Revisão_em_ExercíciosRevisão Geometria_Analítica_

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Geometria Analítica 
Revisão em Exercícios 
Como serão avaliações? 
• 14/01 = 1ª Chamada (Prova online) 
• 26/01 = 2ª Chamada (Prova por e-mail) 
 
• Prevalecerá maior nota entre a 1ª e a 2ª 
chamada. 
1ª 
• Questão de vestibular da UFSM-RS 
• O uso de fontes de energias limpas e 
renováveis (...). Em uma estação de energia 
eólica, os cataventos C1, C2 e C3 estão 
dispostos conforme figura a seguir 
 
Responda: 
A. Qual a distância entre os cataventos C1 e 
C2? 
 
B. Qual a equação da reta r que une os pontos 
C1 e C2? 
 
C. Qual a distância de C3 até r? 
Solução: 
• Inicialmente, determinar as coordenadas de 
cada ponto (rever figura no slide 3): 
• C1(100, 10), C2(200, 30) e C3(50, 50) 
 
• Item “A” 
𝒅 𝑨, 𝑩 = 𝒙𝑩 − 𝒙𝑨 ² + 𝒚𝑩 − 𝒚𝑨 ² 
“A” 
Assim, 
𝒅 𝑪𝟏, 𝑪𝟐 = 𝟐𝟎𝟎 − 𝟏𝟎𝟎 ² + 𝟑𝟎 − 𝟏𝟎 ² 
 
𝒅 𝑪𝟏, 𝑪𝟐 = 𝟏𝟎. 𝟎𝟎𝟎 + 𝟒𝟎𝟎 ≈ 𝟏𝟎𝟐 
 
 
“B” 
• Qual a equação da reta r que une os pontos 
C1(100, 10) e C2(200, 30)? 
• De: 
𝒚 =
𝒚𝒂 − 𝒚𝒃
𝒙𝒂 − 𝒙𝒃
𝒙 − 𝒙𝒃 + 𝒚𝒃 
• Segue-se: 
𝒚 =
𝟑𝟎 − 𝟏𝟎
𝟐𝟎𝟎 − 𝟏𝟎𝟎
𝒙 − 𝟏𝟎𝟎 + 𝟏𝟎 
 
 
 
 
Para quem esqueceu... 
Seja P(x, y) um ponto qualquer entre A 
e B (mas...) 
Por semelhança 
𝒚 − 𝒚𝒃
𝒚𝒂 − 𝒚𝒃
=
𝒙 − 𝒙𝒃
𝒙𝒂 − 𝒙𝒃
 
 
Se de ab = cd, podemos ter a = (c/b)d 
Então: 
𝒚 =
𝒚𝒂 − 𝒚𝒃
𝒙𝒂 − 𝒙𝒃
𝒙 − 𝒙𝒃 + 𝒚𝒃 
Assim, 
𝒚 =
𝟑𝟎 − 𝟏𝟎
𝟐𝟎𝟎 − 𝟏𝟎𝟎
𝒙 − 𝟏𝟎𝟎 + 𝟏𝟎 
... 
𝒚 =
𝟐𝟎
𝟏𝟎𝟎
𝒙 − 𝟏𝟎𝟎 + 𝟏𝟎 =
𝟏
𝟓
𝒙 − 𝟏𝟎𝟎 + 𝟏𝟎 
... 
 
Fica: x – 5y + 50 = 0 
 
“C” 
• Qual a distância de C3(50, 50) até a reta r 
dada por x – 5y + 50 = 0? 
 
• Lembrar: 
• Seja r a reta de equação ax + by + c = 0 e o 
ponto P(m, n), então: 
𝒅 𝑷, 𝒓 =
|𝒂𝒎 + 𝒃𝒏 + 𝒄|
𝒂² + 𝒃²
 
 
 
Dado que... 
• Para a r os valores são: a = 1, b = -5 e c = 50 
 
• E o ponto C3 implica m = 50 = n 
• Assim, 
𝒅 𝑷, 𝒓 =
|𝟏 ∙ 𝟓𝟎 + (−𝟓) ∙ 𝟓𝟎 + 𝟓𝟎|
𝟏² + (−𝟓)²
≈ ⋯ 
 
2ª. 
• Questão UNEB – 2013 
• Um mapa rodoviário foi desenhado, na escala 
de 1 : 1000000, sobre um sistema de 
coordenadas cartesianas, graduado em 
centímetros. 
• Nesse mapa, a rodovia principal obedece à 
equação 5x + 12y + 2 = 0 e duas cidades A e B 
são indicadas pelos pontos (1, 6) e (5, 2), 
respectivamente. 
Continuando... 
• Nessas condições, sabendo-se que uma 
cidade C está localizada nesse mapa, 
exatamente sobre o ponto médio do 
segmento que une as cidades A e B, pode-se 
afirmar que a distância da cidade C à rodovia 
principal, em km, é igual a... 
 
Solução: 
• Problema deverá ser resolvido em três 
partes: 
• 1ª. Identificar o ponto C; 
• 2ª. Distância de C até a reta; 
• 3ª. Escala... 
C é ponto médio de 𝐴𝐵 
• Dado A(1, 6) e B(5, 2), então C(3, 4). 
• 5x + 12y + 2 = 0  a = 5, b = 12 e c = 2 
 
𝒅 𝑷, 𝒓 =
|𝟓 ∙ 𝟑 + 𝟏𝟐 ∙ 𝟒 + 𝟐|
𝟓² + 𝟏𝟐²
=
𝟔𝟓
𝟏𝟑
= 𝟓 
 
 
 
5 o que? 
• Vide slide 14... “graduado em centímetros...” 
 
𝒆𝒔𝒄𝒂𝒍𝒂 = 
𝑫𝒊𝒔𝒕. 𝑴𝒂𝒑𝒂
𝑫𝒊𝒔𝒕. 𝑹𝒆𝒂𝒍
 
 
𝟏
𝟏. 𝟎𝟎𝟎. 𝟎𝟎𝟎
=
𝟓 𝒄𝒎
𝒛
∴ 𝒛 = 𝟓𝟎𝒌𝒎 
3ª. 
• Considere a reta r 4x + 3y – 12 = 0 e a 
circunferência x² + y² – 8x – 6y = 0. 
• Determine a posição da reta em relação à 
circunferência. 
Ou 
• Analisar a distância do centro à reta e 
comparar com a medida do raio 
• Ou isolar x (ou y) na equação da reta e 
substituir na equação da circunferência e 
analisar  
Posição entre reta e circunferência 
De x² + y² – 8x – 6y + 0 = 0 
• Comparando com (x – xc)² + (y – yc)² = r² 
• ... x² + y² - 2(xc)x – 2(yc)y + (x²c + y²c – r²) = 0 
 
• -8 = -2xc  xc = 4 
• -6 = -2yc  yc = 3 
• 0 = 4² + 3² - r²  r = 5 
 
Distância de C(3, 4) até r 4x + 3y – 12 = 0 
 
𝒅 𝑷, 𝒓 =
|𝟒 ∙ 𝟑 + 𝟑 ∙ 𝟒 − 𝟏𝟐|
𝟒² + 𝟑²
=
𝟏𝟐
𝟓
< 𝟓 
 
 
Pela outra estratégia... 
• De r 4x + 3y – 12 = 0 
• Temos: x = 3 – 3y/4 
• Substituindo em x² + y² – 8x – 6y = 0 
 
𝟏𝟐 − 𝟑𝒚
𝟒
² + 𝒚² − 𝟖
𝟏𝟐 − 𝟑𝒚
𝟒
− 𝟔𝒚 = 𝟎 
Desenvolvendo, 
𝟏𝟐 − 𝟑𝒚
𝟒
² + 𝒚² − 𝟖
𝟏𝟐 − 𝟑𝒚
𝟒
− 𝟔𝒚 = 𝟎 
... 
144 – 72y + 9y² + 16y² – 384 + 96y – 96y = 0 
... 
25y² – 72y – 240 = 0 
∆= −𝟕𝟐 2 − 𝟒 ∙ 𝟐𝟓 ∙ −𝟐𝟒𝟎 > 𝟎 
4ª. 
• A excentricidade da elipse (dada por c/a) está 
associada ao “achatamento”. 
• Note que a² = b² + c² 
Exemplo de uso da elipse... 
 
Determine a excentricidade 
• Da elipse de equação 4x² + 9y² = 1. 
Lembrando da equação canônica 
𝒙²
𝒂²
+
𝒚²
𝒃²
= 𝟏 
 
Assim, de 4x² + 9y² = 1, temos: 
𝒙²
𝟏
𝟐 ²
+
𝒚²
𝟏
𝟑 ²
= 𝟏 
 
Ou seja, 
• Temos a = ½ e b = 1/3. 
 
• De a² = b² + c², 
𝟏
𝟒
=
𝟏
𝟗
+ 𝒄² ∴ 𝒄² =
𝟓
𝟑𝟔
 
• Por conseguinte... 
𝒆 =
𝟓
𝟔
𝟏
𝟐
= ⋯ 
5ª. 
(𝒙 − 𝒙𝒄)²
𝒂²
+
(𝒚 − 𝒚𝒄)²
𝒃²
= 𝟏 
• Representa a equação de uma elipse 
centrada em... 
 
• Qual o centro da elipse, e sua equação... 
9x² + 16y² - 18x + 64y – 71 = 0? 
Desenvolvendo... 
(𝒙 − 𝒙𝒄)²
𝒂²
+
(𝒚 − 𝒚𝒄)²
𝒃²
= 𝟏 
 
𝒃²(𝒙 − 𝒙𝒄)² + 𝒂
2(𝒙 − 𝒙𝒄)² = 𝒂
2𝒃² 
Compare com 9x² + 16y² - 18x + 64y – 71 = 0 
 
𝟗 𝒙𝟐 − 𝟐𝒙 + 𝟏𝟔 𝒚𝟐 + 𝟒𝒚 − 𝟕𝟏 = 𝟎 
Complementar quadrados... 
𝟗 𝒙𝟐 − 𝟐𝒙 + 𝟏 − 𝟏 + 𝟏𝟔 𝒚𝟐 + 𝟒𝒚 + 𝟒 − 𝟒 − 𝟕𝟏 = 𝟎 
 
9(x - 1)² - 9 + 16(y + 2)² - 64 – 71 = 0 
 
9(x – 1)² + 16(y + 2)² = 144 
 
(𝒙 − 𝟏)²
𝟏𝟔
+
(𝒚 + 𝟐)²
𝟗
= 𝟏 
Usem fórum para debater lista... 
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