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Produtos notáveis 
Utilizados para simplificar as contas do produto algébrico, os produtos notáveis apresentam 
cinco casos distintos. 
Antes de entendermos o que são produtos notáveis, devemos saber o que são expressões 
algébricas, isto é, equações que possuem letras e números. Veja alguns exemplos: 
2x + 3 = 4 
-y + 2x + 1 = 0 
z2 + ax + 2y = 3 
Os produtos notáveis possuem fórmulas gerais, que, por sua vez, são a simplificação de 
produtos algébricos. Veja: 
(x + 2) . (x + 2) = 
(y – 3) . (y – 3) = 
(z + 4 ). ( z – 4) = 
Há cinco casos distintos de produtos notáveis, a saber: 
Primeiro Caso: 
 
 quadrado = expoente 2; 
 Soma de dois termos = a + b; 
 Logo, o quadrado da soma de dois termos é: (a + b)2 
Efetuando o produto do quadrado da soma, obtemos: 
(a + b)2 = (a + b) . (a + b) = 
= a2 + a . b + a . b + b2 = 
= a2 + 2 . a . b + b2 
Toda essa expressão, ao ser reduzida, forma o produto notável, que é dado por: 
(a + b)2 = a2 + 2 . a . b + b2 
Sendo assim, o quadrado da soma de dois termos é igual ao quadrado do primeiro termo, 
mais duas vezes o primeiro termo pelo segundo, mais o quadrado do segundo termo. 
Exemplos: 
(2 + a)2 = 
= 22 + 2 . 2 . a + a2 = 
= 4 + 4 . a + a2 
 
(3x + y)2 = 
= (3 x)2 + 2 . 3x . y + y2 = 
= 9x2 +6 . x . y + y2 
Efetue 
a) (x + 3y)2 = 
b) (7x + 1)2 = 
c) (a5+2bc)2 = 
Segundo Caso: 
 
 Quadrado da diferença de dois termos. 
 Quadrado = expoente 2; 
 Diferença de dois termos = a – b; 
 Logo, o quadrado da diferença de dois termos é: (a - b)2. 
Vamos efetuar os produtos por meio da propriedade distributiva: 
(a - b)2 = (a – b) . (a – b) 
= a2 – a . b – a . b + b2 = 
= a2 – 2 .a . b + b2 
Reduzindo essa expressão, obtemos o produto notável: 
(a - b)2 = a2 – 2 .a . b + b2 
 
Temos, então, que o quadrado da diferença de dois termos é igual ao quadrado do primeiro 
termo, menos duas vezes o primeiro termo pelo segundo, mais o quadrado do segundo 
termo. 
Exemplos: 
(a – 5c)2 = 
= a2 – 2 . a . 5c + (5c)2 = 
= a2 – 10 . a . c + 25c2 
 
(p – 2s) = 
= p2 – 2 . p . 2s + (2s)2 = 
= p2 – 4 . p . s + 4s2 
Efetue 
1) (7x – 4)2 
2) (6a– b)2= 
3) (x3 – xy)2= 
Terceiro Caso: 
 
Produto da soma pela diferença de dois termos. 
 Produto = operação de multiplicação; 
 Soma de dois termos = a + b; 
 Diferença de dois termos = a – b; 
 O produto da soma pela diferença de dois termos é: (a + b) . (a – b) 
Resolvendo o produto de (a + b) . (a – b), obtemos: 
(a + b) . (a – b) = 
= a2 - ab + ab - b2 = 
= a2 + 0 + b2 = a2 - b2 
Reduzindo a expressão, obtemos o produto notável: 
(a + b) . (a – b) = a2 - b2 
Podemos concluir, portanto, que o produto da soma pela diferença de dois termos é igual 
ao quadrado do primeiro termo menos o quadrado do segundo termo. 
Exemplos: 
(2 – c) . (2 + c) = 
= 22 – c2 = 
= 4 – c2 
 (3x2 – 1) . (3x2 + 1) = 
= (3x2)2 – 12 = 
= 9x4 - 1 
Efetue 
1) (3a + x) . (3a – x)= ) 
2) (x2 + 5p) . (x2 – 5p)= 
3) (10 – ab4) . (10 + ab4)= 
 
 
Quarto caso: 
 
Cubo da soma de dois termos 
 Cubo = expoente 3; 
 Soma de dois termos = a + b; 
 Logo, o cubo da soma de dois termos é: (a + b)3 
Efetuando o produto por meio da propriedade distributiva, obtemos: 
(a + b)3 = (a + b) . (a + b) . (a + b) = 
= (a2 + a . b + a . b + b2) . (a + b) = 
= ( a2 + 2 . a . b + b2 ) . ( a + b ) = 
= a3 +2. a2 . b + a . b2 + a2 . b + 2 . a . b2 + b3 = 
= a3 +3 . a2 . b + 3. a . b2 + b3 
Reduzindo a expressão, obtemos o produto notável: 
(a + b)3 = a3 + 3 . a2 . b + 3 . a . b2 + b3 
O cubo da soma de dois termos é dado pelo cubo do primeiro, mais três vezes o primeiro 
termo ao quadrado pelo segundo termo, mais três vezes o primeiro termo pelo segundo 
ao quadrado, mais o cubo do segundo termo. 
Exemplos 
(3c + 2a)3 = 
= (3c)3 + 3 . (3c)2 .2a + 3 . 3c . (2a)2 + (2a)3 = 
= 27c3 + 54 . c2 . a + 36 . c . a2 + 8a3 
: Efetue: 
a) (a + b)3 = 
b) (x + 4)3 = 
c) (2a + y)3 = 
 
 
Quinto caso: 
 
Cubo da diferença de dois termos 
 Cubo = expoente 3; 
 Diferença de dois termos = a – b; 
 Logo, o cubo da diferença de dois termos é: ( a - b )3. 
Efetuando os produtos, obtemos: 
(a - b)3 = (a - b) . (a - b) . (a - b) = 
= (a2 - a . b - a . b + b2) . (a - b) = 
= (a2 - 2 . a . b + b2) . (a - b) = 
= a3 - 2. a2 . b - a . b2 - a2 . b + 2 . a . b2 - b3 = 
a3 - 3 . a2 . b + 3. a . b2 - b3 
Reduzindo a expressão, obtemos o produto notável: 
(a - b)3 = a3 - 3 . a2 . b + 3 . a . b2 - b3 
O cubo da diferença de dois termos é dado pelo cubo do primeiro, menos três vezes o 
primeiro termo ao quadrado pelo segundo termo, mais três vezes o primeiro termo pelo 
segundo ao quadrado, menos o cubo do segundo termo. 
Exemplo: 
(x - 2y)3 = 
= x3 - 3 . x2 . 2y + 3 . x . (2y)2 – (2y)3 = 
x3 - 6 . x2 . y + 12 . x . y2 – 8y3 
: Efetue: 
a) (a – b)3 = 
b) (x – 4)3 = 
c) (2a – y)3 = 
 
) 
Utilizando as regras dos produtos notáveis, calcule: 
a) (x + 3)2 
b) (a + b)2 
c) (5y – 1)2 
d) (x2– 6)2 
e) (2x + 7)2 
f) (9x + 1) . (9x – 1) 
g) (a2 – xy)2 
k) (x3y – xy3)2 
i) (3y – 5)2 
j) (2x2 + 3xy)2 
k) (10x2 – ab)2 
l) (2a3 + 3a)2 
m) (ab + a2) . (ab – a2)