Aula - Vetores

Prévia do material em texto

Vetores - Aula 4
12 de março de 2019
Sistemas de coordenadas; quantidade escalar; quantidade vetorial; propri-
edades de vetores; componentes vetoriais; vetor unitário.
1 Sistemas de Coordenadas
Para se localizar uma part́ıcula ou um objeto qualquer em um espaço bidimensional é
necessário o uso de um sistema de coordenadas, por exemplo, o sistema de coordenadas
cartesianas, em que dois eixos perpendiculares se interceptam em um ponto definido
como a origem (veja Figura 1)
Figura 1: Designação de um ponto no sistema de coordenadas cartesianas. Cada ponto
é rotulado com coordenadas (x, y).
Pode-se também representar um ponto por suas coordenadas polares (r, θ), como
apresentado na Figura 2. Nesse sistema, r é a distância entre a origem e o ponto
cujas coordenadas cartesianas são (x, y) e θ é o ângulo entre um determinado eixo
(normalmente o eixo-x ) e a linha reta que liga a origem ao ponto.
1
Figura 2: (a) As coordenadas polares de um ponto são representadas pela distância r e
o ângulo θ. (b) Triângulo retângulo usado para relacionar (x, y) a (r, θ).
Partindo das coordenadas polares de qualquer ponto do plano, é posśıvel calcular as
coordenadas cartesianas do mesmo usando as seguintes equações:
x = r cos θ (1)
y = r sin θ (2)
Por outro lado, se conhecemos as coordenadas cartesianas, podemos encontrar as
coordenadas polares:
r =
√
x2 + y2 (3)
tan θ =
y
x
(4)
——————————
Exemplo 1. Encontre as coordenadas polares do ponto cujas coordenadas cartesianas
são (-3,51, -2,60). (R - r = 4,37 e θ = 217°)
——————————
2
2 Vetores e Escalares
Uma quantidade escalar é completamente definida por um único
valor com sua unidade correta.
Exemplos de quantidades escalares são temperatura, massa, volume e tempo. As
operações aritméticas básicas são suficientes para manipular estas quantidades.
Se você vai se aventurar no mar em uma pequena embarcação e precisa conhecer a
velocidade do vento, não basta somente o valor da velocidade, mas também a direção
da mesma. Desta forma, a velocidade é uma quantidade vetorial.
Uma quantidade vetorial é completamente especificada por seu
valor (com sua unidade correta) e mais sua direção.
Exemplos de quantidades vetoriais são deslocamento, aceleração, força e campo elétrico.
Neste texto, vetores são representados por letras com uma seta sobre elas, por exemplo,
o vetor A é representado por A⃗. A magnitude ou módulo do vetor A é representada por
A ou ∣A∣.
2.1 Igualdade entre vetores
Dois vetores A⃗ e B⃗ são iguais se eles possuem a mesma magnitude, mesma direção e
sentido, ou seja:
A⃗ = B⃗ se e somente se ∣A∣ = ∣B∣ e direção e sentido de ambos são os mesmos.
Por exemplo, todos os vetores apresentados na Figura 3 são iguais, embora tenham
diferentes pontos de partida, mas eles possuem os mesmos módulo, direção e sentido.
Figura 3: Todos estes vetores são
iguais, pois possuem mesmo
tamanho, direção e sentido.
3
2.2 Adição de Vetores
A adição de vetores pode ser feita de forma gráfica, em que se representam os mesmos
em uma mesma escala. Para se adicionar dois vetores graficamente, desenha-se um
dos vetores e depois desenha-se o outro iniciando na ponta da seta do primeiro. o
vetor resultante é aquele que inicia no ińıcio do primeiro e finaliza na ponta da seta do
segundo, conforme pode ser visto na Figura 4. (Para se somar três ou mais vetores,
usa-se a mesma regra)
Figura 4: Soma de vetores: A⃗ + B⃗ = C⃗.
A soma de vetores é uma operação comutativa, ou seja:
A⃗ + B⃗ = B⃗ + A⃗
A soma de vetores é uma operação associativa, ou seja:
A⃗ + (B⃗ + C⃗) = (A⃗ + B⃗) + C⃗
Para se encontrar o vetor resultante da soma algébrica de dois vetores, usa-se a lei dos
cossenos para o módulo (Veja a Figura 5).
∣R∣ =
√
∣A∣2 + ∣B∣2 − 2∣A∣∣B∣ cos θ
4
sendo θ o ângulo entre os vetores A⃗ e B⃗
E a lei dos senos para a direção (veja Figura 5)
sinβ
B
=
sin θ
R
⇒ sinβ =
B
R
sin θ
Como a direção é dada em relação ao eixo-x, então, a direção do vetor R⃗ é igual a
90° − β
Figura 5: Observe os ângulos da figura e veja a soma algébrica no texto.
2.3 Negativo de um vetor e subtração de vetores
O negativo de um vetor A⃗ é definido como o vetor que quando somado com A⃗ o resultado
é zero, isto é:
A⃗ + (−A⃗) = 0
Os vetores A⃗ e −A⃗ possuem a mesma magnitude, mas direções opostas (ou mesma
direção e sentidos opostos).
A operação de subtração de vetores faz uso da definição de negativo de um vetor.
Define-se a operação de subtração
5
A⃗ − B⃗ = A⃗ + (−B⃗)
A construção geométrica para a subtração de dois vetores é apresentada na Figura 6
Figura 6: Exemplo da subtração de dois vetores.
2.4 Vetor Unitário e Componentes de um Vetor
A projeção de um vetor sobre uma dada coordenada é denominada de componente do
vetor. Se a projeção se dá sobre a coordenada-x, diz-se que é a componente-x do vetor.
Se for na direção-y diz-se ser a componente-y do vetor.
Qualquer vetor pode ser completamente descrito por suas compo-
nentes.
Considere o vetor A⃗ apresentado na Figura 7, o mesmo pode ser descrito como a soma
vetorial de suas duas componentes perpendiculares A⃗x e A⃗y, ou seja:
A⃗ = A⃗x + A⃗y
sendo A⃗x paralela ao eixo-x e A⃗y paralela ao eixo-y, conforme pode ser visto na figura.
6
Figura 7: O vetor A⃗ e suas duas componentes perpendiculares entre si, A⃗x e A⃗y.
Para simplificar, daqui em diante escreveremos as componentes como Ax e Ay, sem a
seta.
Da definição de seno e cosseno, tem-se que sin θ = Ay/A e cos θ = Ax/A. Assim, os
valores das componentes são:
Ax = A cos θ (5)
Ay = A sin θ (6)
Desta forma, a magnitude e a direção do vetor A⃗ podem ser expressas da seguinte
forma:
A =
√
A2x +A
2
y (7)
θ = tan−1 (
Ay
Ax
) (8)
7
Lembre que qualquer componente de um vetor será sempre menor
que o vetor.
2.5 Vetores Unitários
Um vetor unitário é um vetor adimensional cujo módulo é sempre igual a 1. Os
mesmos são usados para especificar uma dada direção no espaço. Os śımbolos î, ĵ e
k̂ são usados para representar os vetores unitários que apontam, respectivamente nas
direções positivas dos eixos x, y e z. Veja Figura 8.
Figura 8: Vetores unitários î, ĵ e k̂
e suas respectivas direções
no sentido positivo dos eixos
x, y e z.
Desta forma, o vetor A⃗ (Figura 7) pode ser representado pelas suas componentes da
seguinte forma:
A⃗ = Axî +Ayĵ (9)
Dados dois vetores A⃗ e B⃗ em um plano cartesiano e o respectivo vetor resultante C⃗
(veja Figura 9), os vetores A⃗ e B⃗ podem ser decompostos em suas respectivas compo-
nentes como segue:
A⃗ = Axî +Ay ĵ B⃗ = Bxî +By ĵ
Sendo C⃗ o vetor resultante, temos:
C⃗ = (Axî +Ay ĵ) + (Bxî +By ĵ)
ou
8
Figura 9: Soma de dois vetores mostrando a relação entre as componentes do vetor
resultante C⃗ e as componentes dos vetores A⃗ e B⃗.
C⃗ = (Ax +Bx)̂i + (Ay +By)ĵ
sendo
Cxî = (Ax +Bx)̂i e Cy ĵ = (Ay +By)ĵ
Desta forma, o módulo ou magnitude de C⃗ é dado por:
C =
√
(Cx)2 + (Cy)2 =
√
(Ax +Bx)2 + (Ay +By)2
e a sua direção por:
tan θ =
Cy
Cx
=
(Ay +By)
(Ax +Bx)
————————
Exemplo 2. Dados dois vetores deslocamento no plano-xy, A⃗ = (3, 0̂i + 5,0ĵ) m e B⃗ =
(5, 0̂i+1,0ĵ) m, encontre o vetor deslocamento total, bem como seus módulo e direção.
——————————
9
Exemplo 3. Uma part́ıcula se desloca no plano-xyz da seguinte forma: r⃗1 = (3, 0̂i +
5,0ĵ − 7,0k̂) m; r⃗2 = (5, 0̂i − 6,0ĵ + 3,0k̂) m e r⃗3 = (−2, 0̂i + 10ĵ + 3,0k̂) m, encontre o
vetor deslocamento total e seu respectivo módulo.
——————————
3 Lista de Exerćıcios
1. Um pássaro voa 60,0 m numa trajetória de 30,0° abaixo da horizontal em busca
de sua presa que se encontra no solo. Qual a menor distância entre o pássaro e o
solo no instante em que ele inicia seu vôo?
2. A posição de uma part́ıcula é dada por suas coordenadas polares r = 6,50 m e
θ = 315°. Quais são as coordenadas cartesianas da part́ıcula?
3. As respectivas coordenadas polares de dois pontos em umplano são (2,50m, 30,0°)
e (3,80 m, 120,0°). Determine (a) as coordenadas cartesianas dos pontos e (b) a
distância entre eles.
4. Um engenheiro mede uma distância em linha reta nas margens de um rio, paralela
ao leito do mesmo, da seguinte forma: iniciando diretamente em frente a uma
árvore na margem oposta, ele caminha uma distância de 100 m, estabelecendo
uma linha base. No final da caminhada ele mira para a árvore na margem oposta
e o ângulo formado pela linha de sua caminhada com a linha de sua visão é de
θ = 35,0° (veja Figura 10). Qual a largura do rio?
Figura 10:
5. Um vetor A⃗ possui uma componente x de 25,0 unidades e uma componente y de
30,0 unidades. Encontre a magnitude e a direção deste vetor.
6. Um entregador de jornais faz sua rota se deslocando 3,00 quadras a oeste, 4,00
quadras ao norte e depois 6,00 quadras a leste. (a) Qual o seu deslocamento? (b)
10
Qual a distância percorrida pelo mesmo?
7. Encontre as expressões na forma de componentes para a posição dos seguintes
vetores dados em coordenadas polares: (a) 12,8 m - 150°; (b) 3,30 cm - 60,0°; (c)
22,0 in - 215°.
8. Um vetor A⃗ possui coordenadas x, y e z iguais a 8,00, 12,0 e −4,00 unidades,
respectivamente. (a) Escreva uma expressão para o vetor A⃗ em termos de vetores
unitários; (b) Obtenha uma expressão para um vetor B⃗ que possui magnitude igual
a um quarto de A⃗ e mesma direção; (c) Obtenha uma expressão para um vetor C⃗
que possui três vezes a magnitude de A⃗ e direção contrária.
9. Sendo A⃗ = 6,00̂i−8,00ĵ, B⃗ = −8,00̂i+3,00ĵ e C⃗ = 26, 0̂i+19,0ĵ unidades, determine
a e b tal que aA⃗ + bB⃗ + C⃗ = 0.
10. Considere os seguintes vetores: A⃗ = 3̂i − 2ĵ e B⃗ = −î − 4ĵ. Calcule: (a) A⃗ + B⃗; (b)
A⃗ − B⃗; (c) ∣A⃗ + B⃗∣; (d) ∣A⃗ − B⃗∣; (e) Direção de A⃗ + B⃗ e de A⃗ − B⃗.
11
4 Respostas aos Exerćıcios
1. d = 30,0 m;
2. (4,60, −4,60) m;
3. (a) (x1, y1) = (2,17, 1,25) m (x2, y2) = (1,90, 3,29) m
(b) d = 4,55 m;
4. L = 70,0 m;
5. ∣A⃗∣ = 39,1 unidades; θ = 50,2°;
6. (a) 5 quadras; (b) 13 quadras;
7. (a) (−11, 1̂i + 6,40ĵ) m
(b) (1,65̂i + 2,86ĵ) cm
(c) (−18, 0̂i − 12,6ĵ) in.
8. (a) A⃗ = 8,00̂i + 12,0ĵ − 4,00k̂;
(b) B⃗ = 2,00̂i + 3,0ĵ − 1,00k̂;
(c) A⃗ = −24,00̂i − 36,0ĵ + 12,00k̂.
9. a = 5,00 e b = 7,00.
12