unid_1. estatística descritiva

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Autores: Profa. Valéria de Carvalho
 Prof. Emerson Flamarion da Cruz
 Profa. Lúcia F. de Almeida Guimarães
 Profa. Renata Nascimento Nogueira
Estatística Descritiva
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permissão escrita da Universidade Paulista.
Dados Internacionais de Catalogação na Publicação (CIP)
 C331p Carvalho, Valéria de.
 Probabilidade e estatística. / Valéria de Carvalho, Emerson 
Flamarion Cruz, Lúcia F. de Almeida Guimarães. – São Paulo: Editora 
Sol, 2014.
 
160 p., il.
1. Probabilidade. 2. Estatística. 3. Gráficos. I. Cruz, Emerson 
Flamarion. II. Guimarães, Lúcia F, de Almeida. III. Título. 
CDU 519.2
Professores conteudistas: Valéria de Carvalho / Emerson Flamarion da Cruz / 
Lúcia F. de Almeida Guimarães / Renata Nascimento Nogueira
Valéria de Carvalho
Possui graduação em Ciências, com habilitação em Matemática pela Universidade de Bauru (1987), atual 
Universidade Estadual Paulista Júlio de Mesquita Filho. É mestre em Educação Matemática pela Universidade Estadual 
de Campinas (1999) e doutora em Educação Matemática também pela Universidade Estadual de Campinas (2007).
Foi professora colaboradora do Laboratório de ensino de Matemática da Universidade Estadual de Campinas e 
atualmente leciona na Universidade Paulista, sendo também coordenadora do curso de Matemática na modalidade 
EaD. Possui experiência nas áreas de Educação, com ênfase em Ensino e Tecnologias, Educação Matemática e Educação 
Matemática Crítica, atuando principalmente nos seguintes temas: Educação Matemática; Matemática Crítica; 
Educação Matemática; Tecnologias de Informação e Comunicação; Sociedade e Meio Ambiente; Educação Estatística 
e Tecnologias, Estatística e Cálculo.
Emerson Flamarion da Cruz
Possui graduação em Licenciatura Plena em Física pela Unesp/Universidade Estadual Paulista Júlio de Mesquita 
Filho e Mestrado em Física pela USP, Universidade de São Paulo. É docente do Ensino Médio e de cursos pré-vestibulares, 
com atuações nas principais instituições de ensino privado do país. Seus interesses e atuações em pesquisa envolvem 
os campos da Biofísica, Econofísica, Mecânica Quântica, História da Ciência e o ensino de Física. Como docente da 
UNIP, de 2002 a 2008, ministrou diversos cursos ligados à Engenharia e Ciências Aplicadas.
Lúcia F. de Almeida Guimarães
Lúcia F. de Almeida Guimarães é bacharel em Estatística, mestre e doutora em Automação pelo Departamento 
de Engenharia de Sistemas da Faculdade de Engenharia Elétrica e de Computação da Unicamp, tendo sido parte de 
seu doutorado realizado no Centro de Pesquisa em Transporte da Universidade de Montreal, Província de Quebec, 
Canadá. Leciona Estatística desde 1995 em vários cursos (Administração, Engenharia Elétrica, Ciência da Computação, 
Matemática etc.) de algumas universidades.
Renata Nascimento Nogueira
Graduação em física (bacharelado) pela Universidade de São Paulo (1992), mestrado em física pela Universidade 
de São Paulo (1995) e doutorado em física pela Universidade de São Paulo (1999). Pós-doutorado na área de ciência 
dos materiais, pela USP (2003) e Virginia Tech (2001). 
Tem dez trabalhos publicados em revistas científicas de âmbito internacional.
Atua no magistério superior desde 2005, tendo lecionado disciplinas das áreas de física, matemática e estatística 
em diversos cursos das três grandes áreas do conhecimento. Atualmente, é horista da Universidade Paulista, da 
Faculdade Taboão da Serra e da Escola Brasileira Israelita Chaim Nachman Bialik.
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Prof. Dr. João Carlos Di Genio
Reitor
Prof. Fábio Romeu de Carvalho
Vice-Reitor de Planejamento, Administração e Finanças
Profa. Melânia Dalla Torre
Vice-Reitora de Unidades Universitárias
Prof. Dr. Yugo Okida
Vice-Reitor de Pós-Graduação e Pesquisa
Profa. Dra. Marília Ancona-Lopez
Vice-Reitora de Graduação
Unip Interativa – EaD
Profa. Elisabete Brihy 
Prof. Marcelo Souza
Prof. Dr. Luiz Felipe Scabar
Prof. Ivan Daliberto Frugoli
 Material Didático – EaD
 Comissão editorial: 
 Dra. Angélica L. Carlini (UNIP)
 Dra. Divane Alves da Silva (UNIP)
 Dr. Ivan Dias da Motta (CESUMAR)
 Dra. Kátia Mosorov Alonso (UFMT)
 Dra. Valéria de Carvalho (UNIP)
 Apoio:
 Profa. Cláudia Regina Baptista – EaD
 Profa. Betisa Malaman – Comissão de Qualificação e Avaliação de Cursos
 Projeto gráfico:
 Prof. Alexandre Ponzetto
 Revisão:
 Luanne Aline Batista da Silva
 Amanda Casale
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Sumário
Estatística descritiva
APRESENTAÇÃO ......................................................................................................................................................7
INTRODUÇÃO ...........................................................................................................................................................7
Unidade I
1 ESTATÍSTICA DESCRITIVA .................................................................................................................................9
1.1 População e amostra ......................................................................................................................... 10
1.2 Tabelas de Frequência ......................................................................................................................... 11
1.2.1 Variáveis .....................................................................................................................................................11
1.2.2 Tabelas de frequências e gráficos ..................................................................................................... 14
2 GRÁFICOS ........................................................................................................................................................... 22
2.1 Principais tipos de gráficos .............................................................................................................. 25
2.1.1 Gráfico de barras (horizontais) .......................................................................................................... 25
2.1.2 Gráfico de barras (horizontais) agrupadas ................................................................................... 26
2.1.3 Gráfico de colunas e colunas agrupadas ...................................................................................... 26
2.1.4 Gráfico de linhas ou gráficos lineares ou de curvas ............................................................... 27
2.1.5 Gráfico de setores (ou de pizza) ....................................................................................................... 28
2.1.6 Cartogramas.............................................................................................................................................. 29
2.1.7 Pictograma ou gráficos pictóricos ................................................................................................... 30
2.2 A representação gráfica de uma tabela de frequência ......................................................... 31
2.2.1 Variáveis qualitativas ............................................................................................................................. 31
2.2.2 Variáveis quantitativas .........................................................................................................................32
3 MEDIDAS DE POSIÇÃO E MEDIDAS DE DISPERSÃO .......................................................................... 45
3.1 Medidas de posição ............................................................................................................................. 45
3.1.1 Medidas de tendência central ........................................................................................................... 45
3.2 Medidas de dispersão ......................................................................................................................... 59
3.2.1 Variáveis qualitativas ............................................................................................................................. 60
3.2.2 Variáveis quantitativas – dados não agrupados ........................................................................ 61
3.2.3 Variáveis quantitativas – dados agrupados sem intervalos de classe ............................. 63
4 COEFICIENTE DE VARIAÇÃO (CV) ............................................................................................................... 65
4.1 Variáveis qualitativas .......................................................................................................................... 66
4.2 Variáveis quantitativas – dados não agrupados ...................................................................... 66
4.3 Variáveis quantitativas – dados agrupados sem intervalos de classe ............................ 66
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Unidade II
5 INTRODUÇÃO AO ESTUDO DE PROBABILIDADES E OPERAÇÕES COM 
PROBABILIDADES ................................................................................................................................................ 80
5.1 Determinismo e aleatoriedade ........................................................................................................ 80
5.2 Definição clássica de Probabilidade .............................................................................................. 80
5.3 Probabilidade e Análise Combinatória ......................................................................................... 84
5.4 Eventos mutuamente exclusivos e a adição de probabilidades ........................................ 86
6 PROBABILIDADE CONDICIONAL, EVENTOS INDEPENDENTES E O PRODUTO DE 
PROBABILIDADES ................................................................................................................................................ 89
7 DISTRIBUIÇÕES DE PROBABILIDADE E BINOMINAL .......................................................................... 94
7.1 Distribuições de probabilidade ........................................................................................................ 94
7.1.1 Variáveis aleatórias ................................................................................................................................ 94
7.1.2 Tipos de distribuição ............................................................................................................................ 94
7.2 Distribuição binomial .......................................................................................................................... 95
7.2.1 Jogo de n moedas ................................................................................................................................... 96
7.2.2 Caso geral .................................................................................................................................................101
7.2.3 Aplicação ..................................................................................................................................................103
8 DISTRIBUIÇÃO UNIFORME E NORMAL DE PROBABILIDADES .....................................................106
8.1 Distribuição uniforme de probabilidades .................................................................................106
8.2 Distribuição normal de probabilidades ......................................................................................108
8.2.1 Condições de validade ........................................................................................................................108
8.2.2 A variável z ..............................................................................................................................................109
8.2.3 Distribuição normal padronizada ....................................................................................................111
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APRESENTAÇÃO
Caro aluno,
A palavra estatística já faz parte de nossa linguagem cotidiana, bem como as estatísticas em 
si. Ainda que de maneira informal, todos utilizamos diversos de seus conceitos e informações 
estatísticas para orientar nossa leitura da realidade e, a partir disso, tomar decisões que dependam 
dessas informações.
Um exemplo em que a presença da estatística é óbvia é a leitura de pesquisas de intenção de 
voto. Muitas vezes ajudam a orientar nossas escolhas ou, pelo menos, servem de tema de conversa. No 
entanto, nosso uso é muito mais frequente e próximo. Utilizamos intuitivamente os conceitos de média 
e intervalo para definir quanto tempo antes de um compromisso temos que sair de casa; o conceito de 
probabilidade quando compramos um presente e torcemos para que o presenteado goste; inferências 
ao tentar prever como certos aspectos de nossa vida devem evoluir.
Pois bem, temos por objetivo ajudá-lo a compreender e a utilizar os conceitos da estatística na 
resolução de problemas formais, por meio das contas necessárias e, principalmente, buscando transmitir 
esse conhecimento de modo que você possa aplicá-lo em situações de sua vida profissional e pessoal, 
fazendo da estatística uma ferramenta que o ajude a tomar decisões bem fundamentadas.
Nosso curso objetiva apresentar o estudante às ferramentas matemáticas e suas aplicações no 
universo cotidiano e profissional ligadas ao tema. Nesse sentido, é orientado mesmo à capacitação 
profissional do graduando em relação aos cenários, cada vez mais frequentes, em que a análise 
combinatória e ingredientes fundamentais da Teoria de Probabilidades são exigidos. Em linhas gerais, 
o material está estruturado de forma simples e direta, relevando os itens fundamentais da teoria e 
priorizando o aprendizado pela prática e análise de exercícios.
INTRODUÇÃO
A estatística pode ser definida como uma subdivisão da matemática que descreve características de 
conjuntos, organizando e resumindo dados a seu respeito, buscando relações entre esses conjuntos de 
dados e elaborando modelos de forma tal que possam ser feitas previsões a respeito de sua evolução 
temporal ou da de conjuntos com características similares.
Cálculos combinatórios, probabilísticos e estatísticos fazem parte de nosso cotidiano, e os realizamos 
muitas vezes de forma tão automática, que nem nos damos conta disso. Por exemplo, ao nos depararmos 
com situações que exigem a tomada de decisões, analisamos, muitas vezes intuitivamente, as várias 
possibilidades e elegemos a mais adequada ou, em outras palavras, a que apresenta maior probabilidade 
de sucesso. Evidentemente, há outros cenários que exigem um rigor maior, por exemplo, projeções de 
cotações na bolsa de valores e cálculos estatísticos em inúmeras modalidades de pesquisas de opinião, 
pesquisas biomédicas, administrativas e de outros cenários nos quais a inferência estatística é utilizada 
como ferramenta.
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Todos esses exemplos já seriam suficientes para um estudo sério, motivado e atento de Análise 
Combinatória e Probabilidades, no entanto o elemento de maior importância é a oportunidade de 
ingresso em universo em que os conceitos determinísticos, arraigados em nossa forma de pensar, dão 
passagem a uma nova abordagem de pensamento. Uma forma de pensar que leva em conta, sem 
medo, todas as possibilidades (contando-as, inclusive) e utiliza as ferramentas oferecidas pela Teoria de 
Probabilidades como de estudo e análise, o que possibilita a aparição de padrões e comportamentos que 
o determinismo puro não acessa.
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ESTATÍSTICA DESCRITIVA
Unidade I
1 ESTATÍSTICA DESCRITIVA
A estatística pode ser considerada como uma ciência, no sentido do estudo de uma população, e 
como um método, quando utilizada como um instrumento por outra ciência.
A palavra “estatística” não é recente e originalmente foi utilizada para denominar levantamentos. Na 
Antiguidade e Idade Média, nascimentos, número de habitantes e óbitos eram registrados e tabulados 
com finalidades bélicas e/ou tributárias.
Atualmente, é considerada como um conjunto de métodos e técnicas para coleta, organização, 
apresentação e interpretação de dados, a fim de que conclusões, que vão além dos dados iniciais, 
possam ser obtidas para a tomada de decisões. Sob este aspecto, pode ser subdividida em duas grandes 
áreas: aquela responsável pela coleta, organização e descrição dos dados, a Estatística Descritiva, e 
a responsável pela análise e interpretação de dados, a Estatística Indutiva (ou Inferencial), que é 
fundamentada na teoria da probabilidade e compreende dois grandes tópicos: a estimação de parâmetros 
e os testes de hipótese.
Considerando método um conjunto eficaz de meios para atingir uma determinada meta, é possível 
definir método estatístico como aquele constituído das seguintes fases:
1. Definição do problema: consiste em determinar corretamente o que se deseja pesquisar, ou seja, 
definir o problema em estudo da forma mais correta possível. 
2. Planejamento: definição de quais são as informações relevantes a serem obtidas, como isso será 
realizado, qual o custo envolvido etc. É nesta fase que um cronograma de atividades é elaborado.
3. Coleta de dados: registro sistemático de dados, conforme o objetivo definido nas fases anteriores. 
A coleta normalmente é realizada de uma forma direta, em que a informação é obtida diretamente 
da fonte por meio de um questionário ou de uma observação.
4. Crítica e apuração dos dados: consiste em uma avaliação rigorosa dos dados em busca de erros 
que possam influir nas análises e conclusões e, posteriormente, no processamento desses dados 
por meio de contagem e agrupamento.
5. Apresentação ou exposição dos dados: é a determinação de uma forma adequada de apresentação 
dos dados para facilitar o tratamento e a análise estatística. Basicamente, existem duas formas de 
exposição: em uma tabela, que é a apresentação numérica dos dados distribuídos de um modo 
ordenado entre linhas e colunas, segundo regras fixadas pelo Conselho Nacional de Estatística, ou 
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Unidade I
em gráficos, que são uma representação visual dos dados numéricos com a finalidade de facilitar a 
compreensão dos mesmos e/ou apresentar conclusões e análises de resultados.
1.1 População e amostra 
O significado mais comum da palavra população é o conjunto de habitantes de certo país, estado, 
cidade etc. Entretanto, em estatística, o seu significado é mais amplo. Considera-se população o 
conjunto de todos os elementos (objetos, indivíduos, animais) que representam a totalidade dos que 
possuem as mesmas características definidas para um estudo.
O estudo de todos os elementos de uma população é denominado censo. Geralmente, o estudo de uma 
população é inviável pelo seu custo ou tempo de execução e análise. Sendo assim, a pesquisa é feita com uma 
parte representativa da população denominada “amostra” e não com a totalidade dos indivíduos. 
 Lembrete
Portanto, amostra é uma parte representativa da população, 
selecionada segundo uma técnica de amostragem que garante sua 
veracidade e representatividade.
As técnicas de amostragem usadas para a obtenção de uma amostra podem ser classificadas como:
•	 Amostragens probabilísticas: todos os elementos da população possuem probabilidade 
conhecida e não zero de pertencer à amostra (selecionada ao acaso).
•	 Amostragens não probabilísticas: não permitem a retirada de uma amostra de forma aleatória, 
pois, em algumas situações, a amostragem se torna obrigatória, por exemplo: ensaios de drogas, 
vacinas, técnicas cirúrgicas, pesquisa de opinião.
Entre as técnicas de amostragem probabilística, a mais usada é a Amostragem Aleatória Simples 
(ou Amostragem Simples ao Acaso), empregada quando todos os elementos de uma população têm a 
mesma chance (probabilidade) de serem selecionados. É um procedimento que pode se tornar trabalhoso 
quando a população é muito grande. É aplicado quando a população é considerada homogênea, ou seja, 
possui pouca variabilidade. Para manter essa propriedade, todos os elementos da população devem ser 
enumerados e, por meio de um sorteio ou do auxílio de uma tabela de números aleatórios, devem-se 
selecionar os elementos que comporão a amostra desejada.
 Observação
Portanto, a definição de uma população depende do objetivo da 
pesquisa que será realizada e, a partir dela, será definida a amostra e como 
serão a coleta e a apuração de dados.
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ESTATÍSTICA DESCRITIVA
1.2 Tabelas de Frequência
1.2.1 Variáveis 
Cada característica definida como de interesse do estudo na população representa um 
fenômeno estatístico que se pretende analisar. Esta análise se inicia com o conceito e definição 
de variável.
Entende-se por variável o conjunto de resultados possíveis de um fenômeno. Pode ser classificada 
como:
•	 Qualitativa: seus valores representam atributos (qualidades) dos elementos em estudo. Exemplos: 
sexo (masculino, feminino); cor dos olhos (azuis, verdes, castanhos etc.). 
•	 Quantitativa: seus valores são resultantes de uma contagem ou mensuração e essa variável pode 
ser:
— Contínua: assume qualquer valor dentro de dois limites. Exemplos: peso, altura. 
— Discreta: assume valores inteiros dentro de um conjunto de valores enumeráveis. Exemplos: 
número de alunos na sala de aula, idades. 
Exemplo:
Numa sala do curso de Matemática de certa universidade há 90 alunos. Deseja-se realizar uma 
pesquisa para avaliar o perfil deles. O primeiro passo é obter uma amostra. Definindo-se que o tamanho 
da amostra será 20% da população, 18 alunos serão entrevistados. A definição de quais alunos serão 
entrevistados será efetuada por meio da técnica de amostragem simples: os 90 alunos serão enumerados 
de 1 a 90 e, a partir de um sorteio, serão definidos os que responderão ao questionário. Esse questionário 
possui perguntas como sexo, se a pessoa é fumante, idade, número de irmãos, altura (em metros), peso 
(em kg) e renda familiar. Poderíamos definir estas variáveis como:
Quadro 1 
Nome da variável Tipo da variável
Sexo Qualitativa
Fumante Qualitativa
Idade Quantitativa discreta
Número de irmãos Quantitativa discreta
Altura (em metros) Quantitativa contínua
Peso (em kg) Quantitativa contínua
Renda familiar(em reais) Quantitativa contínua
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Unidade I
Exemplos de aplicação
1. Uma característica de interesse para o estudo da população é chamada de:
A) Amostra.
B) Conjunto de dados.
C) Variável.
D) Observação.
E) Nenhuma das alternativas está correta.
2. Temperatura, em graus Celsius, é um exemplo de: 
A) Variável qualitativa.
B) Variável quantitativa discreta.
C) Variável quantitativa contínua.
D) Variável qualitativa ou variável quantitativa, dependendo da situação.
E) Esta característica não pode ser considerada uma variável.
3. Uma parte representativa da população é:
A) Inferência estatística.
B) Estatística descritiva.
C) Um censo.
D) Uma amostra.
E) Nenhuma das alternativas está correta.
4. O registro acadêmico de um aluno é um exemplo de:
A) Variável qualitativa.
B) Variável quantitativa discreta.
C) Variável quantitativa contínua.
D) Variável qualitativa ou variável quantitativa, dependendo da situação.
E) Esta característica não pode ser considerada uma variável.
5. Com o intuito de obter informação sobre as intenções de voto dos estudantes de uma universidade 
com 10 mil alunos, 900 alunos serão entrevistados. Podemos dizer que o grupo constituído dos 10 mil 
alunos é:
A) Censo.
B) Amostra.
C) Observação.
D) População.
E) Variável em estudo.
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ESTATÍSTICA DESCRITIVA
6. Com relação ao exercício anterior, é possível afirmar que o grupo constituído dos 900 alunos é:
A) Censo.
B) Amostra.
C) Observação.
D) População.
E) Variável em estudo.
7. Um questionário foi aplicado aos estagiários de certa empresa para estudar o perfil do profissional 
iniciante. Entre as variáveis investigadas, constavam: idade, sexo, estado civil, número de anos que levou 
para se formar e a intenção de continuar os estudos. Podemos afirmar que destas cinco variáveis:
A) 3 são quantitativas e 2 são qualitativas.
B) 1 é qualitativa e 4 são quantitativas.
C) 2 são quantitativas e 3 são qualitativas.
D) Todas são quantitativas.
E) 1 é quantitativa e 4 são qualitativas. 
8. Quando, em uma pesquisa estatística, todos os indivíduos que possuem a característica de 
interesse são avaliados trata-se de:
A) Estudo de caso.
B) Amostra probabilística.
C) Amostra não probabilística.
D) Amostra aleatória. 
E) Censo.
9. A empresa de telefonia Olaviva pretende realizar uma pesquisa com 25.000 dos seus 300.000 
clientes na cidade Sempre Feliz. Para isso, algumas informações já foram definidas como necessárias: 
número do telefone, tipo do telefone, número de chamadas interurbanas por mês, duração da chamada 
interurbana mais longa de cada mês, valor mensal da conta telefônica. Pede-se: 
A) Indicar a população e a amostra desta situação.
B) Das variáveis citadas, indicar quais são qualitativas, quais são quantitativas discretas e quais são 
quantitativas contínuas.
Respostas: 
1. c 6. b
2. c 7. a
3. d 8. e
4. a 9. População: os 300.000 clientes da empresa na cidade. 
5. d Amostra: os 25.000 clientes que serão entrevistados.
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Unidade I
Quadro 2 
variável qualitativa variável quantitativa discreta variável quantitativa contínua
número do telefone número de chamadas duração da chamada mais longa de cada mês
tipo do telefone valor mensal da conta
1.2.2 Tabelas de frequências e gráficos
Com a intenção de melhor descrever o comportamento de uma variável, é possível organizar os seus 
valores sob a forma de tabelas de frequência e gráficos.
Tabela é o quadro que resume um conjunto de observações. É composta de elementos essenciais, 
que são obrigatórios em qualquer uma:
•	 Título: define conteúdo da tabela;
•	 Cabeçalho: parte superior que especifica o conteúdo das colunas;
•	 Coluna indicadora: determina o conteúdo das linhas;
•	 Corpo: linhas e colunas que contêm as informações;
•	 Elementos complementares: devem ser colocados no rodapé da tabela, na ordem em que foram descritos:
Fonte: nome da entidade que fornece os dados ou elabora a tabela, no caso de um trabalho próprio 
diz-se “fonte: própria”.
Notas: informações de natureza geral com o objetivo de esclarecer o conteúdo da tabela.
Chamadas: informações específicas com a finalidade de esclarecer ou conceituar dados numa determinada 
área da tabela. Estão indicadas no corpo da tabela, em números arábicos, entre parênteses.
Exemplo de tabela:
Tabela 1 - Produção de café no Brasil (1978-1983)
Anos Quantidade (1000 ton.)
1978 (1) 2535
1979 2666
1980 2122
1981 3760
1982 2007
1983 2500
Nota: produção destinada para o consumo interno.
(1) Parte exportada para a Argentina.
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ESTATÍSTICA DESCRITIVA
Um professor de Estatística, com o intuito de apresentar aos seus alunos o conceito de variáveis 
e tabelas de frequência, realizou uma pesquisa na sua sala. Como a sala era pequena (40 alunos), um 
censo foi efetuado. As perguntas feitas nesta pesquisa foram:
 
1. Você é fumante? Sim/Não (variável qualitativa)
2. Quantos irmãos você tem? (variável quantitativa discreta)
3. Qual a sua altura (em cm)? (variável quantitativa discreta)
Observação: se a altura estivesse em metros, poderia ser considerada contínua.
Os resultados obtidos são apresentados a seguir:
Tabela 2 
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
fumante S N N N N N N S S N
nº de 
irmãos 1 0 1 2 3 3 4 1 2 3
altura 187 189 156 160 178 165 173 172 187 165
11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
fumante N S S N N N N N S N
nº de 
irmãos 2 1 0 1 3 4 3 1 0 3
altura 178 165 155 170 168 175 163 172 177 175
21 22 23 24 25 26 27 28 29 30
fumante S S N N N S N N N N
nº de 
irmãos 2 1 1 1 2 3 1 4 1 4
altura 167 168 176 170 178 165 163 162 177 185
31 32 33 34 35 36 37 38 39 40
fumante N S S N N N N N S N
nº de 
irmãos 2 1 0 1 3 4 3 1 0 3
altura 168 175 165 180 158 165 163 172 167 175
A seguir, usando estas variáveis, serão construídas as tabelas de frequências adequadas.
Tabelas de frequências – variáveis qualitativas
A tabela de frequência de variáveis qualitativas é simples, cada linha corresponde a um possível valor 
da variável. A coluna de frequência será obtida em um processo de contagem. Para tal tabela define-se:
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en
sio
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m
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to
 -
 R
ev
isã
o:
 C
ar
la
 -
 D
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gr
am
aç
ão
: M
ár
ci
o 
- 
02
/0
2/
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Unidade I
•	 Classe: valor que a variável assume ou intervalo de valores da variável.
•	 Frequência simples ou absoluta de uma classe (fi): valores que representam o número real 
de dados da classe (intervalo ou valor). A soma das frequências absolutas é igual ao número 
total de observações f ni =∑( ) .
•	 Frequência relativa (fri): é o valor percentual de uma determinada classe em relação ao número 
total de observações, ou seja, é a razão entre as frequências simples e total. 
fr f f ou fr f
i i i i i
n= ∑ =( ) ( )( )
Sua finalidade é auxiliar na análise das informações e/ou facilitar comparações. 
Assim, temos as observações:
S N N N N N N S S N
N S S N N N N N S N
S S N N N S N N N N
NS S N N N N N S N
Tabela 3 - Comportamento dos alunos de Estatística do professor X com relação ao fumo
Fumante Frequência absoluta Frequência relativa
Sim 12 30%
Não 28 70%
Total 40 100%
Pela tabela, é possível observar que 70% dos alunos não fumam.
Tabelas de frequências – variáveis quantitativas (contínuas/discretas)
Para variáveis quantitativas há dois tipos de tabela de frequências. O primeiro é muito parecido 
com a construção de tabelas de frequência para variáveis qualitativas e se adéqua quando a variável 
aleatória é quantitativa discreta com um pequeno número de valores possíveis. Neste caso, a tabela 
de frequência construída é sem intervalo de classe, pois considera-se que cada valor pode ser tomado 
como intervalo de classe, como, por exemplo, o número de irmãos.
Os resultados na pesquisa para esta variável foram:
1 0 1 2 3 3 4 1 2 3
2 1 0 1 3 4 3 1 0 3
2 1 1 1 2 3 1 4 1 4
2 1 0 1 3 4 3 1 0 3
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sio
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en
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 R
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o:
 C
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gr
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: M
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- 
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/0
2/
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17
ESTATÍSTICA DESCRITIVA
O primeiro passo para a construção de uma tabela é a ordenação dos dados, criando-se um ROL 
(tabela obtida com a ordenação dos dados).
0 0 0 0 0 1 1 1 1 1
1 1 1 1 1 1 1 1 1 2
2 2 2 2 2 3 3 3 3 3
3 3 3 3 3 4 4 4 4 4
Novas definições de colunas, com o intuito de facilitar a análise, tornam-se necessárias:
•	 Frequência Absoluta Acumulada (faci) – a frequência absoluta acumulada de certa classe 
k é a soma de sua frequência absoluta com as frequências absolutas de todas as classes 
anteriores a ela. A última classe da tabela contém como frequência acumulada o número 
total dos dados:
 
fack = + + + =
=
∑f f f fk i
i
k
1 2
1
..
•	 Frequência Relativa Acumulada (fraci) – a frequência relativa acumulada de certa classe 
k é a soma de sua frequência relativa com as frequências relativas de todas as classes 
anteriores a ela. A última classe da tabela contém como frequência acumulada o total em 
porcentagem (100%).
Tabela 4 - Número de irmãos dos alunos de Estatística do professor X.
Classe Nº de irmãos fi faci fri fraci
1 0 5 5 12,5% 12,5%
2 1 14 19 35,0% 47,5%
3 2 6 25 15,0% 62,5%
4 3 10 35 25,0% 87,5%
5 4 5 40 12,5% 100%
 
NOTA: fi - Frequência absoluta da classe i
 faci - Frequência acumulada da classe i
 fri - Frequência relativa da classe i 
 fraci - Frequência relativa acumulada da classe i
A linha 3 da tabela anterior pode ser interpretada da seguinte forma: a terceira classe da tabela é 
constituída pelos alunos com 2 irmãos. Há seis alunos nesta classe que correspondem a 15% do total de 
alunos; 25 alunos possuem, no máximo, 2 irmãos, o que corresponde a 62,5% do total. A tabela ainda 
fornece informações como:
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sio
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o:
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Unidade I
•	 5 alunos não possuem irmãos;
•	 12,5% dos alunos possuem 4 irmãos;
•	 25 alunos possuem, no máximo, 2 irmãos;
•	 37,5% dos alunos possuem, no mínimo, 3 irmãos.
Quando a variável é quantitativa discreta com uma grande variação ou é quantitativa contínua 
é necessário trabalhar com tabela de frequência com intervalos de classe, que é uma tabela um pouco 
mais elaborada em sua construção. Como exemplo, citamos a altura dos alunos, cujos resultados 
obtidos na pesquisa foram:
187 189 156 160 178 165 173 172 187 165
178 165 155 170 168 175 163 172 177 175
167 168 176 170 178 165 163 162 177 185
168 175 165 180 158 165 163 172 167 175
Criando o ROL, obtém-se:
155 156 158 160 162 163 163 163 165 165
165 165 165 165 167 167 168 168 168 170
170 172 172 172 173 175 175 175 175 176
177 177 178 178 178 180 185 187 187 189
O número de linhas que constituirão a tabela (intervalos) e a variação de cada intervalo serão obtidos 
nos cálculos que serão apresentados a seguir.
Passo 1: Determinar a amplitude total (At) do conjunto de dados. 
At = XMÁXIMO - XMÍNIMO
No exemplo, 189 - 155 = 34
Passo 2: Determinar o número de classes (K) desta tabela. 
Seja n o número de dados observados (tamanho da amostra), define-se que:
K = 5 para n ≤	5 e K = n
Caso contrário, no exemplo, como n = 40 então K = 40 = 6,3 ≅	6 
Assim, a tabela possuirá seis classes (linhas).
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ESTATÍSTICA DESCRITIVA
Passo 3: Determinar a amplitude do intervalo (h), que é a diferença entre o limite superior e inferior 
dentro de uma classe. 
h = At/k
No exemplo h = 34/6 = 5,7 ≅ 6
Passo 4: Calculados o número de classes e a amplitude entre elas, é possível determinar as classes, 
com seus respectivos intervalos:
Classes: 155├─ 161
 161├─ 167
 167├─ 173
 173├─ 179
 179├─ 185
 185├─ 191
Com o agrupamento dos valores das variáveis em classes, é possível simplificar a tabela de frequência 
sem perder informações.
Atenção ao significado dos símbolos que representam os intervalos:
├─ fechado à esquerda (inclui o limite inferior) e aberto à direita (não inclui o limite superior).
─┤ aberto à esquerda (não inclui o limite inferior) e fechado à direita (inclui o limite superior).
─ aberto à esquerda e à direita (não inclui os limites).
├─┤ fechado à esquerda e à direita (inclui os limites).
Antes da construção da tabela de frequência para variáveis quantitativas, é necessário definir alguns 
elementos que fazem parte da mesma:
1. Limites de classe: são os extremos da classe.
Limite Inferior (l
i) e Limite Superior (Li).
Exemplo: 
161├─167 
li = 161 e Li =167
2. Ponto médio de uma classe (PMi): divide uma classe exatamente na metade. É o valor numérico 
que representa esta classe, quando houver necessidade. 
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Unidade I
PMi = (Li + li ) / 2
Exemplo: 
161├─167 
li= 161 e Li=167 ⇒ PMi = (167+161) / 2 = 164
3. Os outros elementos, amplitude total (At) e amplitude de uma classe (h), já foram discutidos.
Tabela 5 - Altura dos alunos de Estatística do professor X.
i Classe PMi fi faci fri % fraci %
1 155├─ 161 158 4 4 10,0 10,0
2 161├─ 167 164 10 14 25,0 35,0
3 167├─ 173 170 10 24 25,0 60,0
4 173├─ 179 176 11 35,0 27,5 87,5
5 179├─185 182 1 36 2,5 90
6 185├─ 191 188 4 40 10,0 100
 
O símbolo do percentual (%) foi colocado no cabeçalho da tabela em vez de no corpo da mesma. A 
linha 4 da tabela anterior pode ser interpretada da seguinte forma: a quarta classe da tabela é constituída 
pelos alunos entre 173 (inclusive) e 179; há 11 alunos nesta classe que correspondem a 27,5% do total 
de alunos; 35 alunos possuem até 179, o que corresponde a 87% do total; 176 é o valor numérico que 
representa esta classe. A tabela fornece informações tais como:
Há 4 alunos entre 155 cm (inclusive) e 161 cm;
10% dos alunos possuem altura inferior a 161 cm;
12,5 % (=2,5% +10,0%) dos alunos possuem altura superior a 179 cm (inclusive);
35 alunos possuem altura inferior a 179 cm;
60% dos alunos possuem altura inferior a 173 cm.
 Lembrete
As frequências são as respectivas quantidades associadas a cada 
valor da variável, e as frequências relativas são as mesmas quantidades 
consideradas percentualmente. 
Exemplo de aplicação
Uma pesquisa sobre a renda familiar de 60 famílias foi realizada. Os dados obtidos estão “parcialmente” 
apresentados na tabela a seguir. Os valores das rendas familiares nas classes estão descritos em centenasde unidades monetárias.
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ESTATÍSTICA DESCRITIVA
Tabela 6 
i Classes PMi fi faci fri fraci
1 0├─4 9
2 4├─8 19
3 8├─12 4
4 14 25%
5 16├─20 7
6 20%
7 3
∑=60 ∑=
Complete a tabela e indique:
A) A amplitude total.
B) O limite superior da quinta classe.
C) O ponto médio da quarta classe.
D) A frequência absoluta da terceira classe.
E) A frequência relativa da segunda classe.
F) A frequência absoluta acumulada da quarta classe.
G) A frequência relativa acumulada da sexta classe.
H) O número de famílias cuja renda não atinge $1200,00.
I) O percentual de famílias cuja renda não atinge $800,00.
J) Número de famílias com renda salarial inferior a $400,00.
K) Percentual de famílias com renda entre $800,00 (inclusive) e $2400,00.
L) Número de famílias com renda salarial inferior a $1600,00.
M) Número de famílias com renda salarial superior a $2400,00 (inclusive).
N) Percentual de famílias com renda inferior a $1200,00.
O) Percentual de famílias com renda superior a $2000,00 (inclusive).
P) Até que classe estão incluídas 60% das famílias?
Resolução:
Tabela 7 
i classes PMi fi faci fri fraci
1 0├─ 4 2 9 9 15% 15%
2 4├─ 8 6 10 19 16,7% 31,7%
3 8├─ 12 10 4 23 6,7% 38,4%
4 12├─ 16 14 15 38 25% 63,4
5 16├─ 20 18 7 45 11,7% 75,1%
6 20├─ 24 22 12 57 20% 95,1%
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Unidade I
7 24├─ 28 26 3 60 5% 100,1%**
∑=60 ∑=100,1%**
 **É aceitável entre 99% e 101% devido a erros de arredondamento.
O preenchimento desta tabela é efetuado com as definições de frequência absoluta simples e 
acumulada, bem como da frequência relativa e da relativa acumulada. 
Até a terceira classe, o preenchimento de fi é feito por meio da definição da frequência acumulada. 
Por exemplo, se a frequência acumulada da 2ª classe é 19 e a da primeira é 9, a frequência absoluta da 
2ª classe é 10 (19-9). 
Já na quarta classe, fi pode ser obtido pela frequência relativa. Se a frequência relativa nesta classe 
for 25 % e o total de elementos for 60, fi será 25% de 60.
A) A amplitude total ⇒ 2800-0 = 2800
B) O limite superior da quinta classe ⇒ $ 2000
C) O ponto médio da quarta classe ⇒ $ 1400
D) A frequência absoluta da terceira classe ⇒ 4
E) A frequência relativa da segunda classe ⇒ 16,7%
F) A frequência absoluta acumulada da quarta classe ⇒ 38
G) A frequência relativa acumulada da sexta classe ⇒ 95,1%
H) O número de famílias cuja renda não atinge $ 1200,00 ⇒ 23 famílias
I) O percentual de famílias cuja renda não atinge $ 800,00 ⇒ 31,7%
J) Número de famílias com renda salarial inferior a $ 400,00 ⇒ 19
K) Percentual de famílias com renda entre $ 800,00 (inclusive) e $ 2400,00 ⇒ 63,4% 
L) Número de famílias com renda salarial inferior a $ 1600,00 ⇒ 38
M) Número de famílias com renda salarial superior a $ 2400,00 (inclusive) ⇒ 3
N) Percentual de famílias com renda inferior a $ 1200,00 ⇒ 38,4%
O) Percentual de famílias com renda superior a $ 2000,00 (inclusive) ⇒ 25%
P) Até que classe estão incluídas 60% das famílias? ⇒ quarta classe
2 GRÁFICOS
Têm como objetivo facilitar a compreensão de dados numéricos por meio de apresentação visual e 
também apresentar resultados ou conclusões de uma análise.
Podem ser classificados, segundo seu objetivo, em:
•	 Gráficos de informação: tipicamente expositivos, devem ser o mais completo possível. São 
destinados ao público em geral e têm a finalidade de proporcionar uma compreensão clara e 
rápida do objeto em estudo.
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ESTATÍSTICA DESCRITIVA
•	 Gráficos de análise: são os usados pela estatística. Em uma análise, estes gráficos frequentemente 
vêm acompanhados de uma tabela, além de um texto que procura chamar a atenção do leitor 
para os principais pontos apresentados tanto pelo gráfico quanto pela tabela.
A elaboração de um gráfico necessita de alguns cuidados. São eles:
1. Todo gráfico deve ter título, escala e fonte, para que possa ser interpretado.
2. Cada eixo do gráfico tem que ser identificado claramente, como mostra o exemplo:
4
3
2
1
0 1 2 3 4
Porcentagem
Idade
Figura 1 
3. O sistema de eixos cartesianos e as linhas auxiliares devem ter traçados mais leves do que a parte 
do gráfico que se pretende evidenciar:
4
3
2
1
0 1 2 3 4
Figura 2 
4. Todo gráfico deve ser:
•	 Simples: constituído somente das informações importantes, desconsiderando detalhes de 
importância secundária, assim como traços desnecessários que possam levar a erros.
•	 Verdadeiro: expressar a verdade sobre o fenômeno em estudo.
•	 Claro: permitir a interpretação correta dos dados em estudo.
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Unidade I
5. A utilização indevida dos gráficos pode trazer uma ideia falsa dos dados que estão sendo analisados, 
chegando mesmo a confundir e pessoa.
J A J O
Vendas do artigo Y
M
ilh
õe
s d
e 
Re
ai
s
1996
Figura 3 
J F M A M J J A S O N D
Vendas do artigo Y
M
ilh
õe
s d
e 
Re
ai
s
1996
4
3
2
1
0
Figura 4 
 J F M A M J J A S O N D
Vendas do artigo Y
M
ilh
õe
s d
e 
Re
ai
s
1996
5
4,5
4
3,5
3
2,5
2
1,5
1
0,5
0
Figura 5 
25
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ESTATÍSTICA DESCRITIVA
Os três gráficos anteriores, avaliados rapidamente e sem a devida atenção para as escalas, parecem 
três gráficos diferentes: o primeiro mostra um rápido crescimento das vendas do artigo Y e o segundo 
um crescimento mais moderado. Entretanto, os dois gráficos foram construídos com a mesma base de 
dados, mas com escalas erradas e desproporcionais. O gráfico correto seria o terceiro, no qual as escalas 
estão proporcionais.
2.1 Principais tipos de gráficos
2.1.1 Gráfico de barras (horizontais)
Compara grandezas por meio de retângulos de igual largura e alturas proporcionais às respectivas 
grandezas. Exemplo:
Chocolate com 
castanha
Chocolate 
ao leite
Chocolate 
amargo
Chocolate 
com passas
Chocolate 
branco
Chocolate 
meio amargo
450
350
250
200
200
150
Vendas de chocolates em 1995 por 1000 unidades
Figura 6 
Neste tipo de gráfico:
•	 As barras só diferem em comprimento e são separadas umas das outras por um espaço inferior à 
sua largura.
•	 A largura, uma vez especificada, será a mesma para todas as barras.
•	 A ordem de grandeza é normalmente decrescente (barra superior tem o maior valor) e deve ser 
respeitada para facilitar a leitura e a análise comparativa dos dados.
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Unidade I
2.1.2 Gráfico de barras (horizontais) agrupadas
Visa à comparação de dois ou mais itens obtidos de duas diferentes fontes. Exemplo:
Chocolate com 
castanha
Chocolate 
ao leite
Chocolate 
amargoChocolate 
com passas
Chocolate 
branco
Chocolate 
meio amargo
Vendas de chocolates das marcas A e B em 1995
0 100 200 300 400 500 
Por 1000 unidades
Marca A
Marca B
Figura 7 
2.1.3 Gráfico de colunas e colunas agrupadas
Tem o mesmo objetivo que o gráfico de barras, sendo preferível quando as legendas referentes aos 
retângulos são curtas. Exemplo:
Vendas da roupa de marca Y por 1000 unidades
1991 1992 1993 1994 1995 1996
Q
ua
nt
id
ad
e 
em
 m
ilh
ar
es
 d
e 
ite
ns 250
200
150
100
50
0
Figura 8 
O gráfico de colunas agrupadas permite uma melhor comparação entre as grandezas das diferentes 
variáveis. Exemplo:
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ESTATÍSTICA DESCRITIVA
Vendas das roupas X e Y por 1000 unidades
1991 1992 1993 1994 1995 1996
Qu
an
tid
ad
e 
em
 m
ilh
ar
es
 d
e 
ite
ns 250
200
150
100
50
0
Roupa Y Roupa x
Figura 9 
2.1.4 Gráfico de linhas ou gráficos lineares ou de curvas 
É utilizado para a representação de valores em função do tempo. É mais eficiente do que as colunas, 
quando existem intensas variações nas informações ou quando é necessária a apresentação de várias 
séries (diferentes grupos de dados) no mesmo gráfico. Exemplo:
 J F M A M J J A S O N D
Vendas do artigo Y
M
ilh
õe
s d
e 
Re
ai
s
1996
4,5
4
3,5
3
2,5
2
1,5
1
0,5
0
Figura 10 
28
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o 
- 
02
/0
2/
20
17
Unidade I
2.1.5 Gráfico de setores (ou de pizza)
É usado para representar valores absolutos ou percentuais em função de um todo. Exemplos:
Ótima
Boa
Indiferente
Ruim
Péssima
Opinião sobre a embalagem do novo produto
Figura 11 
ou ainda
Opinião sobre a embalagem do novo produto
Péssima 
3%
Ruim 
16%
Indiferente 
16%
Boa
41%
Ótima
24%
Figura 12 
 Observação
É importante ressaltar que um gráfico de setores não deve possuir 
muitas categorias (há autores que sugerem no máximo sete), pois isso 
dificulta a visualização das proporções e, consequentemente, as análises.
29
Re
di
m
en
sio
na
m
en
to
 -
 R
ev
isã
o:
 C
ar
la
 -
 D
ia
gr
am
aç
ão
: M
ár
ci
o 
- 
02
/0
2/
20
17
ESTATÍSTICA DESCRITIVA
2.1.6 Cartogramas
Representação dos dados sobre uma carta geográfica (mapa). Usados quando o objetivo é representar 
os dados diretamente relacionados com áreas geográficas ou políticas. Exemplos:
Figura 13 
 
30
Re
di
m
en
sio
na
m
en
to
 -
 R
ev
isã
o:
 C
ar
la
 -
 D
ia
gr
am
aç
ão
: M
ár
ci
o 
- 
02
/0
2/
20
17
Unidade I
Figura 14 
2.1.7 Pictograma ou gráficos pictóricos
São gráficos cuja representação é realizada por figuras. Pela sua forma atraente e sugestiva, são os 
que melhor falam ao público. Exemplos:
10 15 20 25 30
1980
1990
2000
2010
Figura 15 – Crescimento da fabricação de carros na empresa XYZ nas últimas quatro décadas:
31
Re
di
m
en
sio
na
m
en
to
 -
 R
ev
isã
o:
 C
ar
la
 -
 D
ia
gr
am
aç
ão
: M
ár
ci
o 
- 
02
/0
2/
20
17
ESTATÍSTICA DESCRITIVA
 5 15 20 25
2007
2008
2009
10 30 35
Figura 16 – Aumento da população presidiária no país A em três anos
 Saiba mais
Leituras complementares interessantes sobre a elaboração e 
utilização de gráficos e tabelas são os livros Estatística usando Excel, 
de Juan Carlos Lapponi, e Métodos Quantitativos com Excel, de Valéria 
Zuma Medeiros et al.
2.2 A representação gráfica de uma tabela de frequência
Normalmente, as variáveis qualitativas são representadas por meio do gráfico de setores e as 
quantitativas, por um histograma ou um polígono de frequência.
2.2.1 Variáveis qualitativas
A figura a seguir mostra os resultados obtidos pelo professor de Estatística:
Sim
Não
Comportamento dos alunos de Estatística do 
professor X com relação ao fumo
Figura 17 
32
Re
di
m
en
sio
na
m
en
to
 -
 R
ev
isã
o:
 C
ar
la
 -
 D
ia
gr
am
aç
ão
: M
ár
ci
o 
- 
02
/0
2/
20
17
Unidade I
2.2.2 Variáveis quantitativas
Para as variáveis quantitativas, a distribuição de frequência pode ser graficamente representada por 
meio de histograma, polígono de frequência e polígono de frequência acumulada (ou Ogiva de Galton). 
Em todos os tipos de gráficos, as abscissas (eixo horizontal) serão os valores da variável e as ordenadas 
(eixo vertical) serão a frequências.
Variáveis quantitativas: histograma
Conjunto de retângulos superpostos, cuja base fica no eixo horizontal, de tal forma que seus pontos 
médios coincidem com os pontos médios da classe. A largura desses retângulos equivale à amplitude da 
classe e sua altura é proporcional às frequências das classes. Exemplo:
16
14
12
10
8
6
4
2
0
Fr
eq
uê
nc
ia
0 1 2 3 4 5
Número de irmãos
Número de irmãos dos alunos de Estatística do professor X
Figura 18 
Observa-se que uma distribuição de frequência sem intervalos de classe é representada 
graficamente por um diagrama no qual o valor de cada variável é representado por um segmento 
de reta vertical e de comprimento proporcional à respectiva frequência.
12
10
8
6
4
2
0
Fr
eq
uê
nc
ia
Altura dos alunos de Estatística do professor X
 158 164 170 176 182 188
Ponto médio das classes
Figura 19 
33
Re
di
m
en
sio
na
m
en
to
 -
 R
ev
isã
o:
 C
ar
la
 -
 D
ia
gr
am
aç
ão
: M
ár
ci
o 
- 
02
/0
2/
20
17
ESTATÍSTICA DESCRITIVA
Variáveis quantitativas: polígono de frequência
Gráfico de linhas no qual as abscissas correspondem ao valor do ponto médio da classe, no caso da 
tabela com intervalo de classe. As ordenadas são proporcionais à frequência. Exemplos:
16
14
12
10
8
6
4
2
0
Fr
eq
uê
nc
ia
 0 1 2 3 4 
Número de irmãos
Número de irmãos dos alunos de Estatística do professor X
Figura 20 
12
10
8
6
4
2
0
Fr
eq
uê
nc
ia
Altura dos alunos de Estatística do professor X
 158 164 170 176 182 188
Ponto médio das classes
Figura 21 
Variáveis quantitativas: polígono de frequência acumulada
Gráfico de linhas construído a partir dos valores da frequência absoluta acumulada. Exemplos:
50
40
30
20
10
0
Fr
eq
uê
nc
ia
Número de irmãos dos alunos de Estatística do professor X
 0 1 2 3 4 
Número de irmãos
Figura 22 
34
Re
di
m
en
sio
na
m
en
to
 -
 R
ev
isã
o:
 C
ar
la
 -
 D
ia
gr
am
aç
ão
: M
ár
ci
o 
- 
02
/0
2/
20
17
Unidade I
45
40
35
30
25
20
15
10
5
0
Fr
eq
uê
nc
ia
 158 164170 176 182 188
Ponto médio das classes
Altura dos alunos de Estatística do professor X
Figura 23 
3 MEDIDAS DE POSIÇÃO E MEDIDAS DE DISPERSÃO
3.1 Medidas de posição
A descrição geral dos valores que uma variável pode assumir dentro de um estudo é fornecida 
pela tabela de frequência. Entretanto, é necessária também uma análise numérica das tendências 
características desta distribuição, que é obtida com o cálculo dos elementos típicos da mesma (medidas 
de posição).
As medidas de posição são subdivididas em duas categorias:
•	 Medidas de tendência central: determinam um valor em torno do qual tende a se 
concentrar a maioria dos dados, ou seja, determina o valor que pode representar todos 
os elementos do grupo. São consideradas como medidas de tendência central: a média, a 
mediana e a moda.
•	 Separatrizes: dividem o grupo de dados em subgrupos de tamanhos iguais. São separatrizes: a 
mediana e os quartis. Estas medidas não serão tratadas aqui.
3.1.1 Medidas de tendência central
Antes da apresentação dos cálculos propriamente ditos, serão apresentadas as definições destas 
três medidas: 
Média: é a soma de todos os valores da variável dividida pela sua frequência total (número total 
de valores):
35
Re
di
m
en
sio
na
m
en
to
 -
 R
ev
isã
o:
 C
ar
la
 -
 D
ia
gr
am
aç
ão
: M
ár
ci
o 
- 
02
/0
2/
20
17
ESTATÍSTICA DESCRITIVA
ú
µx x= =
soma de todos os valores da variavel
numero total de vaalores
=
∑ x
n
iá
As fórmulas associadas com a população são sempre representadas por letras gregas e as das 
amostras pelo alfabeto normal. Portanto, µx é a representação da média para a população e x é a 
representação da média para amostra. 
Apesar dos diferentes símbolos, o cálculo para média é o mesmo tanto para população como 
para amostra.
Quando o valor obtido pelo cálculo da média não existe na série que ela representa, diz-se que a 
média não possui existência concreta.
É o valor utilizado quando há necessidade de uma medida de posição que possui maior estabilidade. 
E pode substituir todos os valores da variável, ou seja, é o valor assumido pela variável caso fosse 
necessário como constante.
Moda: é o valor que ocorre com maior frequência em uma série de valores. É utilizada quando se 
deseja o valor mais típico da distribuição como medida de posição.
Mediana: valor que ocupa a posição central dos dados ordenados, ou seja, divide a série de 
valores ordenados exatamente na metade. É utilizada quando se deseja obter o ponto que divide 
a distribuição em partes iguais ou quando há valores extremos que afetam de uma maneira 
acentuada a média.
 Observação
As tabelas de frequência das variáveis obtidas pelo professor de 
Estatística serão utilizadas na definição das fórmulas para obtenção dos 
valores das medidas de tendência central.
3.1.1.1 Variáveis qualitativas
Tabela 8 - Comportamento dos alunos de Estatística 
do professor X com relação ao fumo
Fumante Frequência absoluta Frequência relativa
Sim 12 30%
Não 28 70%
Total 40 100%
36
Re
di
m
en
sio
na
m
en
to
 -
 R
ev
isã
o:
 C
ar
la
 -
 D
ia
gr
am
aç
ão
: M
ár
ci
o 
- 
02
/0
2/
20
17
Unidade I
Média: não há valores que possam ser somados. Portanto, não existe média para valores qualitativos.
Moda: Mo = Não.
Mediana: não há valores que possam ser ordenados. Portanto, não existe mediana para valores 
qualitativos.
3.1.1.2 Variáveis quantitativas – dados não agrupados 
A) 3,4,4,4,5,6,6,7,8,9 n=10 (quantidade de elementos) 
Média: x =
+ + + +
= =
3 4 4 9
10
56
10
5 6
...
,
Moda: Mo=4
Mediana: o cálculo da mediana para dados não agrupados é um pouco mais elaborado e definido 
como a seguir.
Dada uma série ordenada com n elementos, a mediana será:
Se n ímpar: o valor do termo que estiver na posição 
n +1
2
Se n par: a média aritmética dos valores dos termos que ocuparem as posições 
n
e
n
2 2
1+
No exemplo acima, n=10 (par)
Assim 
n
2
10
2
= = 5ª posição e n
2
+ 1 = 5 + 1 = 6ª posição. 
Portanto, a mediana será a média aritmética dos valores que estão na quinta e na sexta posição.
POSIÇÃO: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
VALOR: 3 4 4 4 5 6 6 7 8 9
Mediana: Md = 5 6
2
5 5
+
= ,
B) 2,3,4,4,5,6,6,7,8 n=9
Média: x =
+ + + +
= =
2 3 4 8
10
45
9
5
...
Moda: Mo = 4,6
37
Re
di
m
en
sio
na
m
en
to
 -
 R
ev
isã
o:
 C
ar
la
 -
 D
ia
gr
am
aç
ão
: M
ár
ci
o 
- 
02
/0
2/
20
17
ESTATÍSTICA DESCRITIVA
Mediana: 
No exemplo acima n=9 (ímpar) 
Assim 
n +( )
=
+( )
= =
1
2
9 1
2
10
2
5
Portanto, a mediana será o valor que está na quinta posição dos dados ordenados.
POSIÇÃO: 1 2 3 4 5 6 7 8 9
VALOR: 2 3 4 4 5 6 6 7 8
Mediana: Md = 5
C) 3,4,5,6,7,8,9 n = 7
Média: x =
+ + + +
= =
3 4 5 9
10
42
7
6
...
Moda: Mo = não existe
Mediana: 
No exemplo acima, n = 7 (ímpar) 
Assim n +( ) = +( ) = =1
2
7 1
2
8
2
4
Portanto, a mediana será o valor que está na quinta posição dos dados ordenados.
POSIÇÃO: 1 2 3 4 5 6 7
VALOR: 3 4 5 6 7 8 9
Mediana: Md = 6
3.1.1.3 Variáveis quantitativas – dados agrupados sem intervalos de classe 
Tabela 9 - Número de irmãos dos alunos de Estatística do Professor X
Classe Nº de irmãos fi faci xi* fi
1 0 5 5 0
2 1 14 19 14
3 2 6 25 12
4 3 10 35 30
5 4 5 40 20
total 40 76
38
Re
di
m
en
sio
na
m
en
to
 -
 R
ev
isã
o:
 C
ar
la
 -
 D
ia
gr
am
aç
ão
: M
ár
ci
o 
- 
02
/0
2/
20
17
Unidade I
Média
Considerando que a frequência indica a quantidade de cada valor da variável, a média ponderada para 
os dados agrupados em tabelas sem intervalos de classe pode ser calculada usando a seguinte fórmula:
x
x f
f
x f
n
i i
i
i i
= =
∑
∑
∑
Uma coluna a mais é inserida na tabela com o intuito de facilitar os cálculos, assim, a média fica: 
x=
76
40
=1,9
Sendo x uma variável discreta (número de irmãos) do valor obtido para média, conclui-se que o 
número de irmãos mais frequente (ou em média, ou em sua maioria) é de aproximadamente 2.
Observação: se o resultado obtido fosse x = 3.2, diríamos: o número de irmãos mais frequente (ou 
em média, ou em sua maioria) é de aproximadamente 3, porém, existe uma leve tendência para 4 irmãos.
Moda: os dados já estão agrupados, é só considerar o valor com maior frequência. No exemplo, Mo = 1
Mediana: pela definição, a mediana divide o conjunto de dados exatamente na metade, sendo 
assim o seu cálculo associado com a frequência acumulada: numa tabela de frequência de dados sem 
intervalos de classe, a mediana é o valor da variável que possui frequência acumulada imediatamente 
superior à metade da soma das frequências.
No exemplo n = 40 e n/2 = 20, a 3ª classe é que possui o valor da frequência acumulada 
imediatamente superior a 20 (n/2). Portanto, a mediana é Md = 2.
3.1.1.4 Variáveis quantitativas – dados agrupados com intervalos de classe
Tabela 10 - Altura dos alunos de Estatística do professor X
i classe PMi fi faci xi* fi
1 155├─161 158 4 4 632
2 161├─167 164 10 14 1640
3 167├─173 170 10 24 1700
4 173├─179 176 11 35,0 1936
5 179├─185 182 1 36 182
6 185├─191 188 4 40 752
TOTAL 40 6842
39
Re
di
m
en
sio
na
m
en
to
 -
 R
ev
isã
o:
 C
ar
la
 -
 D
ia
gr
am
aç
ão
: M
ár
ci
o 
- 
02
/0
2/
20
17
ESTATÍSTICA DESCRITIVA
Média 
O raciocínio para o cálculo da média na tabela de frequência com intervalo de classe é o mesmo que 
o da tabela de frequência sem intervalode classe. O ponto médio (PMi) irá representar o valor da variável 
para o intervalo de classe, assim a expressão para o cálculo da média é:
x
x f
f
PM f
f
i i
i
i i
i
= =
∑
∑
∑
∑
* *
Uma coluna a mais é inserida na tabela com o intuito de facilitar os cálculos, assim, a média fica:
 x = =
6842
40
171 05,
Portanto, do valor obtido para a média conclui-se que a altura mais frequente (ou em média, ou em 
sua maioria) dos alunos é de aproximadamente de 171 cm, com uma pequena tendência para 172 cm.
Moda: como será calculada para uma tabela de frequência com intervalo, define-se classe modal 
como sendo aquela que apresenta a maior frequência e moda bruta como o ponto médio da classe 
modal.
Portanto, para o exemplo acima: Classe Modal 173├─ 179 e Moda Bruta 176 cm.
Deve-se deixar claro que há para o cálculo da moda outros métodos mais elaborados, que não serão 
discutidos aqui.
Mediana: a mediana divide o conjunto de dados exatamente na metade e a dificuldade para o 
cálculo dessa medida em uma tabela de frequência com intervalos de classe consiste em determinar o 
ponto do intervalo em que ela está compreendida. Assim, define-se classe mediana como sendo aquela 
correspondente à frequência acumulada imediatamente superior à metade da soma das frequências e é 
nela que se encontra a mediana.
Portanto, para o exemplo acima: 40/2 = 20 ⇒ i = 3 e a Classe Mediana 167├─173. Há 24 valores 
incluídos nas três primeiras classes. Deseja-se determinar o valor que ocupa a 20ª posição, por meio de 
um cálculo de interpolação:
Md LI
f
fac anterior h
f
i
= +
−






∑
2
( ) *
, onde:
LI = limite inferior da classe
40
Re
di
m
en
sio
na
m
en
to
 -
 R
ev
isã
o:
 C
ar
la
 -
 D
ia
gr
am
aç
ão
: M
ár
ci
o 
- 
02
/0
2/
20
17
Unidade I
fac (anterior) = a frequência acumulada anterior à classe mediana
f = a frequência absoluta da classe mediana
h = amplitude da classe mediana
No exemplo, temos que 
fi∑
= =
2
40
2
20 . Logo, a classe mediana é de ordem 3.
Então LI = 167; fac (anterior) = 14; f = 10 e h = 6. 
Portanto,
Md = +
−( )
= + = + =167
20 14 6
10
167
36
10
167 3 6 170 6
*
, ,
Observações
•	 O cálculo da moda nas tabelas de frequência de variáveis qualitativas está associado com 
a coluna da frequência absoluta; já o cálculo da mediana, com a coluna da frequência 
acumulada absoluta.
•	 A expressão matemática da média aritmética sofre a influência de todos os dados. A média 
é o valor típico do conjunto de dados, podendo substituir todos os valores desse conjunto 
sem alterar o total. Por ser altamente influenciada pelos valores discrepantes (extremos), 
em certas situações, é preferível trabalhar com a mediana, que não sofre a influência desses 
valores. Por exemplo, numa pesquisa salarial, a mediana tende a “refletir melhor” a realidade 
social, principalmente quando as distâncias entre os que ganham pouco e os que ganham 
muito são enormes.
•	 A média, mediana e a moda são medidas de tendência central (posição), porque dão o valor do 
ponto em torno do qual os dados se distribuem.
 Lembrete
Cuidado com a média aritmética, ela requer interpretação. Por exemplo, 
se a pessoa A tira nota 10 (dez) em uma prova e a pessoa B tira 0 (zero), 
cada uma delas, em média, terá nota 5,0?
Exemplos de aplicação
1. (enem 2009). Brasil e França têm relações comerciais há mais de 200 anos. Enquanto a França 
é a 5.ª nação mais rica do planeta, o Brasil é a 10.ª, e ambas se destacam na economia mundial. No 
entanto, devido a uma série de restrições, o comércio entre esses dois países ainda não é adequadamente 
explorado, como mostra a tabela seguinte, referente ao período 2003-2007.
41
Re
di
m
en
sio
na
m
en
to
 -
 R
ev
isã
o:
 C
ar
la
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ár
ci
o 
- 
02
/0
2/
20
17
ESTATÍSTICA DESCRITIVA
Tabela 11
Investimentos bilaterais (em milhões de dólares)
Ano Brasil na França França no Brasil
2003 367 825
2004 357 485
2005 354 1.458
2006 539 744
2007 280 1.214
Disponível em www.cartacapital.com.br. Acesso em 7 jul. 2009.
Os dados da tabela mostram que, no período considerado, os valores médios dos investimentos da 
França no Brasil foram maiores que os investimentos do Brasil na França em um valor:
A) inferior a 300 milhões de dólares.
B) superior a 300 milhões de dólares, mas inferior a 400 milhões de dólares.
C) superior a 400 milhões de dólares, mas inferior a 500 milhões de dólares.
D) superior a 500 milhões de dólares, mas inferior a 600 milhões de dólares.
E) superior a 600 milhões de dólares.
2. (enem 2009). Na tabela, são apresentados dados da cotação mensal do ovo extra branco vendido 
no atacado, em Brasília, em reais, por caixa de 30 dúzias de ovos, em alguns meses dos anos 2007 e 2008. 
Tabela 12 
Mês Cotação Ano
Outubro R$ 83,00 2007
Novembro R$ 73,10 2007
Dezembro R$ 81,60 2007
Janeiro R$ 82,00 2008
Fevereiro R$ 85,30 2008
Março R$ 84,00 2008
Abril R$ 84,60 2008
De acordo com esses dados, o valor da mediana das cotações mensais do ovo extra branco nesse 
período era igual a:
A) R$ 73,10.
B) R$ 81,50.
C) R$ 82,00.
42
Re
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en
sio
na
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en
to
 -
 R
ev
isã
o:
 C
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la
 -
 D
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gr
am
aç
ão
: M
ár
ci
o 
- 
02
/0
2/
20
17
Unidade I
D) R$ 83,00.
E) R$ 85,30.
3. A revista de negócios de maior circulação informou que os salários anuais de seus leitores têm 
média de $80.000,00 u.m., mediana de $60.000,00 u.m. e uma moda de $70.000,00. Das afirmações 
abaixo, determine quais são verdadeiras (V) e quais são falsas (F): 
( ) O salário mais frequente é de $80.000,00
( ) 50% dos leitores possuem salário superior a $80.000,00
( ) O salário mais frequente é de $60.000,00
( ) 50% dos leitores possuem salário superior a $60.000,00
( ) O salário mais frequente é de $70.000,00
( ) 50% dos leitores possuem salário inferior a $70.000,00
4. As concentrações de óxido de nitrogênio e hidrocarbono (em µg/m3) foram determinadas em 
uma área urbana, em locais e horários específicos. Os dados são mostrados a seguir:
Tabela 13 
Dia Óxido de nitrogênio Hidrocarbono
1 61 66
2 84 83
3 81 83
4 72 76
5 61 68
6 97 96
7 84 81
Determine a média, a mediana e a moda para o Hidrocarbono.
5. A distribuição dos salários de uma empresa é dada na tabela a seguir:
Tabela 14 
salário (em r$) número de funcionários
500,00 20
1.000,00 10
1.500,00 10
2.000,00 20
43
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17
ESTATÍSTICA DESCRITIVA
2.500,00 15
3.000,00 6
50.000,00 5
10.000,00 3
15.000,00 1
Determine a média, a mediana e a moda para os salários.
6. Por engano, um professor omitiu uma nota no conjunto de notas de 8 alunos. Se as sete 
notas restantes são 5,1; 3,4; 8,2; 8,5; 7,0; 5,5; 9,1 e a média das 8 notas é 7,0, qual o valor da 
nota omitida? 
7. Em certo ano, uma empresa pagou a cada um dos seus 30 estagiários um salário médio mensal de 
R$ 1.200,00, a cada um dos seus 56 assistentes juniores R$ 2.300,00, a cada um dos seus 40 assistentes 
seniores R$ 3.100,00 e R$ 4.300,00 a cada um dos seus gerentes. Qual o salário médio mensal destes 
150 funcionários? 
8. Uma amostra de 8 estudantes, do sexo masculino, foi extraída ao acaso entre os alunos do 
primeiro ano de um colégio. A tabela a seguir mostra os valores obtidos para os pesos arredondados em 
kg. Determine as medidas de tendência central para esta variável.
Peso (Kg) 70 72 66 74 62 65 67 65
9. Vários casaisde certa cidade foram entrevistados. Uma das perguntas dessa entrevista 
era sobre o número de anos que estavam casados. O histograma a seguir representa o resultado 
desta questão:
Fr
eq
uê
nc
ia
s
Histograma
0 5 10 15 20 25 30 35 40 Classes
6
10 10
15
9
8
4
2
Figura 24 
44
Re
di
m
en
sio
na
m
en
to
 -
 R
ev
isã
o:
 C
ar
la
 -
 D
ia
gr
am
aç
ão
: M
ár
ci
o 
- 
02
/0
2/
20
17
Unidade I
Pede-se:
A) Determine o número de casais da pesquisa.
B) Construa a tabela de frequência.
C) Indique:
C 1) Número de casais com até 15 anos de casamento.
C 2) Percentual de casais com mais de 30 anos (inclusive) de casamento.
C 3) Número de casais entre 10 (inclusive) e 25 anos de casamento.
C 4) Percentual de casais com até 5 anos de casamento.
C 5) Número de casais com mais de 20 anos (inclusive) de casamento.
C 6) Número de casais com 15 anos de casamento.
D) Calcule as medidas de posição.
10. Para a distribuição de frequência abaixo, calcule a média, a mediana e a moda:
Tabela 15 
xi fi
0 16
1 11
2 18
3 7
4 2
Respostas
1. d
2. d
3. f, f, f, v, v, f
4. 
Tabela 16 
Hidrocarbono Dados ordenados
66 66
83 68
83 76
76 81
68 83
96 83
81 96
553
Média: 553/7 = 79
45
Re
di
m
en
sio
na
m
en
to
 -
 R
ev
isã
o:
 C
ar
la
 -
 D
ia
gr
am
aç
ão
: M
ár
ci
o 
- 
02
/0
2/
20
17
ESTATÍSTICA DESCRITIVA
Moda: não existe
Mediana: n = 7 ⇒ (n+1)/2 = 8/2 = 4. Elemento na 4ª posição dos dados ordenados. Portanto, 
Md = 81.
5.
Tabela 17 
salário (em R$) número de funcionários fac xi*fi
500,00 20 20 10000
1.000,00 10 30 10000
1.500,00 10 40 15000
2.000,00 20 60 40000
2.500,00 15 75 37500
3.000,00 6 81 18000
50.000,00 5 86 250000
10.000,00 3 89 30000
15.000,00 1 90 15000
total 90 425500
A) Média: 425500
90
 ⇒ R$ 4.727,8
B) Mediana: 
f
2
=
90
2
=45i∑ ⇒ a frequência acumulada imediatamente superior a 45 é 60.
Portanto, o valor da mediana é R$ 2.000,00.
C) Moda: a maior frequência é 20 e existem dois salários com esta frequência.
Portanto, a moda: R$ 500,00 e R$ 2.000,00.
6.
n 8= = ⇒
= ⇒ =
+ + + + + + +
⇒ = + ⇒
∑
x
x
x
n
x
x xi
7 4
7
5 1 3 4 8 2 8 5 7 5 5 9 1
8
56 46 8
,
, , , , , ,
, == 9 2,
Portanto, a nota faltante é 9,2.
7.
46
Re
di
m
en
sio
na
m
en
to
 -
 R
ev
isã
o:
 C
ar
la
 -
 D
ia
gr
am
aç
ão
: M
ár
ci
o 
- 
02
/0
2/
20
17
Unidade I
Tabela 18 
xi = salário fi xi *fi
1200 30 36000
2300 56 128800
3100 40 124000
4300 ? = 24* 103200
total 150 392000
*150 –(30+56+40)= 24
Média = 392000/150 = 2613,33
8.
Peso (Kg) 70 72 66 74 62 65 67 65
ordenados 62 65 65 66 67 70 72 74
Média: x
x
n
i
= =
+ + +
= =
∑ 62 65 74
8
541
8
67 63
...
,
Moda = 65
Mediana ⇒ n = 8 então é a média entre os elementos que estão na 4ª. e 5ª. posições: 
Md=(66+67)/2 = 66,5
9. 
47
Re
di
m
en
sio
na
m
en
to
 -
 R
ev
isã
o:
 C
ar
la
 -
 D
ia
gr
am
aç
ão
: M
ár
ci
o 
- 
02
/0
2/
20
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ESTATÍSTICA DESCRITIVA
Fr
eq
uê
nc
ia
s
Histograma
0 5 10 15 20 25 30 35 40 Classes
6
10 10
15
9
8
4
2
Figura 25 
Pede-se:
A) Determine o número de casais da pesquisa
No histograma, o eixo da ordenada corresponde à frequência de cada classe, que está representada na parte 
superior dos retângulos que compõem este gráfico. Somando esses valores: 6+10+10+15+9+8+4+2 = 64.
B) Construa a tabela de frequência
Tabela 19 
i classe PMi fi faci fri % fraci %
1 0├─ 5 2,5 6 6 9,4 9,4
2 5├─ 10 7,5 10 16 15,6 25,0
3 10├─ 15 12,5 10 26 15,6 40,6
4 15├─ 20 17,5 15 41 23,4 64,1
5 20├─ 25 22,5 9 50 14,1 78,1
6 25├─ 30 27,5 8 58 12,5 90,6
7 30├─ 35 32,5 4 62 6,3 96,9
8 35├─ 40 37,5 2 64 3,1 100,0
TOTAL 64 100
C) Responda:
C.1) Número de casais com até 15 anos de casamento: 26 casais.
C.2) Percentual de casais com mais de 30 anos (inclusive) de casamento: 9,4% (6,3%+3,1%).
48
Re
di
m
en
sio
na
m
en
to
 -
 R
ev
isã
o:
 C
ar
la
 -
 D
ia
gr
am
aç
ão
: M
ár
ci
o 
- 
02
/0
2/
20
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Unidade I
C.3) Número de casais entre 10 anos (inclusive) e 25 de casamento: 34 casais (10 + 15 + 9) ou (50 - 16).
C.4) Percentual de casais com até 5 anos de casamento: 9,4%.
D) Calcule as medidas de posição
Tabela 20 
i classe PMi fi faci xi *fi
1 0├─ 5 2,5 6 6 15
2 5├─ 10 7,5 10 16 75
3 10├─ 15 12,5 10 26 125
4 15├─ 20 17,5 15 41 262,5
5 20├─ 25 22,5 9 50 202,5
6 25├─ 30 27,5 8 58 220
7 30├─ 35 32,5 4 62 130
8 35├─ 40 37,5 2 64 75
TOTAL 64 1105
Média: x = =
1105
64
17 3,
Moda: Mo = 15 (elemento com maior frequência – coluna de fi)
Mediana: 
fi∑
= =
2
64
2
32 , a classe cuja frequência acumulada é imediatamente superior a 32 é a 
classe mediana = 15├─ 20
Md=LI+
f
2
-fac(anterior) *h
f
=15+
64
2
-26 *5
15
=15
i∑








 ++ 32-26 *5
15
=
15+
6 *5
15
=15+
30
15
=15+2=17
[ ]
[ ]
3.2 Medidas de dispersão
As medidas de tendência central não são suficientes para descrever os dados de forma adequada. 
Considere três séries:
X = 70, 70, 70, 70, 70 ⇒ x =	 350
70
 = 70
49
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m
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sio
na
m
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o:
 C
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la
 -
 D
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am
aç
ão
: M
ár
ci
o 
- 
02
/0
2/
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ESTATÍSTICA DESCRITIVA
Y = 68, 69, 70, 71, 72 ⇒ y =	 350
70
 = 70
Z = 5, 15, 50, 120, 160 ⇒ z =	 350
70
 = 70
Pela média não é possível destacar o grau de homogeneidade ou de heterogeneidade que existe nos valores 
que compõem as séries, ou melhor, não é possível avaliar o quanto os dados estão próximos ou distantes.
Define-se dispersão ou variabilidade como a maior ou menor diversificação dos valores de uma 
variável em torno de um valor de tendência central. No exemplo anterior, a série X possui variabilidade 
nula em torno da média e a série Y possui menor variabilidade, que a série Z.
As principais medidas de dispersão são:
Amplitude: diferença entre o maior e o menor valor observado (AT = XMÁXIMO –XMÍNIMO). Não é considerada 
uma boa medida de variabilidade por considerar somente os valores extremos, desconsiderando os 
valores intermediários.
Variância é definida como a média da soma dos quadrados dos desvios em relação à média 
aritmética, portanto, leva em consideração todos os valores em estudo. É definida de forma 
diferente para população e amostra. A variância da população é representada pelo símbolo σ2 e a 
variância para amostra é S2. São definidas pelas seguintes expressões matemáticas:
População:
σ2 i x
2
i
2
i
2
=
x -m
n
=
x
n
-
x
n
( ) 



∑ ∑ ∑
Amostra:
S
x x
n
x
x
n
n
x
n
x
n n
i i
i
i i2
2 2
2
2 2
1 1 1 1
=
−( )
−
=
−
( )
−
=
−
−
( )
−
∑ ∑ ∑ ∑ ∑
* ( )
A única alteração entre as duas expressões matemáticas é que o denominador na população é n e 
na amostra é n-1. Uma das justificativas para essa diferença é que, como a amostra trabalha com uma 
parte representativa da população, ela está mais sujeita a erros e, diminuindo o denominador (n-1), 
aumenta-se o valor obtido pela variância como uma forma de prever esses erros.
Desvio padrão é a raiz quadrada da variância. Sendo a variância calculada