QUADRIPOLOS_H7

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QUADRIPOLOS - Teoria e Prática
Technical Report · August 2016
DOI: 10.13140/RG.2.2.31033.47203
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Homero Sette
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Quadripolos - Teoria e Prática 
 
Original: 05 – 06 – 2016 Homero Sette Silva Revisão: 15 – 08 – 2016 
 
 Quadripolos representam circuitos elétricos com duas portas, ou seja, dotados de quatro terminais 
(dois de entrada e dois de saída) permitindo que sejam analisados de forma sistemática e padronizada, 
através da aplicação de um procedimento uniforme, o que trás inúmeras vantagens. Os primeiros estudos 
sobre os quadripolos foram feitos pelo matemático alemão Franz Breisig, em 1921. 
 As variáveis que definem o quadripolo são em número de quatro: as tensões de entrada e de saída e 
suas respectivas correntes. 
 Das quatro variáveis duas são consideradas independentes e duas são as variáveis dependentes. 
Como são quatro variáveis no total tendo sido duas escolhidas como independentes, estaremos combinando 
duas de quatro variáveis, o que leva a um total de seis combinações possíveis, conforme abaixo: 
 
4 Elementos a , b , c , d 
a b c d 
Combinados 2 a 2 Produzem 6 Possibilidades 
1 2 3 4 5 6 
a b a c a d b c b d c d 
 
     
2
4
4! 4 3 2 1 24 24 24
C 6
2! 4 2 ! 2 1 2 ! 2 2 1 2 2 4
  
    
      
 
 a b c d 
Variáveis de Entrada Variáveis de Saída 
 1i 1e 2i 2e 
 
Variáveis Independentes 
1i 2i 1e 2e 1e 2i 1i 2e 2e 2i 1e 1i 
 1 2 3 4 5 9 
Parâmetros 
 z y g h T t 
1e 2e 1i 2i 2e 1i 1e 2e 1e 1i 2e 2i 
Variáveis Dependentes 
 
Representação Externa dos Quadripolos 
 
Sem terminação na entrada e na saída. Exemplo de terminação na entrada e na saída. 
No quadripolo de Transmissão T a corrente na saída é invertida, por conveniência. 2i
No quadripolo definido pela matriz    t = T ' temos a inversão da corrente de entrada . 1i
 
 Os quadripolos só podem ser aplicados a circuitos com as seguintes características: 
1 – Sem excitação externa a energia armazenada é nula; 
2 - Sem fontes independentes; 
3 - Sem ligações externas entre as portas de entrada e de saída; 
 
 
Parâmetros de Impedância z Todos os parâmetros em Ohms Quadripolo Parâmetros Z 
 1 1e f i , i  2 1 2e f i , i2 
1 11 1 12e z i z i    2 
2 21 1 22e z i z    2i 
 
 
 
11 12
21 22
z z
Z =
z z
 
     
     
     
1 11 12 1
2 21 22 2
e z z i
=
e z z i
 
   11 12 11 22 12 21
21 22
z z
ΔZ = z z z z
z z
 
 
Equações de definição Circuito equivalente 
 
Definição dos Parâmetros 
2
1
11
1 i = 0
e
z =
i
 Impedância de entrada 
com a saída aberta 
1
1
12
2 i = 0
e
z =
i
 Impedância reversa 
com entrada aberta 
Todos os parâmetros z são definidos com correntes nulas sendo denominados parâmetros de circuito aberto. 
2
2
21
1 i = 0
e
z =
i
 Impedância direta 
com saída aberta 
1
2
22
2 i = 0
e
z =
i
 Impedância de saída 
com a entrada aberta 
 
 
 
Parâmetros de Admitância y Todos os parâmetros em Siemens Quadripolo Parâmetros Y 
 1 1i f e , e 2  2 1 2i f e , e 
1 11 1 12i y e y e    2 
2 21 1 22i y e y e    2 
 
 
 
11 12
21 22
y y
Y =
y y
 
     
     
     
1 11 12 1
2 21 22 2
i y y e
=
i e

y y
 
   11 12 11 22 12 21
21 22
y y
ΔY = y y y y
y y
 
Equações de definição Circuito equivalente 
 
Definição dos Parâmetros 
2
1
11
1 e = 0
i
y =
e
 Admitância de entrada 
com a saída em curto 
1
1
12
2 e = 0
i
y =
e
 Admitância reversa 
com a entrada em curto 
Todos os parâmetros y são definidos com tensões nulas sendo denominados parâmetros de curto circuito. 
2
2
21
1 e = 0
i
y =
e
 Admitância direta 
com a saída em curto 
1
2
22
2 e = 0
i
y =
e
 Admitância de saída 
com a entrada em curto 
 
 
11g -1 22g  Parâmetros Híbridos g 
12g 21g adimensionais 
Quadripolo Parâmetros g 
 1 1i f e , i 2  2 1 2e f e , i 
1 11 1 12i g e g i    2 
2 21 1 22e g e g    2i 
 
 
 
11 12
21 22
g g
G =
g g
 
     
     
     
1 11 12 1
2 21 22 2
i g g e
=
e i

g g
 
   11 12 11 22 12 21
21 22
g g
ΔG = g g g g
g g
 
Equações de definição Circuito equivalente 
 
Definição dos Parâmetros 
2
1
11
1 i = 0
i
g =
e
 Admitância de entrada 
com a saída aberta 
1
1
12
2 e = 0
i
g =
i
 Ganho reverso de corrente 
com a entrada em curto 
Os parâmetros híbridos são assim chamados em virtude de apresentarem impedâncias e admitâncias. 
2
2
21
1 i = 0
e
g =
e
 Ganho de tensão 
com a saída aberta 
1
2
22
2 e = 0
e
g =
i
 Impedância de saída 
com a entrada em curto 
 
 
 
11h  22h -1 
Parâmetros Híbridos h 
12h 21h adimensionais 
Quadripolo Parâmetros h 
 1 1e f i , e 2  2 1 2i f i , e 
1 11 1 12e h i h e    2 
2 21 1 22i h i h e    2 
 
 
 
11 12
21 22
h h
H =
h h
 
     
     
     
1 11 12 1
2 21 22 2
e h h i
=
i h h e
 
   11 12 11 22 12 21
21 22
h h
H = h h h h
h h
 
 
Equações de definição Circuito equivalente 
 
Definição dos Parâmetros 
2
1
11
1 e = 0
e
h =
i
 Impedânciade entrada 
com a saída em curto 
1
1
12
2 i = 0
e
h =
e
 Ganho reverso de tensão 
com a entrada aberta 
Os parâmetros híbridos são assim chamados em virtude de apresentarem impedâncias e admitâncias. 
2
2
21
1 e = 0
i
h =
i
 Ganho de corrente 
com a saída em curto 
1
2
22
2 i = 0
i
h =
e
 Admitância de saída 
com a entrada aberta 
 
 
A D adimensionais 
Parâmetros de Transmissão T 
B  C -1 
Quadripolo Parâmetros T 
 1 2e f e , i 2  1 2 2i f e , i 
1 2e = A e B i   2 
1 2i C e D i    2 
 
 
 
11 12
21 22
T TA B
T = =
C D T T
2    
    
    
1
1 2i
e eA B
=
i C D
 
   
A B
ΔT = A D B C
C D
 
 
Equações de definição Circuito equivalente 
 
Definição dos Parâmetros 
2
2
1
i = 0
e
A =
e
 Ganho reverso de tensão 
com a saída aberta 
2
1
e = 02
- i
e
B = Impedância de transferência 
com a saída em curto 
 
2
1
2 i = 0
i
C =
e
 Admitância de transferência 
com a saída aberta 
2
1
e = 02
- i
i
D = Ganho reverso de corrente 
com a saída em curto 
 
 
 
a d adimensionais 
Parâmetros de Transmissão t 
b  c -1 
Quadripolo Parâmetros t 
 2 1e f e , i 1  2 1 1i f e , i 
2 1e = a e b i   1 
2 1i c e d    1i 
 
 
 
11 12
21 22
t ta b
t = =
c d t t
2 1
12
    
    
    i
e ea b
=
i c d
 
   
a b
Δt = a d b c
c d
 
Equações de definição Circuito equivalente 
 
Definição dos Parâmetros 
1
1
2
i = 0
e
a =
e
 Ganho de tensão 
com a saída aberta 
1
2
e = 01
- i
e
b = Impedância de transferência 
com a saída em curto 
 
1
2
1 i = 0
i
c =
e
 Admitância de transferência 
com a saída aberta 
1
2
e = 01
- i
i
d = Ganho de corrente 
com a saída em curto 
 
 
Resumo dos Quadripolos 
Parâmetros de Impedância z     1Z = Y      1Y = Z  Parâmetros de Admitância y 
1 11 1 12e z i z i    2 2 21 1 22 2e z i z i    1 11 1 12 2i y e y e    2 21 1 22i y e y e    2 
1
11
1
e
z
i
 1
12
2
e
z
i
 2
21
1
e
z
i
 2
22
2
e
z
i
 1
11
1
i
y
e
 1
12
2
i
y
e
 2
21
1
i
y
e
 2
22
2
i
y
e
 
2i = 0 1i = 0 2i = 0 1i = 0 2e = 0 1e = 0 2e = 0 1e = 0
 
Ohms Siemens 
 
Parâmetros Híbridos g     1G = H      1H = G  Parâmetros Híbridos h 
1 11 1 12i g e g i    2 2 21 1 22 2e g e g i    1 11 1 12 2e h i h e 2 21 1 22i h i h e       2 
1
11
1
i
g
e
 1
12
2
i
g
i
 2
21
1
e
g
e
 1
11
 1
12
2
e
h
e
 2
21
1
i
h
i
2
22
e
g
i

2i = 0 1e = 0 2i = 0
 
2
1e = 0
1
2e = 0
e
h
i
 2
22
2
i
h
e
 
1i = 0 2e = 0 1i = 0
 
Siemens - - Ohms Ohms - - Siemens 
 
Parâmetros de Transmissão T     1T = t      1t = T  Parâmetros de Transmissão t 
1 2e = A e B i   2 1 2 2i C e D i    2 1 1e = a e b i   2 1i c e d    1i 
1 1
2
e
B
i


 1 2 2
1
 2 2
12
2i = 0
e
A
e

2e = 0
2
2i = 0
i
C
e
 1
i
D
i
 
2

2e = 0
1
1i = 0
e
a
e

e
b
i

1

e = 0
1
1i = 0
i
c
e

i
D
i

1

e = 0
 
- Ohms Siemens - - Ohms Siemens - 
 
 
Definição dos Parâmetros T Definição dos Parâmetros t 
1 2e = A e B i   2 1 2i C e D i    2 2 1e = a e b i1   2 1i c e d    1i 
Explicitando 2i Explicitando 1i 
1 2 2 2 1i C e D i D i i C e          2 2 1 1 1 1i c e d i d i c e i2         
2 1
1 C
i i
D D
     2e 1 1
c 1
i e
d d 2
i    
Circuito Equivalente T Circuito Equivalente t 
1 2e = A e B i   2 2 1
1 C
i i
D D
     2e 2 1e = a e b i1   1 1
c 1
i e
d d
    2i 
Obtendo as equações dos circuitos equivalentes dos quadripolos T e t. 
 
 
 
Associação em cascata de dois quadripolos T. 
O que explica a conveniência da inversão do sentido da corrente . 2i
 
Associação em cascata de dois quadripolos t. 
O que explica a conveniência da inversão do sentido da corrente . 1i
 
 
Matriz de Transmissão 
 
 Os quadripolos definidos pelas matrizes  T e  t , que são inversas uma da outra, são os preferidos 
para uso em linhas de transmissão, circuitos de filtros e outras aplicações onde a saída de um quadripolo vai 
alimentar a entrada do seguinte, ligado em cascata com o anterior. 
Pelo motivo acima convém inverter o sentido da corrente , na saída do quadripolo T, para que ela tenha o 
mesmo sentido que a corrente , na entrada do quadripolo T seguinte, uma vez que , na ligação em 
cascata. 
2i
1i 2i i 1
 O quadripolo resultante da associação em cascata, de qualquer quantidade de quadripolos T (ou t), 
será dado pelo produto matricial entre eles, lembrando que esse produto não é comutativo, ou seja, deve ser 
tomado na ordem correta da seqüência. 
A matriz T foi proposta para uso em sistemas telefônicos por P. K. Webb, do British Post Office Research 
Department, no Report 630, de 1977, conforme http://rf-opto.etc.tuiasi.ro/docs/files/DCMR_2009_Curs_1.pdf . 
 
 
http://rf-opto.etc.tuiasi.ro/docs/files/DCMR_2009_Curs_1.pdf
 
 
 
DETERMINAÇÃO DOS PARÂMETROS Z e Y 
 
Definição dos 
Parâmetros Z 
Saída Aberta 
2
1
11
1 i = 0
e
z =
i
 
 
2
2
21
1 i = 0
e
z =
i
 
 
 
Definição dos 
Parâmetros Z 
Entrada Aberta 
1
1
12
2 i = 0
e
z =
i
 
 
1
2
22
2 i = 0
e
z =
i
 
 
 
Medição dos Parâmetros Z 
Definição dos 
Parâmetros Y 
Saída em Curto 
2
1
11
1 e = 0
i
y =
e
 
 
2
2
21
1 e = 0
i
y =
e
 
 
 
Definição dos 
Parâmetros Y 
Entrada em Curto 
1
1
12
2 e = 0
i
y =
e
 
 
1
2
22
2 e = 0
i
y =
e
 
 
 
Medição dos Parâmetros Y 
 
 
 
 
 
 
DETERMINAÇÃO DOS PARÂMETROS G e H 
 
Definição dos 
Parâmetros G 
Saída Aberta 
2
1
11
1 i = 0
i
g =
e
 
 
2
2
21
1 i = 0
e
g =
e
 
 
 
Definição dos 
Parâmetros G 
Entrada em Curto 
1
1
12
2 e = 0
i
g =
i
 
 
1
2
22
2 e = 0
e
g =
i
 
 
 
 
 
 
 
Medição dos Parâmetros G 
Definição dos 
Parâmetros H 
Saída em Curto 
2
1
11
1 e = 0
e
h =
i
 
 
2
2
21
1 e = 0
i
h =
i
 
 
 
Definição dos 
Parâmetros H 
Entrada em Aberta 
1
1
12
2 i = 0
e
h =
e
 
 
1
2
22
2 i = 0
i
h =
e
 
 
 
Medição dos Parâmetros H 
 
 
 
 
 
 
DETERMINAÇÃO DOS PARÂMETROS T e t 
 
Definição dos 
Parâmetros T 
Saída Aberta 
2
2
1
i = 0
e
A =
e
 
 
2
1
2 i = 0
i
C =
e
 
 
 
Definição dos 
Parâmetros T 
Saída em Curto 
2
1
e = 02
- i
e
B = 
 
2
1
e = 02
- i
i
D = 
 
 
Medição dos Parâmetros T 
Definição dos 
Parâmetros t 
Entrada Aberta 
1
1
2
i = 0
e
a =
e
 
 
1
2
1 i = 0
i
c =
e
 
 
 
Definição dos 
Parâmetros t 
Entrada em Curto 
1
2
e = 01
- i
e
b = 
 
1
2
e = 01
- i
i
d = 
 
 
Medição dos Parâmetros t 
 
 
 
 RESUMO de MATRIZES 
 O termo Matriz foi modernamente cunhado por James Joseph Sylvester, e divulgado em 1858 no 
Memoir on the Theory of Matrices, de Arthur Cayley, publicado em Londres, em 1858. No entanto a 
referência mais antiga data de 2500 A.C. no livro chinês Chuí-Chang Suan-Shu. 
http://pt.slideshare.net/aidre/04-algebra-linear-33373290 http://www.somatematica.com.br/historia/oriental3.php 
Exemplos de Matrizes 
 
 
 
 
 
 
  
1
3
m
a
a
a
2a
   1 2 na a a3a
23a
2a
 
   
  
 
 
 
  
11 12 13 1n
21 22 2n
31 32 33 3n
m1 m2 m3 mn
a a a a
a a a
a a a a
a a a a
 
Genérico: ; Ex.: ia  ii = 2 a = Genérico: ja ; Ex.:  jj = 3 a = 3a 2 3ai , ja ; Ex.: ;  i ji = 2 j = 3 a =
Matriz Coluna Matriz Linha Matriz Genérica 
 
Duas matrizes são iguais se e somente se forem de mesma ordem e se todos os seus elementos correspon-
dentes forem iguais entre si, ou seja,      i j i jA = B a = b . 
Notação Notação 
Operação 
Simbólica Indicial 
Condições 
 
Adição e 
Subtração 
C = A ± B i j i j i jc = a ±b 
A , B e C devem ter o mesmo número de 
linhas e colunas. 
 
Multiplicação 
de Matrizes 
C = A B 
n
k 1
i j ik k jc = a b 
O número de colunas em A deverá ser 
igual ao número de linhas em B. 
Multiplica-se cada elemento da linha i de 
A pelo correspondente da coluna j de B, 
somando-se algebricamente os resultados 
dos produtos. .   A B B A
   
   
   
   
6 12 24 14 27 36 41
64 7
82 2 9
8 9 8 9
3 33
5 5 5 324 40
76 7
6 284 47 5
2
4 4
               
                                
B CA 
 
   
   
4 56 66
8 8 8
2 3
4 5 4
7 77
9 9
2 3
52
40 53
529 63 9
           
                       
B DA 
 
Multiplicação 
por Escalar 
C = k B i j i jc = k b C terá a mesma ordem de B . 
Exemplo: 
7 219 27
3 p
8 20
a 3
1 34 0
   
ar     
   
C = k B = = k 
 
Inversão de Matriz 2 x 2 
       
                 
-1
1b b d1 1B = B = = ×
ΔA a d -
- b d - ba a
c c -c a c ad d b

-c
 
Resumo do Procedimento: 1) Calcular  ΔA = a d - b c
2) Inverter o sentido da diagonal principal 3) Inverter os sinais dos termos na diagonal secundária 
 
http://pt.slideshare.net/aidre/04-algebra-linear-33373290
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http://www.somatematica.com.br/historia/oriental3.php
http://www.somatematica.com.br/historia/oriental3.php
 
Quadripolo com Terminações e suas Variáveis 
 
Tensões, correntes e impedâncias de entrada e de saída em um quadripolo. 
 
1
in
1
e
Z =
i
 
Impedância de entrada 
com na saída LZ
g
ing g in
1
e
Z = = R + Z
i
 
Impedância de entrada, vista pelo 
Gerador Eg, com na saída LZ
 
OZ = Impedância de saída com na entrada gZ


O C
S C
2 2
O
2 2
e e
Z = = = Z
i i TH
 O C
2e = Tensão na saída com  LZ 
S C2
e = Tensão na saída com 0LZ 
 2e , = variações de tensão e de  2i
corrente para diferentes valores de . LR
THZ = Impedância de Thevenin 
 
2
V
1
e
A =
e
 Ganho de tensão do quadripolo 
2
Vg
g
e
A =
E
 Ganho de tensão do gerador 
 
Ganho de Potência 2
i
1
i
A = -
i
 Ganho de corrente 
 
 
 
 
2 2 2
P
1 1 1
e i cos θ
A =
e i cos θ
 
 é o ângulo de fase 
 
Quadripolo otimizado para tensão Quadripolo otimizado para corrente 
in gZ Z O LZ Z in gZ Z O LZ Z 
Quadripolo otimizado para potência 
in gZ = Z O LZ = Z 
Para cargas complexas as impedâncias deverão ser o 
conjugado complexo uma da outra: R + j X e R - j X . 
 
 
 
 
Relações Importantes nos Quadripolos com Terminação 
Z Y H G T t 
 
 
 
inZ 
11 L
L 22
Z Z z
Z Z
  

 22 L
11 L
1 Y Z
Y y Z
 
  
 11 L
22 L
h h Z
1 h Z
  
 
 22 L
11 L
g Z
g g Z

  
L
L
A Z B
C Z D
 
 
 L
L
d Z b
c Z a
 
 
 1
1
E
I
 
 
OZ 
g 22
g 11
z Z Z
Z Z
  

 11 g
22 g
1 Y Z
Y y Z
 
  
 11 g
g 22
h Z
h Z h

  
 22 g
11 g
g g Z
1 g Z
  
 
 g
g
B Z D
A Z C
 
 
 g
g
b a Z
d c Z
 
 
 
ThZ 
 
VA 
21
11
L
Z
z
Z
Z


 21
22
L
Y
1
Y
Z


 21 L
L 1
h Z
h Z h 1
 
  
 
21
22
L
g
g
1
Z

 
L
1
B
A
Z

 
L
t
b
d
Z


 2
1
E
E
 
 
iA 
21
L 22
Z
Z Z


 21
11 L
y
y y Z  
 21
22 L
h
1 h Z 
 21
11 L
g
g g Z

   L
1
C Z D 
 
L
t
c Z a

 
 2
1
I
I
 
 
VgA 
in
V
in g
Z
A
Z Z


 inV
in g
Z
A
Z Z


 inV
in g
Z
A
Z Z


 inV
in g
Z
A
Z Z


in
V
in g
Z
A
Z Z


 inV
in g
Z
A
Z Z


2
g
E
E
 
 
 
Z Y H G T t 
 
 
Determinantes das Matrizes 
   11 12 11 22 12 21
21 22
z z
ΔZ = z z z z
z z
    11 12 11 22 12 21
21 22
y y
ΔY = y y y y
y y
 
   11 12 11 22 12 21
21 22
g g
ΔG = g g g g
g g
    11 12 11 22 12 21
21 22
h h
H = h h h h
h h
 
   
A B
ΔT = A D B C
C D
    
a b
Δt = a d b c
c d
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Tabela de Conversão de Parâmetros 
Z Y T t H G 
 
 
 
Z 
11 12
21 22
z z
z z
 
22 12
21 11
y - y
ΔY ΔY
- y y
ΔY ΔY
 
A ΔT
C C
1 D
C C
 
d 1
c c
Δt a
c c
 
12
22 22
21
22 22
hΔH
h h
-h 1
h h
 
1 12
11 11
21
11 11
- g
g g
g ΔG
g g
 Z 
 
Y 
22 12
21 11
z - z
ΔZ ΔZ
- z z
ΔZ ΔZ
 11 12
21 22
y y
y y
 
D -ΔT
B B
-1 A
B B
 
a -
b b
-Δt d
b b
1
 
12
11 11
21
11 11
-h1
h h
h ΔH
h h
 
12
22 22
21
22 22
gΔG
g g
-g 1
g g
 Y 
 
T 
11
21 21
22
21 21
z ΔZ
z z
z1
z z
 
22
21 21
11
21 21
- y -1
y y
- y-ΔY
y y
 
A B
C D
 
d b
Δt Δt
c a
Δt Δt
 
11
21 21
22
21 21
-h-ΔH
h h
- h -1
h h
 
1 22
21 21
11
21 21
g
g g
g ΔG
g g
 T 
 
t 
22
12 12
11
12 12
z ΔZ
z z
z1
z z
 
11
12 12
22
12 12
- y -1
y y
- y-ΔY
y y
 
D B
ΔT ΔT
C A
ΔT ΔT
 
a b
c d
 
11
12 12
22
12 12
h1
h h
h ΔH
h h
 
22
12 12
11
12 12
- g-ΔG
g g
-g -1
g g
t 
 
H 

12
22 22
21
22 22
zΔZ
z z
z 1
z z
 
12
11 11
21
11 11
- y1
y y
y ΔY
y y
 
B ΔT
D D
-1 C
D D
 

b 1
a a
- t c
a a
 11 12
21 22
h h
h h
 
22 12
21 11
g -g
ΔG ΔG
-g g
ΔG ΔG
 H 
 
G 
12
11 11
21
11 11
- z1
z z
z ΔZ
z z
 
1
12
22 22
21
22 22
yΔY
y y
- y
y y
 
C -ΔT
A A
1 B
A A
 

c -1
d d
t b
d d
 
22 12
21 11
h -h
ΔH ΔH
-h h
ΔH ΔH
 11 12
21 22
g g
g g
 G 
 
 
Z Y T t H G 
 
 
Determinantes das Matrizes 
   11 12 11 22 12 21
21 22
z z
ΔZ = z z z z
z z
    11 12 11 22 12 21
21 22
y y
ΔY = y y y y
y y
 
   11 12 11 22 12 21
21 22
g g
ΔG = g g g g
g g
    11 12 11 22 12 21
21 22
h h
H = h h h h
h h
 
   
A B
ΔT = A D B C
C D
    
a b
Δt = a d b c
c d
 
 
 
Associação de Quadripolos 
 
Série Parâmetros Z Paralelo Parâmetros Y 
 
 
Série - paralelo Parâmetros H Paralelo - série Parâmetros G 
 
 
Parâmetros T Cascata Parâmetros t 
 
Parâmetros Z Parâmetros Y 
 1 1e f i , i 2  2 1e f i , i 2  1 1i f e , e 2  2 1i f e , e 2 
Porta 1 1i Porta 2 2i Porta 1 1e Porta 2 2e 
Ligação Série Ligação Série Ligação Paralela Ligação Paralela 
Parâmetros G Parâmetros H 
 1 1i f e , i 2  2 1e f e , i 2  1 1e f i , e 2  2 1i f i , e 2 
Porta 1 1e Porta 2 2i Porta 1 1i Porta 2 2e 
Ligação Paralela Ligação Série Ligação Série Ligação Paralela 
Parâmetros T Parâmetros t 
 1 2e f e , i 2  1 2i f e , i 2  2 1e f e , i 1  2 1i f e , i 1 
Porta 1 - Porta 1 - Porta 2 - Porta 2 - 
 
 Quando dois quadripolos e são associados os parâmetros do quadripolo resultante, em um A B
dos pares de portas ( ou ), será a soma dos parâmetros de cada quadripolo, na referida 1A, 1B 2B2A,
porta, desde que a variável independente, nesses pares de portas, seja comum a ambos. 
Se a variável comum for corrente, a associação das portas será em série. 
Se a variável comum for tensão, a associação das portas será em paralelo. 
 Como podemos ver os quadripolos T e t, de transmissão, não satisfazem o acima exposto e são 
associados em cascata. Os parâmetros resultantes são dados pelo produto matricial dos dois quadripolos. 
 
 
Associação Série de Dois Quadripolos Z 
1 1A 1B 2 2A 2B
1 1A 1B 2 2A 2B
E = e + e ; E = e + e
I = i = i ; I = i = i
 
 
   

 
  
  
 

  
 

   
11A 12A
21A
B 1
2
1
+ +E I
=
E I+
z z
z


11B 12
2221B 22A 2Bz
z
z z+
z
 
 
     
     
    
1 11 12
2 21 22
E Z Z I
=
E Z Z I


1
2
 
 
;
;
  12A11B 1212 BZ +z z
zz 
11A11
21 2221A 221B 2BA2
Z +
Z + Z +z z
zz
2
 
 
Associação Paralela de Dois Quadripolos Y 
1 1A 1B 2 2A 2B
1 1A 1B 2 2A 2B
E = e e ; E = e = e
I = i + i ; I = i + i
 
 
   

 
  
  
 

  
 

   
11A 12A
21A
B 1
2
1
+ +I E
=
I E+
y y
y

11B 12
2221B 22A 2By
y
y y+
y
 
 
     
     
    
1 11 12
2 21 22
I Y Y E
=
I Y Y E


1
2
 
 
;
;
  12A11B 1212 BY +y y
yy 
11A11
21 2221A 221B 2BA2
Y +
Y + Y +y y
yy
2
 
 
Associação Paralela - Série de Dois Quadripolos G 
1 1A 1B 2 2A 2B
1 1A 1B 2 2A 2B
E = e e ; E = e + e
I = i + i ; I = i = i
 
 
   

 
  
  
 

  
 

   
11A 12A
21A
B 1
2
1
+ +I E
=
E I+
g g
g


11B 12
2221B 22A 2Bg
g
g g+
g
 
 
     
     
    
1 11 12
2 21 22
I G G E
=
E G G I


1
2
 
 
;
;
  12A11B 1212 B
2
G +g g
 
11A11
21 2221A 221B 2BA
G +
G + G +g g
gg
 
g g2
 
 
 
 
 
Associação Série - Paralela de Dois Quadripolos H 
 
1 1A 1B 2 2A 2B
1 1A 1B 2 2A 2B
E = e + e ; E = e = e
I = i = i ; I = i + i
 
 
   

 
  
  
 

  
 

   
B 211A 12A
21A
B 1
2
1
+ +E I
=
I E+
h h
h


11 1
2221B 22A 2Bh
h
h h+
h
 
 
     
     
    
1 11 12
2 21 22
E H H I
=
I H H


1
2E
 
 
;
;
  12A11B 1212 B
2 2
H +h h
hh 
11A11
21 2221A 221B 2BA
H +
H + H +h h
hh
 
 
Associação em Cascata de Dois Quadripolos T 
1 1A 1B 2A 2 2B
1 1A 2A 1B 2 2
E = e ; e e ; E = e
I = i ; i = i ; I = i B

 
 
  
  
 
 

 
 


   
A A
A A
B B 2
B 2B
1
1
AE
=
I
A B
C D
 

E
I
 
    
   
 

  
1 2
1 2
E EA B
=
I C D I

 
 
 

C
B
D
 B BABA CAAA = ;   B BABB = B DAA 
  B BADA C  B BADD = B DACC = ; AC
     
   
   
     


  
      
 
 
     
 
 
B B B BB B
B
B B B B
A A A
B BA A A
B A B
D C D
A C B DA B
T
C D A BC D
  AA A
A
A A A
AA B
T
C D C
A B
T = = =
C D
 
 
Associação em Cascata de Dois Quadripolos t 
1 1A 1B 2A 2 2B
1 1A 2A 1B 2 2
E = e ; e e ; E = e
I = i ; i = i ; I = i B

 
 
  
  
 
 

 
 


   
A A
A A
B B 1
B 1B
2
2
aE
=
I
a b
c cd
 

E
I
 
    
   
 

  
2 1
2 1
E Ea b
=
I c d I

 
 
 
b
d
 B BAba c  B BAbb dAaa = ; b = Aa
  B BAda c  B BAdd = b dAcc = ; Ac
     
   
   
     

 
  
      
 
 
     
 
 
B B B BB B
B
B B B B
A A A
B BA A A
B A B
D C D
A C B DA B
T
C D A BC D
  AA A
A
A A A
AA B
T
C D C
A B
T = = =
C D
 
 
 
Quadripolos Enfatizando Conceitos 1.1 Matriz Z 
Sem terminações na entrada e na saída. 
 
Correntes mostradas no sentido positivo convencionado. ; ;1 1 21 1 2 2 12 2;e = 0 i = 0 z i = 0 e = 0 i = 0 z i = 0   
Como as portas estão abertas, as correntes são nulas, o que anula as fontes controladas, restando apenas as impedâncias. 
2
1
11
1 i = 0
e
z =
i
 Impedância de entrada 
com saída aberta. 
1
2
22
2 i = 0
e
z =
i
 Impedância de saída 
com entrada aberta. 
 
Com gerador ideal na porta 1 e sem terminação na porta 2. Sem terminação na porta 1 e com gerador ideal na porta 2. 
Embora a Porta 1 seja normalmente considerada entrada, e a Porta 2 saída, nada impede que isso seja invertido. 
 
Entrada na Porta 1 Saída na Porta 2 Saída na Porta 1 Entrada na Porta 2 
; ;1 11 1 IN 11 2 21 1 2
11 1
e e
e = Eg i = Z = = z e = z i i = 0
z i
 ; ; ;2 22 2 IN 22 1 12 2 1
22 2
e e
e = Eg i = Z = = z e = z i i = 0
z i
;
1
2 21 1 21
11
e
e = z i = z
z
   2 2V
1 1
e z
A = =
e z
1
1
 Ganho com VA
Porta 2 aberta 
2
1 12 2 12
22
e
e = z i = z
z
   1 1V
2 2
e z
A = =
e z
2
2
 Ganho com VA
Porta 1 aberta 
21
1
2OC 11 22 1 22 22
O IN 11 22
212SC 11 1 11 11
1
22
Z
e
e Z Z e Z Z
Z = = = = Z = Z = Z
Zi Z i Z Zi
Z

  

12
2
1OC 22 11 2 11 11
O IN 22 11
121SC 22 2 22 22
2
11
Z
e
e Z Z e Z Z
Z = = = = Z = Z = Z
Zi Z i Z Zi
Z

  

 
Trocar índices 1 para obter as equações da direita. 2 Trocar índices 1 2 para obter equações da esquerda. 
 
Com gerador real na porta 1 e sem terminação na porta 2. Sem terminação na porta 1 e com gerador real na porta 2. 
Entrada na Porta 1 Saída na Porta 2 Saída na Porta 1 Entrada na Porta 2 
;11 1 11 1 IN 11
11 11 11 1
z e eEg
e = Eg i = = Z = = z
Rg + z z Rg + z i
  ;22 2 22 2 IN 22
22 22 22 2
z e eEg
e = Eg i = = Z = = z
Rg + z z Rg + z i
  
; ;21 2 212 21 1 1 V 2 O
11 1 11
z e z
e = z i = e A = = i = 0 Z = Z
z e z
   22 ; ;
12 1 12
1 12 2 2 V 1 O
22 2 22
z e z
e = z i = e A = = i = 0 Z = Z
z e z
   11 
Trocar índices 1 para obter as equações da direita. 2 Trocar índices 1 2 para obter as equações da esquerda. 
 
 
 
Quadripolos Enfatizando Conceitos 1.2 Matriz Z 
Com terminações na entrada e na saída. 
 
Gerador real na porta 1 e carga na porta 2. 
Sinal de entrada aplicado na Porta 1 e sinal de saída obtido na Porta 2. 
 
1 1IN
1
IN
Z
e = Eg
Rg + Z
 11
IN IN 11
e e zEg
i = = =
Z Rg + Z z
2 2i 2 O 2 L 21 1 22e = E = i R = z i z i2    
O sinal (-) indica 
que está saindo 2i
11 IN 12 Iz = Z z   1 212
1 1 1
1 11
e i
z
i i i
=
i z

 
IN 11 12 IZ z + z   
I2
21
N 11
I
1
i Z - z
i
Α
z


 2122 2 2 L 21 1 2 1
22 L
z
z i i R = z i i = i
z R
     

 
L22
- z
z R L
12 21
IN 11
IN 11 21 Z 11 L
2 L2 2 221
- z z
= Z = + z =
+ z
z R
Z
Rz
z
z
R-  
 
 
L L
O2 2
2
22
Ee z
- i = = =
R R z RL
1 1i

 2
1
i
=
i L
21
I
22
- z
A =
z R
 
1 111 LIN
L 22
Eg Eg
i = = = i
z R + zRg + Z Rg +
R + z

 L
L LL LIN
2
1 22 221 1 INR e Z
- i z z
i z R z R
 
 
LIN O IN O21 21R Z E Z E R= = =
Z e R
 
 

 

11 L
1 1 IN
11 L L 22
L 22
z R + zEg
e = i Z =
z R + z R + zRg +
R + z


 L
L Z 1
O 21 2
1 L
1 L
V
1 22
22
L
L
+ z R
z R
E R z z R
= A = =
e z R


 

11z R + z
 
 
 
 

11 L
1
L 22 11 L
Eg z R + z
e =
Rg R + z + z R + z

 
 

O 21 L
V
1 11 L
E z R
= A =
e z R +

 z
 
 L 
21 L
O 2 L
22 11 L
Eg z R
E = I R =
Rg z R + z R + z
 
 
 
 
L L
1
11
21 21
22 22
Eg
i
z R +
Rg +
- z - z
z R z R
 
   L 
21
2 2
L 22 11 L
L 22
- z
i = i = Eg
z Rg z R + z R + z
R + z
 
 
 
Calculando a Impedância de Entrada INZ Calculando a Impedância de Saída OZ
O gerador equivale a 1e g gE - R i1 . Gerador substituído por sua resistência . gE Rg 
A polaridade da tensão na saída é dada por . 2i
2
O
2
e
Z =
i
 
Polaridade da tensão na entrada dada por . 1i
Resistor de carga substituído por gerador de tensão . LR 2e
1
IN
1
e
Z =
i
2 21 1 22 2 L 2 21 1 22 2e = z i z i R i = z i z i        1 11 1 12 2 1 11 1 12 2e = z i z i Rg i = z i z i        
1 11 1 12e = z i z i   2 
21
2 1
L 22
z
i = i
R + z

 2 21 1 22e = z i z i2   
12
1 2
11
z
i = i
Rg + z

 
12 21
1 11 1
L 22
z z
e = z i i
R + z
 
   1 1 12 21IN 11
1 L 22
e z z
= Z = z
i R + z
 
 122 21 2 22
11
z
e = z i z i
Rg + z

2    2 12 21O 2
2 1
e z z
= Z = z
i Rg + z
 
 2
1
 
12 21 11 22 L 11 L 11
IN
L 22 L 22
z z z z R z z + R z
Z = =
R + z R + z
       12 21 11 22 22 22
O
11 11
z z z z Rg z z + Rg z
Z = =
Rg + z Rg + z
       
 
 
 
Quadripolos Enfatizando Conceitos 1.3 Matriz Z 
Com terminações na entrada e na saída. 
Equações obtidas trocando-se os índices 1 2 nas equações correspondentes da página anterior. 
 
Gerador real na porta 2 e carga na porta 1. 
Sinal de entrada aplicado na Porta 2 e sinal de saída obtido na Porta 1. 
1 O 1 L 12 2 11e = E = i R = z i z i   1 
O sinal (-) indica 
que está saindo 1i
IN
2
IN
Z
e = Eg
Rg + Z
 2
2 2
2
IN IN 22
e eEg
i = = =
Z Rg + Z z
1 1z i 
22 IN 21 Iz = Z z   
 1211 1 1 L 12 2 1 2
11 L
z
z i i R = z i i = i
z R
     

 
2 121
2 2
2 22
e i
z
i i i
=
i z
2

 
IN 22 21 IZ z + z   
I1
12N 22
I
2
i Z - z
i
Α
z
 
L L
O1 12
1
11
Ee z
- i = = =
R R z R

 L
2i 
L
12
I
11
- z
A =
z R
1
2
i
=
i
 
L11
- z
z R L
21 12
IN 22
IN 22 12 Z 22 L
1 L1 1 112
- z z
= Z = + z =
+ z
z R
Z
Rz
z
z
R-  
 


 
L
2 L LL L
1
112 INR e Z
- i z z
i z R z R
 
 
LIN O IN O
IN
12 12
112
R Z E Z E R
= = =
Z e R
 
 2 222 LIN
L 11
Eg Eg
i = = = i
z R + zRg + Z Rg +
R + z

 
L
L Z 2
O 12 1
2 L
2 L
V
2 11
11
L
L
+ z R
z R
E R z z R
= A = =
e z R


 

22z R + z
 

 

22 L
2 2 IN
22 L L 11
L 11
z R + zEg
e = i Z =
z R + z R + zRg +
R + z


 
 
 
 

22 L
2
L 11 22 L
Eg z R + z
e =
Rg R + z + z R + z

 
 

O 12 L
V
2 22 L
E z R
= A =
e z R + z


  L 
12 L
O 1 L
11 22 L
Eg z R
E = I R =
Rg z R + z R + z
 
 
 
 
 1 L 
12
1
L 11 22 L
L 11
- z
i = i = Eg
z Rg z R + z R + z
R + z
L L
2
22
12 12
11 11
Eg
i
z R +
Rg +
- z - z
z R z R
 
 
 
 
 
Calculando a Impedância de Saída OZ Calculando a Impedância de Entrada INZ
Gerador substituído por sua resistência . gE Rg O gerador equivale a 1e g gE - R i2 . 1
O
1
e
Z =
i
 
Polaridade da tensão na entrada dada por . 2i
2
IN
2
e
Z =
i
 
A polaridade da tensão na saída é dada por .1i
Resistor de carga substituído por gerador de tensão . LR 1e
2 22 2 21 1 2 22 2 21 1e = z i z i Rg i = z i z i        
1 12 2 11 1 L 1 12 2 11e = z i z i R i = z i z i1        
1 12 2 11e = z i z i   1 
21
2 1
22
z
i = i
Rg + z

 2 22 2 21e = z i z i1   
12
1 2
L 11
z
i = i
R + z

 
21
1 12 1 11
22
z
e = z i z i
Rg + z

   1 1 21 12O 11
1 22
e z z
= Z = z
i Rg + z
 
 21 122 22 2
L 11
z z
e = z i i
R + z
 
2   2
2
21 12
IN 22
L 11
e z z
= Z = z
i R + z
 
 
21 12 22 11 11 11
O
22 22
z z z z Rg z z + Rg z
Z = =
Rg + z Rg + z
       21 12 22 11 L 22 L 22
IN
L 11 L 11
z z z z R z z + R z
Z = =
R + z R + z
       
 
 
 
Conceitos Relativos a s = σ + j ω 
s j    
 j ts t t j tE e E e E e e           
   s t t tE e E e cos t j E e s en t            
   tte E e cos t        Componente Real 
   tte E e s en t        Componente Imaginária 
 
Para Neper / segundo e 0,5 
f 2 Hz 2 f 4       rad / s, vem: 
   0,5 tte 10 e cos 4 t         
   0,5 tte 10 e s en 4 t         
Desenvolvimento de . s tE e  Componentes senoidal e cossenoidal de s t1 e  para 0  . 
 
Componente senoidal amortecida no eixo imaginário. Componente cossenoidal amortecida no eixo real. Amplitude do Fasor 
 
 
A variável complexa s ( = sigma e j      = omega), merece ser analisada em detalhe. 
Como a velocidade angular  é expressa em radianos/segundo isso obriga que tenha a mesma dimensão, 
ou seja, 1/segundo, para que possam ser adicionadas. O termo  , em rad / s, indica a velocidade de giro do 
fasor (e o seu sentido: trigonométrico  reqüências positivas , horário  freqüências negativas). Mas qual f
será o significado de  ? Para responde a essa questão comecemos lembrando que j 1 como  , assim
radianos (razão entre o comprimento de um arco e o seu raio), são adimensionais, ou seja, não têm unidade. 
Em seguid   a vamos analisar   j ts t t j t t tE e E e E e e E e cos t j E e sen t                      : 
Se  for positivo, o sinal cresce em amplitude ao longo do tempo; se for negativo, o sinal será atenuado. 
Usando como referência o valor de tE e  em t = 0, ou seja, 0E e E 1 E    , e tomando o logaritmo 
Neperiano do cociente    t tL E e / L e t     obti t / E , expressa em Ne-N NE vemos a razão E e
per (análogo ao Bell, mas com base 2,718 ao invés de 10 omo ). C  t  ar que NL e / t podemos afirm  
é expresso em Neper / segundo e retrata a taxa de crescimento (o mplitude, em relação a u atenuação) da a o
tempo. Assim, em 1 s, para 0,5   o nível em Neper será dado por  0,5 1NL e 0,5 1 0,5       , ou 
seja, sofreu uma atenuação d r, o que está perfeitamente de ac ada e 0,5 Nepe ordo com a taxa de variação d
por 0,5 Neper / segundo   . 
Com 0,o Volts, esta é a amplitude do sinal em t = 1 s, o que pode ser 0,5 1 0,510 e 10 e 10 6066 6,1      
confirm à componente cossenoidal. ado na figura acima, ao meio, referente 
Em resumo,  determina a variação da amplitude ao longo do tempo, em Neper / s e a freqüência. 
Finalmente, quando fazemos s j    estamos interessados na resposta completa do sistema, ou seja, as 
respostas transitória e a perm tomarmos s janente. Ao   obteremos, exclusivamente, a resposta perma-
nente senoidal, que é a mais procurada, na maioria da . s vezes
 
Quadripolos Exemplos com Circuitos 1.4 Matriz Z 
Filtro RC Passa Altas Sem Terminações na Entrada e Saída Filtro RC Passa Baixas 
 
 
 
 
Determinação dos Parâmetros Z 
 
 1
1
1 1
e 1
R
i s
 
C
 11 1
1 1
1
z R 1
s R C
 
     
 
1
11
1
1
11
1
e
z =
i
2i = 0 2i = 0
e
z =
i
1
2
1 2
e 1
R
i s
 
C
 11 2
2 2
1
z R 1
s R C
 
     
 
 1 2 1e e R i   2
 12 1
z R 
1
12
2
1
12
2
e
z =
i
1i = 0 1i = 0
e
z =
i
2
1 2
2
i
e e
s C
 

 12
2
1
z
s C


 
 
2 1e R i  2 22 1z R 
2
22
2
2
22
2
e
z =
i
1i = 0 1i = 0
e
z =
i 2 2i e s C2   22
2
1
z
s C


 
2
21
1
e
z =
i
2i = 0
 
2 1e i R  1 21 1z R 
2
21
1
2i = 0
e
z =
i
1
2 1
2
i
e e
s C
 

 21
2
1
z
s C


 
 
Filtro RC Passa Altas. Com Terminações na Entrada e Saída Filtro RC Passa Baixas. 
 
 
 11 22 12 21Δz = z z - z z  
O
V
1
E
A =
e
 
21
11
L
Z
Δz
Z +
Z
 
OZ 
g 22
g 11
Δz - Z Z
Z + Z

 
O
Vg
g
E
A =
E
 
V
g
IN
A
Z
1 +
Z
 
INZ 
11 L
L 22
Z Z + Δz
Z + Z

 
iA 
21
L 22
- Z
Z + Z
 INg g INZ R Z 
11 L
g
L 22
Z Z + Δz
R +
Z + Z

 
 
 
Quadripolos Exemplos com Circuitos 1.5 Análise de Circuitos 
Filtro RC Passa Altas Com Terminações na Entrada e Saída Filtro RC Passa Baixas 
 
 
 
1 L
INg
1 1
R R1
Z Rg
s C R R

  
  L
 INg g 2
2
L
1
Z R R
1
s C
R
  
 
 
g 1Rg 0 E e   
1 1 L
L
IN
1 1 1
e R R1
Z
i s C R R

  
 
 
g 1Rg 0 E e   
1
IN 2
1
2
L
e 1
Z R
1i s C
R
  
 
 
g
1
INg
E
I
Z
 g1
INg
E
I
Z
 
g 1 L
O 2
INg 1 L
E R R
E e
Z R R
 
   

 
g
O 2
INg
2
L
E 1
E e
1Z s C
R

   
 
 
g
O 2
1 L
INg
1 L
E
E e
R R
Z
R R

  
 
  
 
g
O 2
INg 2
L
E
E e
1
Z s C
R

  
 
   
 
 
gO
2
L 1 L
INg
1
EE
I
R R R
Z
R

 
 
 
 
 
 
gO
2
L INg L
EE
I
R Z 1 s R C

 
    2
 
g I2
I
1 g1 L
INg
1
E ZI
A
I ER R
Z
R

  
 
 
 
Ng
 
 
g I2
I
1 INg L 2
E ZI
A
I Z 1 s R C E

  
   
Ng
g
 
2 1
I
L1 1 L
1
I R 1
A
RI R R 1
R
 
  
 
 2
I
1 L
I 1
A
I 1 s R C

 
   2
 
O L
VG
g 1 L L
INg INg
1 L 1
E R1
A
E R R R
Z Z 1
R R R

  
  
     

 

 
 
O L
VG
g INg L
E R
A
E Z 1 s R C

 
    2
 
O L
V
1 1 L L
IN IN
1 L 1
E R1
A
e R R R
Z Z 1
R R R

  
  
     

 

 
 
O L
V
1 IN L
E R
A
e Z 1 s R C

 
    2
 
1
O
1 1
1
R
Z
s R C
1
1 s Rg C

 

  
 
 
2
O
2 2
Rg R
Z
1 s Rg R C


   
 
 
 
Quadripolos Exemplos com Circuitos 1.6 Análise de Circuitos 
Filtro RC Passa Banda Com Terminações na Entrada e Saída Passa Altas e Passa Baixas em Cascata 
 
 
Os dois quadripolos, com as seções passa altas e passa baixas, associados em cascata. 
 
 
 
A impedância de entrada do segundo 
Quadripolo é a carga do primeiro. 
O Thevenin equivalente na saída do 
primeiro quadripolo alimenta o segundoA saída do primeiro quadripolo 
Alimenta a entrada do segundo. 
 
IN2 2
2
L
1
Z = R +
1
s C +
R

 TH1 O1
1
1
1
R = Z =
1 1
+
1 RRg +
s C
 1
TH1
1
1
R
E = Eg
1
Rg + R +
s C


 
 
 
 
 
 
 
IN2
2 2
L
2
L
1
1
1 1Z R + s C +
1 Rs C +
R
 2 IN2 2
1
1
TH1 1
O1
1
1
1 Z +
1 1
+
1 RRg +
s
Z R +
Eg R
1
Rg + R
e = e = =
+
s C
C
+
E

 




 
Saída Passa Baixas Acoplada à Entrada Passa Altas 
A tensão , na saída do passa altas é igual à tensão , na entrada do passa baixas, quando acoplados. 2e 1e
 
 
 
IN2 IN2
IN2 I
O 2 V
2IN2
T
2
O1 O1
H1 T
N2 IN2
LL
H1 TH
O1
11 1E = e = A = =
1
+
+ + +1 s C +Z s C
Z Z
Z Z Z
RR
Z Z Z
E E E 
  
 
 
IN2
L
2
Z
1
s C +
R
O 2
2 2
L L
1
1
T
O1
1
1
H1 1
2
Eg R
1
Rg + R +
E s
1Z +
1 1
+
1 R
1 1
E = e = =
1 1+ 1R +
R
s C
C
+ s C
g
R
C
+
+
R
s
 
 




 
A tensão , na saída do Passa Baixas, alimentado pela saída Passa Altas, é a tensão , na saída do Passa Banda. 2e OE
 
 
 Manipulando algebricamente a equação anterior obteremos a expressão do ganho do passa banda: 
 
 
1
1
O 1
2
L 2
2 2
L
1
1
R
1
Rg R
E s C
1Eg s C
R R
s R C 1
1 1 R
1 RRg
s C
 


 
    



 
 
1
1
O 1
2
1 L 2
2 2
L
1
1
R
1
Rg R
E s C
Eg 1 1
Rg s C
s C R R
s R C 1
1 RRg
s C
1
R
 


   
              



 
 
1
1
O 1
2
1 L 2
2 2
L
1
1
1
R
1
Rg R
E s C
Eg 1 1
Rg s C
s C R R
s R C 1
1 RRg R
s C
R
 


   
              
 

 
 
1
1
O 1
1 2
1 L 2
2 2
L
1
1
R
1
Rg R
E s C
Eg 1 1
R Rg s C
s C R R
s R C 1
1 RRg R
s C
 


   
               
 

 
 
 
O 1
2
1 2 1 2 2
1 L 1 L
E R
Eg R1 1 1
R Rg s C Rg R s R C 1
s C R s C R

      
                         



 
 
 
O
2
2 2 2
1 L 1 1 1 L
E 1
Eg R1 1 Rg 1
Rg s C 1 1 s R C
s C R R s R C R

      
                         



 
 
 
Quadripolos Exemplos com Circuitos 1.7 Análise de Circuitos 
Filtro RC Passa Banda Com Terminações na Entrada e Saída Freqüências de Corte @ - 3 dB 
 
 A freqüência de corte é aquela em que a potência cai para a metade, ou seja, a tensão fica dividida por 
2 (o que equivale a multiplicar a amplitude por 0,707 1 / 2 ). Em dB isso equivale a uma redução de 3 
dB no nível da região plana (a banda passante). 
     
1
2
10 10 10 10
1 1
20 Log 20 Log 2 20 Log 2 10 Log 2 10 0,3010 3,01
22
                           
  
 
 Vamos aplicar o raciocínio acima na função de transferência do circuito Passa Banda, abaixo: 
O
2
2 2 2
1 L 1 1 1 L
E 1
Eg R1 1 Rg 1
Rg s C 1 1 s R C
s C R R s R C R

      
                         



 
 Mas, para maior comodidade algébrica, vamos trabalhar com o inverso da função de transferência: 
2
2 2 2
O 1 L 1 1 1 L
REg 1 1 Rg 1
Rg s C 1 1 s R C
E s C R R s R C R
      
                          



 
2
2
O L L 1 1
2
2 2
1 L 1
2 2 2
1 1 L 1 1
CEg Rg 1
s Rg C ...
E R s R C C
RRg Rg
1 1 s R C 1 ...
R R R
R R C1
1
s R C R R C
   
             
     
             
     
    
          
 
Efetuando as multiplicações indicadas na função de transferência invertida. 
2 2
2 2 2
O L L 1 1 1 L 1
2 2 2
1 1 L 1 1
C REg Rg 1 Rg Rg
s Rg C 1 1 s R C 1 ...
E R s R C C R R R
R R C1
1
s R C R R C
     
                           
    
          
 
Efetuando as multiplicações indicadas. 
2
2 2 2
O L 1 1 1 1
2 2 2 2
1 1 L 1 1 L
REg 1 Rg 1
s Rg C s R C 1 1 ...
E s R C R s R C R
R C C RRg Rg
1 1
R C R C R R
     
                         
   
            
L
 
Ordenando e agrupando os termos semelhantes. 
2
2 2 2
O 1 L 1 1 1
2 2 2
1 1 L 1 L
REg Rg 1 1 1
s Rg C R C 1 1 ...
E R s R C R C
C R RRg Rg
1 1 1
C R R R R
       
                           
     
           
     
LR



 
Substituindo s por j ω 
2
2 2 2
O 1 L 1 1 1
2 2 2
1 1 L 1 L
REg Rg 1 1 1
j Rg C R C 1 1 ...
E R j R C R C
C R RRg Rg
1 1 1
C R R R R
       
                            
     
           
     
LR



 
 
2 2 2
O 1 1 L 1 L
2
2 2 2
1 L 1 1 1
C R REg Rg Rg
1 1 1 ...
E C R R R R
RRg 1 1 1
j Rg C R C 1 j 1
R R C R C
     
             
     
      
                          LR



 
Colocando na forma cartesiana a + j b . 
2
2 2 2
2 2
1 L 11 1R R C R C      
2
O 1 1 L 1
L
L
RRg 1 1 1
Rg C R C 1
C R REg Rg Rg
1 1 1 ...
E C R R R R
j 1
R
        
                
     
     
 
       
     
   
     
 
Forma cartesiana de . Parte real em azul e parte imaginária em vermelho. OEg / E
2
2
2 2 2
1 L 1 1 1 L
RRg 1 1 1
Rg C R C 1 1
R R C R C R
                     
2
2 2 2
1 1 L 1 L
...
C R RRg Rg
2 1 1 1
C R R R R
      
       
                   
     
    


 
Módulo de , nas freqüências de corte, elevado ao quadrado: OEg / E   . 22 = 2
2
2
2 2 2
1
2
2 2 2
1 L 1 1
2
2
2 2 2
1 L 1 1 L1
RRg 1 1 1
Rg C R C 1 1
R R C R
...
C R

                                         
1 L
Rg
Rg C R C 1 ...
R
RRg 1 1
2 Rg C R C 1 1
R R C R C R
  
         
  
        
                            
2
2
2
L 1 1 1 L
R1 1 1
1
R C R C R
    
             
 
Desenvolvimento do quadrado da parte imaginária:   2 2 2x y = x 2 x± y + y  . 
2
2 2
2 2
1
2 2
2
1 1 L 1 L
2
2
2 2 2
1 L 1 1 1 L
RRg 1 1 1
Rg C R C 1 1
R R C R C
...
R

                                         
2 2
1 L 1
Rg
C Rg R 1 ...
R
C RRg 1 1
2 Rg R 1 1
C R R R R
1 1 1
1
C R R
  
       
  
      
               
      
  
 
2
2
L
R
R
  
  
  
 
Colocando termos semelhantes em evidência. 
 
 
 
 
 
 
 
Forma Cartesiana e Módulo 
c a j b   Número Complexo 
j 1  Número Imaginário 
2 2 2c a b   Módulo 
2 2c a 2 2b   Módulo ao quadrado 
2
2 2
2 2
2
2 2 2
1 1 L 1 L
C R RRg Rg
2 1 1 .
1
2 2
2
1 1 L 1 L
2
2
2 2
1 L 1 L
Rg
C Rg R 1 ...
R
C RRg 1 1
2 Rg R 1 1
C R R R R
R1 1 1
1
1
C
.
R
.
R R R
      
             
   

  
C R R R
  
       
  
      
               
      
  
         
 
Valores associados aos pontos de meia potência 
Equação que permitirá o cálculo das freqüências de corte inferior e superior. 
2
2 2 2 2 2
1 1 L 1 L
2
4 2
2 2
1
2 2 2
2
1 1 L 1
2
2
1 L 1 L
C R RRg Rg
2 1 1 1 ...
C R R R R
Rg
C Rg R 1 ...
R
C RRg 1 1
2 Rg R 1 1
C R R R
R1 1 1
1
C R R R
                        
       
  
       
  
     
                 
     
  
     
  
2
LR



 
Multiplicando ambos os membros por . 2ω
2
4 2
2 2
1
2
2 22 2 2
1 1 L 1 L
2 2 2
2
1 1 L 1 L
2
2
1 L 1 L
Rg
C Rg R 1 ...
R
C R RRg Rg
1 1 1 2 ...
C R R R R
C RRg 1 12 Rg R 1 1
C R R R R
R1 1 1
1
C R R R
  
       
  
                        
       
     
                 
     
  
     
  
2
0



 
Ordenando o polinômio em função de  e agrupando os termos semelhantes. 
2
4 2
2 2
1
2
2 2 2 2 2 2
2
1 1 L 1 L 1 1 L 1 L
2
2
2
1 L 1 L
Rg
C Rg R 1 ...
R
C R R C RRg Rg Rg 1 1
1 1 1 2 2 Rg R 1 1 ...
C R R R R C R R R R
R1 1 1
1
C R R R
  
       
  
                                                   
                
  
     
  
0
 
Polinômio (quarto grau) ordenado e com os termos semelhantes agrupados. 
 
Valores Numéricos 
Rg 500  1R 10 K 1C 1 F LF 23,78 Hz 
LR 100 K 2R 10 K 2C 0,47 nF HF 2,472 kHz 
 
 
4
2
2 2 2 2 2
2
1 1 L 1 L 1 1 L 1 L
2
2
2
2 2
1
2
2
2
1 L 1 L
...
C R R C RRg Rg Rg 1 1
1 1 1 2 Rg R 1 1
C R R R R C R R R R
...
Rg
C Rg R 1
R
R1 1 1
1
C R R R
C
 
                                              
                 
  
    
  
  
     
  
2



2
2
2 2
1
0
Rg
Rg R 1
R

  
    
  
 
Dividindo ambos os membros da igualdade pelo coeficiente de . 4ω
2
2 2 2 2 2
2
1 1 L 1 L 1 1 L 1 L
2
2
2 2
1
C R R C RRg Rg Rg 1 1
1 1 1 2 Rg R 1 1
C R R R R C R R R R
b
Rg
C Rg R 1
R
                                            
              
  
     
  
2


 
Coeficiente de . 2ω
2
2
L 1 L
2
2 2
1 2 2
1
R1 1
1
R R R
c
Rg
C C Rg R 1
R
  
    
  
  
      
  
 
Termo independente. 
 
4 2 b c 0      
2
3
b b
c
2 2
      
 
 
2
3
1 b b
F c
2 2 2
        
 
2
L
1 b b
F c
2 2 2
        
 
2
H
1 b b
F c
2 2 2
        
 
Freqüência de corte inferior. Freqüência de corte superior. 
Obtenção das freqüências de corte inferior, , e superior, , através da solução da equação biquadrada. LF HF
101 102 103 104
-6
-5
-4
-3
-2
-1
0
 R
es
po
st
a 
 P
as
sa
 B
an
da
 e
 m
 d
 B
 F r e q ü ê n c i a e m H z 
Resposta de freqüência e as freqüências de corte: Hz , kHz e HF = 2,472 O L HF = F F = 242,47 Hz . LF = 23,78
 
Quadripolos Exemplos com Circuitos 1.8 Matriz Z 
Filtro RC Passa Banda Sem Terminações na Entrada e Saída Parâmetros Z da Cascata 
 
 
Filtro RC Passa Banda Matriz Z Equivalente 
1
11
1
11
1
1
2
2
1 1
z
1 1s C
1R R
s C
 
 

2i = 0
e
z =
i
 

 
Impedância de entrada 
Com a saída aberta 
1
12
2
 1
1 2 22
1 2
R
e i z
R R
  

 1 112 22 21
2 1 2
e R
z z
i R R
   

1i = 0
e
z =
i
z 
 
1 1 1
12 22 21
1 2 1 2 1 2 2
2
1 2
R R R1
z z z
1R R R R s R R C 1s C
R R
     
      

 
Diferentes formas de representar . 12z
2
22
2
e
z =
i
1i = 0
 22
2
1 2
1
z
1
s C
R R

 

 Impedância de saída 
Com a entrada aberta 
2
21
1
 
 
2i = 0
i
e
z =
 
1 2 1 1
2
1 2 2
2
1 2
2
2
1
i s C i R
e
1 1 1 s R R C 1R
1R s CR
s C
 
  
    


 
 
1
21
1 2 2
R
z
s R R C 1

   
 
 
Com Terminações na Entrada e Saída 11 22 12 21Δz = z z - z z  
 g 22O
g 11
Δz - Z Z
Z
Z + Z

  11 Lin
L 22
Z Z + Δz
Z
Z + Z

 
ing g inZ R Z 
11 L
ing g
L 22
Z Z + Δz
Z R +
Z + Z

 
O 21V
1
11
L
E Z
A =
Δze Z +
Z
 O inVg V
g in
E Z
A = A
E Z +
 
gZ
 21i
L 22
- Z
A
Z + Z
 
 
 
Quadripolos Exemplo Conceitual 1.9 Matriz Z 
Quadripolos em Cascata Com Terminações na Entrada e Saída Parâmetros Z em Cascata 
 
Quadripolos A e B, definidos por suas matrizes Z, associados em cascata. 
 
Como Associar em Cascata Quadripolos Definidos pela Matriz Z 
 
g1 22
TH1 O1
g1 11
Δz - R z
Z = Z =
R + z

 
 
21
TH1 O1 1
1 1
z
E = E = Eg
Rg + z

1
 
O quadripolo resultante é o quadripolo B alimentado pelo Thevenin equivalente da saída do Quadripolo A. 
 
 
    

L
L LL
1 IN11 21 1 11 21 1 21
1 TH1 O1 21 1 Z
1 11 1 IN1 11 1 11 11 1 11Z ZZ
Eg ZEg z Eg z z Eg z
i E E z i
Rg + z Rg + Z z Rg + z z Rg + z
  
         
Obtendo a expressão de . TH1 O1E = E Quantidades em amarelo - Quadripolo A 
 
 
Quadripolos Exemplos com Circuitos 1.10 Matriz Z 
Filtro RC Passa Banda Com Terminações na Entrada e Saída Parâmetros Z em Cascata 
 
Passa Banda 
Passa Altas 
11 22 12 21Δz = z z - z z  
Passa Baixas 
OZ 
22
11
Δz z
z
TH1
TH1Z
-
+
Z 
 
11z 
 
 
 
1
1 1
1
R 1 +
s R C

 
 11z 
 
 
 
2
2 2
1
R 1 +
s R C

 
 
inZ 
11 L
L 22
z Z + Δz
Z + z

 
12z 1R  TH1ing inZ Z Z 
 12z11 L
L 22
z Z + Δz
Z + z1TH
Z +

 2
1
s C
 
O2
V
1 1
Ee
A = =
e e
 
21
11
L
z
Δz
z +
Z
 
21z 1R 21z 
2
1
s C
 
O
Vg
TH1
E
A =
E
 inV
i TH1n
Z
A
Z + Z
 
22z 1R 
iA 
 22z21
L 22
- z
Z + z
 2
1
s C
 
Quantidades em amarelo - Quadripolo A Quantidades em vermelho - Quadripolo B 
 
 
Quadripolos Exemplos com Circuitos 1.11 Matriz Z 
Filtro RC Passa Banda Com Terminações na Entrada e Saída Solução por Determinantes 
 
Correntes convencionais arbitradas , , e , definem as três malhas necessárias para resolver o circuito.    1i 2i 3i
101 102 103 104
-6
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
 R
es
po
st
as
 P
as
sa
 A
lta
s,
 P
as
sa
 B
ai
xa
s 
 e
 P
as
sa
 B
an
da
 
e 
m
 
d 
B
 F r e q ü ê n c i a e m H z
 
 
Passa Altas Matriz Z
Passa Baixas Matriz Z
Passa Banda Matriz Z
Passa Banda Ana Circ
Passa Banda Determin
Analise Circ + Matriz Z
Passa Banda com Buffer
 
___ Passa Banda, Associação em Cascata com Buffers 
. . . Passa Altas Matriz Z 
- - - Passa Baixas Matriz Z 
___ Passa Banda – Associação das seções Passa Altas e Passa Baixas em Cascata, Matriz Z. 
___ Passa Banda – Passa Altas e Passa Baixas em Cascata – análise de circuitos 
- - - Passa Banda – Passa Altas e Passa Baixas em Cascata – análise por Determinantes 
-.-. Passa Banda – Passa Altas e Passa Baixas em Cascata – análise de circuitos - Outra Forma 
Comparação das diversas respostas obtidas. 
 
MATLAB 
% Analise do Circuito Passa Altas Acoplado ao Passa Baixas, por Determinantes 
Fmin = 0 ; Fmax = 4; NP = 1000 ; f = logspace(Fmin, Fmax, NP) ; w = 2*pi*f ; s = j*w ; 
R1 = 1E4 ; C1 = 1E-6 ; Rg1 = 500 ; ZL1 = 1E4 ; % Passa Altas 
R2 = 1E4 ; C2 = 0.0047E-6 ; Rg2 = 500 ; ZL2 = 1E5 ; % Passa Baixas 
Da = (Rg1 + R1 + 1./s/C1) ; Db = (1./s.^2/C2^2) ; Dc = (ZL2 + 1./s/C2) ; Dd = (R1 + R2 + 1./s/C2) ; 
DELTA = -Da.*Db - R1^2*Dc + Da.*Dd.*Dc ; 
DELTAI1 = -Eg.*Db + Eg*Dc.*Dd ; DELTAI2 = -Eg*R1./s/C2 ; DELTAI3 = Eg*R1*(ZL2 + 1./s/C2) ; 
I1 = DELTAI1./DELTA ; I2 = DELTAI2./DELTA ; I3 = DELTAI3./DELTA ; 
EO2 = -I2*ZL2 ; AVT = EO2/Eg ; MAVT = abs(AVT) ; MAVTdB = 20*log10(MAVT) ; 
Exemplo resumido de rotina no Matlab utilizada no cálculo das respostas desejadas e seus respectivos módulos. 
 
 
 
Resolução do Circuito por Determinantes 
1 1 1 3
1
1 1 2 1 2 3
2 2
L 2 3
2 2
1
Eg Rg R I R I 0
s C
1 1
R I I R R I 0
s C s C
1 1
R I I 0
s C s C
 
        
 
         
 
        
 
1 3
1 2 3
2
3
1
R R 0I
s C
I
 
2
2
2
1 1
1
L 2
2
1 1
R I
1
I
s C
1
R I
s C
1
Rg R I
s C
R
Eg
1
0
I
s C
 
  

 
     
 
    
     


 
Aplicando o método das malhas, correntes convencionais. Passando os termos independentes para o segundo membro. 
11
1 2
22
1
1
L
2
1
Rg Rs C
R
0
1
s C
R
1
R
s C
1
R
s
s
0
R
C
1
C

 
   
 

 
 
 
 
   
 
 
    
 



 
2


1 1
1 1
L L2
2 2
2
12
2
1 1
Rg R R Rg
1 1 1
R R
s s CCs
R
C s C s C
   
         
   
                 
1 2
2
1
R R
s C
 
 
 

 
 
Determinante principal. 
1
2
L
1
1 2
2
1
R R
C

 
  


2
2
0
1
I
s C
1
R
s C
R
s C
1
E
s
g
0
0
 
 
 
 
   
 
 
     

 
 
1
1
2
1 I
C
 
 
 
 
1 L2
2
1 22
2
Eg
Eg R R
C s
1
I R I
s Cs
 



         
 
Determinação da corrente . 1I
1
1 2
2
2
2
g
s C s C
C
I
1
1
1
12
2
2
R
I1
R
1
Rg R
s C
Eg
0 ER
1
R
I R
s
00

 
  
 
 
 
         
 
 
 
  
 
 
 

  

 
Determinação da corrente . 2I
1
1
1 1
3
3 L 3
2 2
L
2
0
I1 1
I R
s
1
Rg Eg
0
C s C
1
R
Eg
R
s
0
R
0
s
R
C
C
 
 
 
   
I
               
 
    
 
   
 


 
Determinação da corrente . 3I
 
 
Quadripolos Exemplos com Circuitos 1.12 Matriz Z 
Filtro RC Passa Banda Filtro RC Passa Baixas Alimentado pela Saída do RC Passa Altas 
Sem Terminações na Entrada e Saída Com Terminações na Entrada e Saída 
 
 
 
11
z   
 
11 2
2 2
1
z = R 1 +
s R C

 
 OZ 
g 22
g 11
Δz - Z Z
Z + Z

 
12
z 12
2
1
z =
s C
 
inZ 
11 L
L 22
Z Z + Δz
Z + Z

 
22
z 22
2
1
z =
s C
 ing g inZ R Z 
11 L
g
L 22
Z Z + Δz
R +
Z + Z

 
21
z 21
2
1
z =
s C
 OV
1
E
A =
e
 
21
11
L
Z
Δz
Z +
Z
 
Δz 11 22 12 21z z - z z  
O
Vg
g
E
A =
E
 inV
in g
Z
A
Z + Z
 
IN2 2
2
L
1
Z = R +
1
s C +
R

 
iA 
21
L 22
- Z
Z + Z
 
1
TH1
1
1 IN2
Eg R
E =
1 1
Rg + +
1 1s C +
R Z

O1
1
1
1
Z =
1 1
+
1 RRg +
s C
 

 
OT IN2 V2
VgT V2
O1TH1 IN2 O1
IN2
E Z
A = = A =
ZE Z + Z 1 +
Z

A
 O2 21V2
21
11
L2
E Z
A =
Δze Z +
R
 
21
2
11
L2
VgT
O1
IN2
Z
Δz
Z +
R
A =
Z
1 +
Z
 
 
 
 
A impedância de entrada do segundo 
Quadripolo é a carga do primeiro. 
O Thevenin equivalente na saída do 
primeiro quadripolo alimenta o segundo 
A saída do primeiro quadripolo 
Alimenta a entrada do segundo. 
 
 
 
 
Exemplos com Circuitos 1.13 Análise de Circuitos 
Filtro RC Passa Banda 
Com Terminações na Entrada e Saída Acoplamento com Buffers 
 
Passa banda com estágios acoplados através de buffers com INZ =  , e . OZ =  VA = 
 
 A utilização de amplificadores de ganho unitário, impedância de entrada infinita e impedância de saída 
nula, denominados buffers, fazendo o acoplamento na entrada e na saída dos circuitos, impede que as 
impedâncias internas das fontes de sinal e o valor das cargas interfiram na função de transferência. 
Amplificadores operacionais são muito utilizados para essa finalidade. 
O1
1 1
1
E Eg
1
1
s R C
 

 
 
O O1
2 2
1
E E
1 s R C
 
  
 O
2 2
1 1
1 1
E Eg
1 1 s R C1
s R C
  
  
 
 
 
O
2 2
1 1
E 1 1
1Eg 1 s R C1
s R C
 
  
 
  O 10 10 2 2
1 1dB
E 1
20 Log 1 20 Log 1 s R C
Eg s R C
 
           
 
 
O
2 22 2
2 2
1 1 1 1
E 1 1 1
1 1Eg 1 s R C1 1 s R C
s R C s R C
  
s R C        
   
 
 
   
O 1 1
1 1 2 2 2 2
E s R C
Eg s R C 1 s R C 1 s R C
 

         
 
 
 
O 1 1 1 1
2 2
1 1 1 2 1 2 2 2 1 2 1 2 1 1 2 2
E s R C s R C
Eg s R C s R R C C 1 s R C s R R C C s R C R C 1
   
 
                    
 
 
 
O 1 1
2
1 2 1 2 1 1 2 2
E j R C
Eg R R C C j R C R C 1
 

           
 
 
 
O 1 1
2
1 2 1 2 1 1 2 2
E j R C
Eg 1 R R C C j R C R C
 

          
 
 
 
   
22
1 1
2 22 2
1 2 1 2 1 1 2 2
R C1
2 1 R R C C R C R C
  

           
 
 
    2 2 22 2 21 2 1 2 1 1 2 2 1 11 R R C C R C R C 2 R C                  
 
     2 22 4 2 21 2 1 2 1 2 1 2 1 1 2 2 1 11 2 R R C C R R C C R C R C 2 R C 0                        
2
 
 
 
 
     2 24 21 2 1 2 1 1 2 2 1 2 1 2 1 1R R C C R C R C 2 R R C C 2 R C 1 0                      
2
 
 
       2 2 2 24 21 2 1 2 1 1 2 2 1 1R R C C R C R C 2 R C 1 0                  
 
     2 2 24 21 2 1 2 2 2 1 1R R C C R C R C 1 0               
 
   
   
2 2
2 2 1 14 2
2 2
1 2 1 2 1 2 1 2
R C R C 1
0
R R C C R R C C
  
     
     
 
 
 
 
 
   
2 2
2 2 1 14 2
2 2
1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2
R C R C 1
0
R R C C R R C C R R C C
  
       
          
2
 
 
     
4 2
2 2 2
1 1 2 2 1 2 1 2
1 1 1
0
R C R C R R C C
 
       
      
 
Dividindo ambos os membros da igualdade pelo coeficiente de . 4ω
   2 21 1 2 2
1 1
b
R C R C
 
 
 
  21 2 1 2
1
c
R R C C

  
 
Coeficiente de . 2ω Termo independente. 
4 2 b c 0      
2
3
b b
c
2 2
      
 
 
2
3
1 b b
F c
2 2 2
        
 
2
L
1 b b
F c
2 2 2
        
 
2
H
1 b b
F c
2 2 2
        
 
Freqüência de corte inferior. Freqüência de corte superior. 
Obtenção das freqüências de corte inferior, , e superior, , através da solução da equação biquadrada. LF HF
101 102 103 104
-6
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
 R
es
po
st
a 
 P
as
sa
 B
an
da
 c
om
 B
uf
fe
r 
e 
m
 d
 B
 F r e q ü ê n c i a e m H z 
Resposta de freqüência e as freqüências de corte: Hz , kHz e HF = 3,386 O L HF = F F = 232,15 Hz . LF = 15,92
 
 
 
Exemplos com Circuitos 1.14 Análise de Circuitos 
Filtro Passa Banda 
Com Terminações na Entrada e Saída Fator de Qualidade Q 
 
 Em um filtro passa banda a diferença entre as freqüências de corte define a banda passante BW, enquanto 
a média geométrica L HF F indica a freqüência central dessa região (em escala logarítmica), denominada 
. O Fator de qualidade Q, dado por , inversamente proporcional a BW, indica o formato da curva. OF OF / BW
 
2
L
b b
c
2 2
      
 
 
2
2
L
b b
c
2 2
      
 
 
2
H
b b
c
2 2
      
 
 
2
2
H
b b
c
2 2
      
 
 
Freqüências angulares em radianos por segundo. 
 
2 2 2
L H
b b b b b b b b
c c c
2 2 2 2 2 2 2 2
                                              
2
c




 
2 2 2
L H
b b b b b b
c c c
2
2 2 2 2 2 2
                                                    
c L H c   
Produto das freqüências angulares em radianos por segundo. 
 
2 2
H L
b b b b
c c
2 2 2 2
                
   
 
Diferença entre as freqüências angulares em radianos por segundo. 
 
 
2
2 2
2
H L
b b b b
c c
2 2 2 2
 
                     
 
 
Diferença entre as freqüências angulares, elevada ao quadrado. 
 
 
2 2 2
2
H L
b b b b b b b b
c c 2 c
2 2 2 2 2 2 2 2
                                
       
2
c 
Desenvolvendo a diferença ao quadrado. 
 
 
2 2
2
H L
b b b b
b 2 c
2 2 2 2
c
                                  
 
 
 
2 2
2
H L
b b b b
b 2 c
2 2 2 2
c
                                  
 
Simplificando os termos semelhantes. 
 
 
2 2
2
H L
b b
b 2 c b
2 2
                     
     
2 c 
 
 
 
  2H L H L H L
b 2 c
b 2 c b 2 c F F BW
2
  
                  

 
Banda Passante BW.L H L H L H O
c
c c F F F
2
          

 
Determinação de . OF
L H L HO
H L H L
cF F cF
Q
BW F F b 2 cb 2 c
  
    
        
 
Fator de qualidade (ou de mérito) Q. 
H LBW F F  O L HF F F  
OFBW
Q
 
 
1.7 Filtro Passa Banda - Valores Calculados 1.13 
LF 23,78 HF 2472 OF 242,47 LF 15,92 HF 3386 OF 232,15
BW OQ F / BW BW 3370 OQ F / BW 0,0682 
 
 
Amplificador Representado como Quadripolo 1.15 Quadripolos 
 
Qualquer um dos seis conjuntos de parâmetros abaixo pode ser utilizado. 
 
 Z Y H G T t 
inZ 
11 L
L 22
Z Z z
Z Z
  

 22 L
11 L
1 Y Z
Y y Z
 
  
 11 L
22 L
h h Z
1 h Z
  
 
 22 L
11 L
g Z
g g Z

  
L
L
A Z B
C Z D
 
 
 L
L
d Z b
c Z a
 
 
 1
1
E
I
 
OZ 
g 22
g 11
z Z Z
Z Z
  

 11 g
22 g
1 Y Z
Y y Z
 
  
 11 g
g 22
h Z
h Z h

  
 22 g
11 g
g g Z
1 g Z
  
 
 g
g
D Z B
C Z A
 
 
 g
g
b a Z
d c Z
 
 
 
ThZ 
VA 
21
11
L
Z
z
Z
Z


 21
22
L
Y
1
Y
Z


 21 L
L 1
h Z
h Z h 1
 
  
 
21
22
L
g
g
1
Z

 
L
1
B
A
Z

 
L
t
b
d
Z


 2
1
E
E
 
iA 
21
L 22
Z
Z Z


 21
11 L
y
y y Z  
 21
22 L
h
1 h Z 
 21
11 L
g
g g Z

   L
1
C Z D 
 
L
t
c Z a

 
 2
1
I
I
 
VgA 
in
V
in g
Z
A
Z Z


 inV
in g
Z
A
Z Z


 inV
in g
Z
A
Z Z


 inV
in g
Z
A
Z Z


in
V
in g
Z
A
Z Z


in
V
in g
Z
A
Z Z


 2
g
E
E
 
 Z Y H G T t 
 
2 iVg V
n
g in g
e Z
A = = A
E Z + R
 11
in
e
i =
Z
 22
L
e
i =
R
 in1 g
g i
Z
e E
Z Z
 

 
n
g i
g 1
in
Z Z
E e
Z
n 
 
Quadripolos Exemplos com Circuitos 1.16 Matriz T 
Filtro RC Passa Altas Sem Terminações na Entrada e Saída Filtro RC Passa Baixas 
 Determinação dos Parâmetros Z 
1 1 1
1
1
e i R
s C
 
    
 2 1e i R  1 1 1 2
2
1
e i R
s C
 
    
 2 1
2
1
e i
s C
 

 1
2
2i = 0
e
A =
e
 
1 1 1
2 1 1 1 1 1 1
e i R 1 1
A 1
e i R s R C s R C
 
          
1
2
2i = 0
e
A =
e
 
1 1 2
2 2 2
2 1 2
e i s C 1
A R 1 s R C
e i s C
  
         
1 1 1
1
1
i e / R
s C
 
   
 2 1e i R  1 1 1 2
2
1
i e / R
s C
 
   
 2 1
2
1
e i
s C
 

 
1
2
2i = 0
i
C =
e
 
1
1 1 1
2 1 1
1
1
1
R
i e s C 1
C
1e e RR
s C


   


 
1R
1
2
2i = 0
i
C =
e
 
2
1 1 2 2
2
2 1
2
2
1
R
i e s C s C
C s C
1e eR
s C

  
   


 
1 1e i / s C  1 2 1i i  1 1e i R2  2 1i i  
2
1
2e = 0
e
B =
- i
 
1 1 1
2 1 1
e i / s C 1
B
i i s C

  
 
 2
1
2e = 0
e
B =
- i
 
1 1 2
2
2 1
e i R
B R
i i

  

 
1 2i i  
1
2
i
1
i


 1 2i i  
1
2
i
1
i


 
2
1
2e = 0
i
D =
- i
 
2
1
2e = 0
i
D =
- i
1
2
i
D 1
i
 

 1
2
i
D 1
i
 

 
 
Filtro RC Passa Altas. Com Terminações na Entrada e Saída Filtro RC Passa Baixas. 
 
ΔT = A D - B C  
O
V
1
E
A =
e
 
L
1
B
A +
Z
 
OZ 


g
g
D Z + B
C Z + A
 
O
Vg
g
E
A =
E
 
V
g
in
A
Z
1 +
Z
 
INZ 


L
L
A Z + B
C Z + D
 
iA  L
1
C Z + D
 INgZ g INR Z 
 
 
Quadripolos Exemplos com Circuitos 1.17 Matriz T 
Filtro RC Passa Banda Sem Terminações na Entrada e Saída P arâmetros T da Cascata
 
 
Filtro RC Passa nda Ba Matriz T Equiv lente a
1
2
2i = 0
e
A =
   
1 1
TH TH 1 1
2 1
2 TH 2 2 TH 2 2
TH 2
2
s R C
E E 1 s R1
e e
1 s C s R R C 1 s R R C 1R R
s C
 
  
   
         

 C
 
e
TH
1
1
1
R
1
s C
R

 
 
1
TH 1
1
1
R
E e
1
R
s C
 


 
     TH 2 2 1 1TH 2 21
1 12
1 1
1 s R R C 1 s R C1 s R R Ce
A
s R Ce s R
1 s R C
              
   
  
 
1 1C

1 1
TH 1
1 1
s R C
E e
1 s R C
 
 
  
 
1 1 1
2
2 22 2 2
2 2
1 2 1 1
2
2
i i i1 1 1
e
1 1 1 1 s R C 1s R CR s C
1 s 1R s C R RR
s C C
    
       
2 2R
s
1
C
s C

1
2
 

 
 
1
2
2i = 0
i
C =  
e
 
 1 2 21 1
2 1
1 2 2 2 1
1 s R R CR i
e i C
s R R C 1 e R
   
    
   
 
1 1
1
1 2
1 1
e i
1 1s C
R R
 

  
  
 
 

 2 1
2
1 2
1 1
i i
1 1 R
R R
   

 
2
- i
1
2e = 0
e
B = 
2R
1 1 1 2 1
2 2 2
2 1 1 1 2 1 1
1 2
1
1
e i R R R1 1 1 1
B R 1 R R B
1 1i i s C R R s C s C
R R
                                
   
 
1 
1
1
1
1 2
e
i
1 1
1 1s C
R R


 
 
2 1
2
1 2
1 1
i i
1 1 R
R R
   

 
2
1
2e = 0
i
D =
- i
 
1 1 2
2 1
1
2
1 2
i i R
D 1
1 1i i
1 1 R
R R
 
R

  

 
2
1
R
D 1
R
  
 
 
Com Terminações na Entrada e Saída 
 
ΔT = A D - B C  
O
V
1
E
A =
e
 
L
1
B
A +
Z
 
OZ 


g
g
D Z + B
C Z + A
 
O
Vg
g
E
A =
E
 
V
g
in
A
Z
1 +
Z
 
INZ 


L
L
A Z + B
C Z + D
 
iA  L
1
C Z + D
 INgZ g INR Z 
 
101 102 103 104
-12
-11
-10
-9
-8
-7
-6
-5
-4
-3
-2
1
0
-1
 R
es
po
st
as
 P
as
sa
 B
an
da
 e
m
 d
 B
 F r e q ü ê n c i a e m H z
 
 
Passa Banda Matriz T
Passa Banda [Ta][Tb]
Passa Banda Matriz Z
 
    Ta TbRespostas do filtro Passa Banda resultante, obtidas com as matrizes T, e Z . 
 
 
Matrizes Iguais em Cascata 
 
     
   
   
   
   
2
                                     
2
2
2
2
A A B C
A = A A =
C A D B
C D
C
B B
D
B
D D D
AA BA B
C D CC C CA B
  




B A D
 
Esta operação equivale a elevar a matriz ao quadrado. 
 
 
 
101 102 103 104
-12
-11
-10
-9
-8
-7
-6
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
 R
es
po
st
as
 P
as
sa
 A
lta
s 
 e
 P
as
sa
 B
ai
xa
s 
 e
m
 d
 B
 F r e q ü ê n c i a e m H z
 
 
Passa Altas Matriz T
Passa Altas Matriz Z
Passa Baixas Matriz T
Passa Baixas Matriz Z
 
Respostas dos filtros Passa Altas e Passa Baixas obtidas com as matrizes T e Z. 
101 102 103 104
0
2000
4000
6000
8000
10000
12000
 I
m
pe
dâ
nc
ia
s 
 d
e 
 S
aí
da
 
em
 
O
hm
s
 F r e q ü ê n c i a e m H z
 
 
Passa Altas Matriz T
Passa Altas Matriz Z
Passa Baixas Matriz T
Passa Baixas Matriz Z
 
Impedâncias de saída dos filtros Passa Altas e Passa Baixas obtidas com as matrizes T e Z. 
101 102 103 104
0
2
4
6
8
10
12
x 104
 I
m
pe
dâ
nc
ia
s 
 d
e 
 E
nt
ra
da
 
em
 
O
hm
s
 F r e q ü ê n c i a e m H z
 
 
Passa Altas Matriz T
Passa Altas Matriz Z
Passa Baixas Matriz T
Passa Baixas Matriz Z
 
Impedâncias de entrada dos filtros Passa Altas e Passa Baixas obtidas com as matrizes T e Z. 
 
 
 
MATRIZ DE TRANSMISSÃO - Exemplos 
 
Disponível em: http://slideplayer.com/slide/4128171/ 
 
Constante de Propagação 
 

   2
N
A B C A B C1
L
2 A B C
     
   
  
 
 
Disponível em: https://en.wikipedia.org/wiki/Two-port_network 
 
 
 
Quadripolos Exemplos com Circuitos 1.18 Matriz T 
Filtros RC Associando Quadripolos Simples Parâmetros T da Cascata 
 
Capacitor em Série Resistor em Paralelo 
 
1
1
s C
0 1
 
  
 
 
 
1 0
1
1
R
 
 
 
 
 
 
Associação em Cascata C - R 
 
1111
R
1
1
1R
R
1
1
s R C s C
1
1
R
1 1
1
s C s C
s C
0 10
1
1 1
1
00 1 10 1 10
                                                          


 

 
 
resultante. Filtro RC paFiltro RC passa altas ssa baixas resultante. 
Associação em Cascata R - C 
Resistor em Série Capacitor em Paralelo 
 
1 R
0 1
 
 
 
 
1 0
s C 1
 
  
 
 
 
   
   
s C1 1 1 s R C R
s C 1
R RR
1 1
11
0 0 0
01 1
s
0
C 11 C 11 s 0
             
                  
 
 



 
 
Quadripolos Exemplos com Circuitos 1.19 Matriz T 
Filtros RC Adaptando Circuitos Genéricos Parâmetros T 
 
A solução acima pode ser adaptada para os circuitos Passa Altas e Passa Baixas, fazendo , conforme abaixo. 2Z = 0
1
3
Z
A 1
Z
  
1B Z 
3
1
C
Z
  D 1 
 
Passa Altas Passa Baixas 
1
1
1
Z
s C


 
3 1Z R 1 2Z R 3
2
1
Z
s C


 
 
1 1
3 1
1
1 1
1
A 1 1 1
Z R s
     
Z s C
R C 
 
1 21 1 s
1Z 2 23
Z R
A 1 R C
2s C
        
 

1
1
1
B Z
s C
 

 
3 1
1 1
C
Z R
  D 1 1 2B Z R  2
3
1
C s
Z
   C D 1 
 
1 1
1
A 1
s R C
 
 
 
1
1
B
s C


 
1
1
C
R
 D 1 2 2A 1 s R C    2B R 2C s C  D 1 
 
1 1 1
1
1 1
1
s R C s CA B
C D 1
1
R
           
 
 
 

2 2 2
2
1 s R C RA B
C D s C 1
    
       
 
 
Os resultados acima concordam com aqueles anteriormente obtidos por outras soluções. 
 
 
 
Quadripolos Exemplos com Circuitos 1.20 Matriz T 
Filtros rdem LC de a2 O Passa Altas e Passa Baixas Parâmetros T 
A solução acima pode ser adaptada para os circuitos Passa Altas e Passa Baixas, fazendo , conforme abaixo. 2Z = 0
1ZA 1  
3Z 3
1
C  
1B Z D 1 Z
 
Passa Altas Passa Baixas 
1
1
1
Z
s C


 
3 1Z s L  1 2Z s L  3
2
1
Z
s C


 
1 1
2
3 1 1 1
Z s C 1
A 1 1 1
Z s L s L C

    
1

21 2
2 2
3
2
Z s
A 1 1 s L C
1Z
s C
L
1

    

  
 
 

1
1
1
B Z
s C
 

 
3 1
1 1
C
Z s L
 

 D 1 1 2B Z s L   2
3
1
C s
Z
   C D 1 
 
2
1 1
1
A 1
s L C
 
 
 
1
1
B
s C

1
1
C
s L


 D 1 2
2 2A 1 s L C    2B s L  2C s C  D 1 
2
1 1 1
1
1 1
1
s L C s CA B
C D 1
s L
           
  
 
2
2 2 2
2
A B 1 s L C s L
C D s C 1
     
       
 
1
 
 
 
O 2
V
1 1
L
E e 1
A =
Be e A +
Z
  O 2V
1 1
L
E e 1
A =
Be e A +
Z
  
 
 
Particulariz Segunda 
Pass P
ando para Linkwitz – Riley de Ordem 
a Altas LR = 8 Ohms assa Baixas 
1
L O
250000
C
R F

 
 L1
O
1000 R
L
F


 
 O
L 1
250000
F
R C

 
 2
L O
250000
C
R F

 
 
L
2
O
1000 R
L
F


 
 O
L 2
250000
F
R C

 
 
 
1C 10 F  O
L 1
250000 250000
F 994,7 Hz 2C 10 FR C 8 10
  
    
   O
L 2
250000 250000
F 9
R C 8 10
  
    
94,7 Hz
 
 
L
1
O
1000 R 1000 8
L
F 994,7
 
  
   
 2,56 mH L2
O
1000 R 1000 8
L 2,56 mH
94,7
 
  
 
 
F 9
 
Particularizando para Butterworth de Segunda Ordem 
Passa Altas Ohms Passa Baixas LR = 8
1
L O
2 250000
C
R F


  
 L1
O
1000 R
L
2 F


  
 
O
L 1
2 250000
F
R C


  
 2
L O
2 250000
C
R F


  
 L2
O
1000 R
L
2 F


  
 
O
L 2
2 250000
F
R C


  
 
 
OF 994,7 Hz 1
L O
2 250000 2 250000
C 14 F
R F 8 994,7
 
  
     
 2C 14 F  O
L 2
2 250000 2 250000
F 9
R C 8 14
 
  
    
 94,7 Hz
 
L
O
1
1000 R
L 1,81 mH
2 F 2 994,7

  
    
 
1000 8 L
2
O
1000 R 1000 8
L 1
2 F 2 994,7
 
  
    
 ,81 mH
 
2
1 1
1
A 1
s L C
 
 
 
1
1
B
s C


 2
2 2A 1 s L C    2B s L  
Função de Transferência  T Módulo da Função de Transferência em dB 
O 2
V
1 1
L
E e 1
A =
Be e A +
Z
   
  
 
V 10dB
L
B
A = - 20
 
  
 
V 10dB
L
B
A = - Log40 A +
Z
 Log A +
Z
 
Se for do tipo utterworth utterworth de Ordem N Linkwitz OrdVA B  2 N B – Riley de em 
Respostas obtidas com a equação acima, particularizada para as funções de tran ência sfer
passa altas e passa baixas, Butterworth e Linkwitz – Riley, todas de segunda ordem. 
102 103 104
-12
-11
-10
-9
-8
-7
-6
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
 X
ov
er
s 
 d
e 
 2
 a
 O
rd
em
 B
ut
te
rw
or
th
 e
 L
in
kw
itz
 - 
R
ile
y 
 e
m
 d
 B
 F r e q ü ê n c i a e m H z
 
 
Passa Baixas Bw 2
Passa Altas Bw 2
Passa Baixas LR 2
Passa Altas LR 2
 
A figura acima mostra uma característica que denota o tipo do filtro: 
O cruzamento das resposta passa altas e passa baixas, Butterworth, acontece em – 3 dB e em – 6 dB no Linkwitz-Riley. 
 
 
Exemplos com Circuitos 1.21 Quadripolos Matriz T 
Butterworth Quadrático de a2 
Passa Altas e Passa Baixas Parâmetros T 
Linkwitz - Riley de Ordem a4
Os Filtros Linkwitz – Riley (sempre de ordem par) podem r obtidos elevando ao quadrado as funções Butterworth . se
 
 
 
     
          
2 2
2
2
A B C B A DA B
T
C D C A D B C D
  Matriz T ao 
Quadrado 
Passa Altas de Ordem a2 Passa Baixas de Ordem a2
2
1 1
1
A 1
s L C
 
 
 
1
1
B
s C


 
1
1
C
s L


 D 1 2
2 2A 1 s L C    2B s L  2C s C  D 1 
2
2
1 1
1 1
1
s L C s C s L
 
         
2A B C = 
1 1
1  22 21 s L C s L s C2 2 2        2A B C = 
  2
1 1
1
1
2
s L C
       
B A D 
1 
s C
   22 2s L 2 s L C2       B A D 
  2
1 1
1 1
2
s L s L C
 
       
C A
1
    22 2s C 2 s L CD 2       C A D 
1 1
1 1
1
s C s L
 
 
2B C + D = 
2 2s L s C 1    
2B C + D = 
2
2 2
1 1 1
1
1 1
1
s L C s CA B
C D 1
1
s L
          
 



 

22 2
2 2 2
2
A B 1 s L C s L
C D s C 1
     
       
 
2
1 1 1 1 1 1 1
2
1 1 1 1 1
1
s L C s C s L s C s L CA B
C D 1 1 1 1
2 1
s L s L C s C s L
 
                
               
 
2 2 2
1 1
1
 
 
1 1
2
 
  
 
 22  2 L C 2 2 2
2 2 2 2 2s C 1 2C D s C 2 s L C s L
2 2 2 2 21 s L C s L s C s L 2 sA B
                
 
          
 

Particularizando para Butterworth de Segunda Ordem 
Passa Altas LR = 8 Ohms Passa Baixas 
L
1
O
1000 R
L
2 F


 
 
1
L O
2 250000
C
R F


  
 O
L 1
2 250000
F
R C


  
 2
L O
2 250000
C
R F


  
 L2
O
1000 R
L
2 F


  
 
O
L 2
2 250000
F
R C


  
 
OF 994,7 Hz 1
L O
2 250000 2 250000
C 14 F
R F 8 994,7
 
  
    
 2C 14 F  O
L 2
2 250000 2 250000
F 9
R C 8 14
 
  
    
 94,7 Hz
L
1
O
1000 R 1000 8
L 1,81 mH
2 F 2 994,7
 
  
    
 L2
O
1000 R 1000 8
L 1,81 mH
2 F 2 994,7
 
  
    
 
2
1 1
1
A 1
s L C
 
 
 
1
1
B
s C


 2
2 2A 1 s L C    2B s L  
Função de Transferência  T Módulo da Função de Transferência Módulo em dB 
O 2
V
1 1
L
E e 1
A =
Be e A +
Z
  
1 /
 
 
 
V
L
B
A = A +
Z
 
 
  
 
V 10dB
L
B
A = - 20 Log A +
Z
 
Módulo da função de transferência. Módulo da função de transferência em dB. 
 
 
Butterworth 
L inkwitz - Riley
Informações Úteis 1.22 Filtros 
 
Tabela 1 – Polinômios de Butterworth para Uso com os Coeficientes da Tabela 3 
2 3 N-2 N-1
0 1 2 3 N-2 N-1B + B s + B s + B s + . . . + B s + B s +    
Ns 
0B 1 N 
1 1 s 
2
11 B s s   2 
2 3
1 21 B s B s s     3 
4 2 3 41 2 31 B s B s B s s       
5 2 3 4 51 2 3 41 B s B s B s B s s         
6 2 3 4 5 61 2 3 4 51 B s B s B s B s B s s           
7 2 3 4 5 6 71 2 3 4 5 61 B s B s B s B s B s B s s             
8 2 3 4 5 6 7 81 2 3 4 5 6 71 B s B s B s B s B s B s B s s               
9 2 3 4 5 6 7 8 91 2 3 4 5 6 7 81 B s B s B s B s B s B s B s B s s                 
2 3 4 5 6 7 8 9 10
1 2 3 4 5 6 7 8 91 B s B s B s B s B s B s B s B s B s s                   10 
 
 
Passa Baixas Passa Altas
N 
Tabela 2 - Funções de Transferência dos Filtros