Matemática - Função-Logaritmica - Aprovação Virtual

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Função Logarítmica 
Nível 1 
 
1. Se 10f(x) log (x) e x 0, então f(1 x) f(100x) é igual a 
a) 1. 
b) 2. 
c) 3. 
d) 4. 
2. Um estudante acompanha duas reações químicas A e B que evoluem ao longo de t segundos, com 
velocidades AV (t) e BV (t), dadas por A 2V (t) log (t 4)  e 
2
B 4V (t) log (t 3t 31).   Segundo orientações 
recebidas, determinado catalisador deve ser inserido no processo quando as velocidades das reações se 
igualarem. Iniciado o processo, essa ação será efetivada em: 
a) 1s. 
b) 3 s. 
c) 4 s. 
d) 7 s. 
3. Para qual das funções abaixo, a equação f(x) 1 0  não possui uma raiz real? 
a) xf(x) e 
b) 10f(x) log x 
c) 2f(x) x  
d) f(x) 2x 
e) f(x) 1 
4. Na figura, está representada parte do gráfico da função f definida por f(x) log (ax 2) 1,   com a 0 e o 
ponto A(1, 1) pertencente ao gráfico da função f. 
 
O valor de a é: 
a) 1 
b) 2 
c) 1 
d) 2 
e) 8 
5. Um jardineiro cultiva plantas ornamentais e as coloca à venda quando estas atingem 30 centímetros de 
altura. Esse jardineiro estudou o crescimento de suas plantas, em função do tempo, e deduziu uma fórmula que 
calcula a altura em função do tempo, a partir do momento em que a planta brota do solo até o momento em 
 
 
 
 
 
 
que ela atinge sua altura máxima de 40 centímetros. A fórmula é 2h 5 log (t 1),   em que t é o tempo 
contado em dia e h, a altura da planta em centímetro. A partir do momento em que uma dessas plantas é 
colocada à venda, em quanto tempo, em dia, ela alcançará sua altura máxima? 
a) 63 
b) 96 
c) 128 
d) 192 
e) 255 
6. Enquanto um ser está vivo, a quantidade de carbono 14 nele existente não se altera. Quando ele morre, 
essa quantidade vai diminuindo. Sabe-se que a meia-vida do carbono 14 é de 5.730 anos, ou seja, num fóssil de 
um organismo que morreu há 5.730 anos haverá metade do carbono 14 que existia quando ele estava vivo. 
Assim, cientistas e arqueólogos usam a seguinte fórmula para saber a idade de um fóssil encontrado: 
t
5730
0Q(t) Q 2

  em que t é o tempo, medido em ano, Q(t) é a quantidade de carbono 14 medida no instante 
t e 0Q é a quantidade de carbono 14 no ser vivo correspondente. 
Um grupo de arqueólogos, numa de suas expedições, encontrou 5 fósseis de espécies conhecidas e mediram a 
quantidade de carbono 14 neles existente. Na tabela temos esses valores juntamente com a quantidade de 
carbono 14 nas referidas espécies vivas. 
 
Fóssil 0Q Q(t) 
1 128 32 
2 256 8 
3 512 64 
4 1024 512 
5 2048 128 
 
O fóssil mais antigo encontrado nessa expedição foi 
a) 1. 
b) 2. 
c) 3. 
d) 4. 
e) 5. 
TEXTO PARA AS PRÓXIMAS 2 QUESTÕES: 
Psicólogos educacionais podem utilizar modelos matemáticos para investigar questões relacionadas à memória e 
retenção da informação. Suponha que um indivíduo tenha feito um teste e que, depois de t meses e sem rever o 
assunto do teste, ele tenha feito um novo teste, equivalente ao que havia feito anteriormente. O modelo 
matemático que descreve situação de normalidade na memória do indivíduo é dado por y 82 12 log(t 1),   
sendo y a quantidade de pontos feitos por ele no instante t. 
7. Considere agora que, após t meses da aplicação do teste inicial, a pontuação do indivíduo tenha caído 18 
pontos na nova aplicação do teste. Adotando 10 3,16, t é igual a 
a) 25,1. 
b) 30,6. 
c) 32,3. 
d) 32,4. 
e) 28,8. 
 
 
 
 
 
 
8. Após t meses da aplicação do teste inicial, a pontuação de um indivíduo no novo teste caiu para 70 
pontos. Assim, é correto concluir que esse novo teste ocorreu t meses após o primeiro teste, com t igual a 
a) 11. 
b) 8. 
c) 15. 
d) 12. 
e) 9. 
9. O gráfico da função y log(x 1)  é representado por: 
a) b) 
c) d) 
 
10. O mundo que nos cerca é caótico, mas podemos tentar limitá-lo no computador. A geometria fractal é 
uma imagem muito versátil que nos ajuda a lidar com os fenômenos caóticos e imprevisíveis. 
 
Benoît Mandelbrot 
 
O caos e a ordem 
 
A tendência das coisas de se desordenarem espontaneamente é uma característica fundamental da 
natureza. Para que ocorra a organização, é necessária alguma ação que estabeleça a ordem. Se não houver 
nenhuma ação nesse sentido, a tendência é que a desorganização prevaleça. 
A existência da ordem/desordem está relacionada com uma característica fundamental da natureza 
que denominamos entropia. A entropia, por sua vez, está relacionada com a quantidade de informação 
necessária para caracterizar um sistema. Dessa forma, quanto maior a entropia, mais informações são 
necessárias para descrevermos o sistema. 
A manutenção da vida é um embate constante contra a entropia. A luta contra a desorganização é 
travada a cada momento por nós. Desde o momento da nossa concepção, a partir da fecundação do óvulo pelo 
espermatozoide, o nosso organismo vai-se desenvolvendo, ficando mais complexo. Partimos de uma única 
célula e chegamos à fase adulta com trilhões delas especializadas para determinadas funções. Entretanto, com 
o passar do tempo, o nosso organismo não consegue mais vencer essa batalha. Começamos a sentir os efeitos 
do tempo e a envelhecer. Como a manutenção da vida é uma luta pela organização, quando esta cessa, 
imediatamente o corpo começa a se deteriorar e a perder todas as características que levaram muitos anos 
para se estabelecerem. 
 
 
 
 
 
 
Desde a formação do nosso planeta, a vida somente conseguiu desenvolver-se às custas de transformar 
a energia recebida pelo Sol em uma forma útil, ou seja, uma forma capaz de manter a organização. Quando o 
Sol não puder mais fornecer essa energia, em 5 bilhões de anos, não existirá mais vida na Terra. Com certeza, a 
espécie humana já terá sido extinta muito antes disso. 
O universo também não resistirá ao embate contra o aumento da entropia. Em uma escala inimaginável 
de tempo de 10100 anos (1 seguido de 100 zeros!), se o universo continuar a sua expansão, que já dura 15 
bilhões de anos, tudo o que conhecemos estará absolutamente disperso. A entropia finalmente vencerá. 
Internet: <educacao.aol.com.br> (com adaptações). 
Para se trabalhar com a “escala inimaginável de tempo” mencionada no último parágrafo do texto, poderia ser 
feita uma transformação que associa cada número da escala a um bem menor, de modo que a quantidade de 
zeros fosse drasticamente reduzida. Por exemplo, o número 10100 (1 seguido de 100 zeros) pode ser associado 
ao número 100. 
A função matemática que tem essa propriedade é a 
a) exponencial. 
b) logarítmica. 
c) tangente. 
d) seno. 
11. O produto entre o maior número inteiro negativo e o menor número inteiro positivo que pertence ao 
domínio da função 23f(x) log (x 2x 15)   é 
a) – 24. 
b) – 15. 
c) – 10. 
d) – 8. 
12. Em 1997 iniciou-se a ocupação de uma fazenda improdutiva no interior do país, dando origem a uma 
pequena cidade. Estima-se que a população dessa cidade tenha crescido segundo a função 
 2P 0,1 log x 1996 ,   onde P é a população no ano x, em milhares de habitantes. Considerando 2 1,4, 
podemos concluir que a população dessa cidade atingiu a marca dos 3600 habitantes em meados do ano: 
a) 2005 
b) 2002 
c) 2011 
d) 2007 
e) 2004 
TEXTO PARA A PRÓXIMA QUESTÃO: 
Escalas logarítmicas são usadas para facilitar a representação e a compreensão de grandezas que apresentam 
intervalos de variação excessivamente grandes. O pH, por exemplo, mede a acidez de uma solução numa escala 
que vai de 0 a 14; caso fosse utilizada diretamente a concentração do íon H para fazer essa medida, teríamos 
uma escala bem pouco prática, variando de 0,00000000000001 a 1. 
Suponha que um economista, pensando nisso, tenha criado uma medida da renda dos habitantes de um país 
chamada Renda Comparativa (RC), definida por 
0
R
RC log ,
R 
  
 
 
em que R é a renda, em dólares, de um habitante desse país e 0R é o salário mínimo, em dólares, praticado 
no país. (Considere que a notação log indica logaritmo na base 10.) 
 
 
 
 
 
 
 
 
13. Dentre os gráficos abaixo, aquele que melhor representa a Renda Comparativa de um habitante desse país 
em função de sua renda, em dólares, é 
a) b) c) 
d) e) 
 
TEXTO PARA A PRÓXIMA QUESTÃO: 
Leia o texto a seguir e responda à(s) questão(ões). 
Um dos principais impactos das mudanças ambientais globais é o aumento da frequência e da intensidade de 
fenômenos extremos, que quando atingem áreas ou regiões habitadas pelo homem, causam danos. 
Responsáveis por perdas significativas de caráter social, econômico e ambiental, os desastres naturais são 
geralmente associados a terremotos, tsunamis, erupções vulcânicas, furacões, tornados, temporais, estiagens 
severas, ondas de calor etc. 
(Disponível em: <www.inpe.br>. Acesso em: 20 maio 2015.) 
14. Em relação aos tremores de terra, a escala Richter atribui um número para quantificar sua magnitude. Por 
exemplo, o terremoto no Nepal, em 12 de maio de 2015, teve magnitude 7,1 graus nessa escala. Sabendo-se 
que a magnitude y de um terremoto pode ser descrita por uma função logarítmica, na qual x representa a 
energia liberada pelo terremoto, em quilowatts-hora, assinale a alternativa que indica, corretamente, o gráfico 
dessa função. 
a) b) c) 
d) e) 
 
 
 
 
 
 
 
Gabaritos Comentados 
Nível 1 
Resposta da questão 1: 
 [B] 
 
Sendo 10log x logx, com x 0, temos 
2
2
1 1
f f(100x) log log(100x)
x x
1
log 10 x
x
log10
2log10
2.
   
     
   
 
  
 



 
 
Resposta da questão 2: 
 [B] 
 
Queremos calcular o valor de t para o qual se tem A BV (t) V (t), ou seja, 
2 2
2 4 2 2
2 2
2 2
2 2
1
log (t 4) log (t 3t 31) log (t 4) log (t 3t 31)
2
log (t 4) log (t 3t 31)
t 8t 16 t 3t 31
t 3 s.
        
    
     
 
 
 
Resposta da questão 3: 
 [C] 
 
Calculando: 
[A] xe 1 0 x 0 0      
[B] 10log x 1 0 x 10 10      
[C] 2x 1 0 se x ,     então 2x 0, logo 2x 1 0   
[D] 1 12x 1 0 x
2 2
      
[E] 1 1 0 1    
 
Resposta da questão 4: 
 [C] 
 
Se A(1, 1) pertence ao gráfico de f, então 
01 log(a 1 2) 1 a 2 10 a 1.           
 
Resposta da questão 5: 
 [D] 
 
O tempo necessário, em dias, para que a planta atinja 30 centímetros de altura é dado por 
 
 
 
 
 
 
6
230 5 log (t 1) 2 t 1
t 63.
     
 
 
 
Por outro lado, o tempo para que ela atinja 40 centímetros é, em dias, igual a 
8
240 5 log (t 1) 2 t 1
t 255.
     
 
 
 
A resposta é  255 63 192. 
 
Resposta da questão 6: 
 [B] 
 
Tem-se que 
t t
05730 5730
0
t
05730
2 2
0
2
Q
Q(t) Q 2 2
Q(t)
Q
log 2 log
Q(t)
Q
t 5730 log .
Q(t)

   
 
  
 
 
Como a função 2log x é crescente, o fóssil mais antigo é aquele que tiver a maior razão 
0
i
Q
r .
Q(t)
 Portanto, sendo 
1
128
r 4,
32
  2
256
r 32,
8
  3
512
r 8,
64
  4
1024
r 2
512
  e 5
2048
r 16,
128
  podemos concluir que o fóssil mais antigo é 
o 2. 
 
Resposta da questão 7: 
 [B] 
 
Lembrando que log1 0, para t 0, temos y 82. Assim, tendo caído 18 pontos a pontuação do indivíduo, vem 
3
2
18
82 18 82 12log(t 1) log(t 1)
12
t 1 10
t 10 10 1
t 30,6.
      
  
  
 
 
 
Resposta da questão 8: 
 [E] 
 
Se y 70, então 
 
 
 
 
 
 
1
70 82 12log(t 1) 12log(t 1) 12
log(t 1) 1
t 1 10
t 9.
     
  
  
 
 
 
Resposta da questão 9: 
 [D] 
 
A raiz da função y log(x 1)  é tal que 
 
 0log(x 1) 0 x 1 10 x 0.       
 
Daí, o gráfico intersecta o eixo das abscissas no ponto (0, 0). 
 
Portanto, a alternativa correta é a [D], cujo gráfico passa pela origem. 
 
Resposta da questão 10: 
 [B] 
 
Seja f a função definida por f(x) = logx, com x>0. 
Desse modo, f(10100) = log10100 = 100 e, portanto, a função matemática que tem a propriedade citada é a logarítmica. 
 
Resposta da questão 11: 
 [A] 
 
A função f está definida para os valores reais de x, tais que 
 
2 2x 2x 15 0 (x 1) 16
| x 1| 4
x 3 ou x 5.
     
  
   
 
 
Portanto, como 4 é o maior número inteiro negativo e 6 é o menor número inteiro positivo que pertencem ao domínio de 
f, segue que o produto pedido é igual a 4 6 24.    
 
Resposta da questão 12: 
 [D] 
 
Queremos calcular o valor de x para o qual se tem P 3,6. Assim, 
 
3,5
2
3
3,6 0,1 log (x 1996) x 1996 2
x 2 2 1996
x 2007,2,
     
   
 
 
 
ou seja, a cidade atingiu a marca dos 3600 habitantes em meados de 2007. 
 
Resposta da questão 13: 
 
 
 
 
 
 
 [D] 
 
Seja a função y logx, definida de  em , cujo gráfico é 
 
 
 
Fazendo y RC e 
0
R
x ,
R
 obtemos 
0
R
RC log .
R
 
  
 
 
Assim, 
0
0 0
0
R
R R RC log log1 0 (R , 0).
R
 
      
 
 
 
Portanto, o gráfico que melhor representa a Renda Comparativa de um habitante desse país em função de sua renda é o da 
alternativa (D). 
 
Resposta da questão 14: 
 [B] 
 
Se y f(x), então o gráfico que mais se assemelha ao de uma função logarítmica é o da alternativa [B]. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Nível 2 
15. Sendo 2x 1f(x) log x 1,  então 
a) x 1  e x 2  
b) x 1 
c) 1 x 1   
d) x 1 
e) x 1 e x 2 
TEXTO PARA A PRÓXIMA QUESTÃO: 
O gráfico a seguir representa as funções xf(x) 2 e 2g(x) log x. 
 
 16. Seja A um número inteiro tal que: 
f(A) g(A) 10
g(f(A) g(A)) 3
 

 
 
Então, g(g(A)) é aproximadamente igual a 
a) 0,6. 
b) 1,2. 
c) 1,8. 
d) 2,4. 
e) 3,0 
17. A curva do gráfico abaixo representa a função 4y log x 
 
A área do retângulo ABCD é 
a) 12. 
b) 6. 
c) 3. 
d) 4
3
6log .
2
 
e) 4log 6. 
 
 
 
 
 
 
18. Analise as afirmações a seguir. 
I. Na figura a seguir o ponto O é o centro da circunferência cujo raio mede 
13
cm.
2
 Os pontos A, B e C 
pertencem à circunferência. Sabe-se que AC mede 12 cm e o segmento DC é a altura do triângulo ABC. 
Então, a medida do segmento DB é maior que 2 cm. 
 
II. O gráfico a seguir representa a função 2f(x) ax bx c   em que a, b, c . Então, o valor mínimo dessa 
função é 
1
.
12
 
 
III. Se g é a função definida por 
5x 7
g(x) ,
2x 1



 então 1g (3) 10.  
lV. Após um acidente ambiental, determinada população de animais foi submetida a severas mudanças no 
habitat em que viviam. Pesquisadores observaram os animais e notaram várias mudanças na população, 
dentre elas o crescimento populacional. Os estudos modelaram o crescimento dessa população conforme a 
função 
7
N log (x 2),  em que N representa o número de indivíduos da população, dado em centenas, e x 
representa o tempo decorrido, em dias, considerando o início da contagem dos animais após o acidente. 
Nessas condições, essa população possuía uma quantidade de 400 animais somente 50 dias após o início 
da contagem. 
Assinale a alternativa que contém todas as afirmações corretas. 
a) II – III 
b) I – II – IV 
c) III – IV 
d) I – III 
 
 
 
 
 
 
 
 
19. Considere a função 2f(x) log x, analise as afirmações a seguir e assinale a alternativa correta. 
a) Se f(x y) 4   e 2 2x y 32  então f(x y) 9.  
b) f é crescente para x [0, ).  
c) Existem dois valores x Dom(f) tais que 2f(x ) 2. 
d) A função f é bijetora e sua inversa é definida por 1
1
f (x) .
f(x)
  
 
20. No plano cartesiano abaixo estгo representados os grбficos das funзхes f, g e h, todas definidas no 
conjunto dos nъmeros reais positivos por a bf(x) log x, g(x) log x  e ch(x) log x. 
 
O valor de 10log (abc) й 
a) 1 
b) 3 
c) 10log 3d) 101 log 3 
e) 10 10 10log 2 log 3 log 5  
21. Dadas as funções reais de variável real f e g, definidas por 2f(x) log (x)  e 
2g(x) x 4,  pode-se 
afirmar que f(x) g(x) é verdadeiro para um valor de x localizado no intervalo 
a) [0;1]. 
b) [1; 2]. 
c) [2; 3]. 
d) [3; 4]. 
e) [4; 5]. 
22. O domínio de uma função real de variável real f ι o mais amplo subconjunto X de , tal que para 
cada x X, f(x) ι um número real bem definido. Portanto, se X ι o domínio da função real de variavel real f, 
definida pela expressão 2f(x) log(x 6x 6),   então, tem-se que log k  logaritmo decimal de k 
a) X {x : x 1} {x : x 5}.      
b) X . 
c) X {x : x 0}.   
d) X {0}.  
 
 
 
 
 
 
 
 
 
23. Considere os valores de pertencentes ao conjunto S {x | x 4}.    Associe cada uma das funções f(x) 
com x S, exibidas na coluna A da tabela abaixo com as suas respectivas inversas, exibidas na coluna B. 
 
Funções e suas inversas 
A B 
1. 42f(x) log x 4  ( ) 
1 x 4f (x) ( 2) 4   
2. 2
x 4
f(x) 2 log
4
 
  
 
 ( ) 1 2x 1f (x) 2 4   
3. 4f(x) log (2x 8)  ( ) 
1 4xf (x) 2 4   
 
Assinale a alternativa que contém a sequência correta de classificação, de cima para baixo. 
a) 3 – 1 – 2 
b) 2 – 1 – 3 
c) 1 – 3 – 2 
d) 3 – 2 – 1 
e) 2 – 3 – 1 
24. O domínio da função real de variável real definida por 2 27 3f(x) log (x 4x) log (5x x )    é o intervalo 
aberto cujos extremos são os números 
a) 3 e 4. 
b) 4 e 5. 
c) 5 e 6. 
d) 6 e 7. 
25. Seja f : D  a função definida por    2f x log x x ,  onde D é dado por  D x | x 1 .   
Analise as proposições abaixo. 
I. A função f não admite nenhuma raiz pertencente a D. 
II. Existe um único valor de x D para o qual  f x 2log 2 log 3.  
III. Existe um único valor de x D para o qual  
3 2
2 3
f x .
log 10 log 10
  
Assinale a alternativa correta. 
a) Somente a afirmativa II é verdadeira. 
b) Somente as afirmativas II e III são verdadeiras. 
c) Somente a afirmativa III é verdadeira. 
d) Somente a afirmativa I é verdadeira. 
e) Somente as afirmativas I e II são verdadeiras. 
 
26. A escala Richter atribui um número M para quantificar a magnitude de um tremor, ou seja, 
10 10 0M(A) Log A Log A  , onde A 0 é a amplitude máxima das ondas sísmicas medidas a 100km do 
epicentro do sismo e 0A 0 é uma amplitude de referência. Por exemplo, em 1945, no Japão, o tremor gerado 
 
 
 
 
 
 
pela bomba atômica teve magnitude aproximada de 4,9 na escala Richter, enquanto que o tremor ocorrido 
naquele país, em março de 2011, teve magnitude de 8,9. 
Com base nessas informações, considere as afirmativas a seguir. 
I. A amplitude máxima das ondas sísmicas do tremor de 2011 foi 10.000 vezes maior do que a amplitude 
máxima das ondas sísmicas geradas pela bomba de Hiroshima. 
II. A diferença de magnitude de dois tremores, em relação às respectivas amplitudes máximas das ondas 
sísmicas, é uma função quadrática. 
III. Um tremor de magnitude 8,0 na escala Richter tem ondas sísmicas com amplitude máxima 10 vezes maior 
do que a amplitude máxima em um tremor de magnitude 7,0. 
IV. Se a amplitude máxima das ondas sísmicas de um tremor for menor que a amplitude de referência 0A , tem-
se que a magnitude deste tremor é positiva. 
Assinale a alternativa correta. 
a) Somente as afirmativas I e II são corretas. 
b) Somente as afirmativas I e III são corretas. 
c) Somente as afirmativas III e IV são corretas. 
d) Somente as afirmativas I, II e IV são corretas. 
e) Somente as afirmativas II, III e IV são corretas. 
27. Os gráficos das funções f e g estão representados geometricamente na figura que se segue. 
 
Se h é a função definida h(x) log(f(x) g(x)),  o domínio de h é 
a) ] 2, 2[ ]5, [ .   
b) ] , 2[ ]2, 5[ .   
c) ] , 2[ ]5, [ .   
d) ] 2, 5[ .  
e) ] 2, 5[ . 
28. Uma função f, cujo domínio é o conjunto  x / x 0 ,  é tal que, para todo a, b , verifica-se a 
igualdade:      f ab f a f b .  Nessas condições,  
1
f 2 f
2
 
  
 
é igual a 
a) 0. 
b) 
1
.
2
 
c) 1. 
d) 
5
.
4
 
e) 
3
.
2
 
 
 
 
 
 
 
 29. Na figura abaixo, dois vértices do trapézio sombreado estão no eixo x e os outros dois vértices estão sobre 
o gráfico da função real    kf x log x, com k 0 e k 1. Sabe-se que o trapézio sombreado tem 30 unidades de 
área; assim, o valor de  k p q é 
 
a) 20 
b) 15 
c) 10 
d) 15 
e) 20 
 30. Seja f uma função a valores reais, com domínio D , tal que 210 1 3f(x) log (log (x x 1)),   para todo 
x D. 
 
O conjunto que pode ser o domínio D é 
a)  x ; 0 x 1   
b)  x ; x 0 ou x 1   
c)  1x ; x 103   
d)  1x ; x ou x 103   
e)  1 10x ; x9 3   
31. Considere a função 38f(x) log (x 3) .  A quantidade de números inteiros que pertencem ao conjunto 
solução da inequação f(x)4 2x 105  é igual a: 
a) 8 
b) 12 
c) 21 
d) 19 
e) 11 
 
 
 
 
 
 
 
TEXTO PARA AS PRÓXIMAS 2 QUESTÕES: 
Utilize as informações a seguir para a(s) questão(ões) abaixo. 
Informação I 
A figura a seguir exibe parte do gráfico da função 0,85f(x) log x, cujo domínio é  x | 0 x 0,85 .   
 
Informação II 
Um carro, que no ato da compra vale R$ 40.000,00, tem uma desvalorização de 15% ao ano. Ou seja, após um 
ano, o carro tem, a cada instante, um valor 15% menor do que o valor que tinha exatamente um ano antes. 
32. Passados 20 anos, o carro valerá cerca de 
a) R$ 600,00. 
b) R$ 1.600,00. 
c) R$ 6.000,00. 
d) R$ 16.000,00. 
e) R$ 25.000,00. 
33. Para que o carro perca 80% do seu valor, é necessário que se passem 
a) entre 5 e 6 anos. 
b) entre 6 e 7 anos. 
c) entre 7 e 8 anos. 
d) entre 8 e 9 anos. 
e) entre 9 e 10 anos. 
 
 
 
 
 
 
 
 
Gabaritos Comentados 
Nível 2 
Resposta da questão 15: 
 [E] 
 
De acordo com as condições de existência da função logarítmica, temos as seguintes desigualdades: 
 
 
 
Portanto, x 1 e x 2. 
 
Resposta da questão 16: 
 [A] 
 
Do enunciado, temos 
A
2f(A) g(A) 10 2 log A 10     
 
e 
 
A
2 2g(f(A) g(A)) 3 log (2 log A) 3.     
 
Como A é inteiro, segue que 
2
2 2 2
4
2
A 2 log (2 log 2) log 5 3
A 3.
A 4 2 log 4 18 10
    
 
    
 
 
Assim, 
2 2g(g(A)) g(g(3)) log (log 3)  
e, portanto, 
2 2 2 2 2 2log (log 2) log (log 3) log (log 4) 0 g(g(A)) 1.     
 
Resposta da questão 17: 
 [B] 
 
Sendo S a área do retângulo ABCD, 
   C DS 8 2 y y    
 
C é um ponto do gráfico da função 4y log x, logo, 
 
 
 
 
 
 
2
C 4
3
C 2
C 2
C
y log 8
y log 2
1
y 3 log 2
2
3
y
2


 

 
 
D Ay y e A é um ponto do gráfico da função 4y log x, logo, 
2
A 4
A 2
A 2
A D
y log 2
y log 2
1
y log 2
2
1 1
y y
2 2



  
 
 
Assim, 
 
3 1
S 8 2
2 2
S 6 1
S 6
 
    
 
 

 
 
Resposta da questão 18: 
 [A] 
 
[I] Falsa. Desde que AB é diâmetro, podemos concluir quer o triângulo ABC é retângulo em C. Logo, segue que 
13
AB 2 13cm.
2
   Ademais, como AC 12cm, vem BC 5cm. 
Em consequência, pelas relações métricas do triângulo retângulo, temos 
2 2BC AB BD 5 13 BD
25 26
BD 2cm.
13 13
    
   
 
 
[II] Verdadeira. Com efeito, do gráfico, sabemos que os zeros de f são 1
2
x
3
 e 2x 1. Logo, como a parábola também 
passa pelo ponto (0, 2), temos 
2
2 a 0 (0 1) a 3.
3
 
     
 
 
 
Portanto, como a abscissa do vértice é 
1 2 5
1 ,
2 3 6
 
  
 
 podemos concluir que o valor mínimo de f é 
5 5 2 5 1
f 3 1 .
6 6 3 6 12
    
        
    
 
 
[III] Verdadeira. De fato, pois 
 
 
 
 
 
 
5x 7
y 2xyy 5x 7
2x 1
y 7
x .
2y 5

    


 

 
 
Assim, temos 
1 3 7g (3) 10.
2 3 5
  
 
 
 
[IV] Falsa. Na verdade, se x 50, então 
1
2
7
7
7
2
7
N log (50 2)
log 52
2 log 52
2 log 7
4.
 

 
 

 
 
Resposta da questão 19: 
 [A] 
 
[A]    2f x y log x y   
Como  f x y 4,   
 
 2
4
log x y 4
x y 2
  
 
 
 
De 4x y 2  e 2 2x y 32,  
 4
5 4
9
2 x y 32
x y 2 2
x y 2
   
  
 
 
 
Daí, 
 
 
9
2f x y log 2
f x y 9
 
 
 
 
Então, a afirmação [A] é correta. 
 
[B] Observe o gráfico de   2f x log x. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 f x é crescente para  x 0, ,  logo, a afirmação [B] é incorreta. 
 
[C] De   2f x log x, 
 
 
2 2
2
2 2
2
f x log x
f x 2 log x 2

  
 
 
De 22log x 2, 
2 2
2
x 2
x 4


 
 
Como x 0, 
x 2 
 
Então, a afirmação [C] é incorreta. 
 
[D] Do gráfico de  f x nota-se que  f x é injetora. Além disso, fIm Contradomínio ,  ou seja, f é sobrejetora. Logo, 
f é bijetora. 
 
Para x 0, 
 
 
2
y
1 x
y log x
2 x
1
f x 2
f x



 
 
 
Logo, a afirmação [D] é incorreta. 
 
Resposta da questão 20: 
 [D] 
 
Calculando: 
 
 
 
 
 
 
1
a
1
b
1
c
10 10 10 10 10 10
f(2) log 2 1 a 2 a 2
g(3) log 3 1 b 3 b 3
h(5) log 5 1 c 5 c 5
log (abc) log (2 3 5) log 3 10 log 3 log 10 1 log 3
     
     
     
        
 
 
Resposta da questão 21: 
 [B] 
 
Graficamente: 
 
 
 
Portanto, x se localiza no intervalo [1; 2]. 
 
Resposta da questão 22: 
 [A] 
 
Para que f esteja definida em , deve-se ter 
2 2log(x 6x 6) 0 x 6x 6 1
(x 1)(x 5) 0
{x | x 1 ou x 5}.
      
   
   
 
 
Ademais, pelas condições de existência dos logaritmos, vem 
 
 
 
 
 
 
2x 6x 6 0 (x 3 3)(x 3 3) 0
{x | x 3 3 ou x 3 3}.
        
     
 
 
Portanto, da interseção das duas condições acima, segue que 
X {x | x 1 ou x 5}.    
 
 
Resposta da questão 23: 
 [E] 
 
De   42f x log x 4,  
 
 
   
 
14
2
x 14
4
x 1
1 4x
x log f x 4
2 f x 4
2 f x 4
f x 2 4




 
 
 
 
 
 
De   2
x 4
f x 2log ,
4
 
  
 
 
 
 
 
 
 
 
 
   
1
2
1
2
x 1
2
x
12
x
1 2 2
4 x
1 2
x 4
1
1 2
x 41
f x 4
x 2log
4
f x 4x
log
2 4
f x 4
2
4
4 2 f x 4
f x 2 2 4
f x 2 4
f x 2 4
f x 2 4










 
 
 
 
 
 
 
 


  
  
 
 
  
 
 
 
 
 
De    4f x log 2x 8 ,  
 
 
 
 
 
 
  
 
   
 
 
 
1
4
x 1
x
2 1
2x
1
2x 1 1
1 2x 1
x log 2f x 8
4 2f x 8
2 2f x 8
2
f x 4
2
2 f x 4
f x 2 4




 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Assim, a sequência de classificação, de cima para baixo, é 2 – 3 – 1. 
 
Resposta da questão 24: 
 [B] 
 
Pela condição de existência dos logaritmos, deve-se ter 
 
2
2x 4x 0 x(x 4) 0
 e e
x(x 5) 0
(x 0 ou x 4)
 e
(0 x 5)
4 x 5.
5x x 0
   

 
 

 
  
 
 
 
Portanto, o maior subconjunto dos números reais para o qual f está definida é o intervalo aberto cujos limites inferior e 
superior são, respectivamente, 4 e 5. 
 
Resposta da questão 25: 
 [B] 
 
I. Falsa. Pondo f(x) 0, obtemos 
2 2log(x x) 0 x x 1 0
1 5
x 1.
2
     

  
 
 
II. Verdadeira. Como 22log2 log3 log(2 3) log12,    vem 
2 2x x 12 x x 12 0
x 4.
     
 
 
 
III. Verdadeira. Temos que 
 
 
 
 
 
 
3 2
2 3
2 3
2log3 3log2
log 10 log 10
log3 log2
log72.
  
 

 
Portanto, 
2 2x x 72 x x 72 0
x 9.
     
 
 
 
Resposta da questão 26: 
 [B] 
 
I. Correta. Sejam 1A e 2A , respectivamente, a amplitude máxima registrada em Hiroshima e a amplitude máxima registrada 
no tremor de 2011. 
Temos que 
 
2 1 10 2 10 0 10 1 10 0
2
10
1
M(A ) M(A ) log A log A (log A log A )
A
log .
A
    

 
 
Portanto, 
 
42 2
10 2 1
1 1
A A
8,9 4,9 log 10 A 10.000 A .
A A
       
 
II. Errada. Conforme (I), a diferença de magnitude de dois tremores, em relação às respectivas amplitudes máximas das 
ondas sísmicas, é uma função logarítmica. 
 
III. Correta. De fato, 210 2 1
1
A
8 7 log A 10 A .
A
     
IV. Errada. Se 00 A A ,  então 
0
A
0 1.
A
  Logo, M(A) 0. 
 
Resposta da questão 27: 
 [B] 
 
Supondo que o gráfico da função f é a reta, temos f(x) 0 para x 2, f(x) 0 para x 2 e f(x) 0 para x 2. Daí, o 
gráfico de g é a parábola e g(x) 0 para x 2  ou x 5, g(x) 0 para 2 x 5   e g(x) 0 para x 2  ou x 5. 
 
Seja h :D ,  em que D é o mais amplo subconjunto dos números reais para o qual a função h está definida. Tem-se 
que f(x) g(x) deve ser um número real positivo. Logo, podemos concluir que D ] , 2[ ]2, 5[.    
 
Resposta da questão 28: 
 [A] 
 
De acordo com a definição de f, obtemos 
 
 
 
 
 
 
 
f(1) f(1 1) f(1) f(1) f(1) 0.      
 
Portanto, 
 
1 1
f(2) f f 2 f(1) 0.
2 2
   
       
   
 
 
Resposta da questão 29: 
 [B] 
 
Como a função f passa pelos pontos (p,1) e (q, 2), segue que 
 
klog p 1 k p   
e 
2
klog q 2 k q.   
 
Sabendo que a área do trapézio é igual a 30 u.a, vem 
 
1 2
(q p) 30 q p 20 0.
2

       
 
Daí, obtemos 
 
2k k 20 0 k 4 ou k 5.       
 
Portanto, como k 0, temos que 
 
k p q 5 5 25 15.       
 
Resposta da questão 30: 
 [A] 
 
Como 2x x 1 0   para todo x real, segue que os valores de x para os quais f está definida são tais que 
 
2 2
1 3 1 3 1 3
2
log (x x 1) 0 log (x x 1) log 1
x x 1 1
x (x 1) 0
0 x 1.
      
   
   
  
 
 
Resposta da questão 31: 
 [E] 
 
Supondo f :] 3, [ ,   tem-se que 
 
3
3 3
8 22
f(x) log (x 3) log (x 3) log (x 3).      
 
 
 
 
 
 
 
Logo, vem 
 
2
f(x) 2f(x)
log (x 3) 2
2
2
2
4 2x 105 2 2x 105
(2 ) 2x 105
(x 3) 2x 105
x 4x 96
(x 2) 100
12 x 8.

    
  
   
  
  
   
 
 
Porém, como x é um elemento do domínio de f, segue que a solução da inequação é o intervalo 3 x 8.   Donde 
concluímos que o resultado pedido é 8 ( 2) 1 11.    
 
Resposta da questão 32: 
 [B] 
 
Sabemos que f(x) 20 para x aproximadamente igual a 0,04. Daí, como o valor do carro após t anos é dado por 
tv 40000 0,85 ,  segue que a resposta é 20v 40000 0,85 ,  ou seja, aproximadamente 40000 0,04 R$ 1.600,00.  
 
Resposta da questão 33: 
 [E] 
 
O valor do carro após t anos é dado por tv 40000 0,85 .  
 
Queremos calcular o valor de t para o qual se tem v 0,2 40000 8000.   Logo, temos 
t t
0,8540000 0,85 8000 0,85 0,2 t log 0,2.      
 
Portanto, do gráfico, sabemos que será necessário que se passem entre 9 e 10 anos para que o carro perca 80% do seu 
valor. 
 
 
 
 
 
 
 
Nível 3 
34. O gráfico que melhor representa a função real de variável real 
nx 1
f(x)
nx 1



 é 
a) b) c) 
d) e) 
35. Seja f(x) | 3 log(x) |,  x . Sendo n um número inteiro positivo, a desigualdade 
n 3
n 1
f(x) 2f(x) 4f(x) 2 f(x) 9
4 12 36 43


    somente é possível se: 
Obs.: log representa a função logarítmica na base 10. 
a) 60 x 10  
b) 6 810 x 10   
c) 3 610 x 10  
d) 0 610 x 10  
e) 6 610 x 10   
36. Um engenheiro projetou um automóvel cujos vidros das portas dianteiras foram desenhados de forma que 
suas bordas superiores fossem representadas pela curva de equação y log(x), conforme a figura. 
 
A forma do vidro foi concebida de modo que o eixo x sempre divida ao meio a altura h do vidro e a base do 
vidro seja paralela ao eixo x. Obedecendo a essas condições, o engenheiro determinou uma expressão que 
fornece a altura h do vidroem função da medida n de sua base, em metros. 
A expressão algébrica que determina a altura do vidro é 
 
 
 
 
 
 
a) 
2 2n n 4 n n 4
log log
2 2
         
   
   
 
b) 
n n
log 1 log 1
2 2
   
     
   
 
c) 
n n
log 1 log 1
2 2
   
     
   
 
d) 
2n n 4
log
2
   
 
 
 
e) 
2n n 4
2 log
2
   
 
 
 
37. Considerando o logaritmo na base 10 e analisando as possíveis soluções reais da equação 
4 2log(cos x 26cos x 125) 2,   pode-se afirmar corretamente que a equação 
a) não possui solução. 
b) possui exatamente duas soluções. 
c) possui exatamente quatro soluções. 
d) possui infinitas soluções. 
38. Leia o texto a seguir. 
Precisamos de um nome para o novo replicador, um substantivo que comunique a ideia de unidade de 
transmissão cultural. “Mimeme” vem do grego “aquilo que é replicado”, mas eu quero um monossílabo que se 
pareça com gene. Eu espero que meus amigos clássicos me perdoem por abreviar mimeme para meme. Se uma 
ideia se alastra, é dita que se propaga sozinha. 
Adaptado de: DAWKINS, R. O gene egoísta. Trad. Geraldo H. M. Florsheim. Belo Horizonte: Itatiaia, 2001. p. 
214. 
Diversos segmentos têm utilizado serviços de marketing para criação e difusão de memes de seu interesse. Um 
partido político com 0P 20 filiados encomendou um anúncio que se tornou um meme em uma rede social, 
sendo que 5% dos 9K 2 10  usuários ativos visualizaram o anúncio no instante t 1. Sejam e 1, r 0 
constantes e suponha que a função P(t) dada por 
r t
0
r t
0
K P e
P(t)
K P (e 1)


 

 
 
representa a quantidade de usuários da rede social que visualizaram o meme no instante t. 
Assinale a alternativa que apresenta, corretamente, o valor da constante r para essa rede social. 
a) 
8
e
10 1
log
19
 
 
 
 
 
b) 
9
e
10 1
log
19
 
 
 
 
 
c) 
9
e
10 1
log
20
 
 
 
 
 
d) 
810 1
19

 e) 
910 1
20

 
 
 
 
 
 
 
 
39. O gráfico a seguir é a representação da função 2
1
f(x) log
ax b
 
  
 
 
 
O valor de 1f ( 1)  
a) 1 
b) 0 
c) 2 
d) 2 
e) 1 
40. Considere a função real f definida por xf(x) a com a ] 0 ,1[ 
Sobre a função real g definida por g(x) | b f(x) |   com b ] , 1[,   é correto afirmar que 
a) possui raiz negativa e igual a alog ( b) 
b) é crescente em todo o seu domínio. 
c) possui valor máximo. 
d) é injetora. 
41. Seja 1 2 3(a , a , a , ) a sequência definida da seguinte forma: 1a 1000 e n 10 n 1a log (1 a )  para n 2. 
Considere as afirmações a seguir: 
I. A sequência n(a ) é decrescente. 
II. na 0 para todo n 1.  
III. na 1para todo n 3.  
É (são) verdadeira(s) 
a) apenas I. 
b) apenas I e II. 
c) apenas II e III. 
d) I, II e III. 
e) apenas III. 
42. Considere as seguintes afirmações: 
I. A função 10
x 1
f(x) log
x
 
  
 
 é estritamente crescente no intervalo ]1, [. 
II. A equação x 2 x 12 3  possui uma única solução real. 
III. A equação x(x 1) x  admite pelo menos uma solução real positiva. 
É (são) verdadeira(s) 
a) apenas I. b) apenas I e II. c) apenas II e III. d) I, II e III. e) apenas III. 
 
 
 
 
 
 
43. Considere as funções reais 
x
f(x) nx
2
  e 2
x
g(x) ( nx)
2
  onde nx expressa o logaritmo de x na base 
neperiana e (e 2,7). Se P e Q são os pontos de interseção dos gráficos de f e g, podemos afirmar que o 
coeficiente angular da reta que passa por P e Q é 
a) 
e 1
2(e 3)


 
b) e 1 
c) 
e 1
2(e 1)


 
d) 2e 1 
e) 
e 3
2(e 1)


 
 
 
 
 
 
 
 
 
Gabaritos Comentados 
Nível 3 
Resposta da questão 34: 
 [D] 
 
Domínio: 
nx 1
x e D ] e , [ ] 0 , e [
x 0

    

 
 
Características: 
 
 
 
 
 
2
2
42
2
2
2
nx 1
x ] 0 ,1 e ] ] e , [ y 0 f(x)
nx 1
2
f '(x) 0 decrescente
x nx 1
2 nx 1
f ''(x) 0 concavidade para cima
x nx 1
nx 1
x [ 1 e , e [ y 0 f(x)
1 nx
2
f '(x) 0 crescente
x nx 1
2 nx 1
f ''(x)
x nx

       


  
 
  
  
  
 

    

  
 
  
  

  
4
0 concavidade para cima
1
1
x ponto mínimo
e
 
 
 
 
Limites: 
x 0 x 0 x 0 x 0 x 0
x e x e x e
x x x x
11nx 1 nx 1 nxlim f(x) lim lim lim lim f(x) 1
1nx 1 nx 1 1
nx
nx 1
lim f(x) lim lim f(x)
nx 1
11nx 1 nx 1
lim f(x) lim lim lim
nx 1 nx 1
         
  
   
               
 

   

  
   
   x
nx lim f(x) 1
11
nx

 
   
 
 
 
 
Com base nos cálculos, pode-se concluir que o gráfico que melhor representa a função dada é o apresentado na alternativa 
[D]. 
 
Resposta da questão 35: 
 [D] 
 
Temos 
 
 
 
 
 
 
 
 
n 3
n 1
0 6
f(x) 2f(x) 4f(x) 2 f(x) 9
4 12 36 43
2 4
| f(x) | 1 9
3 9
1
| f(x) | 9
2
1
3
| f(x) | 3
| 3 log(x) | 3
3 3 log(x) 3
0 log(x) 6
10 x 10 .


    
 
     
 
 

 
  
    
  
 
 
 
Resposta da questão 36: 
 [E] 
 
Seja k, com 0 k 1,  a abscissa do ponto para o qual se tem 
h
logk ,
2
  ou seja, h 2 logk.   Assim, temos 
h
log(n k),
2
  isto é, h 2 log(n k).   Daí, vem 
 
2
2
2 log(n k) 2 logk log(n k) k log1
k nk 1 0
n n 4
k .
2
        
   
  
 
 
 
Portanto, temos 
 
2
2
h 2 log(n k)
n n 4
2 log n
2
n n 4
2 log .
2
  
      
 
 
    
 
 
 
 
Resposta da questão 37: 
 [D] 
 
Resolvendo a função logarítmica e substituindo 2cos x por z, tem-se: 
 
 
 
 
 
 
2 2
2
2
2
1
2
2
z 26z 125 10
z 26z 25 0
26 4 1 25
576
26 576 26 24
z
2 1 2
z 25 cos x 25
z 1 cos x 1
Δ
Δ
  
  
   

 
 

  
  
 
 
Sabe-se que  2
1
cos x 1 cos(2x) ,
2
  ou seja: 
 
1
25 1 cos(2x)
2
50 1 cos(2x)
cos(2x) 49
 
 

 
 
ou 
 
 
1
1 1 cos(2x)
2
2 1 cos(2x)
cos(2x) 1
 
 

 
 
Se cos(2x) 1 então 2x 360 2 ;π   logo x k ,π pois a função cosseno é uma função periódica, o que resulta em 
infinitas soluções. 
 
Resposta da questão 38: 
 [A] 
 
Calculando: 
r t
0
r t
0
9 r 1 r
9 2
9 r 1 9 r
2 9 r r
8
8 r r 8 r r
8
e
K P e
P(t)
K P (e 1)
2 10 20 e 20 e
P(1) 0,05 2 10 5 10
2 10 20 (e 1) 2 10 20e 20
5 10 (2 10 20e 20) 20 e
10 1
10 e 1 20e 10 1 19e e
19
10 1
r log
19






 

 
   
      
      
      

       
 
  
 
  
 
Resposta da questão 39: 
 [E] 
 
 
 
 
 
 
 
De acordo com o gráfico, temos: 
0
2
2
1 1
f(0) 0 log 0 2 b 1
b b
1 1 1
f 1 log 1 2 1 a 2 a 1
1 12
a 1 a 1
2 2
      
 
            
       
 
 
Logo: 
2
1
f(x) log
x 1
 
  
 
 
 
Sabendo que calcular 1f ( 1)  é o mesmo que determinar o valor de x para o qual f(x) 1.  
 
1
2
1 1 1 1
1 log 2 x 1
x 1 x 1 x 1 2
         
   
 
 
Portanto, 1f ( 1) 1.   
 
Resposta da questão 40: 
 [A] 
 
Analisando as alternativas uma a uma: 
 
[A] CORRETA. A raiz da função g(x), ou seja, g(x) 0, acontece quando f(x) b.  Assim: 
x x
a a a a ab a log ( b) log a log ( b) x log a x log ( b)            
 
Pelo enunciado, como b ] , 1[,   logo ( b) 1.  Também do enunciado, como a ] 0 ,1[ pode-se desenhar o 
seguinte gráfico de uma função logarítmica de base a, sendo 0 a 1:  
 
 
 
Assim percebe-se que para todos os valores maiores que 1, a alog ( b) será terá uma raiz negativa. Portanto, a 
alternativa é correta. 
 
[B] INCORRETA. Se considerarmos a função f(x) e a função constante h(x) b,  podemos desenhar um gráfico aproximado 
como o apresentado a seguir: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Pode-se considerar que a função g(x) compreendeo “espaço” hachurado em amarelo, uma vez que é resultante da 
diferença das duas funções representadas. Assim, não se pode afirmar que ela seja crescente em todo seu domínio. A 
alternativa é incorreta. 
 
[C] INCORRETA. Pela análise do mesmo gráfico das funções f(x) e h(x), percebe-se que ambas estendem-se ao infinito. 
Conforme o valor de x decresce, o valor de g(x) tende ao infinito e desta forma não existe valor máximo. A alternativa é 
incorreta. 
 
[D] INCORRETA. Uma função injetora é aquela que, seja uma função f : A B, para todo elemento distinto de A associam-
se elementos únicos e distintos em B. Assim, como g(x) se apresenta em módulo, analisando a área hachurada em amarelo 
do gráfico anterior percebe-se que para dois valores distintos de x poderão existir imagens iguais. A alternativa é incorreta. 
 
Resposta da questão 41: 
 [D] 
 
1
2 10
3 10
4 10
n 10
a 1000
a log (1 1000) 3,
a log (1 3, ) 0,
a log (1 0, ) 0,
a log (1 0, ) 0,

  
  
  
  
 
 
Portanto, a alternativa [D] é a correta. 
 
Resposta da questão 42: 
 [B] 
 
[I] Verdadeira. Para 1x e 2x pertencentes ao intervalo ]1, [ e 1 2x x . 
1 2
1 2 1 2 1 2
1 2 1 2
10 10
1 2 1 2
1 1 1 1 1 1
x x 1 1
x x x x x x
x 1 x 1 x 1 x 1
log log
x x x x
           
      
      
   
 
 
 
 
 
 
 
 
Portanto a função é crescente para todo x real maior que 1. 
 
[II] Verdadeira. 
xx
x 2
3
2
3 3
2 2 12 x log 12,
3 2
 
      
 
 
 
Portanto, a equação tem apenas uma solução real. 
 
[III] Falsa. 
Se 
1
11x 1 1 2 2,
1
 
     
 
 portanto 1 não é raiz da equação. 
 
Se x x xx 1 x 1 x (x 1) x x (x 1) x           
 
Se x0 x 1 x 1 1 x 1 1 (x 1) 1 x            
 
Portanto, a equação não admite nenhuma raiz real positiva. 
 
Resposta da questão 43: 
 [E] 
 
Sendo α o coeficiente angular, pode-se escrever: 
1
2 2
0
nx 1 x e x ex x
f(x) g(x) nx ( nx) ( nx) nx 0
2 2 nx 0 x e x 1
    
        
    
 
 
Logo: 
 
 
 
 
1 e 1P 1, 1 e 32 2 2
e 1 2 e 1eQ e, 1
2
α α
   
   
   