Plano de Aula - Subconjuntos

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PLANO DE AULA 
 
Tema 
Subconjuntos. 
Conteúdos 
 Subconjuntos - definição e raciocínio matemático do conteúdo. 
 Simbologia matemática nos Subconjuntos ⊂ - estar contido - e suas 
variações (não está contido, contém e não contém). 
 Propriedades de Inclusão. 
 Conjunto das Partes. 
 
Objetivo geral 
Associar o conceito de Subconjuntos, suas propriedades e operações, à sua 
representação gráfica e simbólica. 
Objetivos específicos 
 Exemplificar o conceito de Subconjuntos utilizando a concepção de gêneros 
cinematográficos; 
 Demonstrar a construção de Subconjuntos através de representações 
pictóricas e de recursos virtuais, por meio do Scratch; 
 Relacionar o conceito de Subconjuntos com sua representação gráfica, por 
meio do Diagrama de Venn e, também, à sua representação simbólica; 
 Associar os Subconjuntos à simbologia matemática (⊂, ⊄, ⊃ e ⊅); 
 Apresentar as Propriedade de Inclusão dos Subconjuntos. 
 Reconhecer o Conjunto das Partes e identificar os elementos 
correspondentes; 
 Resolver exercícios envolvendo as representações gráficas e simbólicas dos 
Subconjuntos, relacionando-os a linguagem matemática; exercícios 
referentes, também, as propriedades de inclusão e conjunto das partes. 
 . 
Procedimentos Metodológicos 
A aula é iniciada através de questionamentos direcionados aos alunos: 
 Vocês costumam ver muitos filmes? 
 Quais são seus filmes/gêneros preferidos? 
 Costumam assistir em alguma plataforma específica? 
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 Vocês sabem como essas plataformas são organizadas? 
 
As plataformas de filmes são organizadas através de um conjunto. Vocês se 
lembram desse conceito? Podemos definir Conjuntos como a “reunião de 
objetos que possuem características comuns”. 
Enfatiza-se que “conjunto” é um conceito primitivo, sendo, portanto, indefinível, mas 
que essa definição apresentada ajuda na compreensão da natureza da Teoria de 
Conjuntos. 
 
Os conjuntos possuem várias características próprias, e uma delas é possuir 
subconjuntos. Mas o que são esses Subconjuntos? 
Antecedendo a apresentação do conceito formal, ocorrerá a construção do conceito 
de Subconjuntos, junto com os alunos, através da exemplificação por meio dos 
gêneros cinematográficos (drama, comédia, terror, etc.) 
 
Disponibilizar aos alunos a atividade desenvolvida no Scratch - disponível em: 
https://scratch.mit.edu/projects/529733815/ - para que eles visualizem e manuseiem 
uma plataforma de filmes, identificando os subconjuntos, anotando os filmes e suas 
categorias. 
O tempo concedido a essa atividade será de 15 a 20 minutos. 
 
 
Dando continuidade a explicação, temos que uma plataforma de filmes 
https://scratch.mit.edu/projects/529733815/
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chamada “Netfilmes” possui vários filmes em seu catálogo. Podemos 
classificar essa plataforma como um conjunto, pois ela reúne diversos 
elementos que possuem uma característica comum, que nesse caso são 
filmes. Esses filmes estão listados e divididos em categorias, como 
apresentado na tabela a seguir: 
 
Com isso, temos um conjunto, em que todos os elementos são filmes. Dentro 
desse conjunto, há diversos gêneros, como comédia, drama, romance, terror, 
etc., que subdividem nosso conjunto em outros pequenos conjuntos. 
 
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Esses pequenos conjuntos são o que nomeamos de Subconjuntos pois estão 
contidos ao conjunto dos filmes. Ainda, destacamos que os Subconjuntos não 
são iguais aos elementos de um conjunto, já que cada subconjunto pode 
contar um número 𝒏 de elementos dentro dele – como será apresentado pela 
imagem abaixo. 
Podemos classificar Comédia como subconjunto de Filmes pois todos os 
elementos desse conjunto, ou seja, todos os longa metragens que pertencem 
ao conjunto Comédia, pertencem também ao conjunto Filmes. 
 
Apresentar graficamente a explicação anterior, representando o Subconjunto dos 
filmes de Ação e seus respectivos elementos (com auxílio do Scratch). 
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Em seguida, é realizada a apresentação do conceito de Subconjuntos: “Quando 
todos os elementos de um conjunto A qualquer pertencem a um outro conjunto B, 
diz-se, então, que A é um subconjunto de B”. Esse conceito será passado no quadro 
para que os alunos anotem no caderno. 
 
Podemos afirmam que o conjunto A é o conjunto dos filmes acima mostrado 
e os seus subconjuntos B, C, D, E, F,G e H são os gêneros Musical, Drama, 
Comédia, Terror, Ação, Suspense e Aventura, respectivamente. 
 
Agora, depois da apresentação do conceito, ceder aproximadamente 5 minutos par 
que os alunos possam novamente manusear a atividade no Scratch e associar os 
subconjuntos aos gêneros contidos no mesmo. 
 
A representação pictórica realizada parte do Diagrama de Venn, que é utilizado 
para representações gráficas de conjuntos. 
Segue exemplo genérico: 
 
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(representá-lo com auxílio de quadro e giz/pincel) 
 
Após a explicação e significação do conceito de Subconjuntos, ocorrerá a resolução 
de alguns exercícios com auxílio do professor: 
 
1- O conjunto A é formado por {1,2,3,5,7} e o conjunto B é formado por {3,5}. O 
conjunto B é subconjunto de A? 
 
Nesse caso, observamos que B é subconjunto de A, pois todos os 
elementos de B pertencem simultaneamente ao conjunto A. 
 
2- O conjunto A é formado por {9,11,75} e o conjunto B é formado por {11,36}. 
O conjunto M é subconjunto de N? 
 
Nesse caso, observamos que B não é subconjunto de A, pois os 
elementos de B não pertencem à A em sua totalidade. O que podemos 
destacar é que o elemento 11 pertence aos dois conjuntos, resultando 
em uma intersecção dos mesmos, onde há a junção dos elementos 
comuns entre A e B. 
 
Nesse momento haverá uma abertura para sanar possíveis dúvidas que possam vir 
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a surgir durante a explicação do conteúdo. 
 
Dando prosseguimento a aula, será apresentada a linguagem matemática que se 
refere a representação simbólica dos conceitos anteriormente apresentados. 
 
Com a notação A ⊂ B, indicamos que A está contido no conjunto B, ou seja, A 
é subconjunto de B. 
O símbolo “⊂” é denominado sinal de inclusão, e é utilizado em situações 
afirmativas. Já em afirmações negativas, o símbolo utilizado é ⊄. 
Utilizando como base os exercícios 1 e 2 resolvidos anteriormente, podemos 
representa-lo de forma simbólica como: 
1- B ⊂ A, ou seja, B está contido em A ou B é subconjunto de A. 
2- B ⊄ A, ou seja, B não está contido em A ou B não é subconjunto de A. 
 
Ainda, há os símbolos ⊃ e ⊅, que tem significado opostos aos símbolos ⊂ e 
⊄, respectivamente. Como são conceitos semelhantes entre si, basta 
apresentar o significado se utilizando dos mesmos exercícios 1 e 2: 
1. A ⊃ B, ou seja, o conjunto A contém o subconjunto B. 
2. A ⊅ B, ou seja, o conjunto A não contém o subconjunto B. 
 
(Esses conceitos serão passados no quadro para que os alunos possam registrá-
los no caderno). 
Posteriormente, são realizados exercícios envolvendo tanto a representação gráfica 
quanto a representação simbólica. 
 
1- Classifique como V ou F as afirmações: 
a) ( ) {0} ⊂ { } 
b) ( ) {3} ⊂ {1;2;3} 
c) ( ) Z ⊂ R 
d) ( ) Q ⊂ R 
e) ( ) I ⊂ R 
 f) ( ) { } ⊂ { } 
 
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2- Sendo A= {x ∈ Z/ (3x + 9)(2x + 4)x(x – 1) = 0} e B= {x ∈ N/ x² - 7x =- 12}, 
substitua os espaços corretamente pelos símbolos ∈, ∉ , ⊂ ou ⊄. 
a) 0 ___ A 
b) 0 ___ B 
c)3 ___ A 
d) 3 ___ B 
e) B ___ Z 
f) A ___ N 
 
3- O conjunto B é composto por {7,12,13,15,17} e o conjunto C é composto por 
{1,2,3,5,7,8,14}. O conjunto C é subconjunto de B? 
 
4- O conjunto M está contido em N? Sabendo que N{1,2,3,5} e M{1,3}. 
 
5- Considerando A{1,2,3,4,5,6} e B{3,5}. Analise as afirmações e classifique em 
verdadeiro ou falso. 
a) ( ) A ⊂ B 
b) ( ) B ⊂ A 
c) ( ) A ⊄ B 
d) ( ) B ⊄ A 
 
6- Represente os conjuntos A={1, 2, 7, 8,4} , B={1, 2, 6, 5, 8} e C={1, 2, 3, 7, 5 
8, 9} no diagrama. 
 
Depois de exemplificar todos os conceitos citados anteriormente, seguimos para as 
Propriedades da Inclusão. Essas propriedades irão auxiliar na resolução dos 
exercícios e, por isso, é necessário que os alunos as fixem de forma satisfatória. 
Para isso, será retomado o exemplo dos subconjuntos – os gêneros - de filmes. 
 
Os subconjuntos, assim como muitas operações matemáticas, possuem 
propriedades. Estas que têm o objetivo de auxiliar na resolução de problemas. 
Por isso, apresentaremos as Propriedades de Inclusão aos alunos a fim de 
melhorar a compreensão da turma. 
 
A propriedade 1 pode ser mostrada pelo simples exemplo: 
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1) Uma plataforma de filmes chamada Netfilmes divide seus filmes em 
subconjuntos iguais aos citados anteriormente: 
 
 
 
No entanto, João percebe que ao abrir o subconjunto Musical de filmes, não 
havia nenhum filme dentro dessa aba. O que se pode concluir disso? 
 
Então, os alunos terão um tempo curto, de cerca de 5 minutos, para refletir sobre o 
problema. Logo após disso, apresenta-se a resposta: 
Note que, mesmo não havendo nenhum filme nessa categoria, ainda assim, 
ela está contida no conjunto de filmes. Com isso, existe um subconjunto sem 
elementos que está contido no conjunto dos filmes nesse exemplo. Dessa 
afirmação, temos a 1º propriedade: Ø ⊂ A, que é uma a generalização do caso 
particular dos filmes. Com ela, temos a definição de que todo conjunto contém 
o subconjunto sem elementos, ou seja, um subconjunto Ø. 
 
Já a segunda propriedade pode ser mostrada apenas pela reflexão – como seu 
próprio nome já aponta. Peguemos a frase: 
“O conjunto dos filmes da Netfilmes contém todos os filmes da plataforma” 
Depois de apresentada, basta guiar o pensamento do aluno para a seguinte 
questão: 
Essa frase é verdadeira ou falsa? Justifique. 
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Por meio da pergunta, o aluno se vê obrigado a tentar justificar sua frase de maneira 
lógica. Após um período de 3 minutos, o professor faz a justificativa: 
 
Clicando no conjunto dos filmes, notamos que todos os filmes da Netfilmes 
estão ali dentro. Logo, essa frase é verdadeira pois todos os filmes estão 
contidos no conjunto dos filmes. Logo, a 2º propriedade diz: A ⊂ A, que é uma 
generalização da frase anterior. Todos os elementos de A estão contidos em 
A. 
 
Para a propriedade 3, basta estabelecermos às seguintes afirmações: 
Longas-metragens são filmes. 
Filmes são longas-metragens. 
O que se pode concluir das duas proposições? 
Após deixar que o aluno pense por alguns minutos, deve-se trazer a seguinte 
conclusão: 
Logo, longas-metragens e filmes são a mesma coisa. Em linguagem 
matemática de conjuntos, teríamos: 
O conjunto dos longas-metragens contém filmes. 
O conjunto dos filmes contém longas-metragens. 
Definindo longas-metragens como o conjunto A e filmes como conjunto B, 
ficaríamos com: 
A ⊂ B 
B ⊂ A 
Extraindo da nossa conclusão lógica, A=B. 
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Assim, deve-se mostrar a 3º propriedade: (A ⊂ B e B ⊂ A) → A=B. 
Quando dois conjuntos contêm um ao outro, os dois são iguais. 
 
Por fim, a propriedade 4 também pode ser apresentada mantendo os exemplos de 
filmes: 
Na mesma plataforma do exercício 1, João clicou no subconjunto Comédia e 
viu que havia uma outra categoria dentro da mesma: Comédia Policial. 
Podemos afirmar que Comédia Policial é um tipo de filme também? 
Argumente. 
 
 
 
Após deixar com que os alunos pensem por alguns minutos, apresenta-se a 
resposta: 
Comédia Policial também é filme pois está dentro da categoria de filmes de 
Comédia. Então, a propriedade é (A ⊂ B e B ⊂ C) → A ⊂ C. 
 
EXERCÍCIOS: 
 
1- Dados A{1,2,3,4} e B{2,4}. Escrever com símbolos as sentenças a seguir e 
classifica-las em verdadeiras ou falsas: 
B está contido em A 
 B é igual a A 
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 A está contido em B 
 
2- Sendo A{1,2}, B{2,3}, C{1,3,4} e D{1,2,3,4}, classificar em V ou F cada 
sentença abaixo e justificar: 
a) A ⊂ D 
b) A ⊂ B 
c) B ⊂ C 
d) B=E 
e) A ⊄ C 
 
3- Determine x para que {1, 1, 2, 3} = {1, x, 3} 
 
Dando prosseguimento ao conteúdo, vamos trabalhar o Conjunto das Partes, 
que é um conjunto formado pelos subconjuntos de A. 
Seja A um conjunto qualquer. O conjunto abaixo é chamado de conjunto das 
partes de A: 
P(A)= {X | X é um subconjunto de A} 
 
Pelas propriedades da inclusão temos que: 
 Um conjunto vazio sempre será subconjunto de qualquer conjunto 
dado, inclusive dele próprio, pois ∅⊂A. 
 O próprio conjunto sempre está em seu conjunto das partes, pois A⊂A. 
 
Seja A={a,b,c}.A={a,b,c}. 
O conjunto das partes de AA é o conjunto que reune todos os subconjuntos 
de AA, incluindo o ∅∅ e o próprio AA. 
P(A)={{a}; {b}; {c}; {a,b}; {a,c}; {b,c}; {a,b,c}; ∅} 
 
Com base no jogo, disponível no Scratch, os alunos estarão desenvolvendo uma 
atividade presente no ambiente virtual. Portanto, para isso, devem dispor de um 
computador, para melhor compreensão e fixação do conteúdo: 
Inicialmente, os discentes devem acessar o link disponibilizado pelo professor, em 
momento adequado, e seguir as instruções de seu professor – que deve estar 
usando o data show para que os alunos possam entender de forma mais eficiente 
as instruções do professor no Scratch. Ao acessar a plataforma, o aluno deve 
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selecionar a bandeira para dar início a atividade e, então, uma nova página irá 
aparecer, dando a ele duas opções “Iniciar Netfilmes” e “Atividades”. Instruído pelo 
professor, o aluno deve selecionar a opção “Iniciar Netfilmes”. 
Como já trabalhamos com os gêneros dos filmes, pode-se dar prosseguimento 
direto à exposição do Conjunto das Partes. 
O professor, nesse momento, pode estar solicitando aos alunos que selecionem o 
gênero cinematográfico “Aventura”. Quando selecionado, os alunos devem notar 
que os filmes “Indiana Jones” e “Apollo13” fazem parte do subconjunto do gênero. 
Feita a observação, o professor dirige-se ao quadro exemplificando o que acontece 
no Conjunto das Partes. Segue-se então que: 
 
Considerando “IJ” o elemento “Indiana Jones” e “A13” o elemento “Apolo13”, 
temos o seguinte conjunto (A), que têm elementos representando os filmes de 
Aventura: 
A = {IJ, A13}. 
O Conjunto das Partes representa todos os subconjuntos que estão presentes 
em um conjunto. No caso dos filmes de ação, pelas propriedades vistas 
anteriormente, podemos afirmar que o conjunto A e o conjunto vazio são 
elementos do conjunto das partes. Então temos que: 
CP filmes de ação = {∅; {IJ, A13}} 
Agora, basta escrevermos cada um de seus elementos separadamente, 
obtendo o conjunto das partes do gênero cinematográfico Aventura. 
CP = {∅; {IJ}; {AP13}; {IJ, AP13}} 
Totalizando, 4 subconjuntos. 
 
Feita a exemplificação de como se obtém o conjunto das partes, o professor pode 
estar solicitando que os alunos façam as devidas anotações em seu material, 
partindo das propriedades. 
Após deixar um tempo para os alunos copiar e se apropriar do conhecimento 
transferido, o professor deve solicitar que eles retornem a página inicial da 
plataformaselecionando a bandeira, localizada na parte superior do jogo, pedir para 
que selecionem a opção “Atividades” (esse processo pode ser mostrado pelo 
professor através do data show). 
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Feito isso, o aluno instruído pelo professor deve selecionar a opção “Conjunto de 
Partes”. Em uma nova página da plataforma, o aluno deve visualizar a seguinte 
questão, com quatro alternativas: 
“Em um conjunto formado pelos 3 primeiros filmes de Todo Mundo em Pânico, 
existem quantos subconjuntos diferentes?” 
a) 8 subconjuntos 
b) 7 subconjuntos 
c) 4 subconjuntos 
d) 9 subconjuntos 
No canto direito inferior, há uma opção “Pensar” que, quando solicitada, deve ser 
selecionada. 
A plataforma direcionará os discentes e o professor para uma página que contém 
as seguintes informações: 
Uma região para a formação de conjuntos, imagens dos filmes Todo Mundo em 
Pânico, Todo Mundo em Pânico 2 e Todo Mundo em Pânico 3 – que serão 
representados por F1, F2 e F3, respectivamente. Junto aos alunos, o professor deve 
anotar no quadro os subconjuntos formados a partir dos. No canto direito superior, 
o aluno deve visualizar o placar “Número de subconjuntos” zerado. Abaixo do 
placar, opções com os sinais de adição (+) e subtração (-). 
Após indicar aos alunos que as imagens podem ser levadas para dentro do círculo 
branco e que o placar pode ser modificado, de acordo com cada subconjunto por 
eles formado, o professor deixa um tempo livre para que os alunos possam tentar 
realizar a atividade. 
Passado o momento de realizar a atividade, o professor dirige-se ao quadro e faz a 
correção junto com os alunos. 
Assumindo F1, F2 e F3 elementos do conjunto de filmes (F), temos que pelas 
propriedades o conjunto 
F = {{∅}; {F1, F2, F3}} 
 
 Questionar seus alunos sobre qual passo será realizado nesse momento. 
 
Sabendo que os elementos agora precisam ser escritos separadamente, deve-
se completar o conjunto, obtendo: 
F = {{∅} {P1, P2, P3} {P1} {P2} {P3}} 
 
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Questionamentos: - Será que essa atividade está concluída? Encontramos a 
resposta correta? 
Em caso afirmativo, o professor deve então perguntar aos alunos por que a resposta 
encontrada por eles está errada, deixando um tempo curto para reflexão e ouvir o 
que eles têm a dizer. 
Na sequência, é feita a seguinte explicação: além de ser formado pelo conjunto 
vazio, pelo próprio conjunto e cada um de seus elementos, o conjunto de 
partes é formado também pela combinação destes elementos. Ou seja, os 
elementos do conjunto devem ser agrupados entre si. 
Observe que podemos combinar os filmes da seguinte maneira: 
(F1, F2) (F1, F3) (F2, F3) 
Então, {F1, F2}; {F1, F3} e {F2, F3} serão também subconjuntos do conjunto F. 
No quadro, o professor deve completar o conjunto com as informações, chegando 
à resposta final: 
F = {{∅}, {F1, F2, F3}, {F1}, {F2}, {F3}, {F1, F2}, {F1, F3}, {F2, F3}} 
 
Para finalizar a atividade, o professor juntamente com os alunos concluí que: 
Além de ser formado pelo conjunto vazio, pelo próprio conjunto e cada um de 
seus elementos, o conjunto das partes também é formado pela combinação 
de elementos. 
Portanto, a resposta correta dessa atividade é a alternativa 
a) 8 subconjuntos. 
 
Podemos sintetizar esses conceitos através de uma fórmula muito simples: 
Se um conjunto A possui 𝒏 elementos , então 𝑷(𝑨) = 𝟐𝒏, (onde 𝑷 é o conjunto 
das partes). 
Utilizamos esse método quando não sabemos a quantidade de elementos do 
conjunto A, mas conhecemos a quantidade de subconjuntos que ele possui. 
 
Esse conceito é baseado no Axioma do Par que diz que, dados dois conjuntos, 
existe um conjunto no qual esses dois conjuntos são elementos. 
Em termos um pouco mais técnicos, sejam A e B conjuntos quaisquer (que 
podem ser iguais). Então existe um conjunto C tal que A ∈ B e B ∈ C. 
https://pt.wikipedia.org/wiki/Conjunto
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Por exemplo, sabemos que, n[Ƥ(A)]= 𝟐𝒏e que dentre todos essas partes existe 
o conjunto vazio que por sinal é subconjunto de todos os outros conjuntos. 
Se o conjunto A possui 255 conjuntos não vazios e consequentemente 1 vazio. 
𝟐𝒏 = 𝟐𝟓𝟓 + 𝟏 
𝟐𝒏 = 𝟐𝟓𝟔 
Fatorando o número 256, descobrimos que: 
𝟐𝟖 = 𝟐𝟓𝟔 
𝟐𝒏 = 𝟐𝟖 
Em uma equação exponencial com as mesmas bases, basta igualar os 
expoente e assim teremos que 𝒏 = 𝟖. 
 
Após as discussões realizadas, alguns exercícios serão propostos aos alunos. 
 
1- Determine o número de elementos do Ƥ(A), quando A = {x / x é número 
positivo ímpar menor que 11}. 
 
2- Se A é um conjunto que tem 512 subconjuntos, então A tem: 
a) 9 elementos. 
 b) 12 elementos. 
 c) 5 elementos. 
 d) 8 elementos. 
 e) 10 elementos 
 
3- Determine o conjunto das partes Do conjunto A{1,3,9,6}. 
 
Recursos didáticos 
Data show - quadro – giz – papel sulfite. 
 
 
Avaliação 
Critérios 
Serão utilizados como critério de avaliação a participação durante as explicações, o 
interesse em relação ao conteúdo e a realização das atividades. 
Instrumentos 
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Os instrumentos utilizados serão as resoluções dos exercícios de forma esforçada, 
bem como o envolvimento do aluno no decorrer da aula. 
 
Referências 
IEZZI , Gelson; MURAKAMI, Carlos. Fundamentos de Matemática Elementar 1: 
Conjuntos e Funções. 3° . ed. São Paulo: [s. n.], 1997. 
CONJUNTOS e Intervalos - Resumos com Exercícios. [S. l.], 2015. Disponível 
em: https://www.atividadesmatematica.com/2015/10/conjuntos-e-intervalos-
resumos-com.html. Acesso em: 13 maio 2021. 
PAULA , Camila. Conjuntos Numéricos: Questões comentadas: Conjuntos das 
Partes. In: DESCOMPLICA - MATEMÁTICA . [S. l.], 2015. Disponível em: 
https://descomplica.com.br/artigo/questoes-comentadas-conjuntos-das-
partes/4mH/. Acesso em: 18 maio 2021. 
CONJUNTO das Partes. [S. l.], Disponível em: 
https://matika.com.br/conjuntos/conjunto-das-partes. Acesso em: 18 maio 2021.