Sentenças Abertas e Quantificadores

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Sentenças Abertas e Quantificadores
Uma sentença aberta p(x) é aquela cujo valor lógico depende de uma variável x (ou mais de uma). Por exemplo:
 
· p(x): x + 1 = 7
          Para x = 6 é verdadeira, mas para x = 5 é falsa.
 
· p(y):  é um número natural e y > 2
          Para y = 5 é verdadeira, mas para y = 1 é falsa.
 
· p(Q):  é um polígono que possui um ângulo interno de 90º.
Se Q é um triângulo retângulo, um quadrado... é verdadeira, mas se Q for um triângulo equilátero, então a sentença é falsa.
 
· p(x,y): x, y ∈ R e  x > y 
          Para (x, y) = (2, 1) é verdadeira, mas para (x, y) = (0, 5) é falsa.
 
O conjunto-verdade Vₚ de uma sentença aberta p(x) é o conjunto de todos os elementos/valores/objetos a tais que p(a) é uma proposição verdadeira. Nos exemplos anteriores temos que os conjuntos-verdade são, respectivamente, Vₚ = {6}, Vₚ = {y ∈ N ; y > 2} = {3, 4, 5, 6...},  Vₚ  = polígonos que possuem um ângulo interno reto, Vₚ = {(x, y) ∈ R²; x > y}
 
Sendo A o conjunto de todos os possíveis valores/objetos da variável x da sentença aberta p(x), temos três possibilidades:
Quando o quantificador existencial é escrito ∃! significa que além da existência, é garantida a unicidade, e lê-se “existe e é único” ou “existe apenas um”.
· (∃! y ∈ N) (x + 5 = 7)
“Existe um único número natural x tal que x + 1 = 7.”
Valor-lógico: Verdadeiro
 
· ∃! y ∈ R; y² + 1 < 0
“Existe um único número real y tal que  y² + 1 < 0.”
Valor-lógico: Falso
 
· ∃! y ∈ Z; 2z < z
“Existe apenas um número inteiro z tal que o dobro de z é menor do que z."
Valor-lógico: Falso
 
Se p(x) é uma sentença aberta em A, então o quantificador ∃! a torna uma proposição (∃x! ∈ A) (p(x)).
 
· Se Vₚ = {a} a proposição é verdadeira;
· Se Vₚ ≠ {a} , a proposição é falsa.
· p(x) é verdadeira para todo x ∈  A. Neste caso Vₚ = A e p(x) é uma propriedade universal no conjunto A.
· p(x) é verdadeira somente para alguns  x ∈  A. Neste caso Vₚ  é um subconjunto próprio de A e p(x) é uma propriedade possível no conjunto A.
· p(x) é falsa para todo x ∈ A. Neste caso, Vₚ =  Ø e p(x) é uma propriedade impossível no conjunto A.
 
Para atribuir um valor-lógico às sentenças abertas, usamos os quantificadores. O quantificador universal é indicado pelo símbolo  e lê-se: “para todo”, ou “qualquer que seja”. Por exemplo:
 
· (∀x ∈ N) (x + 5 = 7)
“Para todo número natural x, temos que x + 5 = 7.” 
Valor-lógico: Falso.
 
· ∀x ∈ R, y² + 1 > 0
“Para todo número real y, temos que y² + 1 > 0.”
Valor-lógico: Verdadeiro.
 
2z > z, 
“O dobro de z é maior do que z, para todo número natural z.”
Valor-lógico: Verdadeiro.
 
Se p(x) é uma sentença aberta em A, então o quantificador  a torna uma proposição (∀x ∈ A) (p(x)).
· Se  Vₚ = A, a proposição é verdadeira;
· Se Vₚ ≠ A, a proposição é falsa.
 
O quantificador existencial é indicado pelo símbolo ∃! e lê-se: “existe”, ou “existe pelo menos um”.
 
· (∃ x ∈ N) (x + 5 = 7)
“Existe um número natural x tal que x + 1 = 7.”
Valor-lógico: Verdadeiro.
 
· ∃ x ∈ N; y² + 1 < 0
“Existe um número real y tal que y² + 1 < 0.”
Valor-lógico: Falso
 
· ∃ z ∈ Z; 2z < 2
“Existe um número inteiro z tal que o dobro de z é menor do que z”
Valor-lógico: Falso
 
Se p(x) é uma sentença aberta em A, então o quantificador ∃ a torna uma proposição (∃ x ∈ A) (p(x)).
· Se  Vₚ = Ø, a proposição é verdadeira;
· Se Vₚ ≠ Ø, a proposição é falsa.
 
 
 
Atividade extra
No livro “Iniciação à Lógica Matemática”, de Edgard de Alencar Filho, o autor esmiúça o estudo das sentenças abertas com várias variáveis. A atividade extra desta aula é a leitura do capítulo 14 deste livro.
 
Referência Bibliográfica
Iezzi, Gelson Carlos Murakami. Fundamentos de Matemática Elementar, 1: Conjuntos, Funções. 9ª edição. Editora Atual. São Paulo, 2013.
Alencar Filho, Edgard de. Iniciação a Lógica Matemática. Editora Nobel. São Paulo, 2002.
QUESTAO 1
Qual das alternativas a seguir é uma sentença aberta?
1. Existem números reais que são soluções da equação x3-1=0
2. Vinte é máximo divisor comum de quarenta e sessenta
3. x2+1=0
4. Brasília é a capital do Brasil
5. x2+1=0, para x=1 e x=-1
QUESTAO 2
Considerando o conjunto dos números reais, observe as sentenças abertas abaixo:
I. x2-1=0
II. y<y+1
III. √z2=z
IV. x-1=0
Para transformá-las corretamente em proposições lógicas cujo valor-lógico é verdadeiro, podemos usar, respectivamente, os seguintes quantificadores:
1. ∃,∀,∀,∃
2. ∃!,∃,∀,∃
3. ∀,∃,∀,∀
4. ∃,∀ ,∃,∃!
5. ∃,∀,∃!,∀
QUESTAO 3
Observe as sentenças abaixo:
I. Existe pelo menos um professor de matemática na escola.
II. Todo brasileiro tem direito à saúde pública de qualidade.
III. Um único estudante irá passar em 1º lugar no vestibular de medicina.
IV. Qualquer estudante pode participar da assembleia estudantil.
Foram empregadas nas sentenças acima, respectivamente, os seguintes quantificadores:
1. Existencial, existencial, existencial, universal
2. Universal, existencial, universal, existencial
3. Existencial, universal, existencial, universal
4. Universal, Existencial, existencial, universal
5. Existencial, universal, existencial, existencial
QUESTAO 4
Observe as sentenças quantificadas a seguir:
(∀ x ∈ R) (x2+7=56)
Existe um único número real x tal que x+7=14.
Todo retângulo é um paralelogramo.
(∃ x∈ N ) (x2-x=0)
Podemos classificar o valor-lógico das sentenças como sendo, respectivamente:
1. Verdadeiro, verdadeiro, falso, verdadeiro
2. Falso, verdadeiro, verdadeiro, falso
3. Falso, falso, verdadeiro, verdadeiro
4. Verdadeiro, falso, falso, verdadeiro
5. Falso, verdadeiro, verdadeiro, verdadeiro
QUESTAO 5
Observe as sentenças abertas a seguir, onde em todas elas x∈ R:
I. x2+1=7
II. x<2
III. x3=3x²
A única alternativa que possui os quantificadores necessários para transformar as sentenças em proposições lógicas com valores-lógicos falsos é:
1. Universal, existencial, existencial
2. Existencial, universal, universal
3. Existencial com unicidade, existencial, existencial
4. Universal, existencial com unicidade, universal
5. Universal, existencial, existencial com unicidade
QUESTAO 6
A única sentença aberta que se torna uma proposição lógica com valor-lógico verdadeiro através do quantificador existencial com unicidade (∃!) é:
1. 2x2 - 10x + 8 = 0
2. 18 < x < 21
3. 6 n + 4 ≤ 34
4. (y-1) . (y+1) = y2 - 1
5. 3z - 3 = 9