Circuitos Elétricos II

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Indaial – 2021
CirCuitos ElétriCos ii
Prof.ª Júlia Grasiela Busarello Wolff
Prof. Léo Roberto Seidel
Prof. Rubens Bernardes de Carvalho
1a Edição
Copyright © UNIASSELVI 2021
Elaboração:
Prof.ª Júlia Grasiela Busarello Wolff
Prof. Léo Roberto Seidel
Prof. Rubens Bernardes de Carvalho
Revisão, Diagramação e Produção:
Centro Universitário Leonardo da Vinci – UNIASSELVI
Ficha catalográfica elaborada na fonte pela Biblioteca Dante Alighieri 
UNIASSELVI – Indaial.
Impresso por:
W855c
Wolff, Júlia Grasiela Busarello
Circuitos elétricos II. / Júlia Grasiela Busarello Wolff; Léo Roberto 
Seidel; Rubens Bernardes de Carvalho. – Indaial: UNIASSELVI, 2021.
205 p.; il.
ISBN 978-65-5663-402-9
ISBN Digital 978-65-5663-403-6
1. Circuitos elétricos. - Brasil. I. Wolff, Júlia Grasiela Busarello. 
II. Seidel, Léo Roberto. III. Carvalho, Rubens Bernardes de. IV. Centro 
Universitário Leonardo Da Vinci.
CDD 621.3192
AprEsEntAção
Prezado acadêmico, seja bem-vindo ao livro didático de Circuitos 
Elétricos II, que foi desenvolvido para abordar alguns dos principais 
conteúdos de circuitos elétricos em corrente alternada (CA). Nesse contexto, 
é importante que você já tenha cursado a disciplina de Circuitos Elétricos I, 
na qual são abordadas muitas das teorias e métodos de resolução de circuitos 
aplicados neste conteúdo. A fim de que o curso tenha um cunho aplicado à 
engenharia elétrica, foram utilizados, no desenvolvimento deste material, 
uma vasta gama de exercícios direcionados às dificuldades comumente 
encontradas nesse estudo.
Com o intuito de facilitar seus estudos, este livro foi dividido em 
três unidades, cada qual com outros três tópicos. A Unidade 1 é dedicada 
à análise de circuitos em regime senoidal. É apresentado o software de 
simulação LTspice®, de domínio público, que será utilizado no decorrer dos 
experimentos e das simulações. Será realizada uma revisão dos números 
complexos direcionada ao uso em circuitos de corrente alternada, assim 
como a abordagem de fasores e métodos para a resolução de circuitos no 
domínio da frequência.
Na Unidade 2, serão abordadas as questões relativas à potência de 
circuitos senoidais, às definições de potência instantânea, média e reativa, 
bem como os cálculos que envolvem a potência complexa e o fator de potência. 
Em seguida, veremos o teorema da máxima transferência de potência.
Por fim, a Unidade 3 apresenta a representação dos circuitos trifásicos 
equilibrados, as relações das grandezas no contexto de fonte/carga, os tipos 
de ligação (Y e Δ), os diagramas fasoriais e o cálculo de potências em circuitos 
dessa natureza.
Ao final dos tópicos, há autoatividades dos temas apresentados. 
Ressalta-se que, embora possuam a resolução no Gabarito, elas devem ser 
realizadas antes da consulta às respostas, a fim de fortalecerem a fixação dos 
conteúdos.
Em função da extensão do conteúdo da disciplina de Circuitos 
Elétricos de Corrente Alternada (CA), o conhecimento da análise de correntes 
contínuas (CC) é de fundamental importância, uma vez que os conceitos 
serão adequados para a análise CA. 
São propostas listas de exercícios, tanto de resolução numérica 
quanto de simulação/prática, para explanar os conceitos propostos, bem 
como o comportamento físico dos componentes. Os exercícios com resolução 
numérica apresentam seu desenvolvimento – alguns em detalhes, outros de 
forma mais direta –, conforme o andamento da disciplina, a fim de incentivar 
o desenvolvimento pessoal no entendimento das resoluções. Os exercícios 
de simulação/práticos apresentam uma resolução proposta, que pode ser 
adaptada pelo seu professor, de acordo com as observações necessárias para 
um melhor aproveitamento do exercício.
É importante observar que o empenho individual no entendimento 
dos conteúdos, nos cálculos das grandezas e nas simulações propostas 
é um requisito importantíssimo para a evolução desta disciplina. Este 
material foi estruturado de forma concisa e faz-se de grande valia o uso de 
material bibliográfico diverso, comumente encontrado em livros técnicos 
e especializados no assunto, para posterior consulta e aprofundamento de 
conteúdo.
Nosso objetivo é que você tenha um conteúdo prático e dinâmico, 
capaz de tornar clara a sua evolução no conhecimento da disciplina ao longo 
do semestre, tanto em termos matemáticos quanto em termos dos fenômenos 
que envolvem a disciplina de Circuitos Elétricos CA.
Esperamos que este material sirva como ponto de partida para o seu 
autodesenvolvimento profissional.
Bons estudos!
Prof.ª Júlia Grasiela Busarello Wolff
Prof. Léo Roberto Seidel
Prof. Rubens Bernardes de Carvalho
Você já me conhece das outras disciplinas? Não? É calouro? Enfim, tanto para 
você que está chegando agora à UNIASSELVI quanto para você que já é veterano, há 
novidades em nosso material.
Na Educação a Distância, o livro impresso, entregue a todos os acadêmicos desde 2005, é 
o material base da disciplina. A partir de 2017, nossos livros estão de visual novo, com um 
formato mais prático, que cabe na bolsa e facilita a leitura. 
O conteúdo continua na íntegra, mas a estrutura interna foi aperfeiçoada com nova 
diagramação no texto, aproveitando ao máximo o espaço da página, o que também 
contribui para diminuir a extração de árvores para produção de folhas de papel, por exemplo.
Assim, a UNIASSELVI, preocupando-se com o impacto de nossas ações sobre o ambiente, 
apresenta também este livro no formato digital. Assim, você, acadêmico, tem a possibilidade 
de estudá-lo com versatilidade nas telas do celular, tablet ou computador. 
 
Eu mesmo, UNI, ganhei um novo layout, você me verá frequentemente e surgirei para 
apresentar dicas de vídeos e outras fontes de conhecimento que complementam o assunto 
em questão. 
Todos esses ajustes foram pensados a partir de relatos que recebemos nas pesquisas 
institucionais sobre os materiais impressos, para que você, nossa maior prioridade, possa 
continuar seus estudos com um material de qualidade.
Aproveito o momento para convidá-lo para um bate-papo sobre o Exame Nacional de 
Desempenho de Estudantes – ENADE. 
 
Bons estudos!
NOTA
Olá, acadêmico! Iniciamos agora mais uma disciplina e com ela 
um novo conhecimento. 
Com o objetivo de enriquecer seu conhecimento, construímos, além do livro 
que está em suas mãos, uma rica trilha de aprendizagem, por meio dela você terá 
contato com o vídeo da disciplina, o objeto de aprendizagem, materiais complementares, 
entre outros, todos pensados e construídos na intenção de auxiliar seu crescimento.
Acesse o QR Code, que levará ao AVA, e veja as novidades que preparamos para seu estudo.
Conte conosco, estaremos juntos nesta caminhada!
LEMBRETE
sumário
UNIDADE 1 — CIRCUITOS EM CORRENTE ALTERNADA (ANÁLISE EM 
REGIME SENOIDAL) ............................................................................................... 1
TÓPICO 1 — SOFTWARE DE SIMULAÇÃO – NÚMEROS COMPLEXOS .............................. 3
1 INTRODUÇÃO .................................................................................................................................... 3
2 SOFTWARE PARA SIMULAÇÃO .................................................................................................... 3
2.1 TUTORIAL DO LTSPICE® ............................................................................................................ 4
2.2 INSTALAÇÃO DO LTSPICE® ....................................................................................................... 5
3 ROTEIRO GENÉRICO PARA SIMULAÇÃO DE CIRCUITOS ELÉTRICOS EM 
LABORATÓRIO DIGITAL ................................................................................................................ 5
3.1 OBJETO DE ESTUDO – CIRCUITO ............................................................................................. 5
3.1.1 Análise teórica do funcionamento ....................................................................................... 5
3.1.2 Teste e/ou simulação .............................................................................................................5
3.1.3 Análise e conclusão................................................................................................................ 6
3.2 EXEMPLO DE AULA PRÁTICA UTILIZANDO O LTSPICE® PARA SIMULAÇÃO 
DE CIRCUITOS ELÉTRICOS ........................................................................................................ 6
3.2.1 Exemplo de aplicação – circuito resistivo .......................................................................... 6
3.2.1.1 Etapa 1: realizar o cálculo do circuito ..................................................................... 7
3.2.1.2 Representação gráfica das grandezas calculadas .................................................. 7
3.2.1.3 Etapa 2: realizar a simulação do circuito ................................................................ 9
4 NÚMEROS COMPLEXOS ............................................................................................................... 20
4.1 CONJUNTO DOS NÚMEROS COMPLEXOS .......................................................................... 20
4.2 NOTAÇÃO RETANGULAR ....................................................................................................... 20
4.3 NOTAÇÃO NA FORMA POLAR .............................................................................................. 21
4.4 NOTAÇÃO NA FORMA EXPONENCIAL ............................................................................... 22
4.5 CONVERSÃO DE NÚMEROS COMPLEXOS .......................................................................... 23
4.5.1 Cálculos com números complexos .................................................................................... 23
RESUMO DO TÓPICO 1..................................................................................................................... 25
AUTOATIVIDADE .............................................................................................................................. 26
TÓPICO 2 — FONTE SENOIDAL, CONCEITO DE FASOR E ELEMENTOS 
PASSIVOS NO DOMÍNIO DA FREQUÊNCIA .................................................... 31 
1 INTRODUÇÃO .................................................................................................................................. 31
2 FONTE SENOIDAL E SUA REPRESENTAÇÃO ........................................................................ 31
2.1 REPRESENTAÇÃO MATEMÁTICA GENÉRICA DE UMA ONDA SENOIDAL .............. 32
2.1.1 Amplitude ............................................................................................................................. 33
2.1.2 Frequência (f [Hz]) ............................................................................................................... 34
2.1.3 Período (T [S]) ...................................................................................................................... 34
2.1.4 Uso de fasores ...................................................................................................................... 35
3 REPRESENTAÇÃO DOS ELEMENTOS PASSIVOS NO DOMÍNIO DA FREQUÊNCIA ..... 41
3.1 RESISTOR....................................................................................................................................... 41
3.1.1 No domínio do tempo ......................................................................................................... 41
3.1.2 Em termos fasoriais ............................................................................................................. 42
3.1.3 No domínio da frequência .................................................................................................. 43
3.2 INDUTOR ...................................................................................................................................... 44
3.2.1 Em termos fasoriais ............................................................................................................. 45
3.2.2 No domínio da frequência .................................................................................................. 46
3.3 CAPACITOR .................................................................................................................................. 49
3.3.1 Em termos fasoriais ............................................................................................................. 50
3.3.2 No domínio da frequência .................................................................................................. 51
RESUMO DO TÓPICO 2..................................................................................................................... 54
AUTOATIVIDADE .............................................................................................................................. 56
TÓPICO 3 — ANÁLISE DE CIRCUITOS NO DOMÍNIO DA FEQUÊNCIA .......................... 57 
1 INTRODUÇÃO .................................................................................................................................. 57
2 RESPOSTA NATURAL DE UM CIRCUITO RC ......................................................................... 61
2.1 EXEMPLO DE RESOLUÇÃO DE CIRCUITO NO DOMÍNIO DA FREQUÊNCIA 
POR LAPLACE .............................................................................................................................. 63
2.1.1 Determinação de I, V1 e V2 como funções racionais de s ................................................ 64
2.1.2 Determinação das expressões no domínio do tempo para i, v1 e v2 ............................. 65
2.2 EXEMPLO DE CIRCUITOS NO DOMÍNIO DA FREQUÊNCIA UTILIZANDO A 
ANÁLISE DE MALHAS .............................................................................................................. 65
2.2.1 Determinação da expressão para I e V no domínio da frequência ............................... 65
2.2.2 Determinação da expressão de i(t) e v(t) no domínio do tempo quando t > 0 ............ 66
LEITURA COMPLEMENTAR ............................................................................................................ 68
RESUMO DO TÓPICO 3..................................................................................................................... 75
AUTOATIVIDADE .............................................................................................................................. 76
REFERÊNCIAS ...................................................................................................................................... 77
UNIDADE 2 — POTÊNCIA EM CIRCUITOS SENOIDAIS ....................................................... 79
TÓPICO 1 — CONCEITOS DE POTÊNCIAS INSTANTÂNEA, MÉDIA E REATIVA ............81
1 INTRODUÇÃO .................................................................................................................................. 81
2 POTÊNCIA INSTANTÂNEA .......................................................................................................... 84
2.1 EXEMPLO PRÁTICO ................................................................................................................... 86
3 POTÊNCIA MÉDIA .......................................................................................................................... 86
3.1 EXEMPLO PRÁTICO 1 ................................................................................................................ 88
3.2 EXEMPLO PRÁTICO 2 ................................................................................................................ 89
4 POTÊNCIA EFICAZ OU POTÊNCIA RMS ................................................................................. 90
4.1 EXEMPLO PRÁTICO 1 ................................................................................................................ 91
4.2 EXEMPLO PRÁTICO 2 ................................................................................................................ 92
5 POTÊNCIA ATIVA, REATIVA E APARENTE..............................................................................95
6 POTÊNCIA COMPLEXA.................................................................................................................. 96
6.1 EXEMPLO PRÁTICO 1 ................................................................................................................ 99
6.2 EXEMPLO PRÁTICO 2 .............................................................................................................. 100
RESUMO DO TÓPICO 1................................................................................................................... 104
AUTOATIVIDADE ............................................................................................................................ 105
TÓPICO 2 — TEOREMA DA MÁXIMA TRANSFERÊNCIA DE POTÊNCIA ...................... 107
1 INTRODUÇÃO ............................................................................................................................... 107
2 TEOREMA DA MÁXIMA TRANSFERÊNCIA DE POTÊNCIA ............................................ 107
2.1 EXEMPLO PRÁTICO ................................................................................................................. 110
3 CONSERVAÇÃO DE POTÊNCIA CA ......................................................................................... 111
3.1 EXEMPLO PRÁTICO ................................................................................................................. 113
4 INSTRUMENTOS E MÉTODOS PARA MEDIÇÃO DE POTÊNCIA .................................. 115
4.1 EXEMPLO PRÁTICO ................................................................................................................. 117
RESUMO DO TÓPICO 2................................................................................................................... 118
AUTOATIVIDADE ............................................................................................................................ 119
TÓPICO 3 — FATOR DE POTÊNCIA E SUA CORREÇÃO ...................................................... 123
1 INTRODUÇÃO ................................................................................................................................ 123
2 FATOR DE POTÊNCIA .................................................................................................................. 124
2.1 EXEMPLO PRÁTICO 1 .............................................................................................................. 125
2.2 EXEMPLO PRÁTICO 2 .............................................................................................................. 126
3 CORREÇÃO DO FATOR DE POTÊNCIA .................................................................................. 127
3.1 EXEMPLO PRÁTICO ................................................................................................................ 129
LEITURA COMPLEMENTAR .......................................................................................................... 131
RESUMO DO TÓPICO 3................................................................................................................... 133
AUTOATIVIDADE ............................................................................................................................ 134
REFERÊNCIAS .................................................................................................................................... 137
UNIDADE 3 — ANÁLISE DE CIRCUITOS TRIFÁSICOS ........................................................ 139
TÓPICO 1 — CIRCUITOS TRIFÁSICOS EQUILIBRADOS ..................................................... 141
1 INTRODUÇÃO ................................................................................................................................ 141
2 TENSÕES TRIFÁSICAS EQUILIBRADAS ................................................................................ 142
3 FONTES DE TENSÃO TRIFÁSICAS .......................................................................................... 145
3.1 FONTE TRIFÁSICA EM Y ......................................................................................................... 146
3.1.1 Análise de um sistema Y-Y ............................................................................................... 149
3.1.2 Análise pelo circuito monofásico equivalente ............................................................... 151
3.1.3 Análise de um sistema Y-Δ ............................................................................................... 152
3.2 FONTE CONECTADA EM Δ .................................................................................................... 157
4 SISTEMAS TRIFÁSICOS DESEQUILIBRADOS ..................................................................... 158
RESUMO DO TÓPICO 1................................................................................................................... 159
AUTOATIVIDADE ............................................................................................................................ 160
TÓPICO 2 — POTÊNCIA EM CIRCUITOS TRIFÁSICOS ........................................................ 163
1 INTRODUÇÃO ................................................................................................................................ 163
2 ANÁLISE DAS POTÊNCIAS NUM CIRCUITO TRIFÁSICO ............................................... 163
2.1 DETERMINAÇÃO DA POTÊNCIA REATIVA E DA POTÊNCIA COMPLEXA ............ 166
3 WATTÍMETROS E LEITURA DE POTÊNCIA .......................................................................... 172
3.1 LIGAÇÃO DE UM WATTÍMETRO AO CIRCUITO ELÉTRICO ......................................... 174
3.2 MEDIÇÃO DE ENERGIA TRIFÁSICA.................................................................................... 176
RESUMO DO TÓPICO 2................................................................................................................... 183
AUTOATIVIDADE ............................................................................................................................ 184
TÓPICO 3 — CIRCUITOS TRIFÁSICOS DESEQUILIBRADOS ............................................. 185
1 INTRODUÇÃO ................................................................................................................................ 185
2 CONSIDERAÇÕES INICIAIS PARA SISTEMAS DESEQUILIBRADOS........................... 185
3 ANÁLISE DE SISTEMAS TRIFÁSICOS DESEQUILIBRADOS ........................................... 190
LEITURA COMPLEMENTAR .......................................................................................................... 198
RESUMO DO TÓPICO 3................................................................................................................... 201
AUTOATIVIDADE ............................................................................................................................ 202
REFERÊNCIAS .................................................................................................................................... 205
1
UNIDADE 1 — 
CIRCUITOS EM CORRENTE 
ALTERNADA (ANÁLISE EM REGIME 
SENOIDAL)
OBJETIVOS DE APRENDIZAGEM
PLANO DE ESTUDOS
A partir do estudo desta unidade, você deverá ser capaz de:
• utilizar um software de simulação para circuitos elétricos;
• realizar operações com números complexos;
• entender e aplicar cálculos com fasores;
• realizar cálculos no domínio da frequência.
Esta unidade está dividida em três tópicos. No decorrer da unidade, 
você encontrará autoatividades com o objetivo de reforçar o conteúdo 
apresentado.
TÓPICO 1 – SOFTWARE DE SIMULAÇÃO – NÚMEROS COMPLEXOS
TÓPICO 2 – FONTE SENOIDAL, CONCEITO DE FASOR E ELEMENTOS 
PASSIVOS NO DOMÍNIO DA FREQUÊNCIA
TÓPICO 3 – ANÁLISE DE CIRCUITOS NO DOMÍNIO DA FREQUÊNCIA
Preparado para ampliar seus conhecimentos? Respire e vamos 
em frente! Procure um ambiente que facilite a concentração, assim absorverá 
melhor as informações.
CHAMADA
2
3
TÓPICO 1 — 
UNIDADE1
SOFTWARE DE SIMULAÇÃO – NÚMEROS COMPLEXOS
1 INTRODUÇÃO
Este tópico tem como objetivo apresentar os fundamentos básicos do 
software para a simulação de circuitos elétricos, tornando possível a realização de 
simulações do funcionamento dos circuitos propostos, bem como a comparação 
dos resultados simulados com os cálculos realizados.
Outro ponto interessante é a revisão de números complexos, a qual visa a 
destacar as operações e os cálculos que são utilizados em análise de circuitos, bem 
como qual a melhor notação a ser usada em determinada operação e a aplicação 
do uso de matrizes na resolução de sistemas lineares. Na resolução de sistemas 
lineares, embora existam diversos métodos de resolução, abordaremos o método 
de Cramer e o método da resolução da expressão A · X = B, os quais utilizam a 
forma matricial para a estruturação e a resolução do problema.
2 SOFTWARE PARA SIMULAÇÃO
Existem diversos softwares para a simulação de circuitos elétricos/
eletrônicos: alguns disponíveis gratuitamente, outros pagos, alguns podem 
ser acessados on-line, enquanto outros precisam ser instalados. De cunho 
profissional ou estudantil, esses softwares têm um comportamento similar, 
no qual é necessária a inclusão dos componentes e realização da ligação dos 
componentes entre si. Isso pode ser feito, normalmente, de duas formas: 
utilizando o ambiente gráfico para a inserção de cada um dos componentes 
e, posteriormente, realizando a ligação entre eles; ou pela montagem de 
um arquivo com sequências de linhas, que apresentam, ao mesmo tempo, a 
descrição do componente e os pontos em que são ligados. Essa “montagem” 
precisa ser feita antes da simulação propriamente dita.
Com o intuito de desenvolvermos a habilidade para o uso de algum 
programa de simulação para as atividades laboratoriais, sugerimos o uso do 
LTspice®. Disponibilizado pela Analog Devices, uma das empresas de maior 
crescimento dentro do setor de tecnologia, conforme a revenda MOUSE Electronics.
Reconhecida em todo o setor como líder mundial em tecnologia de 
conversão de dados e de condicionamento de sinais, a Analog Devices 
atende a mais de 100.000 clientes, representando praticamente todos 
UNIDADE 1 — CIRCUITOS EM CORRENTE ALTERNADA (ANÁLISE EM REGIME SENOIDAL)
4
os tipos de equipamentos eletrônicos. [...] fabricante líder global de 
circuitos integrados de alto desempenho utilizados em aplicações de 
processamento de sinais analógicos e digitais, a Analog Devices está 
sediada em Norwood, Massachusetts, EUA, e com instalações de 
projeto e manufatura em todo o mundo (ANALOG DEVICES, c2021).
Segundo o portal Vida de Silício, “[...] é um software produzido pela 
Linear Tehcnology e que agora é parte da Analog Devices, cuja finalidade é a 
simulação e a análise do comportamento de circuitos elétricos contendo os mais 
variados componentes [...]” (MILHAGEM UFMG, 2019. s. p.). 
Um software de simulação é comumente usado para estimar os valores 
das grandezas elétricas, quando ligados em configurações específicas, com 
componentes como resistores, indutores, capacitores, diodos, amplificadores 
operacionais, conversores AD/DA e uma vasta gama de componentes e/ou 
associação de componentes estruturados na forma de modelos de funcionamento, 
caracterizando, muitas vezes, um outro tipo de componente.
Conhecer o comportamento das associações e/ou configurações de ligação, 
ou seja, analisar o comportamento dos circuitos elétricos quando ligados a outros 
componentes ou circuitos elétricos, antes da eventual montagem física, reduz 
consideravelmente o tempo de desenvolvimento e de projeto.
2.1 TUTORIAL DO LTSPICE® 
O LTspice® é um software de simulação SPICE de alto desempenho, 
captura esquemática e visualizador de formas de onda com aprimoramentos 
e modelos para facilitar a simulação de circuitos analógicos. No download do 
LTspice®, estão incluídos os macromodelos para a maioria dos reguladores de 
comutação da Analog Devices, amplificadores e uma biblioteca de dispositivos 
para simulação geral de circuitos (LTSPICE, 2021).
Como vantagens apresentadas, o LTspice® reduz o tempo de teste para 
se chegar ao produto final mais rapidamente, simplifica os cálculos de circuitos 
em engenharia e possibilita o uso de produtos líderes da indústria para criar um 
melhor design (LTSPICE, 2021).
Para realizar uma simulação no LTspice®, podemos inserir as informações 
de entrada de duas formas: por uma sequência de linhas de descrição ou por sua 
interface gráfica, que possibilita desenhar o circuito e selecionar a representação 
desejada dos resultados. Neste material, focaremos na segunda maneira, ou seja, 
utilizando a interface gráfica que possibilita selecionar os componentes desejados 
e realizar as conexões entre os componentes, criando o desenho esquemático 
necessário. Essa forma é mais didática, uma vez que o usuário percebe como e 
de que forma os componentes se inter-relacionam e atuam uns sobre os outros.
TÓPICO 1 — SOFTWARE DE SIMULAÇÃO – NÚMEROS COMPLEXOS
5
2.2 INSTALAÇÃO DO LTSPICE®
A instalação do software pode ser feita diretamente do site da Analog 
Device (LTSPICE, 2021). Para acompanhar melhor o desenrolar da instalação, 
há um passo a passo no portal Vida de Silício, que também traz exemplos de 
utilização do LTspice® (MILHAGEM UFMG, 2019).
3 ROTEIRO GENÉRICO PARA SIMULAÇÃO DE CIRCUITOS 
ELÉTRICOS EM LABORATÓRIO DIGITAL
A fim de que as aulas de laboratório possam ser realmente aproveitadas 
para instigar um maior entendimento dos fenômenos elétricos no comportamento 
das grandezas elétricas, sugerem-se alguns procedimentos para a realização das 
aulas de práticas de circuitos elétricos.
3.1 OBJETO DE ESTUDO – CIRCUITO
Em todos os experimentos, é fornecido circuito que deve ser estudado e 
entendido, além de ser montado em protoboard e/ou simulado no software de 
preferência. Nesse momento, optamos por utilizar o LTspice® para realizar as 
medições solicitadas. 
3.1.1 Análise teórica do funcionamento
Sempre que solicitado, o circuito sob estudo deve ser calculado com 
base nas equações de circuitos elétricos e nas leis que regem o comportamento 
físico dos diferentes componentes existentes no circuito. Essa análise tem como 
premissa a compreensão teórica do comportamento físico do circuito, a fim de se 
ter uma ideia de como o circuito funcionará na prática.
3.1.2 Teste e/ou simulação
Para os experimentos realizados em laboratório físico, deve-se:
• separar os componentes, bancadas, instrumentos de medição e protoboard;
• realizar as conexões solicitadas;
• revisar as ligações;
• chamar o professor para uma verificação. 
UNIDADE 1 — CIRCUITOS EM CORRENTE ALTERNADA (ANÁLISE EM REGIME SENOIDAL)
6
Somente após a realização desses passos, deve-se energizar o circuito e 
realizar as ações solicitadas.
Para os experimentos realizados no simulador, é necessário:
• desenhar o circuito conforme esquema apresentado;
• ajustar as grandezas dos componentes e simular de acordo com as solicitações 
de parametrização;
• obter os valores medidos em termos de amplitudes de sinal e/ou forma de 
onda solicitada.
3.1.3 Análise e conclusão
Se solicitado, deve-se comparar os resultados obtidos nos desenvolvimentos 
teóricos com os resultados em laboratórios, práticos ou simulados, verificando as 
possíveis disparidades (se houverem), assim como a aproximação dos valores das 
grandezas medidas. A conclusão do experimento aponta para uma indicação acerca 
do que foi realizado e se os objetivos propostos foram atingidos.
3.2 EXEMPLO DE AULA PRÁTICA UTILIZANDO O LTSPICE® 
PARA SIMULAÇÃO DE CIRCUITOS ELÉTRICOS
Como modelo para o desenvolvimento das atividades propostas, será 
apresentado um circuito de exemplo, bem como serão realizados todos os passos, 
tanto em termos de cálculo quanto em termos de simulação e análise. Esse 
modelo pode ser adaptado livremente pelo professor para realçar algum tópico 
considerado importante e pertinente às questões envolvidas em aula.
3.2.1 Exemplo de aplicação – circuitoresistivo
Um circuito composto por uma fonte de tensão v1, ligada a uma carga 
resistiva, composta por dois resistores, R1 e R2, ligados em série. 
1. Faça um esboço da aparência da forma de onda de tensão e da corrente nos 
terminais da carga. As grandezas estão defasadas? Se sim, em quantos graus?
2. Quais os valores das amplitudes de tensão e corrente na carga?
3. Quais os valores das amplitudes de tensão e corrente em R1 e em R2?
4. Desenhe as formas de onda de corrente e tensão para R1 e R2.
Dados:
v1 = 10.sin (2π)
R1 = 3Ω; R2 = 2Ω
TÓPICO 1 — SOFTWARE DE SIMULAÇÃO – NÚMEROS COMPLEXOS
7
Circuito (Figura 1).
FIGURA 1 – CIRCUITO
FONTE: O autor
Etapas de resolução: 
• Etapa 1: realizar o cálculo do circuito.
• Etapa 2: realizar a simulação do circuito.
3.2.1.1 Etapa 1: realizar o cálculo do circuito
3.2.1.2 Representação gráfica das grandezas 
calculadas
• Amplitude da tensão: 10 V; amplitude da corrente: 2 A.
UNIDADE 1 — CIRCUITOS EM CORRENTE ALTERNADA (ANÁLISE EM REGIME SENOIDAL)
8
FIGURA 2 – TENSÃO E CORRENTE DO CIRCUITO
FONTE: O autor
• Amplitude da tensão em R1: 6 V; amplitude da corrente em R1: 2 A.
FIGURA 3 – TENSÃO E CORRENTE EM R1
FONTE: O autor
TÓPICO 1 — SOFTWARE DE SIMULAÇÃO – NÚMEROS COMPLEXOS
9
• Amplitude da tensão em R2: 4 V; amplitude da corrente em R2: 2 A.
FIGURA 4 – TENSÃO E CORRENTE EM R2
FONTE: O autor
3.2.1.3 Etapa 2: realizar a simulação do circuito
Resolução utilizando o programa de simulação LTspice®. A seguir, 
veremos um passo a passo de como realizar a simulação do circuito proposto.
Após abrir o LTspice® (Figura 5), na barra de comandos (Figura 6), deve-
se clicar no primeiro ícone, ou utilizar o atalho CTRL + N, para abrir uma nova 
plataforma para a construção do circuito esquemático (Figura 7).
FIGURA 5 – ABERTURA DO SOFTWARE LTSPICE®
FONTE: O autor
UNIDADE 1 — CIRCUITOS EM CORRENTE ALTERNADA (ANÁLISE EM REGIME SENOIDAL)
10
FIGURA 6 – BARRA DE COMANDOS
FONTE: O autor
FIGURA 7 – ABRINDO NOVA PLATAFORMA
FONTE: O autor
É aberta uma área para desenhar o circuito esquemático desejado. No 
caso do exercício, são dois resistores (R1 = 3Ω; R2 = 2Ω) ligados em série, com 
uma fonte de corrente alternada. Uma onda de corrente alternada tem a forma 
genérica dada por:
v(t) = Vm . sin(ω . t + φ)
Em que: Vm é a amplitude da onda; ω é a frequência angular da onda 
[radianos]; φ é a fase da onda (radianos).
Sabendo-se que: 
ω = 2 * π * f
Em que f é a frequência da onda (Hz).
TÓPICO 1 — SOFTWARE DE SIMULAÇÃO – NÚMEROS COMPLEXOS
11
FIGURA 8 – SÍMBOLO DO RESISTOR NA BARRA DE MENU
FONTE: O autor
Depois de clicar na área de trabalho, será inserida a imagem do resistor R1 
e, clicando mais uma vez, a do resistor R2 (Figura 9).
FIGURA 9 – IMAGEM DOS RESISTORES R1 E R2
FONTE: O autor
Para sair do modo de inserção, deve-se clicar em “Esc” no teclado. Se for 
necessário apagar alguma informação da área de trabalho, basta clicar em “Delete” no 
teclado e, depois, no objeto que se quer excluir.
ATENCAO
Um clique no componente com o botão direito do mouse permite editar o 
valor da resistência (Figura 10).
A onda solicitada é v1 = 10.sin(2π), portanto tem frequência de 1 Hz.
Para o desenho do circuito esquemático, clica-se no símbolo do resistor na 
barra de menu (Figura 8).
UNIDADE 1 — CIRCUITOS EM CORRENTE ALTERNADA (ANÁLISE EM REGIME SENOIDAL)
12
FIGURA 10 – EDITANDO O VALOR DA RESISTÊNCIA
FONTE: O autor
Em seguida, deve-se preencher com os valores desejados e clicar em OK 
(Figura 11).
FIGURA 11 – PREENCHIMENTO DOS VALORES
FONTE: O autor
Para inserir a fonte de tensão, pressiona-se a tecla F2, para que apareça o 
menu indicado (Figura 12).
TÓPICO 1 — SOFTWARE DE SIMULAÇÃO – NÚMEROS COMPLEXOS
13
FIGURA 12 – INSERINDO A FONTE DE TENSÃO
FONTE: O autor
Depois, em “Voltage”, posicione a fonte no local desejado, dê um clique 
e depois “ESC”. Edite o valor da fonte de tensão com o botão direito do mouse 
(Figura 13).
FIGURA 13 – DEFININDO O VALOR DA FONTE DE TENSÃO
FONTE: O autor
UNIDADE 1 — CIRCUITOS EM CORRENTE ALTERNADA (ANÁLISE EM REGIME SENOIDAL)
14
Para mudar o tipo de fonte, deve-se clicar em “Advanced”, depois selecionar 
a fonte senoidal (SINE) e a amplitude de 10 V com a frequência de 1 Hz.
FIGURA 14 – ESCOLHENDO A FONTE E A AMPLITUDE
FONTE: O autor
Em seguida, para ligar os componentes, basta utilizar o lápis no menu 
(Figura 15).
FIGURA 15 – CONECTANDO OS COMPONENTES
FONTE: O autor
TÓPICO 1 — SOFTWARE DE SIMULAÇÃO – NÚMEROS COMPLEXOS
15
Para toda simulação de circuitos, é necessário um ponto de referência 
de aterramento, o ponto de terra. Para a medição dos sinais, posteriormente, o 
programa utiliza esse ponto como base de referência para a medição dos sinais. 
Com a ponteira de prova, o programa faz a medição das grandezas que utilizam 
dois pontos de contato: um dos pontos é o local onde se quer medir e o outro o 
ponto de terra. Portanto, foi usado o ponto comum apresentado na Figura 16.
FIGURA 16 – PONTO DE TERRA
FONTE: O autor
O próximo passo é a simulação do circuito. É necessário ajustar o tempo 
de simulação. Ao clicar no ícone apresentado (Figura 17), o sistema abre uma 
janela para a inserção do tempo de simulação (Figura 18).
FIGURA 17 – INSERÇÃO DO TEMPO DE SIMULAÇÃO
FONTE: O autor
UNIDADE 1 — CIRCUITOS EM CORRENTE ALTERNADA (ANÁLISE EM REGIME SENOIDAL)
16
FIGURA 18 – SOFTWARE LTSPICE®
FONTE: O autor
Como estamos utilizando um sinal na frequência de 1 Hz, a simulação 
poderia ser realizada durante 1 segundo, porém, a fim de se ter uma visão do 
comportamento dos sinais, usaremos o tempo de 5 segundos para a simulação. O 
ajuste do tempo é realizado na janela a seguir (Figura 19).
FIGURA 19 – AJUSTE DE TEMPO DA SIMULAÇÃO
FONTE: O autor
TÓPICO 1 — SOFTWARE DE SIMULAÇÃO – NÚMEROS COMPLEXOS
17
Após determinar o tempo, o sistema abre um painel para a representação 
dos sinais desejados (Figura 20).
FIGURA 20 – PAINEL DE REPRESENTAÇÃO DOS SINAIS
FONTE: O autor
Nesse momento, o circuito já foi simulado e as informações estão 
disponíveis para acesso.
Assim, verificaremos a tensão fornecida pela fonte. Aproximar o cursor do 
terminal positivo da fonte, o ponteiro do mouse se transforma em uma ponteira e, ao 
clicar no terminal, é mostrada a forma de onda de tensão da fonte (Figura 21).
FIGURA 21 – ONDA DE TENSÃO DA FONTE
FONTE: O autor
UNIDADE 1 — CIRCUITOS EM CORRENTE ALTERNADA (ANÁLISE EM REGIME SENOIDAL)
18
Em detalhe, pode-se observar que o sinal tem as características desejadas – 
amplitude de 10 V e frequência de 1 Hz. Isso pode ser verificado pela representação 
de uma oscilação completa no tempo de 1 segundo, lembrando que o período (T) 
da onda pode ser calculado por T = 1/f. Ainda é possível verificar que o sinal é 
representado pela variável V(n001), ou seja, a tensão no ponto 001 em relação ao 
terra (referência). 
FIGURA 22 – SIMULAÇÃO DA ONDA DE TENSÃO DA FONTE
FONTE: O autor
A representação da tensão da fonte e da corrente circulante no circuito 
(Figura 23) demonstra que, por ser um circuito resistivo, a tensão e corrente 
estão em fase. A amplitude da corrente é representada pelo eixo adjacente que 
está à direita do gráfico. Conforme calculada a corrente do circuito, apresenta 
variação somente em módulo, mantendo as mesmas características do sinal 
fornecido pela fonte.
FIGURA 23 – REPRESENTAÇÃO DA TENSÃO DA FONTE E DA CORRENTE CIRCULANTE 
NO CIRCUITO
FONTE: O autor
TÓPICO 1 — SOFTWARE DE SIMULAÇÃO – NÚMEROS COMPLEXOS
19
O programa faz um ajuste automático dos eixos para representar as 
grandezas, porém, se quisermos realizar o ajuste manual, basta clicar com o botão 
direito do mouse no eixo das escalas a serem alteradas.
FIGURA 24 – AJUSTE DOS EIXOS
FONTE: O autor
Agora, vamos praticar no exercício proposto a seguir, baseado nas 
formas de onda desejadas.
AUTOATIVIDADE
Dado um circuito composto por uma fonte de tensão v1 ligada à uma 
carga resistiva, composta por dois resistores, R1 e R2 ligados em série: 
a)Faça um esboço da aparência da forma de onda de tensão e da corrente 
nos terminais da carga. As grandezas estão defasadas? Se sim, em quantos 
graus?
b) Quais os valores das amplitudes de tensão e corrente na carga?
c) Quais os valores das amplitudes de tensão e corrente em R1 e em R2?
d) Desenhe as formas de onda de corrente e tensão para R1 e R2.
Dados: v1 = 10.sin (2π); R1 = 3Ω; R2 = 2Ω.
UNIDADE 1 — CIRCUITOS EM CORRENTE ALTERNADA (ANÁLISE EM REGIME SENOIDAL)
20
Nesse momento, veremos os aspectos relevantes do cálculo com números 
complexos, que são necessários para a resolução dos circuitos elétricos que 
envolvem corrente alternada. Abordaremos as notações de representação dos 
números na forma retangular, polar e exponencial. Em função da similaridade e 
da praticidade das representações, será utilizada a notação exponencial no lugar 
da comumente notação polar.
Os exercícios de fixação e as autoatividades propostas visam a explorar 
aspectos dos cálculos que são comumente utilizados, como a multiplicação de 
grandezas elétricas (lei de Ohm), as ligações série e paralela de impedâncias, 
as transformações de rede (Y – ∆), a representação gráfica e as operações com 
fasores, entre outros.
Nesse contexto, foram elaborados diversos exercícios para que seja 
possível desenvolver a habilidade de trabalhar o cálculo com fasores, resolvendo 
as expressões e, posteriormente, representando-os nos diagramas fasoriais.
4.1 CONJUNTO DOS NÚMEROS COMPLEXOS
O conjunto dos números complexos engloba todo o conjunto dos 
números naturais, o que permite representar todo o conjunto de números, 
desde os positivos, os negativos, os inteiros e os fracionários.
4.2 NOTAÇÃO RETANGULAR
Tomando como exemplo um determinado número complexo Z, expressa-
se esse número complexo na notação retangular como:
Z = a ± jb ou Z = a ± ib
Lê-se Z é igual a a mais ou menos jota b, em que: Z = número complexo 
na forma retangular; a = parte real do número complexo; b = parte imaginária do 
número complexo; i ou j = operador .
Os números na forma retangular possuem uma parte real e uma parte 
imaginária, que é associada ao operador i2 = –1.
Graficamente, os números podem ser apresentados também no plano 
complexo. Dados quatro números Z1, Z2, Z3 e Z4, que são representados no plano 
complexo Re x Im (Figura 25), observa-se que os quadrantes do gráfico são numerados 
da mesma forma que os quadrantes do plano real, comumente conhecidos.
Z1 = a1 + ib1; Z2 = a1 – ib1; Z3 = –a1 – ib1; Z4= –a1 + ib1
4 NÚMEROS COMPLEXOS
TÓPICO 1 — SOFTWARE DE SIMULAÇÃO – NÚMEROS COMPLEXOS
21
FIGURA 25 – PLANO COMPLEXO NA NOTAÇÃO RETANGULAR
FONTE: O autor
4.3 NOTAÇÃO NA FORMA POLAR
Tomando como exemplo um determinado número complexo Z, este é 
expressado na notação polar como:
Z = ρ ∟ ± θ
Lê-se Z é igual a rô ângulo mais/menos teta, em que: Z = número complexo 
na forma polar; ρ = módulo do número complexo; θ = ângulo que o módulo faz 
com a parte real do plano complexo; ∟ = operador que identifica a forma polar.
Os números, na forma polar, possuem um módulo e um ângulo. Esse 
ângulo normalmente é referenciado em relação ao eixo real do plano complexo 
Re x Im. O sentido de giro do ângulo θ é o mesmo do círculo trigonométrico, ou 
seja, no sentido anti-horário. Quando o ângulo for negativo, isso significa que a 
orientação de referência passa a ser o sentido horário.
Graficamente, os números podem ser apresentados também no plano 
complexo. Dados os números Z1 e Z2, que são representados no plano complexo 
Re x Im (Figura 26), observa-se que os quadrantes do gráfico são numerados da 
mesma forma que os quadrantes do plano real, comumente conhecidos.
UNIDADE 1 — CIRCUITOS EM CORRENTE ALTERNADA (ANÁLISE EM REGIME SENOIDAL)
22
FIGURA 26 – PLANO COMPLEXO NA FORMA POLAR
FONTE: O autor
4.4 NOTAÇÃO NA FORMA EXPONENCIAL
Tomando como exemplo um determinado número complexo Z, expressa-
se esse número complexo na notação na forma exponencial como:
Z = ρ e ±θi
Lê-se Z é igual a rô e mais/menos teta i, em que: Z = número complexo na 
forma polar; ρ = módulo do número complexo; θ = ângulo que o módulo faz com 
a parte real do plano complexo; e = número de Euler 2,71828182846.
Os números na forma exponencial possuem um módulo e um ângulo. Esse 
ângulo normalmente é referenciado em relação ao eixo real do plano complexo Re 
x Im. O sentido de giro do ângulo θ é o mesmo do círculo trigonométrico, ou seja, 
no sentido anti-horário. Quando o ângulo for negativo, a orientação de referência 
passa a ser o sentido horário.
Graficamente, os números podem ser apresentados também no plano 
complexo. Dados os números Z1 e Z2, que são representados no plano complexo 
Re x Im (Figura 27), observa-se que os quadrantes do gráfico são numerados da 
mesma forma que os quadrantes do plano real, comumente conhecidos.
Z1 = ρ1 eθ1i
Z2 = ρ2 e–θ2i
Sua representação é semelhante à aplicada na notação polar mostrada na 
Figura 27.
TÓPICO 1 — SOFTWARE DE SIMULAÇÃO – NÚMEROS COMPLEXOS
23
IGURA 27 – REPRESENTAÇÃO GRÁFICA DA NOTAÇÃO RETANGULAR E POLAR
FONTE: O autor
4.5 CONVERSÃO DE NÚMEROS COMPLEXOS
Dados dois valores:
Z1 = a + bi
Z2 = ρ1 eθ1i
Convertendo-se de retangular para polar/exponencial:
Convertendo-se de polar/exponencial para retangular:
a = ρ.cos(θ) b = ρ.sen(θ)
Z1= a + i.b = ρ.cos(θ) + ρ.sen(θ).i
4.5.1 Cálculos com números complexos
Embora possam ser utilizadas todas as notações para fazer os cálculos 
com números complexos, usaremos, a fim de facilitar o estudo e a aplicabilidade 
dos conceitos, as notações com as operações equivalentes conforme demonstrado 
na Tabela 1.
UNIDADE 1 — CIRCUITOS EM CORRENTE ALTERNADA (ANÁLISE EM REGIME SENOIDAL)
24
TABELA 1 – NOTAÇÕES PARA CÁLCULOS COM NÚMEROS COMPLEXOS
FONTE: O autor
Operação Notação Exemplo
Adição/subtração Retangular
Z1 = a1 + i b1; Z2 = a2 + i b2
Ztotal = Z1 ± Z2 = (a1 ± a2 ) + i(b1 ± b2)
Observação: atenção com os sinais quando houver 
números negativos, por exemplo:
Z3 = –a3 + i b3; Z4 = a4 – i b2
Ztotal = Z3 – Z4 = (a3 – a4 ) + i(b3 ± b4)
Multiplicação/divisão Polar ou exponencial
Za = ρa eθai); Zb = ρb eθbi
Ztotal = Za.Zb = ρa.(ρb)±1 e(θa ± θb)i
25
Neste tópico, você aprendeu que:
• Inserir componentes, realizar as ligações, simular e analisar o comportamento 
de componentes elétricos utilizando um software de simulação de circuitos 
elétricos.
• As notações de números complexos: retangular, polar e exponencial.
• Para converter uma notação em outra, como retangular para polar/ 
exponencial: , e de 
polar/exponencial para retangular: a = ρ.cos(θ); b = ρ.sen(θ); Z1 = a + i.b = 
ρ.cos(θ) + ρ.sen(θ).i.
• A fazer de uma forma mais conveniente as operações com complexos: 
adição/subtração realizar em retangular; multiplicação/divisão realizar em 
polar ou exponencial.
RESUMO DO TÓPICO 1
26
AUTOATIVIDADE
1 Dados os números complexos, faça as operações solicitadas:
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)
i)
j)
k)
l)
m)
n)
o)
p)
27
2 Trabalhando com expressões:
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)
i)
j)
28
k)
l)
m)
n)
o)
p)
q)
r)
s)
t)
29
3 Resolva os sistemas lineares utilizando a regra de Cramer e a equação 
A . X = B:
Dados:
a)
b)
c)
0
75
14
30
31
TÓPICO 2 — 
UNIDADE 1
FONTE SENOIDAL, CONCEITO DE FASOR E ELEMENTOS 
PASSIVOS NO DOMÍNIO DA FREQUÊNCIA
1 INTRODUÇÃO
Neste tópico, serão apresentados os elementos passivos e as fontes de 
alimentação que são utilizadas nos cálculos com corrente alternada, representados 
no domínio da frequência, bem como a aplicação da notação dos números 
complexos para a resolução de circuitos elétricos em corrente alternada.
2 FONTE SENOIDAL E SUA REPRESENTAÇÃO
As fontes senoidais, por variarem de amplitude ao longo do tempo, 
apresentam algumas características especiais. Trabalhar no domínio do tempo 
pode ser complicado quando existem elementos reativos no circuito, como 
indutores e capacitores,nos quais as grandezas com tensão e corrente são afetadas 
pelos componentes.
Também fazem parte das fontes senoidais os conceitos de período e 
frequência. Embora sejam relevantes para o estudo das variações temporais, 
o comportamento dos circuitos elétricos pode ser analisado de uma forma 
simplificada, pela utilização dos fasores.
Dada uma forma de onda genérica, que pode ser expressa 
matematicamente como:
x(t) = Xm.sin(ωt + φ)
Em que: x(t) = representa uma grandeza senoidal genérica, como a 
corrente, a tensão ou a potência em um componente ou sistema; Xm = é o valor 
máximo da amplitude que a onda pode chegar; ω = frequência angular da onda 
dada em radianos; e φ = ângulo de fase da onda.
Essa onda genérica, representada por x(t), pode ser uma fonte, uma tensão, 
uma corrente ou uma potência aplicada em um componente ou uma rede. Nesse 
contexto, Xm é a amplitude máxima da grandeza x(t).
32
UNIDADE 1 — CIRCUITOS EM CORRENTE ALTERNADA (ANÁLISE EM REGIME SENOIDAL)
Para um melhor entendimento das formas de onda senoidais, vamos 
tomar como exemplo duas ondas x1(t) e x2(t) representadas por:
x1(t) = Xm1.sin(ωt + φ)
x2(t) = Xm2.sin(ωt + θ)
Essas formas de ondas são representadas na Figura 28. Pode-se observar 
que, se φ = θ, diz-se que as ondas x1(t) e x2(t) estão em fase, caso contrário, as ondas 
são consideradas defasadas.
FIGURA 28 – ÂNGULO DE DEFASAGEM ENTRE ONDAS SENOIDAIS
FONTE: O autor
2.1 REPRESENTAÇÃO MATEMÁTICA GENÉRICA DE UMA 
ONDA SENOIDAL
Uma onda senoidal pode ser representada, de forma genérica, pela 
expressão matemática:
v(t) = Vm.sen (ωt + φ); sendo ω = 2πf
Em que: v(t) = fonte de tensão alternada (V); Vm = amplitude máxima 
da tensão alternada (V); ω = frequência angular da fonte (rad); φ = ângulo de 
defasagem; f = frequência do sinal (Hz).
TÓPICO 2 — FONTE SENOIDAL, CONCEITO DE FASOR E ELEMENTOS PASSIVOS NO DOMÍNIO DA FREQUÊNCIA
33
2.1.1 Amplitude
A amplitude representa o valor instantâneo máximo que a onda pode 
assumir, em dado instante de tempo, e a grandeza que representa o sinal da fonte.
Por exemplo: dado o sinal senoidal, a seguir, verifique o valor da 
grandeza desejada:
v1(t) = 120 * sin(ωt + φ)
v2(t) = 60 * sin(ωt – 90o)
Enquanto v1(t) inicia em zero, o que significa que não existe desfasamento 
nessa forma de onda, o sinal v2(t) está defasado em 90°, ou seja, houve um 
deslocamento temporal no sinal da onda v2(t) em relação à onda v1(t).
t 0 0,25 0,5 0,75 1,0
v1(t) 0 120 0 -120 0
v2(t) -60 0 60 0 -60
FIGURA 29 – FORMA DE ONDA DAS TENSÕES V
1
(T) E V
2
(T)
FONTE: O autor
34
UNIDADE 1 — CIRCUITOS EM CORRENTE ALTERNADA (ANÁLISE EM REGIME SENOIDAL)
O ângulo de fase representa a relação angular de deslocamento da forma de 
onda. Uma onda senoidal com início em um instante 0 é apresentada na figura a seguir, 
denominada como v1(t). Quando se deseja representar um deslocamento angular acima 
de 45°, a forma de onda permanece a mesma, porém não inicia mais em 0, pois teve seu 
valor recolocado 45° antes, conforme apresentado pelo sinal v2(t) na figura.
ÂNGULO DE DEFASAGEM
FONTE: O autor
IMPORTANT
E
2.1.2 Frequência (f [Hz])
Determina a quantidade de repetições de uma onda no intervalo de tempo 
de um segundo. Por exemplo, uma onda de tensão senoidal com frequência de 
1 Hertz corresponde ao fato de que a onda faz uma oscilação completa em 1 
segundo; já uma onda de 2 Hertz executa duas oscilações em 1 segundo – em 
outras palavras, a onda executou duas oscilações por segundo.
2.1.3 Período (T [S])
É definido como o tempo necessário para que o sinal execute um ciclo 
completo, ou seja, até que o ciclo comece a se repetir. Como exemplo temos uma 
onda que possui um período de 0,25 s, isto significa a dizer que a onda precisa de 
0,25 segundos para realizar uma oscilação completa.
TÓPICO 2 — FONTE SENOIDAL, CONCEITO DE FASOR E ELEMENTOS PASSIVOS NO DOMÍNIO DA FREQUÊNCIA
35
Período e frequência são grandezas inversas e se relacionam pela expressão: 
T = 1/f. Por exemplo, em uma onda senoidal com frequência de 5 Hz, qual é o período 
dessa onda?
 Dessa forma, a onda executa cinco repetições de seu sinal em 1 segundo e cada 
repetição precisa de 0,2 segundo para transcorrer.
FORMA DE ONDA DE TENSÃO DE 5 HZ
FONTE: O autor
IMPORTANT
E
2.1.4 Uso de fasores
Os fasores são usados para simplificar os cálculos de circuitos elétricos 
em corrente alternada. Ao utilizar a representação fasorial, desconecta-se a 
grandeza do domínio do tempo. É como se as grandezas fossem representadas 
em um determinado instante de tempo. Assim todas as outras grandezas são 
representadas nesse instante e é possível analisar o comportamento dessas 
grandezas entre si. Se houver necessidade de expressar os valores calculados no 
domínio do tempo, reescreve-se a grandeza utilizando esse domínio.
36
UNIDADE 1 — CIRCUITOS EM CORRENTE ALTERNADA (ANÁLISE EM REGIME SENOIDAL)
Na forma fasorial, a notação utilizada é a notação polar ou exponencial. Uma 
vez que as grandezas são representadas assim, a análise do seu comportamento pode 
ser feita utilizando praticamente toda a teoria de circuitos elétricos de corrente contíua 
e, dependendo do que se quer analisar, ainda é possível usar o diagrama fasorial.
Com base na equação de Euler, que correlaciona a função exponencial 
com as funções trigonométricas de seno e cosseno na forma:
exi = cosx + i.sinx
Em que: i2 = –1. Por meio dessa relação, uma grandeza complexa, dada por 
C, pode ser representada como:
C = M.exi = M.(cosx + i.sinx) = M.cosx + i.M.sinx = CRe + i.CIm
Supondo que uma tensão CA, dada por: va(t) = Vm.sin(ωt + φ), como já 
visto anteriormente, no domínio do tempo tem um comportamento oscilatório 
de amplitude: Vm; frequência: f = ω/2π e fase: φ. A forma polar dessa onda 
senoidal é dada por:
is(t) = Im.cos(ωt + φ) → Is = Im.eφi → Is = Im ∟φ
Observa-se que, na forma fasorial, a grandeza não depende do tempo, 
mas da amplitude e do ângulo de fase do sinal original. Dessa forma, o sinal:
is(t) = 2.cos(ωt + 0o)
Representado pela imagem na Figura 30.
FIGURA 30 – FORMA DE ONDA
FONTE: O autor
TÓPICO 2 — FONTE SENOIDAL, CONCEITO DE FASOR E ELEMENTOS PASSIVOS NO DOMÍNIO DA FREQUÊNCIA
37
Passa a ser representado da forma fasorial como:
Is = 2.e0
◦i → Is = 2
Conforme representado pela Figura 31.
FIGURA 31 – REPRESENTAÇÃO FASORIAL
FONTE: O autor
Da mesma forma, quando existe alguma defasagem, esta é representada 
no fasor por:
Is(t) = 2.cos(ωt + 45o)
A Figura 32 mostra a representação gráfica da onda senoidal:
FIGURA 32 – FORMA DE ONDA DE CORRENTE SENOIDAL
FONTE: O autor
38
UNIDADE 1 — CIRCUITOS EM CORRENTE ALTERNADA (ANÁLISE EM REGIME SENOIDAL)
Já a representação gráfica fasorial pode ser vista na Figura 33:
FIGURA 33 – REPRESENTAÇÃO DE CORRENTE FASORIAL
FONTE: O autor
Para sistemas trifásicos, que serão estudados posteriormente, há três 
tensões CA defasadas de 120°; matematicamente, para um sistema de sequência 
negativa, temos:
vR(t) = 220.sin(377t + 0o)
vS(t) = 220.sin(377t + 120o)
vT(t) = 220.sin(377t – 120o)
A representação das grandezas de tensões trifásicas, no domínio do 
tempo, pode ser vista na Figura 34 – observa-se que o período dos sinais trifásicos 
é de 16,6667 ms.
TÓPICO 2 — FONTE SENOIDAL, CONCEITO DE FASOR E ELEMENTOS PASSIVOS NO DOMÍNIO DA FREQUÊNCIA
39
FIGURA 34 – TENSÕES TRIFÁSICAS
FONTE: O autor
A utilização de fasores facilita o entendimento dos fenômenos físicos e os 
cálculos que envolvem as grandezas relativas aos circuitos analisados.
FIGURA 35 – REPRESENTAÇÃO NA FORMA POLAR DAS TENSÕES TRIFÁSICAS
FONTE: O autor
Nesse sentido, quando a tensão trifásica apresentar uma defasagem na 
tensão de referência, todas as tensões também são defasadas. Por exemplo, se 
a tensão vr(t) tiver um ângulo de 45°, em vez de 0°, o diagrama senoidal e o 
diagrama fasorial das tensões trifásicas têm o comportamento apresentado nas 
Figuras 36 e 37, respectivamente.
40
UNIDADE 1 — CIRCUITOS EM CORRENTE ALTERNADA (ANÁLISE EM REGIME SENOIDAL)
FIGURA36 – TENSÕES SENOIDAIS A 45°
FONTE: O autor
No diagrama dos fasores das tensões trifásicas, observa-se que a 
defasagem entre os fasores ainda é de 120°, sendo que Vr está em 45° em relação 
à referência, eixo real do plano complexo, Vs em 165°, ou seja, 120° em relação à 
Vr, e Vt em -75°, o que representa uma defasagem de 120° em relação à Vr.
FIGURA 37 – TENSÕES FASORIAIS A 45°
FONTE: O autor
TÓPICO 2 — FONTE SENOIDAL, CONCEITO DE FASOR E ELEMENTOS PASSIVOS NO DOMÍNIO DA FREQUÊNCIA
41
3 REPRESENTAÇÃO DOS ELEMENTOS PASSIVOS NO 
DOMÍNIO DA FREQUÊNCIA
Nesse momento, veremos o comportamento dos elementos resistor, 
indutor e capacitor, mediante à alimentação senoidal, o correspondente fasor 
associado e o comportamento desses componentes quando analisados no domínio 
da frequência. 
Como já foi estudado o comportamento das grandezas de tensão e corrente 
nos resistores, indutores e capacitores, também conhecidos como componentes 
passivos, apresentaremos as equações de interesse para cada componente.
3.1 RESISTOR
Componentes passivos entre os mais utilizados em circuitos elétricos, a 
tensão e a corrente no resistor têm um comportamento linear.
FIGURA 38 – CIRCUITO RESISTIVO SÉRIE
FONTE: O autor
3.1.1 No domínio do tempo
Dado um circuito resistivo série alimentado com a corrente i(t) = Im.sin(ωt), 
conforme apresentado na Figura 39, matematicamente os sinais podem ser 
representados por:
vR(t) = i(t).R ⇒ vR(t) = Im.R.sin(ωt)
Observa-se, na Figura 39, que a corrente está em fase com a tensão no 
resistor.
42
UNIDADE 1 — CIRCUITOS EM CORRENTE ALTERNADA (ANÁLISE EM REGIME SENOIDAL)
FIGURA 39 – CORRENTE E TENSÃO NO RESISTOR PARA A FREQUÊNCIA DE 1 HZ
FONTE: O autor
3.1.2 Em termos fasoriais
A corrente apresentada no domínio do tempo pode ser descrita na notação 
fasorial como IR = Im.e0
◦.i. A tensão pode ser calculada usando a equação da lei de 
Ohm: 
VR = R.IR ⇒ VR = R.Im.e0
◦.i
A representação gráfica da Figura 40 mostra a disposição dos fasores no 
plano complexo Re x Im.
FIGURA 40 – REPRESENTAÇÃO DE I E V NO RESISTOR
FONTE: O autor
TÓPICO 2 — FONTE SENOIDAL, CONCEITO DE FASOR E ELEMENTOS PASSIVOS NO DOMÍNIO DA FREQUÊNCIA
43
3.1.3 No domínio da frequência
Dada a equação da lei de Ohm que descreve o comportamento linear de 
tensão e corrente no resistor no domínio do tempo, cuja representação pode ser 
observada na Figura 41, tem-se:
vR(t) = R.iR(t) ⇒ vR = R.iR
Aplicando a transformada de Laplace na expressão da tensão no resistor, 
observa-se que, pelo fato de envolver grandezas constantes, tem-se:
L{vR} = L{R} . L{iR}
Logo, a transformada de valores constantes não altera o valor da resistência 
e a equação pode ser descrita como:
VR = R.IR
Dessa forma, a Figura 41 apresenta o modelo da resistência no domínio 
da frequência.
FIGURA 41 – RESISTÊNCIA NO DOMÍNIO DO TEMPO
FONTE: Nilsson e Riedel (2015, p. 522)
Na representação matemática:
v(t) = R.i(t)
44
UNIDADE 1 — CIRCUITOS EM CORRENTE ALTERNADA (ANÁLISE EM REGIME SENOIDAL)
FIGURA 42 – RESISTÊNCIA NO DOMÍNIO DA FREQUÊNCIA
FONTE: Nilsson e Riedel (2015, p. 522)
Na representação matemática:
V = R.I
3.2 INDUTOR
Diferentemente do resistor, o indutor tem um comportamento entre 
tensão e corrente, que é função da taxa de variação (d/dt). 
FIGURA 43 – CIRCUITO INDUTIVO PURO
FONTE: O autor
Dado o circuito indutivo puro, alimentado com a corrente i(t) = Im.sin(ωt), 
conforme apresentado na Figura 43, a tensão no indutor é dada por:
TÓPICO 2 — FONTE SENOIDAL, CONCEITO DE FASOR E ELEMENTOS PASSIVOS NO DOMÍNIO DA FREQUÊNCIA
45
FIGURA 44 – COMPORTAMENTO DA CORRENTE E TENSÃO E NO INDUTOR
FONTE: O autor
3.2.1 Em termos fasoriais
Com:
Vm = ω.L.Im
A tensão no indutor também pode ser tida como:
vL(t) = Vm.sin(ωt + φ + 90o)
Essa expressão representa que a tensão (vL(t)) está adiantada em 90° (π/2) 
em relação à corrente (iL(t)) no indutor (Figura 44) ou, ainda, pode-se dizer que 
a corrente no indutor está atrasada em 90° (π/2) em relação à tensão no indutor.
A notação fasorial corresponde à representação complexa das grandezas 
dadas no domínio do tempo. É como se fizéssemos uma tomada instantânea 
das grandezas temporais e analisássemos as correlações entre elas nesse 
instante. Dessa forma, é possível entender seu comportamento em um instante 
e, consequentemente, compreender o comportamento do conjunto no domínio 
do tempo. Em termos matemáticos, a notação fasorial simplifica, em muito, os 
cálculos das grandezas elétricas, permitindo, ainda, uma representação gráfica 
desse comportamento no diagrama fasorial (Figura 45).
46
UNIDADE 1 — CIRCUITOS EM CORRENTE ALTERNADA (ANÁLISE EM REGIME SENOIDAL)
Da corrente no indutor, dada por iL(t) = Im.sin(ωt + φ), tem-se IL = Im.eφi. 
A tensão sobre o indutor, dada por vL(t) = Vm cos(ωt + φ + 90o), é 
representada fasorialmente por VL = Vm.e(φ+90)
◦i.
Esses fasores são representados no plano complexo Re x Im como mostra 
a Figura 45.
FIGURA 45 – DIAGRAMA FASORIAL DAS GRANDEZAS TENSÃO E CORRENTE EM 
UM INDUTOR PURO
FONTE: O autor
3.2.2 No domínio da frequência
A tensão nos terminais de um indutor é função da taxa de variação da 
corrente que circula por esse indutor em um determinado intervalo de tempo. A 
representação matemática dessa correlação é dada por:
A transformada de Laplace da tensão nos terminais do indutor é dada por:
TÓPICO 2 — FONTE SENOIDAL, CONCEITO DE FASOR E ELEMENTOS PASSIVOS NO DOMÍNIO DA FREQUÊNCIA
47
A equação de VL(s) pode ser representada de duas formas, duas 
configurações diferentes, sendo uma na qual uma impedância de sL está ligada 
em série com uma fonte independente de tensão LI0, conforme mostrado na Figura 
46; e a outra a de uma impedância sL em paralelo com uma fonte de corrente 
dada por I0/s, conforme apresentado na Figura 47, modelo que pode ser obtido 
explicitando a corrente na equação da tensão, como sendo:
FIGURA 46 – MODELO DO INDUTOR NO DOMÍNIO DA FREQUÊNCIA UTILIZANDO UMA 
FONTE INDEPENDENTE DE TENSÃO
FONTE: Nilsson e Riedel (2015, p. 523)
Cuja representação matemática é:
V = sL.I – L.I0
FIGURA 47 – MODELO DO INDUTOR NO DOMÍNIO DA FREQUÊNCIA UTILIZANDO UMA 
FONTE DE CORRENTE
FONTE: Nilsson e Riedel (2015, p. 523)
48
UNIDADE 1 — CIRCUITOS EM CORRENTE ALTERNADA (ANÁLISE EM REGIME SENOIDAL)
Cuja representação matemática é:
A Figura 48 apresenta o indutor no domínio do tempo e a equação 
matemática que o caracteriza. Cabe observar que, se o indutor não tiver energia 
armazenada I0 = 0, o circuito equivalente, no domínio da frequência, passa a ser 
exclusivamente a impedância sIL(s), conforme apresentado na Figura 49.
FIGURA 48 – INDUTOR NO DOMÍNIO DO TEMPO
FONTE: Nilsson e Riedel (2015, p. 522)
Cuja representação matemática é:
FIGURA 49 – INDUTOR NO DOMÍNIO DA FREQUÊNCIA COM CONDIÇÕES INICIAIS NULAS
FONTE: Nilsson e Riedel (2015, p. 523)
Cuja representação matemática é:
V = sL.I
TÓPICO 2 — FONTE SENOIDAL, CONCEITO DE FASOR E ELEMENTOS PASSIVOS NO DOMÍNIO DA FREQUÊNCIA
49
3.3 CAPACITOR
O capacitor, assim como o indutor, também tem um comportamento que é 
proporcional à taxa de variação entre tensão e corrente.
FIGURA 50 – CIRCUITO CAPACITIVO PURO
FONTE: O autor
Ao alimentar o circuito da Figura 50 com uma corrente senoidal, 
representada por i(t) = Im.sin(ωt + φ), a tensão do capacitor é dada isolando a 
tensão na equação:
Com:
Nesse caso, a tensão no indutor pode ser descrita como:
vc(t) = Vm.sin(ωt + φ – 90o)
Essa expressão representa que a tensão (vC(t)) está atrasada em 90° (π/2) 
em relação à corrente (iC(t)) no capacitor (1) ou, ainda, pode-se dizer que a corrente 
no capacitor está adiantada em 90° (π/2) em relação à tensão no capacitor.
50
UNIDADE 1 — CIRCUITOS EM CORRENTE ALTERNADA (ANÁLISE EM REGIME SENOIDAL)
FIGURA 51 – COMPORTAMENTO DA CORRENTE E TENSÃO NO CAPACITOR
FONTE: O autor
3.3.1 Em termos fasoriais
A representação fasorial de corrente e tensão no capacitor, representadas 
graficamente no diagrama fasorial da FX, é expressa matematicamentenos 
seguintes termos: dada uma corrente que circula em um capacitor como: 
iC(t) = Im.sin(ωt + φ) na forma fasorial IC = Im.eφi, a tensão nesse capacitor pode ser 
obtida por vC(t) = Vm.sin(ωt + φ – 90o), que, representado fasorialmente, tem-se 
VC = Vm.e(φ–90
◦)i.
FIGURA 52 – DIAGRAMA FASORIAL DAS GRANDEZAS TENSÃO E CORRENTE EM UM 
CAPACITOR PURO
FONTE: O autor
TÓPICO 2 — FONTE SENOIDAL, CONCEITO DE FASOR E ELEMENTOS PASSIVOS NO DOMÍNIO DA FREQUÊNCIA
51
3.3.2 No domínio da frequência
A corrente no capacitor é função da taxa de variação da tensão aplicada 
nesse capacitor, sendo dada por:
A transformada de Laplace da tensão nos terminais do indutor é dada por:
Essa equação indica que a corrente no capacitor pode ser representada 
pela soma de duas outras correntes, conforme apresentado na Figura 53, na 
qual em um ramo tem-se uma admitância sC (Siemens) ligada em um ramo em 
paralelo com uma fonte independente de corrente CV0 (ampères-segundos). Outra 
configuração é obtida quando, na equação da corrente no capacitor, se evidencia 
a tensão no capacitor VC:
Em cuja tensão do capacitor pode ser representada por uma impedância 
1/sC, ligada em série com uma fonte de tensão dada por V0/s, conforme apresentado 
na Figura 54.
FIGURA 53 – MODELO DO CAPACITOR NO DOMÍNIO DA FREQUÊNCIA UTILIZANDO UMA 
FONTE INDEPENDENTE DE CORRENTE
FONTE: O autor
52
UNIDADE 1 — CIRCUITOS EM CORRENTE ALTERNADA (ANÁLISE EM REGIME SENOIDAL)
Cuja representação matemática é:
I = sCV – CV0
FIGURA 54 – MODELO DO CAPACITOR NO DOMÍNIO DA FREQUÊNCIA UTILIZANDO UMA 
FONTE INDEPENDENTE DE TENSÃO
FONTE: Nilsson e Riedel (2015, p. 524)
Cuja representação matemática é:
O modelo do capacitor no domínio do tempo é apresentado na Figura 
55, assim como seu modelo matemático. No domínio da frequência, quando 
se utiliza um capacitor descarregado, em que V0 = 0, observa-se que as fontes 
dos modelos apresentados perdem a sua função, ou seja, tanto o modelo com a 
fonte de corrente (Figura 53) quanto o modelo com a fonte de tensão (Figura 54) 
originam o modelo resultante apresentado na Figura 56.
FIGURA 55 – CAPACITOR NO DOMÍNIO DO TEMPO
FONTE: Nilsson e Riedel (2015, p. 523)
TÓPICO 2 — FONTE SENOIDAL, CONCEITO DE FASOR E ELEMENTOS PASSIVOS NO DOMÍNIO DA FREQUÊNCIA
53
Cuja representação matemática é:
FIGURA 56 – CAPACITOR NO DOMÍNIO DA FREQUÊNCIA COM CONDIÇÕES INICIAIS NULAS
FONTE: Nilsson e Riedel (2015, p. 524)
Cuja representação matemática é:
Conhecendo-se o comportamento individual de cada elemento passivo, 
pode-se iniciar o procedimento da análise do comportamento dos componentes 
no domínio da frequência.
54
RESUMO DO TÓPICO 2
Neste tópico, você aprendeu que:
• Uma fonte senoidal pode ser representada genericamente por: x(t) = Xm.sin(ωt + φ), 
em que Xm é o valor máximo da amplitude que a onda pode chegar, ω é a 
frequência angular da onda dada em radianos e φ é o ângulo de fase da onda.
• Frequência (f [Hz]) é a quantidade de repetições de uma onda no intervalo de 
tempo de um segundo.
• Período (T [S]) é o tempo necessário para que o sinal execute um ciclo completo.
• Período e frequência são grandezas inversamente proporcionais: T = 1\f.
• A forma fasorial de uma onda senoidal é dada por:
xs(t) = Xm.cos(ωt + φ) → Xs = Xm.eφi
• Representações e notações que podem ser utilizadas:
Senoidal: is(t) = 2.cos(ωt + 45o) Fasorial: Is = 2.e45◦i
55
• Comportamento dos elementos passivos no domínio da frequência:
COMPORTAMENTO DOS ELEMENTOS PASSIVOS NO DOMÍNIO DA FREQUÊNCIA
FONTE: O autor
Domínio do tempo Domínio da frequência
v(t) = R.i(t) V = R.I
V = sL.I – L.I0
I = sCV – CV0
56
1 Considere uma tensão senoidal caracterizada pelo sinal dado e apresente: 
v(t) = 80.sen(31,41.t + 72o)
a) A amplitude do sinal.
b) A frequência e o período do sinal.
c) O ângulo de defasagem.
d) O fasor desse sinal.
e) O valor da corrente quando essa tensão é aplicada a uma impedância de 
15 – j25Ω.
2 Considere o circuito, a seguir, e calcule a corrente que circula por cada 
componente considerando:
i(t) = 5.cos(ωt + 28°) A; R = 250 Ω; XL = j450 Ω; XC = –j135 Ω
FONTE: Nilsson e Riedel (2015, p. 496)
AUTOATIVIDADE
Icc
t = 0
R L C
+
v(t)
–
57
TÓPICO 3 — 
UNIDADE 1
ANÁLISE DE CIRCUITOS NO DOMÍNIO DA FEQUÊNCIA
1 INTRODUÇÃO
Os indutores e os capacitores, quando não possuem energia armazenada, 
seja na forma de campos magnéticos (I0) ou campos elétricos (V0), têm sua 
representação no domínio da frequência como uma impedância indutiva sL ou 
capacitiva 1\sC. Dessa forma, as relações entre as grandezas tensão, corrente e 
impedância no componente podem ser calculadas pela lei de Ohm:
V = Z.I
Na qual Z representa a impedância do elemento no domínio da frequência, 
conforme apresentado na Figura 41 para o resistor, na Figura 48 para o indutor e na 
Figura 55 para o capacitor.
A representação da admitância (Siemens) como sendo o inverso da 
impedância (Ohm) também é verdadeira, valendo todas as regras da associação e 
as simplificações série e paralela, assim como as transformações estrela/triângulo 
podem ser aplicadas às impedâncias e admitâncias no domínio da frequência.
Relembrando o caso geral da correlação de impedância e admitância, tem-se:
Em que: Z = impedância (Ω); R = resistência (Ω); X: reatância (Ω); Y: 
admitância (S ou Ω-1); G = Condutância (S ou Ω-1); B = susceptância (S ou Ω-1).
Da mesma forma que os métodos conhecidos da corrente das malhas e 
tensões nos nós, as Leis de Kirchhoff e as técnicas utilizadas para calcular os equivalentes 
Thévenin e Norton podem ser aplicadas na análise de problemas no domínio da frequência.
ATENCAO
58
UNIDADE 1 — CIRCUITOS EM CORRENTE ALTERNADA (ANÁLISE EM REGIME SENOIDAL)
Neste tópico, serão aplicados os conceitos de transformada de Laplace e 
da transformada Inversa de Laplace, que são apresentados e aprofundados em 
disciplinas de cálculo, análise de sinais e sistemas, teoria de controle, dentre outras.
Como nosso interesse é a aplicação (além da do método em si), pode-se 
fazer uso das tabelas de transformada de Laplace que correlacionam a função no 
domínio do tempo f(t) com a função no domínio da frequência F(s).
A transformada de Laplace unilateral pode ser obtida pela resolução da 
expressão:
A transformada de Laplace unilateral analisa os eventos para t > 0, o que 
acontece no tempo t < 0 é representado pelas condições iniciais.
A transformada inversa de Laplace pode ser encontrada pela resolução de:
Para t > 0. Contudo, ressaltam-se algumas das propriedades da 
transformada de Laplace e pares de transformada. A transformada de Laplace 
do produto de um escalar por uma função é igual ao produto do escalar pela 
transformada da função.
F(k.f(t)) = k.F(f(t))
Transformada de Laplace da soma de funções é igual à soma das 
transformadas de cada função.
F(f1(t) + f2(t) + f3 (t)) = F(f1(t)) + F(f2(t)) + F(f3(t))
 
A transformada da derivada e da integral é dada por:
Alguns pares de transformada de Laplace podem ser encontrados na 
Tabela 2.
TÓPICO 3 — ANÁLISE DE CIRCUITOS NO DOMÍNIO DA FEQUÊNCIA
59
TABELA 2 – PARES DE TRANSFORMADAS DE LAPLACE
60
UNIDADE 1 — CIRCUITOS EM CORRENTE ALTERNADA (ANÁLISE EM REGIME SENOIDAL)
FONTE: Ogata (2010, p. 781-782)
TÓPICO 3 — ANÁLISE DE CIRCUITOS NO DOMÍNIO DA FEQUÊNCIA
61
2 RESPOSTA NATURAL DE UM CIRCUITO RC
Para exemplificar a abordagem no domínio da frequência, utilizaremos 
um circuito RC, também conhecido como circuito de descarga do capacitor 
(Figura 57). 
FIGURA 57 – CIRCUITO DE DESCARGA DE CAPACITOR
FONTE: Nilsson e Riedel (2015, p. 526)
A corrente que circula no circuito é dada, segundo a lei de Ohm, como:
A tensão em um circuito RC leva em consideração a tensão de pré-carga 
do capacitor (V0), sendo obtida por:
Pela abordagem clássica, tem-se que:
Pela abordagem no domínio da frequência, pode-se ajustar o modelo de 
acordo com as necessidades; nesse caso, como o interesse é na corrente da malha, 
podemos utilizar o modelo equivalente, queevidencia a corrente do circuito, 
conforme apresentado na Figura 58.
FIGURA 58 – CIRCUITO DE DESCARGA DE CAPACITOR NO DOMÍNIO DA FREQUÊNCIA 
(CORRENTE)
FONTE: Nilsson e Riedel (2015, p. 526)
62
UNIDADE 1 — CIRCUITOS EM CORRENTE ALTERNADA (ANÁLISE EM REGIME SENOIDAL)
Aplica-se a Lei das tensões de Kirchhoff ou lei das malhas, que correlaciona 
o somatório das tensões em uma malha, obtendo-se:
Ao se explicitar a corrente na equação, tem-se:
Para encontrar a expressão da corrente no domínio do tempo, aplica-se a 
transformada inversa de Laplace, para encontrar a expressão:
A tensão é obtida pela lei de Ohm, sendo dada por:
Observa-se que as expressões para a corrente e a tensão encontradas são 
idênticas às obtidas pelo método clássico.
Recalcula-se o circuito utilizando o modelo para o capacitor apresentado 
na Figura 59. 
FIGURA 59 – CIRCUITO DE DESCARGA DE CAPACITOR NO DOMÍNIO DA FREQUÊNCIA 
(TENSÃO)
FONTE: Nilsson e Riedel (2015 p. 527)
O objetivo é o cálculo da tensão aplicada na carga R; logo, a lei das 
correntes de Kirchhoff ou lei dos nós pode ser descrita como: 
TÓPICO 3 — ANÁLISE DE CIRCUITOS NO DOMÍNIO DA FEQUÊNCIA
63
Após obter a determinação da tensão no domínio da frequência, aplica-se 
a transformada inversa de Laplace para obter a expressão da tensão no domínio 
do tempo:
A corrente do circuito é obtida pela lei de Ohm, sendo dada por:
2.1 EXEMPLO DE RESOLUÇÃO DE CIRCUITO NO 
DOMÍNIO DA FREQUÊNCIA POR LAPLACE
Segundo Nilsson e Riedel (2015), a chave no circuito (Figura 60) esteve na 
posição a por um longo tempo. Em t=0, ela passa repentinamente para a posição b.
FIGURA 60 – CIRCUITO PARA O EXEMPLO DE RESOLUÇÃO NO DOMÍNIO DA FREQUÊNCIA
FONTE: Nilsson e Riedel (2015 p. 527)
a b
100 V +– 5 kΩi
10 kΩ
t = 0
+
v1–
+
v2–
0,2 𝜇F
0,8 𝜇F
64
UNIDADE 1 — CIRCUITOS EM CORRENTE ALTERNADA (ANÁLISE EM REGIME SENOIDAL)
2.1.1 Determinação de I, V
1
 e V
2
 como funções racionais 
de s
Após um longo tempo, os capacitores estarão carregados e a tensão 
aplicada no resistor é de 100 V. Tomando a associação dos capacitores (Ceq), 
pode-se utilizar a equação que representa a corrente nesse circuito:
Assim, tem-se:
A corrente do circuito é dada por:
As tensões nos capacitores podem ser calculadas por divisor de tensão; 
para isso, calcula-se a tensão no resistor de 5 kΩ:
Já as tensões nos capacitores são dadas por:
TÓPICO 3 — ANÁLISE DE CIRCUITOS NO DOMÍNIO DA FEQUÊNCIA
65
2.1.2 Determinação das expressões no domínio do tempo 
para i, v
1
 e v
2
No domínio do tempo, tem-se que:
i(t) = L{I(s)} = 20.e–1250.t.u(t)mA
vc1(t) = L{Vc1(s)} = 80.e
–1250.t.u(t)V
vc2(t) = L{Vc2(s)} = 20.e
–1250.t.u(t)V
2.2 EXEMPLO DE CIRCUITOS NO DOMÍNIO DA 
FREQUÊNCIA UTILIZANDO A ANÁLISE DE MALHAS
Para o circuito da Figura 61, considera-se que, no instante em que a chave 
é fechada, não existe pré-carga dos componentes, ou seja, não existe energia 
armazenada.
FIGURA 61 – CIRCUITO PARA A ANÁLISE DE MALHAS NO DOMÍNIO DA FREQUÊNCIA
FONTE: Nilsson e Riedel (2015 p. 529)
2.2.1 Determinação da expressão para I e V no domínio 
da frequência
Para o cálculo da corrente na malha:
Para o cálculo da tensão no indutor:
160 V
4,8 Ω 4 H
0,25 Fi
t = 0
+ v –
66
UNIDADE 1 — CIRCUITOS EM CORRENTE ALTERNADA (ANÁLISE EM REGIME SENOIDAL)
No caso das funções de corrente e tensão no domínio do tempo, para 
encontrar as raízes do polinômio do denominador da equação em s da corrente, 
tem-se que:
Aplicando frações parciais para polos complexos, tem-se:
Calculando os coeficientes K1 e K2:
Calculando os coeficientes na forma polar:
Consultando as tabelas de transformada de Laplace, encontramos a 
seguinte correlação L–1{F(s)} → L{f(t)}:
2.2.2 Determinação da expressão de i(t) e v(t) no domínio 
do tempo quando t > 0
TÓPICO 3 — ANÁLISE DE CIRCUITOS NO DOMÍNIO DA FEQUÊNCIA
67
Logo:
Ou, ainda, i(t) = 50.e–j0,6.sen(0,8t).u(t).
Seguindo um procedimento semelhante para calcular a tensão no domínio 
do tempo, tem-se:
Calculando os coeficientes K1 e K2 :
Calculando os coeficientes na forma polar:
Consultando as tabelas de transformada de Laplace, encontramos a 
seguinte correlação L–1{F(s)} → L{f(t)}.
Logo:
VL(s) = 2.|100s|, e–0,6t.cos(0,8t + 90°)
vL(t) = 200s . e–j0,6. cos(0,8t + 90°). u(t) ou vL(t) = 200s .e–j0,6.sen(0,8t).u(t)
68
UNIDADE 1 — CIRCUITOS EM CORRENTE ALTERNADA (ANÁLISE EM REGIME SENOIDAL)
LEITURA COMPLEMENTAR
CORRENTE CONTÍNUA VS CORRENTE ALTERNADA
Denis
A energia elétrica é um bem de extrema importância para nossas 
vidas cotidianas. Utilizamos ela nos mais diversos aparelhos e equipamentos. 
Primordialmente, o princípio básico da energia elétrica é simples: a diferença de 
potencial elétrico entre dois pontos permite o estabelecimento de uma corrente 
elétrica entre ambos.
Tipos de corrente
Uma corrente elétrica é simplesmente o fluxo de elétrons através de um 
condutor. Assim esse fluxo pode ocorrer de duas formas:
Na Corrente Contínua (DC), o fluxo de elétrons ocorre sempre no 
mesmo sentido. Esse é o caso, por exemplo, de circuitos abastecidos por pilhas 
e baterias. Em geral, os circuitos que aparecem nos vestibulares são circuitos de 
corrente contínua.
Na Corrente Alternada (AC), o fluxo de elétrons alterna de sentido, 
fazendo um movimento de “vai e vem”. É esse tipo de corrente que abastece as 
nossas casas. A frequência da corrente que recebemos da companhia elétrica vale 
60 Hz, ou seja, essa corrente completa 60 ciclos por segundo!
A corrente alternada parece mais complexa, né? Então por que usamos ela 
para a maioria das coisas? Senta que lá vem história!
A batalha das correntes
Até o final do século XIX, os poucos lugares que possuíam equipamentos 
elétricos eram abastecidos por corrente contínua, vendida e defendida pelo 
inventor Thomas Edison.
No entanto, a corrente contínua possuía um problema grave: grande parte 
de sua potência elétrica era perdida em cabos de transmissão. Logo, até então, era 
inviável a transmissão de eletricidade a longas distâncias.
Dessa forma, para expandir o uso de energia elétrica, seria necessária a 
construção de uma usina elétrica próxima de cada centro urbano.
TÓPICO 3 — ANÁLISE DE CIRCUITOS NO DOMÍNIO DA FEQUÊNCIA
69
Em seguida, tendo consciência desse problema, Nikola Tesla, ex-
funcionário de Edison, surgiu com a solução: a corrente alternada. Ou seja, com 
o uso de certos equipamentos, a corrente alternada poderia ser transportada a 
longas distâncias sem muita perda de potência!
Consequentemente, ambos passaram a disputar pelo direito de eletrificar 
diversas cidades americanas. Foi assim que a Batalha das Correntes começou:
Edison vs Tesla
Visto que não tinha chances contra seu concorrente, Edison optou por 
uma estratégia mais ousada. Por isso, iniciou uma campanha de desinformação, 
tentando fazer a população acreditar que a corrente alternada de Tesla era 
extremamente perigosa.
Mas nada disso adiantou e, no fim, Tesla ganhou a batalha e o direito 
de eletrificar cidades. Para tal, geradores hidrelétricos foram construídos nas 
Cataratas do Niágara.
O processo de geração de corrente alternada é um pouco complexo, 
mas não se preocupe, temos um blog post inteirinho dedicado a isso: Energia 
Elétrica, Geradores e a Indução Eletromagnética: <https://blog.biologiatotal.com.
br/geracao-de-energia-eletrica/>.
70
UNIDADE 1 — CIRCUITOS EM CORRENTE ALTERNADA (ANÁLISE EM REGIME SENOIDAL)
Estátua de Nikola Tesla em frente às Cataratas do Niágara
Gostou da história? Então, agora senta que lá vem Física!
Potência e resistência
Como vimos, o que deu a vitória a Tesla, foi a capacidade da corrente 
alternada de ser transmitida com menor perda de potência.
Tá, mas como isso é possível?
Antes de mais nada, para entender esse fenômeno, precisamos aprender 
sobre duas grandezas físicas: potência e resistência elétrica.
Potência elétrica
A potência elétrica é formalmente definida como a rapidez com que 
um trabalho é realizado. Da mesma forma, podemos defini-la também como a 
quantidade