P tende para mais infinito? 
 
Resolução: 
a) Quando P diminui, tendendo a zero, escrevemos: 
P à +0 , ou seja, P tende a zero por valores maiores que zero, pela direita. E quando isto acontece, V 
se torna muito grande, tão grande quanto se queira, isto é, V tende para mais infinito e escrevemos: 
V à +∞. 
Para exprimir essa simultaneidade de tendências usamos a linguagem dos limites: •‡
•¨
+=
+
Vlim
0P
. 
b) Quando P cresce, tornando-se muito grande, tão grande quanto se queira, isto é, quando P à +∞, 
V tenderá a zero, ou seja, V à 0. E para exprimir essa simultaneidade usamos mais uma vez a 
linguagem dos limites: 0lim =
+∞→
V
P
. 
 
 
2.2 NOÇÃO INTUITIVA DE LIMITE 
Seja a função f(x) = 2x + 1. Vamos dar valores a x que se aproximem de 1, pela sua direita (valores 
maiores que 1) e pela esquerda (valores menores que 1) e calcular o valor correspondente de y: 
x y = 2x + 1 x y = 2x + 1 
1,5 4 0,5 2 
1,3 3,6 0,7 2,4 
1,1 3,2 0,9 2,8 
1,05 3,1 0,95 2,9 
1,02 3,04 0,98 2,96 
1,01 3,02 
 
0,99 2,98 
 
 
 
 
0
10
20
30
40
50
0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5
Pressão (atm)
V
ol
um
e 
(c
m
3 )
Cálculo I 
Material elaborado por Deborah Jorge e Karina Borges Mendes 42 
 
 
 
 
 
Notamos que à medida que x se aproxima de 
1, y se aproxima de 3, ou seja, quando x tende 
para 1 (x 1), y tende para 3 (y 3), ou 
seja: 
312lim
1
=+
→
x
x
 
Vemos que é possível fazer o valor de f(x) tão 
próximo de 3 quanto desejarmos, tornando x 
suficientemente próximo de 1. 
 
2.3 DEFINIÇÃO 
Assim, de forma geral, escrevemos: 
( ) bxf
ax
=
→
lim 
quando x se aproxima de a (x à a), f(x) se aproxima de b (f(x) à b). 
 
2.4 LIMITES LATERAIS 
Seja f uma função definida em um intervalo aberto I (a, c). Dizemos que um número real L é o limite à 
direita da função f quando x tende para "a" pela direita, e escrevemos: 
 Lxf
ax
=
+→
)(lim isto é, todos os valores de x são sempre maiores do que "a". 
Seja f uma função definida em um intervalo aberto I (a, c). Dizemos que um número real L é o limite à 
esquerda da função f quando x tende para "a" pela esquerda, e escrevemos: 
 Lxf
ax
=
−→
)(lim isto é, todos os valores de x são sempre menores do que "a". 
 
TEOREMA: Seja f uma função definida em um intervalo aberto I contendo a, exceto possivelmente no ponto 
a, então: 
 Lxf
ax
=
→
)(lim se e somente se: Lxfxf
axax
==
−+ →→
)(lim)(lim 
Lê-se: limite de f de x, quando x tende a a é L 
Cálculo I 
Material elaborado por Deborah Jorge e Karina Borges Mendes 43 
EXEMPLOS: 
 1) Verifique se existe o limite da função f(x) = x² + 1, quando x tende a 1. 
Solução: 
1lim 2
1
+
−→
x
x
 = (1)² + 1 = 2 
1lim 2
1
+
+→
x
x
 = (1)² + 1 = 2 
Como 2)(lim)(lim
11
==
+− →→
xfxf
xx
, logo, 21lim 2
1
=+
→
x
x
 
 
2) Verifique se existe o limite de 



≥−
<+
=
1,2
1,1
)(
xsex
xsex
xf , em x = 1. 
Solução: 
1lim
1
+
−→
x
x
 = 1 + 1 = 2 
x
x
−
+→
2lim
1
 = 2 – 1 = 1 
 
Como )(lim)(lim
11
xfxf
xx +− →→
≠ , Logo, existenãoxf
x
=
→
)(lim
1
 
3) Seja f(x) a função definida pelo gráfico: 
 
Intuitivamente, encontre se existir: 
a) 1)(lim
3
−=
−→
xf
x
 d) 1)(lim −=
−∞→
xf
x
 
b) 3)(lim
3
=
+→
xf
x
 e) 3)(lim =
+∞→
xf
x
 
c) ∃=
→
)(lim
3
xf
x
 f) 3)(lim
4
=
→
xf
x
 
 
 
 
 
 
Cálculo I 
Material elaborado por Deborah Jorge e Karina Borges Mendes 44 
2.5 EXERCÍCIOS PROPOSTOS 
1. Os cientistas P. F. Verhulst, R. Pearl e L. J. Reed, contrariando a teoria de Malthus de que as populações 
crescem em progressão geométrica, propuseram uma lei de crescimento populacional cujo gráfico tem o 
seguinte aspecto: 
 
Para Pearl e Reed as condiçõesfísicas determinavam um limite superior L para a população de uma região 
ou país e, utilizando os censos norte-americanos de 1790 a 1910, obtiveram a lei experimental: 
tx
P
−+
=
03,1 32,67 1
274,197 
onde P é a população norte-americana em milhões de habitantes, t anos após 1790. 
Calcule o limite da função P, quando t à +∞. 
2. A população de uma colônia de bactérias varia segundo a função definida por: 
te
tP
−+
=
75
60)( , onde P(t) 
é dada em bilhões e t em dias. Descreva o que acontece com a população no decorrer do tempo. Verifique a 
sua conclusão achando ).(lim tP
t +∞→
 
 
3. Seja f(x) a função definida por cada gráfico, intuitivamente, encontre se existir: 
 
a) b) 
 
 
 
 
 
 
 
Cálculo I 
Material elaborado por Deborah Jorge e Karina Borges Mendes 45 
c) d) 
 
 
 
 
 
 
 
e) f) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Cálculo I 
Material elaborado por Deborah Jorge e Karina Borges Mendes 46 
g) h) 
 
 
Respostas: 
 
1) L = 197,274 milhões de habitantes 
 
 
2) 12 
 
 
3) a) 4, +∞ , não existe, 4, 4, +∞ 
b) −∞ , +∞ , não existe, 3, 1, 1 
c) 5, 5, 5, 0, -1, −∞ 
d) −∞ , −∞ , −∞ , 1, -1 
e) 2, −∞ , não existe, 2, +∞ , 1 
f) 4, -1, não existe, 2, 1, 4 
g) 3, 0, não existe, 2, 6, +∞ 
h) +∞ , +∞ , +∞ , 1, 4, 1 
Cálculo I 
Material elaborado por Deborah Jorge e Karina Borges Mendes 47 
2.6 PROPRIEDADES DOS LIMITES 
P1) cc
ax
=
→
lim Exemplo: 55lim
2
=
→x
 
P2) ax
ax
=
→
lim 
P3) )(lim)(lim xfcxfc
axax →→
⋅=⋅ Exemplo: 1025)1(lim5)1( 5lim
11
=⋅=+⋅=+
→→
xx
xx
 
 
P4) [ ] )(lim)(lim)()(lim xgxfxgxf
axaxax →→→
±=± Exemplo: 
82642lim3limlim)23(lim
22
2
2
2
2
=−+=−+=−+
→→→→ xxxx
xxxx 
 
P5) [ ] )(lim)(lim)()(lim xgxfxgxf
axaxax →→→
⋅=⋅ Exemplo: 601065lim3lim)53(lim
222
=⋅=⋅=⋅
→→→
xxxx
xxx
 
 
P6) 
)(lim
)(lim
)(
)(
lim
xg
xf
xg
xf
ax
ax
ax
→
→
→
= Exemplo: 1
1
1
lim
lim
lim
1
2
1
2
1
===
→
→
→ x
x
x
x
x
x
x
 
P7) [ ]
n
ax
n
ax
xfxf 


=
→→
)(lim)(lim Exemplo: 11lim 22
1
==
→
x
x
 
 
P8) n
ax
n
ax
xfxf )(lim)(lim
→→
= Exemplo: ( ) 3181614lim14lim 4
2
4
2
=+−=+−=+−
→→
xxxx
xx
 
 
P9) )(limlog)(loglim xfxf
ax
bb
ax →→
= com f(x) > 0 Exemplo: 110loglimlogloglim
1010
===
→→
xx
xx
 
2.7 LIMITES INDETERMINADOS 
 No estudo de limites é considerado um indeterminação quando ocorrer as seguintes situações: 
0,,1,,
0
0
,0 ∞∞−∞
∞
∞
±∞⋅ ∞ . 
 Para evitarmos (ou sairmos de) uma indeterminação de limite devemos simplificar a função. 
 
 
 
 
Cálculo I 
Material elaborado por Deborah Jorge e Karina Borges Mendes 48 
EXEMPLOS: 
1) Seja 
2
443
)(
2
−
−−
=
x
xx
xf e considere o problema da determinação do )(lim
2
xf
x→
. 
Resolução: 
0
0
22
42.44.3
2
443
lim
2
2
=
−
−−
=
−
−−
→ x
xx
x
 que é uma indeterminação. 
Intuitivamente podemos ter a idéia do comportamento da função quando x tende a 2 calculando f(x) quando 
x chega bem perto do valor 2, mas sem assumi-lo. 
Fazendo −→ 2x (valores menores que 2) 
x 1 1,25 1,50 1,75 1,90 1,99 1,999 
f(x) 5 5,75 6,50 7,25 7,70 
 
Fazendo +→ 2x (valores maiores que 2) 
x 3 2,75 2,50 2,25 2,01 2,001 
f(x) 11 10,25 9,50 8,30 
 
Evidentemente quando 2→x , 8)( →xf , 
8
2x
4x4x3
lim
2
2x
=
−
−−
→
 
Obs. 822.32x3lim
2x
)2x).(2x3(
lim
2x
4x4x3
lim
2x2x
2
2x
=+=+=
−
−+
=
−
−−
→→→
 
Esta é uma função descontínua. 
 
2) açãoIndetermin 
0
0
3x
9x6x
lim
2
3x
=
−
+−
→
. Neste tipo de limite, se o numerador e o denominador 
aproximam-se de zero quando x à a, então o numerador e o denominador terão um fator comum (x – a) e o 
limite pode, freqüentemente, ser obtido cancelando-se primeiro os fatores comuns: 
0)3x(lim
3x
)3x(
lim
3x
9x6x
lim
3x
2
3x
2
3x
=−=
−
−
=
−
+−
→→→
 
3) Calcule o limite de 
4
168
lim
2
4 +
++
−→ x
xx
x
. 
Solução: 
0
0
44
16)4(8)4(
lim
2
4
=
+−
+−+−
−→x
indeterminação. 
0444lim
4
)4(
lim
4
168
lim
4
2
4
2
4
=+−=+=
+
+
=
+
++
−→−→−→
x
x
x
x
xx
xxx
 
 
 
Cálculo I 
Material elaborado por Deborah Jorge e Karina Borges Mendes 49 
2.8 PROPRIEDADES DOS LIMITES NO INFINITO 
P1) Limites de xn, quando x à ± ∞ 
∞=
∞→
n
x
xlim , para n = 1, 2, 3, ... 



=∞
=∞+
=
−∞→ ... 5, 3, 1, n para ,-
... 6, 4, 2, n para ,
lim n
x
x 
Multiplicando-se xn por um número real positivo, isto não afeta os limites mas, multiplicando-se por um 
número real negativo invertem-se os sinais. 
Exemplos: 
+∞=
+∞→
52lim x
x
; −∞=
−∞→
52lim x
x
; +∞=
+∞→
64lim x
x
; +∞=
−∞→
64lim x
x
; 
−∞=−
+∞→
87lim x
x
; −∞=−
−∞→
87lim x
x
 
 
P2) Limite de Polinômios - quando x à ±∞ 
O polinômio p(x) = c0 + c1x + ... + cnxn , comporta-se como o seu termo de maior grau quando x à ±∞: 
Exemplo: +∞==−+−
+∞→+∞→
535 7lim)9247(lim xxxx
xx
 
 
P3) Limite das Funções Racionais - quando x à ±∞ 







<
=
>∞±
=
±∞→
nm se 0
nm se 
n m se 
lim
0
0
0
0
b
a
xb
xa
n
m
x
 
 
Exemplos: 
n) m (pois 2lim
2
3
>+∞=
+∞→ x
x
x
 
n) m (pois 22lim
2
2
==
−∞→ x
x
x
 
n) m (pois 03lim
2
<=
−∞→ x
x
x
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Cálculo I 
Material elaborado por Deborah Jorge e Karina Borges Mendes 50 
2.9 EXERCÍCIOS PROPOSTOS 
 
1) Seja 




>
≤−
=
3 x se 7,-3x
3 x se ,
)(
1x
xf . Calcule: 
a) )(lim
–
xf
3x→
 = 2 b) )(lim xf
3x +→
= 2 c) )(lim xf
3x→
= 2 
 
2) Seja 4xxf −=)( . Calcule: 
a) )(lim xf
4x +→
= 0 b) )(lim
–
xf
4x→
= 0 c) )(lim xf
4x→
= 0 
 
3) Seja 










>
=
<≤
<
=
1 xse x,-2
1 xse 2,
1x0 se ,x
0 x se ,
)( 2
x
1
xf . Calcule: 
a) )(lim
–
xf
1x→
= 1 b) )(lim xf
1x→
= 1 c) )(lim xf
0x +→
= 0 d) )(lim
–
xf
0x→
= −∞ 
e) )(lim xf
0x→
= não existe f) )(lim xf
2x +→
= 0 g) )(lim
–
xf
2x→
= 0 h) )(lim xf
2x→
= 0 
 
4) Calcular os limites usando as propriedades: 
a) )( lim 2
0x
x5x73 −−
→
= 3 b) )( lim 2x7x3 2
3x
+−
→
= 8 c) 


 +⋅+ −
−→
13
1x
2x4x )()( lim = 27 
d) 
1x3
4x
2x −
+
→
 lim = 6/5 e) 
2t
3t
2t +
+
→
 lim = 5/4 f) 
1x
1x2
1x −
−
→
 lim = 2 
g) 
2t
6t5t2
2t −
+−
→
 lim = -1 h) 1x
x
+
−∞→
lim = não existe i) 
3x
9x 2
3x +
−
−→
 lim = -6 
j) 
100
x
x
 lim
+∞→
= +∞ i) 
x
1
x
 lim
+∞→
= 0 l) 
x
x3
x
 lim
−∞→
= +∞ 
m) 
3t7
t6
3
3
t +
−
+∞→
 lim = -1/7 n) 
1x
1x
 lim
4
1x•¨
= 4 n) 
1
142
lim
23
23
+++
−+
∞→ xxx
xx
x
=2 
o) 
12
3
lim
2
+
++
∞→ x
xx
x
= ½ p) 
3
1
lim
3 3
+
−+
∞→ x
xx
x
=1 q) 
xxx
x
x +++
+
∞→ 3
3
lim
2
= 1/2 
Cálculo I 
Material elaborado por Deborah Jorge e Karina Borges Mendes 51 
2.10 LIMITES NO INFINITO 
Considere a função 
1
)(
+
=
x
x
xf e observe que quando x é muito grande f(x ) é aproximadamente igual a 
1. Este fato é escrito da seguinte forma 
 1
1
lim =





+∞→ x
x
x
 
 
 
Observe que a restrição de f nos reais nos dá uma seqüência cujo limite é exatamente 1. 
DEFINIÇÃO: Seja f: B → R uma função, B um conjunto que não é limitado superiormente (inferiormente) e 
L ∈ R. Dizemos que 
Lxfxf
xx
==
∞−→∞→
)(lim)(lim 
 
Exemplo: 
Determine 





−→ 1
2
lim
1 xx
 
Solução: ∞==
−
=
−→ 0
2
11
2
1
2
lim
1 xx
 
 
2.11 ASSÍNTOTAS 
Assíntota Vertical 
A equação x = a é dita uma assíntota vertical do gráfico de uma função f se: 
∞±=
→
)(lim xf
ax
 
 
Assíntota Horizontal 
A equação y = b é dita uma assíntota horizontal do gráfico de uma função f se: 
bxf
x
=
∞±→
)(lim 
 
 
 
Cálculo I 
Material elaborado por Deborah Jorge e Karina Borges Mendes 52 
Exemplos: 
1) Identifique as assíntotas no gráfico 
2
1
+
=
x
y 
Solução: x + 2 ≠ 0 => x ≠ -2 
 D = R – {-2} 
∞=





+−→ 2
1
lim
2 xx
 tem assíntota vertical na reta x = -2. 
0
2
1
lim =





+∞→ xx
 tem assíntota horizontal na reta y = 0 . 
 
2.12 CONTINUIDADE DE UMA FUNÇÃO 
Continuidade de uma função num ponto 
Ponto interior: Uma função y