Matemática - Progressão Aritmética - Aprovação Virtual

Prévia do material em texto

63
UNIDADE IX
“São todas as sequencias numéricas cujo cada ter-
mo a partir do segundo (a2) é igual ao anterior soma-
do à uma constante (r)”
Ex.: 
Seja um digitador que monta uma meta para um 
de seus trabalhos. No primeiro dia ele irá digitar 20 
linhas e em cada dia ele vai aumentando 5 linhas com 
relação ao dia anterior, quantas linhas ele escreveu so-
mente no 8º dia?
1º 
dia
2º 
dia
3º 
dia
4º 
dia
5º 
dia
6º 
dia
7º 
dia
8º 
dia
20 l 25 l 30 l 35 l 40 l 45 l 50 l 55l
Podemos afirmar que a constante que é somada a 
cada termo é 5, ou seja, r = 5
1º 
dia
2º 
dia
3º 
dia
4º 
dia
5º 
dia
6º 
dia
7º 
dia
8º 
dia
a1 a2 a3 a4 a5 a6 a7 a8
Repare que:
a2 = a1 + r, a3 = a2 + r, a4 = a3 + r
a5 = a4 + r, a6 = a5 + r, a7 = a6 + r
a8 = a7 + r
Escrevendo os termos em função de a1, temos:
a2 = a1 + r, a3 = a1 + 2r, a4 = a1 + 3r
a5 = a1 + 4r, a6 = a1 + 5r, a7 = a1 + 6r
a8 = a1 + 7r
Ou seja, se quisermos escrever um termo qualquer 
de uma progressão aritmética em função de a1, temos:
an = a1 + (n – 1) . r
 Tipos de PA:
(i) Crescente: r > 0
(ii) Decrescente: r < 0
(iii) Constante: r = 0
Questão Resolvida: Seja a PA (1, 6, 11, ...), dessa 
forma, a posição do termo 96 ocupa a ____ posição:
a) 9ª
b) 8ª
c) 11ª
d) 13ª
e) 20ª
RESOLUÇÃO:
an = a1 + (n – 1) . r
96 = 1 + (n – 1) . 5
95 = (n – 1) . 5
(n – 1) - 19
∴ n = 20
Gabarito: e) 
Questão 1: Seja a sequência (2, 5, 8, ...). Determi-
ne o termo de posição 500 da progressão:
a) 1.500
b) 1.499
c) 1.400
d) 1.399
e) 1.300
Questão 2: Em uma Progressão Aritmética, em 
que o primeiro termo é 23 e a razão é – 6, a posição 
ocupada pelo elemento – 13 é:
a) 8a d) 5a
b) 7a e) 4a
c) 6a
Questão 3: Quantos múltiplos de 9 há entre 100 
e 1000?
a) 99
b) 100
c) 108
d) 154
e) 999
Progressão Aritmética (PA)
UNIDADE IX | PrOgrESSãO AritmétiCA (PA)
MATEMÁTICA64
Questão 4: O gráfico, obtido a partir de dados do 
ministério do meio Ambiente, mostra o crescimento 
do número de espécies da fauna brasileira ameaça-
das de extinção. Se mantida, pelos próximos anos, 
a tendência de crescimento mostrada no gráfico, o 
número de espécies ameaçadas de extinção em 2011 
será igual a:
a) 465
b) 493
c) 498
d) 538
e) 699
Exercício Resolvido: Seja uma progressão aritmé-
tica cujo terceiro termo é igual a 9 e razão igual a 2, 
determine o valor do 10º termo.
a) 20
b) 21
c) 22
d) 23
e) 24
RESOLUÇÃO:
1ª: 
a3 = a1 + (3 – 1)r
9 = a1 + 2.2 ∴ a1 = 5
a10 = a1 + (10 – 1)r
a10 = 5 + 9.2 = 23
2ª: termo genérico da P.A.
Seja um termo de posição “k” tal que k ≠ 1, se 
quisermos descobrir um termo de posição “n” basta 
fazermos o seguinte:
an = ak + (n – k)r
Aplicando na questão:
a10 = a3 + (10 – 3)r
a10 = 9 + 7.2 = 23
Gabarito: d)
Questão 5: Seja uma PA cujo quinto termo vale – 
10 e a razão vale 4, então, podemos afirmar que seu 
9º termo é igual a:
a) 3
b) 6
c) – 3 
d) – 6 
e) 1
Obs.: Notação especial para PA de quantidade ím-
par de elementos. 
Sempre colocamos os demais termos em função 
do termo central:
3 termos:
(a1, a2, a3) = (a2 – r, a2, a2 + r)
5 termos: 
(a1, a2, a3, a4, a5) = (a3 – 2r, a3 – r, a3, a3 + r, a3 + 2r)
Questão 6: Seja uma PA de 5 termos cuja soma 
de seus termos é igual a 60, podemos afirmar que seu 
terceiro termo é igual a:
a) 20 d) 6
b) 18 e) 4
c) 12
Questão 7: Seja uma progressão aritmética de 9 
termos, se a soma desses é igual a 45 e a sua razão é 
igual a 3, determine o valor do sétimo termo:
a) 5
b) 8
c) 11
d) 14
e) 17
PrOgrESSãO AritmétiCA (PA) | UNIDADE IX
MATEMÁTICA 65
 Termo central
“Seja um termo qualquer de uma PA, ele será igual 
a média aritmética dos termos extremos a ele.”
Ex.: 
2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, ...
10 = 
14 = 
⫶
Exercício Resolvido: Seja uma PA cujo a5 = 7 e 
a9 = 13, dessa forma, o valor de a7 é igual a:
a) 7/3
b) 10
c) 15
d) 22
e) 30
RESOLUÇÃO:
repare que a7 é equidistante de a5 e a9, já que a5 = 
a7–2 e a9 = a7+2
Logo:
Gabarito: b)
Questão 8: A razão da PA (x, 2x + 5, 31) é igual a:
a) 7 d) 12
b) 9 e) 15
c) 11
Questão 9: Se (a1, a2 ,..., a13) é uma progressão 
aritmética (PA) cuja soma dos termos é igual a 78, 
então a7 é igual a
a) 6 d) 9
b) 7 e) 10
c) 8
 Soma dos Termos de uma PA:
Exercício Resolvido: Qual a soma dos 200 pri-
meiros números pares não nulos?
a) 40200
b) 80400
c) 60300
d) 50500
e) 70700
RESOLUÇÃO:
a1 = 2, r = 2
a200 = 2 + 199.2 = 400
 = 
Gabarito: a)
Questão 10: temos uma progressão aritmética de 
20 termos onde o primeiro termo é igual a 5. A soma 
de todos os termos dessa progressão aritmética é 480. 
O décimo termo é igual a:
a) 20
b) 21
c) 22
d) 23
e) 24
Questão 11: Em uma progressão aritmética de 
termos positivos, os três primeiros termos são 
1 – a , – a , . O quarto termo desta P.A. é: 
a) 2 
b) 3 
c) 4 
d) 5 
e) 6
Questão 12: A soma dos 10 primeiros termos de 
uma progressão aritmética é 185 e a soma dos 12 pri-
meiros é 258, então, o 1º termo e a razão são respec-
tivamente:
UNIDADE IX | PrOgrESSãO AritmétiCA (PA)
MATEMÁTICA66
a) 3 e 5. 
b) 5 e 3. 
c) 3 e – 5. 
d) – 5 e 3. 
e) 6 e 5.
Questão 13: Numa progressão aritmética de pri-
meiro termo 1/3 e razão 1/2, a soma dos n primeiros 
termos é 20/3. O valor de n é 
a) 5 
b) 6 
c) 7 
d) 8 
e) 9
Questão 14: Numa progressão Aritmética de nove 
termos, a soma dos dois primeiros termos é igual a 20 
e a soma do sétimo e oitavo termos é 140. A soma de 
todos os termos desta PA é:
a) 405
b) 435
c) 320
d) 395
e) 370
Questão 15: Na PA decrescente (18, 15, 12, 9, 
…), o termo igual a -51 ocupa a posição:
a) 30
b) 26
c) 24
d) 18
e) 15 
Questão 16: A soma dos 10 primeiros termos de 
uma PA, cujo termo geral é dado pela expressão ak = 
3k – 16, 
a) 5
b) 14
c) 18
d) – 6 
e) 7
Questão 17: O número mínimo de termos que 
deve ter a PA (73, 69, 65, …) para que a soma de seus 
termos seja negativa é 
a) 18 
b) 19 
c) 20 
d) 37 
e) 38 
Questão 18: Em uma progressão aritmética, o 
primeiro termo é 5 e o décimo primeiro termo é 45. 
Pode-se afirmar que o sexto termo é igual a 
a) 15. 
b) 21. 
c) 25. 
d) 29. 
e) 35. 
Questão 19: Em um treinamento de condicio-
namento físico, um soldado inicia seu primeiro dia 
correu 800 m. No dia seguinte correu 850 m. No 
terceiro 900 m e assim sucessivamente até atingir a 
meta diária de 2.200 m. Ao final de quantos dias, ele 
terá alcançado a meta? 
a) 31 
b) 29 
c) 27 
d) 25 
e) 23 
Questão 20: inscrevendo-se nove meios aritméti-
cos entre 15 e 45, obtém-se uma PA cujo sexto termo 
é:
a) 25
b) 30
c) 33
d) 42
e) 48
Questão 21: Os números que expressam as me-
didas, em cm ou em cm², do lado, da superfície e do 
perímetro de um quadrado, dados nessa ordem, for-
mam uma PA. O lado desse quadrado, em cm, mede:
PrOgrESSãO AritmétiCA (PA) | UNIDADE IX
MATEMÁTICA 67
a) 5/2
b) 5/3
c) ¾
d) 3/2
e) 5/7
Questão 22: Em uma PA a8 + a19 + a24 = 97 e a3 + 
a10 + a15 =-18, então a razão dessa progressão é:
a) 1
b) 2
c) 3
d) 4
e) 5
Questão 23: As somas dos n primeiros termos 
das sequências aritméticas (8,12,...) e (17,19,...) são 
iguais. Então, n vale: 
a) 18 
b) 16 
c) 14 
d) 10 
e) 12
Questão 24 Em uma PA cuja razão é igual ao seu 
primeiro termo, tem-se a3  + a7  = 5. Assim, a razão 
dessa PA é:
a) 0,5.
b) 2,5.
c) 2.
d) 1.
Questão 25: Quantos meios aritméticos devemos 
inserir entre 8 e 89 de modo que a sequência obtida 
tenha razão 3?
a) 16
b) 44
c) 26
d) 51
e) 68
GABARITO
1: b)
2: b)
3: b)
4: c)
5: b)
6: c)
7: c)
8: d)
9: a)
10: d)
11: b)
12: b)
13: a)
14: a)
15: c)
16: a)
17: e)
18: c)
19: b)
20: b)
21: a)
22: e)
23: d)
24: a)
25: c)