Relatório Controle Conversor Boost

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INSTITUTO FEDERAL DE EDUCAÇÃO, CIÊNCIA E TECNOLOGIA DO CEARÁ
CAMPUS SOBRAL
EIXO DE CONTROLE E PROCESSOS INDUSTRIAIS
CURSO SUPERIOR EM TECNÓLOGO EM MECATRÔNICA INDUSTRIAL
Relatório: Controle do Conversor Boost 
Modo de Tensão
Francisco Edney da Silva Pereira
Iranilson do Nascimento Sousa
Sobral - CE
2
 2021
SUMÁRIO
Introdução	1
revisão bibliográfica	1
estapas de projeto	3	
desenvolvimento	8
Metodologia	24
resultados e discussões	26
conclusão	28
referências Bibliográficas	29
Introdução
Para Paulo Alvaro Maya e Fabrizio Leonardi, no livro Controle Essencial, o sistema é definido como um conjunto de elementos inter-relacionados e interagentes. Na ciência e em outras atividades, como engenharia, economia, administração, etc., costuma-se estabelecer o conceito de sistema de uma forma mais restrita, pois um sistema é um conjunto de elementos mutuamente seletivos e organizados para atingir um ou vários objetivos determinados.
Na disciplina de Sistemas de Controle, estudamos os conceitos dos sistemas de controle como função de transferência no domínio da frequência, polos e zeros de uma função, critérios de estabilidade e compensadores tipo 1, 2 e 3 para o controle de moduladores. Foi realizado cálculos matemáticos e simulações das respectivas formas de ondas tanto dos moduladores quanto dos compensadores.
Como trabalho final, foi realizado um projeto de controle de modo tensão para um conversor Boost, utilizando compensadores pelo método do Fator K para encontrar as frequências desejadas para o controle e estabilidade do conversor utilizando-se apenas de cálculos matemáticos e simulações no Mathcad e PSIM. Na figura 1.1 têm-se um modelo do sistema desejado.
Figura 1 – Loop em malha fechada
Revisão Bibliográfica
Para a realização do projeto, o estudo da transformada de Laplace é de fundamental importância, pois ela facilita solucionar equações diferenciais, transformando-as em equações algébricas. A partir dela, usamos a função de transferência no domínio da frequência (H(s)) para encontrar a resposta em frequência de um circuito, onde temos apenas uma saída e uma entrada, como pode ser visto na figura 2.1, onde H(s) é razão entre a saída e entrada do circuito.
 Figura 2.1 – Função de Transferência H(s)
y(s)
X(s)
H(s)
SAÍDA
ENTRADA
Um fator importante da função de transferência sãos os zeros e os polos do sistema. O polinômio do numerador da função de transferência é o Y(s), onde as raízes dessa equação são os zeros do sistema. O polinômio do denominador da função de transferência é o X(s), onde as raízes dessa equação são denominadas de polos do sistema.
Para se realizar a análise das ondas de frequência obtidas tanto no conversor quanto nos compensadores, utilizamos o gráfico de Bode. O mesmo é a representação gráfica da resposta em frequência do sistema em uma escala de decibéis. A partir do gráfico de Bode obtêm-se as curvas de módulo e fase em função da frequência, como pode ser visto na figura 2.2.
Figura 2.2 – Gráfico de Bode (Módulo e Fase)
Outro critério importante para a análise do sistema é o critério de estabilidade. Os sistemas podem ser estáveis ou instáveis. Sistemas estáveis tem sua resposta atenuando com o passar do tempo, que é o que se deseja no projeto. Em sistemas instáveis, sua resposta não atenua, podem permanecer oscilante (sempre constante) ou tenderem ao infinito (sempre aumentando). Para satisfazer um sistema estável, os polos da função de transferência devem estar situados no semiplano esquerdo do plano s, não havendo polos no semiplano direito e nem no eixo imaginário.
Por fim, para se controlar o conversor Boost, os compensadores serão utilizados. O Fator K será o método para o qual será obtido a frequência de cruzamento, a margem de fase, o ganho e o tipo de compensador e seus componentes. A frequência de cruzamento é onde a curva do módulo cruza em 0 dB com uma margem de fase mínima. O ganho do compensador é o quanto o módulo irá avançar ou recuar para que o ganho seja unitário. E logo após, seguindo um passo-a-passo, serão obtidos os zeros e os polos da função de transferência do compensador para se obter o módulo e a fase do compensador e da planta (conversor Boost) junto com o compensador. 
Etapas de Projeto
Para o desenvolvimento do controle em modo de tensão, precisa-se incialmente da função de transferência do conversor Boost modo de tensão, que é apresentado pela equação 1.
	
	
	(1)
Os valores das raízes dos zeros e polos da função de transferência do Boost é obtido a partir dos valores dos componentes do conversor. Tais componentes são calculados usando as equações a seguir.
A corrente na saída, a corrente do indutor e a corrente máxima do indutor é dada pela equação 2 a 4.
	
	
	(2)
	
	
	(3)
	
	
	(4)
A variação de corrente no indutor e de tensão no capacitor estão definidos nas equações 5 e 6, respectivamente.
	
	
	(5)
	
	
	(6)
A razão cíclica (D), a resistência da carga (Ro), o indutor (Lo), a corrente do indutor (ILo) o capacitor (Co) e a resistência do capacitor (Rc) estão definidos nas equações 7 a 12.
	
	
	(7)
	
	
	(8)
	
	
	(9)
	
	
	(10)
	
	
	(11)
	
	
	(12)
Para o projeto do controlador, parâmetros como amplitude do dente de serra () e tensão de referência () serão definidos. A partir disso, a função de transferência do elemento de medição de tensão (ganho do sensor) e a função de transferência do comparador PWM estão descritos nas equações 13 e 14.
	
	
	(13)
	
	
	(14)
Obtido os valores da planta (conversor Boost), calcula-se a função de transferência da planta, encontrando a frequência dos zeros e dos polos.
	
	
	(15)
	
	
	(16)
	
	
	(17)
	
	
	(18)
	
	
	(19)
A função de transferência da planta possui dois zero e dois polos, sendo um zero no semiplano direito do plano complexo s, onde suas respectivas frequências são obtidas das equações abaixo.
	
	
	(20)
	
	
	(21)
	
	
	(22)
	
	
	(23)
	
	
	(24)
Para selecionar o tipo de compensador, utilizamos o Fator K. Primeiramente definimos uma frequência de cruzamento desejada (), logo após, utilizando as equações 25 e 26, é calculado o ganho esperado do compensador. Define-se uma margem de fase (M). A defasagem provocada pelo sistema (P) é obtida do gráfico da fase do sistema em laço aberto sem compensador e através da equação 28 obtemos o avanço de fase necessário ().
	
	
	(25)
	
	
	(26)
	
	
	(27)
	
	
	(28)
Encontrando o avanço de fase necessário, escolhe-se o tipo de compensador para o sistema. Compensador tipo 1 é usado quando não se deseja avanço de fase, o tipo 2 é usado para avanço de fase de até 90° e tipo 3 para avanço de fase de até 180°. Como será calculado posteriormente, o avanço de fase necessário será maior que 90°, portanto, o compensador tipo 3 será equacionado.
Escolhido o tipo de compensador, calcula-se os zeros e os polos da função de transferência para o compensador tipo 3 utilizando-se das equações 29 a 35. A equação 29 calcula o Fator K para tipo 3, equação 30 e 31 define a frequência dos zeros e os polos para o compensador tipo 3, as equações 32 e 33 definem os zeros e os polos da função de transferência do compensador tipo 3, a equação 34 e 35 definem a frequência do polo de origem da função de transferência do compensador.
	
	
	(29)
	
	
	(30)
	
	
	(31)
	
	
	(32)
	
	
	(33)
	
	
	(34)
	
	
	(35)
A função de transferência do compensador tipo 3 é dado a seguir.
	
	
	(36)
Para encontrar os valores dos componentes do compensador tipo 3, as equações 37 a 41 satisfazem essa condição. Para isso, é estipulado um valor desejado para o resistor .
	
	
	(37)
	
	
	(38)
	
	
	(39)
	
	
	(40)
	
	
	(41)
Então calcula-se a função de transferência do compensador com componentes (), equação 47. Logo, necessita-se das frequências dos zeros e polos da função que são calculados pelas equações 42 a 46, mostradas abaixo.
	
	
	(42)
	
	
	(43)
	
	
	(44)
	
	
	(45)
	
	
	(46)
	
	
	(47)
Desenvolvimento
Com base no projeto do conversor Buck realizado na disciplina de Eletrônica de Potência, tem-se como parâmetros do conversor mostrados na tabela1.
Tabela 1- Parâmetros do conversor Boost.
	Parâmetros
	Tensão de saída ()
	15 V
	Tensão de entrada ()
	5 V
	Frequência de operação ()
	50 kHz
	Potência de saída ()
	20 W
	Variação de tensão no capacitor (Δ %)
	01 %
	Variação de corrente no indutor ( %)
	30%
Com os parâmetros definidos para o conversor Buck, calcula-se a função de transferência do mesmo utilizando-se das equações do item 3.
A corrente na saída é dada pela equação 2.
A corrente no indutor é dada pela equação 3.
A variação de corrente no indutor e de tensão no capacitor estão dispostos abaixo.
A corrente máxima do indutor é,
Utilizando as equações de 7 a 12, obtemos.
Utilizando as equações 13 e 14, obtemos a função o ganho do sensor e o comparador PWM. Estipulamos valores para a tensão de referência e amplitude do dente de serra,
assim obtemos,
A tabela 2 mostra os parâmetros para o controlador calculados anteriormente.
Tabela 2 - Parâmetros do controlador.
	Parâmetros
	Amplitude do dente de serra ()
	3 V
	Tensão de referência ()
	5 V
	Ganho do sensor ()
	0.333
	F.T. Comparador PWM ()
	
Utilizando as equações 15, 16, 17, 18 e 19, encontramos os zeros da planta, a frequência natural, o fator de qualidade e o ganho da planta, respectivamente.
A função de transferência da planta possui dois zeros e dois polos, onde estão calculados logo abaixo:
Frequência dos zeros da planta.
Frequência do primeiro e do segundo polo.
Frequência de ressonância que é igual a e .
Contudo, o gráfico de módulo e fase da planta estão representados na figura 4.1 e figura 4.2 respectivamente.
Figura 4.1 – Módulo da planta
Fonte: Autor
Figura 4.2 – Fase da planta
Fonte: Autor
	Logo após foi calculado a função de transferência de laço aberto sem compensador , onde multiplica as funções de transferência da planta (), do comparador PWM () e do ganho do sensor ().
O gráfico de módulo e fase da função de transferência sem compensador estão representados na figura 4.3 e figura 4.4 respectivamente.
Figura 4.3 – Módulo da 
Fonte: Autor
Figura 4.4 – Fase da 
Fonte: Autor
Observa-se um pico na frequência do polo da planta causado pelo elevado fator de qualidade (Q). Ver-se também que o gráfico da fase quando toca em -180° ele amplifica a fase em 360° por causa do programa Mathcad, pois ele entende que quando a fase chega a -180° tem-se que ser amplificada. Por conta disso, é feita a compensação da fase para encontrar a fase real para se calcular o Fator K na frequência desejada.
Usando as equações do índice 3 calculamos o Fator K e respectivamente definimos o tipo de compensador. Primeiramente definimos uma frequência de cruzamento desejada,
logo após calculamos o ganho do compensador usando as equações 25 e 26.
Definimos uma margem de fase e de acordo com as equações 27 e 28 obtemos o avanço de fase. Como dito anteriormente, a fase tem que ser compensada para se obter a fase real na frequência de cruzamento desejada, para isso, subtraímos 360° de P.
Como calculado, o avanço de fase necessário é maior que 90°. Sendo assim, o compensador a ser utilizado será um tipo 3, pois os compensadores tipo 3 suportam avanço de fase de até 180° enquanto um tipo 2 é de até 90°. 
Usando a equação 29 para o Fator K do compensador tipo 3 obtemos.
As equações 30 e 31 definem as frequências dos zeros e dos polos do compensador.
Assim encontramos as raízes dos zeros e dos polos do compensador de acordo com as equações 32 e 33, respectivamente.
As equações 34 e 35 definem a frequência e o polo de origem,
A função de transferência do compensador tipo 3 é dado a seguir.
Nas figuras 4.5 e 4.6 estão representados o gráfico de Bode da função de transferência do compensador tipo 3.
Figura 4.5 – Módulo da 
Fonte: Autor
Figura 4.6 – Fase da 
Fonte: Autor
Com tudo, calculamos a função de transferência de laço aberto com compensador (), que é a função de transferência sem compensador multiplicado pela função de transferência do compensador e plotamos o gráfico de Bode do mesmo logo em seguida, representado pelas figuras 4.7 e 4.8.
Figura 4.7 – Módulo da 
Fonte: Autor
Figura 4.8 – Fase da 
Fonte: Autor
Observa-se que o módulo não satisfaz o resultado desejado, pois a onda não cruza na frequência de cruzamento (10 kHz) e se mantém em 0 dB até a frequência do polo do Fator K onde é atenuado logo após. Com tudo, têm-se que revisar o projeto de potência, ou seja, o projeto do conversor para ajustar os polos e os zeros da planta de forma que o pico de onda dos polos da planta diminua e faça o módulo cruzar na frequência de cruzamento desejada. Para isso, altera-se a potência de saída (Po) e a frequência de comutação (fs) do projeto. Esses valores alteram a corrente do indutor, a carga, a indutância, a capacitância e a resistência do capacitor.
Verificou-se que uma indutância mais alta e mantendo a capacitância, o zero a direita da planta diminuía e o zero à esquerda permanecia o mesmo. Em contra partida, os zeros do compensador aumentavam e os polos diminuía. O fator de qualidade da planta diminui um pouco. Ao observar o gráfico da função de transferência em laço aberto com compensador, vemos que não teve muita alteração. Então foi aumentado a capacitância do capacitor de saída e verificou-se que o zero a direita não se alterava, porém o zero à esquerda diminuía fazendo com que tivesse uma elevação na onda logo após a frequência de cruzamento.
Observou-se então que o fator de qualidade estava elevado e para diminui-lo altera-se a carga, a indutância e a capacitância para valores maiores, sendo que a indutância tem que ser muito mais baixa que a capacitância. Para isso definimos um valor fixo para o capacitor em 1000 uF e sua resistência em 0,3 . Então foi alterado os valores de potência de saída e da frequência de comutação para ajustar os valores tanto de indutância quanto da carga. Primeiramente aumentamos a frequência de comutação para 150 kHz e mantivemos a potência em 20 W. A indutância diminuiu. Verificou-se que o fator de qualidade diminuiu para 0.464 e a frequência do zero a direita aumentou. Com o fator de qualidade baixo, o pico que antes existia por conta do polo foi atenuado e a fase não cruza mais em -180° como pode ser visto nas figuras 4.9 e 4.10.
Figura 4.9 – Módulo da 
Fonte: Autor
Figura 4.10 – Fase da 
Fonte: Autor
Temos então um módulo e fase aceitáveis e não se precisa mais compensar a fase. Observa-se também que o avanço de fase caiu para menos que 180° e o compensador fica mais próximo do esperado, figuras 4.11 e 4.12. Com tudo, as ondas obtidas da FTLAccv(s) não cruzavam na frequência desejada.
Figura 4.11 – Módulo da 
Fonte: Autor
Figura 4.12 – Fase da
Fonte: Autor
Foi-se então mudando a potência de saída e a frequência de comutação de forma que se mantivesse o fator de qualidade baixo e elevando o valor do zero a direita e também deixando os polos da planta afastados e mantendo um avanço de fase menor que 180° a uma margem de fase estipulada.
Chegou-se a um valor de indutância e carga que satisfizessem os parâmetros ditos anteriormente. Com uma margem de fase de 70°, um capacitor de 1000 uF e resistência do capacitor de 0,3 , chegou a uma indutância de 9,3 uH e carga de 5,625 a uma frequência de comutação de 150 kHz e potência de saída de 40 W. Assim o fator de qualidade ficou abaixo de 1 e os polos da planta ficaram afastados como também os zeros da planta. A margem de fase ficou em torno de 108° com um Fator K de 3,079 e frequência dos polos maiores que a frequência dos zeros do compensador. A tabela 3 mostra os valores tidos como satisfatórios.
Tabela 3 – Parâmetros da planta satisfatórios.
	Parâmetros
	
	40 W
	
	5,625 
	
	150 kHz
	
	
	
	
	
	
Calcula-se então a função de transferência da planta para os novos parâmetros.
A corrente no indutor é dada pela equação 3.
A variação de corrente no indutor e de tensão no capacitor estão dispostos abaixo.
A corrente máxima do indutor é,
Utilizando as equações de 7 a 12, obtemos.
Valores de capacitor e sua resistência pré-definidos.Os zeros da planta, a frequência natural, o fator de qualidade e o ganho da planta, respectivamente.
Frequência dos zeros da planta.
Frequência do primeiro e do segundo polo.
Frequência de ressonância que é igual a e .
Calcula-se novamente o Fator K.
As figuras 4.13 e 4.14 mostra o gráfico de Bode da FTLAccv(s).
Figura 4.13 – Módulo da 
Fonte: Autor
Figura 4.14 – Fase da 
Fonte: Autor
Após feito o sistema matemático do compensador e do circuito como um todo, deve-se fazer o sistema real. Para isso, calcula-se os valores dos componentes do compensador tipo 3 utilizando as equações 37 a 41. Antes é estipulado um valor para .
Faz-se então a função de transferência do compensador tipo 3 com os componentes. Antes, encontra-se as raízes da função de transferência de acordo com as equações 36 a 40.
Ficando assim a função de transferência do compensador tipo 3 com componentes.
Multiplicando essa função de transferência pela função de transferência em laço aberto sem compensador, obtêm-se a função de transferência em laço aberto com compensador com componentes ().
Plota-se então o gráfico de Bode da função de transferência em laço aberto com compensador com componentes.
Figura 4.15 – Módulo da 
Fonte: Autor
Figura 4.16 – Fase da 
Fonte: Autor
Metodologia
As simulações foram realizadas no software PSIM, versão 9.1. Todos os componentes nele especificados são dados como ideais. Os cálculos das equações foram feitos no software Mathcad 15.
Com os valores dos componentes do compensador tipo 3, pode-se montar o circuito completo do conversor junto com o compensador. A figura 5.1 mostra o conversor montado. Um sensor de tensão é colocado na saída do circuito, representado pelo Ganho_Sensor, onde foi ajustado seu ganho como calculado anteriormente. O voltímetro Vout medirá a tensão de saída do conversor.
Figura 5.1 – Circuito Conversor Boost
Fonte: Autor 
A figura 5.2 mostra o sistema de controle montado. A tensão medida pelo sensor de tensão (Ganho_Sensor) será comparada e amplificada pelo compensador tipo 3, onde um limitador (LIMITER) irá limitar a tensão proveniente do compensador de acordo com a tensão do dente de serra, que no caso ficou limitada em Lower Limite = 0 e Upper Limite = 2,4. Esse sinal será comparado, por um comparador (COMP), com o sinal do dente de serra (Dente_Serra) estipulado no início do projeto. A saída do comparador será o sinal PWM desejado para ajustar o duty cicle (D) da chave seccionadora do conversor Boost e assim ajustando a tensão de saída de acordo com a estipulada em projeto.
Figura 5.2 – Circuito do sistema de controle
Fonte: Autor 
Assim sendo, a figura 5.2 representa o circuito da planta (Boost) junto com o controlador modo tensão.
Figura 5.7 – Circuito completo
Fonte: Autor
Resultados e Discussões
O conversor Boost, junto com o controlador, fora montado e simulado no software PSIM 9.1, com o objetivo de verificar o comportamento da malha de controle de tensão do mesmo. Assim foram obtidas as formas de onda da tensão de saída do conversor. Como parâmetros de controle de simulação, foi estipulado um Time step de 0,5 com um tempo de simulação de 10 ms como mostrado na figura 6.1.
Figura 6.1 – Simulation Control
Fonte: Autor
A figura 6.2 mostra a forma de onda da saída do compensador. Observa-se que o limitador atua de forma satisfatória, limitando a tensão entre 0 V 2,4 V para fim de comparação com a tensão do dente de serra que é representado na figura 6.3.
Figura 6.2 – Saída do Compensador (V5)
Fonte: Autor
Figura 6.4 – Dente de serra (V_dente_serra)
Fonte: Autor
Essas duas formas de ondas, mostradas nas figuras 6.3 e 6.4 são comparadas por um comparador (COMP) resultando em uma saída PWM, figura 6.5, que será o clock da chave do conversor. 
Figura 6.5 – PWM
Fonte: Autor
A figura 6.6 mostra a saída do conversor (Vout) com a tensão desejada (15 V). Há uma grande ondulação no início, mas logo após é estabilizada. Tem-se um pico de 8 V, mas o controlador estabiliza a tensão em 5 V em 600 .
Figura 6.6 – Vout
Fonte: Autor
Conclusão
Neste trabalho foi apresentado um estudo relativo ao controle da tensão de saída do conversor Boost. Este estudo teve como objetivo a determinação de um projeto de controle para esse conversor utilizando o fator K. Foi realizada então a modelagem dessa estrutura, a partir do modelo do conversor obtido, que acabou por ter valores indesejáveis em simulação para o projeto, buscou-se na mudança de alguns parâmetros da parte de potência do projeto a solução desejada, no qual resultou em ótimos resultados.
O projeto de controle desenvolvido mostrou resultados que atendem perfeitamente os objetivos a que se propunha, ou seja, o de controlar a tensão de saída do conversor, mantendo-a em 15v. Como sugestões para trabalhos futuros, tem-se a aplicação da malha de controle de corrente.
Referências Bibliográficas
[1] Maya, Paulo A., Leonardi, Fabrizio. Controle Essencial, 1.ed. São Paulo: PEARSON.